Mathématiques Termiale S Corrigés des eercices Rédactio : Lauret Beroul Isabelle Teaud Sébastie Cario Coordiatio : Sébastie Cario Ce cours est la propriété du Ced Les images et tetes itégrés à ce cours sot la propriété de leurs auteurs et/ou ayats droit respectifs Tous ces élémets fot l objet d ue protectio par les dispositios du code fraçais de la propriété itellectuelle aisi que par les covetios iteratioales e vigueur Ces coteus e peuvet être utilisés qu à des fis strictemet persoelles Toute reproductio, utilisatio collective à quelque titre que ce soit, tout usage commercial, ou toute mise à dispositio de tiers d u cours ou d ue œuvre itégrée à ceu-ci sot strictemet iterdits Ced-
Corrigé de la séquece Corrigé des eercices d appretissage du chapitre Eercice O a : e, e +, e + + 6, e 4 + + + 4 et c, c + 9, c Il semble doc que c + + 6, c + + + 4 e 4 O a c et ( + ) doc la propositio «c 4 ( + ) 4 pour» est vraie Supposos qu elle le soit pour u rag k et motros qu elle l est alors k k au rag suivat k + Autremet dit, supposos que ck ( + ) et 4 k k motros sous cette hypothèse queck + ( + ) ( + ) O a : 4 k k ck+ ck + k + ( + ) ( ) 4 k ( k + ) + 4( k + ) + ( k + ) 4 ( k + ) ( k + 4( k + )) ( k + ) ( k + 4k + 4) ( k + ) ( k + ) 4 4 4 ( + ) 4 ( + ) doc o a bie, pour e d où l hérédité de la propositio Fialemet, pour tout, o a c O sait par ailleurs que, pour tout, o a e tout, c Eercice O cojecture l epressio de u e calculat les premiers termes de la suite u O a :u + u, u u u aisi il semble que + + u + u Le calcul de u ous coforte das cette idée E effetu u + 4 4 + Corrigé séquece MA
La propositio «u» est doc vraie pour les premiers rags ( à + 4 ) Supposos qu elle le soit pour u rag k autremet dit, supposos queuk k + u Sous cette hypothèse, o a u k k k k + + + et la + uk k + k + propositio est héréditaire + k + k + Fialemet, pour tout etier, u + Eercice Vérifios que la propositio est vraie pour les premières valeurs de : N 7 7 77 7 k k O suppose que pour u etier k quelcoque est u multiple de 7 k k autremet dit 7A où A est u etier ( k+ ) k+ Motros sous cette hypothèse que est lui aussi u multiple k k k k de 7 Comme 7A, o obtiet + 7A ce qui doe ( k + ) k + ( k + 7A) 9 k k ( 9 ) + 7A 9 7( k + 9A) k et l hérédité est bie démotrée puisque 7 ( + 9A) est bie u multiple de 7 Fialemet, pour tout etier aturel, l etier est u multiple de 7 Eercice 4 Tout d abord, u doc u et la propositio «u» est vraie au rag Soit k N tel que u k alors + u k 4 puis + u k car est croissate sur [ ; 4], et, a fortiori, O peut doc coclure : pour tout etier aturel, u u k + Eercice 5 À l aide du tableur de GeoGebra par eemple, o obtiet ue représetatio graphique et u tableau de valeurs e même temps Pour cela, o fait apparaître le tableur (das le meu Affichage), o travaille comme à l aide du tableur d OpeOffice pour faire apparaître les calculs puis, après avoir sélectioé la plage A :B (par eemple), o clique droit et o choisit «Créer ue liste de poits» 4 Corrigé séquece MA
Il semble que la suite soit décroissate O peut par ailleurs remarquer que la suite semble avoir ue limite (la otio de limite sera étudiée au chapitre suivat) a) La foctio f est ue foctio ratioelle défiie sur [ ; ], elle est doc dérivable sur cet itervalle et, ( + ) ( + ) pour tout ;, f' ( ) ( + ) ( + ) Par suite, pour tout ;, f' ( ) et f est croissate sur [ ; ] b) O traduit la questio posée O est doc ameé à démotrer que pour tout, u etu+ u O peut démotrer par récurrece chacue de ces deu propriétés ou bie e faire qu u seul raisoemet par récurrece e motrat que pour tout, u+ u Preos ce deuième poit de vue u O a u et u + u + + doc o a u + u Supposos que pour k N o ait uk+ uk alors f ( ) f ( uk+ ) f ( uk ) f ( ) car f est croissate sur [ ; ] d où u k+ uk + ce qui implique u k+ uk + car ; ; Aisi, pour tout etier, u+ u La suite u décroissate à valeurs das l itervalle [ ; ] ( ) est doc suite Corrigé séquece MA 5
Eercice 6 a) O a! et doc la propositio «!» est vraie pour k Supposos que pour k, o ait k! - Il faut alors démotrer, sous cette k ( ) ( + ) + hypothèse, que k +! O sait que k!( k ) k! aisi, e multipliat chaque membre de l hypothèse de récurrece par k + qui est positif, o obtiet k ( k + ) k! ( k + ) k c est-à-dire ( k + )! ( k + ) () or, pour tout k, k k k + doc ( k + ) () ( ) et les iégalités () et () coduiset à k +! Fialemet, pour tout etier aturel, o a :! k b) 4! 6 4 4 8 6 À l aide de ce tableau, o costate que la propositio «!» est pas vraie pour les rags, et mais qu elle l est pour le rag 4 E k supposat alors que pour k 4, o ait k!, o est ameé à démotrer que k + ( k + )! ce qui se fait e suivat eactemet la même démarche qu au a) Aisi, pour tout etier aturel 4, o a! Corrigé des activités du chapitre Activité a) À l aide de la calculatrice (par eemple), o défiit la suite et l o obtiet les deu types de représetatios graphiques TI8 Statsfr (ou TI8, TI84) 6 Corrigé séquece MA
Casio Graph 5+ Au vu de ces graphiques, il semble que les valeurs de u tedet à se stabiliser autour d u certai ombre O dira que la suite ( u ) semble coverger vers ce ombre b) À l aide du tableau de valeurs ci-dessous, il semble que la suite ( u ) admette pour limite lorsque deviet grad c) Pour répodre à cette questio, o travaille à l aide du tableau de valeurs obteu précédemmet Il semble alors que u < pour puis u < 5 pour et efi u < 8 pour Pour plus de clarté, o peut utiliser u tableur et compléter le travail e créat ue suite ( v ) défiie parv u Les foctios utilisées sur tableur sot les foctios RACINE pour la racie carrée et ABS pour la valeur absolue Corrigé séquece MA 7
Activité a) 6, 5 6 4 6 6 9 8 b) Il semble que toutes ces suites admettet pour limite, seule diffère la vitesse à laquelle ces suites tedet vers c) Comme précédemmet, o costate que l o peut redre u aussi proche de sa limite pourvu que soit suffisammet grad 8 Corrigé séquece MA
4 E effet, o a : et pour tout supérieur au rag N 4 De faço aalogue, o a 8 pour tout supérieur au rag N 6 et pour tout supérieur au rag N 6 d) O a : or la suite de terme gééral est croissate et o observe que 4 < alors que 5 > doc pour tout supérieur au rag N 5 Pour les autres résultats, la démarche est la même que pour la questio c) O résume les résultats das u tableau Valeurs de r 8 r pour N N N 8 N r pour N N N 9 N 5 r pour N N 5 N 6 N Remarque O pourrait écrire u algorithme assez simple comportat ue boucle «tat que» permettat d obteir le résultat des questios c) et d) O trouve ci-cotre u tel algorithme implémeté sous Algobo Il suffit alors de choisir la valeur de r à savoir puis 8 et efi das l eemple choisi pour obteir le rag cherché Cepedat, l algorithme est très let et écessite u grad ombre de boucles O est dès lors très vite limité d autat plus que sous Algobo, le ombre de boucles e peut dépasser Corrigé séquece MA 9
