COURS COMMUN L MI & MIAGE 5 janvier 03
Table des matières Propriétés du corps des nombres réels 3. A propos du corps des réels R.......................... 3.. Notion de corps.............................. 3.. L ordre sur R............................... 4..3 Propriété de la borne supérieure..................... 6. Densité des rationnels et irrationnels....................... 8 Suites réelles 9. Convergence d une suite............................. 9.. Généralités sur les suites numériques.................. 9.. Suites convergentes ou divergentes.................... 0..3 Théorèmes généraux sur les suites convergente...............4 Valeurs d adhérence........................... 3. Critères de convergence d une suite....................... 4.. Suite réelle monotone ou bornée..................... 4.. Critère de Cauchy............................ 5.3 Opérations sur les suites convergentes...................... 7.4 Suites adjacentes................................. 9.5 Suites particulières................................ 0.5. Récurrence homographique....................... 0.5. Suites récurrentes linéaires........................5.3 Description des suites récurrentes linéaires............... 3 3 Fonctions numériques d une variable réelle 5 3. Limite et continuité................................ 5 3.. Généralités sur les fonctions numériques d une variable réelle..... 5 3.. Notion de limite d une fonction..................... 8 3..3 Fonction continue............................. 9 3. Fonctions dérivables............................... 34 3.. Généralité sur les fonctions dérivables.................. 35 3.. Propriété des fonctions dérivables.................... 38 3.3 Developpement limité............................... 4 3.3. Fonctions négligeables.......................... 4 3.3. Fonctions équivalentes.......................... 43 3.3.3 Développement limité : Définition et propriétés............. 44 3.3.4 Existence de D.L.-Formules de Taylor.................. 45 3.3.5 D.L. de quelques fonctions élémentaires................. 48
TABLE DES MATIÈRES 3.3.6 Calcul de développements limités.................... 49 3.3.7 Application des développements limités................. 5
Chapitre Propriétés du corps des nombres réels. A propos du corps des réels R Les nombres réels forment un ensemble noté par R et muni de deux opérations internes + : R R R et : R R R, appelées respectivement, addition et multiplication, ainsi que d une relation <, plus petit que, le tout satisfaisant à des propriétés que nous présentons par groupes... Notion de corps Soient a,b,c des éléments de R. Nous admettons que l addition et la multiplication dans R vérifient les propriétés suivates : (A) a + b = b + a et a b = b a (commutativité) (B) (a + b) + c = a + (b + c) et (a b) c = a (b c) (associativité) (C) a (b + c) = a b + a c (distributivité) (D) Il existe deux nombres réels notés 0 et tels a + 0 = a et a = a pour tout élément a de R. (E) Pour tout a il existe un nombre réel a tel que a + ( a) = 0 et si a 0, il existe un nombre réel /a tel que a (/a) =. Au vu de ces propriétés, on appelle R un corps. Notons que le sous-ensemble Q de R, appelé ensemble des nombres rationnels et défini par Q = {a/b a Z et b Z }, où Z = {..., 3,,,0,,,3,...} est l ensemble des entiers relatifs et Z = Z \ {0}, muni de l addition et de la multiplication est aussi un corps. Dans l ensemble Q on identifie a a n b et b n pour tout a Z et b,n Z. En identifiant pour tout a Z les nombres a et a, nous avons les inclusions N Z Q R,. Un corps est un ensemble A muni de deux lois de compositions internes (applications de A A dans A) que nous notons encore + et vérifiant les propriétés (A) (E) 3
CHAPITRE. PROPRIÉTÉS DU CORPS DES NOMBRES RÉELS où N = {0,,,3,...} est l ensemble des entiers naturels. L ensemble Q R. En effet, un raisonnement géométrique, certainement déjà connu des babyloniens, montre qu il est possible de construire un carré B de surface double de celle d un carré initial A que l on choisit de côté égal à. Si l on note d la longueur du côté du carré B, qui est égale à la longueur de la diagonale du carré A, l égalité d = est alors vérifiée. Mais un tel nombre d, ne peut pas être dans Q. Proposition... Le nombre d = positif qui vérifie d =, n est pas un nombre rationnel. Démonstration. Nous allons faire une démonstration par l absurde. Supposons que est rationnel. Il existe alors deux entiers positifs a, b tels que = a/b. Si a et b sont pairs, on peut simplifier la fraction a/b par. En simplifiant par autant que possible, on arrive au cas où au moins un des deux entiers a ou b est impair. En élevant au carré l égalité = a/b et en multipliant les deux membres par l entiers naturel b, on arrive à b = a. Donc a est pair. Si a est impair, on peut écrire a = α +, alors a = 4α + 4α + qui est impair. On en déduit donc que a est pair, donc on peut écrire a = α, ce qui donne b = 4α et en simplifiant par, on obtient b = α. Le même raisonnement montre alors que b est aussi pair. On a donc une contradiction avec l hypothèse que a ou b est impair, et ne peut pas être rationnel... L ordre sur R Nous admettons que l ensemble des nombres réels R est ordonné par la relation < qui a les propriétés suivantes : (F) Tout couple (a,b) de réels vérifie exactement une des trois relations suivantes a = b, a < b ou b < a. (G) Si a < b et b < c alors a < c (transitivité). (H) Si a < b, alors a + c < b + c pour tout c, et si 0 < c alors ac < bc. Proposition... R est un corps totalement ordonné. Notation... Pour tout couple de réels (a,b),. a > b signifie que b < a. a b signifie que l on a soit a < b, soit a = b 3. a b signifie que l on a soit a > b soit a = b 4. R + = {x R x 0} 5. R = R \ {0} L ensemble des rationnels Q est aussi un corps totalement ordonné. Donc les propriétés que nous avons vu jusqu ici ne permettent pas de caractériser l ensemble R, car Q est strictement contenu dans R. Dans un corps ordonné, on peut introduire la notion de la valeur absolue d un nombre.. On appelle corps ordonné un corps K muni d opérations + et et d une relation < t.q. les (F)-(H) soient satisfaits. 4
