si xy 0 x 2 sin 1 1 x si y = 0 y 2 sin 1 y x 2 sin 1 x + y2 sin 1 y xy 2 , la dérivée de f en a dans la direction u existe, i.e.

Transcription

1 Enoncés : M. Quéffelec, V. Mayer, T. Tahani, F. Sarkis Corrections : F. Sarkis Exo7 Applications différentiables Exercice Soit f une application f de E dans F espaces vectoriels normés de dimension finie. On rappelle les implications suivantes : si x E, f de classe C en x f différentiable en x f continue en x. On sait de même que f différentiable en x f admet des dérivées partielles en x montrer que les réciproques sont fausses en général en s inspirant de : ou de f (x) = f (x) = { x sin x + y sin y si xy x sin x si y = y sin y si x = en (, ) xy x +y si (x,y) (,) si (x,y) = (,) [53] Exercice. Soit f une application de E dans F espaces vectoriels normés et supposons f différentiable en a ; montrer que pour tout vecteur u E, la dérivée de f en a dans la direction u existe, i.e. lim h h( f (a+ hu) f (a) ) et l exprimer à l aide de f (a).. On considère f : R R définie par f (,) = et, si (x,y) (,), f (x,y) = x3 y x 4 +y. Montrer que f est dérivable en (,) dans toutes les directions, mais que f n est pas différentiable en (,). [54] Exercice 3 Soit g : R R une application de classe C et F : R R définie par F(x,y) = g(x) g(y) x y si x y, F(x,x) = g (x). Montrer que F est de classe C en tout point de R et calculer sa différentielle. [55] Exercice 4 Soit E n l espace des polynômes de degré n. Etudier la différentiabilité des applications P (P3 (t) P (t)) dt et P P P. [56] Exercice 5 Soit f une application différentiable de R dans lui-même, propre (i.e. f (x) tend vers quand x ), telle que pour tout x R D f (x) soit injective. On va montrer que f est surjective. Soit a R et g(x) = f (x) a ;

2 . Calculer Dg(x).. Montrer que g atteint sa borne inférieure en un point x de R, et que Dg(x ) = ; en déduire le résultat. [57] Exercice 6 Soit, dans R n, F un sous-espace fermé, et soit f : R n R définie par f (x) = d(x,f). On rappelle que f est -lipschitzienne, et que pour chaque x il existe y F tel que f (x) = d(x,y).. On suppose que f est différentiable en x / F. Montrer que D f (x) L (R n,r).. On considère la fonction ϕ : t [,] f (( t)x + ty) ; en calculant ϕ () de deux façons, montrer que D f (x). x y x y = et D f (x) L (R n,r) =. 3. En déduire que y est unique. [58] Exercice 7 Soit E un espace de Banach et L (E) l espace des endomorphismes linéaires continus de E.. Soit A L (E) ; montrer que l application ϕ : t R e ta est dérivable et calculer sa dérivée.. On suppose que la norme de E est associée au produit scalaire,. Soit x E. Montrer que l application Φ : t e ta x,e ta x est dérivable et calculer sa dérivée. 3. On suppose que A est antisymétrique. Montrer que pour tout t, e ta est unitaire. [59] Exercice 8 Soit α >. Étudier la différientiabilité à l origine de l application f : R R qui est définie par f (,) = et par f (x,y) = xy α si (x,y) (,). x + 3y [5] Exercice 9 Soit f : R R définie par f (x,y) = xy x + y si (x,y) (,) et f (,) =. Montrer que f est continue sur R, que pour tout u R \ {} u (,) existe, mais que f n est pas différentiable en (,). [5] Exercice Soit X = C ([,]) muni de la norme uniforme et soit f une application de C (R,R). On note F l application ϕ f ϕ de X dans X. Montrer que pour chaque ϕ X, DF(ϕ) est l opérateur linéaire de multiplication par f ϕ dans X : DF(ϕ) (h) = h f ϕ, et que DF est continue. [5] Exercice Soit F l algèbre des matrices carrés p p munie d une norme.. Soit f : F R l application qui associe à une matrice A son determinant f (A) = det(a). Montrer qu elle est différentiable et déterminer D f.