Activité a) 6, 6 5 4 6 6 9 8 b) Il semble que toutes ces suites admettet pour limite +, seule diffère la vitesse à laquelle ces suites tedet vers + c) O a : 6 doc pour tout supérieur au rag N ; doc pour tout supérieur au rag N ; 6 doc pour tout supérieur au rag N 6 d) Comme, or 6 doc pour tout supérieur au rag N, et N La suite de terme gééral est croissate or 54 < et 55 > doc pour tout supérieur au ragn 55 Les autres iéquatios peuvet être aisémet résolues et les résultats sot résumés das le tableau ci-dessous Valeurs de A A pour N A pour N N N 5 N 5 N N 55 N Activité 4 a) Compte teu de la costructio du floco, il semble clair que les suites ( C ), ( P ) et ( A ) soiet croissates et la suite ( L ) décroissate Par ailleurs, il semble ituitif de cojecturer que pour des grades valeurs de, la suite ( C ) tede vers +, la suite ( L ) tede vers E revache, il semble Corrigé séquece MA
difficile de cojecturer ituitivemet le comportemet des suites ( P ) et ( A ) lorsque ted vers + b) O peut alors cofirmer les cojectures précédetes et préciser que ( P ) semble tedre vers + alors que ( A ) semble tedre vers u ombre limite proche de 69,8 c) Puisque la suite ( P ) semble tedre vers +, il est possible que le périmètre dépasse u kilomètre L uité est le cetimètre or km cm, o cherche doc tel que P et à l aide du tableur, il semble que ce soit le cas à partir du rag 9 L aire du floco vaut alors eviro 69, 8 cm Corrigé des eercices d appretissage du chapitre Eercice 7 ( ) O a : lim lim + + lim + doc, par somme, + a + lim + + car lim + et O a : lim ( ) et lim + + et lim ) aisi, par produit, lim + ( ) + ( + ) + (par somme car lim + b + + Corrigé séquece MA
( ) Pour >, c ( + )( ) ( ) or lim + et lim doc lim + + lim + d où par quotiet lim c + + Pour N, d + 7 + + + + 7 7 7 7 6 7 7 or lim + + 7 car < < 7 doc lim d 7 + 6 et O a : lim O a : + car < < d où lim e + lim + et + lim ( + ) + + lim 5 + (car 5> ) doc par somme + 5 puis par iversio lim f + Pour N, + + g + ( + ) or lim + (car > ) doc par produit lim + g + Pour N, h 7 7 ( ) or lim 7 + (car < < ) 7 7 doc lim + puis lim 7 + (car 7> ) doc par produit 7 + lim h + O peut remarquer que la trasformatio d écriture h 7 7 ( ) permet d obteir le résultat tout aussi rapidemet Eercice 8 O a :u or lim doc par somme lim + u + a) O a lim u + + + et lim + + doc, par défiitio de la limite, A état u réel quelcoque, o peut trouver u rag au-delà duquel u A Corrigé séquece MA
b) Soit O a u+ u + + + + + + puis u+ u ( + )( + ) + + + + + ( + ) + + ( + ) or + + positifs et > car l iverse d ue somme de deu ombres strictemet > car > et + > aisi, par somme, u u ( + ) + > et la suite ( u ) est croissate c) La suite ( u ) état croissate, pour obteir le plus petit rag N à partir duquel tous les termes de la suite ( u ) appartieet à l itervalle A ;+ où A est u réel quelcoque, il suffit de calculer les termes successifs de la suite tat que u A L implémetatio sous Algobo est alors la suivate : Pour tout O peut remarquer que ( u ) ted letemet vers + et sous Algobo, o est très vite limité par le grad ombre de boucles écessaires pour obteir le résultat N, ( ) doc ( ) puis a + or lim ( ) + doc, par comparaiso lim a + + + Pour tout N, ( ) ( ) lim + si doc b or doc, par comparaiso lim b + Corrigé séquece MA
Pour tout N, si doc c 4 (car 4 ) or lim + (car < < ) d où par le théorème des gedarmes 4 4 lim + c puis lim c + Pour tout N, cos doc + cos + De plus, pour tout, < + doc < aisi par produit, pour tout, + cos + + + Pour, or lim doc lim + + + + et lim puis par quotiet lim De faço aalogue, + + o obtiet lim (o remarquera à cet edroit qu il est pas + écessaire de réécrire le détail de la démostratio das la mesure où o utilise eactemet la même démarche) Fialemet, par le théorème des gedarmes, lim d + Eercice Pour tout, ( ) doc + ( ) + puis par iversio + et, par produit par qui est positif, o a + ( ) u + Puis pour, et lim + + + + or lim + + doc lim + + + puis par iversio lim, c est-àdire lim + + + + De faço aalogue, o motre que lim + Aisi, par le théorème des gedarmes lim ( u ) ce qui coduit à + lim u + 4 Corrigé séquece MA
Eercice O a u+ + + + + + + + ( + ) doc u+ + + + + + aisi pour tout N, + u + u + + + + + + + + + + + + + + ( + ) (+ ) ( + )(+ ) ( + )(+ ) Comme, o a ( + )( + ) > et pour tout, u+ u doc ( u ) est croissate Pour tout k, + + k doc k + + aisi u est la somme de termes tous iférieurs à + doc u + d où u Fialemet, ( u ) est croissate et majorée par doc ( u ) est covergete (théorème de la covergece mootoe) O remarquera que l o obtiet pas la valeur de la limite La seule iformatio dot o dispose parce que l o a prouvé, c est que la limite est iférieure à Corrigé des eercices de sythèse du chapitre 4 Eercice I La foctio f est ue foctio ratioelle défiie sur ( ) ; 6 doc f est dérivable sur sur 9 ; 6 Pour < 6, o a f' ( ) 9 doc f' ( )> ( 6 ) ( 6 ) ;6 et f est strictemet croissate sur ; 6 a) O souhaite démotrer que, pour tout N, u < et u u+ O peut doc motrer e ue seule étape que, pour tout N, u u+ < O raisoe par récurrece 9 O a u et u f( u) doc u u 6 u < Corrigé séquece MA 5
Soit k N tel que u strictemet croissate sur ; 6 O obtiet u u < k+ k+ Fialemet, pour tout, o a u u < k uk+ < alors f ( uk ) fu ( k+ )< f ( ) car f est + b) La suite ( u ) est croissate et majorée par doc, par le théorème de la covergece mootoe, o peut e déduire que ( u ) est covergete Par ailleurs, pour tout, u < doc la limite l de ( u ) vérifie l comme coséquece de la compatibilité avec l ordre a) Soit N O a : u v v + u+ u u 6 u 9 9 u 6 u 6 u u ( u ) ( u ) Aisi, pour tout N, v+ v et la suite ( ) v est arithmétique de raiso et de terme iitial v u 6 b) Pour N, o a v u doc u ou ecore u v + v La suite ( v ) état arithmétique de raiso et de terme iitial v, o 6 obtiet que pour tout N, v 6 et o e déduit que lim v + Par iversio, o a lim puis par somme lim + + + Fialemet, lim u + v v Eercice II La suite ( u ) est costate si et seulemet si, pour tout N, u+ u soit u + 6 u u +, u + 6 u( u + ) ou ecore u + u 6 or l équatio + 6 a pour discrimiat 5 5 et pour solutios a et b Doc, e choisissat u ou u, ( u ) est costate 6 Corrigé séquece MA