CHAPITRE. PROPRIÉTÉS DU CORPS DES NOMBRES RÉELS Définition..3. La valeur absolue du nombre réel a est le nombre réel noté a et défini par { a si a 0 a = a si a < 0 De la définition de la valeur absolue, nous avons immédiatement ce qui suit, pour tous a,b R :. a 0. a = 0 si et seulement si a = 0 3. a = a 4. a = a si a 0 5. a b = a b 6. Soit b > 0. a < b si et seulement si b < a < b 7. Soit b 0. a b si et seulement si b a b. 8. a x pour tout x R + si et seulement si a = 0. Proposition..4 (Inégalité triangulaire). Soient a,b R Démonstration. Il y a quatre possibilités : a + b a + b (..). Si a 0 et b 0 alors a + b 0, de sorte que a + b = a + b = a + b. Si a 0 et b 0 alors a + b 0 et a + b = (a + b) = a + ( b) = a + b. 3. Si a 0 et b 0 alors a + b = a + b de sorte que a + b = a + b a + b 4. Si a 0 et b 0 alors a + b = a b de sorte que a + b = a b a + b Corollaire..5. Soient a, b R a b a + b (..) et a b a b (..3) Démonstration. En remplaçant dans (..) a par a b nous obtenons a a b + b, de sorte que a b a b (..4) Intervertissons les rôles de a et b, nous obtenons b a b a (..5) qui est équivalent à dire que b a a b (..6) 5
CHAPITRE. PROPRIÉTÉS DU CORPS DES NOMBRES RÉELS puisque a b = b a. Mais alors, puisque a b = { a b si a b b a si b a, (..7) le résultat découle des inégalités (..4) et (..6). En remplaçant b par b dans (..), nous obtenons..3 Une autre caractéristique importante de R est que l on ne peut pas donner des valeurs à deux réels qui se suivent. Lemme..6. Entre deux nombres réels a < b il y a toujours une infinité de nombres réels différents. Démonstration. Nous commençons avec a < a + b En répétant cette construction on obtient une infinité de nombres entre a et b. < b..3 Propriété de la borne supérieure Définition..7. Soit A une partie de R.. Le réel M est un majorant de A si pour tout a A on a a M. On dit que A est majorée si A a un majorant.. Le réel m est un minorant de A si pour tout a A, on a m a. On dit que A est minorée si A a un minorant. 3. Si la partie A est majorée et minorée, on dit que A est bornée. 4. On dit qu un réel m est une borne inférieure de A et on note m = infa, si m est un minorant de A et si : ε > 0, x A tel que m x m + ε (ce qui peut se traduire en disant que m est le plus grand des minorants de A). 5. On dit qu un réel M est une borne supérieure de A et on note M = supa, si M est un majorant de A et si : ε > 0, x A tel que M ε < x M (ce qui peut se traduire en disant que M est le plus petit des majorants de A). (I) Toute partie non vide et majorée de R admet une borne supérieure. On dit que R possède la propriété de la borne supérieure ou est complet. On admet qu à un isomorphisme près, il existe un et un seul corps totalement ordonné possédant la propriété de la borne supérieure, c est-à-dire vérifiant les propriétés (A) (I). En d autres termes, deux corps ordonnés complets sont isomorphes : Il existe une bijection entre les deux corps qui respecte les opérations algébrique et la relation d ordre Théorème..8. Si A admet une borne inférieure (resp. supérieure) cette dernière est unique. 6
CHAPITRE. PROPRIÉTÉS DU CORPS DES NOMBRES RÉELS Démonstration. Supposons que A admette deux bornes supérieures M et M avec M < M. Prenant ε = M M, on peut alors trouver x A tel que M = M ε < x M, ce qui contredit l inégalité x M. L ensemble A admet donc au plus une borne supérieure. On procède de même pour la borne inférieure. La borne inférieure ou supérieure de A quand elle existe n est pas nécessairement un élément de A. Si inf(a) (resp. sup(a)) existe et est dans A, on dit alors que inf(a) (resp. sup(a)) est le plus petit (resp. plus grand) élément de A. Si inf(a) A (resp. sup(a) A) on dit aussi que c est le minimum (resp. maximum) de A et on le note min(a) (resp. max(a)). Proposition..9. 0.. L ensemble des entiers naturels N admet un plus petit élément qui est. Toute partie non vide de N admet un plus petit élément. 3. Toute partie majorée de N admet un plus grand élément. 4. Toute partie minorée de Z admet un plus petit élément, et toute partie majorée, un plus grand élément. Définition..0 (intervalle, segment). Soient a,b deux réels tels que a b.. On note [a,b] l ensemble des réels x tels que a x b. C est un intervalle fermé. On dit aussi que [a,b] est un segment.. On note ]a,b[ l ensemble des réels x tels que a < x < b. C est un intervalle ouvert. On définit de même les intervalles mixtes ou semi-ouverts [a,b[ et ]a,b]. On introduit aussi le symbole (appelé l infini) et on note [a,+ [ l ensemble des x réels tels que a x et ],a] l ensemble des réels x tels que x a. Exemple...,3, sont des majorants du segment A = [,]. est un majorant de A = [,[. L intervalle [a,+ [ n a pas de majorant. Théorème.. (Propriété d Archimède). Soient x et y deux réels > 0, alors il existe un entier n tel que ny > x. Démonstration. Nous faisons la preuve par l absurde. Si l affirmation était fausse alors x serait un majorant de S = {yn n N}. Donc, d après la propriété (I) S possède une borne supérieure que nous notons β. Ainsi, yn β pour tout n N. Or si n N alors n + N. Il vient alors que (n + )y β pour tout n N et par conséquent yn β ε pour tout n N. Ainsi β ε est un majorant de S ; ce qui est absurde car β ε < β et β est le plus petit des majorants. Elle dit qu en faisant assez de pas de longueur y on dépasse x. Remarque... Toute partie A non vide et minorée de R admet une borne inférieure : en notant ( A) l ensemble des opposés des éléments de A, infa = sup( A). Théorème..3. Pour tout réel x il existe un unique entier relatif n tel que : n x < n + (..8) 7
CHAPITRE. PROPRIÉTÉS DU CORPS DES NOMBRES RÉELS Démonstration. Pour x entier relatif, il suffit de prendre n = x. On suppose donc que x n est pas un entier relatif. Supposons d abord que x est strictement positif. Le théorème.. affirme qu il existe m N tel que m > x. Par conséquent, l ensemble des entiers m > 0 vérifiant m > x est non vide. Il admet donc un plus petit élément p. Il suffit alors de poser n = p. Pour x < 0 en raisonnant avec x on aboutit à l existence d un entier p vérifiant : p x < p +. On a alors (p + ) < x < p (x n est pas entier) et n = (p + ) convient. Si pour x réel il existe deux entiers n et p vérifiant (..3), on a alors : { n x < n + p < x p donc n p <, soit n p 0 et n p >, soit n p 0. Et nécessairement n = p. D où l unicité de n vérifiant (..3). Définition..4. Avec les notations du théorème précédent, l entier n est appelé la partie entière de x. On le note [x] ou E(x) Nous admettons ce théorème.. Densité des rationnels et irrationnels Définition... Soit A une partie de R. On dit que A est dense dans R si A rencontre tout intervalle ouvert ]a,b[ avec a < b. Théorème... L ensemble Q des nombres rationnel est dense dans R. Démonstration. Soient a,b R tels que a < b. Appliquons le théorème.. avec x = et y = b a. Il existe un entier positif q tel que q(b