PRISE EN COMPTE DE LA VARIANCE DE L ERREUR DE MESURE

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1 INERIS DR LRl-LM LSQA-n 4_v PRISE EN OMPTE DE LA ARIANE DE L ERREUR DE MESURE Les données expérmentles utlsées dns l estmton des concentrtons sont générlement entchées d une erreur de mesure qu l convent de prendre en compte dns le modèle géosttstque. ette note pour oet de décrre les méthodes pplcles à cette fn et d nlyser les résultts otenus pour chcune. Pour en fclter l lecture, nous llustrons notre propos pr des exemples de clcul rélsés vec des données réelles. Afn de ne ps lourdr les clculs, nous nous lmtons u cs monovrle sttonnre d ordre ou de fçon mons restrctve u cs ntrnsèque. Les données explotées dns ce document ont été fournes pr l ssocton AIR NORMAND. Elles sont ssues d une cmpgne de mesure de l ozone (échntllonnge pssf) condute du 6 un u 4 septemre pr pluseurs AASQA dns le Nord de l Frnce. L semne du u 6 ullet est trtée comme exemple.. Présentton des pproches. rlté lée à l vrnce de l erreur de mesure. onséquence sur le vrogrmme L erreur de mesure peut être consdérée comme une vrle régonlsée de moyenne nulle, dotée d une structure sptle de covrnce, et dont le chmp se superpose à celu de l vrle d ntérêt. ε (x α )(x α ) ε(x α ) ε : vrle régonlsée dont l rélston ux ponts de mesure est l ensemle des données expérmentles. : vrle régonlsée sous-cente, non entchée d erreur, que l on cherche à estmer dns le chmp à prtr des données mesurées. ε : erreur de mesure nconnue, vérfnt E(ε α ). (On note désorms ε(x α ) ε α ) Avec l hypothèse d ndépendnce entre et ε, les covrnces de, ε et ε vérfent l églté : ε (h) (h) ε (h) En outre, on suppose le plus souvent que l erreur de mesure n est ps sptlement corrélée, sot ε (h), h. Pour h, l vrnce moyenne de l erreur de mesure oue le rôle d un effet de pépte, noté ε, qu s oute à l vrlté à très courte échelle (vrlté pprente, due à l exstence d une mcrostructure qu n est ps détectée pr l échntllonnge). /3

2 INERIS DR LRl-LM LSQA-n 4_v Les vrogrmmes de et de ε sont ns lés pr l relton suvnte : ε (h) (h) ε S à chque pont d échntllonnge x α est ssocée une vrnce de l erreur de mesure α r(ε α ), lors l effet de pépte pprent cusé pr l erreur de mesure est l moyenne des α sot. ε α D un pont de vue méthodologque, deux pproches permettent d ntégrer l vrnce de l erreur de mesure (EM) dns le modèle géosttstque, suvnt que l on consdère une EM moyenne dns le chmp ou que l on prend en compte dstnctement toutes les vleurs α.. Prse en compte de l vrnce de l erreur de mesure. onséquence sur l vrnce de krgege Le ut est d estmer l concentrton pr krgege à prtr des données mesurées : * ε x ( x ) ( ) Le krgege rend mnmle l vrnce d estmton qu vut : K r[ ( x ) * ( x )] r[ ( x ) ( ( x ) ε )] Dns le cdre sttonnre d ordre, et moyennnt l hypothèse d ndépendnce entre et ε, cette quntté s écrt : K z z () (), r( ε ) ( r( ε )) ) On suppose l vrnce de l erreur de mesure constnte dns le chmp. ette vrnce est lors modélsée pr un effet de pépte ε égl à l EM moyenne. Pour tout pont x α, on susttue donc ε à r(ε α ), ce qu donne : K z () vec pour tout, ε ε et ) () ε ε ( ε [ ε ()] est le modèle de covrnce vec effet de pépte, construt à prtr des données expérmentles (donc entchées d erreur). En prtque, vec le logcel Ists, ren ne permet de précser que cet effet de pépte est dû en totlté ou en prte à une erreur de mesure. Le logcel ne ft ps de dstncton entre et ε. Tout se psse donc comme s l on estmt l vrle rutée ε, et l on lors : K ε ε (), ette vrnce ntègre l vrnce de l erreur de mesure ε dns son terme ε (). ε ε /3

