Les nombres complexes Cours

Transcription

1 Les nombres complexes Cours Objectifs du chapitre Définir l ensemble des nombres complexes. Définir les écritures algébrique et trigonométrique d un nombre complexe. Mettre en œuvre les règles de calcul sur les nombres complexes. Résoudre sur C les équations ax + bx + c = 0, où a, b et c R, a 0. Un peu d histoire Activité 1 Au début du XVI ième siècle, le mathématicien Scipione dal Ferro propose une formule donnant une solution de l équation du 3 ième degré x + px q = 0 : q 3 x = q + 4 p3 7 q q + 4 p3 A la fin du XVI ième siècle, le mathématicien Bombelli applique cette formule à l équation x 3 15x = 4. Il obtient littéralement x = Cette écriture n a, a priori, aucun sens dans la mesure où on ne sait pas ce que représente le symbole 1. Mais Bombelli va plus loin. Il remarque qu en utilisant les règles de calcul usuelles, on obtient ) 3 = et 1 ) 3 = Si bien qu il obtient au final x = = 4. Or 4 est effectivement solution de x 3 15x = 4. Une question naturelle s est alors posée : peut-on légitimement calculer avec des symboles imaginaires comme Bombelli l a fait? C est ainsi qu est née la théorie des nombres complexes... 1 Introduction L équation x + 1 = 0 n a pas de solution dans N mais elle en a une dans un ensemble plus grand : Z. Cette solution est évidemment x = 1. De même, l équation x 1 = 0 n a pas de solution dans Z mais elle en a dans un ensemble plus grand : Q. Cette solution est x = 1. Ensuite, l équation x = n a pas de solution dans Q mais elle en a deux dans R : x = ou x =. Ainsi, quand une équation n a pas de solution dans un ensemble, une démarche naturelle et historique consiste à en chercher dans un ensemble plus grand. Pour l instant, l ensemble le plus grand que vous connaissez est R. Or l équation x + 1 = 0 n a pas de solution dans R... Dans ce chapitre, on va construire un ensemble plus grand que R et dans lequel l équation x + 1 = 0 admet des solutions. On appellera cet ensemble l ensemble des nombres complexes, et on le notera C. L élément principal de C, noté i comme imaginaire), sera tel que i = 1! L équation x + 1 possède alors deux solutions dans C : x = i et x = i.

2 L ensemble C et le plan complexe.1 Ecriture algèbrique d un nombre complexe On considère un nombre imaginaire, noté i tel que i = 1. On appelle nombre complexe tout nombre de la forme z = a + ib, où a et b sont deux nombres réels. On dit que z = a+ib est la forme algébrique du nombre complexe z. L ensemble des nombres complexes est noté C. Ce nombre i n est pas un nombre réel. Autrement dit i / R. En revanche, 3 = 3 + 0i donc 3 C. Plus généralement, tout nombre réel est un nombre complexe. Autrement dit, R C. Tout nombre complexe z s écrit de manière unique sous forme algébrique. L unicité de l écriture sous forme algébrique nous permet d énoncer la propriété suivante : Propriété Deux complexes z 1 = a 1 + ib 1 et z = a + ib sont égaux si et seulement si a 1 = a et b 1 = b. Soit z = a + ib un nombre complexe. Le réel a est appelé la partie réelle de z alors que le réel b est appelé la partie imaginaire de z. On note a = Re z) et b = Im z). La partie réelle et la partie imaginaire d un complexe sont des nombres réels! Si z = a + ib C, Im z) = 0 b = 0 z = a z R, Re z) = 0 a = 0 z = ib. Dans le cas où z = ib, c est-à-dire si Re z) = 0, on dit que z est imaginaire pur. Exemples : Si z = + i, alors Re z) = et Im z) = 1. Si z = 3 i, alors Re z) = 3 et Im z) =.