a) >. Il existe aussi un entier j tel que j > qa. Ceci est evident si a 0, et découle du théorème.. avec y = et x = aq si a > 0. Soit p le plus petit entier qui vérifie p > qa. Nous avons p qa, de sorte que nous avons qa < p qa +. Mais puisque < q(b a) ceci implique qa < p < qa + q(b a) = qb, et par suite a < p q < b. Théorème..3. L ensemble des nombres irrationnels noté R \ Q est dense dans R. Démonstration. Soit i un nombre irrationnel, par exemple. Soient a et b deux réels tels que a < b. On applique le théorème.. à ]a i,b i[, il existe un rationnel r tel que a i < r < b i. Alors a < i + r < b. Le nombre x = i + r est irrationnel, sinon i = x r serait rationnel contrairement à l hypothèse. Remarque..4. Il y a beaucoup plus de nombres réels que de nombres rationnels. On peut montrer que les ensembles Z et Q peuvent être mis en bijection avec N, c est-à-dire que l on peut numéroter avec les entiers naturels les éléments de Z et Q. On dit que Z et Q sont dénombrables. Par contre R n est pas dénombrable (théorème de Cantor) et pourtant Q est dense dans R. 8
Chapitre Suites réelles Nous nous intéressons dans ce cours aux suites réelles, mais nous donnerons de temps à autres des résultats élémentaires portant sur les suites complexes.. Convergence d une suite.. Généralités sur les suites numériques Définition... On appelle suite réelle (resp. complexe), toute application définie sur N (ou une partie de N) à valeurs dans R (resp. C). On note usuellement u = (u n ) n N ou u = (u n ) n n0 ou tout simplement (u n ) une telle suite. u n est appelé le terme général de la suite (u n ). Pour simplifier, nous supposerons que les suites sont définies sur N et on note R N l ensemble des suites réelles, (C N l ensemble des suites complexes). Le terme u n de la suite (u n ) peut être donné sous forme explicite ou sous forme récurrente (ce qui signifie que l on indique une loi de formation des termes successifs). Exemple.... La suite réelle e = (e n ) n définie par e n = ( + n) n est sous une forme explicite. Elle commence par e =, e = 9 4, e 3 = 43 3 3, etc.. La suite (de Fibonacci) (v n ) n N définie par v 0 = 0, v = et v n+ = v n+ + v n, est donnée sous une forme récurrente. Elle commence par v 0 = 0, v =, v =, v 3 =, etc. 3. Plus généralement on a les suites récurrentes linéaires d ordre définies par la formule avec u 0 et u données. u n+ = au n + bu n Définition... Une suite réelle (u n ) n N est dite :. majorée s il existe un réel M tel que pour tout entier n N on ait u n M,. minorée s il existe un réel m tel que pour tout n N on ait m u n, 3. bornée si elle est majorée et minorée, 4. non décroissante, ou croissante au sens large (resp. non croissante, ou décroissante au sens large) si pour tout n N on a u n+ u n (resp. u n u n+ ), 9
CHAPITRE. SUITES RÉELLES 5. strictement croissante (resp. strictement décroissante) si pour tout n N on a u n+ > u n (resp. u n > u n+ ), 6. monotone si elle est croissante ou décroissante, 7. périodique s il existe un entier p N tel que pour tout n N on ait u n+p = u n. L entier p est la période de la suite. Une suite complexe (u n ) est dite bornée si la suite réelle ( u n ) est bornée. Exemple... La suite de terme générale. u n = sinn est bornée. Elle n est ni décroissante ni croissante.. u n = n définie pour n est strictement décroissante et bornée. 3. u n = e n est croissante, minorée mais pas majorée. 4. u n = u 0 a n avec u 0 > 0 est croissante non majorée si a >, décroissante et bornée si 0 < a <, constante si a =. 5. La suite u n = sin( πn 7 ) est périodique de période 7. Remarque..3.. Si la suite réelle (u n ) est une suite décroissante à termes strictement positifs, alors ( u n ) est une suite décroissante à termes positifs. Dans ce cas en effet : u n+ > u n u n+ < u n.. Il peut arriver qu une suite soit rendue monotone quand on en supprime les q premiers termes (q fixé). 3. D après sa définition, la monotonie se met en évidence en étudiant le signe de u n+ u n. Dans le cas où u n > 0 pour tout n N, on peut aussi comparer à le quotient u n+ u n... Suites convergentes ou divergentes Définition..4. Soit (u n ) une suite complexe ou réelle. On dit que (u n ) admet a C pour limite ou que (u n ) converge vers a et on écrit lim n u n = a, si pour tout ε > 0 il existe un N N tel que u n a ε pour tout n N. En formule lim u n = a ε > 0, N N, n N,(n > N u n a < ε) n Proposition..5. La limite d une suite convergente est unique. Démonstration. Soit (u n ) une suite. Nous faisons la démonstration par l absurde. Supposons qu il y a deux limites l et l avec l l. Prenons ε = l l 4 Comme l est limite de la suite (u n ) il existe un entier N tel que pour tout n > N on ait u n l < ε, de même l étant aussi limite, il existe un entier N tel que pour tout n > N on ait u n l < ε. Alors si n > max(n,n ) l inégalité triangulaire permet d écrire ce qui est absurde. > 0. l l l u n + u n l ε = l l 0
CHAPITRE. SUITES RÉELLES Exemple..3.. Nous avons. Montrons que la suite (u n ) de terme général u n = n+3 n+ a pour limite u n ( ) < ε 7 n + < ε n > 7 ε Donc pour ε > 0 si n > E( 7 ε ) > 7 ε alors u n ( ) < ε.. Considérons la suite définie par u n = n + n. On peut écrire u n = ce qui n ++n montre que u n < n pour tout n N. Donc lim n u n = 0. On peut remarquer que la suite (u n ) est décroissante En utilisant l inégalité a b a b, qui est valable pour tous réels a et b, on montre que lim u n = l lim u n = l. n n Théorème..6. Toute suite (réelle ou complexe) convergente est bornée. Démonstration. Soit (u n ) n N qui converge vers l C. Il existe N N tel que pour tout n > N, on ait u n l <, c est-à-dire Posons Nous avons pour tout n N, u n M. u n = u n l + l u n l + l < + l. M = max{ u 0, u,..., u N, l + }. Définition..7. Une suite non convergente est dite divergente. Exemple..4. Montrons que la suite (u n ) définie par u n = ( ) n est divergente. Si cette suite converge vers un réel l la suite u = ( ( ) n ) n N qui est constante égale à va converger vers l et nécessairement l = ±. En écrivant que pour ε =, il existe un entier N tel que : n > N, ( ) n l < et en prenant n > N impair si l = et pair si l =, on aboutit à < qui est impossible. La suite u est donc divergente Parmi les suites réelles divergentes, on traite à part celles qui tendent vers l infini. Définition..8. Soit (u n ) une suite réelle.. On dit que (u n ) tend vers + si, On note lim n u n = +.. On dit que (u n ) tend vers si, On note lim n u n = M R, N N tel que n > N,u n > M. m R, N N tel que n > N,u n < m.
