SYS 855 Vibroacoustique Étude de l A.M.E. Analyse Modale Expérimentale

SYS 855 Vibroacoustique Étude de l A.M.E. Aalyse Modale Expérimetale Marc Thomas, ig., Ph.D. Professeur Départemet de géie mécaique ETS Mars 3

TABLE DES MATIÈRES 4. (Aalyse modale expérimetale) 4-4 4.. Itérêts de l AME 4-4 4.. Systèmes de mesure 4-4 4... Excitatio 4-6 4... Excitateur électrodyamique 4-6 4... Véri hydraulique 4-6 4...3. Excitatio harmoique 4-7 4...4. Excitatio par ue force aléatoire coue 4-8 4...5. Excitatio par choc 4-9 4...6. Marteau d impact 4-9 4... L accéléromètre 4-4... Gamme de fréquece des accéléromètres 4-4 4... Pricipes de coceptio d u accéléromètre 4-4 4..3. Capteur de force 4-6 4..4. Amplificateur coditioeur 4-6 4.3. Traitemet du sigal 4-7 4.3.. Décompositio d u sigal e série de Fourier 4-7 4.3... Valeur efficace du spectre 4-3 4.3... Forme expoetielle 4-5 4.3.. Trasformée de Fourier 4-6 4.3.3. Échatilloage des sigaux 4-8 4.3.3.. Phéomèe de recouvremet 4-3 4.3.3.. Théorème de Shao 4-3 4.3.3.3. Pricipe d icertitude de Heiseberg 4-3 4.3.4. Trasformée discrète de Fourier 4-35 4.3.5. Effet du feêtrage 4-36 4.3.5.. Recommadatios pour le choix du type de feêtre 4-4 4.3.6. Logiciel d aalyse spectrale 4-4 4.4. Aalyse modale expérimetale (A.M.E.) 4-4 4.4.. Mesure des foctios de trasfert 4-4 4.4.. Cohérece des sigaux mesurés 4-43 4.4.3. Recherche des fréqueces propres 4-44 4.4.4. Méthodes de mesure d amortissemet 4-44 4.4.4.. Méthode : Amplificatio maximale 4-44 4.4.4.. Méthode : Bade passate 4-45 4.4.4.3. Méthode 3 : partie réelle du sigal 4-5 4.4.4.4. Méthode du décrémet logarithmique 4-5 4.4.4.5. Extractio des paramètres par la méthode du NYQUIST 4-5 4.4.4.6. Valeurs typiques d amortissemet 4-54 4.4.5. Mesure des modes 4-54 4.4.5.. Défiitio des modes 4-54 4.4.5.. Aalyse Modale 4-55 4-

4.4.5.3. Amortissemet proportioel 4-56 4.4.5.4. Idetificatio de la rigidité et de l amortissemet 4-56 4.4.5.5. Mesure des modes 4-56 4.4.6. Idetificatio des paramètres physiques 4-6 4.5. Référeces 4-6 4.6. Exercices 4-6 LISTE DES FIGURES Figure 4-. Utilisatio de l AME 4-4 Figure 4-. Chaîe de mesure 4-5 Figure 4-3. Répose e fréquece 4-6 Figure 4-4. Excitateur Électro-dyamique 4-6 Figure 4-5. Sigal harmoique 4-7 Figure 4-6. Balayage e fréquece 4-7 Figure 4-7. Vibratio aléatoire 4-8 Figure 4-8. Impact de Dirac 4-9 Figure 4-9. Impact réel 4-9 Figure 4-. Marteau d impact 4- Figure 4-. Effet du choix de l embout du marteau 4- Figure 4-. Modélisatio de l accéléromètre. 4- Figure 4-3. Module du mouvemet relatif e foctio de ζ 4- Figure 4-4. Erreur de mesure d u accéléromètre 4-3 Figure 4-5. Répose e fréquece de l accéléromètre 4-4 Figure 4-6. Effet d amplificatio de l accéléromètre 4-4 Figure 4-7. Sigal périodique 4-7 Figure 4-8. Logiciel de géératio de sigaux : geersigal 4-8 Figure 4-9. Foctio choix 4- Figure 4-. Compositio de sigaux harmoiques 4- Figure 4-. Exemple d applicatio du logiciel : sigaux 4- Figure 4-. Décompositio d ue ode triagulaire e série de Fourier 4- Figure 4-3. Foctio palier 4-4 Figure 4-4. Spectre d ue ode carrée 4-5 Figure 4-5. Exemple de sigal o périodique 4-6 Figure 4-6. Foctio rectagle 4-7 Figure 4-7. Foctio Sic 4-8 Figure 4-8. Échatilloage du sigal 4-8 Figure 4-9. Pricipe d échatilloage 4-9 Figure 4-3. Effet de l échatilloage sur l aalyse fréquetielle 4-3 Figure 4-3. Exemple du phéomèe de recouvremet 4-3 Figure 4-3. Exemple d utilisatio du logiciel Echatilloage. 4-33 Figure 4-33. Logiciel d échatilloage : Échatilloage 4-34 Figure 4-34. Calcul du fft d u sigal : Spectrefft 4-36 Figure 4-35. Sigal sas erreur de trocatio 4-36 Figure 4-36. Sigal troqué 4-37 4-

Figure 4-37. Logiciel de feêtrage des sigaux : feetre 4-38 Figure 4-38. Spectre du sigal podéré par ue feêtre rectagulaire 4-39 Figure 4-39. Exemple d applicatio du logiciel feetre 4-39 Figure 4-4. feêtrage haig 4-4 Figure 4-4. Effet de la feêtre Haig 4-4 Figure 4-4. Logiciel Aalspectral 4-4 Figure 4-43. Amplificatio d u système 4-45 Figure 4-44. Cercle de Nyquist 4-46 Figure 4-45. Erreur d estimatio de l amortissemet 4-48 Figure 4-46. Mesure de l amortissemet 4-49 Figure 4-47. Partie réelle du sigal d amplificatio (A/F) 4-5 Figure 4-48. Mouvemet libre 4-5 Figure 4-49. Digitalisatio de la foctio de trasfert 4-5 Figure 4-5. Cercle de Nyquist 4-53 Figure 4-5. Cercle de Nyquist (sous couplage) 4-53 Figure 4-5. Superpositio modale 4-55 Figure 4-53. Exemple de mode de plaque 4-59 Figure 4-54. Mode d ue poutre ecastrée 4-6 Figure 4-55. Sigal harmoique 4-6 Figure 4-56. Vibratio de moteur 4-63 Figure 4-57. Répose trasitoire 4-64 Figure 4-58. Isolatio des vibratios 4-65 Figure 4-59. Courbe d amplificatio d ue couche de caoutchouc pesat kg. 4-66 Figure 4-6. Vibratios de placher 4-66 Figure 4-6. Trasmissibilité de l échatillo A pour ue masse de kg. 4-67 Figure 4-6. Répose temporelle de l échatillo B pour ue masse de kg. 4-67 LISTE DES TABLEAUX Tableau 4-. Choix des feêtres 4-4 4-3

4. (Aalyse modale expérimetale) 4.. Itérêts de l AME L Aalyse Modale Expérimetale permet de réaliser plusieurs tâches essetielles e dyamique des structures. Das le processus de coceptio de systèmes dyamiques et de structures vibrates, o doit faire appel das la modélisatio (e utilisat la méthode des élémets fiis par exemple) à des hypothèses de travail (coditios aux frotières, caractéristiques des matériaux, amortissemet, etc.) alors que le prototype est même pas dispoible. La plupart des calculs dyamiques débuterot par la détermiatio aalytique des paramètres modaux. Ue fois le prototype fabriqué, il faudra par coséquet vérifier la validité de ces hypothèses et u moye d effectuer cette tâche est de réaliser ue aalyse modale expérimetale. L aalyse modale expérimetale permet la détermiatio des fréqueces aturelles, des modes de déformatio et des rapports d amortissemet. Sa détermiatio expérimetale deviet par coséquet très importate et permet de vérifier la validité du modèle mathématique proposé (figure 4.). L étape expérimetale est écessaire pour détermier l amortissemet, puisqu il existe pas de modèle aalytique réel pour prédire sa valeur. Lorsque le modèle théorique a été vérifié, o peut retourer au modèle aalytique et o est alors plus cofiat das la simulatio théorique de forces qui peuvet perturber le système et des réposes vibratoires. L aalyse modale expérimetale permet égalemet de créer u modèle semi-aalytiqueempirique à partir de doées expérimetales et aisi éviter des calculs péibles lorsque le système est trop complexe. L AME permet e outre de détermier le ombre de degrés de liberté du modèle das ue gamme de fréquece d itérêt. Efi, l AME permet de vérifier l itégrité structurale des structures das u processus de surveillace (maiteace des rotors). Aalyse modale théorique (méthode des élémets fiis) Répose vibratoire sous l effet des forces de perturbatio et calcul des cotraites. Figure 4-. 4.. Systèmes de mesure La chaîe de mesure cosiste e : Corrélatio Modèle semiempirique Utilisatio de l AME AME Itégrité structurale e sécurité et maiteace coditioelle 4-4

ue source d excitatio (marteau d impact ou vibrateur) qui fourit ue force mesurée et cotrôlée à l aide d u capteur de force, u capteur (accéléromètre, vibromètre) qui covertit u mouvemet mécaique e sigal électrique, des coditioeurs de sigal (amplificateur de charge) et u aalyseur FFT à caaux miimum qui fourit l iformatio fréquetielle du sigal (figure 4.). Source d excitatio ( marteau, vibrateur) Capteur de force Coditioeur de sigal Structure Capteur de répose vibratoire Coditioeur de sigal Acquisitio de doées A/D ( caaux miimum) Aalyseur FFT Sigal temporel Sigal fréquetiel Cohérece Figure 4-. Chaîe de mesure 4-5

Figure 4-3. Répose e fréquece 4... Excitatio L excitatio est faite à l aide de géérateurs de vibratios. U vibrateur présete l avatage de pouvoir etreteir l éergie de perturbatio, mais écessite la coceptio d ue structure d attache (fixture) qui peut fausser les résultats si elle vibre. E outre, u vibrateur est souvet limité à des fréqueces comprises etre 3 et Hz. Les vibrateurs les plus courammet utilisés sot de deux types : 4... Excitateur électrodyamique U excitateur Électrodyamique est motré à la figure 4.3. La circulatio d u courat I das u bobie placée das u champ magétique crée ue force proportioelle à l iductio. U excitateur électrodyamique est capable de géérer des forces de l ordre de N das ue gamme de fréquece de 3 à Hz. Figure 4-4. Excitateur Électro-dyamique 4... Véri hydraulique 4-6

