Analyse de structures de données et d algorithmes

Uiversité Paris 3 Istitut Galilée Master Math-Ifo Aalyse de structures de doées et d algorithmes Polycopié 2006-2007 Christia Lavault

Table des matières Combiatoire et déombremet. Permutatios, arragemets et combiaisos..........................2 Applicatios au déombremet d esembles fiis....................... 5.2. Rappels.......................................... 5.2.2 Formules d exclusio-iclusio et applicatios..................... 5.3 Maipulatio de suites et de sommes.............................. 7.3. Suites, sommes et opérateurs.............................. 7.3.2 Méthodes usuelles de sommatio............................ 8.3.3 Maipulatio de sommes multiples........................... 0 2 Relatios de récurrece 3 2. Rappels et gééralités...................................... 3 2.. Exemples de relatios de récurrece.......................... 3 2..2 Classificatio....................................... 4 2.2 Equatios de récurrece liéaires................................ 5 2.2. Récurreces liéaires homogèes à coefficiets costats............... 5 2.2.2 Récurreces liéaires géérales à coefficiets costats................ 8 2.2.3 Récurreces liéaires à coefficiets variables...................... 2 2.3 Equatios de récurrece o liéaires.............................. 22 2.3. Récurreces de partitio et chagemet de variable.................. 22 2.3.2 Trasformatio du domaie............................... 23 3 Séries géératrices et applicatios 29 3. Séries géératrices........................................ 29 3.. L aeau des séries formelles.............................. 29 3..2 Développemet e série au voisiage de l origie................... 30 3..3 Foctios géératrices ordiaires et expoetielles.................. 3 3.2 Développemet e série des fractios ratioelles....................... 38 3.2. Décompositio e élémets simples........................... 38 3.2.2 Développemet au voisiage de l origie........................ 38 3.2.3 Cas de racies multiples................................. 40 3.3 Applicatios aux équatios de récurrece........................... 4 3.3. Récurreces liéaires homogèes à cœfficiets costats............... 4 3.3.2 Récurreces liéaires géérales à cœfficiets costats................ 45 3.3.3 Récurreces liéaires à cœfficiets variables...................... 46 3.3.4 Récurreces complètes.................................. 47 3.4 Aalyse e moyee d algorithmes............................... 49 3.4. Gééralités........................................ 49 i

ii TABLE DES MATIÈRES 3.4.2 Utilisatio des séries géératrices............................ 49 4 Comportemets asymptotiques 5 4. Foctios domiées, égligeables, équivaletes......................... 5 4.2 Critères de comportemet asymptotique............................ 53 4.2. Coditios suffisates.................................. 53 4.2.2 Échelle de comparaiso et développemet asymptotique............... 54 4.3 Approximatios asymptotiques................................. 56 4.3. Ecadremets de sommes partielles........................... 56 4.4 Asymptotique des séries géératrices.............................. 57 4.4. Approximatios asymptotiques des récurreces liéaires............... 57 4.4.2 Calcul direct du terme asymptotique domiat.................... 59 4.4.3 Méthode géérale pour les fractios ratioelles.................... 60 4.4.4 Bores du rayo de covergece............................ 6 4.4.5 Méthode géérale d aalyse asymptotique des coefficiets.............. 6 4.5 Formule d Euler-Maclauri................................... 62 4.5. Formule sommatoire d Euler-Maclauri et applicatios................ 62 4.5.2 Développemet asymptotique des ombres harmoiques............... 65 4.5.3 Développemet asymptotique complet de la factorielle................ 66 4.6 Approximatios asymptotiques................................. 67 4.6. Développemet asymptotique des ombres de Catala................ 67 4.6.2 Développemets asymptotiques bivariés........................ 68 4.7 Deux méthodes asymptotiques................................. 68 4.7. Le «reboutemet» ou Bootstrappig......................... 68 4.7.2 Méthode de Laplace borer les queues, approcher et étedre........... 69 5 T.D. Combiatoire et déombremet 7 T.D. Combiatoire et déombremet 7 Correctio du T.D. 75 6 T.D. 2 Relatios de récurrece 83 T.D. 2 Relatios de récurrece 83 Correctio du T.D. 2 89 7 T.D. 3 Séries géératrices, asymptotique 99 T.D. 3 Séries géératrices, asymptotique 99 Correctio du T.D. 3 3 A Itégrale de Stieljes 4 B Nombres et foctios spéciaux 43 B. Les ombres de Stirlig..................................... 43 B.. Les ombres de Stirlig de première espèce...................... 43 B..2 Les ombres de Stirlig de secode espèce....................... 43 B..3 les ombres de Stirlig de secode espèce....................... 43

TABLE DES MATIÈRES iii B..4 Les ombres de Bell................................... 43 B..5 Les ombres euléries.................................. 43 B.2 Les ombres et polyômes de Beroulli............................ 43 B.3 La foctio Gamma....................................... 43 B.3. Développemet asymptotique de Γ(z......................... 44 B.3.2 La foctio Gamma troquée γ(z, r.......................... 44 B.4 La foctio zêta de Riema.................................. 44 B.4. Les ombres harmoiques................................ 44 B.4.2 Gééralisatio à la foctio ζ(s............................ 44 B.4.3 Développemet asymptotique de ζ(s......................... 44 B.5 Les séries de Dirichlet...................................... 44 B.6 Les foctios arithmétiques................................... 44 B.6. La foctio totiet d Euler φ(............................ 44 C Exames, Devoirs éocés et corrigés 45 Bibliographie 205

Chapitre Combiatoire et déombremet Das la suite, o étudie des outils et techiques permettat de compter (ou de déombrer des esembles fiis et leurs sous-esembles, si possible sas éumérer tous leurs élémets.. Permutatios, arragemets et combiaisos Défiitio.. Ue permutatio σ d u esemble fii E est ue bijectio de E das E. L esemble des permutatios d u esemble à élémets est oté S et S =! Remarques..2. E idetifiat E et {,..., } [], ue permutatio σ est défiie par ue bijectio [] [] qui détermie u ordre total das E doé par la suite σ(, σ(2,..., σ(. 2. O peut motrer que S =! par iductio, e décomptat le ombre de choix possibles pour σ( das [] (soit, puis, σ( état doé das [], le ombre de choix possibles pour σ(2 das [] \ {σ(} (soit, etc. [Faire ce raisoemet par iductio, i.e. par récurrece.] Défiitio..3 (i U arragemet d ordre (0 d u esemble fii E tel que E = est u sous-esemble totalemet ordoé de E ayat élémets. A désige le ombre d arragemets d ordre (0 d u esemble à élémets. (ii Ue combiaiso d ordre (0 d u esemble fii E tel que E = est u sousesemble de E ayat élémets. ( désige le ombre de combiaisos d ordre (0 d u esemble à élémets ; les ( (0 sot ommés les coefficiets biomiaux. Exemple..4 Soit E = {a, b, c}. (a, b, c, (a, c, b, (b, a, c, (b, c, a, (c, a, b, (c, b, a, sot les 3! = 6 permutatios de E. (a, b, (b, a, (a, c, (c, a, (b, c, (c, b sot les A 2 3 = 6 arragemets d ordre 2 de E. {a, b}, {a, c}, {b, c} sot les ( 3 2 = 3 combiaisos d ordre 2 de E. Remarques..5. Le plus souvet, o ote A = ( ( +, où est appelée la factorielle descedate de à l ordre (0 avec 0 =. Cette otatio permet de simplifier les preuves de bie des idetités sur les (. O ote de même ( + ( +, où 0 = la factorielle motate de à l ordre (0. (Voir l exercice du T.D..