CHAPITRE. SUITES RÉELLES Exemple..5. Soit (a n ) la suite de terme général a n = nn n!. Montrons que lim n + a n = +. En effet, nous avons pour tout n N, a n = nn n! = n n n n... n n > n. Donc pour tout K > 0 si n > K alors on a a n > K. Prendre pour N tout entier supérieur à K, en occurrence E(K) +. Une suite qui tend vers + est nécessairement positive à partir d un certain rang. On peut remarquer que lim n + u n = si, et seulement si lim n + u n = + Si u n = v n avec v n > 0 pour tout n N, alors lim n + u n = 0 si, et seulement si, lim n + v n = + Dans la définition de la convergence et des limites ci-dessus, les inégalités peuvent être larges ou strictes et on peut se limiter en ce qui concerne les limites infinies, à M > 0 et m < 0 sans que cela ne soit restrictif. Une suite qui tend vers l infini (c est-à-dire vers + ou ) est non bornée donc divergente. Une suite complexe (u n ) n N telle que lim n + u n = + est divergente puisque non bornée...3 Théorèmes généraux sur les suites convergente Théorème..9. Si u = (u n ) n N est une suite de nombres complexes pour laquelle on peut trouver une suite v = (v n ) n N de réels positifs telle que lim n + v n = 0 et u n l v n à partir d un certain rang, où l est un nombre complexe donné, alors lim n + u n = l Démonstration. Fixons ε > 0. Il existe N 0 N tel que pour tout n > N 0, v n < ε. Par ailleurs, il existe N tel que pour tout n > N, u n l v n. Maintenant, si n > max(n 0,N ), alors u n l v n < ε. Le résultat qui suit se déduit immédiatement de la définition d une suite convergente. Théorème..0. Soit (u n ) n N une suite réelle telle que lim n + u n = l.. Si l > 0 (resp. l < 0) on a alors u n > 0 (resp. u n < 0) à partir d un certain rang.. Si u n est positif (resp. négatif) à partir d un certain rang, on a alors l 0 (resp. l 0) Démonstration.. Pour ε = l il existe n 0 N tel que : n > n 0, u n l < l, soit : et donc : n > n 0, l < u n < 3 l n > n 0, 0 < l < u n. Pour l < 0, on travaille avec la suite ( u n ) n N.. Se déduit facilement du premier point.
CHAPITRE. SUITES RÉELLES Théorème... Soient (u n ), (v n ) et (w n ) trois suites réelles. Si à partir d un certain rang, v n u n w n et si d autre part (v n ) et (w n ) admettent la même limite l, alors (u n ) converge et admet aussi l pour limite. Démonstration. Fixons ε > 0. La convergence de (v n ) vers l implique qu il existe N N tel que si n > N alors v n l < ε, c est-à-dire l ε < v n < l + ε. (..) De même la convergence de (w n ) vers l implique qu il existe N tel que si n > N alors w n l < ε, c est-à-dire l ε < w n < l + ε. (..) Par ailleurs, il existe d après l hypothèse, M N tel que si n > M alors v n u n w n. (..3) Donc si n > max(n,n,m) alors (..), (..) et (..3) sont valides. Par suite, Ce qui prouve que la suite (u n ) tend vers l. l ε < v n u n w n < l + ε. Remarque... Soient (u n ) et (v n ) deux suites réelles. Si à partir d un certain rang on a v n u n et si d autre part. lim n v n = alors lim n u n = +. lim n + u n = alors lim n + v n = Démonstration. D après l hypothèse, il existe N 0 N tel que pour tout n N 0, on ait v n u n.. Dire que lim n + v n = + signifie pour K R donné, il existe un entier N tel que si n > N alors v n > K. D autre part on sait que pour tout n > N 0, on a v n u n. Donc si n > max(n 0,N) on a K < v n u n, ce qui prouve que u n tend vers +.. On fait de même qu en )...4 Valeurs d adhérence Définition..3. Soit (u n ) n N une suite réelle ou complexe.. On dit que la suite (v n ) est une suite extraite de (u n ) lorsqu il existe une application ϕ strictement croissante de N dans N telle que n N,v n = u ϕ(n).. On dit qu un scalaire a est valeur d adhérence de la suite (u n ) n N s il est limite d une suite extraite de (u n ) n N. En pratique, on rencontrera souvent les extractions (u n+ ) n 0 (suite décalée d un indice), (u n ) n 0 et (u n+ ) n 0 (termes pairs et impairs d une suite). 3
CHAPITRE. SUITES RÉELLES Exemple..6. La suite de terme générale v n = n nπ + sin 3 admet les valeurs d adhérences 0, 3, 3. Ces nombres sont les limites respectives des suites extraites (v 3n), (v 3n+ ) et (v 3n+ ). Remarque..4. Si ϕ est une application strictement croissante de N dans N alors pour tout n N, ϕ(n) n. Démonstration. Procédons par récurrence. On a ϕ(0) 0 puisque ϕ(0) N. Supposons que ϕ(n) n. On a ϕ(n + ) > ϕ(n) puisque ϕ est strictement croissante. Donc ϕ(n + ) > n, soit ϕ(n + ) n + puisque ϕ(n + ) est un entier. Théorème..5. Soit (u n ) une suite. Alors (u n ) tend vers l si et seulement si toute suite extraite (sous-suite) de (u n ) tend vers l. Démonstration. ) C est évident puisque la sous-suite (v n ) obtenue en prenant pour ϕ l identité de N est la suite (u n ) elle-même. ) Soit (v n ) la sous-suite associée à l application ϕ : N N. Fixons ε > 0. Comme la suite (u n ) tend vers l, il existe un entier N tel que si n > N alors u n l < ε. Or n > N implique ϕ(n) n, d après la remarque..4. Donc v n l = uϕ(n) l < ε pour n > N, ce qui prouve que (v n ) tend vers l. Le théorème ci-dessus nous fait comprendre qu une suite convergente à exactement une valeur d adhérence. Corollaire..6. Si une suite réelle (u n ) admet deux suites extraites qui tendent vers deux limites différentes, alors (u n ) n admet pas de limite.. Critères de convergence d une suite.. Suite réelle monotone ou bornée Théorème.... Toute suite (u n ) croissante et majorée, converge vers sup{u n,n N}. Toute suite (u n ) croissante non majorée tend vers +. 3. Toute suite (v n ) décroissante et minorée converge vers inf{v n,n N} 4. Toute suite (v n ) décroissante et non minorée tend vers. Démonstration.. La partie A de R formée des u n pour n N est non vide et majorée. Puisque R possède la propriété de la borne supérieur, supa = l existe. Puisque l est un majorant on a u n l pour tout n. Soit ε > 0. Comme l est le plus petit majorant le nombre l ε n est pas un majorant de A, donc il existe un élément u N de A tel que l ε < u N. Comme (u n ) est croissante, on a u n u N pour n N. On a donc pour n > N, D où u n l < ε et lim n + u n = l.. L assertion (u n ) n est pas majorée s écrit l ε < u N u n l < l + ε K R, N N tel que u N > K Comme (u n ) est croissante on a alors u n u N > K pour tout n > N, ce qui est la définition de lim n u n = +. 4
