Chapitre 10 Nombres complexes I. Forme trigonométrique d un nombre complexe 1. Module et argument d un nombre complexe Dans le plan complexe d un repère orthonormé direct (O, e 1 ; e ), soit z un nombre complexe non nul et M le point du plan d affixe z. On appelle argument de z, noté argz, unemesure en radians de l angle de vecteur ( e 1 ; OM) Le complexe nul n a pas d argument et a pour module 0. Si z est réel, le module de z est égal à sa valeur absolue. Le réel 0 n a pas d argument car l angle n est pas défini si M est en O. Un nombre complexe non nul a une infinité d argument, si θ est un argument de z alors θ +kπ avec k Z est aussi un argument de z. Exemple1 arg(i)=( u ; v )= π. Soit M 1 d affixe 4 on a ; arg( 4) = ( u ; OM 1 )=π. Soit M d affixe 1+i on a : arg(1 + i)=( u ; OM )= π 4 la diagonale du carré étant la bissectrice de ( u ; v ). Exemple Déterminer dans le repère orthonormé (O u, v ) l ensemble des points M d affixe z tels que arg(z)= π 3 [π]. Forme trigonométrique d un nombre complexe La donnée d un réel positif r et d un angle θ permet de définir un unique point M d affixe z 0du plan complexe tel que OM = r et ( e 1 ; OM)=θ. On en déduit que z = r(cosθ +isinθ) Terminale S - 018.019 1
Soit z un nombre complexe non nul. L écriture z = r(cosθ +isinθ) avec r = z et θ = argz est appelée une forme trigonométrique de z. 1. Dans l écriture sous forme trigonométrique, on peut remplacer θ par n importe quelle valeur θ + kπ, k entier relatif.. Dans l écriture z = r(cos(θ)+isin(θ)) ( ( ) ( il est )) crucial d avoir r>0. π π Par exemple : z = cos + isin n est pas une forme trigonométrique car n est pas 6 6 strictement positif. 3. Le passage d une forme à l autre Soit z = a + ib un complexe. Si z 0alors θ = arg(z) peut être déterminé par : cos(θ) = a z sin(θ) = b z Soit z un complexe non nul. z = a + ib = r (cos(θ)+isin(θ)) { a = r cos(θ) b = r sin(θ) Exemple3 Déterminer la forme trigonométrique du nombre complexe z = 1+i 3. Exemple4 Déterminer la forme algébrique du nombre complexe z de module 5 et d argument π 3. Une forme trigonométrique définit un et un seul nombre complexe non nul. Deux nombres complexes non nuls sont égaux si et seulement si ils ont même module et même argument àunmultipledeπ près. Terminale S - 018.019
II. Propriétés des arguments Premières propriétés Proposition Soit z un nombre complexe non nul. z est un nombre réel non nul si, et seulement, si : arg(z)=0(π) ou arg(z)=π (π) arg(z)=0(π) z est un nombre imaginaire pur non nul si, et seulement, si : arg(z)= π (π) ou arg(z)= π (π) arg(z)=π (π) Opérations sur les arguments : Propriétés algébriques des arguments Soient z et z sont deux nombres complexes non nuls. a. arg(zz ) = arg(z) + arg(z )[π] b. arg(z n )=narg(z)[π] ( ) 1 c. arg = arg(z)[π] z ( ) z d. arg z = arg(z) arg(z )[π] e. arg(z)= arg(z)[π] f. arg( z)= π + arg(z)[π] En particulier, la formule concernant z n on peut écrire : Formule de Moivre (cosθ +isinθ) n = cos(nθ)+isin(nθ) Les formes trigonométriques sont adaptées aux produits de complexes ; Les formes algébriques sont adaptées aux sommes de complexes. Exemple5 1. Calculer un argument de 1+i et 3+i.. En déduire un argument de chacun des nombres suivants : 1. i(1 + i). (1 + i) 6 1 3. 4. 3+i (1 + i) ( 3+i) 3 Terminale S - 018.019 3
