Chapitre 5 Barycentres
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- Aubin Côté
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1 A) Vecteurs : rappels et compléments Chapitre 5 Barycentres 1) Colinéarité a) Définition Deux vecteurs u et v sont colinéaires s'il existe un réel k non nul tel que : u=k v. Par extension, on dira que tout vecteur est colinéaire au vecteur nul (on prend k=0). b) Propriétés. Soit u x ; y et v x ' ; y' : u et v sont colinéaires <=> xy' = x'y <=> xy' x'y = 0. AB // CD <=> AB et CD colinéaires. A, B et C alignés <=> AB et CD colinéaires <=> k R AB=k CD. M AB <=> k R AM =k AB c) Remarque En faisant varier k dans droite (AB). R dans l'expression AM =k AB, on retrouve tous les points de la Par exemple, on trouve A pour k=0, et B pour k=1, le milieu de [AB] pour k=0,5, etc... Si k>0, B et M sont du même côté que B par apport à A. Sinon, ils sont du côté opposé. 2) Norme d'un vecteur a) Définition La norme d'un vecteur u est sa longueur, notée u. Si u= AB, on aura donc u =AB. Un vecteur est appelé vecteur unitaire si sa norme vaut 1. b) Propriétés. Pour tout réel k, on aura k u = k u En effet, ces deux vecteurs sont colinéaires, donc on peut trouver A, B et C alignés tels que AB= u et AC =k u. Ces deux vecteurs ont alors le même sens si k>0 et le sens contraire si k<0, et leurs longueurs sont telles que AC = k AB.. Dans un repère orthonormal, si u x ; y, alors on aura : u = x 2 y 2 Page 1
2 Ceci est une conséquence directe du théorème de Pythagore.. Norme d'une somme de vecteurs : u et v, u v u v. On retrouve ici l'inégalité triangulaire : dans un triangle ABC, la longueur d'un des côtés est inférieure ou égale à la somme des longueurs des deux autres, l'égalité n'étant possible que si les trois points sont alignés (imaginez une ficelle!). B) Barycentres 1) Définition et existence Soit deux points A et B et deux réels a et b. Si a + b 0, on appelle barycentre des points pondérés (A, a) et (B, b) le point G tel que a GA b GB = 0. Ce point existe car si a GA b GB = 0, Alors : a GA b GA b AB = 0 soit a b GA = b AB d'où encore AG = ce qui définit bien G qui est sur la droite (AB)! b a b AB, Remarque : Si on avait a + b = O, cela donnerait : a b GA = b AB d'où b AB = 0 soit, si b non nul, AB = 0, et donc A = B! Exemple : Où doit-on mettre le point fixe G pour que la barre AB soit en équilibre? Si A pèse 2 kg, G sera le barycentre de (A,2) et (B,1). Si on remplace les 2 kg en A par un ballon gonflé à l hélium exerçant une force ascendante de 500G, G devra être à droite de B, barycentre de (A, -0,5) et (B, 1)! 2) Homogénéité du barycentre Si G est le barycentre de (A,a) et (B,b), alors il est aussi le barycentre de (A,ka) et (B,kb) quelque soit k non nul. En effet, a GA b GB = 0 <=> k a GA b GB = 0 <=> k a GA k b GB = 0 puisque k 0. Page 2
3 Cas particulier Quand a = b, G est dit isobarycentre de A et B. G est alors le milieu de [AB]. 3) Propriété fondamentale Soit G le barycentre de (A,a) et (B,b). Alors M, a MA b MB = a b MG Démonstration : a MA b MB = a MG GA b MG GB = a b MG a GA b GB = a b MG. C) Barycentre de trois points 1) Définition Soit A, B et C trois points et a, b, et c trois réels de somme non nulle. Le point G unique tel que a GA b GB c GC = 0 est appelé le barycentre de (A,a), (B,b) et (C,c). Justification : a GA b GA b AB c GA c AC = 0 soit a b c GA = b AB c AC d'où encore AG = b AB c AC a b c G est donc entièrement défini par cette égalité, car a + b + c 0. 