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2 MS2_proprietes 2014/3/4 15:52 page 2 #2 PRPRIÉTÉS PUR ÉMNTRER EN GÉMÉTRIE Pour démontrer en géométrie, quelques astuces : commencer par réaliser un schéma représentant la situation de l énoncé ; penser à coder les milieux, les angles droits et à repasser en couleur les droites ou segments parallèles ; parmi les propriétés qui correspondent à la question posée, choisir celle dont la figure de la première colonne s apparente à celle du schéma. Pour rédiger au propre, il suffit de réciter la propriété choisie (comme dans la deuxième colonne) puis vérifier les hypothèses et conclure en adaptant le texte de la troisième colonne avec les lettres de l énoncé. émontrer qu un point est le milieu d un segment PRPRIÉTÉ 1 à PRPRIÉTÉ 6 émontrer que deux droites sont parallèles PRPRIÉTÉ 7 à PRPRIÉTÉ 14 émontrer que deux droites sont perpendiculaires PRPRIÉTÉ 15 à PRPRIÉTÉ 22 émontrer qu un quadrilatère est un parallélogramme PRPRIÉTÉ 23 à PRPRIÉTÉ 29 émontrer qu un quadrilatère est un losange PRPRIÉTÉ 30 à PRPRIÉTÉ 32 émontrer qu un quadrilatère est un rectangle PRPRIÉTÉ 33 à PRPRIÉTÉ 35 émontrer qu un quadrilatère est un carré PRPRIÉTÉ 36 à PRPRIÉTÉ 39 éterminer la mesure d un segment PRPRIÉTÉ 40 à PRPRIÉTÉ 53 éterminer la mesure d un angle PRPRIÉTÉ 54 à PRPRIÉTÉ 62 émontrer avec les droites remarquables du triangle PRPRIÉTÉ 63 à PRPRIÉTÉ 69 2 PRPRIÉTÉS PUR ÉMNTRER EN GÉMÉTRIE

3 MS2_proprietes 2014/3/4 15:52 page 3 #3 PRPRIÉTÉ 1 Si un point, sur un segment, est à égale distance des deux extrémités, alors ce point est le milieu du segment. Ici, [] et =. onc est le milieu de []. est un parallélogramme PRPRIÉTÉ 2 Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses diagonales se coupent en leur milieu. ( est aussi vrai pour les losanges, rectangles et carrés qui sont des parallélogrammes particuliers.) Ici est un onc ses diagonales [] et [] se coupent en leur milieu. et sont symétriques par rapport à PRPRIÉTÉ 3 Si deux points sont symétriques par rapport à un point alors le centre de symétrie est le milieu du segment d extrémités les deux symétriques Ici et sont symétriques par rapport au point. onc est le milieu du segment[ ]. (d) (d) est la médiatrice de[] PRPRIÉTÉ 4 Si une droite est la médiatrice d un segment alors elle coupe ce segment en son milieu. Ici la médiatrice de[] coupe [] en. onc est le milieu de []. () PRPRIÉTÉ 5 Si un triangle est rectangle alors son cercle circonscrit a pour centre le milieu de son hypoténuse. Ici, est un triangle rectangle en. onc le centre de son cercle circonscrit est le milieu de son hypoténuse[]. I J PRPRIÉTÉ 6 Si, dans un triangle, une droite passe par le milieu d un côté et est parallèle à un deuxième côté alors elle passe par le milieu du troisième côté. Ici, dans le triangle, I est le milieu de[] et la parallèle à[] passant par I coupe[] en J. onc J est le milieu du segment[]. (d 1 ) (d 2 ) (d 3 ) PRPRIÉTÉ 7 Si deux droites sont parallèles alors toute droite parallèle à l une est parallèle à l autre. Ici,(d 1 )//(d 2 ) et(d 2 )//(d 3 ). onc (d 1 )//(d 3 ) PRPRIÉTÉS PUR ÉMNTRER EN GÉMÉTRIE3

