II Tratemet umérque du Sgal Parte Support de cours Olver SETIEYS seteys@essat.fr http://rd.essat.fr/esegemets/ts/ts.php
Pla du cours Parte II IV. Aalyse des fltres umérques. Spécfcato, classfcato, représetato. Aalyse fréquetelle 3. Structures des fltres RII et RIF V. Trasformées e TS. TFD, covoluto léare. TFR : Trasformée de Fourer Rapde VI. Quatfcato - évaluato de la précso. Quatfcato. Effets de la quatfcato e TS Pla du cours Parte II sute VII. Sythèse des fltres umérques RII. Ivarace Impulsoelle. Trasformato Bléare VIII. Sythèse des fltres umérques RIF. Itroducto. Fltres à Phase Léare 3. Méthode du Feêtrage 4. Échatlloage e Fréquece 3
Pla du cours f IX. Aalyse spectrale. Effets de la trocature. Caractérstques des feêtres 3. Ifluece sur l'aalyse X. Systèmes mult-cadeces. Défto. Décmato 3. Iterpolato 4 IV. Aalyse des fltres umérques. Spécfcato, classfcato, représetato. Aalyse fréquetelle 3. Structures des fltres RII et RIF 5
IV Fltrage umérque Itroducto Défto Système Léare Dscret SLD modfat la représetato temporelle et fréquetelle de sgaux x <> Xz Fltre umérque y <> Yz h <> Hz. Itroducto U fltre umérque peut être représeté par : ue focto de trasfert e z : Hz Yz / Xz Xz Hz Yz 6
IV Fltrage umérque Itroducto Xz Yz Hz a Forme drecte Xz H z H z... H M z Yz b Forme parallèle Xz H z H z... H M z Yz c Forme cascade y T y k k x kt h[ k T ] x k h k x h y 7
8 IV Fltrage umérque Itroducto s x δ alors y h ue équato aux dfféreces récursve ou o récursve M y a x b y..
IV Fltrage umérque Spécfcato d u fltre umérque. Spécfcato d u fltre umérque Gabart fréquetel Passe-Bas ou Passe-Haut déf par sa sélectvté, so odulato e BP et so attéuato e BA Bade de trasto Bade passate Bade attéuée Hf δ -δ Hf db logδ db log-δ f p f a f δ logδ f p f a Fe/ f a Gabart fréquetel léare b Gabart fréquetel e db 9
IV Fltrage umérque Spécfcato d u fltre umérque Passe-Bade ou Réjecteur de Bade déf par sa fréquece cetrale, sa sélectvté, so odulato e BP et so attéuato e BA Hf δ -δ δ f a- f p- f p f a fe/ f
IV Fltrage umérque 3 Classfcato des fltres umérques 3 Classfcato des fltres umérques U fltre umérque peut être classé selo : la durée de sa répose mpulsoelle fe : les fltres RIF ot leur répose mpulsoelle à support f.e. h pour < et > fe : les fltres RII ot leur répose mpulsoelle à support f.e. h le type de représetato temporelle récursfs : la sorte y déped de l etrée courate, des etrées précédetes et des sortes précédetes o récursfs : la sorte y e déped que de l etrée courate et des etrées précédetes
IV Fltrage umérque 3. Fltres umérques o récursfs 3. Fltres umérques o récursfs ou trasversaux Les coeffcets b du fltre sot les valeurs de la RI h b. Cec motre qu'u fltre o récursf est à Répose Impulsoelle Fe RIF. M est appelée la logueur du fltre. b h z h z b z H z X z H z Y x b y M M M M δ
IV Fltrage umérque 3. Fltres umérques o récursfs Prcpales proprétés Les RIF sot toujours stables pas de pôles Les RIF peuvet avor ue caractérstque de phase léare Retard costat e fréquece temps de propagato de groupe Pas de dstorso harmoque Symétre de la RI A sélectvté équvalete, ls sot toujours plus coûteux e temps de calcul que leur équvalet RII 3
4 IV Fltrage umérque 3. Fltres umérques récursfs 3. Fltres umérques récursfs E pratque o a M, est appelée l'ordre du fltre. z D z z a z b z H y a x b y M M
