Correction DM ESSEC n o 11 :

Correcion DM ESSEC n o 11 : Exercice : HEC 27 1 On éudie T λi e par des opéraions rès simples (L 2 L 3 puis L 3 L 3 +(λ 1)L 2 on obien une marice riangulaire avec une diagonale égale à (1 λ, 1, λ(λ 1), ce qui donne Sp Sp T {; 1} On résou ensuie les équaions T X X e T X e on rouve E 1 Vec(e 1 ) de dimension 1 e E Vec(e 1 e 3 ) de dimension 1, donc la somme des dimensions des sous-espaces propre vau 2 e n'es pas diagonalisable Enn Sp donc n'es pas bijecive 2 (a) On a direcemen les coordonnées des images des veceurs de la base donc 1 1 1 1 1 T 1 avec la colonne de 1 qui es au milieu de la marice ((2n + 1 + 1) /2 1 1 n + 1 ) (b) L'image es engendrée par e 1 e (1,, 1) qui formen une famille libre, donc une base de Im () Donc la dimension de l'image es 2 e ( du rang) dim (ker ()) 2n + 1 1 2n 1 (c) Comme dim (ker ()) 2n 1 1, le noyau de Id n'es pas rédui à {} e Sp Grâce à la dimension, pour en avoir une base, il nous su de rouver une famille libre de 2n 1 veceurs de ker () (on en a aussi l'équaion paramèrée avec (x 1,, x n+1,, x 2n+1 ) ) Pour i n + 1 on a (e 1 e i ) e 1 e 1 ; on reire le veceur e 1 e 1 qui es nul e ne ser à rien e on obien : ((e 1 e i )) i [[2,2n+1]], i n+1 es une famille de 2n 1 veceurs de ker () qui es écelonnée donc libre, c'es une base de ker 3 Si v Im ( ) alors il exise w E el que (w) v donc ( (w)) v e v Im () (il es l'image de (w) ) Donc Im ( ) Im () 4 Soi l'endomorpisme déni sur Im () par : pour ou ( x de Im (), ) (x) (x) 2n+1 e i (1,, 1) e on a vu précédemmen que B e 1, 2n+1 e i consiue une base de Im () On a (e 1 ) (e 1 ) e 1 qui a pour coordonnées (1, ) dans B On a ensuie : ( 2n+1 ) e i 2n+1 (e i ) 2n+1 i n+1 qui a pour coordonnées (2n, 1) dans B La marice de dans B es donc ma B ( ) (e i ) + (e n+1 ) 2n e 1 + 2n+1 ( ) 1 2n 1 5 (a) Soi λ une valeur propre non nulle de, e x un veceur propre associé à λ On a alors (x) λx e donc x 1 λ (x) ( x λ) donc x apparien à Im () e i 1

(b) ker () es un sous espace propre de dimension 2n 1 Les( aures veceurs ) propres son dans Im (), donc son veceurs propres de don la marice 1 2n es dans B qui es riangulaire e adme pour unique valeur propre 1, donc (x) x 1 e λ 1 (comme valeur propre de cee fois!), qui donne Sp {; 1} Le sous espace propre associé à 1 es inclus dans Im () Mais il n'es pas Im () ou enier sinon on aurai Id, ce qui es incompaible avec sa marice Donc le sous espace propre associé à 1 es de dimension sricemen inférieure à 2, e donc de dimension 1 La somme des dimensions des sous espaces propres es donc 2n 2n + 1, e n'es pas diagonalisable Problème : ESSEC II 21 I Généraliés sur la loi exponenielle 1 (a) X sui la loi exponenielle de paramère µ donc adme une espérance e une variance qui valen : E(X) 1 µ e V (X) 1 µ 2 (b) Par éorème de ransfer e relaion de Casles, on s'inéresse à l'absolue convergence de : 1 2 n f µ () d d + µ n e µ d La première inégrale converge absolumen e vau comme inégrale de la foncion nulle, la seconde es l'inégrale d'une foncion posiive, qui n'es généralisée qu'en + Or : n e µ ( ) 1 n+2 e µ donc + n e µ o 2 au voisinage de + De plus l'inégrale 1 1 d converge absolumen (inégrale de Riemann 2 avec α 2 > 1 donc par éorème de comparaison, n e µ d converge absolumen On obien nalemen que X n adme une espérance pour ou n e on obien une relaion de récurrence par inégraion par paries : On se place enre e x e on pose : qui son de classe C 1 sur R +, avec L'inégraion par paries donne : E(X n+1 ) µ n+1 e µ d [ n+1 e µ] x +(n+1) µ n+1 e µ d u n+1 e v e µ u (n + 1) n e v µe µ n e µ d x n+1 e µx + n + 1 µ µ n+1 e µ d On fai endre x vers + e on obien (le erme devan l'inégrale end vers par croissances comparées) : E(X n+1 ) n + 1 µ E(Xn ) 2

