Les suites numériques

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1 Les sites mériqes Objectifs : - Maîtriser la otio de covergece; cas particliers de la covergece mootoe; - Maîtriser les sites récrretes + = f( avec f mootoe; cas particlier des sites géométriqes; 3- Voir qelqes exemples de sites récrretes + = f ( avec f o mootoe Exercice O cosidère la site ( - Motrer qe la site ( défiie, por tot Õ, par = est croissate et majorée 3 - Démotrer, e tilisat la défiitio de la limite d'e site, qe Lim = + Exercice Calcler, qad elles existet, les limites des sites sivates : + ( a = b = ( + a( + b c =²-cos(+(- ( 3 d = + 3 ( e = + cos( π f = + ² +, Exercice 3 Soit ( e site mériqe telle qe les sites extraites ( ( et ( + soiet covergetes Motrer qe la site ( 3 est covergete Exercice 4 ( - Motrer qe les sites défiies, por tot Õ, par = et v = sot adjacetes ( - E dédire qe la site de terme gééral w = est covergete + ( Exercice 5 O cosidère la site mériqe ( - Motrer qe la site ( de terme gééral doé par = est croissate - Motrer qe por tot Õ, - est divergete Qelle est sa limite? 3- E dédire qe la site ( 4- Motrer qe por tot Õ, l( + - l E dédire qe por tot Õ, l( et retrover le résltat de la qestio 3-5- O itrodit les sites ( v et ( w défiies, por tot Õ, par

2 adjacetes v = -l( et w = + - l( Motrer qe les sites ( v et ( w Exercice 6 O cosidère les dex sites mériqes ( et ( v géérax sot doés par : = 0! et v - Motrer qe les sites ( et ( v même limite otée l = +! sot dot les termes sot adjacetes, doc covergetes de - A l'aide de l'ecadremet valable por tot Õ, < l < +, prover qe la! limite l est ombre irratioel 3- O cosidère à préset la site ( w défiie par w 0 = l - et la relatio de récrrece Õ, w = w - - a- E itrodisat la site ( z défiie par Õ, w z =, obteir l'écritre! explicite de z pis celle de w e foctio de b- A l'aide de la relatio de récrrece satisfaite par la site ( w et de l'ecadremet valable por tot Õ, + < l < v, prover qe l'o a Õ, < w < + w E dédire la covergece de la site ( Remarqe : o motrera pls tard qe l = e à l'aide de la formle de Taylor-Lagrage Exercice 7 O défiit por tot Õ \ {0,} et tot x [0, ], P (x = x - x + - A l'aide d' tablea de variatios, motrer qe P admet e iqe racie das [0,] qe l'o otera Trover des relatios d'iégalité etre, et - Trover la limite de la site ( pis celle de la site ( lorsqe + Exercice 8 Soit f : la foctio défiie par f(x = 3 3x + O cosidère la site mériqe ( défiie par la doée de so premier terme 0 et par la relatio de récrrece Õ, + = f( - Etdier les variatios de la foctio f sr, pis tracer so graphe - Détermier les poits fixes de f 3- E comparat 0 et (o résodra l'iéqatio f (x x, étdier le ses de variatio de la site ( 4- Etdier la covergece de la site ( selo la valer de 0

3 Exercice 9 Soit ( la site défiie par =, = +,, = termes - Détermier e applicatio f telle qe por tot Õ, + = f( est majorée par - Motrer qe ( 3- Motrer qe ( Exercice 0 Soit ( est covergete et détermier sa limite la site défiie par 0 = et por tot Õ, + = f( où f est la foctio défiie par : f(x = x + - Motrer qe por tot Õ, est bie défii et [0,] La site ( estelle mootoe? - O pose por tot Õ, v = et w = + Etdier les ses de variatio des w sites ( v et ( 3- Résodre l'éqatio (f f (x = x 4- Etdier la covergece des sites ( v et ( w, pis celle de ( Exercice O cosidère la site ( + défiie par o = et, por tot Õ, = + O se propose de motrer la covergece de ( limite par trois méthodes différetes Motrer qe la limite évetelle de ( et de détermier sa e pet être qe + 5 α = (ombre d'or - a- Motrer qe, por tot Õ, α + α Ù α coverge vers α b- E dédire qe ( -a- Etdier le sige de + -α e foctio de celi de -α et le sige de + - e foctio de celi de - - b- Motrer par récrrece qe, por tot p Õ, p α p+ comme? v c- Motrer qe les sites ( p et p ( p + d- E dédire qe ( 3- Soit β= 5 α = β a- La site ( v b- Motrer qe ( v coverge vers α p O itrodit la site ( v est-elle correctemet défiie? sot adjacetes Qelle est ler limite sot les racies de l éqatio r²=r+ Qelle est sa limite? coverge vers α c- E dédire qe la site ( défiie, por tot Õ, par est e site géométriqe O porra remarqer qe α et

4 Exercice Soit α ]0, [ et f la foctio défiie sr [0, ] par f(x = x( - x O cosidère défiie par 0 = a et por tot Õ, + = f( la site mériqe ( - Etdier les variatios de f sr [0, ] - Motrer qe por tot Õ, ]0, [, pis qe Lim = Motrer par récrrece qe por tot Õ, < + v défiie, por tot Õ, par v = 4- O itrodit la site ( a- Motrer qe ( v b- Motrer qe Lim ( v v + est croissate et coverge vers réel v tel qe 0 < v + =v(-v c- O sppose qe v < E écrivat v - v = ( v v, e dédire qe la site ( v + et e remarqat qe serait divergete Coclre Exercice 3 Soiet a et b dex réels tel qe 0 < a < b O cosidère les sites ( ( v défiies par 0 = a, v 0 =b et par les relatios de récrrece : et Õ, + = v, + v v + = Motrer qe ces dex sites sot adjacetes, doc covergetes vers e même limite (appelée moyee arithmetico-géométriqe des ombres a et b NB Les dex exercices ci-dessos écessitet le théorème des accroissemets fiis Ils devrot doc être traités ltérieremet e foctio de l'état d'avacemet d cors Exercice 4 Soit α > O cosidère la site mériqe ( par = α = - Motrer qe la site ( est croissate de terme gééral doé - Motrer, e tilisat le théorème des accroissemets fiis, l'iégalité sivate, valable por tot x > : α α α x α (x x est majorée, pis covergete 3- E dédire qe la site ( Remarqe : das le cas α =, l'exercice pet se traiter sas tiliser le théorème des accroissemets fiis, la majoratio état élémetaire x x x

5 Exercice 5 Soit f : [0, + [ la foctio défiie par f(x = mériqe ( défiie par la doée de so premier terme 0 = récrrece Õ, + = f( - Motrer qe, por tot Õ, [0,] - Motrer q'il existe iqe réel l [0, ] tel qe f (l = l x e O cosidère la site x + et par la relatio de 3- Prover, à l'aide de l'iégalité des accroissemets fiis, qe : por tot Õ, + -l -l 3 4- E dédire qe Lim = l, pis doer e valer approchée de l à 0-3 près +