2 COMBINATOIRE ET DÉNOMBREMENT 2. Les combiaisos sot o ordoées, alors que les arragemets sot ordoés [vérifier]. Doc, chaque combiaiso d ordre doe aissace à! arragemets et [vérifier] A = =! (. U arragemet d ordre est caractérisé par ue ijectio ϕ : [] [] et ue combiaiso d ordre est caractérisée par l image d ue ijectio [] []. Comme! ijectios différetes ot la même image, o retrouve l idetité A =! ( [vérifier]. 3. Pour tout N, o a o par défiitio de A, A = = ( = ; 2 o par covetio, 0! =, doc, A = =! et A 0 = 0 = ( ( = 0 = [vérifier]. 4. Comme coséquece de 3, o a efi pour tout, A = =! (! et ( =! =!!(!. O peut résumer simplemet les otios précédetes das le tableau., où la metio avec/sas remise revoie à u modèle d ures utilisé e combiatoire des probabilités. avec répétitio avec remise sas répétitio sas remise avec ordre = ( ( + sas ordre ( + =! ( =! Tab.. Arragemets et combiaisos avec/sas répétitio. Propositio..6 Les coefficiets biomiaux vérifiet les relatios de récurrece suivates ( et etiers positifs (i (ii (iii (iv ( ( ( ( = = = ( ( + ( ( ( = ( pour 0. pour,. pour,. et, pour r C, Z, ( r ( r + = (.

.. PERMUTATIONS, ARRANGEMENTS ET COMBINAISONS 3 Démostratio : (i La relatio (i découle immédiatemet de la défiitio..3, des remarques..5 et du tableau.. (ii Pour prouver (ii, choisissos e E, où E = N, et séparos les ( combiaisos d ordre de E e deux esembles disjoits E et E 2 : E est l esemble des combiaisos de E e coteat pas e : E = ( ; E 2 est l esemble des combiaisos de E qui cotieet e : E 2 = (. Les deux esembles E et E 2 état disjoits, o a bie l idetité (ii. (iii-(iv se démotret par applicatio directe de la défiitio..3 (remarques..5. Remarques..7. À l aide du triagle de Pascal, c est-à-dire la règle de récurrece de l idetité (ii, o peut calculer les coefficiets biomiaux ( successifs. 2. La défiitio des coefficiets biomiaux se gééralise à toute valeur réelle ou complexe de (otée x et tout etier, positif ou égatif (voir l exercice du T.D.., sous la forme [vérifier] ( x x! si N 0 si / N. 3. À partir de cette défiitio gééralisée, les idetité (ii, (iii et (iv de la propositio..6 s étedet aturellemet à tout = z C et Z (avec 0 pour (iii. (Voir l exercice du T.D.. 4. Avec la formule du biôme de la propositio..8 qui suit, les quatre idetités de la propositio..6 sot fodametales ; elles permettet de démotrer la plupart des relatios biomiales avec sommatio et/ou produit des coefficiets, avec des termes supérieurs égatifs, etc. Propositio..8 (Formule du biôme Soit A u aeau, a, b A permutables (i.e. tels que ab = ba et N, alors (a + b = =0 ( a b. Démostratio : Par iductio sur. O pose (B base et (I étape iductive. (B Si = 0, (a + b 0 = ( ( 0 0 =. Si =, a + b = ( 0 a + b. (I Supposos la formule vérifiée à l ordre >, etier quelcoque (hypothèse de récurrece. Alors, e utilisat l égalité (a + b + = (a + b (a + b, o obtiet (a + b + = = ( =0 ( a + + 0 a + b + = ( =0 ( a b + a + b + =0 ( a b + + ( b +. Soit, (a + b + = ( a + + 0 = (( + ( a + b + ( b +.

4 COMBINATOIRE ET DÉNOMBREMENT Comme ( ( + 0 = ( 0 = ( + = ( = (remarques..5 et que ( + ( = + (propositio..6, (ii, o a bie + ( + (a + b + = a + b. =0 Corollaire..9 Soit, N ((i-(ii, puis Z et = z R ou C ((iii-(v, selo les cas. (i (iii (iv (v =0 =p ( = 2. (ii ( p = ( + p + ( ( z + z + + = ( ( s t = ( s + t ( ( = 0. =0 pour, p N (puis = z C. pour z C, Z. pour s, t C, Z. Démostratio : D après la formule du biôme, (i et (ii sot évidetes : =0 ( = ( + = 2 et ( ( = ( = 0. Les relatios (iii et (iv se démotret par iductio sur z etier e utilisat, par exemple, l idetité (ii de la propositio..6 (triagle de Pascal [vérifier]. Elles s étedet, esuite seulemet, à des valeurs réelles ou complexes (voir les exercices et 2 du T.D.. Attetio aux idices et bores de sommatio. Si l o remplace par u ombre réel ou complexe, les relatios (iii, (iv et (v restet vraies. Mais il faut alors compredre chaque sommatio comme ue additio fiie de termes (z peut aussi teir le rôle d ue idétermiée. Pour z C et m N, (iii, par exemple, doit s iterpréter e fait comme la somme ( z + p + =0 ( ( ( z z z m = + + + + p p p ( z m. p + La relatio (v se omme la formule de covolutio de Vadermode. la plupart des idetités fodametales comportat des produits et/ou des sommes de produits de coefficiets biomiaux s e déduiset. Pour s, t, N, la formule de Vadermode peut se prouver par iductio ou, plus directemet, e cosidérat le produit de covolutio des séries géératrices exprimat la relatio foctioelle (+z s (+ z t = (+z s+t. La gééralisatio de la covolutio de Vadermode à s, t C s effectue esuite comme pour (iii et (iv (voir remarque ci-dessus et remarque 3..3.3, chapitre 3. Remarques..0. L idetité (i est aussi ue coséquece immédiate de la défiitio du ombre de combiaisos d ordre (0 d u esemble à élémets.

.2. APPLICATIONS AU DÉNOMBREMENT D ENSEMBLES FINIS 5 2. Par ailleurs, o peut aussi gééraliser la formule du biôme (propositio..8 aux valeurs réelles ou complexes de l exposat. Grâce au théorème de Taylor, (a + b α (α R s écrit comme u développemet e série au voisiage de l origie (i.e. pour b/a <. Aisi, pour z C et z < [vérifier], ( + z α = 0 ( α z, où ( α α!. Sous cette forme gééralisée, elle se omme la formule de Newto. (Voir l exercice 2.3 du T.D. et le 3...3 du chapitre 3..2 Applicatios au déombremet d esembles fiis.2. Rappels Défiitio.2. Soit E u esemble fii et A E. La foctio caractéristique de A est la foctio χ A : E {0, } défiie par { si x A χ A (x 0 sio. Exemple.2.2 Pour tout sous-esemble A de E, A = e E χ A(e. E effet, cosidéros χ A comme ue foctio à valeurs das {0, } N et o das {0, } B (où B est l algèbre de Boole à deux élémets 0 et. Puisque e A χ A (e =, alors χ A (e = = A. e E e A.2.2 Formules d exclusio-iclusio et applicatios Propositio.2.3 Soit A et B deux esembles de cardial A = et B = m. (i Le ombre d applicatios de A das B est m. (ii Le ombre d ijectios de A das B est A m = m =! ( m si m et 0 sio. (iii Le ombre de surjectios de A das B est S(, m = 0 si < m! si = m 0 j m ( m j( m j j si > m. Démostratio : Attetio aux rôles respectifs de et m, e particulier e (ii. (i Il y a m choix possibles pour l image de chaque élémet a,..., a de A, et doc u ombre de choix total (d applicatios de m m m = m } {{ }. fois [À titre d exercice, o pourra faire la démostratio par iductio sur.] (ii Voir la remarque..5.2. (Attetio! m joue ici le rôle de et celui de. (iii Les deux premiers cas ( m sot triviaux [Pourquoi?] ; le seul cas demadat ue preuve est celui où > m. O peut raisoer, par exemple, sur u modèle d ures : le ombre de surjectios S(, m correspod au

