Synthèse de cours (Terminle S) Clcul intégrl Intégrle d une onction continue positive sur un intervlle [;] Dns cette première prtie, on considère une onction continue positive sur un intervlle [ ; ] ( ) et on note O; i, j. Notion de domine sous l coure C s coure dns le pln rpporté à un repère orthogonl Déinition On ppelle «domine situé sous l coure vériint : C» l ensemle des points M ( ; ) 0 y y du pln Sur l igure ci-dessous, le domine situé sous l coure C correspond à l surce grisée et est noté D. = C = D PnMths [1-8] Mrs 2009
Propriété Le domine situé sous l coure dmet une ire. Intégrle d une onction continue positive L ire du domine situé sous l coure C est ppelée «intégrle de l onction de à» et est notée : d Les réels et sont ppelés «les ornes» de l intégrle ; est l orne inérieure et l orne supérieure. Elle est eprimée en «unité d ire», l unité d ire étnt déinie comme l ire du rectngle construit à prtir du repère orthogonl considéré (c. igure ci-dessous). Unité d ire = C = j D O i Remrque : dns l écriture d, l vrile est dite «muette». On peut l remplcer pr un utre nom sns que l signiiction ni l vleur de l intégrle chngent : = = ( θ) θ = =... d r dr d t dt PnMths [2-8] Mrs 2009
Soulignons le cs prticulier : lorsque =, le domine sous l coure se réduit à un segment et son ire est nulle : ( ) d= 0 Vleur moyenne Déinition On suppose ici <. On ppelle «vleur moyenne de sur l intervlle [ ; ]» le réel : 1 μ = d Interpréttion géométrique Les réels μ et sont les dimensions d un rectngle (en gris sur l igure ci-dessous) dont l ire est égle à l ire du domine sous l coure C ( m = d). En d utres termes, le réel μ est l vleur prise pr une onction constnte dont l intégrle sur l intervlle [, ] est égle à celle de sur ce même intervlle. 1 μ = ( ) d ( ) PnMths [3-8] Mrs 2009
Intégrle d une onction continue sur un intervlle [;] Dns cette seconde prtie, on conserve les hypothèses ites sur l onction su l ;. positivité : ne prend plus nécessirement des vleurs positives sur l intervlle [ ] Intégrle d une onction continue négtive sur un intervlle [;] Déinition Le domine D considéré (voir l igure ci-dessous) est cette ois l ensemle des points M ; y du pln vériint : y 0 Si on note A ( D ) l ire de ce domine on, pr déinition : ( ) d= A ( D ) Remrque : on urit pu dopter l pproche équivlente consistnt à considérer l onction qui prend des vleurs positives (on est insi rmené à l sitution de l première prtie). On pose lors : = ( ) d d. = D = C PnMths [4-8] Mrs 2009
Intégrle d une onction continue sur un intervlle [;] Nous considérons cette ois l sitution générle suivnte (on suppose que l onction ; ) : s nnule u moins une ois sur l intervlle ] [ C α 0 = α 1 α α 2 n = On découpe lors l intervlle [ ; ] en intervlles où l onction grde un signe constnt. α les n 1 points de l intervlle ] ; [ Si on note α 0 =, α n = et α 1, 2 s nnule, on : α,, αn 2 et n 1 α1 α2 α n 1 α n= n 1 α k+ 1 = + + + + = k 0 0 0= = 1 n 2 n 1 k... d d d d d d α α α α α α où Inversion des ornes de l intégrle Pour tout couple de réels ( ; ), si l onction est continue sur l intervlle [ ; ] ) ou sur l intervlle [ ; ] (lorsque ), on pose : = d d Remrque : en prennt =, on retrouve : ( ) d= 0. (lorsque Remrque : on peut rpprocher ces églités de propriétés nlogues vlles pour les vecteurs : AA = 0 et BA = AB. PnMths [5-8] Mrs 2009
Vleur moyenne Déinition On suppose ici <. On ppelle «vleur moyenne de sur l intervlle [ ; ]» le réel : 1 μ = d Remrque : L vleur moyenne d une onction peut donc être nulle sur un intervlle sns que l onction le soit. On considèrer, pr eemple, l vleur moyenne de l onction cue sur 2; 2 ou celle des onctions sinus et cosinus sur tout intervlle de longueur 2π. l intervlle [ ] Propriétés de l intégrle Dns cette prtie, et sont deu réels et et g sont deu onctions déinies et continues sur ; (si ; (si ). l intervlle [ ] Linérité Soit Soit k un réel quelconque. On lors : ) ou sur l intervlle [ ] ( + ) = ( + ) = + g d g d d g d = = k d k d k d Remrque : on urit pu eprimer l linérité de l intégrle en considérnt deu réels k et k quelconques et en écrivnt : k k' g d k k' g d k d k' g d ( + ) = ( + ) = + PnMths [6-8] Mrs 2009
Positivité Si l onction prend des vleurs positives (respectivement négtives) sur l intervlle [ ; ] lors on : ( ) d 0 (respectivement 0 d ) Ordre Si, pour tout de l intervlle [ ; ], on : ( ) g( ) lors : d g d Reltion de Chsles Pour tout réel c compris entre et, on : c c + = d d d Remrque : ici encore, l nlogie vec l reltion du même nom pour les vecteurs est complète. Inéglité de l moyenne Si, pour tout réel de l intervlle [ ; ] ( < ), on : m ( ) M lors : 1 ( ) m d M Si, pour tout réel de l intervlle [ ; ] ( < ), on : ( ) M lors : 1 d M PnMths [7-8] Mrs 2009
Intégrles et primitives Théorème ondmentl Soit I un intervlle et soit un élément de I. Si une onction déinie et continue sur I lors F: () t dt est l unique primitive de l onction qui s nnule en. Clcul d une intégrle à l ide d une primitive Soit I un intervlle et soit et deu éléments de I. Si une onction déinie et continue sur I et si F est l une de ses primitives sur I lors : () = t dt F F L diérence F F est notée : F( ). Intégrtion pr prties Soit I un intervlle et soit et deu éléments de I. Si et g sont deu onctions continues et dérivles sur I de dérivées continues sur I lors : ' = ' g d g g d PnMths [8-8] Mrs 2009