a) La foctio f est ue foctio ratioelle défiie sur E ; ; + doc f est dérivable sur tout itervalle iclus ( + ) ( + 6) 4 das E et, pour, o af' ( ) ( + ) ( + ) Par suite, f' ( ) < sur E et f est décroissate sur ; et sur ; +,5,5 u u u,5 u b) Au vu du graphique, il semble que ( u ) e soit pas mootoe et qu elle soit covergete vers c) À l aide du logiciel Geogebra, après avoir créé la foctio f, o crée u curseur représetat u que l o peut ommer u_ et qui pred des valeurs etre et par eemple O crée u deuième curseur preat des valeurs etières etre et par eemple Efi, o sait que l o peut obteir u par la foctio Itératio[f,u_,] Pour cela, o etre das la barre de saisie u_ Itératio[f,u_,] O peut alors visualiser le problème e représetat e abscisse le poit de coordoées (u_,) Il reste alors à choisir différetes valeurs pour u et, das chaque cas, à faire varier pour observer le comportemet de u O obtiet par eemple : 5 u 4 5 4 4 u Corrigé séquece MA 7
5 u,8 6 4 4 5 u 5 u 4,5 4 4 u À l aide d u tableur, o etre les valeurs de das la coloe A et e B, o etre la formule (B+6)/(B+) Il suffit alors de choisir différetes valeurs de u e B pour obteir des cojectures O obtiet par eemple : Ces résultats permettet de retrouver le fait que das les cas où u ou u, la suite est costate Das le cas où u, elle est doc covergete vers alors que das tous les autres cas, elle semble covergete vers O rappelle que b Pour qu il eiste u rag tel que u + alors u + 6 u + d où u + 6 ( u + ) ce qui coduit à u Autremet dit, pour qu u terme de la suite soit égale à, il faut que le précédet soit E supposat u, o e peut doc pas trouver de valeur de pour laquelle u 8 Corrigé séquece MA
E choisissat u, la suite ( v ) est doc bie défiie Soit N O a u + 6 u a u v + u + u+ b + + ( u ) u a u + 6 u u + + 4 + 4 + 4 v ( u ) u b 4 La suite ( v ) est doc géométrique de raiso et de terme iitiale 4 u a v docv v u b 4 u a O remarque que a b doc pour tout N, v puis dev, o u b e déduit successivemet que v ( u b) u a, u ( v ) bv a bv a et efi u v O rappelle que a et b doc, pour tout N, u u u + 4 u u + 4 Comme < < 4, lim + v ce qui implique que lim u + O peut remarquer que ce raisoemet coviet pour toute valeur de u différete de et de Das le cas où u, la suite ( u ) est pas défiie et, das le cas où u, la suite ( u ) est costate et doc, covergete vers Les résultats démotrés cofirmet doc les cojectures émises précédemmet Eercice III La foctio f est u polyôme doc f est dérivable sur R et pour tout R, o a f'( ) 6, 6, 6, ( ) Par suite, f' ( ) est du sige de d où f' ( ) sur ; croissate sur ; et f' ( ) sur et décroissate sur ; + ; + La foctio f est doc Corrigé séquece MA 9
,4,,, u u u u u 4,4,5,6,7,8,9 Il semble alors que la suite ( u ) soit croissate et covergete vers l abscisse o ulle du poit d itersectio de la courbe représetat f et de la droite d équatio y O peut préciser la cojecture e résolvat l équatio f () O a : f( ) 6, 6,, 6 6,, ( 8) ou 8 Aisi, il semble que ( u ) soit covergete vers 8 a) O a u, puis u, 6u( u) f( u), 44 doc u u 8 Soit k N tel que uk uk + alors f f u f u f 8 ( ) ( k ) ( k ) ( + 8 ) car f est croissate sur ; doc sur ; 8 Comme f (), fu ( k ) u k +, fu ( k+ ) uk+ et f 8 8, o a doc u + u + 8 k k Aisi, par récurrece, pour tout N, o a u u + 8 b) La suite ( u ) est croissate et majorée par 8 doc elle est covergete par le théorème de la covergece mootoe Par ailleurs, pour tout N, o a u doc la limite l de ( u ) 8 vérifie l 8 Corrigé séquece MA
a) Soit N O a : 8 8 6 8 8 8 u+, u( u) u u u + 8 5 ( ) 8 5 u 5 or 6 5 8 5, 8 8 5 8 u u u u 8 8 u 5 u 8 8 8 u + 8 5 u 5 doc 6 5 u 8 +, u 8 u 8 La suite ( u ) est croissate de terme iitial u, doc pour tout N, u, puis 6, 5 6 5 8, 8, u, c est-à-dire 6 5, 84, 8 u De plus, u 8 doc 6, 5 84 8 8, 8 u u u aisi pour tout N, 84 u 8 +, u 8 b) O raisoe par récurrece O a u 8 8,, 75 et 84, doc la propositio est vraie au rag Supposos qu elle le soit pour u certai rag k ; c est-à-dire supposos que pour k N, o ait u 84 k 8 k, Sous cette hypothèse, o a alors 84, 84, 8 k+ u k 8 84 uk+, u 8 k d où u 84 8 k +, k+ et la propositio est héréditaire Fialemet, pour tout N, o a u 84 8, or c) Des questios a et 4b, o déduit que pour tout N, u 84 8, or lim 84, car <, 84< d où lim + des gedarmes Aisi lim u + 8 + 8 u par le théorème Corrigé séquece MA
Eercice IV Vrai E effet, toute suite décroissate est majorée par so premier terme Fau Toute suite décroissate et miorée est bie covergete par le théorème de la covergece mootoe Si elle est miorée par, o peut e déduire que sa limite l vérifie l mais rie e permet d affirmer que la limite est ulle Preos la suite de terme gééralu + Cette suite est décroissate, elle est miorée par mais elle admet pour limite Vrai Toute suite croissate est miorée par so premier terme Si la suite est de plus majorée, elle est doc borée Vrai Fau E effet, dire qu ue suite qui admet pour limite + sigifie que, quel que soit le réel M, o peut trouver u certai rag au delà duquel tous les termes de la suite dépasse M Aisi, aucu réel e peut être u majorat d ue telle suite Preos u + et v alors pour tout N, u < v E revache, + lim u et lim v doc, das ce cas, o a lim u lim v + + + + O peut remarquer que par la compatibité avec l ordre, lorsque ( u ) et ( v ) sot des suites covergetes telles que pour tout N, u < v alors, la seule affirmatio que l o puisse e déduire est que lim u lim v + + Eercice V La foctio f est ue foctio homographique doc ( u ) est défiie par a b u f + ( ) c + d b a+ b a b a puis u + c + d + or lim d d d où lim a + b + a + c+ c + et lim c + d a c Par quotiet, o obtiet doc lim u + aisi il suffit de + c choisir f telle que a Par eemple, e preat a et c, la suite c ( u ) défiie par u + coviet Corrigé séquece MA