CHAPITRE. SUITES RÉELLES 3. Procéder comme au 3..4) en prenant l infimum à la place du supremum. 4. Procéder comme au ) en utilisant la décroissance et la définition du inf. Théorème... De toute suite réelle (u n ) n N on peut extraire une suite monotone. Démonstration. Considérons l ensemble A = {n N m > n,u m u n }. Si A est finie, il admet un majorant n 0 / A (prendre n 0 = 0 si A est vide). Il existe alors un entier n > n 0 tel que u n > u n0. Comme n / A, il existe n > n tel que u n > u n et ainsi de suite, on construit par récurrence une suite strictement croissante d entiers (n k ) k N telle que u nk+ > u nk pour tout k N. La suite (u nk ) k N est alors extraite de (u n ) n N et strictement croissante. Si A est infinie, on peut ranger ses éléments dans l ordre croissant, soit A = {n k k N} avec n k < n k+ pour tout k N et par construction, on a u nk+ u nk pour tout k N. La suite (u nk ) k N est alors extraite de (u n ) n N et décroissante. Théorème..3 (Bolzano-Weierstrass). De toute suite bornée de nombres réels on peut extraire une sous-suite convergente. Démonstration. Résulte immédiatement des deux théorèmes précédents. Théorème..4. Une suite réelle (u n ) n N est convergente si, et seulement si, elle est bornée et n a qu une seule valeur d adhérence. Démonstration. On sait déjà qu une suite convergente est bornée et qu elle n a qu une seule valeur d adhérence. Réciproquement, supposons que la suite bornée (u n ) n N admette l pour seule valeur d adhérence. Si cette suite ne converge pas vers l, on peut alors trouver un réel ε > 0 tel que pour tout entier n, il existe p > n avec up l ε. Par récurrence on peut alors construire une suite strictement croissante d entiers (ϕ(n)) n N telle que uϕ(n) l ε pour tout n. De la suite bornée (u ϕ(n) ) n N, on peut extraire une sous suite (u ψ(n) ) n N qui converge vers l et par passage à la limite dans l inégalité u ψ(n) l ε, on déduit que l l ε > 0, c est-à-dire que l est une valeur d adhérence de (u n ) n N distincte de l, ce qui contredit l hypothèse de départ. Théorème..5. Une suite réelle est divergente, si et seulement si, elle vérifie l une des deux conditions suivantes : elle est non bornée, elle est bornée et admet au moins deux valeurs d adhérence.. Critère de Cauchy Définition..6. Une suite de réels (u n ) est dite de Cauchy lorsque les termes de la suite se rapprochent uniformément les uns des autres en l infini au sens où : lim n sup p,q>n up u q = 0. 5
CHAPITRE. SUITES RÉELLES Cette dernière condition se récrit classiquement à l aide de quantificateurs universels et existentiels : ε > 0, N N, p,q > N, up u q < ε, ou encore : ε > 0, N N, n > N, k > 0, u n+k u n < ε Théorème..7. Toute suite de Cauchy (réelle ou complexe) est bornée. Démonstration. Si (u n ) n N est une suite de Cauchy, il existe alors un entier naturel n 0 tel que : n > n 0, m > n 0, u m u n < ; ce qui entraîne que pour tout n > n 0, Posons u n = u n u n0 + + u n0 + u n u n0 + + u n0 + < + u n0 +. M = max{ u 0, u,..., u n0, + u n0 + }. On a u n M pour tout n N, ce qui signifie que la suite (u n ) n N est bornée. Théorème..8. Une suite réelle ou complexe est convergente si, et seulement si, elle est de Cauchy. Démonstration. Soit (a n ) une suite réelle ou complexe. ) Nous supposons que la suite (a n ) converge vers a. Soit ε > 0. Puisque lim n + a n = a, il existe n 0 N tel que pour tout n N, Par conséquent, n > n 0 a n a < ε. (..) n,m > n 0 a n a m = a n a + a a m a n a + a a m < ε. Ce qui montre que la suite est de Cauchy. Nous supposons que la suite (a n ) est de Cauchy. Elle est bornée d après le théorème..7. Donc, admet d après le théorème de Bolzano- Weierstrass, une sous-suite convergente (a ϕ(n) ). Notons a la limite de la sous-suite (a ϕ(n) ). Soit ε > 0. La suite (a n ) étant de Cauchy, il existe n 0 N tel que pour tout n,m N n,m > n 0 a m a n < ε. (..) Par ailleurs la sous-suite (a ϕ(n) ) converge vers a. Donc il existe n N tel que pour tout n N, n > n aϕ(n) a < ε Si n > max(n 0,n ), nous obtenons à partir de (..) et (..3) que (..3) d où le résultat. a n a = an a ϕ(n) + a ϕ(n) a an a ϕ(n) + aϕ(n) a < ε 6
CHAPITRE. SUITES RÉELLES Exemple... Montrons que, pour tout nombre complexe z la suite (u n (z)) n N définie par u n (z) = n z k k=0 k! est convergente. La limite de cette suite est l exponentielle complexe de z notée exp(z). Il suffit de montrer que c est une suite de Cauchy. En effet, pour m > n > nous avons m z u m u n = k k=n+ k! = z n+ (n + )! + z n + +... + z m n (n + )...(m )m ( ) z n+ + z (n + )! n + + z z m n +... + (n + ) (n + ) m n En désignant par n 0 > un entier naturel tel que n 0 + > z, on a pour m > n > n 0, u m u n z n+ (n + )! z n+ ce qui implique que (u n (z)) n N est de Cauchy, donc convergente..3 Opérations sur les suites convergentes Dans l ensemble C N, on définit la somme des suites u = (u n ) n N et v = (v n ) n N par u + v = (u n +v n ) n N et le produit de u par le scalaire λ par λu = (λu n ) n N. Muni de ces deux lois C N est un espace vectoriel sur C. On définit également le produit des suites u = (u n ) n N et v = (v n ) n N par u v = (u n v n ) n N, ce qui confère à C N une structure d algèbre commutative sur C. Proposition.3.. Soient (u n ) et (v n ) deux suites réelles ou complexes. Si (u n ) est une suite bornée et si (v n ) est une suite qui converge vers 0, alors la suite (u n v n ) converge vers 0. Démonstration. La suite (u n ) étant bornée, il existe un réel K tel que u n K pour tout n N. Fixons ε > 0. Il existe N N tel que v n < ε/k pour tout n > N, grâce à la convergence de (v n ) vers 0. Ainsi, pour n > N, u n v n = u n v n < ε.. une algèbre sur un corps commutatif K, ou simplement une K-algèbre, est une structure algébrique (A,+,, ) telle que :. (A,+, ) est un espace vectoriel sur K. la loi est définie de A A dans A (loi de composition interne) 3. la loi est distributive par rapport à la loi + ; 4. pour tout (a,b) dans K et pour tout (x,y) dans A, (a x) (b y) = (ab) (x y) elle est commutative si la loi de composition interne est commutative. 7