3 INERIS DR LRl-LM LSQA-n 4_v ) On spécfe l vleur de r(ε ) en tout pont d échntllonnge. Dns cette pproche, l vrle que l on cherche à estmer est l vrle non rutée. L vrnce de krgege pour expresson cs d une estmton ponctuelle - : K z (), rε En prtque, vec Ists, le modèle est dédut du modèle ε pr soustrcton de l vrnce moyenne de l erreur de mesure. Le terme () n nclut donc ps cette vrnce moyenne. S en tout pont x α, r(ε α ) l même vleur ε, lors mnmser l vrnce de krgege condut u même système de krgege que dns le cs précédent, et pr sute à l même concentrton estmée. En revnche l vrnce de krgege clculée pr Ists vut : K z z () (), ε ( ) ε ε Elle est donc nféreure de ε à l vrnce précédemment otenue. Dns une vldton crosée, l évluton de l précson de l estmton ux ponts expérmentux mplque de comprer les vleurs estmées et mesurées de l même vrle, c est-à-dre de l vrle rutée ε. Il convent pour ce fre d outer l EM à l écrt-type de krgege. L erreur qudrtque moyenne de prédcton vut lors : ε E[ ε ( x )] K r( ε) e clcul n est possle qu ux ponts d échntllonnge. En dehors de ces ponts, l EM est nconnue. Pour générlser le clcul de l erreur qudrtque de prédcton à l ensemle du domne d étude, on pourrt être tenté d estmer en tout pont l EM pr krgege. Une telle procédure n est ps cceptle en théore, pusque l EM n est ps une vrle ddtve. S toutefos l EM vre peu d un ste de mesure à un utre, l est envsgele d outer à l écrt-type de krgege l vrnce moyenne de l erreur de mesure, clculée sur l ensemle des ponts expérmentux. Remrque : cs du krgege de locs Dns un krgege de locs, l vrnce d estmton vec vrnce de l erreur de mesure s écrt : K v z ( v, v) ( rε ) ( v, x ) ε ε Or ( v, v) ( x, y) dxdy ( x, y) dxdy ( v, v) v v v v Donc s en tout pont x α r(ε α ) vut ε, lors v 3/3

4 INERIS DR LRl-LM LSQA-n 4_v K v z ( v, v) zε ( v, v), ε ( ) ε ε ( v, x ) ( v, x ) Dns ce cs, l vrnce d estmton ne présente ucune dfférence vec celle que l on otent pr un krgege vec effet de pépte.. Mse en œuvre des dfférentes méthodes Les deux pproches décrtes u prgrphe. sont pplquées à des données d ozone (deuxème et trosème cs). En ntroducton (premer cs), nous présentons l stuton où l nformton sur l erreur de mesure et l vrlté à très courte échelle est nsuffsnte on ndsponle.. Premer cs : ustement grphque d un effet de pépte L effet de pépte est détermné en extrpolnt ux très courtes dstnces le vrogrmme expérmentl (Fgure ). On ne cherche ps à dstnguer l prt de l vrnce effectvement due à l erreur de mesure et celle qu pour cuse l exstence d une mcrostructure non détectée pr l échntllonnge. Fgure - s. rogrmme expérmentl et modélsé. Effet de pépte 5 Le vrogrmme expérmentl est clculé unquement à prtr des données de type rurl, qu sont supposées décrre l vrlté de l ozone à l échelle de l régon. 4/3