(c) On en dédui alors que : E(X n ) n µ E(Xn 1 ) n(n 1) µ 2 E(X n 2 n(n 1) 1 ) µ n E(X ) e comme X 1 es une variable ceraine don l'espérance vau 1, on obien : (d) D'où par formule de Koenig-Huygens, E(X n ) n! µ n V (X) E(X 2 ) [E(X)] 2 2 µ 2 1 µ 2 1 µ 2 2 (a) Pour ou x, P(X > x) x µe µ d e µ > Pour ous réels posiifs x e y, (X > x + y) (X > x) donc : P [X>x] (X > x+y) P[(X > x) (X > x + y)] P(X > x) P[(X > x + y)] P(X > x) e µ(x+y) e µx e µy P(X > y) (b) i f es coninue sricemen posiive sur R +, donc R(x) 1 F X (x) es de classe C 1 sur R + e sa dérivée es f(x), sricemen négaive De plus par propriéés d'une foncion de répariion on sai que n'es jamais aeine car R es sricemen décroissane D'où : x, R(x) > + R() R(x), ie qui x + ii On vien de voir que R es de classe C 1, on a de plus (X > x + y) (X > x) donc : P [X>x] (X > x + y) P(X > y) P[(X > x + y) (X > x)] P(X > x) R(x + y) R(x)R(y) P(X > y) R(x + y) R(x) R(y) On dérive cee relaion par rappor à y e on obien : x, y R +, R (x + y) R(x)R (y) Enn on pose y e on a : x R +, R (x) R(x)R () Or on a vu que R (x) f(x) e pour x on a : R () f() µ On obien bien nalemen : R (x) + µr(x) iii Soi g(x) R(x)e µx, dérivable par composiion de foncions dérivables, on a g (x) R (x)e µx + R(x)µe µx (R (x) + µr(x))e µx sur R + iv On en dédui que g(x) es une foncion consane sur R +, donc pour ou x, R(x)e µx R()e R() P(X > ) P(X ) 1 car X es à densié, donc P(X ), e posiive donc P(X ) 1 D'où on obien pour ou x : R(x) e µx F X (x) 1 R(x) 1 e µx e on reconnaî la loi exponenielle de paramère µ f() 3

3 (a) On sai que (Y ) (X 1 ) (X 2 ) donc par indépendance de X 1 e X 2, pour ou R on a F Y () P(Y ) P[(X 1 ) (X 2 )] P(X 1 ) P(X 2 ) F X1 ()F X2 () { si < (1 e µ1 ) (1 e µ2 ) si Cee foncion es coninue sur R comme produi de F X1 e F X2 qui le son car X 1 e X 2 son à densié, e de classe C 1 sur [; + [ e ] ; [ donc Y es une variable à densié, e en dérivan F Y sauf en où on donne une valeur arbiraire, une densié de Y es : { g() si < µ 1 e µ1 + µ 2 e µ2 (µ 1 + µ 2 )e (µ1+µ2) si (b) On sai que (Z > ) (X 1 > ) (X 2 > ) donc par indépendance de X 1 e X 2, pour ou R on a F Z () P(Z ) 1 P(Z > ) 1 P[(X 1 > ) (X 2 > )] 1 P(X 1 > ) P(X 2 > ) { 1 [1 F X1 ()] [1 F X2 ()] si < 1 e (µ1+µ2) si On voi alors que Z sui la loi exponenielle de paramère µ 1 + µ 2 II Fiabilié 1 On fai apparaîre F T puis R T : P( T + ) F T ( + ) F T () 1 R T ( + ) (1 ) R T ( + ) 2 Pour ou réel posiif ou nul, P( T + ) + R T ( + ) R T ( + ),>,> R T () f T () car 1 F T () es dérivable au poin, de dérivée f T () 3 (a) La quesion a déjà éé raiée précédemmen : f T es coninue sricemen posiive sur R +, donc 1 F T () es de classe C 1 sur R + e sa dérivée es f T (), sricemen négaive De plus par propriéés d'une foncion de répariion on sai que n'es jamais aeine car R T es sricemen décroissane D'où : Enn en, comme T es posiive on a : >, > + R(), ie qui x + R T () 1 F T () 1 P(T ) 1 1 > ( ) (b) La foncion ln ln() es dénie e dérivable sur R + par composiion de 1 foncions dérivables car R T es dérivable, à valeurs dans R + e ln es dérivable sur R + Sa dérivée es : d d ( ln()) R T () f T () λ() (c) On en dédui que G() ln() es une primiive sur R + de λ, qui s'annule lorsque : D'où on en dédui l'écriure : ln() 1 F T () λ(x) dx ln() λ(x) dx e λ(x) dx 4

