CC DF Chapire 3 CINEMATIQUE page 1/9 Chapire 3 : CINEMATIQUE La cinémaique (u grec kinêma : mouemen) es la branche e la physique qui écri le mouemen, sans se préoccuper e ses causes. Nous éuions ans ce chapire les noions e isance, e iesse e accéléraion. Une fois équipés e la cinémaique (le ocabulaire u mouemen), nous pourrons aborer ans le prochain chapire la ynamique, c es-à-ire les causes u mouemen. 3.1 Posiion e emps La posiion un obje ans l espace s exprime par rappor à un repère (un sysème axes muni une origine) appelé référeniel. z Référeniel ans un espace à 3 imensions O y x Le emps (ou l'insan) es quan à lui repéré sur une horloge. Aec les imensions e l'espace, on peu complèemen écrire le mouemen (les éplacemens) e l'obje. On i que le emps es la quarième imension e l'espace-emps (x, y, z, ) ans lequel éolue le corps. La héorie e la relaiié 'Einsein, qui monre que le emps e l'espace son inimemen liés, n'es pas éuiée ans ce chapire car elle concerne les mouemens à es iesses proches e celle e la lumière. 3. Trajecoire e horaire La rajecoire un corps es l ensemble es posiions e l espace qui on éé (on êre) occupés par ce corps au cours u emps. En suian le cenre e graié u corps, la rajecoire es onc une ligne ans l'espace. z P o s i io n a u e m p s P o s i io n a u e m p s 1 O y x P. Fia ersion JCB1
CC DF Chapire 3 CINEMATIQUE page /9 Dans la suie e ce chapire, nous n'éuierons que es rajecoires à une imension ('espace). Il peu s'agir e rajecoires roies (= recilignes), comme celle écrie par un ahlèe couran le 1 mères, ou plus généralemen e rajecoires sur un parcours imposé, comme celle écrie par un rain sur la oie Genèe-Lausanne. Consiérons e plus près un el mouemen : Le corps se éplace sur une rajecoire, franchi le (ou par u...) poin 'origine P au emps, franchi le poin P 1 au emps (insan) 1, le poin P au emps, le poin P 3 au emps 3, ec. P es l origine es posiions. Les aures poins P 1, P, P 3, son repérés par les isances parcourues 1,, 3, les séparan e l'origine P. es l origine es emps. Le compage u emps (le chronomérage) ébue lorsque le mobile passe ean P. Il au onc : =! Les poins P 1, P, son franchis aux emps (insans) 1,, P, (= s) obje en mouemen P 1, 1 P, 3 P 3, 3 1 r a j e c o i r e L horaire u mouemen es la relaion. L horaire peu êre représené par un ableau, à l image un horaire e chemin e fer. Conrairemen à l horaire «CFF», une 3 ème colonne es ajouée ans laquelle les éloignemens es poins P 1, P,... par rappor au poin origine P son inscris. posiion P emps isance parcourue P ( = ) P 1 1 1 P Dans cerains cas (moèles), l horaire peu aussi êre onné par une formule (expression mahémaique) : () =... ( es une foncion u emps) En exemple, onnons les horaires es eux mouemens que nous errons plus loin ans ce cours : 1) le Mouemen Uniforme à iesse consane (M.U.) : cf 3.3 ) le Mouemen Uniformémen Accéléré (M.U.A.) : 1 a cf 3.6 Finalemen, l'horaire peu êre aussi représené par un graphique. Exemple: i Conenion: le emps es sur l'axe horizonal. i P. Fia ersion JCB1
