Torseurs - un cours minimal

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1 Torseurs - u cours l Y. eo LEI, IUT Léord de Vc de es, rue des cryères, B.. 5, 5687 es cedex yck.reo@uv-res.fr ésué Ce cours l sur les torseurs trodut les cocepts et proprétés de ces outls thétques teet lés à l écque du solde. E effet tt les chps de vtesses, de quttés de ouveet et d'ccélértos que les efforts s'expret pr des torseurs. Les équtos trdtoelles (prcpe fodetl de l dyque gért l posto du cetre de sse du solde, théorèe du oet cétque gért so oretto) sot lors regroupées e ue équto e torseur. Toute persoe cocerée pr l'to dyque de soldes coçot lors l'utlté de coître les règles de pulto de ces outls. près vor trodut les outls sous-jcet (poteurs, vecteurs glsst et leurs oets) o déft le cocept de torseur. Vet esute l'étude de ses proprétés utles e écque du solde (déplceet, vrt sclre, soe, cooet, xe cetrl, équprojectvté des oets et récproque). L'exposé se tere pr ue clssfcto des torseurs e groupes : les glsseurs, les couples, les soes couple+glsseur. Mots-Clés : Torseur, Mécque du solde. pport Techque LEI 95--, ctobre 95

2 Y. eo Torseurs - u cours u. Bses.. oteur / Vecteur Glsst et oets U oteur est u vecteur V lé à u pot. o le ote (,V ). V ppelle Moet e du poteur (,V ) le vecteur (,V) V (,V) U Vecteur Glsst est u vecteur V lé à ue drote //V. o le ote (,V ) pour ue drote //V fxée, o :, B,V V B+ λv V B V B,V, V ( ) ( ) ( ) ppelle lors Moet u pot du vecteur glsst ( ) ce vecteur (, V) V pour qcq V (,V) B.. elto fodetle des oets (, V) V V + V sot : (, V) (, V),, + V ^ V (,V) ^ V V V V (,V) ^ V pport Techque LEI 95--, ctobre 95

3 Y. eo Torseurs - u cours u.. Torseurs Ett doé u chp de poteurs C {(,V )..} ou u chp de vecteurs glssts C {(, V ), V )..}, o déft le Torseur ssocé u chp C u pot coe le couple d'u vecteur et d'u vecteur lé à : {} C V V vec ésultte Eléets de résultt e réducto e (,V ) V Moet ppelle l ésultte du torseur, le Moet résultt e et les Eléets de réducto e V V V V V V (,V ) ^ V (,V ) ^ V ^ V (,V ). roprétés.. Déplceet, V V + V V + sot :, + + pport Techque LEI 95--, ctobre 95

4 Y. eo Torseurs - u cours u.. Ivrt Sclre Le produt sclre J est dépedt du pot, o l'ppelle Ivrt Sclre du Torseur. déostrto :, J + Corollre L projecto de sur est doc dépedte du pot. déostrto : Iédt d'près c-dessus.. Soe L Soe de torseurs revet à l réuo de leurs chps de vecteurs elle s'obtet pr soes des éléets de réducto u êe pot. + { C } + { C } + + déostrto : V + V + { C } + { C } { C C } (,V + (,V + ) ).4. Cooet Le Cooet de torseurs est déf pr le clcul suvt. ce clcul est dépedt de! + déostrto : ,, +,, pport Techque LEI 95--, 4 ctobre 95

5 Y. eo Torseurs - u cours u.5. xe cetrl Théorèe et Défto s le leu de tous les pots tels que // exste et est ue drote // ppelée xe Cetrl du Torseur., déostrto : // λ ou : s u tel pot exste, tous les utres vérfet + sot : clcul de ds le pl Π, sot tel que : // o doc : λ, + λ roprétés Le oet est costt sur l'xe cetrl, et s ore y est u, plus précséet l vet : J et J est le oet u du torseur déostrto J J λ + + //, et + > pport Techque LEI 95--, 5 ctobre 95

6 Y. eo Torseurs - u cours u.6. Equprojectvté U chp de vecteurs lés, V E I est dt équprojectf ss l vérfe : M, E M V M V M M V M V cel revet à dre que M, E les projectos de V M et V sur l drote (M) sot égles. Théorèe Le chp, I des oets d'u torseur est équprojectf : M, M M M déostrto : M, M M M M M M M Théorèe récproque Tout chp V, V équprojectf est le chp des oets d'u torseur. Lee tout chp V équprojectf vérfe, M, V V V V M M déostrto du lee : +, M, V V M V V + V V M M M sot V V M V V M V V V V V V V V M M M M déostrto du théorèe : Sot u repère orthooré,x,y,z et pots (X,Y,Z) tels que X X, YY, Z Z. Ce repère fxé, posos pr lleurs VV. vec cette otto le lee devet M, M M Cherchos tet l'expresso de ds l bse X,Y,Z l vet X Y Z X Y Z X Y Z posos tet s V est be le chp des oets du torseur dot les éléets de réducto e sot : résultte: ( X,Y,Z ) VY V Z VZ V Y VZ V X VX V Z VX V Y VY V X X Y X Y Y X Y X Z X Z X X Z X Z Y ZY Z Z Y Z Y sot V V + vec et oet e : V pport Techque LEI 95--, 6 ctobre 95

7 Y. eo Torseurs - u cours u. Clssfcto et Décoposto Torseurs à Ivrt Sclre ul, : le oet est ul e tout pot c'est le Torseur Nul : J étt ul,. le Torseur est u vecteur glsst ou Glsseur sur so xe, : étt ul, le Torseur est u Couple. Torseurs Géérux (à Ivrt Sclre o ul) Décoposto coe soe d'u Glsseur sur so xe et d'u couple de oet prllèle à so xe : J + J L'uteur Yck eo, é e 96, olytechce, est docteur géeur de l'ecole Ntole Supéreure des Télécouctos de rs, spéclté utotque et Trteet du Sgl, esegt à l'iut Léord de Vc de es, chercheur du LEI. Ses recherches coceret l'igere Nuérque et l'itellgece rtfcelle. pport Techque LEI 95--, 7 ctobre 95