6 COMBINATOIRE ET DÉNOMBREMENT ombre de répartitios de boules das exactemet m ures o vides. Le calcul peut se faire directemet ou bie par l itermédiaire d ue relatio de récurrece vérifiée par les S(, m. O obtiet aisi S(, m = 0 j m ( j ( m j (m j = 0 j m ( m j ( m j (Voir l exercice 9 du T.D. 2 pour ue démostratio combiatoire et l exercice 8 du T.D. 3 pour ue résolutio aalytique directe. Défiitio.2.4 Ue combiaiso (avec répétitios d ordre (0 d u esemble E à élémets est u esemble o ordoé de élémets qui appartieet tous à E, mais dot certais peuvet être répétés u ombre quelcoque de fois. U esemble dot certais élémets peuvet être répétés u ombre quelcoque de fois est appelé u multi-esemble. La différece etre ue combiaiso et u arragemet avec répétitios est la suivate. La combiaiso est u multi-esemble o ordoé d élémets, évetuellemet répétés, tadis que l arragemet est ue suite ordoée (Voir le tableau.. Exemple.2.5 Das {a, b, c}, les arragemets disticts d ordre 3 aba et baa correspodet à la même combiaiso d ordre 3 : {a, a, b}. Deux combiaisos peuvet différer soit par leurs élémets, soit par le ombre de répétitios, soit par les deux. Ue combiaiso avec répétitio d ordre d élémets de E = [] cotiedra par exemple occurreces de i, 2 occurreces de i 2,..., p occurreces de i p, avec i j pour tout j, et + + p =. ( Théorème.2.6 Le ombre de partitios d u esemble E à élémets e p classes A,,..., p..., A p ayat chacue i élémets, avec! i =, est! p!. Si i p i = et i N, o ote Sio, o ote par covetio ( i p,..., p ( = 0.,..., p =!! p!. j. Démostratio : Posos A =,..., A p = p ( i N et supposos que i p i =. E supposat A fixé, les élémets de A peuvet être choisis das E de ( faços distictes. Les 2 élémets de A 2 = E \ A peuvet esuite être choisis das E de ( 2 faços distictes, et aisi de suite. Peser à u esemble E coteat + + p = élémets, d où l o effectue p tirages sas remise de i élémet chacu : le premier tirage comporte élémets, le secod 2 élémets, etc., jusqu au p-ième et derier tirage qui comporte p élémets. E raisoat aisi par iductio sur p, o a par coséquet [vérifier]

.3. MANIPULATION DE SUITES ET DE SOMMES 7 (,..., p = ( ( ( 2 2 3 ( p p = =!!(! (! 2!( 2! ( 2! 3!( 2 3! p! p!!! p!. Corollaire.2.7 Sous les hypothèses du théorème.2.6, (,..., p P p i= i= = p, avec i 0 ( i p. Propositio.2.8 (Formule du multiôme Soit A u aeau et a, a 2,..., a p A permutables (i.e. tels que a i a j = a j a i, pour tout les etiers i < j p et N. Alors, pour i 0 ( i p, ( (a + a 2 + + a p = (a (a 2 2 (a p p.,..., p P p i= i= ( Les ombres sot appelés les coefficiets multiomiaux.,..., p Exemple.2.9 (x + y + z 4 = = 0 p,q,r 4 p+q+r=4 0 p,q,r 4 p+q+r=4 ( p + q + r p, q, r x p y q z r = ( ( p + q + r q + r q + r r 0 p,q,r 4 p+q+r=4 x p y q z r. (p + q + r! p! q! r! x p y q z r Le triôme (x + y + z 4 est doc u polyôme de degré 4, symétrique e ses trois variables. [Vérifier cette propriété e le calculat par la formule du multiôme, puis e effectuat le produit (x + y + z 4 = (x + y + z 2 (x + y + z 2.].3 Maipulatio de suites et de sommes.3. Suites, sommes et opérateurs Défiitio.3. Soit I N. Ue suite est ue applicatio u : I C. Par covetio, o peut la prologer e ue applicatio d ue partie de Z das C e posat u = 0 si < 0 (ou bie < 0 Z si l o a besoi de faire commecer les suites à 0 0. La suite est otée u ou (u I et so -ième terme u. Quatre opérateurs se défiisset sur ue suite u.

8 COMBINATOIRE ET DÉNOMBREMENT. E, l opérateur prédécesseur, est défiie par (Eu u et (Eu 0 0 ; 2. l opérateur produit ( est défiie par (u v u v et (u v 0 u 0 v 0 ; 3., l opérateur différece, est défiie par ( u u u = ( (Id Eu u 0, = Id E. 0 4. Σ, l opérateur de sommatio, est défiie par (Σu i=0 u i. ( (Id Eu et, comme ( u 0 = Das l espace vectoriel ormé E = (C,, ue série est u couple costitué d ue suite (u ( I d élémets de E et de la suite S = 0 i u i, dite somme partielle de la série. Remarques.3.2 O pourra vérifier que est liéaire (i.e. pour tout λ, µ C, (λu + µv = λ u + µ v et motrer les trois égalités ci-dessous (coséqueces immédiates des défiitios des trois opérateurs. i (u v = ( u v + (Eu ( v, ii Σ [ = Σ ] = Id, [ ] iii Σ ( u v = u v Σ (Eu ( v ( sommatio par parties das le discret. (Voir l exercice 6 du T.D., où l opérateur est défii différemmet. Exemple.3.3. Soit fixé, posos u = (, alors, ( u = (. [Pourquoi?] 2. Récurrece fodametale des arragemets (cf. remarque..6 et propositio..5, exercices du T.D...3.2 Méthodes usuelles de sommatio La maipulatio des sommes fiies, selo la défiitio.3., est extrêmemet usitée mais écessite l emploi de quelques techiques fodametales..3.2.2 Sommatio par parties das le discret L évaluatio de ombreuses sommes fiies, se prête bie à l utilisatio de la techique dite de sommatio par parties (das le discret aisi ommée par aalogie étroite avec la méthode classique d itégratio par partie. Exemple.3.4 Évaluatio de l idetité harmoique La suite harmoique H est défiie par H /i (Cette otatio est systématiquemet utilisée ; H est alors ommé le -ième ombre i harmoique. Pour tout > 0, o a ( H = /. Effectuos ue sommatio par parties avec u = + et v = H. Sachat que ( u = pour tout, o obtiet [vérifier] ( ( ΣH = Σ ( u H = u H Σ (Eu (H, d où (ΣH = ( + H (Σ / = ( + H et doc H = ( + H. 0 Cette formule se omme l idetité harmoique (cf. exercice 6 du T.D..