Si ( u ) est ue suite géométrique covergete alors sa raiso q est telle que < q Mais si q la suite est cotate et si < q <, celle-ci coverge vers O e peut doc pas trouver de suite géométrique o costate covergete vers q La suite ( u ) est défiie par ue epressio de la forme u α q où α est u réel et q u réel différet de Pour que ( u ) coverge, o choisit < q < de sorte que lim + q q puis lim + q et lim u q + α q O obtiet le résultat e choisissat par eemple α6 et q 4 La suite ( u ) est défiie par ue epressio de la forme u α + β Elle est doc covergete si et seulemet si α autremet dit, si et seulemet si ( u ) est costate Par suite, o e peut pas trouver de suite arithmétique o costate covergete vers Eercice VI À l aide de Geogebra, o obtiet l illustratio ci-cotre,8 Il semble que les suites ( u ) et ( v ) soiet covergetes vers ue même limite comprise etre, et,4 L aire A semble doc être égale à cette limite,6 a) E s appuyat sur le graphique, o remarque que les rectagles cosidérés pour,4, 6 calculer u ot tous u côté de logueur et la hauteur vaut k pour k allat de à Aisi,,4,6,8 v,65 u,7 u + + + + ( ) k k De faço aalogue, o remarque que les rectagles cosidérés pour calculer v ot tous u côté de logueur et la hauteur vaut k pour k allat de à Corrigé séquece MA
Aisi v + + ++ k b) Pour, o a k k et ( + )( + ) doc 6 6 k k ( + )( + ) la propositio «k» est vérifiée au rag 6 k p O suppose que pour p N pp ( + )( p+ ), o ait k et, sous cette 6 k p+ ( p+ )( p+ )( p+ ) hypothèse, o motre que k 6 k O a p+ p pp ( + )( p+ ) p( p+ )( p+ ) + 6( p+ ) k k + ( p+ ) + ( p + ) 6 6 k k ( p+ )( p + 7p+ 6) 6 or ( p+ )( p+ ) p + 7p+ 6 propositio est bie héréditaire d où k p+ ( p+ )( p+ )( p+ ) k 6 k et la Fialemet pour tout N, ( + )( + ) k 6 k O e déduit que ( ) ( ) k d où 6 k u ( ) ( ) 6 alors quev ( + )( + ) 6 c) Démotros que la suite ( u ) est covergete O a ( ) ( ) + doc, pour, + u + ( ) ( ) + 6 6 6 6 or lim + et lim doc lim + + + puis par produit lim u E procédat de faço aalogue, o obtiet lim v + 6 + 4 Corrigé séquece MA
Comme o sait que pour tout, o au A v, o obtiet par passage à la limite (coséquece de la compatibilité avec l ordre) que A Fialemet, l aire cherchée vaut e uité d aire (l uité d aire état l aire du rectagle formé par les vecteurs de base) Eercice VII k O a :u k + +, u k k + + + + 5 k k k 7 et u k + + + + + + 4 k a) Soit N * k et k tels que k O a k + or, de k + k o déduit que puis + + + d où + + k k k car > Alors par iversio +, c est-à-dire k + k + + k b) Pour N, o a k + pour tout k + k Doc k + k + or k k k + + et k car k das chaque cas o cosidère la somme de termes idetiques d où u + c) O a iversio + + or lim + + doc lim + + et par lim + d où lim + + Par le théorème des gedarmes, + o e déduit que lim u + Corrigé séquece MA 5
a) O a lim + u doc, par défiitio, o peut trouver u u etier p strictemet positif tel que, pour tout etier p, o a u < De u +, o déduit que + u d où u + Aisi, pour que u <, il suffit que + <, + > puis > 99 c està-dire E choisissat p, o est assuré que pour tout etier p, o a u < b) À l aide de l algorithme ci-dessous implémeté sous Algobo, o obtiet u,9994889 c) Compte teu de la questio précédete, l etier p cherché das cette questio est écessairemet iférieur ou égal à Pour répodre à la questio, o peut procéder de l ue des deu faços suivates Calculer toutes les valeurs de u pour allat de à et garder la plus petite valeur de pour laquelle u < O remarquera qu e travaillat das ces ses, o e peut pas s arrêter dès que la coditio u < est vérifiée pour u certai etier p car o a aucue iformatio sur le comportemet de la suite ( u ) pour p O obtiet par eemple l algorithme de gauche Raisoer das l autre ses e calculat les termes de la suite à partir de et s arrêter dès que la coditio u est vérifiée O obtiet par eemple l algorithme de droite 6 Corrigé séquece MA
À l aide de l u ou l autre de ces algorithmes implémetés sous Algobo, o obtiet p 9 et u 9,9996 d) Ue coditio suffisate sur p pour que u < soit vérifiée pour tout etier p coduit à p alors que la coditio est vérifiée dès que p 9 Ceci s eplique par le fait que l ecadremet obteu à la questio b est très large Il est suffisat pour obteir la covergece de ( u ), e revache il est trop large pour obteir des iformatios itéressates quat à la vitesse de covergece de la suite Corrigé séquece MA 7
Eercice VIII O a!!! u, u, u u,,, 7 9! 4 et u 9, Il semble que ( u ) soit covergete vers doc que tede vers + beaucoup plus vite que! O remarque que, u e s aulat pas, o peut cosidérer le quotiet Alors, pour, + u o a! ( + )! ( + ) ( + ) u + ( + )!! + ( ) u u + ( + ) + or, e appliquat l iégalité de Beroulli avec, o a + + d où u pour, u+ Démotros par récurrece que pour tout, u O a u et doc la propositio «u» est vraie pour u Supposos que pour k N, o ait u k De k, o déduit k uk+ par iversio que u k uk + puis par produit (caru k > ) que u k+ u k L hypothèse de récurrece permet alors d écrire u k + k u k + et la propositio est héréditaire k Fialemet, pour tout, u ou ecore O sait que pour tout, u or ( u ) est ue suite à termes positifs doc, pour tout, u De plus lim + doc par le théorème des gedarmes lim u + La cojecture est bie vérifiée et ted vers + beaucoup plus vite que! 8 Corrigé séquece MA
Eercice IX a) b) E testat l algorithme pour de grades valeurs de, il semble que ( u ) tede vers + ( k + k)( k + + k) a) Soit k O a k + k k + + k k + + k or k k k + et k k + k + doc par somme k k + k + k + et par iversio aisi pour tout k, k k k + + k k + k + + k k b) E sommat les iégalités k + k pour k allat de à, o obtiet k k + k k k or k k + k + + + + + k + et u d où + u k k k k ce qui doe Corrigé séquece MA 9
+ u Comme +, o e déduit fialemet que u () E sommat les iégalités k + k pour k allat de à, k + o obtiet k k k + + k k or k k + k k + + + + ( ) (u ) u et k + k + + d où u k ce qui doe u puis u ( ) Des iégalités () et (), o déduit que pour tout, u + a) O a lim + + doc lim + + or pour, u doc par comparaiso, lim u + + b) O sait que pour, o a u or > u doc + u, c est-à-dire or lim doc lim + + et lim + puis, par le u théorème des gedarmes lim Fialemet est u équivalet + de u O a aisi démotré que ( u ) est divergete et qu elle ted vers + à la même vitesse que ted vers + Eercice X a) La foctio f est ue foctio ratioelle défiie sur ; + doc f est dérivable sur ; + et pour tout >, o a Corrigé séquece MA
( )( + ) A A A A f'( ) or + A > sur ; + doc f' ( ) est du sige de A à savoir égatif sur ; A et posi- tif sur A ; + Par suite, f est décroissate sur ; A et croissate sur A ; + b) f, 4,6,8,,,4,6,8 u u u u a) E s appuyat sur la représetatio des premiers termes de ( u ), il semble que la suite soit décroissate et très rapidemet covergete vers l abscisse du poit d itersectio de la courbe f et de la droite d équatio y Das le cas où A, il semblerait doc que ( u ) soit covergete vers b) Motros que u u Pour cela, o remarque que : A u u u + u u A u A u u + or u E( A) + doc u A d où u A de sorte que l o a bie u u De plus, comme u A et f est croissate sur A; +, o a A u f ( u ) f ( A ) A+ A A O suppose que pour k N, A uk+ uk u alors f ( A ) fu ( k+ ) fu ( k ) fu ( ) car f est croissate sur A ; f ( a ) uk+ uk+ f ( u ) + d où Corrigé séquece MA