O commade u véri hydraulique par u clapet qui fait varier la pressio de l huile das ce véri. Ce clapet est asservi à u capteur de force. U véri hydraulique permet de géérer de grades forces (supérieures à N). L itérêt d utiliser u véri hydraulique est sa capacité d exciter les basses fréqueces (.5 à Hz). So icovéiet majeur réside das so icapacité à exciter les hautes fréqueces. À l aide de ces excitateurs, la vibratio peut être géérée de multiples faços. 4...3. Excitatio harmoique Le vibrateur permet soit de géérer des vibratios harmoiques (figure 4.5), soit d effectuer des balayages e fréquece à l aide de vibratios harmoiques (figure 4.6). Pour obteir ue boe précisio e excitatio harmoique, le sigal sera moyeé fois. Lors d u balayage e fréquece, il faut veiller à ce que la variatio de fréquece soit suffisammet lete pour que la structure ait le temps d atteidre la vibratio qu elle aurait à cette fréquece e régime stabilisé. F() Figure 4-5. Sigal harmoique F() Figure 4-6. Balayage e fréquece L excitatio siusoïdale sera toujours celle qui doe le meilleur rapport sigal/bruit das le cas où le iveau de force requis est à la limite des possibilités du système d excitatio. 4-7

4...4. Excitatio par ue force aléatoire coue Le pricipe est le même que précédemmet, à cette différece près qu o e fait pas varier progressivemet la fréquece. La force appliquée est aléatoire. So spectre cotiet de l éergie das ue bade de fréquece, et la répose obteue das cette bade sera la même que si o avait fait varier progressivemet la fréquece. L avatage de cette méthode, c est qu o obtiet rapidemet ue visio de tous les modes vibratoires de la structure. Toutefois, ce est pas la répose de la structure qui est itéressate, mais la foctio de trasfert. Il faut doc traiter les sigaux de force et de vibratio pour la calculer à chaque istat. Il faut e outre moyeer suffisammet pour disposer d ue iformatio valable, car das u sigal aléatoire, la valeur istataée e cotiet pas toute l iformatio. Le spectre est u bruit qu e valeur moyee. E gééral, o cosidérera 5 moyees pour ue mesure valable. Les moyees actuelles de traitemet des sigaux permettet de faire cette aalyse sas difficulté, ce qui explique que l excitatio aléatoire soit de plus e plus utilisée. Il faut cepedat se souveir, lorsqu o a besoi de forces importates, que plus o élargit la bade de fréquece à éergie costate et plus le iveau de la répose sera faible. Les vibratios aléatoires qui ot la particularité d exciter tous le spectre des fréqueces (figure 4.7). F() Hz Figure 4-7. Vibratio aléatoire 4-8

4...5. Excitatio par choc L excitatio par choc peut être assimilée à ue excitatio aléatoire, car le spectre d ue impulsio est plat et couvre ue large gamme de fréquece. U impact théorique de Dirac est ue impulsio de durée ulle, d amplitude ifiie et excite toutes les fréqueces (figure 4.8). f(t) F( t Figure 4-8. Impact de Dirac Si le choc est pas ifii, so spectre a plus la même forme. O obtiet pas réellemet ue foctio de Dirac, puisque le temps d impact a ue durée trop logue. Aussi la répose e fréquece de la force est plus ue droite, mais plutôt ue foctio périodique (figure 4.9). Plus la durée T de l impact est logue, plus la gamme utile e fréquece sera réduite et plus la durée de l impact sera courte, plus la gamme utile sera grade. f(t) F( db t Gamme utile T c /T Figure 4-9. Impact réel E gééral, o défiit la fréquece de coupure c lorsque l amplitude est réduite de db ( fois l amplitude maximale). Au delà de cette fréquece, la structure e reçoit pas assez d éergie pour être excitée et si o divise par la force, le sigal d accélératio (A/F), aux fréqueces où la force est faible, o voit apparaître de fausses résoaces dues à la divisio par zéro. L aalyse des fréqueces propres à partir de chocs peut être réalisée à l aide d u vibrateur ou à l aide d u marteau de choc. 4...6. Marteau d impact 4-9

U marteau d impact est costitué d ue masse, d u capteur de force, et d u embout plus ou mois dur selo les fréqueces que l o veut exciter. Lorsqu o utilise u marteau d impact, la force (crête) d impact est proportioelle à la masse du marteau et à la vitesse d impact. U marteau d impact (figure 4.) a la particularité d exciter ue large gamme de fréquece. C est u outil plus rapide et plus facile à mettre e œuvre que le vibrateur, mais il peut maquer d éergie de perturbatio, selo sa grosseur, pour exciter coveablemet ue structure. La limite de C est baissée e augmetat la masse du marteau et est augmetée e augmetat la rigidité de l embout du marteau. O pourra doc agir sur la forme du choc (par exemple, e iterposat etre le marteau et la structure e matériau élastique) pour adapter le type de choc aux fréqueces que l o recherche. Effet de l embout du marteau Figure 4-. Marteau d impact La durée de l impulsio est cotrôlée par la masse et la rigidité du marteau et de so embout aisi que de celle de la structure. Lorsqu o frappe sur ue structure rigide, la dureté de l embout commade la forme du spectre et la gamme opératioelle e fréquece (figure 4.). Plus l embout du marteau sera dur, plus la gamme opératioelle sera grade, mais mois la répose sera sesible à la force. Plus l embout du marteau sera mou, plus la gamme opératioelle sera faible, mais plus la répose sera sesible à la force. F() c (mou) c (dur) Figure 4-. Effet du choix de l embout du marteau 4... L accéléromètre 4-

U accéléromètre est u capteur qui est fixé directemet sur la structure dot o veut mesurer les vibratios. Comme il vibre avec la structure, il e mesure pas le mouvemet absolu y(t) de la structure (tel que désiré), mais u mouvemet relatif z(t) qu il faudra iterpréter pour e extraire l iformatio sur le mouvemet absolu. Cosidéros l accéléromètre comme u système masse ressort amortisseur, défii par m, k et c (figure 4.). Accéléromètre Référetiel fixe y(t) k m c x(t) Structure Figure 4-. Modélisatio de l accéléromètre. O défiit le mouvemet relatif comme : z(t) = x(t) y(t) (4.) où z(t) représete le mouvemet relatif de la masse m par rapport à la base de la structure. Si o applique Newto, l'équatio du mouvemet est: m & x () t = k( x() t y() t ) c( x& ( t) y& ( t)) (4.) m & x () t + c( x& () t y& () t ) + k( x( t) y( t) ) = (4.3) D après 4., o a : () t y& () t z& () t x & = (4.4) () t && y() t & z () t & x = + (4.5) Si o remplace 4., 4.4 et 4.5 das 4.3, o obtiet ue équatio différetielle du deuxième ordre dot la variable représete le mouvemet relatif : m & z () t cz& () t + kz() t = my & () t + (4.6) 4-

Si o suppose u mouvemet harmoique de la structure dot o cherche l amplitude Y, du type : i y t = Y e (4.7) () t () t Z e i t z = (4.8) o obtiet : [ m ] + ic+ k Z= m Y (4.9) E simplifiat par m, o aboutit à : Y Z = + i ξ (4.) ( ) ( ) où = (k/m) représete la fréquece aturelle de l accéléromètre et ξ = c/(m ) représete so taux d amortissemet. E multipliat l expressio 4. par et e e extrayat le module, o trouve : Y Z= (4.) ( ) ( ξ ) + La représetatio graphique du module de l équatio ormalisée du mouvemet relatif pour diverses valeur de ζ est doée sur la figure 4.3. 6 5 Y Z / a t if re l m et e M ouv 4 3...5.5.5.5 3 3.5 4 Rapport de fréqueces Figure 4-3. Module du mouvemet relatif e foctio de ζ O peut remarquer que, d après l équatio 4., l amplitude d accélératio de la structure s exprime comme Y && = Y, qui est l expressio recherchée. 4-

Si o choisit u accéléromètre tel que / <<, alors l équatio 4. se réduit à : Z& = Z Y& (4.) La mesure du mouvemet relatif, défii par Z, doe doc ue valeur représetative de l amplitude de l accélératio de la structure à la fréquece. L erreur de mesure effectuée se défiit comme: = Z&& E Y&& = ( ) + ( ξ ) (4.3) L erreur de mesure déped de l amortissemet itere de l accéléromètre. Comme le motre la figure 4.4, il faut u amortissemet de 65% pour limiter l erreur à %. Erreur de mesure d'u accéléromètre zéta=.4 zéta=.6 zéta=.65 zéta=.7 zéta=.8 5 % d'erreur 5,5,,5,,5,3,35,4,45,5-5 - -5 Rapport de fréquece Figure 4-4. Erreur de mesure d u accéléromètre 4-3

4... Gamme de fréquece des accéléromètres Les systèmes mécaiques ot gééralemet leur éergie vibratoire coteue das ue gamme de fréquece relativemet étroite etre et Hz mais les mesures doivet souvet être réalisées jusqu'à khz car il y a souvet d'itéressates composates de vibratio à ces fréqueces supérieures. C'est la raiso pour laquelle o doit s'assurer e choisissat u accéléromètre que la gamme de fréquece de l'accéléromètre couvre la gamme de mesure désirée (figure 4.5). Pour des accéléromètres courats, des fréqueces de résoace de à 3 khz sot typiques. Afi que l accéléromètre e déforme pas la répose recherchée, il faut que la mesure soit effectuée das ue gamme de fréquece correspodat à u gai de l accéléromètre costat de. A cette fi, la fréquece de l accéléromètre doit être choisie telle que > 3 max de faço à limiter l erreur à %. Gai de l accéléromètre Gamme de fréquece à éviter Gamme utile de fréquece max Figure 4-5. Répose e fréquece de l accéléromètre Si ue mesure est prise sur ue gamme de fréquece plus large que la gamme utile, il e résultera ue amplificatio artificielle de la vibratio, due à la résoace de l accéléromètre et qui faussera le jugemet. Das ce cas, il est coseillé de filtrer passe-bas le sigal à ue fréquece iférieure à /3 (figure 4.6). Pour les fréqueces se situat bie e dessous de la fréquece de résoace du système, l accélératio de la masse sera la même que l accélératio de la base, et l amplitude du sigal sera, par coséquet, proportioelle à l accélératio de l élémet piézoélectrique. Filtre passe Fréquece Figure 4-6. Effet d amplificatio de l accéléromètre 4... Pricipes de coceptio d u accéléromètre 4-4

U cristal piézoélectrique est u cristal qui sous l actio d u effort mécaique libère ue charge électrique proportioelle à cet effort. Cette propriété est utilisée das les capteurs piézoélectriques. U cristal S est redu solidaire du poit dot o veut mesurer les vibratios. Il supporte ue masse m. U accéléromètre est coçu avec ue fréquece de résoace itere élevée (masse faible et rigidité élevée: petite taille). Le ressort est u quartz qui géère ue charge (picocoulomb) proportioelle au déplacemet relatif. La gamme utile d aalyse e fréquece déped de la fréquece aturelle de l accéléromètre. La mesure de l amplitude du déplacemet relatif permet d évaluer l amplitude de l accélératio. Pour limiter l erreur de mesure et élargir la gamme de fréquece, o lui doe u amortissemet itere de l ordre de 65%. La charge électrique aux bores du capteur est proportioelle à l accélératio : q =λ X" Le coefficiet λ s exprime e picocoulomb/g (pc/g). Ces capteurs ot l avatage d être robustes et de pouvoir travailler das des eviroemets sévères. Ils ot ue : - grade bade passate - excellete liéarité - boe teue à la température - faible sesibilité aux parasites - petit et légers Deux cofiguratios sot commuémet utilisées : Le type à compressio où la masse exerce ue force de compressio sur l élémet piézoélectrique. Le type à cisaillemet où la masse exerce ue force de cisaillemet sur l élémet piézoélectrique. D'ue maière géérale, o doit vérifier les poits suivats: Le poids de l'accéléromètre doit être au mois dix fois iférieur au poids du spécime sur lequel il est moté, afi que la masse ajoutée de l'accéléromètre 'altère pas gravemet la fréquece de vibratio du spécime. O doit estimer la valeur de la gamme de fréquece qui doit être couverte et vérifier que cette valeur est compatible avec la gamme de fréquece couverte par l'accéléromètre. O doit vérifier que la gamme dyamique de l'accéléromètre est adéquate pour les mesures qui doivet être faites. Des accéléromètres dédiés pour les chocs sot dispoibles pour les iveaux aormalemet hauts, et des accéléromètres ultrasesibles pour des iveaux très bas. 4-5