4 (a) On dérive v, e on a vu précédemmen que R Z () f Z() g() : v () 1 R Z () + R Z() R Z () g() g() R Z () v () (b) On écri R Z à l'aide d'une inégrale ce qui donne : v() R Z () P(Z > ) g(u) du g(u) du ug(u) du car pour ou x [; + [, u donc g(u) ug(u) e on inègre sur des bornes croissanes D'où on obien v() ug(u) du (cee inégrale converge bien car Z adme une espérance) Or par relaion de Casles, De plus on sai que e par éorème d'encadremen, ug(u) du ug(u) du + g(u) du ug(u) du donc + ug(u) du v() + g(u) du (c) Comme Z es à valeurs posiives, l'inégrale de à es nulle donc : E(Z) g() d (R Z () v ()) d Eudions cee inégrale, en passan par l'inégrale parielle pour primiiver e faire apparaîre v() : (R Z () v ()) d R Z () d v () d R Z () d v(x) R Z () d [v()] x R Z () d v(x) + v() car v() R Z () D'où R Z () d g() d v(x) De plus on sai que g() d converge en + vers E(Z) e v(x) converge vers D'où R Z () d converge e vau E(Z), ce qui donne bien : E(Z) R Z () d 5 (a) Pour ou réel x posiif, comme (T > x + ) (T > ), R T (x) P [T >] (T > + x) P ([T > ] [T > + x]) P (T > ) P (T > x + ) P (T > ) R T ( + x) 5

(b) Il fau prouver quet adme une espérance pour uiliser le résula ci-dessus Puisque T es rivialemen posiive, e F T 1 R T, on obien : { si x < F T (x) 1 R T (+x) si x Cee foncion es de classe C 1 donc coninue sur R sauf peu-êre en, de plus elle es coninue sur R car par coninuié de R T : F T () 1 R T ( + x) 1 x +, x On en dédui que T es à densié, e une densié de T es donnée par : { si x < f T (x) f T (+x) si x Enn comme l'inégrale sur R es nulle, sous réserve de convergence absolue e avec le cangemen de variable v x + e la linéarié de l'inégrale on a : E(T ) x f T ( + x) dx 1 (v )f T (v) dv 1 vf T (v) dv Or la première inégrale converge absolumen car T adme une espérance, e la seconde car T es à densié : on en dédui que T adme bien une espérance La quesion 4c donne alors : E(T ) R T (u) du 1 R T ( + u) du e avec le cangemen de variable ane v + u on obien nalemen : 6 (a) Si T E(µ), alors pour ou : E(T ) 1 R T (v) dv P(T > ) e µ e λ() µe µ e µ µ (b) On remarque que T min(t 1, T 2 ) donc avec la n de la parie I on sai que T sui la loi exponenielle de paramère µ 1 + µ 2 On en dédui avec la quesion précédene que : pour ou, P(T > ) e (µ1+µ2) e λ() µ 1 + µ 2 (c) On remarque que T max(t 1, T 2 ) donc d'après la parie I, pour : F T () 1 e µ1 e µ2 + e (µ1+µ2) donc 1 F T () e µ1 + e µ2 e (µ1+µ2) 7 (a) ϕ n,β es posiive e coninue sur R + e sur ] ; [, donc posiive sur R e coninue sauf peuêre en De plus on a ϕ n,β () βn 1 (n 1)! βn 1 e β On calcule ϕ n,β () d ; on reconnaî l'inégrale dénissan l'espérance de X n 1 où X sui une loi exponenielle de paramère β, donc on sai que cee inégrale converge absolumen e : ϕ n,β () d βn 1 (n 1)! (n 1)! β n 1 1 De plus l'inégrale de à de ϕ n,β converge e vau car c'es l'inégrale de la foncion nulle On obien nalemen que ϕ n,β() d converge e ϕ n,β() d 1 donc ϕ n,β es une densié de probabilié f T (v) dv 6

