Probabilités et Statistiques

Préparatio à l Agrégatio Probabilités et Statistiques Fascicule d Exercices gééraux de Probabilités (iveaux L3-M1) Uiversité Pierre et Marie Curie - Paris VI Aée 2008-2009 Lauret MAZLIAK U certai ombre des exercices qui suivet, surtout das les deux premiers chapitres, repérés par u, sot corrigés das le petit livre de la collectio Livrets d exercices de Lauret Mazliak chez Herma sous le titre Calcul de probabilités. D autres le sot das le livre Probabilités de Yves Lacroix et Lauret Mazliak publié chez Ellipses das la collectio Mathématiques à l Uiversité. Repérés par u, ces deriers peuvet évetuellemet correspodre das le livre à ue partie traitée das le cours (pas e exercice). 1

1 Variables aléatoires discrètes Exercice 1.1 Le Chevalier de Méré s étoait qu e laçat deux dés, il obtiee plus souvet 11 que 12 alors que l u et l autre de ces ombres était obteu que par ue combiaiso (5+6 et 6+6). Qu e pesez-vous? Exercice 1.2 a) O fait rouler quatre dés. Quelle est la probabilité d obteir au mois u six? b) O fait rouler deux dés vigt-quatre fois. Quelle est la probabilité d obteir au mois ue fois deux ciq? Exercice 1.3 persoes sot réuies das ue pièce. Calculez la probabilité pour que deux d etre elles au mois aiet la même date d aiversaire. Exercice 1.4 O suppose que das ue course, il y a chevaux au départ. a) Calculez le ombre de tiercés possibles b) Calculez la probabilité de gager, avec u ticket, le tiercé 1-das l ordre 2-das l ordre ou le désordre 3-das le désordre c) Applicatio umérique avec = 14. Exercice 1.5 Das les p boîtes à lettres d u immeuble, u facteur est chargé de distribuer lettres dot r 1 sot pour la boîte 1,...,r p pour la boîte p. Peu cosciecieux, il les distribue au hasard. a) Quelle est la probabilité pour que la distributio soit correcte? b) Quelle est la probabilité pour que la boîte 1 soit correctemet remplie? c) Quelle est la probabilité pour que das la boîte 1 il y ait aucue lettre destiée à u voisi? d) Quelle est la probabilité pour qu il y ait das chaque boîte exactemet le ombre de lettres qui lui était destié? 2

Exercice 1.6 O lace deux dés au hasard et o cosidère les évéemets suivats A = le premier dé tombe sur ue face impaire B = le deuxième dé amèe ue face impaire C = la somme des valeurs des faces des deux dés est impaire Motrer que A, B, C sot deux à deux idépedats mais pas idépedats. Exercice 1.7 Soiet évéemets idépedats A 1,..., A das (Ω, P ). Calculer e foctio de P (A i ) la probabilité p = P (A 1... A ) et motrer que 1 p exp{ i P (A i)}. Exercice 1.8 O tire au hasard,selo ue loi uiforme, u etier compris etre 1 et a) Si q divise, quelle est la probabilité de tirer u multiple de q b) O suppose que la décompositio e facteurs irréductibles de soit = q α1 1... qαp p O ote A i l évéemet: o tire u multiple de q i. Motrer que les A i sot idépedats. Exercice 1.9 E utilisat la loi de (X, Y ), démotrer que E(X + Y ) = E(X) + E(Y ) Exercice 1.10 Costruire u exemple de variable aléatoire o costate pour laquelle Var(X) = 0. Exercice 1.11 Ue populatio comporte 60% de femmes et 40% d hommes. O sait par ailleurs que 10% des hommes ot les cheveux logs et que 40% des femmes ot les cheveux courts. Ue persoe se présete avec les cheveux logs. Quelle est la probabilité pour que ce soit ue femme? 3

Exercice 1.12 Soit A u évéemet. O ote 1I A la variable aléatoire qui vaut 1 sur A et 0 ailleurs (foctio caractéristique de A). Motrer que E(1I A ) = P (A). Exercice 1.13 Soit X ue variable aléatoire réelle. a) Motrer que pour tout α > 0, si X 0, P (X α) 1 E(X) (Iégalité de Markov) α b) Motrer que pour tout ε > 0, P ( X E(X) > ε) Var(X) ε 2 (Iégalité de Bieaymé-Tchebitcheff) Exercice 1.14 Soiet X 1 et X 2 deux variables idépedates, de lois B( 1, p) et B( 2, p). Quelle est la loi de X 1 + X 2? Exercice 1.15 Calculer la probabilité pour qu e répartissat r boules das cellules, toutes les cellules soiet occupées. Exercice 1.16 U joueur joue à la roulette à 37 cases 10 euros sur le 19 et 100 euros sur pair : si la bille tombe sur 19 il touchera 36 fois sa mise (soit 360 euros) et si elle tombe sur pair (0 exclu), il touchera 2 fois sa mise ; das tous les autres cas, sa mise va à la baque. Quelle est l espérace de so gai? Exercice 1.17 a) Mo voisi a deux efats dot ue fille. Quelle est la probabilité pour que l autre soit u garço? b) U autre voisi a deux efats dot le plus jeue est ue fille. Quelle est la probabilité pour que l autre soit u garço? 4