CC DF Chapire 3 CINEMATIQUE page 3/9 3.3 Viesse consane: mouemen uniforme De nombreux mouemens ans la naure son rès simples à écrire. Par exemple la propagaion e la lumière e u son, le éplacemen e agues à la surface e l'eau, ou encore la chue 'une goue e pluie. Dans ous ces cas, on obsere que: la isance parcourue es proporionnelle au emps ce qu'on écri mahémaiquemen : ( es proporionnelle à ) La consane e proporionnalié enre e es ce qu on éfini comme la iesse! Donc on peu écrire : On reien cee formule plus facilemen sous la forme suiane : Définiion : iesse (consane) iesse isance parcourue emps corresponan La iesse exprime la rapiié u éplacemen, c'es-à-ire la rapiié aec laquelle un corps passe 'un poin e l'espace à un aure. Uniés e la iesse : Dans le Sysème Inernaional, la iesse oi êre exprimée en [m/s], mais ans la ie courane on la onne souen en [km/h]. Il exise aures uniés comme le [km/s], [kn] (=nœus), [mph] (=milles par heure) Règle e ransformaion à connaîre par coeur : 1 m s = 3,6 km h Démonsraion:...... Aenion : les formules encarées qui son onnées ci-essus ne son alables que pour es mouemens à iesse consane, c'es-à-ire lorsque le calcul = / onne oujours le même résula quels que soien la isance e le emps choisis. On parle e mouemen uniforme. Définiion : Un Mouemen Uniforme (abrégé M.U.) es un mouemen qui se fai à iesse consane : ce La aleur e la iesse ne arie pas (pour ou choix e e ). Lorsque, e plus, le mouemen se fai sur une ligne roie, on parle e Mouemen Reciligne Uniforme (abrégé M.R.U.). Graphiques : () pour le mouemen uniforme 1 1 La roie oblique inique clairemen que es proporionnelle à. La pene e la roie (oujours aec les graneurs physiques e leurs uniés!) es la iesse (pene consane iesse consane) : pene = P. Fia ersion JCB1
CC DF Chapire 3 CINEMATIQUE page 4/9 () pour le mouemen uniforme S 1 = 1 1 On remarque que "la surface" u graphique ("l'aire" sous la courbe () ), c'es-à-ire le recangle hachuré, correspon à la isance parcourue! En effe, si on pren en consiéraion les graneurs physiques aec leurs uniés (e non les cm u graphique!), "la surface" hachurée s'obien en faisan le proui "largeur" x "longueur" : S 1 =. 1 = 1 Il en es ainsi pour n'impore quel mouemen : même quan la iesse arie, e façon simple ou complexe, "l'aire" sous la courbe () représene oujours la isance parcourue (cf 3.5). 3.4 Viesse insananée Lorsqu'on roule en élo ou en oiure, il es généralemen ifficile e mainenir une iesse consane. Le compeur e iesse inique une aleur qui arie au cours u emps. La iesse à un insan onné (e onc en un poin P onné sur la rajecoire) es ce qu'on appelle la iesse insananée. Commen éerminer cee iesse en un poin P onné alors que le mouemen n'es pas uniforme? Dans le cas 'une auomobile, le compeur e iesse ou un raar e la police perme e connaîre aisémen la iesse insananée. Mais ans la plupar es siuaions, comme par exemple ans le cas 'un skieur paricipan à une course, on ne peu faire qu'une esimaion. Une méhoe consise à uiliser eux faisceaux lumineux e eux cellules phooélecriques (capeurs) que l'on ispose ou près u poin P où oi se faire la mesure, e par e 'aure e ce poin : P, (= s) P A P P B A B A B Noaion : "" signifie "ineralle e..." ou "ifférence e..." L'ineralle es une peie isance : = B A Le pei emps es mesuré enre les eux éeceurs placés en P A e P B : = B A Définiion : iesse insananée au poin P P pour es ineralles e rès peis Le calcul à parir e cee formule ne onne généralemen qu'une approximaion e la iesse réelle en P (ce qui explique le symbole ), car il se peu que la iesse arie légèremen enre les poins A e B. Mais plus l'ineralle choisi es pei, meilleure es cee approximaion. L'iéal es onc e prenre le plus pei ineralle echniquemen possible. Bien enenu, si le mouemen es uniforme (iesse consane), le symbole peu êre remplacé par =. P. Fia ersion JCB1