3 Si z =, alors Re z) = et Im z) = 0 donc z est réel. Si z = 3i, alors Re z) = 0 et Im z) = 3 donc z est imaginaire pur.. Opérations et calculs avec les complexes On définit sur C les mêmes opérations que sur R ; à savoir, l addition, la soustrastion, la multiplication et l inverse. Regardons de plus près comment ces différentes opérations sont définies. On considère z 1 = a 1 + ib 1 et z = a + ib deux nombres complexes a 1, a, b 1, b R). Addition des complexes : z 1 + z = a 1 + ib 1 ) + a + ib ) = a 1 + a ) + ib 1 + b ). Autrement dit, on ajoute entre elles les parties réelles, et les parties imaginaires. Soustraction des complexes : z 1 z = a 1 + ib 1 ) a + ib ) = a 1 a ) + ib 1 b ). Autrement dit, on soustrait entre elles les parties réelles, et les parties imaginaires. Multiplication des complexes : z 1 z = a 1 a b 1 b ) + ia 1 b + b 1 a ). Autrement dit, on calcule comme dans R en utilisant en plus la règle de calcul i = 1. Quotient de deux complexes : a 1 ib 1 ) = = z 1 a 1 + ib 1 a 1 + ib 1 ) a 1 ib 1 ) = a 1 ib 1 a 1 +, b 1 z 1 = a 1 + ib 1 = a 1 + ib 1 ) a ib ) z a + ib a + ib ) a ib ) = a 1 + ib 1 ) a ib ) a +. b L idée est de faire disparaitre les i au dénominateur en multipliant le numérateur et le dénominateur par la quantité conjuguée. Exemples : 1 + i) + + 3i) = 1 + )) + i + 3) = 1 + 5i. 1 + i) + 3i) = 1 )) + i 3) = 3 i. 1+i) +i) = 1 )+1 i+i) )+i) i = +i 4i+i = +i 4i = 4 3i i) = 3i 3i) + 3i) = + 3i + 3 = + 3i = i. i 4 + 3i = i)4 3i) 4 + 3i)4 3i) 8 + 6i 4i + 3i 8 + 6i 4i i = = = = i. Pour l inverse et le quotient, on a fait intervenir une quantité, appelée quantité conjuguée. Donnons une définition précise de cette opération sur les complexes.

4 .3 La conjugaison Soit z = a + ib C. On appelle conjugué de z le nombre complexe noté z et défini par z = a ib. Exemple : 3 + i = 3 i, i = i et 6 = 6. Propriété Soit z et z deux nombres complexes. On a les propriétés suivantes : i) z = z, ii) z + z = z + z, iii) z z = z z, iv) zz = z z, ) 1 v) si z 0, = 1 z z, z ) vi) si z 0, z = z z, vii) pour tout n N, z n ) = z n, viii) si z = a + ib, avec a, b réels, alors on a zz = a + b R +. Démonstration. La démonstration a été faite en classe. Voir le cours manuscrit..4 Le plan complexe, la notion d affixe Dans cette partie, on munit le plan d un repère orthonormé O; e 1, e ). Nous allons alors associer à un nombre complexe z un point M du plan. On parlera alors du point M d affixe z. Activité Soit z = a + ib un nombre complexe. On associe à z le point Mz) du plan de coordonnées a, b). On dit que M est d affixe z. Au complexe z, on peut également associer le vecteur uz) de coordonnées l affixe de uz). a b ). On dit aussi que z est Cette association entre l ensemble C et le plan explique l appellation plan complexe pour désigner le plan muni d un repère. Tous les nombres réels sont représentés par des points de l axe des abscisses. Pour cette raison, l axe des abscisses est appelé l axe réel. De manière analogue, tous les imaginaires purs sont représentés par des points sur l axe des ordonnées. C est pour cela que l axe des ordonnées est aussi appelé l axe imaginaire pur.

5 Soit z = a + ib un nombre complexe. On considère M le point d affixe z. Alors M z) est le symétrique de M par rapport à Ox), M z) est le symétrique de M par rapport à O et M z) est le symétrique de M par rapport à Oy). Les points M, M, M et M sont donc les quatre sommets d un rectangle. Si z 1 = a 1 + ib 1 et z = a + ib sont deux complexes, alors d après ce qui précéde, on peut considèrer les deux vecteurs uz 1 ) et uz ). Dans la partie précédente, on a vu comment ajouter, soustraire, multiplier ou diviser deux complexes. On peut se demander comment se traduisent ces opérations en termes d affixes. Autrement dit, quel point ou quel vecteur a pour affixe z 1 + z, z 1 z, z 1 z et z1 z? Pour la somme et la soustraction, la réponse est simple. Le vecteur qui a pour affixe z 1 + z est le vecteur obtenu en sommant les vecteurs uz 1 ) et uz ) : uz 1 + z ) = uz 1 ) + uz ). De même, on a uz 1 z ) = uz 1 ) uz ). Les choses se compliquent en revanche dès qu il s agit de traduire la multiplication et le quotient) en termes d affixes. Pour cela, nous allons introduire une autre façon d écrire les nombres complexes : la forme trigonométrique. Cette écriture est l analogue au niveau des nombres complexes des coordonnées polaires des points du plan. Nous allons expliquer tout cela dans la partie suivante. 3 Ecriture trigonométrique 3.1 Le module d un nombre complexe Commençons tout d abord par définir le module d un nombre complexe : on a déjà vu que pour tout z = a + ib C, la quantité zz = a + b est un réel positif. Soit z = a + ib un nombre complexe, avec a, b R. On appelle module de z, et on note z, la quantité z = a + b. Exemple : Calculons le module de z = + i. Par définition, z = + i = + 1 = = 5. Dans la partie précédente, nous avons défini Mz) un point du plan et uz) un vecteur d affixe z. Intéressons-nous à ce que représente le module de z pour M et u.

