SOMMAIRE 1 INTRODUCTION 3 2 NOTION DE TORSEUR Définition Propriétés liées aux torseurs Produit ou comoment de deux torseurs 4

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1 SOAIRE 1 INTRODUCTION 3 2 NOTION DE TORSEUR Définition Propriétés liées aux torseurs Prouit ou comoment e eux torseurs Torseurs élémentaires Torseur couple Torseur glisseur Les torseurs e la mécanique u solie parfait Torseur es efforts extérieurs Torseur cinématique Torseur cinétique Torseur ynamique 5 3 CINEATIQUE Introuction Définition Notion e temps Notion e mouvement Trajectoire Repérage un solie ou un système e solies parfaits Repérage un point Repérage un solie itesse ecteur vitesse moyenne ecteur vitesse instantanée Projection e r ans un repère cartésien Projection e ans un repère cylinrique ecteur rotation Dérivation en repère mobile Composition es vitesses Accélération ecteur accélération moyenne ecteur accélération instantanée Composition es accélérations 11 1

2 3.5 Torseur cinématique Liaisons usuelles entre eux solies Torseurs associés Liaison pivot (rotoïe Liaison glissière Liaison pivot glissant Liaison hélicoïale Cinématique u contact ponctuel entre eux solies Torseur cinématique u contact ponctuel ulement sans glissement entre et S2 14 2

3 1 Introuction Dans le but e simplifier la présentation es graneurs telles que les vecteurs ou champs e vecteurs, les moments, ainsi que les principes e la écanique, nous avons choisi un formalisme lié à la notion e torseurs qui permet par sa représentation systématique e simplifier la manipulation tout en onnant une certaine unité aux principaux résultats. 2 Notion e torseur 2.1 Définition Un torseur est par éfinition constitué un champ antisymétrique (champ e moments et un vecteur associé appelé résultante R. Un torseur se note alors : réuction u torseur au point. ( R T R et étant alors appelés les éléments e ( Dans le care e la mécanique es solies parfaits (non éformables, il est possible e éfinir à partir e la connaissance u moment en un point un solie S (inéformable, le moment e tous points appartenant ou lié à S par la relation suivante appelée aussi loi e istribution : ( ( A = + A R Ainsi, connaissant la valeur u champ en un point et sa résultante, il possible e calculer tout le champ en tout point à l aie e la formule précéente. Dans le cas plus particulier un système e solies parfaits, on pourra appliquer cette relation et calculer le champ e moments en tout points u systèmes si ces points appartiennent au même solie ou bien si ces solies sont liés entre eux par es liaisons mécaniques. Cette relation nous permettra par exemple e éterminer le champ e vitesse en tout point un solie ou un système e solies. ( Cas particulier : pour un effort exercé en un point quelconque un solie ou système e solies, le moment en ce même point est nul. En effet : ( A = AA R= 0 Cette propriété est très souvent utilisée pour résoure un système mécanique pour lequel certains efforts restent inconnus. 3

4 2.1.1 Propriétés liées aux torseurs Deux torseurs sont égaux si leurs éléments e réuction sont égaux en un point. ( Le prouit scalaire R. constitue un invariant, c est l invariant scalaire u torseur Prouit ou comoment e eux torseurs 1 R R2 Soit eux torseurs T1 ( et T2 ( le prouit appelé aussi comoment (C e ces 1( 2( eux torseurs est inépenant u point et calculé e la façon suivante : C = R1. 2( + R2. 1( On peut noter aussi que le prouit ou comoment u torseur par lui-même s appelle l automoment. 2.2 Torseurs élémentaires Ce sont es torseurs ont l invariant scalaire est nul, il en existe eux : le torseur «couple» et le torseur «glisseur» Torseur couple Le torseur «couple» est un torseur ont la résultante est nulle et ont le moment est non nul en un point e l espace. Le champ e moment un couple est uniforme et ne épen pas u point observation Torseur glisseur On appelle torseur «glisseur», un torseur ont la résultante est non nulle mais ont le moment est nul en tout point une roite parallèle à la résultante R. Cette roite est appelée axe central u torseur. Elle vérifie la relation suivante R = Les torseurs e la mécanique u solie parfait Dans la suite, nous utiliserons une notation basée sur la éfinition e ifférents torseurs, nous serons onc amenés à éfinir les torseurs suivants : torseur es efforts extérieurs, torseur cinématique, torseur cinétique, torseur ynamique. Fe( Torseur es efforts extérieurs R ( 4

5 2.3.2 Torseur cinématique ( ( Torseur cinétique ( ( P C σ Torseur ynamique ( ( A D δ Ces ifférents torseurs seront éfinis ans les chapitres suivants 5

