ocumen sur la croissance e le modèle de Solow version 7 Aenion aux coquilles Nomenclaure e quelques manipulaions ans le modèle de Rober Solow on a ypiquemen la foncion de producion suivane : A α L ( α ) souven avec α / 3 e ( α) / 3, ce qui donne des rendemens consans à l échelle car la somme de α+ ( α) A : Représene le niveau d'efficience ou d efficacié (voire le niveau echnologique au sens large) au emps L épargne e l invesissemen On défini l épargne au emps, noée É :, par la producion moins la consommaion ci il n y a pas de gouvernemen dans ce modèle, ni de commerce exérieur, ainsi l équaion de la compabilié naionale es donnée par : É : : Le niveau d'épargne en : Le niveau d'invesissemen (bru) en + É + puisque l invesissemen es égal à l épargne É ans ce modèle on a É, car ou de qui es épargné es prêé à des invesisseurs (les capialises) qui von acheer du capial à crédi (de l invesissemen) en capial physique e en infrasrucures (usines ) s PmÉ : Représene le aux d'épargne (e d'invesissemen par le fai même car Épargnenvesissemen) On appelle aussi s PmÉ la Propension marginale à Épargner La consommaion : Le niveau de consommaion en Pm ( - s) ( PmÉ) : Taux de consommaion (ou la Propension marginale à onsommer Pm ) On a évidemen que PmÉ + Pm ou s+ ( - s), car dans ce modèle + É + La dépréciaion : Le niveau de dépréciaion (noée ) en es une fracion d du sock de capial en, el que d d : Le aux de dépréciaion (ou d'amorissemen) (es souven noé par δ dans les livres de macroéconomie) ne : L invesissemen ne en correspond à l invesissemen en noé moins le niveau de dépréciaion en noé La formule guidan l accumulaion du capial en + à parir du capial en (c es-à-dire la dynamique d accumulaion du capial) es donnée par: + + + ne + d ( d) + ne Ainsi on a les relaions suivanes : A α L ( α ) (foncion de producion) Pm ( s) (foncion de consommaion) É s PmÉ (foncion d épargne e d invesissemen) É (Égalié enre le niveau d invesissemen e le niveau d épargne) d (foncion de dépréciaion linéaire) ne (calcul de l invesissemen ne) + + + ne + d ( d) + (formule illusran l évoluion du capial dans le emps) 400_03_capialv7doc 07-0- :0:33
llusraion des rendemens consans à l échelle α β α ( ) A L A L α avec β ( α) pour que l on ai des rendemens consans à l échelles, c es-à-dire que α+ β α+ ( α) Si on double les inrans (le niveau de capial e le niveau de ravail) dans le processus de producion, la producion doublera Ex A, α / 3, 7, L 64 α ( ) (/3) (/3) A L α (7) (64) 3 6 48 Si on double des inrans on aura A, α / 3, 7 54, L 64 8 α ( ) (/3) (/3) A L α ( 7) ( 64) 3779763496846 53984683499 96 Normalisaion pour avoir des données par ravailleurs (généralemen en leres minuscules ) Avec des données réelles, afin de comparer les naions enre elles, on ravaille souven avec des données par habian ( pop ) ou par ravailleur L Afin de normaliser le ou en données par ravailleur, on divise ou simplemen le modèle par le nombre de ravailleurs e L on obien la nomenclaure suivane: PBréel (producion) par ravailleur: y ( ) α α α A L α α ( α ) α ( α) α : α L L L L y A L A L A A Ak onsommaion par ravailleur: c c : Pm ( s) ( s) y L L L Épargne par ravailleur : é é É : L nvesissemen par ravailleur : inv É inv : s PmÉ PmÉ y L L L L épréciaion par ravailleurs : dép dép : d dk L L nvesissemen ne par ravailleur: invne ne : : L L L invne 400_03_capialv7doc 07-0- :0:33