5 INERIS DR LRl-LM LSQA-n 4_v Le vrogrmme théorque (coure contnue sur l fgure) pour formule : δ h δ h h> : ( h) 5 9 ( exp( )) 5,5 ( exp( )) h : () 3 Le modèle correspondnt de covrnce exste et s écrt : δ h δ h h> : (h) ( ) - (h) (5 9 5,5) - (h) 9 exp( )) 5,5 exp( ) h : ()97 3 Sot x, un pont où l on souhte estmer l concentrton pr krgege. Sot x,...x n les ponts expérmentux stués dns le vosnge d estmton de ce pont. Afn de ne ps lourdr l présentton des résultts, le vosnge dopté dns les clculs se lmte à un domne crculre de 4 km de ryon centré sur x. Il content treze ponts de mesure. Fgure - s. Représentton du vosnge de krgege et des pods de krgege ffectés ux 3 ponts expérmentux stués dns ce vosnge. L estmteur recherché est de l forme : * 3 ε Le système de krgege permettnt de clculer les pods s écrt : 5/3

6 INERIS DR LRl-LM LSQA-n 4_v 6/3 - vec le vrogrmme (Equ.) o K, - vec l covrnce (Equ. ) nn () 97 o K, ) ( Les pods de krgege ont des vleurs reltvement proches les unes des utres. En effet, à cuse de l effet de pépte élevé, les termes dgonux de l mtrce de covrnce, qu décrvent à l vrlté à l orgne, sont prépondérnts pr rpport ux utres termes qu représentent l vrlté à moyenne échelle. En conséquence, les pods de krgege sont peu nfluencés pr les dstnces entre ponts et l concentrton estmée s pproche de l moyenne expérmentle des données.. Deuxème cs : effet de pépte détermné pr l vrnce moyenne de l erreur de mesure On consdère que l effet de pépte procède entèrement de l erreur de mesure. S vleur est prse égle à l vrnce moyenne de l erreur de mesure (Fgure 3). ette hypothèse s pplque surtout ux pollunts qu vrent de fçon contnue et régulère dns l espce (ex : ozone). Pour les pollunts qu vrent de mnère plus errtque, un échntllonnge resserré sert nécessre fn de crctérser l vrlté ux très courtes

7 INERIS DR LRl-LM LSQA-n 4_v dstnces. elle-c pourrt être lors modélsée pr un effet de pépte ddtonnel ou pr une structure à très courte portée. Fgure 3 - s. rogrmme expérmentl et modélsé. Effet de pépte 38 Le modèle de vrogrmme est : δ h δ h h> : ( h) 38 7 ( exp( )) 5 ( exp( )) 38 ( h) h: () 3 Et le modèle correspondnt de covrnce : δ h δ h h> : (h) () - (h) (38 7 5) - (h) 7 exp( )) 5 exp( ) h : ()97 3 Le système de krgege est dentque u précédent, en remplçnt pr. Il s écrt : - vec le vrogrmme n... n n * o 3 3 n K, n 3 (Equ. 3) 7/3

8 INERIS DR LRl-LM LSQA-n 4_v 8/3 - vec l covrnce (Equ. 4) Avec nn () 97 o K, ) ( Fgure 4 - s. Représentton du vosnge de krgege et des pods de krgege ffectés ux 3 ponts expérmentux stués dns ce vosnge. Les pods de krgege sont plus contrstés (Fgure 4), ce qu est l conséquence ttendue d un mondre effet de pépte..3 Trosème cs : krgege vec vrnce de l erreur de mesure ette méthode consste à ntrodure dns l lgorthme de krgege l vrnce de l erreur de mesure ssocée à chque donnée expérmentle. Le modèle de vrogrmme est dentque u modèle usté dns le deuxème cs (pour chque structure, les vleurs des prmètres de

9 INERIS DR LRl-LM LSQA-n 4_v 9/3 portée et de pler restent nchngées), ms l effet de pépte est rédut exctement de ε (Fgure 5). Fgure 5 - s 3. L vrlté due à l erreur de mesure n est ps prse en compte dns le vrogrmme ms ntrodute dns l mtrce de krgege (cf. c-dessous). Le modèle de vrogrmme s écrt : )) exp( ( 5 )) 3 exp( ( 7 ) ( ) ( 3 h h h h δ δ pour h> 3 () Sot,,..., 3 les vrnces d erreur de mesure ssocées ux données expérmentles. Le système de krgege devent : - vec le vrogrmme n (Equ. 5) o K, ) (