CHAPITRE. SUITES RÉELLES Théorème.3.. Soient u = (u n ) n N et v = (v n ) n N deux suites telles que lim n + u n = l et lim n + v n = l. Les suites u + v et u v convergent respectivement vers l + l et l l.. Dans le cas où les suites u et v sont réelles, les suites min{u,v} = (min{u n,v n }) n N et max{u,v} = (max{u n,v n }) n N convergent respectivement vers min{l,l } et max{l,l }. 3. Si l 0, il existe alors un entier n 0 tel que la suite u v = ( u n v n ) n n0 soit définie et cette suite converge vers l l. 4. Si l > 0, il existe un entier n 0 tel que u n > 0 pour tout n n 0 et la suite u = ( u n ) n n0 converge vers l Démonstration.. Soit ε un réel strictement positif. En posant n 0 = max{n,n }, on a : n N, n > n, u n l < ε, n N, n > n, vn l < ε, n > n 0, (un + v n ) (l + l ) un l + vn l < ε ce qui signifie que la suite u + v converge vers l + l. Par ailleurs, comme la suite convergente v est bornée (car convergente), il existe un réel M > 0 tel que : n N, v n M et pour tout n n 0, on a : un v n ll = un v n lv n + lv n ll u n v n lv n + lv n ll v n u n l + l vn l (M + l )ε, ce qui signifie que la suite u v est convergente vers l l.. Se déduit de la relation a,b R, { max(a,b) = (a + b + a b ) min(a,b) = (a + b a b ) 3. Si l 0 alors à partir d un certain rang n 0, les éléments de la suite v sont non nuls et la suite u v est définie à partir de ce rang. On peut en fait trouver n 0 tel que v n > l pour n n 0 comme nous le voyons dans le théorème..0, ce qui entraîne que : n > n 0, v n l = v n l v n l vn l l et lim n + vn = l. Le résultat sur le produit nous donne alors lim n + ( un v n ) = l l 8
CHAPITRE. SUITES RÉELLES 4. Si l > 0, on peut en fait trouver un entier n 0 tel que u n 4 l pour tout n n 0 et avec : u n u n l l = un + l 3 l u n l on déduit que lim n + un = l. Théorème.3.3. Soient u = (u n ) n N et = (v n ) n N deux suites réelles telles que lim n + u n = l et lim n + v n = l.. Si l > l on a alors u n > v n à partir d un certain rang.. Si à partir d un certain rang, u n < v n alors l l. 3. Si M est un majorant de la suite u, alors l M. 4. Si m est un minorant de la suite u, alors l m. Démonstration. On applique le théorème 3.3 aux suites v u, M u et u m. Remarque.3.4.. Si lim n + u n = + et (v n ) est minorée alors lim n + (u n +v n ) = +. De même si lim n + u n = et (v n ) majorée alors lim n + (u n + v n ) =. Si lim n + u n = + et lim n + v n = l R alors lim u nv n = n 3. Si lim n + u n = et lim n + v n = l R alors lim u nv n = n { + si l > 0 si l < 0 { si l > 0 + si l < 0 On a une forme indéterminée pour u + v si lim n + u n = + et lim n + v n = et pour u v si lim n + u n = ± et lim n + v n = 0. Dans ces différents cas, une étude plus approfondie est necessaire pour conclure..4 Suites adjacentes Définition.4.. Deux suites réelles (a n ) et (b n ) sont dites adjacentes si l une des suites est croissante (au sens large), l autre suite décroissante au sens large et si la différence des deux tend vers 0. Remarque.4.. Si (a n ) et (b n ) sont deux suites adjacentes avec (a n ) croissante et (b n ) décroissante, alors pour tout n N a n b n En effet, si (a n ) est croissante et (b n ) décroissante alors (b n a n ) est décroissante. Si la suite (b n a n ) est décroissante et converge vers 0 alors (b n a n ) est une suite à termes positifs. Donc, pour tout n, b n a n 0 donc b n a n. On peut même observer que pour tous entiers p,q (non nécessairement égaux), a p b q. En effet, si p q alors a p a q b q, et si p q alors a p b p b q. 9
CHAPITRE. SUITES RÉELLES Théorème.4.3. Soient (a n ) et (b n ) deux suites adjacentes (où (a n ) est croissante et (b n ) est décroissante). Alors ces deux suites sont convergentes, et ont la même limite l R. De plus, pour tout entier naturel n, a n l b n Démonstration. La suite (a n ) est croissante, et majorée par b 0. Or on déduit de l hypothèse de la borne supérieure que toute suite croissante et majorée converge. La suite (a n ) admet donc une limite l. Puisque la suite (b n a n ) converge vers 0, on en déduit que la suite (b n ) converge également vers l. De plus, pour tout n, a n l b n : la première inégalité se déduit, par passage à la limite, de q, a n b q, et la seconde se déduit de p, a p b n Exemple.4.. Montrons que les suites réelles (u n ) n N et (v n ) n N définie respectivement par sont adjacentes. u n = n k=0 k! et v n = u n + n! Solution.4.. Il est clair que (u n ) est croissante et pour n on a : v n+ v n = donc (v n ) n est décroissante. De plus avec on déduit que ces suites sont adjacentes (n + )! + (n + )! n! = n (n + )! < 0 lim v n u n = lim n + n + n! = 0,.5 Suites particulières.5. Récurrence homographique Suites arithméco-géométriques Définition.5.. Une suite (u n ) réelle ou complexe est :. Arithmétique lorsqu il existe b C tel que pour tout n N, u n+ = u n + b. b en est la raison.. Géométrique lorsqu il existe a C tel que, pour tout n N, u n+ = au n. a en est la raison. 3. Arirhmético-géométrique lorsqu il existe a,b C tels que pour tout n N, u n+ = au n + b. Proposition.5.. Etant donné une suite arithmétique (v n ) de raison r,. pout tout entier n 0 n, on a. si r > 0 sa limite est + 3. si r < 0 sa limite est. v n = v n0 + (n n 0 ) r. 0
CHAPITRE. SUITES RÉELLES 4. Si la raison est nulle, la suite est constante et converge vers la constante. 5. La somme de termes consécutifs de (v n ) à partir du rang p N est v p + v p+ +... + v n = (n p + )(v n + v p ). Proposition.5.3. Etant donné une suite géométrique (u n ) n N de raison q,. pour tout entiers naturels n 0 n u n = u n0 q n n 0.. Si q, la suite diverge et ne possède pas de limite. Dans R = R {,+ } les valeurs d adhérence sont + et. 3. Si q =, la suite diverge et possède deux valeurs d adhérence u 0 et u 0 4. Si q <, la suite converge vers 0 5. Si q =, la suite est constante et converge vers u 0 6. Si q >, la suite est divergente mais possède une limite égale à + si u 0 > 0 et pour u 0 < 0 7. Pour deux entiers 0 m < n pour q différent de p=n u p = u 0 q m qn+ m p=m q Remarque.5.4. Etudions la suite u = (a n ) n N où a C Si a = 0 alors u est constante égale à 0. Pour a >, la formule du binôme de Newton nous dit que a n + n( a ) et comme a > 0 on a lim n + n( a ) = +, ce qui entraîne que lim n + a n = + et la suite u diverge. Pour 0 < a <, nous avons a >. Ainsi en écrivant que a n = a n nous avons lim n + a n = 0. Pour a =, on a a = e iθ. Si θ = kπ avec k Z (soit a = ), alors u est constante égale à : Supposons que θ / πz et montrons par l absurde que la suite ne converge pas. Nous supposons qu il existe l C tel lim n + e inθ = l. Nous avons l implication lim u n = l lim u n+ u n = 0 n + n En effet, si ε > 0 est fixé, il existe N tel que n > N implique u n l < ε. il vient alors que n > N implique u n+ u n = u n+ l + l u n u n+ l + u n l < ε puisque n + > n > N. Or a n+ a n e = i(n+)θ e inθ e = iθ = sin θ On déduit que sin θ = 0 et par conséquent que θ = kπ ce qui est contradictoire. La suite u est donc divergente. Proposition.5.5. Soit (u n ) une suite arithmético-géométrique : u n+ = au n + b.. Si a =, c est une suite arithmétique et si c est b = 0 c est une suite géométrique.. Si a, la suite (v n ) définie par v n = u n a b, est géométrique de raison a.