CC DF Chapire 3 CINEMATIQUE page 5/9 3.5 Viesse moyenne La iesse moyenne es la iesse consane qu'un corps ou un éhicule, animé 'un mouemen non uniforme, erai aoper pour parcourir une même isance ans un même emps. Définiion : moy o o iesse moyenne isance oale emps oal Noaion : les symboles o e o iniquen clairemen qu'il fau prenre ans le calcul la isance sur ou le parcours e le emps oal écoulé (y compris la urée es éenuels arrês) Le long e la rajecoire, la iesse insananée P peu arier. Mais moy correspon à une iesse consane sur oue la rajecoire. Bien sûr, ans le cas pariculier où le mouemen es uniforme ( = ce), alors moy =. Graphique : inerpréaion graphique e moy sur un iagramme () quelconque iesse moy Lorsque la iesse arie, comme ans l'exemple e ce graphique, la aleur e moy enre les emps e correspon en quelque sore à un "nieau moyen" pris sur l'axe erical. emps iesse moy emps "L'aire" sous la courbe () e "l'aire" sous la roie horizonale moy oien êre égales (sinon, moy ne représenerai pas un "nieau moyen"). Or "l'aire" sous la roie moy représene la isance parcourue (cf 3.3). Donc "l'aire" sous la courbe () correspon aussi à la isance parcourue! Cee "aire" complexe peu êre éerminée seulemen aec le "calcul inégral" qui es éuié en mahémaiques en 4 ème année. Remarque : Il fau prenre gare au fai que moy correspon à une moyenne emporelle (c'es-à-ire à une moyenne prise sur le emps). Dans cerains cas pariculiers e mouemens uniformes successifs, moy peu êre calculée à l'aie 'une simple moyenne arihméique. Par exemple: si un cyclise roule 1 [h] à la iesse e [km/h], puis 1 [h] à la iesse e 4 [km/h], sa iesse moyenne es égale à la moyenne es eux iesses, soi 3 [km/h]. Mais si les emps e parcours (1 [h] e 1 [h] ans l'exemple) ne son pas égaux, la iesse moyenne moy n'es pas égale à la moyenne es iesses! Voici un exemple: Un cyclise mone une pene à la iesse e [km/h], puis escen cee même pene à la iesse e 4 [km/h]. Sa iesse moyenne n'es pas e 3 [km/h] (elle es inférieure à 3 [km/h] car il passe plus e emps ans la monée que ans la escene)! P. Fia ersion JCB1
CC DF Chapire 3 CINEMATIQUE page 6/9 3.6 Accéléraion consane: mouemen uniformémen accéléré Lorsque la iesse arie au cours u emps, on parle 'accéléraion. Cee graneur physique exprime la rapiié aec laquelle le changemen e iesse a lieu. Le cas le plus simple e ariaion e iesse es celui 'un mouemen uran lequel la iesse arie proporionnellemen au emps. On renconre cee siuaion lorsque, par exemple, un corps ombe ericalemen e que les froemens e l'air son négligeables. C'es le cas e ou obje massif au ébu e sa chue (lorsque sa iesse es encore faible). Un corps glissan sans froemens sur un plan incliné es égalemen animé 'un mouemen on la iesse augmene proporionnellemen au emps. Définiion : accéléraion (consane) a accéléraion = ar iaion e iesse emps corresponan Noaion : "" signifie "ineralle e..." ou "ifférence e..." Si un corps passe 'une iesse insananée 1, en un poin P 1, à une iesse insananée, en un poin P, alors = 1. = 1 es le emps uran lequel on obsere la ariaion. Uniés e l'accéléraion : Lors u calcul 'une accéléraion, il es impéraif 'exprimer les iesses en [m/s] e les emps en [s]. Cela conui aux uniés: m Démonsraion:... s Signe e l'accéléraion : Dans la formule