6 Propriété Soit z = a + ib un nombre complexe et uz) le vecteur d affixe z. Alors, on a uz) = z = a + b. Si A et B sont deux points du plan d affixe respective z A et z B, alors AB = z B z A. En particulier avec O, l origine du répère et Mz) d affixe z, on a OMz) = z. Démonstration. découle directement : Le premier point est évident par définition de la norme de uz) et le second point en AB = AB = zb z A. Intéressons-nous ensuite aux propriétés du module. Propriété Soit z et z deux complexes. On a les propriétés suivantes : i) z = zz, ii) Si z = a R, alors z = a ; autrement dit, le module d un nombre réel est sa valeur absolue, ceci justifie la notation. iii) z = 0 si et seulement si z = 0, iv) z = z = z = z, v) zz = z z, vi) pour tout n N, z n = z n, vii) si z 0, 1 z = 1 z, viii) si z 0, z z = z z. Démonstration. i) On a déjà vu que zz = a + b = z donc en prenant la racine carrée de chaque membre, on obtient z = zz. ii) Si z = a R, alors par définition, z = a + 0 = a = a, où a est la valeur absolue de a. Les autres points sont laissés en exercice. En général, z + z z + z. En revanche, on a l inégalité triangulaire : z + z z + z.

7 3. Argument d un nombre complexe Les nombres complexes de module 1 sont les affixes des points du cercle de centre O et de rayon 1, appelé cercle trigonométrique. Si z est l affixe de M et z = 1, alors les coordonnées de M dans le repère orthonormé O, e 1, e ) sont de la forme cos θ), sin θ)), où θ est une mesure en radians de l angle Ox, OM ). Par conséquent, nous avons z = cos θ) + isin θ). Plus généralement, si z 0, alors z 0 et on peut considérer le complexe Donc en appliquant ce qui précéde, on peut écrire où θ est une mesure de l angle z = cos θ) + isin θ), z Ox, ) OM avec M le point d affixe z. z z qui est de module 1. Ceci nous amène à poser la définition suivante : Soit z un complexe NON NUL et M le point d affixe z. On appelle argument de z une mesure Ox, en radians) de l angle OM ). On note arg z) toute mesure de cet angle. le nombre complexe 0 n a pas d argument!! L argument d un nombre complexe non nul est défini à un multiple de π près ; autrement dit, on ne devrait par parler de l argument d un nombre complexe mais d un argument. Pourtant, dans la pratique, on commettra cet abus en gardant bien en mémoire cette subtilité. Si θ est un argument de z, alors tout argument θ de z est de la forme θ = θ + kπ, avec k Z. on dit que θ est congru à θ modulo π. On notera θ = θ[π]. Soit z C. Voici quelques exemples remarquables : z R + arg z) = 0 [π], z R arg z) = π [π], z = ib, b > 0 arg z) = π [π], z = ib, b < 0 arg z) = 3π [π].

8 Pour déterminer l argument d un nombre complexe, il faut avoir en tête le cercle trigonométrique : Grâce à ce qui précéde, on a obtenu la forme trigonométrique d un nombre complexe : Soit z un nombre complexe NON NUL. On considère θ un argument de z. L écriture z = z cos θ) + isin θ)) s appelle la forme trigonométrique de z. Un nombre complexe a donc deux manières de s écrire : i) La forme algèbrique z = a + ib ii) La forme trigonométrique z = z cos θ) + isin θ)). Il est important de pouvoir passer d une écriture à l autre. Si z = a+ib = z cos θ) + isin θ)) est un complexe non nul, alors on a les relations suivantes : Et réciproquement, on a z = a + b, cos θ) = a = z cos θ) et b = z sin θ). a b et sin θ) = a + b a + b. Exemple : Déterminons l écriture trigonométrique de z 1 = 1 + i puis de z = 1 + i 3. Pour écrire un complexe sous forme trigonométrique, il faut tout d abord déterminer son module : z 1 = =. Donc z 1 = ) i = π ) π )) cos + isin. 4 4 De manière analogue, on a z = ) = 4 =. Ainsi, ) 1 3 π ) π )) z = + i = cos + isin. 3 3