2) Propriété fondamentale Comme dans le cas de deux points, on a : M, a MA b MB c MC = a b c MG (Démonstration similaire au cas de deux points). 3) Associativité des barycentres Soit G le barycentre de (A,a), (B,b) et (C,c). Si a + b 0, soit C' le barycentre de (A, a) et B, b). Alors, G est le barycentre de (C', a + b) et de (C, c). Démonstration : Soit H le barycentre de (C, a + b) et (C,c) : On a a b HC ' c HC = 0 Or a C ' A b C ' B = 0 Donc a HA b HB = a b HC ' (propriété fondamentale appliquée à C') D où en remplaçant dans la première égalité : a HA b HB c HC = 0 : H est donc bien le barycentre de (A, a), (B, b) et (C, c)! 4) Exemples, applications a) Soit un triangle ABC et G l isobarycentre de A, B et C. Soit C l isobarycentre de AB : C est alors le milieu de AB (voir B2)). Page 3
4 G est donc le barycentre de (C,2) et (C,1), c est à dire qu il est sur la droite (CC ) et se situe au 2 du segment [CC']. 3 Il en est de même pour [BB ] et [AA ], G est donc le point d intersection des médiatrices, c est à dire le centre de gravité, et on retrouve la fameuse propriété des 2 3. b) Soit un triangle ABC, et G le barycentre de (A,a), (B,b) et (C,c). Quelle(s) condition(s) faut-il sur a, b et c pour que G soit à l intérieur du triangle? Exercices : Page 260 N 22 et 24 Page 261 N 25, 26 et 27 D) Compléments 1) Barycentre de n points On peut généraliser à tout nombre n > 3 les définitions et résultats trouvés pour 3 points : Soit A 1, A 2,, A n des points du plan ou de l espace et a 1, a 2,,a n des réels non nuls dont la somme est non nulle. Il existe alors un unique point G, barycentre des points pondérés (A i, a i ) tel que : a 1 GA1 a 2 GA2...a n GAn = 0. Les propriétés vues pour n = 3 restent vraies : Si on multiplie tous les coefficients a i par un même nombre k, G ne change pas. Si tous les coefficients sont égaux, G s appelle l isobarycentre des points A i. Pour touver G, on peut utiliser la règle d associativité et remplacer des points par leur barycentre affecté de la somme des coefficients de ces points. Théorème fondamental (ou de réduction des sommes vectorielles) : M, a 1 MA1 a 2 MA2...a n MAn = a 1 a 2...a n MG. Exemples : a) Soit G le barycentre de (A(0;0);2); (B(1;0);1); (C(0;1);3); (D(0;3);1) : construire G. b) Prouver que l isobarycentre des sommets d un parallélogramme est le point d intersection de ses diagonales. 2) Coordonnées d un barycentre Théorème Dans un repère O ; i ; j du plan, les coordonnées du barycentre de n points pondérés (n>=2) sont les moyennes pondérées des coordonnées de ces points. Exemples a) G barycentre de ((A(0;1);2), (B(1;0);1)) On aura G ; soit G 1 3 ; 2 3. Page 4
5 b) Reprendre l exemple du 1)a). 3) La droite d Euler (page 255) Le but est de démontrer à l aide des barycentres que le centre de gravité G, l orthocentre H et le centre O du cercle circonscrit Γ sont alignés (on appelle cette droite la droite d Euler). a) Montrer que l orthocentre H et le centre du cercle circonscrit O vérifient : OH = OA OB OC b) Prouver que AH = 2 OA' où A' est le milieu de [BC] c) Prouver que (AH) (BC) d) Prouver que (BH) (AC) et conclure. e) Prouver que OH = 3 OG et donc que O, H et G sont alignés f) Prouver que les symétriques de H par rapport aux milieux des côtés sont sur le cercle g) Prouver que les symétriques de H par rapport aux côtés sont sur le cercle Page 5
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