(b) On a par déniion : P(T > ) ϕ n,β (u) du 1 On monre alors le résula par récurrence sur n 1 : ϕ n,β (u) du Pour n 1, ϕ 1,β () βe β donc on reconnaî la loi exponenielle de paramère β, e on a vu : e β Or on a calcule facilemen : e β donc la propriéé es vraie au rang n 1 (β) k e β Supposons qu'il exise n el que la propriéé soi vraie pour ϕ n,β, on a alors : Calculons R T pour ϕ n+1,β : On pose k n 1 ϕ n,β (u) du 1 e β 1 βn n! qui son de classe C 1 sur [; ] avec : k (β) k u n βe βu du v u n e w e βu v nu n 1 e w βe βu Par inégraion par paries, on obien : ( 1 βn [ u n e βu] n! + n 1 + βn n! n e β [ n 1 1 e β β (β)n 1 + e n! [ n 1 1 1 + e β n e β (β) k k k (β) k ) u n 1 e βu du β (n 1)! (βu)n 1 e βu du k + (β)n n! ] (β) k Conclusion : pour ou n 1, si T suis la loi d'erlang de paramères n e β, on a : n 1 e β k (β) k n 1 β Remarque : on pouvai aussi (c'es d'ailleurs plus simple) poser F () 1 e ] k (β) k e la dériver pour prouver que c'es une primiive de ϕ n,β puis l'uiliser pour calculer l'inégrale D'ailleurs on pouvai aussi l'uiliser pour la quesion précédene (obenir que c'es une densié de probabilié) 7

8 (a) La foncion ψ β,η es posiive e coninue sur [; + [ e sur ] ; [, donc posiive sur R e coninue sauf peu-êre en Son inégrale de à converge e vau car c'es l'inégrale de la foncion nulle Pour x, on considère ψ β,η () d [ e ( η ) β ] x 1 e ( x η ) β x + 1 donc l'inégrale de à + e par suie l'inégrale de à + convergen e valen oues deux 1 La foncion ψ β,η es donc une densié de probabilié (b) On a vu qu'on sai primiiver ψ β,η, on peu donc calculer, avec : 1 P(T ) 1 dx On en dédui que pour ou, λ() ψ β,η() β η ψ β,η (x) dx 1 (1 e ( ) η ) β e ( η ) β ( ) β 1 η (c) β η e 1 η son des consanes sricemen posiives, la ie dépend de la consane β 1 qui peu êre nulle : Si β 1 β 1, alors λ() 1 η + (On rerouve à nouveau le cas de la loi exponenielle, car pour β 1, la loi de Weibull es une loi exponenielle de paramère 1 η ) Si β > 1 β 1 >, alors λ() β η 1 η ( ) β 1 η + + III Sysème Poissonien 1 (a) Le éorème de ransfer donne la formule immédiaemen, à condiion de prouver la convergence absolue de la série Or pour ou s [; 1], e pour ou k, on a : s 1 s k 1 P(N u k)s k P(N u k) e la série de erme général P(N u k) converge absolumen (c'es la somme des probabiliés sur un sysème comple d'évènemen, la série vau même 1) donc par éorème de comparaison des séries à ermes posiifs, la série cercée converge absolumen On en dédui nalemen que G u (s) exise pour ou s [; 1] e : G u (s) + k P(N u k)s k (b) Par déniion de G e en faisan apparaîre asucieusemen les ypoèses données par l'énoncé : G u+v (s) E ( s Nu+v) ( E s Nu+(Nu+v Nu)) ( E s Nu s (Nu+v Nu)) 8