d où A uk+ uk+ u tout N, A u u u + et la propositio est héréditaire Fialemet pour c) De ce qui précède, o déduit que pour N, u+ u doc ( u ) est décroissate et pour N, A u doc ( u ) est miorée par A aisi, par le théorème de la covergece mootoe, la suite ( u ) est covergete De plus, pour tout N, A u u doc la limite l de ( u ) vérifie A l u a) Soit N ( ) O a : A u A f u A u A u A Au u + ( ) + u + A u u or u A A car A > et u u u > par suite pour tout N, u+ A u A ( ) b) Pour, o a ( u A) u A doc la propositio «u A ( u A )» est bie vérifiée au rag O suppose que pour k N, uk A u A k ( ) D après la relatio obteue au a, o sait que uk+ A uk A ( ) d où uk + A ( u A k ) soit uk + A ( u A k + ) et la propositio est bie héréditaire Fialemet pour tout N, u A ( u A ) c) Pour tout N, u A ( u A) d après le b et le b or lim lim + + car < < d où, par le théorème des gedarmes lim ( u A) puis lim u A + + Corrigé séquece MA
O sait que pour N, u A ( u A ) or das le cas où A, o a u d où u ( ) or doc pour que u, il suffit que ou ecore que La suite de terme gééral 4 état croissate, < et >, la coditio est vérifiée dès que 4 Par balayage à l aide de la calculatrice, o trouve que le plus petit au-delà duquel u est 4 La différece avec le résultat précédet s eplique par le fait que les majoratios cosidérées das les questios a et b sot très fortes O ote que la covergece de la suite vers sa limite est très rapide puisque u 4 fourit déjà ue approimatio de à près Lire A Lire P N U + E( A) Tat que U A P faire N N+ U U + A U Fi Tat que Afficher U O peut compléter cet algorithme e demadat d afficher N e sortie obteat alors le plus petit rag au-delà duquel u A < P Afi de le tester, o peut implémeter cet algorithme sous Algobo ou sur la calculatrice Corrigé séquece MA
Eercice XI O remarque que u 57, u 57 57 57 + + 57 57 57 + 57 + + +, etc u 57 Aisi, par costructio u + + + + d où 57 57 u 99 et O a < < doc lim + puis lim + lim u + 57 99 9 et 4 Corrigé séquece MA
C Corrigé de la séquece Corrigé de l activité du chapitre Activité Pour les questios à, il suffit de suivre les istructios doées au cours de l éocé Les courbes obteues par cette costructio sot les suivates :, M v M s S M c u 4π π/ π π/ π π/ π π/ π/ π π/ π π/ π π/ 4π C C Cojectures attedues à la questio 4 π Il semble que la foctio sius soit croissate sur ;, décroissate π π sur ; et croissate sur π ; π π π π Variatios de la foctio sius Il semble que la foctio cosius soit décroissate sur ;π et croissate sur π ; π π π Variatios de la foctio cosius Corrigé séquece MA 5
Corrigé des eercices d appretissage du chapitre Eercice a) E s appuyat sur le cercle trigoométrique, si a pour solutios π π et sur π ; π alors que les solutios sur ; π sot 4 π 5π et b) E s appuyat sur le cercle trigoométrique, sur R o a π π cos + kπ où k Zou + k' π où k' Z, c est-à-dire π π cos + kπ où k Zou + k' π où k' Z 6 6 Aisi, cos a quatre solutios sur π ; π qui sot 5 π π, 6 6, π 6 et 5 π que l o obtiet respectivemet pour k ', k, k ' et k 6 Sur ; π cos a quatre solutios qui sot π 6, 5 π 7π π, et 6 6 6 que l o obtiet respectivemet pour k ', k, k ' et k a) Sur R, si si( + π ) + π + k π où k Z π ou π ( + ) + k' π où k' Z π π π Pour k Z, + + kπ + kπ kπ (o peut remarquer que pour cette derière équatio, o peut tout autat écrire π + kπ puisque k peut predre toutes les valeurs de Z de sorte que k π et k π décrivet le même esemble de ombres) π π π k ' π Pour k ' Z, π ( + ) + k' π + k' π + 6 π Fialemet, l équatio si si( + ) admet comme solutios sur R les π ombres de la forme k π avec k Z ou bie π + k ' π avec k ' Z 6 6 Corrigé séquece MA
π b) O rappelle que pour tout réel a, sia cos( a) π Sur R, si cos cos( ) cos π π + kπ où k Z ou + k' π où k' Pour k Z, π π π k π + kπ 5 kπ (e précisat 5 π k π que cette derière équatio peut tout autat s écrire + 5 ) Z π Pour k ', π + k' π +k' π Fialemet, l équatio si cos admet comme solutios sur R les ombres de la forme π π k 5 avec k Z et ceu de la forme π + k ' π avec k ' Z O remarquera que selo la démarche utilisée, o peut recotrer les solutios écrites sous ue autre forme c) O rappelle que pour tout réel a, cos a si a Sur R, si cos si si si + si X si X + X Le triôme X + X a pour discrimiat 5 5 doc Z X + X X ou X O e déduit que si cos si ou si L équatio si a pas de solutio réelle car pour tout R, si π 5π Puis sur R, si + kπ où k Zou + k' π où k' Z 6 6 Fialemet, si cos admet comme solutios sur R les ombres de la forme π + k π avec k Z et ceu de la forme 5 π + k ' π avec k ' Z 6 6 Corrigé séquece MA 7
a) O s appuie sur le cercle trigoométrique pour coclure directemet L iéquatio cos π réuio π π ; ; π 6 6 admet comme esemble de solutios sur π ; π la b) E s appuyat sur le cercle trigoométrique, l iéquatio si admet comme esemble de solutios sur π ; π l itervalle π 4 π ; 4 π π c) O a π π + π + π aisi e posat π π X +, résoudre cos( + ) > cosx > avec π X π + π sur ;π se ramèe à résoudre E s appuyat sur le cercle trigoométrique, o a sur π π π ; +, 7π 9π cos X > < X < 4 4 Puis 7 π π 9π π 7π π 7π π < < < < < < 4 4 4 4 π Fialemet l iéquatio cos( + ) > sur ;π l itervalle 7π 4 π ; 4 admet comme esemble de solutios d) O a 4cos ( cos )( cos + ) aisi, pour résoudre l iéquatio, il suffit de détermier le sige de chacu des facteurs cos et cos + sur ; π et de résumer le tout das u tableau de siges pour obteir le sige du produit E s appuyat sur le cercle trigoométrique, o a sur ; π, π 5π cos cos ou et cos cos π 5π < < < < 8 Corrigé séquece MA
π 4π De faço aalogue o a cos + cos ou π 4π et cos + < cos < < < π π 4π 5π π Sige de cos + + Sige de cos + + + + + Sige de 4 cos + + + Fialemet, l iéquatio 4cos admet comme esemble de solutios π π 4π 5π sur ; π la réuio ; ; ; π e) Pour suivre ue démarche aalogue à celle adoptée à la questio précédete, o commece par factoriser si si + O remarque X si que si si + Le triôme a pour X X + discrimiat doc X X + X ou X et o a X X + ( X )( X ) Comme X si, o a doc si si + (si )(si ) Il reste à détermier le sige de chacu des facteurs π π Sur π ; π, si si et, pour tout, si < c est-à-dire si < Sur π 5π π ; π, si si ou et 6 6 π 5π si > si > < < 6 6 Corrigé séquece MA 9