1. Applications en géométrie Soient A et B deux points distincts d affixes respectives z A et z B. ( arg( )= u ) ; AB [π]. Soient A, B, C et D quatre points distincts d affixes respectives z A, z B, z C et z D. ( ) zd z ( C ) arg = AB ; CD [π]. Exemple6 Dans chacun des cas suivants, déterminer l ensemble des points M d affixe z satisfaisant la condition : a. arg(z 1 i)= π ( ) 4 [π]. z 1+i b. arg = π z +1 [π]. Proposition : Colinéarité A, B et C trois points distincts. A, B et C sont alignés les vecteurs AB et AC sont colinéaires R A, B, C et D quatre points deux à deux distincts. (AB) et (CD) sont parallèles les vecteurs AB et CD sont colinéaires z D z C R Proposition : Orthogonalité Soient A, B, C et D quatre points deux à deux distincts. (AB) et (CD) sont perpendiculaires les vecteurs AB et CD sont orthogonaux z D z C ir Pour montrer qu un triangle est : Méthode : Nature d un triangle isocèle en A : AB = AC = =1. équilatéral : AB = AC = BC ou AB = AC et z B ( z A = z) C z A = z B z C zc z A arg = ± π 3 ( ) AB ; AC = ± π 3 rectangle en A : AB. AC =0 est imaginaire pur. rectangle isocèle en A : AB = AC et AB. AC =0 = ±i Exemple7 A,B,C trois points d affixes respectives : z A =i, z B =+i, z C =1 i. Démontrer que le triangle ABC est isocèle rectangle en B. Terminale S - 018.019 4
III. Forme exponentielle d un nombre complexe 1. Écriture exponentielle des complexes de module 1 Soit f la fonction f : θ cosθ +isinθ avec θ un nombre réel. Le nombre complexe f(θ) est le nombre complexe de module 1 et d argument θ. Le nombre complexe f(θ + θ ) = cos(θ + θ )+isin(θ + θ ) a pour module 1 et pour argument θ + θ. Or le nombre f(θ) f(θ ) a aussi pour module 1 et pour argument θ + θ car, pour z 1 et z deux nombres complexes non nuls, on a z 1 z = z 1 z et arg(z 1 z )=arg(z 1 )+arg(z ). On en déduit que f(θ + θ )=f(θ) f(θ ) de plus f(0) = 1. La fonction f ainsi définie vérifie les propriétés de la fonction exponentielle, ce qui mêne à la notation suivante : e iθ = cosθ +isinθ Tout nombre complexe de module 1 et d argument θ peut s écrire sous la forme : cos(θ)+isin(θ)=e iθ. Exemple8 1. Placer sur le cercle trigonométrique les points M i d affixes z i tels que : z 1 = e i π ; z = e iπ ; z 3 = e i 3π ; z 4 = e iπ ; z 5 = e i π 3.. Déterminer la forme algbrique des complexes précédents.. Cas général Tout complexe z 0s écrit sous la forme z = re iθ = r(cosθ + isinθ) avec r = z et θ arg(z) [π]. Cette écriture est appelée forme exponentielle du complexe z. Réciproque : Si z C et z = re iθ avec r>0 alors r = z et θ = arg(z) [π]. Exemple9 1. Déterminons la forme exponentielle de z 1 = i et z =1+i. On peut déterminer le module et un argument par la méthode précédemment donnée mais on peut aussi opérer de la manière suivante : ( z 1 = i = ( 1+0i)= cos ( ) π + isin ( )) π =e iπ z =1+i = ( 1 + i 1 ) = ( ( ) ( )) π π cos + isin = e iπ 4. 4 4. Déterminons la forme algébrique de z 3 =4e iπ 3 : ( ( ) ( )) ( π π z 3 =4 cos + isin =4 1 ) 3 3 3 + i = +i 3. Terminale S - 018.019 5
3. Calculs avec la notation exponentielle La forme exponentielle complexe possède des propriétés analogues à la fonction exponentielle réelle. Proposition Soit r et r des réels strictement positifs, θ et θ des réels quelconques. 1. re iθ r e iθ = rr e i(θ+θ ). 1 re iθ = 1 r e iθ re iθ 3. r = r e iθ r ei(θ θ ). ( 4. re iθ) n = r n e inθ n Z Exemple10 1. Mettre sous forme exponentielle : z 1 = 3+i, z = z1 e i π 6, z 3 = z 1 e i. π 6. Déterminer les entiers n tels que ( z 1 ) n est un nombre réel. 3. Soit Z = 1+i 6+i un complexe. a) Déterminer la forme exponentielle du complexe Z. b) Déterminer la forme algébrique du complexe Z. En déduire les valeurs exactes de cos ( ( π π et sin. 1) 1) C est Leonhard Euler (1707-1783) qui donnera cette relation qui à la remarquable propriété de relier les grandes branches des mathématiques l analyse, l algèbre et la géométrie. Proposition Pour tout nombre réel θ, on a : e iθ = cosθ +isinθ, d où e iθ = cosθ isinθ. En particulier e iπ = 1 On en déduit par addition et soustraction des égalités précédentes les résultats suivants. Proposition : Formules d Euler cosθ = eiθ +e iθ sinθ = eiθ e iθ i Exemple11 En utilisant les formules d Euler, démontrer que cos θ = 1 + cosθ On dit alors qu on a linéarisé les expressions cos θ et sin θ. et sin θ = 1 cosθ. Terminale S - 018.019 6