Exercice 1.18 Ce mati là, Mosieur Marti, philosophe à ses heures, avait etrepris, compte teu des prévisios météorologiques pessimistes, de se redre à so travail e voiture et avait eu la boe idée de proposer à so voisi, l igéieur Félicie Optimal de l emmeer. Hélas, bietôt pris das des ecombremets désespérats, ils duret se résoudre à egager les plaisirs de la coversatio ce qui leur doa l occasio de mieux se coaître. M.Marti expliqua qu il avait trois efats dot u préommé Jacques et u autre Paul. N avez-vous pas aussi ue fille? demada Félicie. D ailleurs, je ai qu ue chace sur quatre de me tromper. M.Marti cotiua so propos qui fit apparaître que l aîé des efats était justemet Jacques. Je pese ecore que vous avez ue fille, reprit Félicie, mais j ai maiteat ue chace sur trois de me tromper. - Puisque cela vous itéresse, je puis vous doer ue autre idicatio, dit Mosieur Marti: mo bejami est Paul. - Alors, répodit Félicie, je e sais plus du tout si vous avez ue fille ou o! Cette démostratio de ratioalisme laissa otre philosophe u peu perplexe: ile lui apparaissait pas clair e effet que les iformatios successives qu il avait doées avaiet pu augmeter l icertitude de so voisi Félicie. Ces iformatios étaiet-elles des coaissaces ou des ati-coaissaces? Il s egagea alors das ue méditatio sur le réel et aboutit à la coclusio que puisque effectivemet le cadet de ses efats était ue fille, la première impressio de Félicie avait été la boe. (d après N.Bouleau: Probabilités pour l igéieur, Herma) Exercice 1.19 Soit (A ) ue suite d évéemets telle que P (A ) < Motrer que P ( ue ifiité de A i se produiset simultaémet ) = 0 (Lemme de Borel-Catelli) Exercice 1.20 Soiet X et Y deux variables aléatoires idépedates telles que X suit ue loi de Poisso de paramètre λ et Y ue loi de Poisso de paramètre µ. Détermier la loi de X + Y. 5

Exercice 1.21 O s itéresse à l effet biologique produit par des électros à l issue d ue cathode. Précisémet, o suppose que chaque électro émis a ue probabilité p d être actif. O suppose que tous les électros ot u comportemet idépedat les us des autres. O ote Z le ombre d électros émis et Y le ombre d etre eux qui sot actifs. O suppose que Z suit ue loi de Poisso de paramètre λ. Détermier la loi de Y. Exercice 1.22 Soiet A 1, A 2,..., A des évéemets. Motrer que P (A 1... A ) = P (A 1 )P (A 2 /A 1 )... P (A /A 1... A 1 ) Exercice 1.23 Soiet X et Y deux variables aléatoires de lois de Poisso de paramètres α et β. Motrer que pour tout i suffisammet grad, P (X = i) P (Y = i) α β. Exercice 1.24 Soit X ue variables aléatoire à valeurs etières. O pose p k = P (X = k) et q k = j k+1 Motrer que E(X) = j 0 q j p j Exercice 1.25 Trouver la loi du miimum de deux variables aléatoires géométriques idépedates Exercice 1.26 Décrire u espace de probabilité (Ω, A, P ) de l expériece aléatoire qui cosiste à répartir au hasard boules das N cases. O ote X le ombre de boules tombat das ue case doée à l avace. a) Expliciter les p k = P (X = k), 0 k, E(X) et Var(X) b) Doer la limite de p k quad k état fixé, et N tedet vers l ifii de telle sorte que N λ, 0 < λ < 6

Exercice 1.27 A - O dispose de N pièces umérotées de 1 à N et o e choisit au hasard sas replacemet ( N) a) Décrire l espace de probabilités (Ω 1, A 1, P 1 ) (resp. (Ω 2, A 2, P 2 )) associé à cette expériece aléatoire quad o regarde la suite (resp. l esemble) des uméros obteus. b) O suppose qu ue proportio p, 0 < p < 1, des N pièces sot défectueuses, avec pn >. O ote X le ombre de pièces défectueuses figurat parmi les pièces choisies. (i) E cosidérat X défiie sur Ω 2 expliciter les p k = P 2 (X = k). (ii) E cosidérat X défiie sur Ω 1 motrer que X peut s écrire comme la somme de variables aléatoires à valeurs das {0, 1} X = k=1 Calculer les E(Z k ), cov(z k, Z l ). E déduire E(X) = p et Var(X) = p(1 p)(1 1 N 1 ) B - O cosidère les mêmes pièces, mais o e choisit avec replacemet ( peut être plus grad que N). O ote Y le ombre de pièces défectueuses observées. a) Décrire l espace de probabilité (Ω, A, P ) associé à cette expériece aléatoire b) Expliciter les q k = P (Y = k), 0 k et motrer que, pour k et fixés, p k q k quad N. Commeter. Z k Exercice 1.28 Soit X ue variable aléatoire réelle telle que E(X) = m et Var X = σ 2. O se doe u α 0. a) Soit λ 0. Motrer que P (X m α) = P (X m + λ α + λ). b) Calculer E[(X m + λ) 2 ]. c) Motrer que d) E étudiat ϕ(λ) = λ 0, P (X m α) σ 2 + λ 2 α 2 + λ 2 + 2λα. σ 2 + λ 2 α 2 + λ 2, déduire l Iégalité de Catelli + 2λα P (X m α) 7 σ2 α 2 + σ 2