éfinissan l'accéléraion a, le erme es oujours posiif car es oujours supérieur à 1. Il n'en a pas e même pour e 1 : Si > 1 (augmenaion e la iesse), alors > e a : l'accéléraion es posiie. Si < 1 (iminuion e la iesse), alors < e a : l'accéléraion es négaie : (écéléraion ou freinage) Aenion: la formule e l'accéléraion onnée ci-essus n'es alable sricemen (aec le signe = ) que pour un mouemen on la iesse arie proporionnellemen au emps. Quels que soi le choix es ineralles e, qui ne son pas nécessairemen peis ans ce cas, le calcul a = / onne oujours le même résula. On i que l'accéléraion es consane. Ne pas confonre "accéléraion consane" e "iesse consane"! Définiion : Un Mouemen Uniformémen Accéléré (abrégé M.U.A.) es un mouemen qui se fai à accéléraion consane : a ce La aleur e l'accéléraion ne arie pas (pour ou choix e e ). Lorsque, e plus, le mouemen se fai sur une ligne roie, on parle e Mouemen Reciligne Uniformémen Accéléré (abrégé M.R.U.A.). P. Fia ersion JCB1
CC DF Chapire 3 CINEMATIQUE page 7/9 Exemple imporan e M.R.U.A. : la chue libre On racone (mais il s'agi peu-êre 'une légene) que Galileo Galilei, i Galilée (1564-164), fi l'expérience suiane : u hau e la our e Pise, il laissa omber eux sphères 'égale grosseur mais e masses rès ifférenes, l'une éan consiuée e plomb e l'aure e saon. Il consaa que les eux sphères aeignaien le sol en même emps lorsqu'on les lâchai simulanémen! Or, epuis Arisoe (384-3 a. J-C.) e uran es siècles, la science aai affirmé e manière erronée que les objes lours eaien omber plus rapiemen que les objes légers. Galilée énonça, en 16, la fameuse loi... : "Tous les corps, la plume comme le plomb, on la même loi e chue." Pouran, chacun sai qu'une plume es foremen ralenie par les froemens e l'air. En fai, la loi n'es alable sricemen que ans le ie 'air. On parle e chue "libre" lorsque le corps qui ombe es soumis uniquemen à la force e pesaneur. Il n'y a pas e froemens 'air qui influencen le mouemen (conrairemen à ce qui se passe en parachuisme, où le erme "chue libre" a un aure sens). La loi e Galilée peu êre confirmée grâce à l'expérience rès connue u "ube e Newon". Une plume e une bille e plomb son scellées ans un long ube cylinrique ransparen, on l'air a éé reiré à l'aie 'une pompe à ie. Un isposiif perme e lâcher les eux objes simulanémen. La plume e la bille e plomb aeignen le fon u ube en même emps, aec une accéléraion consane qui peu êre mesurée aisémen. L'accéléraion es la même pour ous les corps en chue libre. m Elle es consane e au, près e la surface erresre e en Suisse : a = g 9,81 s On reroue onc la consane g qui perme e calculer la force e pesaneur F p = m g (cf chap. 1, 5). Ce n'es pas un hasar, car cela écoule 'une loi imporane que nous errons ans le chap. 4 : F rés = m a. Par commoié, ans les exercices (mais pas ans les expériences!), on arroni souen g à 1 [m/s ]. Concrèemen, une accéléraion e 1 [m/s ] signifie que la iesse augmene e: 1 [m/s] penan n'impore quel ineralle e emps e 1 [s] 5 [m/s] penan n'impore quel ineralle e emps e,5 [s] 1 [m/s] penan n'impore quel ineralle e emps e,1 [s] ec. Remarquons que, pour ou corps lancé ericalemen ers le hau (e ès l'insan où on cesse e le propulser!), l'accéléraion (ans le ie 'air, près e la surface erresre) es négaie e au : a = 9,81 [m/s ] 1 [m/s ]. Graphiques : () pour le mouemen uniformémen accéléré 1 si a > si a < a = es aussi la pene e la roie! 1 1 1 Imporan : l'oronnée à l'origine (" zéro") es appelée iesse iniiale (iesse à =, lorsque le chronomère es enclenché) e ne au généralemen pas. P. Fia ersion JCB1
