Chapitre IV : Fonction Exponentielle

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1 Chapitr IV : Fonction Eponntill Cité Scolair Gambtta Anné scolair 0-03 I La fonction ponntill :. Un résultat préliminair : Théorèm a t b sont du réls avc a 0 Si f st un fonction dérivabl sur, alors la fonction g défini sur par g( ) f a b dérivabl sur t g '( ) af ' a b Démonstration (facultatif) : st. La fonction ponntill Théorèm t définition : Il ist un t un sul solution f défini t dérivabl sur tll qu : f ' f t f (0). Ctt fonction st applé fonction ponntill t on la not p. Démonstration :(igibl) Eistnc ( ADMIS )

2 Unicité Soit f un fonction dérivabl sur tll qu f = f t f (0) Pour tout rél, on pos ( ) f ( ) f ( ) f étant dérivabl sur, alors l st aussi t on a pour tout rél '( ) f '( ) f ( ) f ( ) f '( ) '( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) '( ) 0 Donc st constant sur t (0) t, par conséqunt, pour tout rél, ( ) f ( ) f ( ) t donc f( ) 0 Raisonnons par l absurd Soit g un autr fonction dérivabl sur tll qu g '( ) g( ) t g(0). On a vu précédmmnt qu f( ) 0 ( égalmnt g ( ) 0 ) alors la fonction g f sur ' g g '( ) f ( ) g( ) f '( ) t 0 f f( ) g La fonction quotint st alors constant sur f g Or (0) donc f g. Et, par conséqunt, f st uniqu. f st dérivabl 3. Conséquncs (èrs propriétés) Propriétés :. La fonction ponntill st dérivabl sur t sa dérivé st égal à ll-mêm, p'( ) p( ).. La fonction ponntill st continu sur t, d plus, p(0). 3. Pour tout rél, p( ) 0 t p( ). p( ) Théorèm : a t b sont du réls avc a 0 La fonction f défini par f ( ) p( a b) Cla résult du résultat préliminair. st dérivabl sur t pour tout rél f '( ) ap a b

3 II Propriétés d la fonction ponntill :. Propriétés algébriqus : Propriété : pour tous réls a t b, p( a b) p( a) p( b). Démonstration : Rmarqu : La fonction ponntill transform ls somms n produits. Propriété : pour tous réls a t b, p( a) p( ab). p( b) Démonstration : p( a b) p a ( b) p( a) p( b) Or, pour tout rél, p( ) donc p( ) p( a) p( a b) p( a) p( b) p( b) Propriété : pour tout rél t n ntir rlatif, n p( ) p( ) n. Démonstration :

4 . Nouvll notation : L imag d par la fonction p st noté soit p() Or, pour tout ntir rlatif n n p( ) p n n On étnd ctt égalité à tout rél, p( ) On lit «ponntill d» ou «posant» A la calculatric, on trouv,78.. ( nouvll notation ) On réécrit ls propriétés : Propriétés La fonction 0 t a b a b ; st dérivabl sur t sa dérivé st ll-mêm ' a a ; a b a ; n b na a (n ntir rlatif).

5 Empls :

6 III Etud d la fonction ponntill :. Sns d variation : Pour tout rél, p( ) 0. Démonstration : En fft,, d où p( ) 0. On sait qu la fonction ponntill st dérivabl sur t donc continu sur. Propriété : La fonction p st strictmnt croissant sur. Démonstration: On sait qu p'( ) p( ) or p( ) 0 donc la fonction p st strictmnt croissant sur. Conséqunc : a b équivaut à a = b t a b équivaut à a < b.. Limits : Propriété : lim 0 t lim. Démonstration :(igibl) On considèr la fonction f défini sur par f () f st un fonction dérivabl sur. On a f '( ). Sur ;0, f '( ) 0 donc f st décroissant t sur 0,, f st croissant. D plus, f (0), donc f admt n 0 un minimum égal à. Par suit f( ), donc f( ) 0 sur, d où D plus lim donc, par comparaison, lim Pour détrminr l autr limit, on pos X, alors lim X X lim lim lim 0 car X lim X X X X Bilan t courb rprésntativ : On obtint l tablau d variation d la fonction ponntill

7 Rmarqu : L a ds abscisss st asymptot horizontal à la courb Tangnt T 0 à p C au point A 0; Cp rprésntant la fonction p n. T0 : y f '( a)( a) f ( a) avc a = 0 ; f '( a) f '(0) t f ( a) f (0) Donc T0 : y Tangnt T à Cp au point B; T : y f '( a )( a ) f ( a ) avc a = ; f '( a ) f '() t f ( a ) f (0) Donc T : y ( ) T : y y 5 Cp T 4 3 T Autrs limits (Croissancs comparés) Propriété : lim lim 0 lim 0

8 Démonstration : La fonction p st dérivabl n 0. L nombr dérivé n 0 st ; on obtint donc, par définition, Soit f la fonction défini sur par f ( ). f st dérivabl sur. On a f '( ) t on sait qu donc f '( ) 0 t, par suit, f st croissant sur. lim h 0 h h lim h0 h0 (Cf III) ) ) h Or f (0). On n déduit qu, pour > 0, f ( ) f (0), soit f( ) 0 ; autrmnt dit, Comm > 0, ; d plus lim donc lim X On pos X, alors s écrit X X Or lim X t donc lim lim lim 0 X X X X X Ercic : Etudir ls limits suivants : lim t lim ( ) 4. Equation inéquation Propriété : Pour tout rél strictmnt positif m, l équation m admt un solution uniqu dans, noté ln m. Démonstration : La fonction p st dérivabl sur. Ell st continu sur. Ell st d plus strictmnt croissant. Ls limits détrminés 0;. précédmmnt montrnt qu la fonction p établit un bijction d sur Donc pour tout rél m strictmnt positif, l équation m admt un solution uniqu dans.

9 Méthod d résolution t mpls : a Il faut transformr l équation ou l inéquation pour s ramnr à un égalité du typ b. Sinon il st parfois astuciu d ffctur un changmnt d variabl. a b ou Empl Empl Empl 3 Résoudr 3 0 Résoudr Résoudr On pos X t X 0, X Cci équivaut à résoudr Cci équivaut à X 3X 0 Après avoir calculé l discriminant, on Cci équivaut à 0 4 trouv solutions t Or la fonction p st croissant Or X 0 donc on consrv ls ou donc l inéquation équivaut à possibilités 0 0 Soit soit = 0 Donc S ; Et soit = ln Ainsi S ; ; S 0;ln 5. Empls-typ Ainsi La modélisation d nombru problèms n probabilité, n statistiqu ou n biologi amèn à l étud d fonctions d la form ou avc constant positiv. f Fonction Fonction : Cs fonctions sont positivs. D plus, f '( ). Sachant qu 0 t 0, on n déduit qu f '( ) 0. Ls fonctions f sont donc décroissants sur. On démontr qu lim 0 t lim g : Cs fonctions sont positivs t pairs. D plus, g '( ). La dérivé a l sign d. Ls fonctions g sont croissants sur ;0 t décroissants sur 0;. Ells admttnt comm maimum attint n 0. 0 sur, donc : lim 0 t lim 0 f f 3 y 5 y f0,5 4 3 g0,5 g g Touts ls courbs passnt par l point d coordonnés (0 ; ) Touts ls courbs sont symétriqus par rapport à l a ds ordonnés

10 Ercics :