6 3 Cinématique 3.1 Introuction Définition La cinématique est l étue es mouvements ans leur rapport avec le temps. On ne s occupe pas es causes susceptibles e provoquer le mouvement Notion e temps Le temps est une variable inépenante t, toujours croissante à partir e zéro, on éfinit alors un sens positif u temps qui est celui à venir, par rapport à une origine es temps qui est l instant initial noté souvent to Notion e mouvement C est une notion essentiellement relative. On ira qu un point est en mouvement par rapport à un trière e référence si l une e ses cooronnées au moins varie avec le temps. On ne précisera pas si ce trière e référence est au repos ou en mouvement par rapport à un autre référentiel Trajectoire On appelle trajectoire un point en mouvement le lieu géométrique es positions effectivement occupées par une particule ou un point un solie quan le temps s écoule. 3.2 Repérage un solie ou un système e solies parfaits Repérage un point Pour repérer une point A 1 ans un repère (0,x,y,z, il suffit e 3 paramètres qui sont ses cooronnées (x 1, y 1, z 1. z z 1 A 1 y 1 y x 1 x Repérage un solie Le repérage un solie ou un système e solie ans un repère nécessite plus information. En effet, le positionnement un solie auquel on lie un repère R nécessite 6

7 introuire les angles caractéristiques : on peut utiliser par exemple les angles Euler permettant e repérer R par rapport à. z z 1 A 1 w y 1 y v n x y On éfinit le vecteur noal, onné par l intersection es sous espaces vectoriels {, } et u v x 1 x n u {, } Le passage une base à l autre peut se faire par composition e 3 rotation planes : w v z n z y w h Ψ ϑ ϕ x n j h n u Ψ : angle e précession ϑ : angle e nutation ϕ : angle e rotation propre 3.3 itesse Soit eux points et éfinis respectivement à t et t + t (voir figure suivante : (t+ t z r (t r 1 r2 Trajectoire x O y ecteur vitesse moyenne Soit un point A mobile par rapport à : -à t= t1, A est en, -à t=t2, A est en, m r 1 et r2 sont les vecteurs position e A avec r1=o et r2= O' 7

8 t= t2 t1, le vecteur vitesse moyenne est onné par ecteur vitesse instantanée Le vecteur vitesse instantanée u point est éfini par : Soit 0, un point fixe v= t 1 r t t r r 2, m ( 2, 1 = = t2 2 t1 1 t v= lim t0 t ' = O+ O ' = O ' O = O ' lim, est tangent à la trajectoire en (t t0 = lim O = O t0 t v On peut préciser par rapport à quel référentiel R le mouvement est étuié, ans ce cas, r O = correspon à la vitesse u point vis à vis u repère R ; ce vecteur peut être R projeté ans ifférents repère, cartésiens, cylinriques, sphérique. Son moule a les imensions []=[L] [T] -1 ' Projection e r ans un repère cartésien Soit un repère ( O, i, j, k orthonormé irect lié au référentiel R : R = x i + yj+ zk, = x y i + j+ z k= x i + y j+ zk Projection e ans un repère cylinrique ( O, u, u, Soit un repère R r uz orthonormé irect non lié au référentiel : R O = rur+ zuz, r = ru + r + zuz u r, avec u = u r ur = u r r cos i+ sin j = sin i+ cos j= u i u j ur r u = r = u u, e la même façon u = = ur u ecteur rotation Nous avons écrit précéemment la relation suivante : 8

9 u = = ur u D une manière générale, nous écrirons : u = R / u ' avec R '/ vecteur rotation tel que son axe porté par k est perpeniculaire au plan où se prouit la rotation, R '/ sera tel que : = R' / k, noté le plus souvent sous la forme R'/= k Exemple : Cas un solie S ans susceptible e tourner autour e repérée par ϑ et ϕ respectivement. x et z et ont la position est S/ S / = x+ ϕ z noté aussi 0 ϕ Dérivation en repère mobile Soit eux bases R et telles que est la base e érivation, (0, xi et R'(0', x' i base e éfinition. R est mobile par rapport à. x3 O A O R x1 x2 Soit un vecteur R ' = a'. i x' i, A A a x a x a x i = ( ' i. ' i = ' i. ' i+ ' ' i. Nous avons montré précéemment que u = R / u ', ainsi : 9