3 . Pour n, on considère l application ϕ n (A) = A n de F dans F. Montrer qu elle est différentiable en toute matrice A F. 3. On désigne par U l ensemble des matrices inversibles de F. Montrer que U est un ouvert de F et calculer la différentielle de l application A A de U dans U. [53] Exercice. Que peut-on dire de la différentiabilité de l application f : R R définie par f (x,x ) = x = max( x, x )?. Généraliser ceci à f : F R, f (x) = x, avec F = R n ou F l ensemble des suites convergentes vers zero. [54] Exercice 3 Soit f : R R l application x = (x,x ) x = x + x. Est-ce qu elle est différentiable? Considérons maintenant l l espace des suites réelles muni de la norme x = j= x j.. Montrer que pour toute forme linéaire continue L sur l il existe une suite bornée α = (α,α,...) telle que L(x) = α j x j. j=. Montrer que la norme. : l R n est pas différentiable en aucun point de l (raisonner par l absurde en utilisant (.)). [55] Exercice 4 Dans un espace normé (F,N), on considére l application x N(x). Rappeler que, lorsque cette application N est différentiable en x F, alors DN(x) (h) = lim (N(x +th) N(x)). t t En déduire que N n est pas différentiable en F. Supposons N différentiable en x F, alors justifier que N l est aussi en λx, où λ >, et que DN(x) = DN(λx). En considérant la dérivée en λ = de l application λ N(λ x), montrer que DN(x) (x) = N(x) et en déduire DN(x) =. [56] Exercice 5 Soit E un espace vectoriel réel muni d un produit scalaire (x,y) x,y et de la norme associée x = x,x. Soit u un endomorphisme continu de E que l on suppose symétrique, i.e. u(x),y = x,u(y) pour tout x,y E.. Montrer que l application x E u(x), x est différentiable sur E et calculer sa différentielle. L application x x est donc différentiable.. On définit une application ϕ : E \{} R en posant ϕ(x) = u(x),x x,x. Établir qu il s agit d une application différentiable. Calculer ensuite Dϕ. Montrer que, pour un élément non nul a E, on a Dϕ(a) = si et seulement si a est vecteur propre de u. [57] Retrouver cette fiche et d autres exercices de maths sur exo7.emath.fr 3

4 Correction de l exercice. (Etude en ). sin(/x) par conséquent x sin(/x) x. De même y sin(/y) y. Par conséquent f (x,y) x + y ( x + y ) ( (x,y) ) Et donc lim f (x) f () = (x,y) et donc f est continue à l origine. En remarquant que (x,y) = o( (x,y) (,) ) on a f (x,y) = + o( (x,y) (,) ) et donc f est différentiable en et D f () =. Par conséquent f admet des dérivées partielles dans toutes les directions à l origine qui sont nulles. La fonction f n est pas contre par de classe C à l origine. Il suffit de remarquer que la dérivée partielle sur la droite y = n est pas continue en.. Pour (x,y) (,), f est continue en (x,y) et même de classe C en tant que composés sommes, produits et quotient de telles fonctions. Il reste à étudier f à l origine. Or, f (x,y) = xy x + y x (x + y ) x + y x (x,y). Ainsi, f est continue à l origine et y tend vers. Montrons par l absurde que f n est pas dérivable à l origine. Notons D f () la (supposée) différentielle de f à l origine. L application linéaire D f () s obtient par la calcul de l image de vecteurs de la base de R. Calculons pour les dérivées directionnelles de f à l origine : f ( + h(,)) f () f (h,) D (,) f () = [D f ()]((,)) = lim = lim = lim =. h h h h h f ( + h(,)) f () f (,h) D (,) f () = [D f ()]((,)) = lim = lim = lim =. h h h h h Par conséquent, on a nécessairement D f () = Or, h f ( + h(,)) f () f (h,h) 3 h D (,) f () = [D f ()]((,)) = lim = lim = lim h h h h h h = ce qui donne la contradiction recherchée. Correction de l exercice 3 En tout point (x,y ) avec x y, f est continue et même de classe C car composée (projections sur (x) et (Oy)), différence et quotient de fonctions de classe C dont le dénominateur ne s annule pas. Dans ces points, la différentielle de f est donnée par la matrice jacobienne : D f (x,y ) = ( (x,y ), ( g (x )(x y ) (g(x ) g(y )) (x y ), (x,y ) ) = ) g (y )(x y )+(g(x ) g(y )) (x y ) qui est bien de classe C (g étant de classe C, g est de classe C ). Montrons que F est continue aux points de la forme (a,a). Le DL de g à l ordre entre x et y donne g(y) = g(x) + (y x)g (c x,y ) avec c [x,y] d où g(x) g(y) lim = lim (x,y) (a,a) x y (x,y) (a,a) g (c x,y ) = g (a) = F(a,a) 4