O doit vérifier que la température de foctioemet maximale admissible de l'accéléromètre est suffisate pour le motage de mesure cosidéré e se souveat qu'ue expositio à ue trop haute température etamera le processus de dépolarisatio du matériau piézo-électrique avec ue perte de sesibilité cosécutive. Il est prévu u refroidissemet, par circulatio d'eau, de la base de certais accéléromètres pour l'emploi sur des spécimes ayat des températures jusqu'à C. Ue vetilatio de refroidissemet peut être utilisée das tous les cas. O doit relever toutes les coditios défavorables d'eviroemet et vérifier que l'accéléromètre peut foctioer das ces coditios. E plus de la température, cela iclut l'humidité (ue étachéité supplémetaire peut être doée à l'accéléromètre pour l'utiliser sous l'eau), bruit acoustique, cotraites de la base, champs magétiques et effets des radiatios. Tout ajout au motage de l accéléromètre (boulo, cire, colle, aimat, tige) modifie la rigidité de l accéléromètre et par coséquet affecte la gamme d aalyse e fréquece. Le mode de fixatio des accéléromètre est régi par la orme ISO 5348. 4..3. Capteur de force Des capteurs de force sot utilisés das les mesures mécaiques pour détermier les forces dyamiques. Le capteur de force utilise égalemet u élémet piézo-électrique qui, lorsqu il est comprimé, fourit u sigal de sortie proportioel à la force qu il trasmet. Les sigaux de force peuvet être traités et mesurés avec exactemet la même istrumetatio que celle utilisée pour les accéléromètres. Si u accéléromètre est itégré das le capteur de force pour mesurer les mouvemets vibratoires résultats das ue structure, o appelle le capteur ue tête d impédace. 4..4. Amplificateur coditioeur L amplificateur coditioeur va avoir comme foctio de trasformer les uités produites par le capteur e uités d igéierie ( volt, Newto, m/s, etc.). E outre, il permettra d ajuster le voltage de sortie. Certais amplificateurs ot des filtres passe-haut et passe-bas pour élimier les composates idésirables, Certais amplificateurs ot des voyats d alarme lorsque l amplitude est trop forte. Certais amplificateurs permettet d itégrer le sigal e vitesse et e déplacemet. 4-6

4.3. Traitemet du sigal SYS-855 Vibroacoustique Les aalyseurs covertisset u sigal temporel e sigal fréquetiel, de faço digitale. La méthode utilisée pour trasformer le sigal est la trasformée de Fourier. Les aalyseurs de vibratio ot pour but de doer l iformatio fréquetielle coteue das u sigal, mais de ombreuses précautios doivet être prises das la sélectio des paramètres de l aalyseur afi d éviter de traiter de mauvaises doées. Il est doc essetiel de compredre les opératios de traitemet de sigal afi de sélectioer les paramètres adéquats. 4.3.. Décompositio d u sigal e série de Fourier Ue foctio périodique est importe quelle foctio de période T qui se répète das le temps : x(t) = x(t+t) (4.4) E vibratio de machies, les sources de vibratio sot multiples et se composet e chaque poit de mesure comme la somme des sigaux vibratoires. Le résultat correspod à la répose temporelle que fourira par exemple u oscilloscope. Toutefois, lorsqu o désire établir u diagostic des problèmes, il est essetiel d être capable d idetifier chaque source qui a costitué le sigal mesuré. Cosidéros par exemple u sigal x(t) costitué de sigaux x (t) et x (t). La figure 4.7 motre u sigal du type x(t) = si (88 t) + 7 si (6 t). Sigal tem porel d etrée Sigal tem porel d etrée 5 5 Amplitude Amplitude 5 5-5 -5 - - - 5-5 pressez <E N TE R > pour cotiuer pressez <E N TE R > pour cotiuer - -.5..5..5.3.35.4.45.5..5..5.3.35.4.45 te m p s (s e c ) te m p s (s e c ) Figure 4-7. Sigal périodique 4-7

La foctio geersigal, écrite e Matlab, permet de géérer des sigaux harmoiques, purs, composés, rectagulaires, e dets de scie, ou sous forme de vibratio libre. Cette foctio est appelée par le logiciel aalspectral et utilise la foctio choix. % Géératio de sigaux périodiques: % Harmoique pure % Somme d`harmoiques % Ode rectagulaire % Ode e dets de scie % Vibratio libre sous l effet de coditios iitiales % Marc Thomas, départemet de géie mécaique, ETS, Février disp(' '); disp(' Géératio de sigaux périodiques ') disp(' Marc Thomas, départemet de géie mécaique, ETS') disp(' '); x=:n-; k=choix('choix du sigal d`etrée','cosius pur','somme de sius',... 'ode rectagulaire','ode e dets de scie','etrée mauelle des doées','impulsio trasitoire'); if k == X=; disp(' '); a=iput('etrez l`amplitude (X) du cosius: '); X= a*cos(*pi*f*x*te); ed if k == harm=iput('etrez le ombre d`harmoiques: '); a=:harm; f=:harm; phi=:harm; X=; for i=:harm fpritf('\') fpritf( 'Harmoique # %g :\ ',i) a(i)=iput('etrez l`amplitude de l`harmoique: ' ); f(i)=iput('etrez la fréquece de l harmoique: '); phi(i)=iput('etrez la phase de l harmoique(e degrés): '); phi(i)=phi(i)*pi/8; X=X+a(i)*si(*pi*f(i)*x*Te+phi(i)); ed ed if k == 3 a=iput('etrez l`amplitude (A) du palier. '); X=a*square(*pi*f*x*Te); ed Figure 4-8. Logiciel de géératio de sigaux : geersigal 4-8

if k == 4 X=; disp(' '); a=iput('etrez l`amplitude (A) de l ode triagulaire: '); fpritf('etrez la forme de l ode e dets de scie W'); W=choix('Choix de la forme de l ode triagulaire',... 'géère ue descete verticale','géère ue ode symétrique','géère ue motée verticale'); if W== W=W/4; ed if W==3 W=W/3; ed X=a*sawtooth(*pi*f*x*Te,W); ed if k==5 z=iput('etrez le facteur d amortissemet, z= '); x=iput('etrez le déplacemet iitial, x= '); v=iput('etrez la vitesse iitiale, v= '); w=*pi*f; wd=w*sqrt(-z^); t=x*te; if z < A=sqrt(((v+z*w*x)^+(x*wd)^)/wd^); phi=ata(x*wd,v+z*w*x); X=A*exp(-z*w*t).*si(wd*t+phi); elseif z== a=x; a=v+w*x; X=(a+a*t).*exp(-w*t); else a=(-v+(-z+sqrt(z^-))*w*x)//w/sqrt(z^-); a=(v+(z+sqrt(z^-))*w*x)//w/sqrt(z^-); fpritf('a= %.3g\',a); X=exp(-z*w*t).*(a*exp(-w*sqrt(z^-)*t)+a*exp(w*sqrt(z^-)*t));%(.4) ed ed subplot(); plot(x*te,x); title('sigal temporel d etrée'); ylabel('amplitude'); xlabel('temps (sec)'); text (.65,.5,'pressez <ENTER> pour cotiuer','sc'); disp(' '); fpritf('visualisez la figure.'); disp(' '); fpritf('pressez <ENTER> après avoir visualisé la figure.'); pause Logiciel de géératio de sigaux : geersigal(suite) 4-9

fuctio k = choix(s,s,s,s3,s4,s5,s6,s7) % Choix géère u meu de choix % Le uméro choisit est reporté das le programme. disp(' ') disp(['----- ',s,' -----']) disp(' ') for i=:(argi-) disp([' ',itstr(i),') ',eval(['s',itstr(i)])]) ed disp(' ') k = iput('choisissez u uméro: '); Figure 4-9. Foctio choix Si il est facile, coaissat deux sigaux x (t) et x (t), d e calculer la somme x(t), il est beaucoup mois aisé de détermier les sigaux qui le composet à mois d avoir recours à u système de filtrage passe bas et passe haut (à coditio de coaître les fréqueces à priori) ou alors d avoir recours à ue techique de trasformée de Fourier rapide appelée FFT. La figure 4- motre la superpositio des sigaux sources avec leur résultate. 5 x(t) x (t) x (t) 5 Amplitude -5 - - 5 -.5..5..5.3.35.4.45 Tem ps (s) Figure 4-. Compositio de sigaux harmoiques La figure 4. motre u exemple des commades du logiciel sigaux. 4-

Géératio de sigaux périodiques ----- Choix du sigal d`etrée ----- ) cosius pur ) somme de sius 3) ode rectagulaire 4) Ode e dets de scie 5) etrée mauelle des doées 6) impulsio trasitoire Choisissez u uméro: etrez le ombre d`harmoiques: Harmoique # : etrez l`amplitude de l`harmoique: etrez la fréquece de l harmoique: 3 etrez la phase de l harmoique(e degrés): Harmoique # : etrez l`amplitude de l`harmoique: 7 etrez la fréquece de l harmoique: etrez la phase de l harmoique(e degrés): Visualisez la figure. Pressez <ENTER> après avoir visualisé la figure. Figure 4-. Exemple d applicatio du logiciel : sigaux D après Fourier, importe quelle foctio périodique de période T peut être décomposée comme ue somme ifiie de foctios harmoiques de pulsatio,,..., où = π/t. Les multiples de la fréquece fodametale sot appelés les harmoiques (ou les ordres) si o divise les multiples par la fréquece fodametale. a x( t) = + ( a cos t + b si t) = (4.5) où les coefficiets de Fourier sot : T a = x( t) dt représetat fois la moyee de x(t) sur ue période T (4.6) T a = x( t) cos t dt; =,.. T (4.7) 4-