CC DF Chapire 3 CINEMATIQUE page 8/9 Aures formules pour le M.U.A. : Il y a rois aures formules imporanes qui iennen s'ajouer à la formule ciée au ébu e ce paragraphe (p. 6). Formule () : L'expression a = peu s'écrire aussi : 1 1 En isolan la iesse au emps 1, il ien : 1 a 1 D'où la relaion générale pour la iesse au emps "" : a Remarque: cee relaion es u ype mahémaique y a x b (équaion 'une roie). Horaire () : En se rappelan (cf. p. 5) que "l'aire" sous la courbe () représene pour ous les ypes e mouemens la isance parcourue, on peu éablir l'équaion horaire u M.U.A. : 1 1 1 Aire riangle = base haueur 1 1 Aire recangle = basehaueur 1 1 De l'origine = jusqu'au emps 1, l'aire sous la courbe () a la forme 'un rapèze : on peu l'exprimer comme la somme e l'aire 'un recangle e e celle 'un riangle. 1 = Aire recangle + Aire riangle 1 = 1 + 1 = 1 1 1 1 + 1 = 1 + a ν 1 a 1 1 1 mais selon 1 a 1, onc en remplaçan 1 par son expression : e après "isribuiié" e regroupemen : D'où la relaion générale pour l'horaire u M.U.A. : 1 a Graphique () : 1 si a > 1 si a < La isance parcourue n'es pas proporionnelle au emps! 1 1 Formule () : En combinan les relaions () e (), on peu obenir une relaion for uile ans laquelle le emps a éé éliminé : a que l'on écri aussi sous la forme : a P. Fia ersion JCB1
CC DF Chapire 3 CINEMATIQUE page 9/9 3.7 Accéléraion insananée Dans bien es siuaions, la iesse n'es pas proporionnelle au emps, c'es-à-ire que l'accéléraion n'es pas consane. Exemple : limie Ce graphique () écri schémaiquemen le mouemen 'un parachuise (qui se laisse omber 'un hélicopère immobile), 'une goue e pluie quian un nuage, ou encore 'une pierre qui se me à couler ans l'eau. Les froemens croissen aec la iesse. Par conséquen, la iesse augmene e moins en moins au cours u emps. Auremen i, l'accéléraion iminue uran la chue, jusqu'à eenir nulle. Dans le cas 'un parachuise (qui se laisse omber), l'accéléraion es égale à g à l'insan où la personne quie l'hélicopère (car il n'y a quasimen pas e froemens 'air à basse iesse), mais elle iminue ensuie rapiemen. Après quelques secones, elles es nulle, c'es-à-ire que la iesse n'augmene plus : une iesse limie 'eniron [km/h] es aeine. Définiion : accéléraion insananée en un poin P a P pour es ineralles e rès peis Les ineralles = B A e = B A son choisis rès peis ans une zone e la rajecoire conenan le poin P bien sûr. Le calcul approximaif e l'accéléraion insananée a P es 'auan meilleur que B es "rès proche" e A : B es alors elle aussi rès proche e A. 3.8 Accéléraion moyenne Si l'accéléraion insananée arie sur un parcours, le calcul e l'accéléraion selon la éfiniion a = / aec e grans ineralles e (formule e la p. 6) conui à ce qu'on appelle une accéléraion moyenne. C'es l'accéléraion consane qu'un corps ou un éhicule erai aoper pour obenir un même changemen e iesse ans un même emps. Par exemple, lorsqu'une oiure accélère e à 1 [km/h] en 5 [s], on peu calculer son accéléraion moyenne pour se faire une iée es performances u éhicule. Mais en réalié l'accéléraion e la oiure n'es pas consane (elle épen e l'acion u conuceur e e la puissance u moeur, qui es elle-même foncion e la iesse). P. Fia ersion JCB1