CHAPITRE. SUITES RÉELLES Suite homographique Définition.5.6. Une suite (u n ) (complexe ou réelle) est dite homographique, lorsqu il existe des constantes a,b,c et d telles que :. c 0 et ad bc 0. pour tout n N, u n+ = au n + b cu n + d. (.5.) Proposition.5.7. Soit (u n ) une suite homographique définie par la relation (.5.). On considère l équation x = ax + b cx + d. (.5.). Si α est une racine de (.5.) et il existe p N tel que u p = α, alors la suite (u n ) est constante.. Si l equation (.5.) a deux racines distinctes α et β, alors la suite (v n ) définie par v n = u n α u n β est une suite géométrique ; 3. Si l equation (.5.) a une racine double α, la suite (v n ) définie par v n = suite arithmétique. u n α est une.5. Suites récurrentes linéaires Nous désignons par K, l ensemble R ou C. Définition.5.8. Soit (a,b) K K. Une suite récurrente linéaire d ordre est une suite (u n ) n N qui satisfait la relation de récurrence pour tout n 0 u n+ = au n+ + bu n. Théorème.5.9. Soient (a,b) R avec b 0 et L(a,b) l ensemble de suites récurrentes linéaires d ordre : } L(a,b) = {(u n ) n N R N n N, u n+ = au n+ + bu n. L ensemble L(a,b) est un R-espace vectoriel de dimension. Démonstration. Pour montrer que L(a, b) est un R-espace vectoriel nous montrons que c est un sous-espace vectoriel de R N. La suite nulle est une suite recurrente lineaire d ordre donc L(a,b) est non vide. Soit u et v deux suites de L(a,b) et (α,β) R. Posons w = αu+βv. Nous avons alors : w n+ = αu n+ + βv n+ = α(au n+ + bu n ) + β(av n+ + bv n ) = a(αu n+ + βv n+ ) + b(αu n + βv n ) = aw n+ + bw n
CHAPITRE. SUITES RÉELLES Donc w L(a,b). Ainsi L(a,b) est un sous-espace vectoriel de R N. Considérons l application ϕ suivante : Nous remarquons deux choses : ϕ : L(a,b) R (u n ) n N (u 0,u ). L application ϕ est linéaire. En effet pour tout (u,v) L (a,b) et tout (α,β) R, ϕ(αu + βv) = (αu 0 + βv 0,αu + βv ) = αϕ(u) + βϕ(v).. L application ϕ est bijective (en effet un élément u de L(a, b) est uniquement déterminé par ses deux premiers termes.) Précisons cela. Si u 0 = u = 0 alors u est la suite nulle, donc kerϕ est réduit a la suite nulle et ϕ est injective. Enfin, étant donne deux scalaires (α,β) R on peut définir une suite u L(a,b) telle que u 0 = α et u = β. L application ϕ est surjective. En conclusion ϕ est un isomorphisme d espace vectoriel. Comme R est de dimension, il en est de même pour L(a,b)..5.3 Description des suites récurrentes linéaires Une suite géométrique (r n ) n N non nulle est dans L(a,b) si et seulement si r est solution de l équation caractéristique X ax b = 0. (.5.3) Comme b est suppose non nul (.5.3) n admet pas 0 comme solution.. (.5.3) a deux racines distinctes. Notons α et β les deux racines de (.5.3). Les deux suites géométriques (α n ) n N et (β n ) n N sont dans L(a,b). et sont linéairement indépendantes (le vérifier par exemple sur leur image par l isomorphisme ϕ), elles forment donc une base de L(a,b) puisque diml(a,b) =. Ainsi : u L(a,b) si et seulement s il existe (η,ν) R tel que : n N, u n = ηα n + νβ n.. (.5.3) a une racine double. Notons µ la racine de (.5.3). Les deux suites (µ n ) n N et (nµ n ) n N sont dans L(a,b) et sont linéairement indépendantes, elles forment donc une base de L(a, b) puisque diml(a, b) =. Ainsi : u L(a,b) si et seulement s il existe (η,ν) R tel que : n N, u n = (η + νn)µ n. 3. (.5.3) n a pas de racines réelles. L équation (.5.3) a deux racines complexes conjuguées ω et ω. Posons r = ω et θ = argω. On vérifie que les suites (r n cos(nθ)) n N et (r n sin(nθ)) n N sont linéairement indépendantes, elles forment donc une base de L(a,b) puisque diml(a,b) =. Ainsi : u L(a,b) si et seulement s il existe (η,ν) R tel que : n N, u n = ηr n cos(nθ) + νr n sin(nθ). Exemple.5.. Etudier la suite reelle (u n ) n N définie par u n+ = u n u n+, u 0 = 0 et u = 3. 3
CHAPITRE. SUITES RÉELLES Solution.5.. : l équation caractéristique (.5.3) est X + X = 0, elle admet deux racines distinctes et. Donc il existe (α,β) R tel que pour tout n N, u n = α + ( n )β. Déterminons α et β. Nous avons : { u0 = α + β = 0 u = α β = 3 Donc α = et β =. Ainsi pour tout n N, u n = ( ) n. 4
Chapitre 3 Fonctions numériques d une variable réelle 3. Limite et continuité 3.. Généralités sur les fonctions numériques d une variable réelle Soient X et Y deux ensembles non vides. Définition 3... Si D est une partie non vide de X, la correspondance f qui à chaque élément x de D associe un élément unique y de Y est appelée application de D dans Y ou fonction définie sur D à valeurs dans Y. On dit aussi que f est une fonction définie dans X, à valeurs dans Y, dont le domaine de définition est D. La relation entre l élément x de D et son correspondant y dans Y est notée y = f (x) On note f : D Y x f (x). Soit f une fonction définie dans X à valeurs dans Y et de domaine de définition D. Si A D alors l image de A est le sous-ensemble f (A) de Y défini par f (A) = { f (x)/x A}. f (D) est appelé aussi ensemble image de f. Le graphe de f est le sous-ensemble G f de X Y défini par G f = {(x, f (x))/x D}. Si B Y alors f (B) désigne le sous-ensemble de X défini par f (B) = {x D/ f (x) B}. Si Y = R, alors f est une fonction numérique ; si en plus D R, on dit que f est une fonction numérique d une variable réelle, ou encore fonction réelle d une variable réelle. L ensemble des fonctions numériques d une variable réelle définies sur D est noté R D. Dans la suite, D f désignera le domaine de définition de la fonction numérique f. 5