T b = x( t) si t dt; =,.. (4.8) T Cette expressio peut égalemet se mettre sous ue forme mettat e évidece l amplitude et la phase de chaque harmoique. Le sigal peut se décomposer e ue somme de foctios harmoiques de fréqueces discrètes ƒ = /T d amplitude A et de phase ϕ. x( t) = a + = A cos( t + ϕ) où A = a + b b ϕ = ta a (4.9) Les coefficiets A représetet le poids relatif des différetes harmoiques au sigal total. Tracés das le domaie des fréqueces, ces coefficiets représetet le spectre du sigal, appelé aussi sa sigature. Le problème majeur pour utiliser les séries de Fourier est que l o e coaît pas le ombre de termes de la série. E fait les premiers termes sot souvet suffisats pour modéliser le sigal temporel. Par exemple, la figure 4. motre que les premiers termes de la série suffiset pour modéliser u sigal triagulaire à l aide de foctios harmoiques. N= Approxim atio e séries de Fourier d ue ode triagulaire.8.6.4. x(t) -. -.4 -.6 -.8 -...3.4.5.6.7.8.9 Tem ps Figure 4-. Décompositio d ue ode triagulaire e série de Fourier 4-

4.3... Valeur efficace du spectre Si o calcule la valeur efficace du sigal σ : = T σ T x ( t) dt (4.) σ = T + + = + a A cos( t ϕ) dt a A = (4.) T = La puissace du sigal x(t) est la somme des puissaces propres à chaque fréquece. La valeur efficace du sigal est doc : σ= a + = A (4.) La série de Fourier est très pratique du fait de propriétés spéciales d orthogoalité : T si t si mt dt = m T (4.3) = = m T cost cosmt dt = m T (4.4) = = m T cost si m t dt = (4.5) Si la foctio est paire f(t) = f(-t) b = Si la foctio est impaire f(t) = -f(-t) a = Exemple 4. Décomposez e série de Fourier la foctio e paliers périodiques suivate d amplitude et de période. secodes (figure 4.3): 4-3

. t(s) Figure 4-3. Foctio palier Répose de l exemple 4. La foctio est impaire a = x(t) = + sur [, ] ou[,sec] b= T T T / 4 b= T π x() t si t dt x() t si t dt T =. sec., = π rad/ s b=. siπ tdt b = cosπ t.. π b = [ cos π t ] π b = pour pair b = pour impair 4 b = = 35,,,... π b = =, 4, 6,... ]. a = (moyee sur la période) a = 4 ƒ(t) = si πt + si 3πt + si 5πt +... π 3 5 La figure 4.4 motre le spectre e fréquece de cette foctio. 4-4

Répose e fréquece Répose e fréquece 8 8 Amplitude Amplitude 6 6 4 4 5 5 5 3 5 5 5 3 fréquece (Hz) fréquece (Hz) Figure 4-4. Spectre d ue ode carrée 4.3... Forme expoetielle Si o exprime les foctios sius et cosius sous forme expoetielle à l aide des expressios : cos si ( t) ( t) e i t + e it = e i t e it = i (4.6) (4.7) O obtiet : x() t = c e i t = (4.8) T où c = () it x t e dt T (4.9) 4-5

4.3.. Trasformée de Fourier SYS-855 Vibroacoustique Les séries de Fourier servet à décomposer u sigal périodique e ue somme de sigaux élémetaires. Or, e pratique, u sigal est pas forcémet périodique et o recotre beaucoup de sigaux trasitoires e vibratio de machies ( figure 4.5)..5 x -3.5 x -3 Sigal tem porel d etrée Sigal tem porel d etrée.5.5 Amplitude Amplitude.5.5 pressez <E N TE R > pour cotiuer -.5 pressez <E N TE R > pour cotiuer -.5.5..5..5.3.35.4.45.5..5..5 te m p s (s e c ).3.35.4.45 te m p s (s e c ) Figure 4-5. Exemple de sigal o périodique Ue faço de redre périodique le sigal trasitoire serait de le répéter et c est ce que l o va faire lorsque o va échatilloer. O gééralise les résultats précédets au cas des foctios o périodiques e itroduisat l'itégrale de Fourier, et e cosidérat qu'ue foctio o périodique est ue foctio périodique de période ifiie. E faisat tedre la période T vers l ifii, l équatio 4.9 deviet : () t c = T it T lim x e dt T (4.3) La formulatio 4.3 motre des icovéiets : La costate C ted vers zéro lorsque T ted vers l ifii; La fréquece ted vers zéro lorsque la période ted vers l ifii, ce qui sigifie que la foctio discrète ted à être cotiue. 4-6

Pour remédier à cela, o va multiplier l équatio 4.3 par T pour obteir la trasformée de Fourier X(). Sa foctio iverse deviet la trasformée iverse de Fourier, dot les relatios réciproques qui liet ces deux foctios sot : + X( ) = x(t) e -itdt - (4.3) Cette foctio est complexe et possède ue partie réelle et ue partie imagiaire. Le module de X(f), obteue e extrayat la racie carrée du produit de X(f) par so cojugué complexe, est le spectre d amplitude. L argumet de X(f) représete le spectre de phase. La trasformée iverse de Fourier doe le sigal temporel : + x(t) = X( ) e itd π (4.3) - Exemple 4. Soit ue foctio rectagle x(t) costate, d amplitude A etre des temps -T et +T (figure 4.6). Détermiez la trasformée de Fourier de cette foctio. A -T T t Figure 4-6. Foctio rectagle Répose de l exemple 4. X ( ) = A e it dt = it ] + i A e T T= T Asi e i T e i A i = ( T) si( T) = AT T La foctio si(t)/t s appelle sic(t). O peut trouver la foctio sic(t) préprogrammée e Matlab et est décrite à la figure 4.8. 4-7

.8.6 e ud p l it m A.4. -. -.4-8 -6-4 - 4 6 8 Temps (s) Figure 4-7. Foctio Sic 4.3.3. Échatilloage des sigaux La trasformée de Fourier demade de coaître la foctio x(t), que l o doit itégrer etre et +. Or, lorsqu o effectue ue mesure, o e coaît pas la formulatio mathématique de la foctio, mais plutôt des valeurs discrètes de cette foctio évaluées à certais itervalles de temps pedat u certai laps de temps (figure 4.8) à partir d u istat iitial t o. O supposera que t o supérieur à, ce qui défiit ue foctio causale. O appelle cette opératio l échatilloage. 7 7 S i g a l te m p o r e l d e tr é e S i g a l te m p o r e l d e tr é e 6 6 Amplitude Amplitude 5 5 4 4 3 3 Te pressez <E N TE R > p o ur co tiue r pressez <E N TE R > p o ur co tiue r.. 4. 6. 8.... 4 te m p.s 6 (s e c ). 8.. te m p s (s e c ) Figure 4-8. Échatilloage du sigal 4-8

Échatilloer reviet doc à sélectioer, à des istats différets, certaies valeurs du sigal cotiu. L opératio d échatilloage est effectuée périodiquemet sur le sigal temporel à ue période otée T e. O peut doc cosidérer que l échatilloage reviet à multiplier le sigal x(t) par ue foctio peige δ(t-nt e ) dot la période d échatilloage est T e (figure 4.9), allat de à +, puisque la foctio x(t) est causale: x () = N = + * t T e x() t δ( t NT e ) (4.33) N = x(t) t Peige (Te) Multiplié par Te t x*(t) égal t Figure 4-9. Te Pricipe d échatilloage 4-9

La composate fréquetielle de la foctio peige est égalemet ue foctio peige dot la fréquece est f e. Das le domaie des fréqueces, le sigal recherché X(f) est doc répété à la fréquece f e. sur toute la gamme des fréqueces (figure 4.3). X(f) -f max f max f Foctio recherchée Filtre passe bas -f e -f max f max f yquist = f e / f e f Figure 4-3. Effet de l échatilloage sur l aalyse fréquetielle 4.3.3.. Phéomèe de recouvremet Comme le motre la figure 4.3, la période d échatilloage T e doit être suffisammet petite par rapport à la période du sigal recherché, pour e pas perdre l iformatio. Lorsque cette période d échatilloage est trop grade par rapport à la période du sigal recherché, o voit apparaître u sigal apparet (semblable au phéomèe stroboscopique) dot la fréquece apparete est égale à : f apparet = f e f réel (4.34) Or, e gééral, o e coaît pas toutes les fréqueces recherchées et il est doc iévitable que ce phéomèe apparaisse aux hautes fréqueces si o filtre pas le sigal. O appelle ce phéomèe recouvremet. 4-3

fe =.5 f= fa p p =.5 fe =.5 f= fa p p =.5.8.8.6.6.4.4.. -. -. -.4 -.4 Sigal apparet Sigal recherché -.6 -.6 -.8 -.8 - - 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 Figure 4-3. Exemple du phéomèe de recouvremet 4.3.3.. Théorème de Shao Il y a pas de problème à idetifier le spectre fréquetiel X(f) si fe est supérieur à f max. Il suffit alors d appliquer ue foctio semblable à la foctio rectagle das le domaie des fréqueces, dot la fréquece de coupure f c sera comprise etre f max et f yq, pour élimier les composates idésirables. Par cotre si fe est iférieur à fmax, la figure 4.3 motre qu il y aura recouvremet des courbes, ce qui va géérer des fréqueces fictives. Au miimum, il faut deux échatillos par période réelle pour obteir u sigal sigificatif. Il faut doc que la fréquece maximale f max du sigal qui sera aalysée soit iférieure à fois la fréquece d échatilloage f e. Cette fréquece critique est appelée la fréquece de Nyquist f yq. E fait les composates fréquetielles recherchées du sigal sot icoues. Il coviet doc de filtrer le sigal fréquetiel avec ue largeur de bade iférieure à la fréquece de Nyquist. Ceci peut être réalisée e multipliat le spectre par u filtre passe bas (ou ati-repliemet) dot la fréquece de coupure est iférieure à la fréquece de Nyquist État doé que le filtre passe-bas a ue certaie pete ( db/octave), le ombre de liges das le domaie des fréqueces sera iférieur à N/. E gééral, les aalyseurs de spectre utiliset : N lige = N/.56 (4.35) E pratique, o choisit le ombre d échatillos à N = α, où : α = 8, N = 56 échatillos 4-3

α = 9 α = α = N = 5 échatillos N = 4 échatillos N = 48 échatillos SYS-855 Vibroacoustique A cause du phéomèe de foctio peige, u filtrage ati-repliemet doit toujours être effectué avat l acquisitio pour éviter que des bruits de haute fréquece e vieet perturber le sigal même si ce derier est de basse fréquece. Il est doc écessaire d utiliser des cartes d acquisitio avec u filtre ati-repliemet (ati-aliasig) même si celles ci sot plus chères. 4.3.3.3. Pricipe d icertitude de Heiseberg La procédure d échatilloage a des coséqueces importates sur les composates fréquetielles résultates. Le temps maximal d observatio est: T max = N x T e (4.36) où N est le ombre d échatillos. D après le théorème de Shao, la fréquece maximale d aalyse est : f yq (Hz) = /(*T e ) (4.37) La précisio de la mesure fréquetielle f correspod à la fréquece d échatilloage f e divisée par le ombre d échatillos N: f (Hz) = f e /N = /(N*T e ) = /T max (4.38) Les coséqueces de l équatio (4.38) sot très importates das l aalyse du sigal. Il est impossible d avoir à la fois ue boe précisio temporelle et fréquetielle. Si o désire réaliser ue aalyse avec ue boe précisio fréquetielle, le temps d observatio maximal T max doit être grad (la mesure predra plus de temps) et o devra choisir ue largeur de bade e fréquece faible aisi qu ue mauvaise précisio temporelle pour u ombre d échatillos N doé. Si o désire aalyser u sigal de haute fréquece (f max grad), le temps d observatio T max sera faible pour u ombre d échatillos N doé et par coséquet la précisio de la mesure e fréquece sera faible. Pour augmeter la précisio de la mesure, il faut doc augmeter le ombre d échatillos. 4-3

