Calcul intégral et application en probabilités.

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1 Chpitre Clcul itégrl et pplictio e probbilités. I Itroductio : u volume de béto. L église d Hllgrimür, à Reykjvik e Islde été costruite e béto, ds l secode moitié du XX ième siècle. L fçde compred deux murs e béto pour léquels l rchitecte Gudjo Smulelso ( ) s est ispiré des orgues de bsltes si ombreux ds so pys. 09

2 0 CHAPITRE. CALCUL INTÉGRAL ET APPLICATION EN PROBABILITÉS. Commet détermier le volume de béto pour fbriquer u ce ces murs?

3 I. INTRODUCTION : UN VOLUME DE BÉTON.

4 CHAPITRE. CALCUL INTÉGRAL ET APPLICATION EN PROBABILITÉS. Aisi, o costte que l otio d ire sous ue courbe ous mèe à l coclusio suivte. O peut e fire u clcul pproché vec des sommes de rectgles dot l lrgeur est de plus e plus petite et dot l huteur est du type f(x). C est ce que ous vos fit ds u T.P. pour clculer «l ire sous ue prbole» P P

5 II. DÉFINITION DE L INTÉGRALE D UNE FONCTION POSITIVE. II Défiitio de l itégrle d ue foctio positive. Ds cette prtie, et b sot des réels tels que < b. f est ue foctio cotiue et positive sur l itervlle[; b]. Le pl est rpporté à u repère. O ppelle C l courbe représettive def ds ce repère. Aire sous l courbe d ue foctio positive et cotiue sur u itervlle. Défiitio O ppelle ire sous l courbe C sur l itervlle[b] l ire du domie pl qui est situé etre les droites verticles d équtios x = et x = b, l courbe C et l xe des bscisses. 5 y = f(x) ire sous l courbe etre et b Remrque Défiitio x = x = b Cette ire est exprimée e uités d ires. O ote f(t) dt l ire sous l courbe C sur l itervlle[b]. Ceci se lit «itégrle etreet b def». N.B. l vribletqui est ds cette ottio est ue ottio «muette». C est à dire que les trois écritures ci dessous désiget le même ombre réel. f(t) dt = f(u)du = f(x) dx Exemple f est l foctio costte f(x) = sur l itervlle[ ;]. Ds ces coditios : f(x) = 5 f(t)dt = uités d ire.

6 CHAPITRE. CALCUL INTÉGRAL ET APPLICATION EN PROBABILITÉS. L ire sous l courbe est ici l ire d u rectgle : f est l foctio liéiref(x) = x sur l itervlle[0;]. dt = 5 = 5 uités d ires. 6 5 L ire sous l courbe est ici l ire d u trpèze : Utilistio de l clcultrice : t dt = (+6) = 8 uités d ires. Les clcultrices fourisset u clcul pproché des itégrles. O veut pr exemple clculer cel : l(x +)dx. Pour Mettre l foctio ds l éditeur Trcer l courbe représettive e fist ttetio à l feêtre grphique Demder le clcul de l itégrle vec le meu de 7 : f(x)dx Mettre l foctio ds l éditeur Trcer l courbe représettive e fist ttetio à l feêtre grphique Demder le clcul de l itégrle l(x +)dx uités d ire

7 II. DÉFINITION DE L INTÉGRALE D UNE FONCTION POSITIVE. 5 Exercice. E utilist votre clcultrice, doer ue vleur pprochée des itégrles suivtes à 0 près : ) 0 l(x) x + dx b) e t dt Exercice. L foctio f est défiie sur R prf(x) = e x.. Hchurez ci dessous f(x)dx puis e doer ue vleur pprochée à0 à l ide de votre clcultrice..5.0 y = e x e x dx 0.5. Hchurez ci-dessous les itégrles e x dx et e x dx..5 Que peut-o e dire?.0 y = e x 0.5 Vérifictio : e x dx et e x dx. Avec votre clcultrice, doez les meilleures vleurs pprochées des itégrles 0 e x et e x e x dx et e x dx 5 0

8 6 CHAPITRE. CALCUL INTÉGRAL ET APPLICATION EN PROBABILITÉS. Remrque Propriété Les foctios f etg sot cotiues et positives sur l itervlle [;b]. Sif g sur l itervlle [;b], lors : f(t)dt c g(t) dt 5 y = f(x) y = g(x) b 5 6 Cette propriété, qui semble évidete e regrdt u dessi, ser démotrée ds le secod chpitre sur les clculs d itégrles.