4 MS2_proprietes 2014/3/4 15:52 page 4 #4 (d 3 ) (d 1 ) (d 2 ) PRPRIÉTÉ 8 Si deux droites sont perpendiculaires à la même droite alors elles sont parallèles entre elles. Ici(d 1 ) (d 3 ) et(d 2 ) (d 3 ). onc (d 1 )//(d 2 ). v u w E G z t y PRPRIÉTÉ 9 Si deux droites coupées par une sécante forment deux angles alternes-internes de même mesure alors elles sont parallèles Ici, les droites(vt) et (uy) sont coupées par la sécante (zw), et les angles vgw et ẑey sont alternes-internes de même mesure donc (vt)//(uy). v u w E G z t y PRPRIÉTÉ 10 Si deux droites coupées par une sécante forment deux angles correspondants de même mesure alors elles sont parallèles Ici, les droites(vt) et (uy) sont coupées par la sécante (zw), et les angles ẑgt et ẑey sont correspondants et de même mesure donc (vt)//(uy). est un parallélogramme PRPRIÉTÉ 11 Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses côtés opposés sont parallèles. ( est aussi vrai pour les losanges, rectangles et carrés qui sont des parallélogrammes particuliers.) Ici, est un onc ()//() et()//(). I J PRPRIÉTÉ 12 Si, dans un triangle, une droite passe par les milieux de deux côtés alors elle est parallèle au troisième côté. Ici, dans le triangle, I est le milieu de [] et J est le milieu de []. onc (I J) est parallèle à (). PRPRIÉTÉ 13 Si deux droites sont symétriques par rapport à un point alors elles sont parallèles. Ici,() et() sont symétriques par rapport à. onc ()//(). 4 PRPRIÉTÉS PUR ÉMNTRER EN GÉMÉTRIE

5 MS2_proprietes 2014/3/4 15:52 page 5 #5 M N PRPRIÉTÉ 14 Réciproque du théorème de Thalès Si les points,, M d une part et les points,, N d autre part sont alignés dans le même ordre et si M = N alors les droites () et(mn) sont parallèles. Ici, les points M,, d une part et les points N,, d autre part sont alignés dans cet ordre. Si, de plus, M = N alors (MN)//(). (d 3 ) (d 1 ) (d 2 ) PRPRIÉTÉ 15 Si deux droites sont parallèles alors toute droite perpendiculaire à l une est perpendiculaire à l autre. Ici, (d 1 )//(d 2 ) et(d 1 ) (d 3 ) onc (d 2 ) (d 3 ) est un losange PRPRIÉTÉ 16 Si un quadrilatère est un losange alors ses diagonales sont perpendiculaires. ( est aussi vrai pour le carré qui est un losange particulier.) Ici, est un losange. onc () () est un rectangle PRPRIÉTÉ 17 Si un quadrilatère est un rectangle alors ses côtés consécutifs sont perpendiculaires. ( est aussi vrai pour le carré qui est un rectangle particulier.) Ici, est un rectangle. onc () (), () (),() () et () (). (d) (d) est la médiatrice de[] PRPRIÉTÉ 18 Si une droite est la médiatrice d un segment alors elle est perpendiculaire à ce segment. Ici,(d) est la médiatrice du segment[]. onc (d) (). () (d) T PRPRIÉTÉ 19 Si une droite est tangente à un cercle en un point alors elle est perpendiculaire au rayon de ce cercle qui a pour extrémité ce point. Ici, la droite(d) est la tangente en T au cercle de centre. onc (d) (T). PRPRIÉTÉS PUR ÉMNTRER EN GÉMÉTRIE5

6 MS2_proprietes 2014/3/4 15:52 page 6 #6 PRPRIÉTÉ 20 Réciproque du théorème de Pythagore : Si, dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés alors le triangle est rectangle et il a ce côté pour hypoténuse. Si dans le triangle, 2 = alors le triangle est rectangle d hypoténuse[]. M PRPRIÉTÉ 21 Si, dans un triangle, la longueur de la médiane relative à un côté est égale à la moitié de la longueur de ce côté alors ce triangle est rectangle et il admet ce côté pour hypoténuse. Ici,[M] est la médiane relative à [] et M = 2. onc est rectangle en. PRPRIÉTÉ 22 Si un triangle est inscrit dans un cercle de diamètre l un de ses côtés alors il est rectangle et il admet ce diamètre pour hypoténuse. Ici, appartient au cercle de diamètre[]. onc est rectangle en. PRPRIÉTÉ 23 Si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles deux à deux alors c est un Ici,()//() et ()//(). onc est un PRPRIÉTÉ 24 Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu alors c est un Ici,[] et[] se coupent en leur milieu. onc, est un PRPRIÉTÉ 25 Si un quadrilatère non croisé a deux côtés opposés parallèles de même longueur alors c est un Ici, est non croisé avec = et ()//(). onc, est un 6 PRPRIÉTÉS PUR ÉMNTRER EN GÉMÉTRIE