e) Motrer que P ( X m α) 2σ2 α 2 + σ 2 Quad cette iégalité est-elle meilleure que l iégalité de Bieaymé-Tchebitcheff? Exercice 1.29 Ue pricesse a prétedats umérotés par ordre de mérite décroissat 1,2,...,. Elle doit e choisir u. Le problème est qu ils défilet u par u au hasard devat elle et qu elle e peut reveir sur so choix si elle e a laissé partir u. Elle doit doc adopter ue stratégie pour avoir le plus de chace de choisir le meilleur... Soit Ω l esemble des permutatios de {1, 2,..., }. Ω est mui de la probabilité uiforme. σ Ω représete u tirage du hasard (les prétedats défilet das l ordre σ(1),..., σ()). Pour 1 k, o itroduit la variable Y k qui est le rag de σ(k) das l esemble {σ(1),..., σ(k)} ragé e ordre décroissat: Y k = 1 sigifie que σ(k) est le plus grad parmi l esemble {σ(1),..., σ(k)}, Y k = 2 sigifie qu il y a exactemet u élémet de {σ(1),..., σ(k)} plus grad que σ(k) etc... Par covetio, o pose Y +1 = 0. a) Motrer que F : σ (Y 1 (σ),..., Y (σ)) défiit ue bijectio de Ω sur Π = {1}... {1, 2,..., } b) E déduire que les variables Y j sot idépedates et que Y k suit la loi uiforme sur {1, 2,..., k}. c) Soit τ r = if{k r, Y k = 1} (= + 1 si cet esemble est vide). Calculer la probabilité pour qu au temps τ r, le prétedat qui se présete soit le meilleur (i.e. le umero 1). Commet choisir r pour maximiser la probabilité précédete? Trouver u équivalet de r quad ted vers l ifii. Exercice 1.30 Soit (X ) 1 ue suite de variables aléatoires à valeurs das { 1, 1}, idépedates et de même loi doée par P (X 1 = 1) = P (X 1 = 1) = 1 2 1- Soit S = X k. k=1 Calculer E(S ). 8

2- O appelle temps d arrêt de la suite (X ) ue variable aléatoire τ qui vérifie 0, A { 1, 1}... { 1, 1} = { 1, 1} (cet esemble peut être vide) tel que (τ ) = [(X 1,..., X ) A ] a- Motrer que toute variable aléatoire costate 0 IN est u temps d arrêt b- Motrer que si τ et ν sot deux temps d arrêt, ρ = max(τ, ν) est u temps d arrêt. c- Motrer que si τ est u temps d arrêt, alors, Ã { 1, 1} tel que (τ = ) = [(X 1,..., X ) Ã)]. d- Soit τ = if{ 1, X = 1}. Motrer que τ est u temps d arrêt. Calculer E(S τ ). Exercice 1.31 Soit X ue variable aléatoire réelle preat les valeurs x 1, x 2,..., x l avec les probabilités respectives p 1,..., p l (p 1 +... + p l = 1). O cosidère la foctio de momets de X défiie pour t IR par M(t) = E(e tx ). 1 - Motrer que l o a t IR, M(t) = k=0 t k k! E(Xk ) 2 - E déduire que M est de classe C sur IR et que k 0, E(X k ) = M (k) (0) 3 - Calculer la foctio de momets d ue variable de Beroulli de paramètre p 4 - Soiet X 1,..., X, variables aléatoires idépedates preat chacue u ombre fii de valeurs. O pose S = X 1 +... + X. Calculer la foctio de momets de S. 5 - Quelle est la foctio de momets d ue variable biômiale de paramètres et p 6 - Motrer que M(t) caractérise la loi de X 7 - O pose C(t) = l M(t) a) Motrer que C est défiie sur IR, de classe C b) Calculer C(0), C (0), C (0). c) Motrer que M et C sot covexes. 9

Exercice 1.32 Soit (X ) 1 ue suite idépedate de variables aléatoires à valeurs das {0, 1}. Soit τ le premier istat où la valeur 1 est prise: τ(ω) = if{m, X m (ω) = 1}, (= + si ) O pose r = P (X = 1) et l o suppose que 0 r < 1 pour tout. a) Expliciter la loi de τ à l aide des r A quelle coditio sur les r a-t-o τ < p.s.? b) Détermier la foctio géératrice de τ aisi que E(τ) et Var(τ) das le cas où r = a (a fixé das ]0,1[). c) O pose τ 0 = 0, τ 1 = τ et τ +1 = if{m > τ, X m = 1} Motrer que les variables τ sot fiies p.s., que les v.a. τ +1 τ, 0 sot idépedates et de même loi. E déduire la foctio géératrice et la loi de chacue des τ, leur espérace et leur variace. Exercice 1.33 U joueur va au casio avec ue fortue a IN. A chaque partie, il peut gager 1 euro avec ue probabilité p et perdre 1 euro avec ue probabilité q = 1 p. So but est de jouer jusqu à l obtetio de la fortue c a, c IN mais il doit s arrêter s il est ruié. O ote s c (a) sa probabilité de succès (atteidre c avat la ruie). a) Calculer s c (0) et s c (c) b) Motrer, pour a > 0, e raisoat sur ce qui s est passé au premier coup, la relatio s c (a) = ps c (a + 1) + qs c (a 1) c) Déduire la valeur de s c (a) d) Applicatio umérique: Calculer la valeur précédete avec a = 900, c = 1000; a = 100, c = 20000 das les cas p = 0, 5 et p = 18 38. Exercice 1.34 O repred le modèle de l exercice précédet mais le jeu chage et le joueur est maitat autorisé à s edetter (il e doit plus s arrêter quad il est ruié). O s itéresse au temps d attete du premier gai par le joueur (c est à dire au premier istat où sa fortue s est accrue d ue uité par rapport à sa fortue iitiale). a) Posos 10