.3. MANIPULATION DE SUITES ET DE SOMMES 9.3.2.2 Sommatio d Abel Cosidéros la somme fiie du produit de deux termes positifs E posat A 0 = 0 et A = j a b = = a j, o obtiet la relatio (A A b = A (b b + + A b. a b. A b A b + E fait, la Sommatio d Abel se ramèe à ue sommatio par parties das le discret. Das ue itégrale de Stieljes, elle pred la simple forme d ue itégratio par partie classique (voir le chapitre 4, partie 4.5., théorèmes 4.5. et 4.5.3, sur la formule sommatoire d Euler-Maclauri. Exemple.3.5 Évaluatio de la somme 0 ( H. m Par défiitio, H i /i, le -ième ombre harmoique. Tout d abord, remarquos que, et m (m fixé sot ici supposés etiers et positifs. Comme ( 0 =, le cas où m = 0 se ramèe à l idetité harmoique, précédemmet calculée à l exemple.3.3. Posos A = H et A 0 = H 0 = 0, doc a = / et b = ( m. O peut appliquer la Sommatio d Abel. a b = ( = (( ( ( + H + H. m m m m Le développemet de l idetité s effectue esuite par applicatios ( successives des idetités (ii et (iii de la propositio..6 (pour commecer, par exemple, ( m = ( m m et ( m + ( m = m. Doc, ( = ( ( H + H, m m m m = ce qui permet de faire apparaître la somme cherchée. Cette idetité est valide pour m. Or o sait que pour m =, o retrouve l idetité harmoique. Doc, e posat m = m + et e factorisat, o obtiet la somme cherchée pour tout etier fixé m 0. (L exercice 6 du T.D. offre u autre exemple d applicatio de la Sommatio d Abel. C est l ue des (très ombreuses démostratios de l idetité harmoique..3.2.3 Sommatio par perturbatio Cosidéros la somme fiie S = a. La perturbatio de cette somme cosiste à faire apparaître 0 S + de deux maière distictes e isolat so derier terme a + et so premier terme a 0. La relatio s obtiet comme suit, S + a + = a = a 0 + 0 + = a 0 + 0 a +. + a

0 COMBINATOIRE ET DÉNOMBREMENT S il est possible d exprimer cette derière somme comme ue foctio simple de S, l équatio obteue permet d obteir rapidemet S comme solutio. La méthode de sommatio par perturbatio foctioe parfaitemet das les cas les plus courats. Mais l expressio de la somme e foctio de S est cepedat i toujours possible, i toujours évidete (cf. l exercice 6 du T.D., à ouveau, pour ue autre démostatio de l idetité harmoique par perturbatio. Exemple.3.6 Soit S = αx (α et x réels 0. Par applicatio directe de la relatio de 0 perturbatio sur S, o a immédiatemet S + αx + = αx 0 + 0 αx +. Or 0 Par coséquet, S + αx + = αx S et, pour x, o retrouve la relatio bie coue S = 0 (Si x =, l expressio iitiale doe S = α( +..3.3 Maipulatio de sommes multiples αx = α x+ x. αx + = x S. Les termes d ue somme fiie peuvet se oter à l aide de deux ou plusieurs idices. C est aisi le cas de la somme a i b j = a b + a b 2 + a b 3 + a 2 b + a 2 b 2 + a 2 b 3 + a 3 b + a 3 b 2 + a 3 b 3. i,j 3 Les règles de maipulatio de ces sommes multiples e sot pas très compliquées, mais il faut u peu de rigueur das leur appplicatio. Exemple.3.7 Idetité de Lagrage (a j b a b j 2 = a 2 b 2 j< 2 a b. Le calcul direct du premier membre est fastidieux. Notos doc S (a j b a b j 2 et S j< <j (a b j a j b 2. Les idices j et jouet u rôle symétrique. Par coséquet, o a évidemmet S = S [vérifier]. Au lieu de S, calculos alors (beaucoup plus rapidemet la valeur de 2S = S + S. 2S = (a j b a b j 2 = (a j b a b j 2 (a j b a b j 2. j j, j= Comme la secode somme du membre de droite est ulle, la somme restate doe 2S = a 2 jb 2 + a 2 b 2 j 2 a j b a b j = j, j j, a 2 jb 2 + j, j a 2 b 2 j 2 j a j b a b j

.3. MANIPULATION DE SUITES ET DE SOMMES 2S = 2 a 2 b 2 2 2 a b Noter que l idetité de Lagrage offre immédiatemet e prime l iégalité de Cauchy [Pourquoi?], 2 a b a 2 b 2.

Chapitre 2 Relatios de récurrece Ce chapitre traite des relatios et équatios de récurrece. Il développe e particulier quelques méthodes élémetaires de résolutio d équatios récurretes simples. 2. Rappels et gééralités 2.. Exemples de relatios de récurrece 2... Suite de Fiboacci La suite de Fiboacci (F ( N, où F est le -ième ombre de Fiboacci, est défiie par la relatio de récurrece F = F + F 2 si 2, avec F 0 = 0 et F =. 2...2 Nombre d arbres biaires à œuds Défiitio 2.. U arbre biaire B = r, B g, B d étiqueté par l alphabet {r} (la racie de B est défii récursivemet par base (B : l arbre vide est u arbre biaire, i.e. B ; étape iductive (I : si B g et B d sot des arbres biaires, alors B = r, B g, B d est aussi u arbre biaire. O défiit de la même maière le ombre (B de œuds d u arbre biaire à partir de l arbre vide et de B = r, B g, B d : (B a aucu œud et ( = 0 ; (I (B = + (B g + (B d. Lemme 2..2 Le ombre b d arbres biaires ayat œuds est b = b b. =0 Démostratio : (Par iductio sur (B b 0 = (seul l arbre vide a aucu œud. (I L égalité du lemme 2..2 proviet du fait qu u arbre biaire ayat > 0 œuds e peut s obteir que ssi o cosidère tous les arbres biaires possibles de la défiitio 2.. ; i.e., de la forme B = r, B g, B d, où B g possède œuds et B d possède ( œuds (avec 0 [Pourquoi?]. Il existe doc b possibilités pour B g et b choix possibles pour B d, soit b b choix possibles pour B, et ce, pour tout = 0,,...,.

4 RELATIONS DE RÉCURRENCE 2...3 Recherche dichotomique La recherche dichotomique de la première occurrece d u élémet d ue liste ordoée L de logueur cosiste à scider L e deux sous-listes de logueur /2 et /2, puis à effectuer ue recherche récursive. Das le pire des cas, la complexité e temps (i.e. le ombre de comparaisos à effectuer, T max (, vérifie l équatio de récurrece 2..2 Classificatio T max ( = T max ( /2 + si et T max (0 =. Les équatios de récurrece se présetet toutes sous la forme géérale ( u = f {u 0, u,..., u }, J N, (2. avec des coditios iitiales permettat de démarrer la récurrece. Typiquemet, les variable u i de (2. sot des valeurs priset par ue suite, c est-à-dire ue foctio de N ou de Z das C (voir le chapitre, défiitio.3.. Ces relatios se ommet aussi équatios aux différeces ; ce sot les équivalets discrets des équatios différetielles. Das la suite, aussi bie pour les équatios de récurrece liéaires à coefficiets costats ou variables ( 2.2 que pour les récurreces o liéaires ( 2.3, ous ous boros souvet au corps C des complexes. Les coefficiets costats sot doc a priori des complexes o uls et les coefficiets variables des foctios à valeurs das C. E effet, C est u corps algébriquemet clos, i.e. tout polyôme o costat à ue idétermiée de C[X] possède au mois ue racie das C (théorème de d Alembert-Gauss. Autremet dit, tout polyôme à ue idétermiée et de degré d de C[X] se décompose e u produit uique de d polyômes de degré [Pourquoi?]. Les diverses méthodes de résolutio s appliquet doc aturellemet das C sauf pour certaies récurreces o liéaires. Les équatios de récurrece se classet selo trois critères (et sous-critères.. La foctio f peut être ue combiaiso liéaire, qui peut avoir des coefficiets costats (exemples et 3 ci-dessus ou variables ; la récurrece est alors liéaire ; u polyôme (exemple 2 ci-dessus ; la récurrece est polyomiale. 2. Caractérisatio de l esemble des u p utiles pour calculer u (J est l esemble des idices de ces u p. Si l o a besoi de u,..., u, J { } et la récurrece est dite d ordre (exemples et 3 ci-dessus, respectivemet d ordre 2 et ; Si l o a besoi de u 0,..., u, J = { } et o dit que la récurrece est complète (exemple 2 ci-dessus ; Si l o a besoi que de u /a, avec a N costat (a >, J = { a } et la récurrece est dite de partitio (exemple 3 ci-dessus : diviser pour règer. 3. La foctio f comporte ou o des paramètres et variables autres que les u i, i <. Si f e déped que des u i, i <, la récurrece est homogèe (exemples et 2 ci-dessus ; Si f déped d autres ( termes que les u i, la récurrece est o homogèe, le plus souvet de la forme u Soit v = f = f ( {v p p < } {u p p < } + g(, où g( est le secod membre (exemple 3 ci-dessus., J N, ue équatio de récurrece. Résoudre cette équatio cosiste à trouver ue suite (u ( N telle que pour tout J, u =