9 II. DÉFINITION DE L INTÉGRALE D UNE FONCTION POSITIVE. 7 Remrque O peut isi ecdrer les itégrles etre deux ombres, à l ide de l grille, e comptt les crreux. f(t)dt x = x = 5 f(t)dt O peut trouver u meilleur ecdremet e utilist u qudrillge plus fi bie sûr. f(t)dt f(t)dt 5 6 x = x = 5

10 8 CHAPITRE. CALCUL INTÉGRAL ET APPLICATION EN PROBABILITÉS. Exercice. Détermier pr lecture grphique u ecdremet de l itégrle suivte : f(t)dt Itégrles et suites. Comme ous l vos doc vu ds le T.P. sur le clcul de l ire sous ue prbole, o peut motrer ds le cs géérl, que Théorème f est ue foctio cotiue, croisste et positive sur l itervlle[;b]. L itégrle f(t) dt, qui représete l ire sous l courbe etreet b, est l limite des suites (u ) et (v ) défiies pr : u = b f k=0 ( +k b ) v = b f k= ( +k b )

11 II. DÉFINITION DE L INTÉGRALE D UNE FONCTION POSITIVE. 9 Lecture de ces formules. b est l logueur de l itervlle où l o veut estimer l ire sous l courbe. Doc b est l lrgeur de chcu des petits rectgles. ( Ds chque formule, f +k b ) est l huteur de chque petit rectgle. Le produit vec b doe doc l ire de chque petit rectgle. Efi, o fit, pour chque formule, l somme des ires des rectgles : e pret le miimum de f sur chque petit itervlle ds u cs et le mximum ds l utre. Iterpréttio : L première suite, (u ), représete ue suite dot tous les termes sot plus petits que l ire que l o cherche à pproximer. L secode suite, (v ), représete ue suite dot tous les termes sot plus grds que l ire que l o cherche à pproximer. Ces deux suites coverget vers le même limite et leur limite commue est doc Remrque f(t) dt. O dmet que cette propriété reste vlble ds le cs d ue foctio cotiue sur u itervlle [;b] Clcul des sommes vec u lgorithme. Que fit le progrmme de clcultrice suivt?. Modifier le progrmme précédet pour obteir l somme des N premiers etiers turels.. Modifier le progrmme précédet pour obteir l somme des N premiers termes de l suite (u ) défiie pour pru = :

12 0 CHAPITRE. CALCUL INTÉGRAL ET APPLICATION EN PROBABILITÉS.. Modifier le progrmme précédet pour obteir les sommes défiies pour tout etier pr : u = b f k=0 ( +k b ) et v = b f k= ( +k b ) O mettr l foctio f ds Y ( Les sommes sot clculées vec l foctio l ds Y sur l copie d écr). Exercice sur le livre : fire l exercice pge 8. fire l exercice 5 pge 9 vec le progrmme précédet ; Vleur moyee d ue foctio positive. Remrque Avec les ottios de l défiitio, il existe u rectgle dot l bse est le segmet[;b] et dot l ire est exctemet égle à lors être égle à b b f(t)dt. E effet, s huteur doit f(t)dt. y =.5 Ci cotre, l ire sous l courbe est égle à l ire du rectgle. 5 f(x)dx = = 9.75

13 II. DÉFINITION DE L INTÉGRALE D UNE FONCTION POSITIVE. Remrque O peut costter que dt = b. Cette formule s écrit e fit D utre prt, qud o clcule l moyee d ue sttistique, f(t) dt dt. Vleurs du crctère x x x k effectifs k cette moyee est le ombre x = x + x + + k x k k O costte l similitude des deux formules, somme podérée pr u produit e hut, somme de l podértio e bs. O défiit doc pr logie l moyee d ue foctio cotiue sur u itervlle : Défiitio Le ombre b Propriétés des itégrles liées à l ire. f(t) dt s ppelle l vleur moyee de l foctio f sur l itervlle [;b]. Théorème (Reltio de Chsles.) Avec les mêmes ottios que ds l défiitio : quel que soit le ombre c [;b], f(t) dt = c f(t) dt+ c f(t) dt c b 5 f(t) dt = c f(t) dt+ c 5 Le cs des foctios strictemet égtives. Remrque Soit f ue foctio strictemet égtive sur l itervlle[;b]. f(t) dt

14 CHAPITRE. CALCUL INTÉGRAL ET APPLICATION EN PROBABILITÉS. y = f(x) 5 6 O voit, à cuse de l coservtio d ue ire pr ue réflexio, que l ire A etre l courbe représettive de f, l xe des bscisses et les droites d équtios x = et y = b est égle à l ire sous l courbe représettive de l foctio f sur l itervlle[;b]. Aisi A = f(t)dt. Défiitio A = f(t) dt. Ceci défiit l itégrle d ue foctio strictemet égtive. Remrque Cette défiitio permet d écrire lors, pour ue foctio f strictemet égtive, f(t) dt = f(t)dt y = f(x) 5 Remrque O peut défiir, comme pour les foctios strictemet positives, l vleur moyee d ue foctio strictemet égtive pr le ombre b f(t)dt.