7 MS2_proprietes 2014/3/4 15:52 page 7 #7 PRPRIÉTÉ 26 Si un quadrilatère a ses côtés opposés de la même longueur deux à deux alors c est un Ici, = et =. onc, est un PRPRIÉTÉ 27 Si un quadrilatère a ses angles opposés de la même mesure alors c est un Ici, Â = Â et =. onc, est un PRPRIÉTÉ 28 Si un quadrilatère a un centre de symétrie alors c est un Ici, et d une part et et d autre part sont symétriques par rapport à. onc, est un PRPRIÉTÉ 29 Si #» = #» alors est un Ici, #» = #». onc, est un PRPRIÉTÉ 30 Si un quadrilatère a ses quatre côtés de même longueur alors c est un losange. Ici, = = =. onc est un losange. est un parallélogramme PRPRIÉTÉ 31 Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires alors c est un losange. Ici, est un parallélogramme et () (). onc est un losange. est un parallélogramme PRPRIÉTÉ 32 Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de la même longueur alors c est un losange. Ici, est un parallélogramme avec =. onc est un losange. PRPRIÉTÉS PUR ÉMNTRER EN GÉMÉTRIE7

8 MS2_proprietes 2014/3/4 15:52 page 8 #8 PRPRIÉTÉ 33 Si un quadrilatère possède trois angles droits alors c est un rectangle. Ici,() (), () () et() (). onc est un rectangle. est un parallélogramme PRPRIÉTÉ 34 Si un parallélogramme a ses diagonales de la même longueur alors c est un rectangle. Ici, est un parallélogramme avec =. onc est un rectangle. est un parallélogramme PRPRIÉTÉ 35 Si un parallélogramme possède deux côtés consécutifs perpendiculaires alors c est un rectangle. Ici, est un parallélogramme avec () (). onc est un rectangle. PRPRIÉTÉ 36 Si un rectangle possède deux côtés consécutifs de même longueur alors c est un carré. est un rectangle Ici, est un rectangle avec =. onc est un carré. est un losange PRPRIÉTÉ 37 Si un losange possède deux côtés consécutifs perpendiculaires alors c est un carré. Ici, est un losange avec () (). onc est un carré. est un rectangle PRPRIÉTÉ 38 Si un rectangle a ses diagonales perpendiculaires alors c est un carré. Ici, est un rectangle avec () (). onc est un carré. est un losange PRPRIÉTÉ 39 Si un losange a ses diagonales de même longueur alors c est un carré. Ici, est un losange avec =. onc est un carré. 8 PRPRIÉTÉS PUR ÉMNTRER EN GÉMÉTRIE

9 MS2_proprietes 2014/3/4 15:52 page 9 #9 est le milieu de[ ] PRPRIÉTÉ 40 Si un point est le milieu d un segment alors sa distance aux extrémités du segment est la moitié de la mesure du segment. Ici, est le milieu de[ ]. onc = = 2. PRPRIÉTÉ 41 Si un triangle est isocèle alors il a deux côtés de même longueur. Ici, est isocèle en. onc =. est équilatéral PRPRIÉTÉ 42 Si un triangle est équilatéral alors il a tous ses côtés de la même longueur. Ici, est équilatéral. onc = =. est un parallélogramme PRPRIÉTÉ 43 Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses côtés opposés ont la même longueur. ( est également vrai pour les rectangles, les losanges et les carrés qui sont des parallélogrammes particuliers.) Ici, est un onc = et =. est un losange PRPRIÉTÉ 44 Si un quadrilatère est un losange alors tous ses côtés sont de la même longueur. ( est également vrai pour les carrés qui sont des losanges particuliers.) Ici, est un losange. onc = = =. est un rectangle PRPRIÉTÉ 45 Si un quadrilatère est un rectangle alors ses diagonales ont la même longueur. ( est également vrai pour les carrés qui sont des rectangles particuliers.) Ici, est un rectangle. onc =. PRPRIÉTÉ 46 Si deux points appartiennent à un cercle alors ils sont équidistants du centre de ce cercle. Ici, et appartiennent à un cercle de centre. onc =. PRPRIÉTÉS PUR ÉMNTRER EN GÉMÉTRIE9

10 MS2_proprietes 2014/3/4 15:52 page 10 #10 M PRPRIÉTÉ 47 Si un point appartient à la mé- Ici, M appartient à la diatrice d un segment alors il est équidistant des extrémités de ce segment. médiatrice de []. onc M = M. x y PRPRIÉTÉ 48 Si un point appartient à la bissectrice d un angle alors il est situé à la même distance des côtés de cet angle. Ici, appartient à la bissectrice de xy,() () et () (). onc =. I J PRPRIÉTÉ 49 Si, dans un triangle, un segment joint les milieux de deux côtés alors sa longueur est égale à la moitié de celle du troisième côté. Ici, dans le triangle, I est le milieu de [] et J est le milieu de []. onc, IJ = 2. H K PRPRIÉTÉ 50 Théorème de Thalès : Ici, H (EF), K (EG) et E Si M (), N () et()//(mn) (HK)//(GF). G F alors M = N = MN. onc EF EH = EG EK = GF HK. PRPRIÉTÉ 51 Théorème de Pythagore : Si un triangle est rectangle alors le carré de la longueur de l hypoténuse est égal à la somme des Ici, est rectangle en. onc, 2 = carrés des longueurs des deux autres côtés. M PRPRIÉTÉ 52 Si un triangle est rectangle alors la médiane issue de l angle droit mesure la Ici, est rectangle en et M est le milieu de []. moitié de l hypoténuse. onc M = 2 figure centre gravité PRPRIÉTÉ 53 ans un triangle, le centre de gravité se situe au 2 tiers des médianes en partant du sommet Ici, G est le centre de gravité du triangle et [ ] en est une médiane. onc G = PRPRIÉTÉS PUR ÉMNTRER EN GÉMÉTRIE