Exemple 4.3 SYS-855 Vibroacoustique O désire eregistrer u évéemet qui dure secodes et dot la fréquece d itérêt est de Hz. Afi de programmer votre aalyseur de spectre: a) Quel ombre d échatillos choisissez vous? b) Avec quelle précisio allez vous faire l aalyse du spectre? c) Quelle fréquece maximale choisissez vous pour l aalyse du spectre? Répose de l exemple 4.3 T max = s ; Te = T max /N = /N ; fe = /Te = N/ ; fe = f = x = Hz ; N = x fe = = 48 ; f = fe/n = /48 =.49 Hz c) f max = fe/.56 = /.56 = 39 Hz Le logiciel echatilloage, appelé par alal sigal (figure 4.33) permet de sélectioer les bos paramètres d échatilloage d u sigal. La figure 4.3 e motre u exemple d utilisatio. Échatilloage des sigaux Etrez la fréquece maximale (f) du sigal e Hz: 3 Quelle fréquece d`échatilloage choisissez vous? (Hz) O recommade u facteur de, fe= 3 La période d échatilloage est Te=/fe=.333333 sec. Nombre d`échatillos N? N= 8 Le temps total d`observatio Tmax est de N*Te =.46667 sec. La résolutio e fréquece df de la trasformée de Fourier est l`iverse de Tmax (/Tmax=df) i.e. df=.34375 Hz ----- acceptatio des paramètres ----- ) paramètres acceptés ) désir de chager les paramètres Choisissez u uméro: Figure 4-3. Exemple d utilisatio du logiciel Echatilloage. 4-33

% Échatilloage des sigaux disp(' '); disp(' Échatilloage des sigaux ') disp(' '); f=iput('etrez la fréquece maximale (f) du sigal e Hz: '); disp(' '); disp('quelle fréquece d`échatilloage choisissez vous? (Hz)'); fe=iput('o recommade u facteur de, fe= '); disp(' '); Te=/fe; fpritf('la période d échatilloage est Te=/fe= %g sec.\',te) disp(' '); N=iput('Nombre d`échatillos N? N= '); disp(' ') fpritf('le temps total d`observatio Tmax est de N*Te = %g sec. \\',N*Te); Tmax= N*Te; % temps total d'observatio fpritf('la résolutio e fréquece df de la trasformée de Fourier \') fpritf('est l`iverse de Tmax (/Tmax=df) i.e. df=%g Hz \',/Tmax) df=/tmax; % résolutio e fréquece de la trasformée de Fourier ac=choix('acceptatio des paramètres','paramètres acceptés','désir de chager les paramètres'); if ac== disp(' '); disp('quelle fréquece d`échatilloage choisissez vous? (Hz)'); fe=iput('o recommade u facteur de, fe= '); disp(' '); Te=/fe; fpritf('la période d échatilloage est Te=/fe= %g sec.\',te) disp(' '); N=iput('Nombre d`échatillos N? N= '); disp(' ') fpritf('le temps total d`observatio Tmax est de N*Te = %g sec. \\',N*Te); Tmax= N*Te; % temps total d'observatio fpritf('la résolutio e fréquece df de la trasformée de Fourier \') fpritf('est l`iverse de Tmax (/Tmax=df) i.e. df=%g Hz \',/Tmax) df=/tmax; % résolutio e fréquece de la trasformée de Fourier ed Figure 4-33. Logiciel d échatilloage : Échatilloage 4-34

4.3.4. Trasformée discrète de Fourier État doé que les foctios temporelles x(t) sot causales et digitalisées avec ue période d échatilloage Te, la trasformée de Fourier, sera évaluée à chaque valeur de, e remplaçat l itégrale par ue somme : + X( ) = x(t) e -itdt - (4.39) N X( ) = t x(t) e -it = (4.4) k Si o pose : =, =,..,N- représete le uméro de la lige fréquetielle représete la résolutio fréquetielle, k est le uméro de l échatillo, = π/(n x T e ) t = Te t = k Te l équatio (4.4) s écrit : X πik N x k T N e pour =,,,N- (4.4) k e ( k ) = T e = Ces coefficiets sot complexes. Il existe des algorithmes, appelés FFT (Trasformée rapide de Fourier), qui permettet de calculer plus rapidemet l équatio (4.4). O itroduit das la mémoire du calculateur N échatillos du sigal x(t) ; o échatilloe le sigal avec ue période Te, o dispose doc d ue durée t max = N Te du sigal. O calcule la trasformée de Fourier (gradeur complexe) sur cette durée du sigal et o déduit le spectre sur N/ poits das le domaie fréquetiel (partie réelle et partie imagiaire). Le logiciel spectrefft écrit e Matlab permet de calculer le spectre d u sigal (figure 4.34). 4-35

% Calcul du spectre du sigal % par Marc Thomas, dept. géie mécaique, ETS, Février disp(' '); disp(' '); disp(' Trasformée de Fourier des sigaux périodiques ') disp(' '); clf%ettoie les figures Sxx= fft(x); [a,s]=size(sxx);% dimesio Pxx=Sxx.*coj(Sxx)/((s)^);%puissace du sigal Pxx(s/+:s)=[]; Pxx(:s/)= * Pxx(:s/); Pxx(:s/)=(Pxx(:s/)).^.5;%amplitude du sigal Pxx(:s/)=(Pxx(:s/))*^.5; f=(/tmax)*(:(s/)-); plot(f,pxx); title('répose e fréquece'); ylabel('amplitude') xlabel('fréquece (Hz)') grid ; fpritf('visualisez l amplitude du spectre.'); Figure 4-34. Calcul du fft d u sigal : Spectrefft 4.3.5. Effet du feêtrage Lorsqu o échatilloe le sigal, o e cosidère pas u sigal temporel etier, mais o le coupe pour observer certais istats. Couper u sigal équivaut à multiplier le sigal par ue feêtre rectagulaire d amplitude uitaire das l itervalle de temps d observatio désiré et ulle e dehors. Itroduire ue feêtre cosiste à covoluer le sigal et la feêtre, ce qui se traduit das le domaie fréquetiel par la multiplicatio de la trasformée de Fourier du sigal par la trasformée de Fourier de la feêtre. Si o coupe le sigal sur u laps de temps proportioel à sa période (e gééral icoue), il y aura pas de perturbatio (figure 4.35), mais si o le coupe à des itervalles de temps différets, le sigal sera perturbé, la foctio sera discotiue à ses extrémités (figure 4.36) et des erreurs pourraiet être itroduites. Sigal temporel d etré e e ud p l it m A e é é r d po e ud p l it m A 5-5 -...3.4.5.6.7.8.9 temps (sec) Sigal temporel podé ré par la feê tre 5-5 -...3.4.5.6.7.8.9 temps (sec) Figure 4-35. Sigal sas erreur de trocatio 4-36

Sigal temporel d etré e e ud p l it m A e é é r d po e ud p l it m A 5-5 -..4.6.8..4 temps (sec) 5-5 Sigal temporel podé ré par la feê tre -..4.6.8..4 temps (sec) Figure 4-36. Sigal troqué Erreur de trocatio La figure 4.36 motre que das l exemple motré, la fréquece est bie estimée, mais pas l amplitude. Il faut corriger l amplitude délivrée après feêtrage. Pour dimiuer cette perturbatio, o peut utiliser différetes formes de feêtres pour podérer le sigal (Haig, Flat top, Hammig, Kaiser-Bessel, Triagulaire, Blackma, Bartlett, etc.). Le pricipe de ces feêtres est de miimiser l erreur de trocatio e assurat la cotiuité du sigal aux extrémités. La figure 4.37 motre le logiciel feetre, écrit e Matlab, qui permet de traiter le sigal avec u choix de feêtres. La figure 4.38 e motre u exemple d utilisatio. L effet de cette podératio est illustré à la figure 4.39. 4-37

% Choix de différetes feêtre de podératio: % Rectagulaire % Haig % Hammig % Triagulaire % Bartlett % Blackma disp(' '); disp(' '); disp(' Feêtre de podératio des sigaux périodiques ') disp(' '); disp(' '); pod=choix('voulez vous podérer vos doées','oui','o'); if pod== wid=choix('quelle feêtre de podératio voulez vous utiliser',... 'rectagulaire','haig','hammig','triagulaire','bartlett','blackma'); if wid== X=X.*boxcar(N)'*; ed if wid== X=X.*ha(N)'*; ed if wid==3 X=X.*hammig(N)'*; ed if wid==4 X=X.*triag(N)'*; ed if wid==5 X=X.*bartlett(N)'*; ed if wid==6 X=X.*blackma(N)'*; ed subplot(); plot(x*te,x/); title('sigal temporel podéré par la feêtre'); ylabel('amplitude podérée'); xlabel('temps (sec)'); text (.65,.5,'<ENTER> pour cotiuer','sc'); disp(' '); fpritf('visualisez la figure.'); disp(' '); fpritf('pressez <ENTER> après avoir visualisé la figure.'); pause ed Figure 4-37. Logiciel de feêtrage des sigaux : feetre 4-38

Ré pose e fré quece 8 6 4 e ud p l it m A 8 6 4 5 5 5 3 35 4 45 5 fré quece (Hz) Figure 4-38. Spectre du sigal podéré par ue feêtre rectagulaire Feêtre de podératio des sigaux périodiques ----- Voulez vous podérer vos doées ----- ) oui ) o Choisissez u uméro: ----- Quelle feêtre de podératio voulez vous utiliser ----- ) rectagulaire ) haig 3) hammig 4) triagulaire 5) bartlett 6) blackma Choisissez u uméro: Visualisez la figure. Pressez <ENTER> après avoir visualisé la figure. Figure 4-39. Exemple d applicatio du logiciel feetre 4-39

Sigal temporel d etré e e ud p l it m A e é é r d po e ud p l it m A 5-5 -..4.6.8..4 temps (sec) Sigal temporel podé ré par la feê tre 5-5 -..4.6.8..4 temps (sec) Figure 4-4. feêtrage haig La figure 4.4 motre que le fait d avoir utiliser la feêtre Haig permet d avoir u bo estimé de l amplitude et de la fréquece du sigal. Ré pose e fré quece 9 8 7 e ud p l it m A 6 5 4 3 5 5 5 3 35 4 45 5 fré quece (Hz) Figure 4-4. Effet de la feêtre Haig 4-4