π π 6 π 5π 6 π Sige de si Sige de si + + + Sige de si si + + + Fialemet, l iéquatio si si + < admet comme esemble de solutios sur π ; π la réuio π π π 5π ; ; 6 6 Eercice a) Pour R, f( + π) cos ( + π) + si( + π) or pour a R, o a cos( a+ π ) cosa et si( a+ π ) sia d où f( + π) ( cos ) + si( ) f( ) O peut doc restreidre l étude de f à u itervalle de logueur π, l étude sur R s e déduisat à l aide de la périodicité de f Graphiquemet, f est doc ivariate par traslatio de vecteur πi Aisi, la courbe f se déduit de sa restrictio à u itervalle de logueur π par traslatio de vecteurs kπ i où k Z b) Dire que la courbe f admet la droite d équatio π comme ae de 8 symétrie sigifie que deu poits dot les abscisses sot situées symétriquemet de part et d autre de π 8 ot la même ordoée O est doc ameé à comparer π f( ) 8 + et f( π 8 ) où est u réel quelcoque Pour R, f( π ) cos ( π ) si( π + + + + ) or pour a R, cos a + cos( a) 8 8 4 π π d où cos ( + ) + cos( + ) puis 8 4 π π π f( + ) + cos( + ) + si( +) 8 4 4 + cos( ) si( ) + si( ) + cos( ) 4 Corrigé séquece MA
π aisi, pour tout R, f( + ) + cos( ) 8 π E remplaçat par o obtiet que f( ) + cos( ) or la foctio 8 π cosius est paire et f( ) + cos( ) de sorte que, pour tout R, 8 π π f( + ) f( ) 8 8 La droite d équatio π 8 est doc bie u ae de symétrie pour la courbe f a) Pour R, f( ) cos + si( ) cos + cos si cos (cos + si ) b) La foctio f est le produit de cos par la somme des foctios cosius et sius Toutes ces foctios état dérivables sur R, f est dérivable sur R Formules utilisées : ( u+ v) u + v et ( uv ) u' v + uv Pour R, f ( ) ( si )(cos + si ) + cos ( si + cos ) 4si cos + (cos si ) Aisi f ( ) si( ) + cos( ) Par ailleurs, pour R, π si cos si cos 4 si π Fialemet, pour tout R, f ( ) si( ) 4 π c) Comme >, f ( ) est du sige de si( ) O a 4 π 5π 5π π π π 8 8 4 4 4 π aisi, résoudre si( ) sur I 4 π 5π ; 8 8, se ramèe à résoudre π six sur π ; e posat X 4 Sur π ;, six X π ou X doc sur I π 5π ; 8 8, π π π 5π π si( ) π ou ou 4 4 4 8 8 Corrigé séquece MA 4
De plus, sur π ;, six < π < X < doc sur I π 5π ; 8 8, π si( ) π π π 5 < < < < < π 4 4 8 8 π 5π La foctio f est doc décroissate sur ; 8 8 a) O remarque que la courbe J admet des tagetes horizotales au poits d abscisse π 8 et 5 π 8 b) E s appuyat sur le résultat obteu à la questio b, o costruit la courbe J restrictio de la courbe f à l itervalle π π ; comme symétrique 8 8 de la courbe J par rapport à la droite d équatio π La réuio des 8 courbes est doc la restrictio de la courbe f à l itervalle π 8 5π ; 8 E s appuyat sur le résultat démotré à la questio a et e remarquat que l itervalle π 5π ; a pour logueur π, o obtiet la courbe 8 8 f par traslatio de cette derière de vecteurs kπ i où k Z 4 4 5 6 4 Corrigé séquece MA
Eercice La foctio u est dérivable sur ;π comme somme de foctios dérivables sur cet itervalle et pour tout ; π, u ( ) cos Pour tout ; π, cos doc u ( ) Par suite, la foctio u est décroissate sur ;π or u( ) doc, pour tout ; π, u ( ), c est-à-dire si O a doc bie démotré que pour tout ; π, si a) La foctio f est ue somme de foctios dérivables sur ;π doc f est dérivable sur ; π Pour ; π, f ( ) + + cos La foctio f est elle-même dérivable sur ;π comme somme de foctios dérivables sur cet itervalle et pour ; π, f ( ) si u( ) De la questio, o déduit que f ( ) pour tout ;π doc f est décroissate sur ; π b) O remarque que f ( ) or f est décroissate sur ;π doc f sur ; π Par suite, o e déduit que f est décroissate sur ; π Efi, e remarquat que f ( ), o obtiet que f est égative sur ; π Pour tout ; π, f( ) c est-à-dire + + si doc pour 6 tout ; π, si 6 Corrigé des activités du chapitre Activité a) À l aide de la représetatio graphique de f, il semble que f( ) tede vers e et e + Corrigé séquece MA 4
b) E établissat u tableau de valeurs (à l aide d u tableur par eemple), o peut cofirmer les cojectures proposées à la questio précédete E utilisat le raisoemet recotré lors du calcul de limites de suites, o peut détermier la limite de f( ) e + O a lim + + et lim + et les propriétés recotrées sur les limites de quotiet de suites e permettet pas de coclure ; o est e présece d ue idétermiatio Pour lever cette idétermiatio, o trasforme l écriture de f( ) ( + ) + + O écrit f( ) Puis lim + doc, d ue part ( ) par somme, lim + + et d autre part par produit par puis par somme lim + Fialemet par quotiet, lim f + ( ) Ce raisoemet est eactemet celui utilisé pour les limites de suites Ue suite état ue foctio défiie sur N ou ue partie de N, il eiste pas de limites de suites e Ce qui suit e peut doc pas être calqué sur ce qui a été fait sur les suites e revache, o peut adapter la démarche E + effet, e repreat l epressio f( ), il suffit de détermier la limite du umérateur et du déomiateur or, lorsque ted vers, so iverse ted ituitivemet vers autremet dit il semble que lim et, e 44 Corrigé séquece MA
admettat ce derier résultat, o obtiet de la même faço que précédemmet lim + et lim d où lim f ( ) Activité a) 6 6 impossible impossible 6 6 6 6 8 9 9 8 b) A la lecture du tableau précédet : il semble que tede vers + lorsque ted vers mais o remarquera qu il est écessaire que les valeurs de soiet strictemet positives pour que la foctio soit défiie ; il semble que tede vers ou vers + selo que ted vers e état strictemet iférieur à ou strictemet supérieur à ; il semble que tede vers + lorsque ted vers ; il semble que tede vers ou vers + selo que ted vers e état strictemet iférieur à ou strictemet supérieur à c) Sur ; +, 6 6 > < < < aisi, pour que dépasse 6, il faut et il suffit de choisir das ; Sur ; +, > < < < 4 aisi, pour que dépasse, il faut et il suffit de choisir das ; 4 E suivat ce raisoemet, o pourrait démotrer que peut deveir aussi Corrigé séquece MA 45
grad que l o veut pourvu que l o choisisse des valeurs de suffisammet proche de O dira que ted vers + lorsque ted vers et o otera lim + d) Sur ; +, 6 > < < 6 et pour que dépasse 6, il faut et il suffit de choisir das ; 6 Sur ; +, > < < et il suffit de choisir das ; et pour que dépasse, il faut E suivat ce raisoemet, o pourrait démotrer que peut deveir aussi grad que l o veut pourvu que l o choisisse des valeurs de strictemet positive et suffisammet proche de O dira que ted vers + lorsque ted vers par valeurs strictemet supérieures à et o otera lim + Sur ;, 6 6 < < < suffit de choisir das 6 ; Sur ;, < < < il suffit de choisir das ; et pour que 6 < >, il faut et il et pour que <, il faut et E suivat ce raisoemet, o pourrait démotrer que peut deveir iférieur à importe quel ombre (égatif et grad e valeur absolue) pourvu que l o choisisse des valeurs de strictemet égative et suffisammet proche de O dira que ted vers lorsque ted vers par valeurs strictemet iférieures à et o otera lim < e) Sur R *, 6 6 > < < < < < ou < < Sur R *, 6 6 6 > < < < < < ou < < 46 Corrigé séquece MA