5 car comme (x,y) tend vers (a,a), x et y tendent tous les deux vers a et donc c x,y aussi (et g est continue). Pour montrer que F est C (sachant que F est continue), il suffit de montrer que la différentielle de F se prolonge par continuité sur R. Le DL de g à l ordre entre x et y est : On a donc et La fonction g étant de classe C, on a g(x ) = g(y ) + (x y )g (y ) + (x y ) g () (c ) avec c [x,y ]. g(y ) = g(x ) + (y x )g (x ) + (y x ) g () (c ) avec c [x,y ]. (x,y ) = (x y ) g () (c ) (x y ) = g() (c ) (x,y ) = (x y ) g () (c ) (x y ) = g() (c ) lim D f (x,y ) = ( g () (a)/, g () (a)/ ) (x,y ) (a,a) et donc D f se prolonge par continuité sur tout R. F est donc bien de classe C. Correction de l exercice 4 Soit F (P) = P3 P dt, et soit h un polynôme de degré n alors F (P + h) F (P) = [(P 3 + 3P h + 3Ph + h 3 ) + (P + Ph + h ) P 3 P ]dt = Or 3Ph + h 3 + h dt = o( h ) donc h(3p + P)dt + 3Ph + h 3 + h dt DF (h) = (3P + P)hdt. Soit F (P) = P P et soit h un polynôme de degré n alors F (P + h) F (P) = (P + h) (P + h) P + P = h Ph h Or h = o( h ) (pour toute norme a choisir). On a donc DF (h) = h Ph. Correction de l exercice 5. On a g(x,y) =< f (x,y) a, f (x,y) a > où <.,. > est le produit scalaire Euclidien sur R. L application g est différentiable en tant que composée et produit de fonctions différentiables. La différentielle D f est donné par la matrice Jacobienne ( (x,y), (x,y) ) et Dg par la matrice ( g(x,y), g(x,y) ) 5

6 On a alors g(x,y) = < f (x,y) a, f (x,y) a >= De même, < ( f (x,y) a), f (x,y) a > + < f (x,y) a, ( f (x,y) a) >= g(x,y) < (x,y), f (x) a >. = < (x,y), f (x) a >.. L application f est continue (car différentiable) et tend vers l infini quand (x,y) tend vers l infini. Ainsi A >, B >, (x,y) B f (x,y) A. Soit m = inf (x,y) R g(x,y), pour A = m +, il existe B > tel que On a donc (x,y) B g(x,y) = f (x,y) A (m + ) m +. m = inf g(x,y) = (x,y) R inf g(x,y). (x,y) B Or la boule B(,B) étant compacte et g continue, l inf y est ateint en un point X = (x,y ) B(,B) R. Comme X est un minimum global de g, c est aussi un minimum de la restriction de g sur toute droite passant par X. Comme la dérivé d une fonction réelle en un minimum est nulle, toute les dérivées partielles de g sont nulles et donc Dg(X ) = et par conséquent la matrice jacobienne de g est nulle. On a donc g (x,y ) = < (x,y ), f (x) a >= et g (x,y ) = < (x,y ), f (x) a >=. Comme D f est injective, ses colonnes forment une base de R. Par conséquent les projections de f (x) a sur la base ( (x,y ); (x,y )) sont nulles et donc f (x,y ) a = f (x,y ) = a et donc a admet bien un antécédent. Ceci étant valable pour tout a R, on a montré que f est surjective. Correction de l exercice 6. Pour montrer que D f (x) L (R n,r), il faut montrer que si h R n, on a D f (x).h h. On a. f (x +th) f (x) D f (x).h = D h f (x) = lim. Or f est -lipschitzienne et donc f (x + th) f (x) th = t h. Par conséquent pour tout h R n, D f (x).h h ce qui donne l inégalité demandée. ϕ ϕ(t) ϕ() f (( t)x +ty) f (x) () = lim = lim = f (x +t(y x)) f (x) lim = D f (x).(y x). Ou encore, soit ψ : R R n l application ψ(t) = ( t)x + ty, on a alors ϕ(t) = f ψ et d après la formule de différentielle d une composition : ϕ () = D f (ψ()).dψ() = D f (x).(y x). 6

7 Or, Notons x t = ( t)x +ty, on a alors d(x,f) = d(x,y) = x y = ( t)(x y) = t [( t)x +ty] [ty + ( t)y] = d(( t)x +ty,y). t t d(x t,y) = ( t)d(x,f). Or, ϕ(t) = d(x t,f) d(x t,y) ( t)d(x,y) ϕ() et donc ϕ ϕ(t) ϕ() ϕ() ϕ(t) () = lim = lim Donc d(x,y) ( t)d(x,y) lim d(x,y) = x y. D f (x)(x y) x y d où la deuxième inégalité. 3. Raisonnons par l absurde. Supposons qu il existe deux point y et y tels que d(x,f) = d(x,y ) = d(x,y ). Alors, de la même manière que précédement, on a D f (x).(x y ) = D f (x).(x y ) = d(x,f) et donc D f (x).(x y + x y ) = d(x,f). Or, x y + x y < d(x,f) car les vecteurs x y et x y ne sont pas alignés. Mais alors cela contredit le fait que D f (x) L (R \,R) =. 7