2.2. EQUATIONS DE RÉCURRENCE LINÉAIRES 5 ( f {u p p < }. O s itéressera par ailleurs aux solutios qui vérifiet des coditios iitiales doées par u esemble de valeurs {a i ( I u = a. i I N}. Ue suite vérifie les coditios iitiales e questio si ( Propositio 2..3 Soit v = f {v p p < } ue équatio de récurrece. Supposos f partout défiie. Alors l équatio de récurrece admet au mois ue solutio u qui est défiie de maière uique ssi (i f est ue récurrece complète et u 0 est doée ; (ii f est ue récurrece d ordre et u 0,..., u sot doées ( valeurs iitiales sot fixées ; (iii f est ue récurrece de partitio de la forme v = f(v /a et tous les u j sot doés, das le cas où j < a, ou das celui où j a avec a e divisat pas j. Démostratio : La preuve de l existece d au mois ue solutio u à l équatio de récurrece v peut s effectuer par iductio das les trois cas (i, (ii et (iii. L uicité se démotre simplemet das les cas (i et (ii [Commet?], mais elle est plus difficile à prouver das le cas (iii [Pourquoi?]. E combiat les clauses (i et (ii, o obtiet des coditios écessaires et suffisates d existece et d uicité des solutios pour les récurreces d ordre et les récurreces complètes. Remarques 2..4 La coditio d uicité de la solutio des récurreces de partitio est assez cotraigate. Das la pratique, o l obtiet soit e restreigat le domaie à ue partie de N seulemet, soit e aalysat le comportemet asymptotique de la solutio quad (sous la forme d u équivalet, d u ordre de gradeur e O( ou e Θ(, etc. Das ce derier cas, il faut évidemmet faire des hypothèses plus restrictives sur les foctios f(u /a et g(, secod membre g( de la récurrece de partitio de f : sa foctio de coût. Ces hypothèses sot heureusemet presque toujours vérifiées par les foctios de complexité des algorithmes ; les exceptios sot rarissimes (voir la propositio 2.3. et les chapitres 3 et 4 pour l aalyse de complexité d algorithmes classiques. Exemple 2..5. Soit la récurrece de partitio u = b u /a + g(. Supposos u doée, alors u est défiie de maière uique sur E a = { = a N}. O résout cette récurrece e posat v = u a, ce qui permet de se ramèer à ue récurrece liéaire d ordre [vérifier]. 2. Soit la récurrece de partitio u = 2u /2 pour > et u =. Alors, u est uiquemet détermiée sur E 2 = { = 2 N}. Mais, tadis que u 2 = 2 est détermiée de maière uique, pour = 2 p avec p impair o a u = 2 u p et u est détermiée qu au coefficiet u p près [Pourquoi?]. 2.2 Equatios de récurrece liéaires 2.2. Récurreces liéaires homogèes à coefficiets costats Ue récurrece liéaire homogèe d ordre à coefficiets costats est de la forme ( u = a u + + a u. (2.2

6 RELATIONS DE RÉCURRENCE 2.2.. Méthode du polyôme caractéristique Défiitio 2.2. Das C[X], le polyôme caractéristique de l équatio (2.2 s écrit P (x x a x a x a, et l équatio caractéristique de la récurrece (2.2 est défiie par x a x a x a = (x r m (x r 2 m2 (x r p mp = 0, où les r j C ( j p sot les p zéros de P, chacu état compté avec so ordre de multiplicité m j tel que j p m j =. Propositio 2.2.2 L esemble des solutio de l équatio (2.2, récurrece liéaire d ordre, costitue u espace vectoriel de dimesio sur C. La forme des solutios déped des zéros du polyôme P et de leurs ordres de multiplicité respectifs. (i Si P (x a racies simples distictes r,..., r, alors les suites (ri ( N et i =, 2,..., formet ue base de l espace vectoriel des solutios de (2.2. La solutio de (2.2 est doc u = λ i ri, où les λ i sot détermiés de maière uique par les valeurs iitiales u 0,..., u. i (ii Si P (x admet les racies r j (j =, 2,..., p, avec p, la racie r j ayat pour ordre de multiplicité m j tel que j =, 2,..., p et p j= m j =, alors les suites { (r ( ( j, r j,..., m j rj } j =,..., p, N formet ue base de l espace vectoriel des solutios de (2.2. La solutio uique de (2.2 est doc de la forme u = de degré m j. j p Q j ( r j, où Q j ( est u polyôme e Remarques 2.2.3 (i est u cas particulier de (ii avec p = et m j = : les racies y sot deux à deux distictes, doc d ordre de multiplicité (ou racies simples. [Vérifier les solutios de la propositio 2.2.2 das les cas (i et (ii.] Lemme 2.2.4 Si r est racie d ordre m de P (x, alors r est aussi racie de P (r, P (r,... et P (m (r, où P ( (r est la dérivée d ordre de P e x = r. Exemple 2.2.5. Soit la récurrece de la suite de Fiboacci, F = F + F 2 pour 2, avec F 0 = 0 et F =. So équatio caractéristique est r 2 r = 0 qui a pour racies simples r = + 5 2 et r 2 = 5 2 [vérifier]. La solutio géérale est doc de la forme F = λ r + λ 2 r2. Les valeurs iitiales de la suite détermiet celles de λ et λ 2 : pour = 0, λ + λ 2 = 0 et, pour =, λ r + λ 2 r 2 =. Par suite, λ = / 5 et λ 2 = / 5. O ote traditioellemet + 5 2 φ et 5 2 φ = φ. Le -ième terme de la suite de Fiboacci est doc [vérifier] F = (φ φ. 5