9 Intéressons-nous ensuite aux propriétés de l argument : Propriété Soit z et z deux nombres complexes non nuls. Alors on a : i) arg z) = arg z) [π], ii) arg zz ) = arg z) + arg z ) [π], iii) arg z n ) = n arg z [π], pour tout n N, iv) arg 1 z ) = arg z) = arg z) [π], v) arg z z ) = arg z) arg z ) [π], vi) arg z) = arg z) + π [π]. Démonstration. i) C est la parité de la fonction cos et l imparité de sin qui fait que arg z) = arg z) [π]. ii) Ecrivons z = z cos θ) + isin θ)) et z = z cos θ ) + isin θ )). Alors zz = z z cos θ) + isin θ)) cos θ ) + isin θ )) = z z cos θ) cos θ ) + icos θ) sin θ ) + isin θ) cos θ ) + i sin θ) sin θ ) ) = z z cos θ) cos θ ) sin θ) sin θ )) + i cos θ) sin θ ) + sin θ) cos θ ))) = z z cos θ + θ ) + isin θ + θ )) Ainsi, on a bien arg zz ) = arg z) + arg z ) [π]. iii) On démontre iii) par récurrence sur n, en utilisant ii). iv) On utilise ensuite que 1 z = z z puis i) pour en déduire que arg ) 1 z = arg z) = arg z) [π]. v) Ce point est une conséquence de ii) et iv). vi) Comme z = 1)z et arg 1) = π [π], on a le résultat cherché en utilisant ii). 3.3 Ecriture exponentielle Pour faciliter les calculs et afin d avoir une forme concise de tout nombre complexe non nul, on pose e iθ = cos θ) + isin θ). Cette notation entraine que tout complexe non nul s écrit z = z e iθ, avec θ un argument de z. Cette écriture est appelée l écriture exponentielle de z. Il faut tout de suite remarquer que pour tout θ R, on a e iθ = 1. On a cos θ) = eiθ + e θ d Euler. et sin θ) = eiθ e iθ. Ces formules sont appelées les formules i

10 Donnons l équivalent de la prop 3. avec la notation exponentielle : Propriété Soit θ, θ R. On a les points suivants : i) e iθ = e iθ, ii) e iθ+θ ) = e iθ e iθ, iii) e iθ) n = e niθ, pour tout n N, Cette formule est appelée la formule de Moivre), 1 iv) e iθ = e iθ, v) eiθ e iθ = e iθ θ ). Démonstration. Cette démonstration est laissée en exercice. 4 Résolution d équation de la forme ax + bx + c = 0 On a vu que l introduction du nombre i était motivée par la résolution de l équation x + 1 = 0 qui n a pas de solution sur R mais qui en possède deux distinctes sur C : i et i. De manière générale, soit a, b, c R, avec a 0. On considère l équation du second degré ax + bx + c = 0. La résolution d une telle équation repose sur la mise sous forme canonique de l équation : ax + bx + c = a x + b a x + c ) [ a = a x b ) ] b 4a + c a [ = a x b ) ] b 4ac = a [ x b ) 4a Dans la dernière ligne, on a noté = b 4ac. On appelle cette quantité le discriminant de l équation. Deux cas de figure se présentent alors suivant le signe de : Si > 0, alors on peut continuer la mise en facteur de ) : ax + bx + c = a x + b ) + 4a ] ) x + b ). Or un produit de facteurs est nuls si et seulement si l un des facteurs au moins est nul. Ainsi l équation ax + bx + c = 0 admet deux solutions réelles distinctes : On peut alors factoriser le trinôme x 1 = b + et x = b. ax + bx + c = ax x 1 )x x ). Si = 0, alors ax + bx + c = a x + b ) et donc l équation admet une unique solution réelle : x 0 = b.

11 On peut factoriser alors factoriser le trinôme ax + bx + c = ax x 0 ). Enfin, si < 0, alors l équation n admet pas de solution réelle. Mais est strictement positif et admet donc une racine carrée réelle. Alors on peut écrire : = i ) En utilisant cela ce qui ressemble beaucoup à la notation introduite par Bombelli), on obtient que [ ax + bx + c = a x + b ) ) ] i = a x + b + i ) x + b i ) On obtient donc deux solutions complexes conjuguées : Et on peut factoriser le trinôme dans C z 1 = b i et z = b + i. az + bz + c = az z 1 )z z ). Exercice résolu Déterminer, dans C, les racines de x 1x 78, c est-à-dire les solutions de l équation x 1x 78 = 0. Solution : Pour cela, il faut calculer le discrimant de l équation : on considère = 1) 4 ) 78) = = 480 < 0. Le discriminant est strictement négatif donc l équation admet deux solutions complexes conjuguées. Plus précisément, on a = 480 = 4i 30 ) donc les solutions sont z 1 = 1 + 4i 30 4 = 3 i 30 et z = 1 4i 30 4 = 3 + i 30. On aurait pu simplifier quelque peu les calculs, on divisant l équation de départ par. On a x 1x 78 = 0 x + 6x + 39 = 0. On continue ensuite de la même manière, en calculant le discriminant de l équation. Cette fois, on trouve = 10 = i 30 ) et au final, on trouve évidemment les mêmes solutions z 1 et z.