φ = P ( au ième coup, pour la première fois, le joueur réalise u gai ). Par covetio, φ 0 = 0. Calculer φ 1. b) O pose Φ(s) = 0 φ s pour 0 s 1. Motrer que pour > 1, φ = q(φ 1 φ 2 +... + φ 2 φ 1 ) c) Déduire que Φ(s) ps = qsφ 2 (s). d) Résoudre l équatio et e déduire Φ. e) Calculer 0 φ f) Soit N le uméro du coup où le joueur réalise u gai pour la première fois. Calculer E(N). 2 Variables aléatoires cotiues Exercice 2.1 Soit X ue variable aléatoire réelle. O pose F (t) = P (X t) (foctio de répartitio). a) Motrer que F est croissate et cotiue à droite. b) Commet iterpréter les sauts de F? Motrer qu il y e a au plus u ombre déombrable. c) Motrer que F est cotiue si X est ue variable à desité. d) Si X est à desité, relier F et la desité de X. e) Motrer que F caractérise la loi de X. Exercice 2.2 a) O suppose que X est à valeurs das IR +. O pose F (t) = P (X t). Motrer que E(X) = 0 (1 F (t))dt b) Soit X ue variable admettat u momet d ordre 1. Motrer que E(X) = P (X > t)dt 0 0 P (X < t)dt Exercice 2.3 Si X est uiforme sur [ 1, 1], détermier la loi de X et de X 2. 11

Exercice 2.4 Si X est ue variable aléatoire réelle strictemet positive de desité f, détermier la loi de X 1, X 2 + 1, mi(x, 1). Exercice 2.5 Supposos que X et Y soiet idépedates et f(x, y) 0. O pose g(x) = E(f(x, Y )). Motrer que E(g(X)) = E(f(X, Y )). Exercice 2.6 Soiet 3 ombres X, Y, Z choisis idépedammet et uiformémet das [0,1]. Quelle est la probabilité pour que l o puisse former u triagle à l aide de segmets de logueurs X, Y, Z? Exercice 2.7 Soit (X, Y ) ue variable aléatoire à valeurs das IR 2 de desité f(x, y) = 1 2 x e y 1I D (x, y) avec D = {x > 0, y > 0, y 2 > x}. a) Détermier les lois de X et Y. b) Les variables aléatoires X et Y sot-elles idépedates? c) Les variables X et Y X 1 2 sot-elles idépedates? d) Les variables aléatoires X Y 2 et Y sot-elles idépedates? Exercice 2.8 Soiet X 1 et X 2 deux variables aléatoires idépedates, de mêmes lois de desité f(x) = 2x, 0 < x < 1 Détermier la loi de X1 X 2. Exercice 2.9 Soit ue variable aléatoire telle que P (X > x + y/x > x) = P (X > y), x, y 0 Détermier la loi de X et iterpréter. 12

Exercice 2.10 O cosidère ue variable X admettat u momet d ordre 1. Motrer que ε > 0, δ > 0, A F, P (A) < δ E( X 1I A ) < ε Exercice 2.11 O dit qu ue suite de variables aléatoires (X ) est uiformémet itégrable si o a lim sup E( X 1I a X >a) = 0 1 - Motrer que (X ) est uiformémet itégrable si et seulemet si (E( X )) IN est borée et si ε > 0, δ > 0 tel que A F, P (A) < δ sup E( X 1I A ) < ε 2 - Soit (X ) ue suite de variables uiformémet itégrable. O pose Y = max( X 1, X 2,..., X ). Motrer que E(Y ) = o(). Exercice 2.12 Soit (X ) ue suite de variables aléatoires à valeurs réelles. Costruire ue probabilité Q équivalete à P telle que toutes les variables X admettet par rapport à Q u momet d ordre 1. Exercice 2.13 Prouver que 1 2π e tx2 2 dx = t 1 2 et déduire que si X est ue variable gaussiee cetrée réduite E(X 2k ) = 1.3.....(2k 1), k 1 13

Exercice 2.14 Soiet X 1,..., X variables aléatoires réelles positives idé pedates, de même loi de foctio de répartitio F. O pose M = max(x 1,..., X ). Exprimer à l aide de F les momets de M (c est à dire les E(M k ) où k est u etier). Exercice 2.15 Soit X ue variable aléatoire réelle de loi N (0, 1) et soit ε ue variable aléatoire idépedate de X telle que P (ε = 1) = P (ε = 1) = 1 2. O pose Y = ε.x. a) Quelle est la loi de (X, Y )? b) Calculer E(XY ) c) X et Y sot-elles idépedates? Exercice 2.16 Soiet α > 0 et β > 0. Soit de plus (U, V ) u vecteur aléatoire à valeurs das IR 2 de loi uiforme sur la surface u 0, v 0, u 1/α + v 1/β 1. O ote S la mesure de cette surface. U 1/α Détermier la loi de X = U 1/α + V. 1/β Exercice 2.17 a) Soiet X et Y deux variables aléatoires réelles idépedates. O suppose que la loi de X admet ue desité sur IR et que Y est à valeurs etières. La loi de X + Y admet-elle ue desité? b) Que pesez-vous du cas o-idépedat? Exercice 2.18 (Aiguille de Buffo). Le pla est strié de droites parallèles équidistates de 2a. Ue aiguille de logueur 2l, l < a est jetée au hasard sur le pla au ses où la distace du milieu de l aiguille à la droite la plus proche est ue variable aléatoire X uiforme sur [0, a] et où l agle que fait l aiguille avec cette droite est ue variable aléatoire ϕ, idépedate de X, uiforme sur [0, π]. Quelle est la probabilité que l aiguille coupe l ue des parallèles? Exercice 2.19 Soit Θ et Φ la logitude et la latitude d u poit tiré aléatoiremet sur la surface de la shère uité de IR 3 Détermier la loi du couple (Θ, Φ) et étudier l idépedace. 14