10 A = i a'. ' + '. ' i x i a x i = A = A R' +R' / A R' A = A R' +R'/ A R' Composition es vitesses Soient eux repères et R et un point quelconque e R O O R R = i i R O ' ' a'. x', et O = OO' + O' O = OO' + O ' = OO' + i a' i. x' i+ a' i. x' = OO' + a' i. x' i+ a' i. R' / x' i O = OO ' + a i x i+r' / a i x i '. ' '. ' O = OO' +R i i+ '/ a'. x' ( a' i. x' i itesse absolue itesse = Entraînement + itesse relative 3.4 Accélération ecteur accélération moyenne Le vecteur accélération moyenne un point A entre les instants t1 et t2 est égal au vecteur vitesse moyenne u mobile se éplaçant sur l hoographe es vitesses 1 m Γ ( t2, t1 = 2 1= 2, t2 t1 t 10

11 3.4.2 ecteur accélération instantanée L accélération instantanée u point A en est onnée par la relation suivante : 2,1 Γ m= lim = lim 1 = 1 0 t 0 r t t Son moule a les imensions [Γ]=[L] [T] Composition es accélérations Par la composition es vitesses, nous avons établi : On avait : O = OO' +R i i+ '/ a'. x' ( a' i. x' i L accélération s écrit alors : R' / O = + OO ' a'. i x' i+ ( a' i. x' i = + R i i+ R i i+ R R i i + i i + i R i OO '/ '. ' '/ '. ' '/ '/ '. ' ( '. ' '. ' / ' ' a x a x a x O = + R i i R i i R R i i i i i R i OO '/ '/ '/ '/ ' / ' O = OO + ' + a'. x' a i x i + '. ' + a'. x' a' i. x' i + a i x i + '. ' a x a a'. x' + ( a'. x' + a'. R' / R'/ R'/ R'/ R'/ R' / x' a' x i. ' i + ( a ' i. x ' i x x Accélération absolue = Accélération Entraînement + Accélération e Coriolis + itesse relative 11

12 3.5 Torseur cinématique Soit un solie, en mouvement ans R0 (qui peut être un solie e référence. Les onnées un problème e mécanique nous permettent souvent obtenir la vitesse un es point A ou B u solie. Connaissant par exemple la vitesse u point A, il est possible e éterminer par la relation classique es torseurs le champ e vitesse pour un point quelconque e. O A B S 1 En particulier, on peut écrire : ( B ( A = + BA A tout instant, le champ es vitesses es points un repère appartenant au solie par rapport au repère e référence est appelé torseur istributeur es vitesses e par rapport à ou torseur cinématique. Le torseur cinématique s écrit alors : ( Remarque : ans le cas plus particulier où un mouvement e translation. ( est nul, le mouvement u solie est alors 3.6 Liaisons usuelles entre eux solies Torseurs associés Liaison pivot (rotoïe Le mouvement e /S2 est une rotation autour e ( 0, δ, cette liaison est onc caractérisée par un seul egré e liberté, son torseur cinématique associé est : ( = αδ = 0 Exemple : paliers e moteur, roulements 12

13 3.6.2 Liaison glissière Le mouvement e /S2 est une translation rectiligne, son torseur cinématique est le suivant : ( = 0 = δ δ Cette liaison n a onc qu un seul egré e liberté. S2 / ( Liaison pivot glissant = αδ = δ δ Cette liaison se caractérise par eux egrés e liberté, un en translation et un en rotation Liaison hélicoïale Cette liaison est en fait une liaison pivot glissant ans laquelle il existe une relation entre α et δ telle que δ=h. α, avec h=constante. Cette liaison n a onc qu un seul egré e liberté, son torseur cinématique est le suivant : S2 / ( = α δ = δ δ = α hδ 3.7 Cinématique u contact ponctuel entre eux solies Soit eux solies et S2 en contact en I et Π plan tangent, n21 vecteur unitaire e la normale à Π en I orientée e S2 vers tel que le montre la figure suivante : n21 S 1 R 0 I Π S 2 13

14 3.7.1 Torseur cinématique u contact ponctuel ( I S 2 / S 2 / = pivotement + roulement ( I = glissement ( I_ e _ / S2 Le pivotement correspon à une rotation autour e n 21 : Le vecteur pivotement est onné par : pivotement = (. n21. n21 Le roulement correspon à une rotation autour u vecteur orthogonal à n21 : Le vecteur roulement est onné par : roulement = n21 ( n 21 Torseur es efforts extérieurs Le torseur es efforts extérieurs associé à la réaction e S2 sur ans le cas une force ponctuelle est le suivant : R F e( I S2 ( I = F = ulement sans glissement entre et S2 Il y a roulement sans glissement lorsque la vitesse relative entre et S2 en I est nulle : ( I / RO ( I RO= 0= ( I / S2 La conition e glissement est assurée lorsque la vitesse relative entre et S2 n est plus nulle, ans ce cas la vitesse e glissement est onnée par : ( G / S2= ( I / R0 ( I R0 0 14