10 INERIS DR LRl-LM LSQA-n 4_v /3 - vec l covrnce o K, ) ( () Fgure 6 - s 3. Représentton du vosnge de krgege et des pods de krgege ffectés ux 3 ponts expérmentux stués dns ce vosnge. Les pods de krgege dffèrent des pods précédemment clculés. Aux qutre ponts les plus proches, où l vrnce de l erreur de mesure est nféreure à l vrnce moyenne de 38 (g/m 3 ), les pods de krgege ugmentent (Tleu ). Ils vrent en sens nverse s, en ces mêmes ponts, on oute rtfcellement g/m 3 à l vrnce de l erreur de mesure (Tleu ). ette dernère donc un mpct sgnfctf sur l vleur des pods de krgege. Les concentrtons ssortes d une plus forte vrnce de l erreur de mesure contruent vec un pods mondre à l estmton.

11 INERIS DR LRl-LM LSQA-n 4_v D utre prt, fn d llustrer l remrque sur l vrnce de krgege (cf..), le krgege vec vrnce de l erreur de mesure (EM) est ms en œuvre vec une EM égle à 38 (g/m 3 ) en chque pont d échntllonnge. Les pods de krgege et l concentrton estmée sont dentques à ceux qu résultent du deuxème modèle, ms l vrnce d estmton ssocée u krgege ponctuel dmnue d une vleur exctement égle à ε 38 (g/m 3 ). Avec un krgege de locs, l vrnce d estmton reste nchngée. Tleu - Résultts de l estmton ponctuelle pr krgege dns les tros cs présentés c-dessus (krgege u pont x ) Modèle Modèle Modèle 3 (. - ) (. - ) (. - ) (. - ) (. - ) (. - ) (. - ) (. - ) (. - ) (. - ) (. - ) (. - ) (. - ) * K K : vrnce de l erreur de mesure (g/m 3 ) : concentrton d ozone mesurée (g/m 3 ) Tleu - Evoluton des pods de krgege en foncton de l vrnce de l erreur de mesure (krgege u pont x ) s ntl : 3,5 3,5 : 3,5 3,5 4 : 3,8 3,8 (. - ) (. - ) (. - ) (. - ) (. - ) (. - ) (. - ) (. - ) (. - ) (. - ) (. - ) (. - ) (. - ) * K K : 3,5 3,5 4 : 3,8 3,8 9 : 3,5 3,5 : 6,6 6,6 /3

12 INERIS DR LRl-LM LSQA-n 4_v. Bln. omprson entre les méthodes. Pour chque modèle (cs, cs et cs 3), les concentrtons d ozone ont été estmées pr krgege ponctuel et pr krgege de locs dns tout le domne d étude (mlle de 5 km de côté). L ensemle des données dsponles (stes rurux, pérurns, urns, lttorux) été prs en compte dns l estmton. Le vosnge de krgege est un vosnge crculre de 5 km de ryon. Les crtes d estmton et d écrt-type sont ontes à l fn de ce document. Fgure 7 - Modèles, et 3 : omprson entre écrts-types de krgege. Krgege ponctuel.. rho.86.5 rho.97.. O3 ecrt loc cs O3 ecrt loc cs O3 ecrt loc cs O3 ecrt loc cs Ists Ists Fgure 8 - Modèles, et 3 : omprson entre écrts-types de krgege. Krgege de locs. omprson entre les modèles et Krgege ponctuel Dns cet exemple, et pour une estmton ponctuelle, les écrts-types de krgege dmnuent senslement vec un effet de pépte rédut à 38 (cf. coure de guche, Fgure 7). Prendre un effet de pépte exctement égl à l vrnce moyenne de l erreur de mesure est un chox déléré qu dot reposer sot sur les nformtons contenues dns les /3