Définition 3... Soient f et g deux fonctions numériques d une variable réelle. Si D f D g /0, alors les fonctions f + g, f g, f g sont définies sur D f D g par ( f + g)(x) = f (x) + g(x), ( f g)(x) = f (x) g(x), ( f g)(x) = f (x)g(x). La fonction quotient f g est définie par ( ) f (x) = f (x) g g(x) pour tout x D f D g tel que g(x) 0. Exemple 3... Si f (x) = 4 x et g(x) = x alors D f = [,] et D g = [,+ [. Donc. f + g, f g et f g sont définies sur D f D g = [,] par. f g (a) ( f + g)(x) = 4 x + x (b) ( f g)(x) = 4 x x (c) ( f g)(x) = ( 4 x )( x ) = (4 x )(x ) est définie sur ],] par ( ) f 4 x (x) = g x. Bien que l expression (4 x )(x ) ci-dessus soit définie aussi sur ], [, elle ne représente pas f g pour ces valeurs de x, vu que f et g ne sont pas définies sur cet ensemble. Exemple 3... Si f (x) = 4 x et g(x) = x alors D f = [,] et D g = [,+ [. Donc. f + g, f g et f g sont définies sur D f D g = [,] par ( f + g)(x) = 4 x + x ( f g)(x) = 4 x x ( f g)(x) = ( 4 x )( x ) = (4 x )(x ). f g est définie sur ],] par ( ) f 4 x (x) = g x. Bien que l expression (4 x )(x ) ci-dessus soit définie aussi sur ], [, elle ne représente pas f g pour ces valeurs de x, vu que f et g ne sont pas définies sur cet ensemble. Dans la suite de ce cours, nous considérons essentiellement les fonctions numériques d une variable réelle. Définition 3..3. Soient D une partie de R et f : D R une fonction.. On dit que f est : (a) minorée s il existe m R tel que pour tout x D on ait f (x) m. (b) majorée s il existe M R tel que pour tout x D on a f (x) M. (c) bornée si f est majorée et minorée. 6
. Si f est majorée, on appelle borne supérieure de f le nombre réel sup D On définit de même la borne inférieure. f = sup{ f (x) x D} 3. On dit que f admet un maximum en a D si f (a) est le maximum de la partie f (D) 4. On dit que f admet un maximum local en a D s il existe un intervalle ouvert I contenant a tel que f (a) soit le maximum de f (D I). On définit de même la notion de minimum et de minimum local. 5. Un extremum (local) est un maximum (local) ou un minimum (local). Remarque 3..4. Une fonction bornée possède toujours une borne supérieure et une borne inférieure mais pas forcément un maximum et un minimum. Notation 3... Soient a,b R, a < b.. Si I = ]a,b[, ]a,b], [a,b[ ou [a,b] alors on note I = [a,b] et I = ]a,b[. Si I = ]a,+ [ ou [a,+ [ alors I = [a,+ [ et I = ]a,+ [ 3. Si I = ],b[ ou ],b] alors I = ],b] et I = ],b[ 4. Si I = ],+ [ = R alors I = I = R et I = I I est appelé adhérence de I dans R et I est l intérieur de I. Dans la suite I désignera un intervalle de l une des formes ci-dessus. Définition 3..5. Soit f une fonction définie sur D f et I D f.. f est décroissante (resp. strictement décroissante) sur I lorsque (x,x ) I, x < x f (x) f (x ) (resp. f (x) > f (x )). f est croissante (resp. strictement croissante) sur I lorsque (x,x ) I, x < x f (x) f (x ) (resp.f(x) < f(x )) 3. f est monotone (resp. strictement monotone) lorsqu elle est croissante ou décroissante (resp. strictement croissante ou strictement décroissante). 4. Si le domaine de définition D f de f est symétrique par rapport à 0 ; c est-à-dire si x D f alors x D f, alors f est : (a) paire si f ( x) = f (x) pour tout x D f, (b) impaire si f ( x) = f (x) pour tout x D f. 5. Si T R\{0} est une période de f si D f soit stable par translation x x+t ; c est-à-dire si x D f alors x + T D f, et f (x + T ) = f (x) pour tout x D f. 7
3.. Notion de limite d une fonction I est toujours un intervalle de R (voir notation 3..). Définition 3..6. Soient f : I R une fonction et a I.. On dit que f admet l comme limite en a si ε > 0 δ > 0 tel que x I, x a < δ f (x) l < ε On note lim x a f (x) = l.. On dit que f (x) tend vers + quand x tend vers a si K R + δ > 0 tel que x I, x a < δ f (x) > K On note lim x a f (x) = +. 3. On dit que f admet l comme limite quand x tend vers + si ε > 0 K R + tel que x I,x > K f (x) l < ε On note lim f (x) = l. x + 4. On dit que f tend vers + quand x tend vers + si On note lim f (x) = +. x + K R +, M R + tel que x I, x > M f (x) > K On définit de même lim f (x) = et lim f (x) =. x ± x a Exemple 3..3.. limxcos x 0 x = 0, car pour tout ε > 0, si x < ε alors xcos x x < ε. lim = +, car pour K > 0, si x < x 0 x K alors > K x 3. On montre de même que : lim x a lim x + x = a a R, lim x = +, x + xn = + n N, lim x n = 0 n N, x ± { + si n est pair et non nul lim x xn = si n est impair lim = + x 0 x n Proposition 3..7. Soient f : I R et a I. Si f admet une limite en a, cette limite est unique. Démonstration. Comme dans le cas des suites, nous procédons par l absurde. Supposons que f admet deux limites distinctes l et l en a, avec l < l. Puisque l < l nous prenons dans la définition de la limite ε = l l. Il existe alors δ > 0 tel que pour tout x I, x a < δ implique que f (x) l < ε et δ > 0 tel que pour tout x I, x a < δ implique que f (x) l < ε. On a l l = l f (x) + f (x) l l f (x) + f (x) l par l inégalité triangulaire. En prenant x I tel que x a < min(δ,δ ), on obtient l l < l l, ce qui est absurde Proposition 3..8. Soient f et g deux fonctions numériques d une variable réelle définies sur l intervalle I, a une borne de I ou un élément de I.. Si f admet une limite l R en a, alors 8
si a R, il existe α > 0 tel que f soit bornée sur I ]a α,a + α[, si a = + alors il existe b R tel que f soit bornée sur I ]b,+ [, si a = alors il existe b R tel que f soit bornée sur I ],b[. Si f et g ont une limite dans R quand x tend vers a, alors lim( f (x) + g(x)) = lim f (x) + x a x a limg(x) et lim( f (x)g(x)) = lim f (x)limg(x) x a x a x a x a 3. Si lim f {,+ } et limg(x) = l R alors x a x a (a) lim( f (x) + g(x)) = lim f (x) et x a x a { lim f (x) si l < 0 (b) lim( f (x)g(x)) = x a. x a f (x) si l > 0 lim x a g(x) (c) lim x a f (x) = 0 4. Si lim f (x) = limg(x) = + alors lim( f (x) + g(x)) = lim( f (x)g(x)) = + x a x a x a x a 5. Si lim f (x) = limg(x) = alors lim( f (x) + g(x)) = et lim( f (x)g(x)) = + x a x a x a x a 6. Si f admet une limite finie l 0 quand x tend vers a alors lim x a f (x) = l 7. Si lim f (x) = + alors lim x a x a f (x) = 0. 8. Nous notons J un intervalle de la forme J = où δ > 0,b,c R. I ]a δ,a + δ[ si a I ]b,+ [ si a = + ],c[ si a = (a) Si lim x a f (x) = 0 et si g est définie et bornée sur Jalors lim x a f (x)g(x) = 0. (b) Si lim f (x) = 0 et si f (x) 0 sur Jalors lim x a f (x) = +. (c) Si f (x) g(x) sur un intervalle Jalors x a i. lim x a f (x) = + lim x a g(x) = + et lim x a g(x) = lim x a f (x) = ii. si lim f (x) = l et limg(x) = l alors l l. x a x a (d) (gendarmes) Si f (x) g(x) h(x) sur Jet si lim f (x) = limh(x) = l alors limg(x) = x a x a x a l. Démonstration. Les démonstrations sont les mêmes que dans le cas des suites. 3..3 Fonction continue Théorème 3..9. Soit E R. Alors E est un intervalle si et seulement si E possède la propriété suivante : x,y E, (x < z < y z E. 9