E suivat ce raisoemet, o pourrait démotrer que peut deveir aussi grad que l o veut pourvu que l o choisisse des valeurs de das u voisiage suffisammet proche de (par valeurs strictemet iférieures à ou par valeurs strictemet supérieures à ) O dira que ted vers + lorsque ted vers par valeurs strictemet supérieures à ou par valeurs strictemet supérieures à O otera lim +, lim + et, les limites < > à gauche de et à droite de état les mêmes, o otera plus simplemet lim + Activité 4 À l aide de la représetatio de f obteue das l activité, f ( ) semble tedre vers lorsque ted vers avec < et vers + lorsque ted vers avec > Pour plus de précisio, o établit u tableau de valeurs de f ( ) au voisiage de e preat soi de choisir u pas petit Il faut peser à choisir des valeurs de iférieures et des valeurs de supérieures à Il apparaît à la lecture du tableau de valeurs que les cojectures émises précédemmet peuvet être cofirmées, c est-àdire qu il semble que f () tede vers à gauche de et vers + à droite de a) Soiet A u réel aussi grad que l o veut (pour la démostratio, o pourra choisir A > ) et u réel tel que > Corrigé séquece MA 47
f ( )> A + A A > + > ( ) car > puis A f ( )> A A> A < ( ) car A > d où A < A A Fialemet, pour A aussi grad que l o veut, o sait trouver u réel A tel que pour < < o ait f () > A Cela sigifie que f( ) pourra être plus grad que importe quel réel A pourvu que soit suffisammet proche de O peut doc cofirmer que f( ) ted vers + lorsque ted vers e état supérieur à b) Selo les cojectures émises précédemmet, il semble que f( ) ted vers lorsque ted vers par valeurs iférieures à O choisit doc u réel A, égatif, aussi grad que l o veut e valeur absolue et o cherche les valeurs de telles que < pour lesquelles f( )< A O adapte alors le travail précédet f ( )< A + A A < + > ( ) car < puis A f ( )< A A> A > ( ) car o peut choisir A A d où A > Il apparaît doc que, pour A égatif, aussi grad que l o veut e valeur absolue, A o sait trouver u réel tel que pour A < < o ait f( )< A c est-à-dire que f( ) pourra être plus iférieur à importe quel réel A égatif pourvu que soit suffisammet proche de e état iférieur à et o peut doc cofirmer que f( ) ted vers lorsque ted vers par valeurs iférieures à Activité 5 a) O établit par eemple u tableau de valeurs de f( ) au voisiage de, à gauche et à droite, e preat soi de choisir u pas petit Il apparaît à la lecture du tableau de valeurs que f( ) semble tedre vers à gauche de comme à droite de Cette cojecture peut être cofirmée e traçat la courbe représetative de f O O b) La courbe représetative de f semble être la droite d équatio y autremet dit, il semble que pour tout, f( ) 48 Corrigé séquece MA
O O Pour, o a ( )( ) 4 doc, pour, f ( ) 4 + ( )( ) ( ) Puis, ituitivemet, lim d où lim f( ) La foctio f est doc pas défiie e mais elle admet ue limite fiie e Graphiquemet, o remarquera que le poit de coordoées ( ; ) appartiet pas à la courbe représetat f bie que l o puisse peser le cotraire Corrigé des eercices d appretissage du chapitre Eercice 4 a) L epressio + est u quotiet doc o est ameé à détermier la limite du umérateur et du déomiateur O a lim + > 4 et lim 4 car pour >, o a > 4 doc 4 < > + Par quotiet, o obtiet lim 4 > + b) La foctio cos + foctio ratioelle + + + O a lim lim lim + + + + est la composée de la par la foctio cos doc, par compositio + + avec X, o obtiet lim cos lim X + + + cos X c) L epressio + est u quotiet dot le umérateur et le déomiateur tedet vers lorsque ted vers O est doc ameé à trasformer Corrigé séquece MA 49
l epressio du quotiet pour lever l idétermiatio Les triômes de degré, + et admettet tous les deu pour racie, ils sot factorisables par D ue part + a pour discrimiat 9 et pour racies et d où + ( )( + ) D autre part ( )( + ) ( )( + ) Fialemet + ( )( + ) + or lim + et ( )( + ) + lim doc par quotiet lim + c est-à-dire lim d) O cherche la limite e du quotiet + si L idée est d ecadrer + si et de travailler par comparaiso après s être rameé à détermier des limites de foctios ratioelles Pour R, si puis + si + De plus, pour tout R, + > doc + si + + + + + O a lim lim et, de faço aalogue, lim + + + si doc par le théorème des gedarmes, lim + e) Pour et >, + ( + )( + + ) + 4 ( )( + + ) ( )( + + ) ( ) ( )( + + ) + + O a lim + + 4 d où par quotiet lim + + 4 c est-à-dire lim + 4 5 Corrigé séquece MA
f) L epressio cos ( ) est u quotiet dot o cherche la limite e Le umérateur et le déomiateur tedat vers e, o est ameé à trasformer l epressio O sait que, pour tout a R, cos a si a doc cos ( ) si ( ) et cos ( ) si ( ) Le calcul des limites du umérateur et du déomiateur de cette ouvelle forme coduit à ouveau à si X ue idétermiatio mais o sait que lim et l idée est d utiliser ce X X derier résultat O remarque que si ( ) si( ) si( ) 9 O a lim doc, par compositio avec X, si( ) X lim lim si X X puis, par compositio avec Y si( ), si( ) o a lim lim Y Y si( ) Fialemet, par produit par 9, o obtiet lim 9 9 c est-à-dire si ( ) lim 9 ou ecore cos ( ) lim 9 Eercice 5 4 La foctio f est ue foctio polyomiale doc lim f( ) lim + et lim f( ) lim 4 + + + La recherche d ue feêtre peut être facilitée das u premier temps par l utilisatio de GeoGebra Ue fois cette recherche effectuée, o peut proposer par eemple la feêtre ci-dessous avec le graphique correspodat Corrigé séquece MA 5
Eercice 6 Répose C E effet, + ( + )( + + ) + + + + + ( ) ( ) + + or lim + + doc par iversio, lim + O remarquera qu il s agit ici d ue preuve mais, s il y a pas de démostratio du résultat demadée, o peut s appuyer sur ue cojecture du résultat obteue par eemple à la calculatrice ce qui peut permettre aussi de coclure Répose B E effet, pour tout R, si doc si et f( ) + or lim + doc par comparaiso e +, lim f( ) + O + + remarquera ici qu ue cojecture du résultat à l aide de la calculatrice écessite de predre des valeurs de suffisammet grade pour e pas proposer ue coclusio erroée Répose C + O a lim lim et, de la même faço, + + + lim doc la droite d équatio y est asymptote à la courbe + d équatio y e et e + Le déomiateur s aule e et e alors qu e ces deu valeurs, le umérateur e s aule pas Il eiste doc deu asymptotes verticales d équatio et Répose D S il y a pas de démostratio du résultat demadé, o peut cojecturer le résultat à l aide de la calculatrice Pour ue preuve, o remarque que si si f( ) + + or lim si 5 Corrigé séquece MA