Exercice 2.20 Soiet A, B, C trois variables aléatoires strictemet positives et idépedates de foctio de répartitio F de classe C 1 sur IR. Motrer que la probabilité pour que le polyôme AX 2 + BX + C admette ue racie réelle est égale à 0 0 F ( x2 4y )F (x)f (y)dxdy Applicatio umérique si A, B, C suivet ue loi uiforme sur [0,1]. Exercice 2.21 1 - Soiet X 1, X 2,..., X des variables réelles idépedates et de même loi µ. Soit σ S, esemble des bijectios de {1, 2,..., } sur lui même. Motrer que H B(IR ), P [(X 1,..., X ) H] = P [(X σ(1),..., X σ() ) H] 2 - Soit (X ) IN ue suite de variables aléatoires réelles idépedates et de même loi possédat ue desité sur IR. a) O défiit Ω comme l esemble des ω Ω tels que X k (ω) X j (ω), (j, k) IN 2, k j Motrer que P ( Ω) = 1. b) Sur Ω, o défiit la variable aléatoire T (ω) à valeurs das S comme la permutatio ordoat (X 1 (ω),..., X (ω)). Autremet dit, T (ω) = σ sigifie X σ(1) (ω) < X σ(2) (ω) <... < X σ() (ω) O pose de plus Y (ω) égal au rag de X (ω) parmi X 1 (ω),..., X (ω) i.e. Y (ω) = k sigifie que parmi X 1 (ω),..., X (ω), k 1 valeurs exactemet sot iférieures à X (ω). Motrer que T suit ue loi uiforme sur S. c) Motrer que Y suit ue loi uiforme sur {1, 2,..., } d) Motrer que les variables Y 1, Y 2,..., Y,... sot idépedates e) Soit A l évéemet (max X k < X ) (o pose A 1 = Ω). k< Motrer que A 1, A 2,... sot idépedats et que P (A ) = 1 f) Soit N (ω) = if{ >, ω A } Motrer que P (N = + k) = ( + k 1)( + k) Calculer E(N ) 15

3 Covergeces des variables aléatoires Exercice 3.1 Soit (X ) ue suite de variables idépedates cetrées et telles que sup E(X) 4 <. Motrer que S = X 1 +... + X coverge vers 0 p.s. Exercice 3.2 Soit f : [0, 1] IR, cotiue. O pose B (x) = f( k )Ck x k (1 x) k. k=0 a) Motrer que si M = sup x pour tout b) Coclure sup x f(x) et δ(ε) = sup f(x) f(y), o a x y ε f(x) B (x) δ(ε) + 2M ε 2 Exercice 3.3 Soit (S ) ue suite de variables aléatoires telle que S suit ue loi biômiale de paramètres et p, 0 p 1. O suppose que lim p = λ IR +. Etudier la covergece e loi de la suite (S ). Exercice 3.4 Soit X ue variables aléatoire à valeurs etières, de foctio géératrice P (s). O suppose qu il existe s 0 > 1 tel que P (s 0 ) <. a) Motrer que m r = E(X r ) < pour tout r 0. b) O pose F (s) = m r r! sr r 0 Motrer que F coverge pour s < l s 0. Exercice 3.5 a) Moter que des variables à desité peuvet coverger vers des variables sas desité. b) Et réciproquemet. 16

Exercice 3.6 Motrer que si X coverge e loi vers X, alors µ X (I) µ X (I) pour tout borélie I tel que µ X ( I) = 0. Exercice 3.7 Calculer la foctio caractéristique d ue loi de Cauchy de desité 1 1 π 1 + x 2 Exercice 3.8 Soiet X 1,..., X idépedates et de loi de Cauchy. Détermier la loi de (X 1 +... + X ). Exercice 3.9 Soit X ue v.a. de loi µ et de foctio caractéristique ϕ. a) Motrer que 1 T µ({a}) = lim e ita ϕ(t)dt T 2T T b) Soit {x k } la suite des poits de masse o ulle pour µ. Motrer que lim T 1 T ϕ(t) 2 dt = 2T T k µ({x k }) 2 Idicatios: Commecer par cosidérer deux variables idépedates Z 1 et Z 2 de loi µ. Motrer que Motrer alors que lim T 1 T ϕ(t) 2 dt = P (Z 1 Z 2 = 0) 2T T P (Z 1 Z 2 = 0) = P (X = y)µ(dy) = k µ({x k }) 2 c) Motrer que µ a pas de poit de masse si ϕ est das L 2 (dt). 17

Exercice 3.10 Soit (X ) ue suite de variables aléatoires réelles qui coverge e loi vers X. a) Motrer que (ϕ X ) forme ue suite de variables uiformémet équicotiues. b) Motrer que ϕ X coverge uiformémet sur tout compact de IR. Exercice 3.11 Soiet X 1, X 2,... X,... des variables aléatoires de même loi admettat ue variace fiie. a) Motrer que ε, lim P ( X 1 > ε ) = 0 b) Déduire que lim P ( 1 max 1 k X k > ε) = 0 Exercice 3.12 1 - Motrer que si les v.a. X 1,..., X,... sot idépedates p.s. et X X, alors X est costate 2 - Démotrer que ce résultat reste vrai si l o suppose seulemet la covergece e probabilité. Exercice 3.13 Motrer que si X P X et o a X Y, où Y est ue v.a. itégrable, alors X L 1 X. Exercice 3.14 Soit (X ) ue suite de variables aléatoires à valeurs 0 ou 1. O pose p = P (X = 1). a) Trouver ue coditio écessaire et suffisate pour que la suite (X ) coverge vers 0 das L 1. b) Trouver ue coditio écessaire et suffisate pour que la suite (X ) coverge vers 0 e probabilités. c) Trouver ue coditio écessaire et suffisate pour que la suite (X ) coverge vers 0 p.s. d) Trouver ue coditio écessaire et suffisate pour que la suite (X ) coverge vers 0 e loi. 18