4.3.5.. Recommadatios pour le choix du type de feêtre Le tableau 4. idique le type de feêtre recommadé e foctio du type de sigal et du type de reseigemet recherché. La plupart des aalyseurs de spectre que l o trouve das le commerce offret ue paoplie de feêtres à choisir. Type de sigal Force d impact Répose à u impact Aléatoire Tableau 4-. Choix des feêtres Feêtre Rectagulaire Expoetielle Haig 4.3.6. Logiciel d aalyse spectrale La figure 4.4 motre le logiciel Aalspectral, écrit e Matlab, qui permet de faire l aalyse spectrale d u sigal et qui fait la sythèse des otios de traitemet de sigal du chapitre. % Logiciel d'aalyse spectrale clc%ettoie les commades widow clf%ettoie les figures clear% ettoie les foctios disp(' Aalyse spectrale de sigaux périodiques ') disp(' Marc Thomas, départemet de géie mécaique, ETS') % Échatilloage des sigaux % Coaissat la fréquece f à aalyser, il faut choisir: % la fréquece d'échatilloage fe % le ombre d'échatillos N e foctio % de la précisio fréquetielle df recherchée: df = fe/n. echatilloage % Géératio de sigaux périodiques: % harmoique pure % Somme d`harmoiques % ode rectagulaire % ode e dets de scie % Vibratio libre sous l effet de coditios iitiales geersigal % Choix de différetes feêtre de podératio: % Rectagulaire % Haig % Hammig % Triagulaire % Bartlett % Blackma feetre % % Calcul du spectre du sigal spectrefft Figure 4-4. Logiciel Aalspectral 4-4

4.4. Aalyse modale expérimetale (A.M.E.) Ue structure peut être caractérisée à partir des plas (formes, dimesios), des matériaux qui la composet (modules d élasticité, masses volumiques, viscosité itere), et des liaisos etre élémets. O peut aussi vis-à-vis de so comportemet mécaique la caractériser par ue représetatio équivalete e terme de fréqueces propres et déformées propres, qui sot des gradeurs spécifiques de la structure. C est pourquoi il est importat de savoir les détermier. O dispose pour cela d u certai ombre de méthodes basées sur la répose de la structure à des forces d excitatio siusoïdales, impulsioelles et aléatoires. C est ue méthode d aalyse qui se propose de détermier les caractéristiques d ue structure : fréqueces propres, déformées, modales, foctio de trasfert. Nous avos vu précédemmet que les réposes d ue structure peuvet être obteues de différetes maières (balayage siusoïdal, force aléatoire, chocs). O dispose alors des foctios de trasfert e N edroits sur la structure. 4.4.. Mesure des foctios de trasfert La mesure des foctios de trasfert A/F das le domaie des fréqueces doe l iformatio sur les fréqueces de résoace. La techique cosiste à choisir u poit de l impact dot l autospectre de la force est représeté par ue droite sur toute la gamme de fréquece cosidérée. Puis e déplaçat l accéléromètre, e chaque edroit choisit, o eregistre le rapport de la répose sur la force e chaque edroit. La répose peut être soit e accélératio, e vitesse ou e déplacemet. Esuite o aalyse le sigal e chaque poit et à chaque fréquece. Pour chaque poit de mesure, o obtiet ue foctio de trasfert différete. Les fréqueces doivet être les mêmes pour chaque poit de mesure, mais les amplitudes sot différetes car elles caractériset la déformée de la structure au poit cosidéré. Ue fois que les foctios de répose e fréquece H(j) ot été obteues, o les utilise pour extraire les paramètres modaux. La tâche cosiste à mesurer les fréqueces de résoace, les coefficiets d amortissemet et les amplitudes modales associées à chaque pic de la FRF mesurée. Ue grosse icoue est le ombre de degrés de liberté à cosidérer. Ue méthode est, das ue gamme de fréquece détermiée, de compter le ombre de fréqueces de résoace. La méthode SDOF (sigle degree of freedom) fait l hypothèse que chaque pic peut être aalysé idépedammet l u de l autre et qu à ue fréquece de résoace doée, les autres modes ot peu d ifluece. Aussi chaque pic se comporte comme seul degré de liberté. 4-4

4.4.. Cohérece des sigaux mesurés Tout sigal mesuré est cotamié par du bruit. La cofiace das la quatité mesurée est accrue e faisat la moyee de plusieurs essais idetiques. E sigal aléatoire, le PSD de la force peut être relié au PSD de la répose par la foctio de répose e fréquece. Sxx( ) = H( ) Sff ( ) (4.4) La desité spectrale croisée s exprime par : S xf jτ ( ) = + R τ e dτ π ( ) (4.43) xf où R xf (τ) est la foctio de corrélatio croisée : T Rxf ( τ) = xt () ft ( + τ) dt lim T (4.44) T Les foctios de desité spectrale permettet le calcul de la foctio de répose e fréquece par deux relatios. S fx () = H (j) S ff () (4.45) et S xx () = H (j) S xf () (4.46) Comme o peut calculer H(j) de deux faços, o peut vérifier la validité des résultats obteus. H( j) = Sfx Sff ( ) ( ) (4.47) Sxx ( ) H( j) = (4.48) Sxf ( ) O défiit la cohérece γ comme le rapport de l équatio 4.47 sur l équatio (4.48). Sxf ( ) γ = (4.49) Sxx ( ) Sff ( ) Cette foctio varie etre et Si o obtiet ue valeur ulle, le sigal est bruité ; si o obtiet ue valeur uitaire, le sigal est pur. Il faut que γ >.75 près des résoaces pour coserver la valeur valide. Il est ormal d avoir de faibles valeurs aux ati-résoaces puisqu à cette fréquece, la structure e répod pas à la force. 4-43

4.4.3. Recherche des fréqueces propres Pour chaque poit de mesure, o doit aalyser l amplitude de la foctio de trasfert et sa phase à chaque fréquece. La résoace est caractérisée par ue amplitude maximale et ue variatio de phase. E déplacemet ou accélératio, la phase etre la répose et la force est 9 o ± 8 o. E vitesse, la phase est o ± 8 o. L aalyse modale va cosister, d abord à élimier ue partie du bruit e cosidérat les K modes de la structure qui ot les mêmes fréqueces e tout poit de la structure et e élimiat les autres fréqueces. C est la phase de lissage, ou d idetificatio, qui va coduire à l idetificatio des paramètres caractéristiques de la structure. 4.4.4. Méthodes de mesure d amortissemet Pour l aalyse de l amortissemet, o peut choisir les poits les plus sigificatifs de la structure (vetres) et aalyser seulemet les courbes correspodates. L amortissemet peut être mesuré soit : à partir des fréqueces f et f qui correspodet à la règle des 3 db (demi-puissace ou bade passate), à partir des parties réelles et imagiaires du sigal ou à partir du décrémet logarithmique (à partir du sigal temporel mesuré). à partir des courbes réelles versus imagiaire (Nyquist). 4.4.4.. Méthode : Amplificatio maximale L amplificatio d u système à ddl (figure 4.43) peut être exprimée comme : X X = st ( r ) + ( r ς ) (4.55) où r représete le rapport des fréqueces sur la fréquece de résoace ( r = ). L amplificatio à la résoace Q peut être évaluée par la relatio suivate : X / F ( f ) Q= (4.56) X / F () 4-44

où X / F ( f ) = compliace à la fréquece de résoace f Lorsque la phase est de 9 degrés. et X/ F ( ) = compliace statique à la fréquece zéro. Q(f) 6 5. 4 3....5.5.5.5 3 3.5 4 Figure 4-43. Amplificatio d u système Le rapport d amortissemet peut être estimé approximativemet comme : ζ = Q (4.57) 4.4.4.. Méthode : Bade passate X Si o combie l amplificatio Q() = et sur u diagramme polaire e foctio de, o F K obtiet u cercle appelé NYQUIST (figure 4.44). 4-45

Im Q ( )= /ζ Q( ) Q( ) φ Réel Figure 4-44. Cercle de Nyquist L amplitude Q correspodat à ue phase de 9 degrés correspod à et est égale à /ζ. Le vecteur correspodat correspod dos au maximum de la partie imagiaire et à la valeur ulle de la partie réelle du sigal. D autre part, o a les relatios, d après les relatios sur le cercle: Q( ) = Q( ) = Q ( ) /= /8ζ (4.58) Cherchos à quoi correspodet ces amplitudes qui représetet les valeurs maximales égatives et positives de la partie réelle du sigal. ξ X Xstat =.77 ξ = - + ξ (4.59) 4-46

( ) ( ) = 8 - - - = + 4 - + 8 ou 4 4 ξ ξ ξ ξ (4.6) ) 8 - ( 4 - ) - ( 4 - = ξ ξ ξ ± (4.6) (4.6) ξ ξ ξ + ± - = Si l amortissemet est faible, o peut simplifier l équatio 4.6 e cosidérat ξ <<ξ. ξ ± (4.63) o pose : ζ + (4.64) ζ (4.65) E soustrayat 4.65 de 4.64, o trouve ( )( ( ) ) 4 ζ + = (4.66) O pose : = +Ω (4.67) = Ω (4.68) L équatio 4.66 doe 4-47

SYS-855 Vibroacoustique ζ = Ω (4.69) E fait, à cause des icertitudes, o pose : Ω = = (4.7) est appelée la bade passate, puisque la puissace de la vibratio correspodate est la moitié de la puissace maximale. Les fréqueces supérieures et iférieures à la fréquece de résoace, correspodat à 7% de l amplitude maximale défiisset la bade passate : Le taux d amortissemet ζ peut être évalué comme : ζ = ( - ) / ( ) (4.7) E fait, l équatio (4.63) est qu ue approximatio de l équatio (4-6) et surestime l amortissemet. La figure 4.45 motre l erreur d estimatio que l o fait e appliquat l équatio 4.7, e foctio du rapport d amortissemet. O peut cosidérer que l erreur d estimatio est iférieure à 5% pour des amortissemets iférieurs à 5%. Erreur sur la mesure d'amortissemet 8 Erreur (%) 6 4 8 6 y =.76x +.5x R =.999 4 5 5 5 3 35 4 45 Taux d'amortissemet (%) Figure 4-45. Erreur d estimatio de l amortissemet 4-48

Exemple 4.4 SYS-855 Vibroacoustique Si Q* Q =.7, détermiez la differece e db. Db= log Q* Q = log.7 = - 3 db. Cette règle s appelle la règle de la bade passate ou des 3 db Exemple 4.5 La courbe 4.46 motre ue mesure d amplificatio des vibratios prise sur u composite. Détermiez l amortissemet correspodat. Amplificatio ormalisée e foctio des fréqueces Q ( ) Amplificatio ormalisée Q( )=.77Q ( ) -.5.5.5 3 Rap port de fréqueces r Figure 4-46. Mesure de l amortissemet Répose O trouve approximativemet ξ = (.-.7)/(x)=. 4-49

4.4.4.3. Méthode 3 : partie réelle du sigal D après la figure du Nyquist, les fréqueces de la bade passate correspodet aux valeurs miimales et maximales de la partie réelle du sigal d amplificatio Q si o a cosidéré le déplacemet ou l accélératio ou de la partie imagiaire du sigal si o a cosidéré la vitesse. ( f / f ) + Q = a b (4.7) ( f / f ) a b Réel (Q) f a f b f(hz) Figure 4-47. Partie réelle du sigal d amplificatio (A/F) 4.4.4.4. Méthode du décrémet logarithmique Cette méthode e s applique que pour les systèmes qui e vibret qu à ue seule fréquece. Cosidéros u mouvemet libre due à u impact (figure 4.48)..8 R épose tem porelle Tim e.6.4 Déplacemet. -. -. 4 -. 6.5.5.5 3 3.5 4 4.5 5 Tem ps Figure 4-48. Mouvemet libre 4-5