2.2. EQUATIONS DE RÉCURRENCE LINÉAIRES 7 2. Soit la récurrece t 3t 4t 2 = 0 pour 2, avec t 0 = 0 et t =. So équatio caractéristique est r 2 3r 4 = 0, dot les racies simples sot et 4 ; sa solutio géérale est doc t = λ ( + λ 2 4. Les valeurs de λ et λ 2 état fouries par les coditios iitiales, λ = /5 et λ 2 = /5 [vérifier]. Fialemet, t = 4 5 ( 5 3. Soit la récurrece u = 5u 8u 2 + 4u 3 pour 3, avec u 0 = 0, u = et u 2 = 2. So équatio caractéristique est r 3 5r 2 + 8r 4 = (r (r 2 2 = 0, dot les racies sot (simple et 2 (de multiplicité 2 [vérifier]. La solutio géérale de la récurrece est doc u = λ + µ 2 + µ 2 2. Les valeurs de λ, et des µ i sot doées par les coditios iitiales : λ = 2, µ = 2 et µ 2 = /2 [vérifier]. Par coséquet, u = 2 + 2 + 2. 2.2..2 Méthode matricielle. Résolutio d u système d équatios de récurrece liéaires Soit le système de deux récurreces liéaires simultaées homogèes d ordre suivat, { u = au + bv v = cu + dv, où a, b, c, d C. L écriture matricielle du système de récurreces liéaires est évidemmet ( ( ( u a b u = v c d v ( = M u0. v 0 Pour le préset système, M est la matrice d u edomorphisme f d u espace vectoriel E de dimesio 2 sur C, représeté das ue base B de E. Les valeurs propres λ i de M sot les racies du polyôme caractéristique P (λ C[X], où I est la matrice idetité de l aeau des matrices carrées sur le corps C : P (λ = det(m λi = a λ b c d λ. Sas détailler les (deux coditios écessaires et suffisates de diagoalisatio de f, et doc de la matrice M, rappelos que la matrice diagoale D de M, si elle existe, est détermiée par les valeurs propres λ i C de f (i.e. de M. La matrice diagoale D = P MP est semblable à M, où P est la matrice de passage de la base B de E das la base des vecteurs propres associés aux λ i. Ici, dim C E = 2 et les deux valeurs propres (λ et λ 2 peuvet être égales (ue valeur propre complexe double ou distictes (deux valeurs propres complexes simples. Das ce derier cas, M est diagoalisable das C, corps algébriquemet clos. Quoi qu il e soit, ( D λ = 0 0 λ, 2 avec M = P D P [vérifier]. D où les valeurs de u et v, ( ( u = P D P u0. v v 0.

8 RELATIONS DE RÉCURRENCE 2. Résolutio d ue équatio de récurrece liéaire Soit la récurrece liéaire homogèe d ordre à coefficiets costats suivate, u = a u + a u. Elle peut s écrire sous forme matricielle [vérifier] u a a 2 a a u u. = 0 0 0 u 2........ u + 0 0 0 u u u u 2 = M. = M u 2. u u E raisoat comme das le cas du système de récurreces simultaées ci-dessus, le calcul des valeurs propres distictes λ i de M ( i, permet de diagoaliser M das la base de ses vecteurs propres via sa matrice de passage P (voir la défiitio et la méthode das le cas précédet. O obtiet doc, comme ci-dessus [vérifier], λ 0 0 0 λ 2 0 M = P...... P 0 0 λ Soit, e écrivat la matrice diagoale D de M, λ 0 0 0 λ 2 0 D =......, 0 0 λ u u. = P D P u + qui costitue la solutio de l équatio récurrete iitiale. u u Remarques 2.2.6 La méthode matricielle e s applique qu à des récurreces liéaires d ordre quelcoque, homogèes et à coefficiets costats das u corps. Elle s utilise essetiellemet pour résoudre des systèmes de récurreces simultaées, comme das le premier cas. 2.2.2 Récurreces liéaires géérales à coefficiets costats Ue équatio de récurrece liéaire géérale, o homogèe, d ordre, à coefficiets costats est de la forme u = a u + + a u + f(. (2.3 Propositio 2.2.7 L esemble des solutios de l équatio (2.3, récurrece liéaire o homogèe d ordre, est u espace affie de dimesio sur C. L espace vectoriel associé est l esemble des solutios de l équatio homogèe (2.2 correspodate.. u,

2.2. EQUATIONS DE RÉCURRENCE LINÉAIRES 9 2.2.2. Méthode des coefficiets idétermiés Pour obteir la solutio géérale de (2.3, il suffit d exhiber ue solutio particulière v de (2.3, puis de résoudre l équatio homogèe associée (2.2 de solutio géérale w. La solutio u de la récurrece (2.3 s obtiet alors sous la forme u = v + w, les coefficiets de w état détermiés par les coditios iitiales [Pourquoi?]. Cette méthode de résolutio est idetique à celle utilisée pour les équatio différetielles liéaires o homogèes à coefficiets costats. Das les deux cas, la difficulté réside das l absece de méthode stadard pour trouver ue solutio particulière v de l équatio géérale sauf pour certaies classes de foctios f( simples du type de celles cosidérées au 2.2.2.2 (méthode du polyôme caractéristique. Exemple 2.2.8 Soit l équatio de récurrece u = 2u + pour, avec u 0 =. O peut voir que v = 2 est ue solutio particulière de cette équatio [vérifier]. Comme l équatio homogèe associée s écrit w = 2w, sa solutio est de la forme w = λ2 [vérifier]. La solutio géérale de la récurrece est doc u = λ2 +v et, e teat compte de u 0 = et v 0 = 0, o obtiet λ = [vérifier]. Fialemet, u = 2 + 2 = 2 +. 2.2.2.2 Méthode du polyôme caractéristique Cette méthode s applique lorsque le secod membre f( de l équatio géérale o homogèe (2.3 l est de la forme (simple f( = b i P i (, où P i ( est u polyôme e de C[X] et b i C est o ul. i= Propositio 2.2.9 Soit la relatio de récurrece défiie pour tout par u = a u + + a u + l b i P i (, (2.4 i= où les b i 0 sot tous disticts et P i ( est u polyôme e de degré d i. Alors, u est solutio d ue récurrece liéaire homogèe d ordre q = + u = c u + + c q u q. So polyôme caractéristique est P (x = x q c x q c q et s écrit l (d i + : i= l P (x = (x a x a (x b i di+ = i= p l (x r j mj (x b i di+, j= i= où les r j C ( j p sot les p zéros de P, chacu état compté avec so ordre de multiplicité m j ( j p m j =. D après la propositio 2.2.7, la solutio uique de l équatio récurrete (2.4 est doc de la forme u = Q j ( rj, où r j est ue racie d ordre de multiplicité m j du polyôme caractéristique P (x j p et Q j ( est u polyôme de degré m j.

20 RELATIONS DE RÉCURRENCE Démostratio : (Idée de la preuve Cosidéros u exemple simple d équatio de récurrece de la forme (2.4, u = αu + β, où α, β 0. Cette récurrece est liéaire, o homogèe d ordre, à coefficiets costats. O peut se rameer aisémet à ue récurrece liéaire homogèe d ordre 2 e écrivat l équatio de deux maières différetes faisat chacue apparaître β +, puis e simplifiat esuite par soustractio ces deux équatios : u + = αu + β + βu = αβu + β + ( β u + βu = αu αβu. Soit u + = (α + βu αβu. L équatio récurrete obteue est bie liéaire homogèe d ordre 2, et so polyôme caractéristique est r 2 (α + βr + αβ = (r α(r β [vérifier]. Ses solutios sot doc de la forme géérale coue dot la solutio uique déped d ue valeur iitiale de la récurrece... Si α β, u = c α + c 2 β (2 racies simples. Si α = β, u = c α + c 2 α ( racie d ordre 2. (La propositio 2.2.9 est évidemmet plus logue et plus difficile à démotrer das le cas d ue équatio récurrete de la forme (2.4, mais l idée de base est similaire. Exemple 2.2.0 La récurrece u = 2u + + 2 pour, avec u 0 = 0 est de la forme (2.4. Les coditios de la propositio 2.2.9 sot vérifiées. Ici, l = 2, b =, P ( = et b 2 = 2, P 2 ( = ; le degré de P ( est et celui de P 2 ( est 0. L équatio caractéristique s écrit (r 2(r 2 (r 2 = 0 [vérifier] et ses racies sot et 2, chacue de multiplicité 2. La solutio géérale de la récurrece est doc de la forme u = λ + λ 2 + µ 2 + µ 2 2. À partir de la récurrece, o sait de plus que u = 3, u 2 = 2 et u 3 = 35 ; le calcul des λ j et des µ j s esuit. D où la solutio [vérifier], 2.2.2.3 Méthode des facteurs sommats u = 2 + 2 + 2. Si la méthode est très simple elle e s applique cepedat qu aux équatios de récurrece liéaires d ordre, homogèes ou o. E outre, la gééralisatio de cette méthode aux équatios récurretes o homogèes ou/et à coefficiets variables s avère souvet d utilisatio malaisée (cf. exercice du devoir d octobre 2002. Deux exemples suffiset à saisir le pricipe de la méthode des facteurs sommats. Exemple 2.2.. Soit la récurrece 2. Cosidéros à ouveau l équatio récurrete (2.4 de la propositio 2.2.9. u = αu + β, où α, β 0.