Pour ce qui es de la formule illusran l évoluion du capial dans le emps, afin de normaliser par le nombre de ravailleur l expression de l accumulaion du capial suivane : + + + ne + d ( d) + ne On peu supposer ici que le nombre de ravailleur L es consan pour chaque période, ainsi on aura auan de ravailleurs en + qu en e à oues les aures périodes Si L+ L, on peu diviser à gauche de l égalié par L + e à droie par L Ainsi l équaion d accumulaion du capial devien : + L + + L e qui donne ceci sous ses diverses formes + d ( d) ne + + + + L L L L L L L L L L L L + + Que l on peu réécrire ainsi: k+ k + inv dép k + inv d k à l aide des définiions suivanes pour les variables par ravailleur (en minuscules): k k + inv + : : le capial par ravailleur en + L : + : le capial par ravailleur en L : : l invesissemen par ravailleur en L d dép : la dépréciaion par ravailleur en invne : dk L L ne ravailleur en : inv dép s y d k L L L L : L invesissemen ne par Noez que la dernière expression, s y d k, se rerouve dans les acéaes du hème 3 du ronc commun Ainsi on aura l équaion d accumulaion du capial suivane par ravailleur : k+ k + inv dép k + invne k + s y d k invesissemen ne par ravailleur ans le modèle normalisé par ravailleur, la relaion en niveau enre l invesissemen e l épargne É, devien ou simplemen inv é enre l invesissemen par ravailleur e l épargne par ravailleur 400_03_capialv7doc 07-0- :0:33 3
Exercices a) as : À parir d un sock de capial à la période d une valeur de 4,, calculez l évoluion (la ransiion) vers l éa saionnaire du capial à parir du modèle suivan en remplissan le ableau ci-dessous: A Pm É PmÉ É d ne + + Niveau echnologique (niveau d'efficience): A, Taux d'épargne (e d'invesissemen Propension marginale à épargner PmÉ) : s PmÉ 03, Taux de consommaion (Propension marginale à consommer Pm) : ( - s) Pm 07, Taux de dépréciaion (d'amorissemen) : d 0 4 3 ne ci afin de simplifier la noaion on suppose ici qu il y a un seul ravailleur qui rese consan (ou que les variables,,, e en majuscules son déjà des niveaux de producion, consommaion, invesissemen, dépréciaion e capial par ravailleur) llusrez ainsi la dynamique l accumulaion du capial avec le modèle ci-hau e calculez les données manquanes du ableau alculez l éa saionnaire e illusrez le ou dans le graphique du plan,,, e À l éa saionnaire on a la formule suivane pour le sock de capial : mé A d P b) as : À parir du cas, illusrez l effe d une hausse du niveau echnologique si A devien 3333333 (4/3) Effecuez les calculs à parir d un sock de capial à la période d une valeur de 4, c) as 3 : À parir du cas, illusrez l effe d une hausse de la propension marginale à consommer Pm qui devien 075 Effecuez les calculs à parir d un sock de capial à la période d une valeur de 4, d) as 4 : À parir du cas, illusrez l effe d une hausse du aux de dépréciaion d qui devien % Effecuez les calculs à parir d un sock de capial à la période d une valeur de 4, 400_03_capialv7doc 07-0- :0:33 4
Soluions a) as (cas de référence) A, Pm 07, PmÉ 03, d 0 PmÉ A 03 03 3 9 d 0 0 Avec un niveau iniial de capial de dépar à, on peu compléer le ableau suivan A Pm PmÉ d ne 4 4 06 04 0 4 04939 434573 06487 04 09487 3 439487 09638 467467 06895 043948 089433 4 45845 4086 49876 06436 045845 08390 5 47685 836 5857 0655083 047685 07868 6 494649 4055 556838 06676 049464 07575 9 3 09 09 0 y y 9 400_03_capialv7doc 07-0- :0:33 5