Défiissos SYS-855 Vibroacoustique X X δ = l i = l i (4.73) X i+ X i+ où les X sot pris aux poits de tagece avec l'eveloppe de la courbe et représetet approximativemet les maxima de mouvemet, -ξ t e δ = l = l ξ T = ( T ) = T ( ) e l ξ e ξ - t T (4.78) ξ e + π e isérat l'expressio pour T = (4.79) ξ Le rapport d amortissemet peut être évalué d après la mesure du décrémet logarithmique selo l équatio suivate : π ξ δ = π ξ, si ξ petit, disos <. 3 (4.8) -ξ 4.4.4.5. Extractio des paramètres par la méthode du NYQUIST La méthode du NYQUIST cosiste à tracer la partie imagiaire d u sigal e foctio de la partie réelle. O peut tracer cette courbe à partir des courbes X/F, V/F ou A/F. Cosidéros, par exemple, la courbe A/F = α() représetat la mobilité. L équatio est : α ( ) = ( k m ) + j c (4.8) E multipliat par le cojugué complexe, o obtiet : (( k m) jc) (( k m) + jc)( k m jc) ( k m) jc ( k m) + ( c ) ( k m) + ( c) α( ) (4.8) = α ( ) = + (4.83) k m Re( α) = (4.84) ( k m) + ( c) c Im( α) = (4.85) ( k m) + ( c) 4-5

Si o pose SYS-855 Vibroacoustique A = Im( α ) C et B= Re( α) (4.86) O remarque que : A + B Im( ) ( Re( )) = α + C + α = (4.87) C La courbe représetée par l équatio 4.83 est u cercle dot le rayo est à : Im ( α) = et Re( α) =. C est le cercle de Nyquist. C C, cetré k Le poit où Re (α) = correspod à = =. m A cette valeur de, la valeur de Im (α) =. C La techique cosiste à tracer les valeurs de Im (α) e foctio de R e (α) pour différetes valeurs de fréqueces i discrétisées autour de de la foctio trasfert (figure 4.49). H() H( 5 ) à 6 Figure 4-49. Digitalisatio de la foctio de trasfert Les cercles ous doet les valeurs de et C (figure 4.5). 4-5

Im (α()) Réel (α()) 6 H( 5 ) /C 5 /C 4 3 Figure 4-5. Cercle de Nyquist E réalité, les modes sot couplés lorsqu il y a plusieurs degrés de liberté. Le résultat est que le cercle de NYQUIST se trouve déplacé de so origie (figure 4.5). Lorsqu o pred des mesures de Im(α) et R(α) à des valeurs de égalemet espacées autour du pic, o remarque que la valeur de la résoace se trouve (à peu près) au milieu de l arc de cercle le plus grad etre deux valeurs de i. C est ce pricipe qui va décider de la procédure lorsque le cercle est déplacé. Im (α()) Réel (α()) a b Arc de cercle le plus grad Figure 4-5. Cercle de Nyquist (sous couplage) 4-53

Autour des poits mesurés, o est capable par u moidre carré, de détermier le rayo du cercle aisi que so cetre. O recherche l arc de cercle le plus grad. Au milieu de cet arc de cercle, o détermie la valeur de et à l aide des deux fréqueces adjacetes a et b, o détermie b a l amortissemet ξ =. 4.4.4.6. Valeurs typiques d amortissemet L'amortissemet est surtout fouri par le type de motage (frottemet). E gééral, o peut cosidérer comme taux d'amortissemet: pour les pièces uiques : % pour les pièces soudées: % pour les pièces rivetées: 4% pour les pièces bouloées: 5%. Amortissemet des matériaux KA Magésium 3.3% AZ9 Magésium % AM6 Magésium.78% 38 Alumiium.66% 8 acier.66% 4.4.5. Mesure des modes 4.4.5.. Défiitio des modes Soit u système d équatios (sas amortissemet). [ ]{ } [ ]{ } { M &&() x t + K x() t = f() t } (4.88) Pour ormaliser les modes, o pose : / { } = [ ] { xt () M qt () E itroduisat 4.89 das 4.88, o obtiet : [ M][ M] / / { q t } + [ K][ M] { q t } = f{ t} } (4.89) &&() () (4.9) E prémultipliat l équatio (4.9) par / M [ M ] / [ M ][ M ] / { q t } [ M ] / [ K ][ M ] / &( ) + { q( t) } = [ M ] / f { t} / [ ]{ } + [ ]{ } = [ ] { & (4.9) I &&() q t K q() t M f() t } (4.9) { } Si o pose : { qt } Pe i () = t, o obtiet (pour f(t) = ) 4-54

[ I]{ P} + [ K]{ P} = { } ou : (4.93) [ K]{ P} = { P} (4.94) O costate que représete la valeur propre du système et { P} le vecteur propre, qui représete le mode. O pose : { qt ()} [ P] { rt ()} 4.4.5.. Aalyse Modale = (4.) [ P]{ r& ( t) } + [ K ][ P]{ r( t) } = [ M ] / { f ( t) } Figure 4-5. Superpositio modale & (4.3) T T T [ P] [ P]{ r& ( t) } + [ P] [ K ][ P]{ r( t) } = [ P] [ M ] / { f ( t) } & (4.4) [P] est ormalisé tel que [P] T [P] = [I] T T []{ I r& ( t) } + [ P] [ K ][ P]{ r( t) } = [ P] [ M ] / { f ( t) } & (4.5) D après les critères d orthogoalité, o a : T [ P] [ K ][ P] = [ ] (4.6) T []{ I r& ( t) } + [ ]{ r( t) } = [ P] [ M ] / { f ( t) } & (4.7) 4-55

Les équatios sot découplées. 4.4.5.3. Amortissemet proportioel Pour découpler les équatios, il faut supposer que l amortissemet est proportioel. [ C] = α[ M] + β[ K ] [ M] / / [ C][ M] = [ I] + [ K] (4.7) α β (4.8) [ P] T / / [ M] [ C][ M] [ P] = [ I] + [ ] = [ ] α β ξ (4.9) 4.4.5.4. Idetificatio de la rigidité et de l amortissemet [ ] [ P] T [ M ] / = [ K][ M ] / [P ] (4.) [ ] / T M [ P][ P] [ M ] / [ K ][ M ] / [ P] = [ M ] / [ P][ ] / / [ M] [ P][ ] [ K][ M] [ P] (4.) = (4.3) [ ] / [ ][ T ][ ] [ ] / [ ][ ] / T M P P M = K M [ P][ P] [ M ] / (4.4) T [ K] [ M] [ P][ ][ P] [ M] = / / (4.5) Si o fait la même opératio sur [C], o obtiet : T [ C] = [ M] [ P][ ][ P] [ M] / / ξ (4.6) 4.4.5.5. Mesure des modes L équatio du mouvemet est : [ M]{ && x} + [ C]{ x& } + [ K]{ x} = { f} (4.7) Si o suppose u mouvemet harmoique : xt { U} e i ()= t et { f} = { Fe } it où { U} et { F } (4.8) sot amplitudes de déplacemet et de force mesurés : [ K M + ic]{ U} = { F } (4.9) 4-56

{ } [ ] { } U = K M + ic F SYS-855 Vibroacoustique (4.) E remplaçat par les valeurs de K et de C, o obtiet : T / [ ( ξ )[ ] [ ] ] { } / { } = [ ] [ ] [ ] [ ] + [ ] U M P I i P M F (4.) / Si o pose [ S] = [ M] [ P] et { U} = α ( ){ F} (4.) [ T [ S] ([ ] [ I] i [ ] )[ ] ] α ( ) = + ξ S (4.3) α ( ) = + i ξ T [ S] [ S] i i i (4.4) T T [ ] [ ] [ ] S = P M / représetat le mode { U},( xl) L équatio peut s écrire : α ( ) = i = i T i i i ( ) + i( ξ ) i U U (4.5) { } { } Ui Ui Le produit est ue matrice x. xl lx T Si o mesure la répose U s au poit S sous l effet d ue force du poit r, fr, o obtiet l élémet α sr (). U U T U i i sr α ( ) = s = = H ( ) (4.6) sr sr r= + i( ξ ) fr i i i Si o fait l hypothèse qu à ue résoace ( ) = i, les autres termes sot égligeables, U U T i i sr α ( ) = (4.7) sr i ξ i i 4-57

U U T i i = ξ H ( ) (4.8) i i sr i où H sr ( I ) est la valeur de l amplitude de la foctio de trasfert à la fréquece I mesurée au poit s sous l actio de la force au poit r. Cette équatio est utilisée pour mesurer la forme des modes. Le sige est doé par la mesure de phase : (-9 ou +9) si o mesure X ou A ou (-8 et +8) si o mesure la vitesse V. La mesure U U i T i sr est qu u élémet de la matrice. Si o désire mesurer modes à fréqueces i, o doit prévoir au miimum poits de mesure. A cette fi, o peut choisir u edroit pour l excitatio et mesurer la répose aux autres edroits ou bie mesurer la répose e u edroit et mesurer l excitatio aux autres edroits (la matrice est symétrique). Coaissat i et ξi et les mesures Hsr (i), o peut calculer chaque terme de la matrice T [ U i U i ]. L amplitude peut être aalysée à partir, soit : des courbe de foctio de trasfert (amplitude et phase) de la courbe imagiaire versus réel ou des parties imagiaires et réelles du sigal. E reportat géométriquemet les amplitudes aux poits de mesure, o détermie la déformée de la structure à chaque résoace. Esuite, tous les poits état cohérets etre eux, o peut tracer les déformées à différetes fréqueces, puisqu e chaque poit de la structure o coaît l amplitude pour laquelle la phase etre l accélératio et la force est de 9 degrés, soit l amplitude de partie imagiaire de l accélératio(c i, Ω). L essetiel de l aalyse das cette phase va cosister à préseter l iformatio sous ue forme sythétique et facile à utiliser. Les logiciels actuels permettet d aimer les déformatios aux différets modes, de modifier l amplificatio de la déformatio, et la directio de so observatio. Certais, couplés à des programmes de calculs de structure permettet même de prévoir l effet d ue modificatio locale de la machie. 4-58

Figure 4-53. Exemple de mode de plaque Exemple 4.5 Mesure des modes sur ue poutre ecastrée Ue mesure est prise e excitat la structure au poit et e mesurat la répose au même edroit. Cette mesure permet de détermier i et ξ i. Après vérificatio avec les autres mesures, o trouve: = rad/s ξ =. = rad/s ξ =. 3 = 3 rad/s ξ 3 =.5 La courbe H () doe à = rad/s. H () =.43 φ = -9 o E déplaçat le capteur au poit et 3, o pred les mesures de H () et H 3 (). A la fréquece, o obtiet : H ( ) =.97 φ = -9 o H 3 ( ) =.37 φ = -9 o. Ces valeurs permettet de calculer la vecteur U U T 4-59