2.2. EQUATIONS DE RÉCURRENCE LINÉAIRES 2 La méthode des facteurs sommats cosiste à écrire la récurrece pour αu, α 2 u 2, etc., jusqu à α u, où u est la valeur iitiale coue (ici u 0 par exemple, et doc =, puis de sommer... u = αu + β ( α 0 αu = α 2 u 2 + αβ ( α α u = α u 0 + α β. ( α Si α β, o obtiet e sommat et e simplifiat das les deux membres [vérifier], u = α u 0 + α β = α u 0 + β (α/β =0 u = α u 0 + β (α/β α/β. Si α = β, u = α u 0 + α et, das les deux cas, o retrouve la solutio de l équatio récurrete (2.4 de la propositio 2.2.9. 3. Soit la récurrece u = 2u + pour > 0, avec u 0 = 2. O réécrit la récurrece pour 2u, 2 2 u 2, etc., jusqu à u = 2 u 0 +2. E sommat et e simplifiat les deux membres des équatios obteues, il viet [vérifier] =0 u = 2 + + 2 (. =0 Le seul calcul à effectuer reste celui de la somme. Ce type de somme fiie peut se calculer de ombreuses maières, par parties, par perturbatio, par Sommatio d Abel, etc. (cf. exercices 6 et 8., T.D.. Ici, la somme vaut 2 /2 = 2 + 2 (voir l exercice 8. du T.D.. Fialemet, après simplificatios [vérifier], =0 u = 2 +2 2. 2.2.3 Récurreces liéaires à coefficiets variables La forme géérale de ce type d équatios récurretes est a( u = b( u + c(,, où a( et b( e sot pas idetiquemet ulles (sio la récurrece est pas défiie. Sas perte de gééralité, o peut doc supposer que a( = (sio, o divisat par a( 0 et se ramèer aisi à la forme u = b( u + c(, > 0. Cette classe de récurreces se résout essetiellemet grâce aux séries géératrices (voir le chapitre 3. O peut aussi utiliser la méthode des facteurs sommats pour certais types de récurreces liéaires d ordre où la foctio c( est simple (cf. exemple 2.2. ci-dessus. Plus gééralemet, o cherche surtout à évaluer rapidemet ( ϕ(, ordre ( de gradeur asymptotique de la solutio quad : u ϕ(, u = O ϕ( ou u = Θ ϕ( (voir le chapitre 4.

22 RELATIONS DE RÉCURRENCE 2.3 Equatios de récurrece o liéaires 2.3. Récurreces de partitio et chagemet de variable Ces récurreces apparaisset e particulier das les aalyses de complexité d algorithmes du type diviser pour réger où o scide u problème de taille e b sous-problèmes de taille /a (a, b etiers > 0, le surcoût de la créatio et de la résolutio état oté c(. O a alors, pour >, la récurrece u = b u /a + c(. Pour résoudre cette classe d équatio, o restreit le domaie aux etiers de la forme a et o effectue le chagemet de variable v = u a. O a doc u a = b u a + c(a, soit v = b v +c(a, ce qui ous ramèe à ue récurece liéaire o homogèe d ordre (cf. 2.2.2. Par la méthode des facteurs sommats, o peut alors obteir facilemet v = v 0 b + b j c(a j+. j= Soit, comme = a et doc = log a (, u = v 0 b log a ( + log a ( j= b j c(/a j. (2.5 La résolutio s arrête ici (e (2.5, faute d hypothèse supplémetaire sur la foctio c(... [Pourquoi?]. La propositio 2.3. qui suit restreit la classe des foctios c( de maière à permettre u calcul asymptotique de u selo les valeurs relatives de b et c(a. Propositio 2.3. Soit u = b u /a + c(, avec a, 0 N et b R (a 2, b > 0 et 0 et soit E = { N log a (/ 0 N} = { N ( N = 0 a }. Supposos de plus que u est mootoe croissate pour 0 et que la foctio de coût c : E R + est multiplicative (i.e., c(xy = c(x c(y, x, y E. Alors, quad, u = Θ ( log a c(a si b < c(a, Θ ( log a b log a si b = c(a, Θ ( log a b si b > c(a. Démostratio : (Idée À partir de la formule (2.5 démotrée ci-dessus, et e teat compte du fait que la foctio c( est multiplicative (cf. l exercice 8.2 du T.D. 2, u s écrit u = v 0 b log a ( + log a ( j= b j c( c(a j, Le terme asymptotique domiat e O se calcule esuite e distiguat les trois cas : b < c(a, b = c(a et b > c(a. (La démostratio complète est l objet de l exercice 8.2 du T.D. 2. L hypothèse additioelle de croissace mootoe de u à partir d ue certaie valeur 0 permet d obteir u résultat plus fi, l ordre de gradeur asymptotique exact de u (e Θ(. Le cas où la foctio de surcoût c( est u moôme de la forme c p (c R, p N est u cas particulier importat de cette propositio (cf. l exercice 8.3 du T.D. 2.

2.3. EQUATIONS DE RÉCURRENCE NON LINÉAIRES 23 Remarques 2.3.2 Das ces récurreces de partitio, la solutio obteue est valide que pour la restrictio du domaie aux etiers de la forme = a [Pourquoi?]. Iévitablemet, ces solutios sot doc a priori approchées ; ce sot des approximatios asymptotiques (pour :, O( ou Θ( (cf. les chapitres 2 et 3. Des solutios valides sas restrictio peuvet cepedat être obteues moyeat des hypothèses plus fortes sur u. Plus précisémet, la solutio u est valide pour tout etier N et o pour la restrictio du domaie aux etiers de la forme = a seulemet sous les hypothèses suivates (coditios écessaires et suffisates :. Sous la forme d ue récurrece de partitio, la suite (u est mootoe o décroissate pour 0 ( 0 N quelcoque. ( 2. Si la solutio u peut s écrire u = Θ f( (e ordre de gradeur asymptotique exact quad, alors la foctio f( doit être lisse, i.e. (par défiitio ( ( λ R + f(λ = O f(. Exemple 2.3.3 Ue classe de foctios de complexité lisses : {f( = α p log q ( + β}, où α, β, p et q, sot des réels quelcoques [vérifier]. C est le cas pour les foctios log, log(, 3/2 log 3 (, 2, log 3, etc., où log est la foctio logarithme de base quelcoque [vérifier. Pourquoi de telles foctios lisses sot-elles écessaires?]. 2.3.2 Trasformatio du domaie 2.3.2. Chagemet de variable Motros u exemple de ce type de trasformatio où l o effectue u chagemet de variable pour déduire la solutio exacte d ue récurrece liée aux fractios cotiues. a = E itérat cette récurrece, o obtiet + a pour > 0, avec a 0 =. (2.6 a 0 = a = + = 2 a 2 = a 3 = + + = + + + + 2 = = 2 3 + 2 3 = 3 5 a 4 = + + + + = + 3 5 = 5 8