b) as : Un choc echnologique Si le niveau echnologique A augmene de à (4/3)33333333 la foncion de producion passe de 4 à 3 A (4 / 3), Pm 07, PmÉ 03, d 0 Alors à l éa saionnaire le sock de capial es donné par: PmÉ A 03 (4 / 3) 04 6 d 0 0 Avec un niveau iniial de capial de dépar, on peu compléer le ableau suivan A Pm PmÉ d ne 4 666667 866667 08 04 04 44 79684 957777 0839047 044 0399047 3 4799047 90897 04468 087669 0479905 0396364 4 5954 30396 7388 09738 05954 03997 5 5587608 3575 065 094555 055876 0386764 6 597437 359004 8303 097770 0597437 038064 6 5333333 3733333 6 6 0 Ainsi à l éa saionnaire dans le cas par rappor au cas on a: 6> 9 53333 > 3 37333 > 6> 09 ne 6> 09 0 400_03_capialv7doc 07-0- :0:33 6
as : hoc echnologique 9 6 400_03_capialv7doc 07-0- :0:33 7
c) as 3 : Hausse de la propension marginale à consommer A, Pm 075, PmÉ 0 5, d 0 3 PmÉ A 05 05 5 65 d 0 0 A Pm PmÉ d ne 4 5 05 04 0 4 04846 58634 0506 04 0096 3 496 048466 536349 056 0496 009495 4 488707 07099 55389 05773 04887 0088859 5 4377566 0963 56997 053066 0437757 0085309 6 446875 55 58444 05838 044688 00885 65 5 875 065 065 0 3 65< 9 3 5< 3 3 875< 3 065< 09 3 ne 065< 09 0 400_03_capialv7doc 07-0- :0:33 8
as 3 : Hausse de la propension marginale à consommer 3 3 3 3 3 3 3 65 9 400_03_capialv7doc 07-0- :0:33 9
d) as 4 : Hausse du aux de dépréciaion A, Pm 07, PmÉ 03, d 0 4 PmÉ A 03 03 5 65 d 0 0 A Pm PmÉ d ne 4 4 06 048 0 4 09778 40845 0608933 04944 04533 3 434533 057798 440459 067339 050844 00995 4 434379 0846 45893 06548 0547 00400 5 444773 08964 47675 063689 053378 009896 6 454669 397 49608 0639689 0545603 0094086 65 5 75 075 075 0 4 65< 9 4 5< 3 4 75< 4 075< 09 4 ne 075< 09 0 400_03_capialv7doc 07-0- :0:33 0
as 4 : Hausse du aux de dépréciaion 4 4 4 4 4 4 65 9 400_03_capialv7doc 07-0- :0:33
ommen calcule--on direcemen l éa saionnaire mahémaiquemen? Uniquemen pour les curieux e curieuses (ee démonsraion n es pas maière à l examen) On rouvera la formule PmÉ A d Pour rouver le niveau de capial (par ravailleur si on a un seul ravailleur) à l éa saionnaire on uilise l équaion d accumulaion du capial qui guide la dynamique d évoluion du capial de période en période suivane: + + ne Pour la dépréciaion (qui es une fracion du niveau de capial en ) on a d En subsiuan dans l équaion ci-hau on obien l équaion d accumulaion du capial suivane : + + d d + ( d) + ans nore modèle d économie fermée on se rappelle que l invesissemen es égal à l épargne : É Ainsi l invesissemen sera une fracion (la propension marginale à épargner) de la producion elle que: PmÉ PmÉ A Se faisan l évoluion du capial es guidée par: + ( d) + PmÉ A On cherche à rouver l éa saionnaire du capial, celui-ci es défini par la sabilié du sock de capial dans le emps Ainsi d une période à une aure le sock de capial à l éa saionnaire es sable e es égal à 'es-à-dire que + j es égal à à oues les périodes dans le emps lorsque l on a aein l éa saionnaire e qu il n y a pas d aure choc (ceeris paribus) En fixan + e dans l équaion d accumulaion du capial ( d) + PmÉ A on obien: ( d) + PmÉ A + On peu réécrire cee expression de la manière suivane : d PmÉ A Afin de rouver la valeur du sock de capial à l éa saionnaire il ne rese qu à rouver mahémaique en e il fau simplemen isoler On a une foncion ; pour ce faire on uilisera les règles des exposans Noez que l on pourrai aussi résoudre la forme quadraique suivane ( ) saionnaire du capial d PmÉ A 0 pour rouver l éa 400_03_capialv7doc 07-0- :0:33
d PmÉ A PmÉ A d PmÉ A d PmÉ A / d (/) PmÉ A d (/) PmÉ A d PmÉ A d La formule magique qui donne le niveau de capial à l éa saionnaire es donc : Si A, alors on a simplemen PmÉ d (le final résula du cas ) PmÉ A d 400_03_capialv7doc 07-0- :0:33 3