11 MS2_proprietes 2014/3/4 15:52 page 11 #11 est un parallélogramme PRPRIÉTÉ 54 Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses angles opposés ont la même mesure. ( est également vrai pour les losanges, les rectangles et les carrés qui sont des parallélogrammes particuliers.) Ici, est un onc = et  = Â. PRPRIÉTÉ 55 ans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180. Ici, est un triangle. onc Â+ +Ĉ = 180. PRPRIÉTÉ 56 Si un triangle est rectangle alors ses angles aigus sont complémentaires. Ici, est rectangle en. onc +Ĉ = 90 PRPRIÉTÉ 57 Si un triangle est isocèle alors ses angles à la base ont la même mesure. Ici, est isocèle en. onc  =. PRPRIÉTÉ 58 alors ses angles mesurent 60. Si un triangle est équilatéral Ici, est équilatéral. onc  = = Ĉ = 60. z x y t PRPRIÉTÉ 59 Si deux angles sont opposés par le sommet alors ils ont la même mesure. Ici, xz et ŷt sont opposés par le sommet. onc, xz = ŷt. x y [) est la bissectrice de l angle xy PRPRIÉTÉ 60 Si une droite est la bissectrice d un angle alors elle partage l angle en deux angles adjacents de même mesure. Ici,[) est la bissectrice de l angle xy. onc x = y = xy 2. PRPRIÉTÉS PUR ÉMNTRER EN GÉMÉTRIE11

12 MS2_proprietes 2014/3/4 15:52 page 12 #12 PRPRIÉTÉ 61 Si deux angles sont inscrits dans un même cercle et s ils interceptent le même arc de cercle alors ils ont la même mesure. Ici, les angles inscrits  et  interceptent le même arc. onc,  = Â. PRPRIÉTÉ 62 Si un angle inscrit dans un cercle et un angle au centre interceptent le même arc de cercle, alors l angle au centre mesure le double de l angle inscrit. Ici, l angle inscrit  et l angle au centre  interceptent le même arc. onc, 2 = Â. (d) PRPRIÉTÉ 63 Si deux points sont symé- Ici, M et M sont symétriques M M triques par rapport à une droite alors cette droite est la médiatrice du segment ayant pour extrémités ces deux points. par rapport à la droite(d). onc,(d) est la médiatrice de [MM ]. PRPRIÉTÉ 64 Si un point est équidistant des Ici, =. extrémités d un segment alors il est situé sur la médiatrice de ce segment. onc appartient à la médiatrice de []. PRPRIÉTÉ 65 Si, dans un triangle, une droite Ici,() (). passe par un sommet et est perpendiculaire au onc () est la hauteur issue côté opposé alors c est une hauteur du triangle. de du triangle PRPRIÉTÉ 66 Si, dans un triangle, une droite passe par un sommet et par le milieu du côté opposé alors c est une médiane du triangle. Ici, est le milieu de []. onc, [] est la médiane relative à [] du triangle. 12 PRPRIÉTÉS PUR ÉMNTRER EN GÉMÉTRIE

13 MS2_proprietes 2014/3/4 15:52 page 13 #13 Ici, PRPRIÉTÉ 67 Si une droite partage un angle en deux angles égaux alors cette droite est la bis- la droite() partage l angle Ĉ en deux angles égaux. sectrice de l angle. onc () est la bissectrice de l angle Ĉ. x y PRPRIÉTÉ 68 Si un point est situé à la même distance des côtés d un angle alors il appartient à la bissectrice de cet angle. Ici, =. onc, [) est la bissectrice de l angle xy Ici, est isocèle en, M est le milieu de [] et PRPRIÉTÉ 69 Si un triangle est isocèle, alors (M) (). la médiane, la hauteur, la bissectrice issues du sommet principal et la médiatrice de la base sont onc(m) est : la médiane relative à [], M confondues la médiatrice de [], la hauteur issue de, la bissectrice de Â. PRPRIÉTÉS PUR ÉMNTRER EN GÉMÉTRIE13