24 RELATIONS DE RÉCURRENCE et aisi de suite... À partir de ces valeurs iitiales, o recoaît les ombres de Fiboacci, ce qui suggère ue solutio de la forme a = b /b. E la substituat das (2.6, il viet [vérifier] b b = Divisos les deux membres par b, b = pour >, avec b 0 = b =. + b 2 b b + b 2 pour > 0, avec b 0 = b =. D où la valeur b = F + [vérifier], dot o tire la solutio de (2.6, a = F F +. Aisi, quad croît, a se rapproche toujours plus de /φ = 2/( + 5 = 0, 6803... [vérifier] et ce, par valeur iférieure et supérieure selo la parité de : a > /φ pour pair et a < /φ pour impair (a 0 =, a = 0, 5, a 2 = 0, 666..., a 3 = 0, 6, a 4 = 0, 625, etc. [vérifier]. Remarques 2.3.4 Fractios cotiues et ombres réels Soit u ombre complexe x. x est u ombre ratioel s il existe deux etiers ratioels p et q 0 tels que qx = p : forme x = p/q, x est u ombre irratioel s il est pas ratioel : 2. x est algébrique s il est solutio d ue équatio polyomiale à coefficiets ratioels : 2, i, cos(π/ ( N. x est trascedat s il est pas algébrique : π, e, etc.. O ote [0 ] [0 ] la fractio cotiue ifiie qui représete le ombre irratioel /φ. De même, + /φ = [ ] est la fractio cotiue du ombre irratioel φ =, 6803... [vérifier]. 2. La fractio cotiue du ombre irratioel 2 peut s écrire sous la forme d ue récurrece du type (2.7 a = 2 + a pour >, et a 0 =. (2.7 Il e est de même pour la fractio cotiue qui représete le ombre irratioel φ 2, où φ = + 5 2, qui peut s écrire sous la forme de récurreces de type (2.8 avec φ 2 = ( a = 3 pour >, et a 0 = ou ecore a a = 3a pour >, et a 0 =. (2.8 a + 2 5 = 3 + 5. 2 2 La forme géérale (2.9 d ue récurrece de fractio cotiue est doc a = αa β a pour >, et a 0 =. (2.9 (D autres récurreces o liéaires sot proposées à l exercice 4 du T.D. 2.

2.3. EQUATIONS DE RÉCURRENCE NON LINÉAIRES 25 2.3.2.2 Répertoire La méthode du répertoire cosiste à détermier ue famille de foctios bie coues, similaires à celle que l o recherche, et à les combier pour obteir ue solutio exacte. Cette techique s applique au premier chef aux récurreces liéaires : relâcher les coditios iitiales de la récurrece e itroduisat u terme foctioel ; substituer des foctios coues das la récurrece iitiale afi d e déduire des idetités semblables à la récurrece ; former des combiaisos liéaires de ces idetités afi d e tirer ue équatio idetique à la récurrece iitiale. Cosidéros par exemple la récurrece a = ( a a 2 + pour >, avec a 0 =, a = 2. (2.0 Itroduisos la quatité f( das le membre droit de (2.0 afi de résoudre a = ( a a 2 + f( pour > ; f( =, a 0 =, et a = 2. Pour y parveir, o ijecte das (2.0 divers a possibles et o costruit u répertoire des récurreces que l o sait résoudre e examiat les f( correspodats et e oubliat mometaémet les coditios iitiales. Pour l exemple de la récurrece (2.0, o aboutit à la table suivate. a f( = a ( a + a 2 2 2 + La première lige dit que a = est solutio avec f( = 2 (et les coditios iitiales a 0 =, a = ; la deuxième lige dit que a = est solutio avec f( = (et les coditios iitiales a 0 = 0, a = ; efi, la derière lige dit que a = 2 est solutio avec f( = + (et les coditios iitiales a 0 = 0, a = [vérifier]. O obtiet d autres solutios par combiaisos liéaires des précédetes. Si l o soustrait la troisième lige de la première, o e déduit que a = 2 est solutio avec f( = (et les coditios iitiales a 0 =, a = 0. O obtiet aisi deux solutios correspodat à f( = que l o combie pour obteir les boes valeurs iitiales et, fialemet, a = 2 + 2 + [vérifier]. Cette méthode par répertoire est utilisée par D. Kuth et A. Schöhage pour résoudre la récurrece vérifiée par la complexité e moyee du tri rapide ou Quicsort. (Voir le T.D. 2, exercice 5, pour l aalyse e moyee du Quicsort et [9, p. 2-24] pour la méthode du répertoire. 2.3.2.3 Reboutemet ( Bootstrappig Il est parfois possible de devier la solutio approchée d ue récurrece. La méthode de reboutemet cosiste alors à cotraidre cette solutio approchée de maière à e obteir ue ouvelle, plus précise (voir le chapitre 4, 4.6., sur le reboutemet comme méthode asymptotique. Calculer les valeurs umériques à l aide de la récurrece. Devier la forme approchée de la solutio.

26 RELATIONS DE RÉCURRENCE Appliquer la récurrece à sa solutio approchée. E déduire des bores plus proches de la solutio. Preos comme exemple la récurrece de Fiboacci, a = a + a 2 + pour >, avec a 0 =, a =. O remarque tout d abord que a est croissate, doc a > a 2 et, par suite, a > 2a 2. Par iductio, sur, o voit que a > 2 /2, doc a a ue croissace au mois expoetielle [vérifier]. Par ailleurs, l iégalité a > a 2 implique a < 2a, c est-à-dire, par iductio, a < 2. Le terme a est doc boré par deux foctios de croissace expoetielle [vérifier]. Il est doc aturel de peser à ue solutio de la forme a c 0 α, où 2 < α < 2. D après la récurrece iitiale, α doit vérifier l équatio α 2 α = 0, doc α = φ ou φ [vérifier]. Ue fois α determiée, il suffit de reveir à la récurrece et d utiliser les valeurs iitiales pour calculer les coefficiets corrects. 2.3.2.4 Perturbatio Le pricipe cosiste ici à trouver ue solutio approchée d ue récurrece doée e résolvat ue récurrece plus simple et très voisie. Cette méthode est typique d ue approche géérale qui cosiste à extraire la partie domiate de la récurrece, résoudre la récurrece aisi obteue, puis comparer ses solutios à celles de la récurrece iitiale. Cette techique s apparete aux méthodes par perturbatio utilisées e aalyse umérique. Modifier légéremet la récurrece pour e obteir ue que l o sait résoudre. Obteir ue récurrece décrivat l écart etre la récurrece modifiée et la récurrece iitiale. Borer les écarts. Soit par exemple la récurrece a = 2a + a 2 pour >, avec a 0 =, a = 2. (2. Il semble raisoable de supposer que le derier terme de (2., e / 2, apporte qu ue faible cotributio à la récurrece, d où a 2a. O doit doc s atttedre à ue croissace du type a 2. Pour préciser ce poit, cosidéros la suite b = 2b pour >, avec b 0 =, (2.2 c est-à-dire b = 2, et comparos les récurreces (2. et (2.2 à l aide du quotiet D après (2. [vérifier], ρ = a b = a 2. ρ + = ρ + 4 2 ρ pour > 0, avec ρ 0 =. Il est clair que la suite (ρ est croissate [vérifier]. Pour prouver qu elle est majorée, o remarque [vérifier] que ( ρ + ρ + 4 2 pour 0,