d où lim f( ) et e choisissat f ( ) o prologe la défiitio de f à R e costruisat ue foctio cotiue e aisi qu'o le verra das le chapitre suivat Répose C La foctio g est la composée de par f or lim + + doc, par compositio avec X, lim g ( ) lim f( ) lim f( X) + + + X X > Répose B La foctio g est la composée de par f or lim + > compositio avec X, lim g ( ) lim f( ) lim f( X) X + > > doc, par Eercice 7 a) E s appuyat sur la représetatio graphique de f, il semble que : f soit défiie sur R \{ } ; 5 lim f( ), lim f( ) ; < lim f( ) + et lim f( ) + ; + > f admette ue asymptote verticale d équatio O peut évetuellemet cojecturer la présece d ue autre asymptote, ue asymptote oblique 5 O 6 4 O 4 6 8 5 b) E complétat la graphique par le tracé de la droite la droite d équatio y +, il apparaît que f semble e effet avoir ue autre asymptote, à savoir la droite E effet, la courbe f semble se rapprocher de la droite au voisiage de et de + Corrigé séquece MA 5
5 5 O 6 4 O 4 6 8 5 La foctio f est ue foctio ratioelle défiie par ( 5)( + ) f( ) 9 + Le déomiateur 9 + a pour discrimiat et pour racies et 5 doc f est défiie sur R privé de ces deu valeurs La foctio f est doc défiie sur D ; ; 5 5 ; + O ote que la cojecture émise à la questio était fausse Pour détermier les limites e et de +, o remarque que pour tout D, 9 + f( ) O a alors lim f( ) lim lim 9 + et, de faço aalogue o obtiet lim f( ) lim + + + Pour détermier les limites e les zéros du déomiateur, o travaille par quotiet e détermiat les limites du umérateur et du déomiateur O a lim 9 + 4< et lim 9 + aisi, pour coclure par quotiet, il est écessaire de préciser le sige du déomiateur au voisiage de 5 + Sige de 9 + + + 54 Corrigé séquece MA
O peut doc préciser la limite du déomiateur e, à savoir lim 9 + + et lim 9 + < > puis o obtiet par quotiet lim f( ) et lim f( ) + < ( 5)( + ) O a f( ) 9 + > doc le umérateur et le déomiateur s aulet e 5 Le calcul des limites par quotiet coduit doc à ue idétermiatio que l o va lever e trasformat l epressio de f 5 E remarquat que 9 + ( )( ) ( )( 5), o a pour ( 5)( + ) + D, f( ) Comme lim + ( )( 5) 5 7 et lim, o obtiet par quotiet lim f( ) 5 5 a) Pour tout D, + + ( + )( ) 4 f( ) ( + ) ( + ) b) O a lim doc par iversio lim puis par produit par 4, o a lim f( ) ( + ) De la même faço, o obtiet lim f( ) ( + ) + Le ombre f( ) ( + ) représete l écart algébrique mesuré sur ue verticale etre les poits de coordoées ; f( ) 7 4 ( ) et ( ; +) autremet dit l écart etre la courbe f et la droite Du calcul des limites e et e +, o déduit que cet écart algébrique ted vers e et e ce qui est cohéret avec les costatios effectuées précédemmet C est même ue preuve du résultat O peut doc affirmer que la droite est asymptote à f e et e + Corrigé séquece MA 55
c) Les positios relatives de la courbe f et de la droite sot doées par le sige de f( ) ( + ) E effet, f et serot sécates lorsque f( ) ( + ) c est-à-dire f( ) ( + ), f sera strictemet au-dessus de lorsque f( ) > ( + ) c est-à-dire f( ) ( + ) > et f sera strictemet au-dessous de lorsque f( ) < ( + ) c est-à-dire f( ) ( + ) < O sait que < sur ; et > sur ; + doc par iversio et produit par 4, o e déduit que f( ) ( + ) < sur ; et f( ) ( + ) > sur ; + Par suite, f est strictemet au-dessous de sur ; et f est strictemet au-dessus de sur ; +, les deu courbes e se coupat pas Eercice 8 ( ) O a lim 6 + 9 > et lim + doc par quotiet, lim f( ) + et, graphiquemet, o peut e déduire la présece d ue asymptote verticale d équatio Pour détermier les limites e et e +, o remarque que f est ue foctio 6 + 9 6 + 9 ratioelle que l o peut écrire sous la forme f( ) ( 4 + 4) 8 + 8 O a alors lim f( ) lim lim et lim f( ) lim lim + De ces deu deriers + + + résultats, o e peut pas e déduire l eistece d asymptote sas raisoemet supplémetaire a) Pour, 6 + 9 d ( ) f ( ) ( + ) ( + ) ( ) 6 + 9 ( + )( 8 + 8) ( ) ( ) 56 Corrigé séquece MA
Comme lim, o obtiet par compositio avec X, ( ) + lim lim X X puis par iversio lim d ( ) O remarque que l o aurait pu raisoer e écrivat lim d ( ) lim lim lim 8 + 8 ( ) De faço aalogue, o a lim d ( ) + L écart algébrique etre la courbe f et la droite ted vers e doc la courbe f ted à se rapprocher de la droite au voisiage de O e déduit que la droite est asymptote à f au voisiage de De la même faço, la droite est asymptote à f au voisiage de + b) Sur R \{ }, d ( ) ( ) car ( ) > ( ) sur R \ {} ( ) + Puis, sur R \{ }, d ( ) 8 7 Le triôme 8 + 7 a pour discrimiat 8 ( ) et pour racies 4 et 4 + puis, 8 + 7 état positif à l etérieur des racies o obtiet comme esemble de solutio de 8 + 7 : 4 4 S + ; ; + Fialemet, d ( ) a pour esemble de solutio sur R \{ }, 4 S S 4 + R \{ } ; ; + Graphiquemet, d ( ) représetat l écart géométrique etre la courbe f et la droite, il apparaît que la distace mesurée verticalemet etre les deu courbes est iférieure à ue uité de logueur sur l esemble S O peut remarquer que, comme la droite est asymptote à f au voisiage de et de +, il est logique de retrouver ue distace etre les deu courbes iférieure à au voisiage de et de + c) Pour, d ( ) or ( ) > sur R \ sur R \{} ( ) {} doc d ( )> Corrigé séquece MA 57
Graphiquemet, le sige de d( ) ous doe les positios relatives de la courbe f et de la droite doc f et e se coupet pas et f est strictemet au-dessus de sur ; et sur ; + La foctio f est ue foctio ratioelle doc f est dérivable sur so esemble de défiitio, u vu uv Formule utilisée : v ' ' v Pour, ( ) ( ) 6 ( 6 ) + 9 ( 4) f'( ) 4 ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) 6 6 + 9 ) 4 ( ) ( )( 6 + 9) 6 + 9 d où f ( ) 4 ( ) ( + ) Comme ( )( + ) 6 + 9, o e déduit que ( )( + ) f ( ) ( ) Le triôme + a u discrimiat strictemet égatif doc il e s aule pas sur R et, pour tout R, + > sur R O a doc le tableau de sige suivat : + est du sige de Par suite, + Sige de Sige de + + + Sige de f () + + La foctio f est doc strictemet croissate sur ;, strictemet décroissate sur ] ; ] et strictemet croissate sur ; + 58 Corrigé séquece MA