Exercice 3.15 Soit (X ) IN ue suite de variables iid telles que P (X 1 0) = 1 et P (X 1 > 0) > 0. Motrer que X = p.s. Exercice 3.16 Soit (X ) IN ue suite de variables aléatoires covergeat p.s. vers X. O suppose de plus que lim E( X ) = E( X ). Motrer que la covergece a lieu e fait das L 1. Exercice 3.17 Soit {X } 1 ue suite de v.a. idépedates. a) O suppose que pour u c > 0 les trois séries IP { X c} =1 IE(X ) c =1 Var(X) c =1 coverget, où o ote X c = X 1 { X c}. Motrer que la série X coverge p.s. b) Motrer que la covergece des séries IE(X ) et IE( X p ) pour u 1 < p 2 etraie la co- =1 vergece p.s. de la série =1 X. =1 =1 Exercice 3.18 Soit f : IR 2 IR ue foctio uiformémet cotiue. O cosidère deux suites (X ) et (Y ) de variables réelles telles que X P X et Y P Y. Motrer que f(x, Y ) P f(x, Y ). Exercice 3.19 Soit f : [0, 1] IR ue foctio cotiue. Motrer que f( x1+...+x ) dx 1... dx f( 1 2 ) [0,1] 19

Exercice 3.20 Soit {X } 1 ue suite de v.a. idépedates et uiformes sur [0, 1]. Soit f boréliee borée. Etudier la covergece p.s. de la suite 1 (f(x 1) +... + f(x )) pour. Exercice 3.21 Soit (X ) ue suite de v.a. idépedates de même loi de Beroulli de paramètre p = 1 q. O pose Y = 1I X+1=1,X +2=0. a) O pose Z = 1I X2+1=1,X 2+2=0 et Z = 1I X2=1,X 2+1=0. Motrer que les deux suites (Z ) et (Z ) sot composées, chacue, de variables idépedates. b) Déduire la covergece p.s. de la suite Z 1 +... Z c) Etudier la covergece p.s. de la suite Y 1 +... Y. et de la suite Z 1 +... Z. Exercice 3.22 Soiet X 1 et X 2 des variables idépedates de moyee ulle et de variace σ 2 < +. O suppose que X1+X2 2 X 1 X 2. Quelle est cette loi? Exercice 3.23 Soit X = (X 1,..., X d ) à valeurs das IR d de foctio caractéristique Φ X (u). a) Quelle est la foctio caractéristique de X 1? b) Soit A : IR d IR p ue applicatio liéaire. Quelle est la foctio caractéristique de A(X)? Exercice 3.24 O dit qu ue variable aléatoire réelle admet ue loi à réseau si sa loi est portée par u esemble {a + b, Z}, où a et b > 0 sot deux réels. O ote ϕ la foctio caractéristique de X. a) Motrer que X a ue loi à réseau si et seulemet si ϕ(t) = 1 pour u t > 0. b) Motrer que si ϕ(t) = ϕ(t ) = 1 pour u t et u t icommesurables (i.e. de rapport irratioel), alors X est p.s. costate. 20

Exercice 3.25 Soiet X et Y deux variables aléatoires réelles idépedates de même loi µ. O suppose que x > 0, µ([x, + [) = µ(], x]) et que µ est pas ue masse de Dirac. E outre, o suppose que (α, β) IR + IR +, αx +βy a même loi que (α + β)x. Détermier la loi µ. Exercice 3.26 Soiet (s i ) i 1 ue suite de réels positifs décroissate vers 0, (d k ) ue suite de réels positifs telle que k 1 d k = +. O suppose efi que k 1 s kd k = 1 et o pose t 0 = 0 et t k = d 1 +... + d k. Soit ϕ la foctio telle que ϕ(0) = 1, ϕ est affie sur chaque itervalle [t k, t k+1 ], de pete s k+1. a) Dessier le graphe de ϕ. b) Calculer la foctio caractéristique de la loi de desité (1 x )1I 1<x<1. c) Calculer la foctio caractéristique ϕ 0 de la loi de desité 1 π d) Motrer que, si p k = (s k s k+1 )t k, k 1 p k = 1 et ϕ(t) = 1 cos x x. 2 k=1 p k ϕ 0 ( t t k ). Déduire que ϕ est ue foctio caractéristique. e) Soit ψ ue foctio paire, réelle, telle que ψ(0) = 1, cotiue, covexe, positive et décroissate sur IR +. Motrer que ψ est ue foctio caractéristique. Exercice 3.27 1- Soit (X ) ue suite de variables aléatoires réelles. a) Motrer que si X coverge e loi vers X, alors ε > 0, il existe K > 0 tel que sup P ( X K) < ε [0, ] b) Motrer que si X coverge e loi vers X, alors ϕ X (t) coverge uiformémét vers ϕ X (t) sur tout itervalle boré de IR. 2- Soiet (a ) et (b ) deux suites réelles avec a > 0,. Soiet X et Y deux variables aléatoires o costates et (X ) ue suite de variables aléatoires telle que X coverge e loi vers X et a X + b coverge e loi vers Y. O ote ϕ, ϕ et ψ les foctios caractéristiques de X, X et Y. a) Motrer que ϕ (a t) coverge uiformémet sur tout itervalle boré vers ψ(t). b) Déduire que 0 est pas valeur d adhérece de la suite (a ) c) E échageat les rôles de ϕ et ψ, motrer que + est pas valeur d adhérece de la suite a. d) Motrer que (a ) coverge vers a > 0. 21