Or les variables N u e (N u+v N u ) son indépendanes d'après l'énoncé, donc par lemme des coaliions s Nu e S Nu+v Nu le son aussi donc : G u+v (s) E ( s Nu) ( E s (Nu+v Nu)) ( G u (s)e s (Nu+v Nu)) L'énoncé di aussi que N u+v N u sui la même loi que N (u+v) u N v donc ( E s (Nu+v Nu)) E(s Nv ) G v (s) e enn G u+v (s) G u (s)g v (s) 2 (a) On fai apparaîre un erme sricemen posiif dans la somme (le premier) : G 1 (s) E(s N1 ) + k + P(N 1 k)s k P(N 1 ) + P(N 1 k)s k Or + P(N 1 k)s k donc G 1 (s) P(N 1 k) > d'après l'énoncé k1 (b) Une récurrence immédiae donne donc en posan u 1 u k 1, G k (s) G n u i (s) n G ui (s) k1 k G 1 (s) G 1 (s) k e k ln G1(s) e kθ(s) (c) De même en uilisan la propriéé énoncée au débu de la quesion b, ( ) q G 1 (s) G q (s) G 1 (s) 1 q q D'où (d) On fai la même opéraion sur G 1 q (s) G 1(s) 1 q e 1 q θ(s) G p (s) G q ) q (s) (G p pq (s) q donc ψ(r) (ψ(p)) 1 q ( e pθ(s)) 1 q e p q θ(s) e rθ(s) (e) Quesion rès dicile, qui uilise la densié de Q dans R Celle-ci di que pour ou réel u, il exise deux suies u n e v n de raionnels adjacenes ayan pour ie u On a donc pour ou n, u n u v n De plus l'énoncé di que la foncion u N u es croissane D'où pour ous u v on a, avec s 1 donc ln(s) 1 : N u N v ln(s)n u ln(s)n v e ln(s)nu e ln(s)nv s Nu s Nv E(s Nu ) E(s Nv ) Enn on en dédui que u v G u (s) G v (s) ψ(u) ψ(v) 9

e la foncion ψ es décroissane, ce qui perme d'écrire : u n u v n ψ(u n ) ψ(u) ψ(v n ) Comme u n e v n son des raionnels on a pour ou n, ψ(u n ) e unθ(s) e ψ(v n ) e vnθ(s) Comme le réel s es xé, la foncion u e uθ(s) es coninue e on obien : n + e unθ(s) Par encadremen on en dédui que n + e vnθ(s) e uθ(s) donc ψ(u n) n + ψ(u) e uθ(s) e enn G u (s) e uθ(s) ψ(v n) e uθ(s) n + (f) On uilise l'équivalen usuel de l'exponenielle, avec θ(s) (avec s xé) : G (s) 1 e θ(s) 1 θ(s) θ(s),> θ(s) 3 On par du côé droi, plus compliqué, e on simplie : + P(N 1)(s 1) + P(N k)(s k 1) k2 + k1 + P(N k)s k P(N k) k1 [ G (s) P(N ) s ] [1 P(N )] G (s) 1 P(N ) + P(N ) G (s) 1 4 Comme on ne peu pas écanger la ie e la somme innie, on procède par encadremen : s 1 k 2, s k 1 k 2, 1 s k 1 puis on somme les inégaliés pour k allan de 2 à + e on divise par > : s 1 + k2 P(N k) + k2 P(N k)(s k 1) e l'énoncé di que le erme de gauce de l'encadremen end vers lorsque end vers + donc par encadremen : 5 (a) D'après la quesion 3, G (s) 1,> + k2 P(N k)(s k 1) P (N 1)(s 1) + + P (N k)(s k 1) k2 On en dédui avec la quesion 4 que : P (N 1)(s 1) G (s) 1 D'où on ire que si s 1 s 1, P (N 1) + k2 P (N k)(s k 1),> 1 P (N 1)(s 1),> θ(s) s 1 θ(s) 1 s + + k2 θ(s) θ(s) P (N k)(s k 1)