13 INERIS DR LRl-LM LSQA-n 4_v données, sot sur l expérence de l utlsteur. Il suppose en effet que l erreur de mesure est l unque source de vrlté ux très courtes dstnces. el sgnfe que l vrlté du pollunt est prftement connue, ou en que les structures à fle portée ont pu être dentfées grâce à un échntllonnge très resserré et modélsées en tnt que telles. S le modèle ns usté s ccorde en ux données expérmentles (à vérfer pr l vldton crosée), lors l peut condure à une précson d estmton ccrue pr rpport u premer modèle, et l crte d estmton est eucoup mons lssée. Krgege de locs Avec un krgege de locs et un effet de pépte plus fle, les écrts-types d estmton dmnuent pour les locs qu contennent des données et ugmentent pour les locs stués entre les ponts de mesure.. omprson entre les modèles et 3 Krgege ponctuel ette comprson dot tenr compte du ft que dns le modèle 3, l vrnce de krgege n nclut ps l vrnce moyenne de l erreur de mesure dns s composnte (). Ans les vleurs de l vrnce de krgege sont systémtquement plus fles que dns le modèle, ms elles ne trdusent ps nécessrement une melleure précson de l estmton. Krgege de locs Avec un krgege de locs, le terme (v,v) de l vrnce de krgege est dentque vec ou sns EM, et les écrts-types de krgege sont très smlres. L vntge de l trosème méthode est que l effet de pépte s uste loclement à l vrnce de l erreur de mesure et que le pods de krgege ttrué à chque donnée dépend de l EM de cette donnée. et ustement locl n donc d ntérêt réel que s l EM dffère sgnfctvement d un pont de mesure à un utre. En outre, le krgege vec EM repose sur l hypothèse restrctve que l concentrton et l erreur de mesure sont des vrles ndépendntes. Or cette hypothèse n est ps touours vérfée. De ft, s l erreur de mesure est nconnue, l EM, en rson même de l méthode qu permet de l clculer, croît vec l concentrton.. Auss le krgege vec EM peut-l ndure un lssge excessf de l crte, ccordnt un pods fle ux plus fortes concentrtons (dotées d une grnde EM) et un pods plus élevé ux vleurs les plus sses. e lssge est vsle sur les crtes d estmton, dns l zone du lttorl. 3/3

14 INERIS DR LRl-LM LSQA-n 4_v Fgure - Ecrts-types de krgege (g/m 3 ). Krgege ponctuel s (effet de pépte,), cs (effet de pépte38), cs 3 (vec vrnce de l erreur de mesure)

15 INERIS DR LRl-LM LSQA-n 4_v Fgure - oncentrtons d ozone (g/m 3 ) estmées pr krgege ordnre ponctuel s (effet de pépte,), cs (effet de pépte38), cs 3 (vec vrnce de l erreur de mesure)

16 INERIS DR LRl-LM LSQA-n 4_v Y (m) 5. O3 ecrt loc cs X (m) Ists > < N/A Y (m) 5. O3 ecrt loc cs X (m) Ists > < N/A Y (m) O3 ecrt loc cs X (m) Ists > < N/A Fgure 3 - Ecrts-types de krgege (g/m 3 ). Krgege de locs s (effet de pépte,), cs (effet de pépte38), cs 3 (vec vrnce de l erreur de mesure)

17 INERIS DR LRl-LM LSQA-n 4_v Y (m) 5. O3 est loc cs X (m) Ists > < N/A Y (m) 5. O3 est loc cs X (m) Ists > < N/A Y (m) 5. O3 est loc cs X (m) Ists > < N/A Fgure 4 - oncentrtons d ozone (g/m 3 ) estmées pr krgege ordnre de locs s (effet de pépte,), cs (effet de pépte38), cs 3 (vec vrnce de l erreur de mesure)