e) Motrer que e itb coverge vers ψ(t) das u voisiage de 0. ϕ(at) f) E cosidérat t 0 e isb ds, déduire que (b ) coverge. Exercice 3.28 Soit (X ) ue suite de variables aléatoires idépedates de même loi. O suppose qu il existe a < b tels que (i) P (X 1 < a) = 0, P (X 1 > b) = 0 (ii) a < x < b, 0 < P (X 1 x) < 1 O pose Y = if(x 1,..., X ) et Z = sup(x 1,..., X ). a) Motrer que (Y ) coverge e loi vers a. b) Etudier la covergece e loi de (Z ) c) O suppose que X i suit ue loi uiforme sur [0,1]. Etudier la covergece e loi de W = Y. Exercice 3.29 1) Soit X ue v.a.r. de loi N (0, 1). Calculer la foctio caractéristique de la variable Y = σx + m avec σ > 0, m IR. 2) Soit (X ) ue suite de v.a.r. de loi N (0, 1). O cosidère deux suites (σ ) et (m ), respectivemet das IR + et IR et o pose Y = σ X + m. a) O suppose que σ σ et m m. Motrer que (Y ) coverge e loi. b) O suppose que Y L Y. b1) Motrer que (σ ) coverge vers σ 0. b2) Motrer que (m ) coverge vers m IR. b3) Déduire la loi de Y. Exercice 3.30 Soit (U ) ue suite de variables aléatoires idépedates de même loi uiforme sur [0,1]. O pose Y = e α (U 1... U ) α où α est ue costate strictemet positive. a) Motrer que E(l U 1 ) = 1 et Var(l U 1 ) = 1. b) Etudier la covergece e loi de 1 α l Y. c) Etudier la covergece e loi de Y. 22

Exercice 3.31 O cosidère la desité de probabilités h α (t) = α 1 e α2 2π t 3 2t 1I[0, [ (t) 2 où α > 0. a) Soiet α > 0 et β > 0 doés, et X h α, Y h β deux variables aléatoires idépedates. Détermier la loi de X + Y (o pourra utiliser des trasformées de Laplace). b) Soit (X ) ue suite de variables aléatoires idépedates de loi possédat la desité h α. Détermier la loi de X 1 +... + X 2 Y-a-t-il ue cotradictio avec la loi des grads ombres? c) Etudier la covergece de la suite Y = 1 2 max k X k (o pourra regarder la foctio de répartitio de Y ) Exercice 3.32 Soit (X ) ue suite de variables aléatoires telle que sup E(X) 2 <. O suppose que (X ) coverge e loi vers X. Motrer que E(X ) E(X). Exercice 3.33 Soit S = X 1 +...+X où les X sot des variables aléatoires idépedates de loi de Poisso de paramètre 1. a) Motrer que ( E ( S ) ) = (+ 1 2 ) e! b) Motrer que ( S ) coverge e loi vers N, la partie égative d ue loi gaussiee cetrée réduite. c) Motrer que ( E ( S ) ) E(N ) d) Déduire u équivalet de! (formule de Stirlig). 23

Exercice 3.34 Soit (X ) ue suite de variables aléatoires réelles telles que (X ) coverge e loi vers X. a) Soit F (x) la foctio de répartitio de X (resp. F, foctio de répartitio de X). O pose G (t) = if{x, F (x) t} (resp.g(t) = if{x, F (x) t}). Détermier la loi de G e tat que variable aléatoire sur l espace de probabilités [0, 1] mui de la mesure de Lebesgue. b) Etudier la covergece de la suite G. (Théorème de Skorokhod) Exercice 3.35 Soiet p u etier fixé 2 et {X } 1 ue suite de v.a. réelles idépedates de même loi uiforme sur {0, 1,..., p 1}. Motrer que la série X coverge p.s. et que sa somme suit ue loi uiforme sur [0, 1]. p =1 Exercice 3.36 Soit {X } 1 ue suite de v.a. idépedates et de même loi uiforme sur [ 1, 1]. a) Soit α > 1 2. Motrer que la série X / α coverge das L 2 et p.s =1 b) Etudier le cas 0 < α 1 2. Exercice 3.37 Soit {X } 1 ue suite de v.a. telle que X suive la loi uiforme sur {0, 1,..., 1 }. Motrer que {X } 1 coverge e loi et détermier la loi limite. 4 Coditioemet et vecteurs gaussies Exercice 4.1 O pose Var(X/G) = E[(X E(X/G)) 2 /G]. Motrer que Var(X) = E[Var(X/G)] + Var(E(X/G)). 24