U U = ζ T ( H ( )) = x. x x. 43 =. 846 T U U = x. x x. 97 = 834. T U U = x. x ( ) x. 37 = 4. 633 3 T Si { U } = a et { } = { a a a } a a 3 µ,, 3 SYS-855 Vibroacoustique T [ UU ] = a a a a a 3 aa a aa 3 aa 3 aa 3 a3 aa a = 846. a =. 998 = 834. a = 9939. aa = 4. 633 a = 544. 3 3 Si o cosidère u sige - pour φ = - 9 o. 998 { U } = 9939. 544. et + pour φ = + 9 o La forme du mode est la suivate : M ode d'ue poutre ecastrée-libre 6 4 mode,5,5,5 3 - -4-6 D istace Figure 4-54. Mode d ue poutre ecastrée 4-6

4.4.6. Idetificatio des paramètres physiques Coaissat les modes et les fréqueces de résoace, il est possible de détermier les paramètres de masse et de rigidité qui les ot géérés. ([ K] [ M] ) { X } = i i i = i = (4.49) Cosidéros u système à deux degrés de liberté : K K M M X i K K M M = (4.5) X K M i K M K M K M X = X i i i i ( ) + ( ) i (4.5) K M X K M X (4.5) i ( ) + ( ) K M X K M X (4.53) i Les matrices état symétriques, o a : X X K M i = ( K M i ) = ( K M i ) (4.54) X X Si o coaît la relatio etre K, K et K, et coaissat [M], o peut trouver les paramètres physiques de [K]. 4.5. Référeces. Archambault R., Gettig more out of vibratio sigals usig the logarithmic scale, e IMMDC, 989, p 568.. Arquès P., Diagostic prédictif de l état des machies, Masso, 996, 69 p. 3. Bira N. & Breier M., Matlab 5 for egieers, Addiso-Wesley, 999, 687 p. 4. Bouleger A. et Pachaud C., Diagostic vibratoire e maiteace prevetive, Duod, 998. 5. Gade S. ad Herlufse H., Use of weightig fuctios i FFT aalysis, Bruel ad Kjaer Techical review, No 3, 987. 6. ISO/DIS 3374, Surveillace et diagostic des machies. Traitemet, échage et présetatio des doées. 7. ISO/AW 843, Méthodes de traitemet de sigal e vue de l aalyse des vibratios et chocs mécaiques o statioaires. 8. Lamarche L., 999, Automatisatio et cotrôle, otes de cours, ETS 9. Oppeheim A.V. ad Shafer R.W., 975, Digital sigal processig, Eglewood Cliffs, NJ, Pretice Hall.. Safizadeh, M.-S., Lakis, A.A. et Thomas, M,, Usig Short Time Fourier Trasform i Machiery Fault Diagosis, Iteratioal Joural of Coditio Moitorig ad Diagosis Egieerig Maagemet (COMADEM), 3 (), pp 5-6.. Steiberg: vibratio for electroic equipmet. 4-6

4.6. Exercices SYS-855 Vibroacoustique 4-. U moteur tourat à 785 RPM coduit u mécaisme opérat à 75 RPM qui peut égalemet géérer des vibratios à haute fréquece. Si le ombre d échatillos de l aalyseur FFT est de 48 : a) Quelle sera la fréquece maximale d aalyse f max qui permettra à la fois de distiguer les deux fréqueces d opératio aisi que les composates de haute fréquece? b) Quelle sera la fréquece d échatilloage f e? c) Quel sera le temps d observatio miimal t max? Répose : f max < 8 Hz, f e < 48 Hz, t max > sec. 4-. La figure 4.55 motre u sigal temporel aalogue d u sigal harmoique, observé sur. secodes. Quelle fréquece d échatilloage f e précoisez-vous pour visualiser le sigal. Quelle sera la précisio e fréquece de la mesure? Combie d'échatillos N au miimum précoisez-vous pour digitaliser le sigal? Quelle sera la fréquece maximale f max pour l aalyse? 4 Vitesse versus Temps 3 m /s) (m e s te v i - - -3-4..4.6.8...4.6.8. Time Répose : f e = 4 Hz, N = 8, f max = 56 Hz Figure 4-55. Sigal harmoique 4-3. La figure 4.56 motre u eregistremet temporel sur u moteur. Quelle fréquece d échatilloage miimale précoisez-vous pour visualiser le sigal. Quelle sera la précisio e fréquece de la mesure? Combie d'échatillos au miimum précoisez-vous pour digitaliser le sigal? Quelle sera la fréquece maximale f max pour l aalyse? 5 vitesse versus Temps 4-6

Répose : f e = 95 Hz, N = 95, f max = 37 Hz Figure 4-56. Vibratio de moteur 4-4. Vous voulez eregistrer les vibratios trasitoires d ue structure. Quelle feêtre recommadez vous pour mesurer la force d impact? 4-5. O veut détermier la fréquece de résoace d'u arbre. Quelle feêtre aller vous choisir pour aalyser la répose de l'accéléromètre? 4-6. O veut faire l'acquisitio d'u évéemet qui dure 3 secodes et dot la fréquece d'itérêt se situe proche de 8 Hz. Quelle fréquece d échatilloage f e précoisez-vous pour visualiser le sigal. Quelle sera la précisio e fréquece de la mesure? Combie d'échatillos N au miimum précoisez-vous pour digitaliser le sigal? Quelle sera la fréquece maximale f max pour l aalyse? Répose : f e = 8 Hz, N = 4, f max = 3 Hz 4-8. E utilisat le logiciel aalsigal, géérez u sigal d impulsio. Aalysez l effet de l échatilloage et l effet des feêtres sur le spectre. Commetez vos résultats. 4-9. Soit u système masse-ressort-amortisseur où K = 63 N/m; C =.5 N.s./m; M = kg, excité par ue vitesse iitiale de m/s. a) Calculez l amortissemet critique. b) Détermiez le type d amortissemet gééré. 4-63

c) Écrivez l équatio du mouvemet. d) Détermiez le rapport etre deux amplitudes successives libres. Réposes La pulsatio aturelle du système est.8 rad/s. Le rapport d amortissemet est.979. La pulsatio aturelle amortie est.7. 4-. U wago pesat kg viet percuter u système d arrêt composé d u ressort et d u amortisseur motés e parallèle. U capteur posé sur le système d arrêt, permet d eregistrer le déplacemet (figure 4.57). a) Détermiez la rigidité k et l amortissemet c du système d arrêt b) Détermiez la vitesse du wago au momet de l impact..8 Répose temporelle Time.6.4 Déplacemet. -. -.4 -.6.5.5.5 3 3.5 4 4.5 5 Temps Figure 4-57. Répose trasitoire 4-. Ue suspesio de motocyclette de kg est soumise à u impact et o mesure sa répose vibratoire. O remarque que le déplacemet iitial est ul, que le déplacemet maximal est de.5 m, la période est de s et que l amplitude est réduite de 75% après / cycle (.65 m). a) Détermiez les caractéristiques de la suspesio (k, c). b) Détermiez la vitesse iitiale qui a provoqué le mouvemet. 4-64

Répose: k = 358 N/m, C = 554 Ns/m, Vo =.43 m/s 4-. Ue machie de kg, motée sur 4 supports viscoélastiques, est excitée par ue force harmoique. O costate qu à sa vitesse de rotatio de 8 rpm, l'amplitude des vibratios est de mm. Lors d'u essai de démarrage de machies, o costate que l'amplitude est de mm à la fréquece aturelle o amortie de Hz. a) Détermiez le taux d'amortissemet ζ (%) b) Détermiez les valeurs de rigidité k (N/m) et d'amortissemet c (N.s/m) de chaque support viscoélastique. Répose : ζ (%) = 4.9, k = 9739 N/m, c = 63 N.s/m 4-3. U istrumet fragile de masse m = kg doit être utilisé sur ue table. O costate que la table vibre à cause de la proximité d'autres machies e foctioemet. La vibratio de la table affecte le bo foctioemet de l istrumet. O pred doc ue mesure de la vibratio de la table à l aide d u accéléromètre. Ue mesure de l accélératio (g = 9,8 m/s ) das le domaie des fréqueces, prise sur la table est motrée sur la figure 4.54. O costate trois pics disticts à 5, 3 et 5 Hz avec les amplitude de.g,.7g et.5 g respectivemet. Puisque la vibratio de la table va affecter le foctioemet de l'istrumet, vous proposez d'istaller sous l'istrumet ue ou plusieurs couches de caoutchouc superposées comme amortisseur. Figure 4-58. Isolatio des vibratios Comme vous e coaissez pas les caractéristiques de rigidité et d amortissemet (k, ζ) de vos couches de caoutchouc, vous mesurez par u essai d impact, la courbe d amplificatio d ue couche du matériau pesat kg. Le résultat est motré à la figure 4.59 qui motre l amplificatio du caoutchouc das le domaie des fréqueces. O cosidère que le rapport d'amortissemet ζ reste ichagé quelques soit le ombre de couches utilisées. 4-65

3.5 Amplificatio AR 3 X k/f e é a l is m o r e d itu m pl A.5.5.5 4 6 8 fré quece f (Hz) Figure 4-59. Courbe d amplificatio d ue couche de caoutchouc pesat kg. Détermiez le ombre miimum de couches de caoutchouc requises pour obteir ue accélératio maximale de l'istrumet de,5 g. 5.5- Vous devez istaller ue machie pesat 3 kg sur u placher d usie. Comme le placher semble vibrer sous l effet des autres machies, vous décidez de mesurer la vibratio du placher à l aide d u accéléromètre (e cm/s ), avat d istaller votre machie. Le résultat de votre mesure est motré à la figure 4.6. 5 Accé lé ratios au placher ) m /s (c o ra ti lé é a cc 5-5 - -5 -..4.6.8 Temps (sec) Figure 4-6. Vibratios de placher 4-66

Vous décidez alors de moter votre machie sur ue suspesio. Vous trouvez das les catalogues deux suspesios, de deux fourisseurs différets. Le fourisseur A défiit les caractéristiques de résoace et d amortissemet de sa suspesio après u essai vibratoire das le domaie fréquetiel d après les courbes de trasmissibilité, après avoir posé dessus ue masse de kg (figure 4.6). 6 5 4 ratio o a t i p l ific m A 3 4 6 8 4 6 8 Frequecy (Hz) Figure 4-6. Trasmissibilité de l échatillo A pour ue masse de kg. Le fourisseur B défiit les caractéristiques de résoace et d amortissemet de sa suspesio, d après u essai das le domaie temporel après avoir posé dessus ue masse de kg (figure 4.6). x -3 Déplacemet versus Temps 8 6 4 é d - -4.5..5..5.3 Time Figure 4-6. Répose temporelle de l échatillo B pour ue masse de kg. 4-67

A) Détermiez la rigidité et le rapport d amortissemet des échatillos A et B. B) Quel échatillo choisissez vous (justifiez votre répose)? C) Quelle sera l amplitude d accélératio subit par la machie après istallatio? 4-68