e cee ie, noée α, es posiive puisque c'es la ie d'un quoien de faceurs posiifs e vérie bien pour s [; 1[ : θ(s) α(1 s) Si s 1, il fau prouver que θ(1) pour généraliser la relaion Or G 1 (1) + k P (N 1 k)1 k + k P (N 1 k) 1 donc θ(1) ln(g 1 (1)) ln(1) On obien bien qu'il exise α el que α θ(s) α(1 s) (b) On calcule : e l'énoncé donne On en dédui que P(N 1),> e que pour pour ou s [, 1], + G u () P(N u ) + P(N u k) k P(N u ) k1 u >, < P(N u ) < 1 < G 1 () < 1 ln(g 1 ()) < θ() ln(g 1 ()) > Enn on remarque qu'en posan s, on a : 6 (a) On a θ(s) α(1 s) donc : θ() α(1 ) α > G u (s) e uθ(s) e uα(1 s) e αu e αsu Or la série exponenielle prise en x αsu donne : + k (αsu) k donc pour ou s [; 1], + G u (s) e αu (αsu) k k e αsu + k [e αu (αu)k ] s k (b) On a obenu : pour ou s [; 1], en posan X qui sui la loi de Poisson de paramère (αu) : on a N u (Ω) X(Ω) N e : + k P (N u k)s k + k P(X k)s k Cela n'assure pas forcémen que les ermes de la série son égaux deux à deux L'idée pour l'obenir es de poser s, qui donne les ermes s égaux Puis on reire ces ermes, on divise par s (pour s > ) e on prend la ie lorsque s end vers (d'une somme innie, donc par encadremen), qui donne l'égalié pour s Enn on prend s e les ermes 1 son égaux, puis on réière ce qui se raie rigoureusemen par récurrence : Monrons par récurrence sur k que pour ou i N, P (N u i) e αu (αu) i i! 11

Iniialisaion : on prend la relaion précédene pour s Tous les ermes pour k 1 s'annulen en on obien P (N u ) P(X ) Hérédié : on suppose que pour ou k i (récurrence fore), P (N u k) P(X k) On obien alors en reiran les ermes égaux que pour ou s [; 1] : + ki+1 P (N u k)s k + ki+1 Pour ou s > (pour pouvoir diviser) on en dédui que : + ki+1 P (N u k)s k i 1 + ki+1 P(X k)s k P(X k)s k i 1 e on sépare le premier erme de caque somme e on isole la probabilié cercée : ( + ) + P(N u i + 1) P(X i + 1) + s P(X k)s k i 2 P(X k)s k i 2 ki+2 ki+2 Or, sur le modèle de la quesion 1a, on peu encadrer les séries : pour Y une variable aléaoire à valeurs dans N (donc cela s'applique à X e N u ) on a ; P(Y k)s k i 2 P(Y k) donc Donc on obien que : ( + 1 P(X k)s k i 2 puis s s ki+2 ( + ki+2 P(X k)s k i 2 + ki+2 + ki+2 + ki+2 P(Y k)s k i 2 + ki+2 P(X k)s k i 2 ) 1 P(X k)s k i 2 ) s P(Y k) 1 e par encadremen, le erme cenral end vers lorsque s end vers, ce qui donne nalemen : e la propriéé es vraie au rang i + 1 P(N u i + 1) P(X i + 1) Conclusion : pour ou k N, P(N u k) P(X k) e N u sui la même loi que X, donc la loi de Poisson de paramère (αu) 7 (T > ) (N ) donc pour ou on a : P(T > ) P(N ) e α donc P(T ) 1 e α D'aure par P(T ) si car il ne peu pas y avoir de panne avan l'insan de mise en marce On reconnaî bien la foncion de répariion d'une loi exponenielle de paramère α 8 (a) N + es le nombre de panne à l'insan + e N le nombre de pannes à l'insan donc N + N représene bien le nombre de pannes survenues dans l'inervalle de emps ]; + ] 12

(b) Quesion pas dicile mais fasidieuse L'énoncé di que Ñ N + N sui la même loi que N, e on obien, une par une, oues les propriéés du processus de Poisson à l'aide de celles vériées par N (c) On applique la quesion 7 à la famille (Ñ) e on obien le résula (d) Quesion mal posée : le aux de défaillance du sysème après n'a jamais éé déni, e sur ce sysème, les pannes son réparées, conrairemen au cas où on avai déni le aux de défaillance du sysème Il fau comprendre que la aux de défaillance après es le aux de défaillance de la variable T dénie à la quesion II5 Or T puis T suiven des lois exponenielles de paramère α (remarquer que T T ), donc le aux de défaillance es consan égal à α (quesion II6a) 13