Exercice 4.2 a1) Soiet (X, Y, Z) tel que (X, Z) (Y, Z). Motrer que f 0 et boréliee, E(f(X)/Z) = E(f(Y )/Z). a2) O pose h 1 (X) = E(g(Z)/X) et h 2 (Y ) = E(g(Z)/Y ) pour g boréliee positive doée. Motrer que h 1 = h 2, µ-pp, où µ désige la loi de X. b) Soiet T 1,..., T des variables aléatoires réelles itégrables idépedates et de même loi. O pose T = T 1 +... + T. b1) Motrer que E(T 1 /T ) = T. b2) Calculer E(T/T 1 ) Exercice 4.3 Soit (X ) ue suite de variables aléatoires réelles idépedates à valeurs das IR d. O pose S 0 = 0, S = X 1 +... + X, F σ(s k, k ). Motrer que pour toute f : IR d IR boréliee borée, E(f(S )/F 1 ) = E(f(S )/S 1 ) et calculer cette quatité. Exercice 4.4 a) Soit X à valeurs das IR m tel que X = ϕ(y ) + Z où Y et Z sot idépedates. Calculer E(f(X)/Y ). b) Soiet X et Y à valeurs das IR k et IR p respectivemet. ( ) MX O suppose que (X, Y ) est u vecteur gaussie de moyee et de ( ) M Y RX R covariace XY. O suppose R Y iversible. R XY R Y b1) Détermier A telle que X AY et Y soiet idépedates. b2) Motrer que E(f(X)/Y ) = f(x)µ Y (dx) où µ Y est la loi gaussiee de moyee E(X/Y ) = M X + R XY R 1 Y (Y M Y ) et de covariace R X R XY R 1 Y R Y X. Exercice 4.5 A) Soiet σ > 0, a IR d et C ue matrice d d défiie positive. Motrer que (C + σ 2 a t a) 1 = C 1 C 1 a t ac 1 σ 2 + < C 1 a, a >. B) Soiet (Z ) ue suite de variables aléatoires réelles idépedates. O suppose que pour tout, Z N (0, c 2 ) où c > 0. Soit X ue variable aléatoire 25

de loi N (0, σ 2 ) (σ > 0), idépedate de la suite (Z ). O pose Y = X + Z, G = σ(y 1,..., Y ), ˆX E(X/G ). O pose Y = (Y 1,..., Y ). B1) Quelle est la loi de (X, Y 1,..., Y )? B2) Calculer E(f(X)/Y ) B3) Calculer ˆX et E((X ˆX ) 2 ) B4) Motrer que ˆX X das L 2 si et seulemet si 1 c 2 = + Exercice 4.6 Soit (B t ) t IR + ue famille de variables aléatoires vérifiat les coditios suivates: (i) t 1 < t 2 <... < t, (B t1,..., B t ) est u vecteur gaussie cetré (ii) (s, t), E(B s B t ) = s t (iii) p.s., t B t (ω) est ue foctio cotiue a) Motrer que (B t ) est à accroissemets idépedats et statioaires i.e. t 1 < t 2 <... < t, B t1, B t2 B t1,..., B t B t 1 sot des variables idépedates et s < t, B t B s a même loi que B t s. 1 b) O pose G t = (B k+1 t B k t)2. k=0 Motrer qu il existe ue suite p telle que G p t t p.s. c) Soit t > 0. Motrer que p.s., s B s (ω) est pas à variatios fiies sur l itervalle [0, t]. d) Motrer que si o pose B t = tb 1 pour t > 0 et B t 0 = 0, ( B t ) satisfait aux propriétés (i) et (ii). Motre que (iii) est satisfaite sur ]0, + [. O admettra que la propriété (iii) est satisfaite par B sur [0, + [. e) Motrer que les tribus σ(b s, 0 < s < ε) et σ(b s, s t) e ε>0 t>0 cotieet que des évéemets de probabilité 0 ou 1. f) Motrer que if B = et sup B = + (o pourra motrer que >0 >0 B t = B t satisfait à (i),(ii) et (iii). g) Motrer que p.s., t B t (ω) est pas dérivable e 0. h) Motrer que p.s., t, s B s (ω) s aule sur ]0, t]. 26

Exercice 4.7 Soit (M ) ue suite de variables aléatoires. O pose G = σ(m 0,..., M ). O suppose que M 0 = 0 et, E(M +1 /G ) = M. Motrer que E(M) 2 = E((M k M k 1 ) 2 ). k=1 Exercice 4.8 Soiet X et Y deux variables aléatoires idépedates, de même loi cetrée, de variace 1. a) O suppose X et Y gaussiees. Trouver ue CNS sur les réels a, b, c, d pour que ax + by et cx + dy soiet idépedates. Motrer e particulier que X + Y et X Y sot idépedates. b) O suppose que X + Y et X Y sot idépedates. b1) Motrer que φ, foctio caractéristique de X est telle que φ(2t) = φ(t) 3 φ( t) b2) Motrer que φ e s aule pas. b3) Motrer que φ(t) = φ( t) pour tout t (cosidérer ρ(t) = φ(t) φ( t) ). b4) Déduire que X et Y sot gaussiees. Exercice 4.9 Soit (U ) 0 ue suite de v.a.r. idépedates de même loi N (m, σ 2 ), σ > 0. Soit a > 0 doé. O cosidère X 0 = 0 et X +1 = ax + U, 0. a) (X 1,..., X ) est-il u vecteur gaussie? b) Calculer E(X ) et Var(X ). c) c1) O suppose que a < 1. Motrer que (X ) 1 coverge e loi. c2) O suppose que a > 1. Motrer que X a coverge das L 2 vers ue 1 v.a.r. X dot o détermiera la loi. c3) O suppose a = 1. Que peut-o dire de X? Exercice 4.10 Soit (X 1, X 2, X 3 ) N 3 (0, I 3 ). Soiet U = X 1 X 2 + X 3, T 1 = X 1 + X 2, T 2 = X 2 + X 3, T 3 = X 1 X 3. a) Quelle est la loi de U? b) Motrer que U est idépedate de (T 1, T 2, T 3 ). 27

Exercice 4.11 Soit (X i ) i 1, ue suite de variables idépedates de loi ormale cetrée réduite. O pose X = 1 i=1 X i et S 2 = 1 i=1 (X i X) 2. a) Quelle est la loi de X? b) Motrer que X et S 2 sot idépedates. 28