IV Fltrage umérque 3. Fltres umérques récursfs S z 'est pas dvsble par Dz cas gééral, o a u ombre f de termes das la dvso polyomale. H z c z h z Les coeffcets c sot les valeurs de la RI h c. Cec motre qu'u fltre récursf est, das le cas gééral, à Répose Impulsoelle Ife RII. S z est dvsble par Dz cas partculer, o a u ombre f de termes das la dvso polyomale. Das ce cas, le fltre est RIF. Exemple : fltre moyeeur 5
6 IV Fltrage umérque 3. Fltres umérques récursfs S z : fltre tout-pôle S Dz : fltre RIF Prcpales proprétés Les RII peuvet être stables : structure à base de pôles et de zéros Bade de trasto fable Sythèse par réutlsato des méthodes aalogques Istablté umérque due au rebouclage : forme cascade plus stable z D z z a z b z H M M M p z z z z b z H
IV Fltrage umérque 4 Aalyse fréquetelle 4. Aalyse fréquetelle L'aalyse fréquetelle est l'étude du module, de la phase et du temps de propagato de groupe du fltre H. jω H e H z Ω z e j Ω est la pulsato relatve : Ω ωt πft La focto de trasfert e fréquece He jω est pérodque de pérode π. He jω π π Ω 7
IV Fltrage umérque 4 Aalyse fréquetelle Cocluso Tros domaes de représetato Temporel h, équato aux dfféreces Focto de trasfert e z, dagramme des pôles/zéros Fréquetel HΩ, module, phase H z c z h z TZ TZI M h y b. x a. y TF TFI z j e Ω H e jω H z z e j Ω 8
IV Fltrage umérque 4 Aalyse fréquetelle Exemple pordre.av z H z z a a R a 9
IV Fltrage umérque 4 Aalyse fréquetelle Exemple pzordre.av z H z z a a, b R.9 a, b.9
IV Fltrage umérque 4 Aalyse fréquetelle Exemple 3 paordre.av H z p C p z z p z p*
IV Fltrage umérque 4 Aalyse fréquetelle Exemple 4 prordre.av z H z z p z p* p C p.9
IV Fltrage umérque 5 Structures de réalsato 5. Structures de réalsato Fltres RIF y x b x x- x- Z - Z - x b y b b - Z - Z - b Z - b b b b - y a Structure drecte b Structure trasposée 3
IV Fltrage umérque 5 Structures de réalsato Fltres RII y H z b x z D z a y z D z b z a z x Z - b b y x b -a Z - Z - x- b -a Z - y- y Z - b - b -a - -a Z - x- Z - b - b -a - -a Z - y- RIF RII a Structure drecte 4
5 IV Fltrage umérque 5 Structures de réalsato Fltres RII w b y w a x w z W z z Y z X z D z W z b z a z z D z H.. x y RII Z - Z - -a -a - -a Z - Z - b b - b RIF b w
IV Fltrage umérque 5 Structures de réalsato Fltres RII x w b y x b y Z - Z - -a a Structure caoque drecte -a Z - b w- b Z - -a - b - b - -a - -a Z - w- Forme cascade de fltres du secod ordre b b Z - -a b Structure caoque trasposée H z b, b,z H z a,z b a z,,z Xz H z H z... H K z Yz 6
V. Trasformées e TS. TFD, covoluto léare. TFR : Trasformée de Fourer Rapde 7
V Trasformées e TS Rappels TFSD : Trasformée de Fourer d'u Sgal jωt jωt Dscret Proprétés Léarté X e jω X e x T Décalage e temps/fréquece Produt de covoluto e temps/fréquece Théorème de Parseval π Trasformées de foctos réelles π x T e x T e π X e jω jω e jω dω xt o pérodque 8
V Trasformées e TS Trasformée de Fourer Dscrète TFD E pratque, o pred seulemet u ombre f d'échatllos de xt. O e peut doc obter qu'u ombre f d'échatllos fréquetels de Xe jω. jπ X k x e x X k e k k k jπ k.... x est cosdéré comme pérodque de pérode, x xq Xk est doc égalemet pérodque de pérode, Xk Xkq x TFD Xk Pas temporel : T/Fe - Pas fréquetel : /TFe/ - k 9
V Trasformées e TS Trasformée de Fourer Dscrète Proprétés Léarté Décalage e temps/fréquece Produt de covoluto e temps/fréquece Covoluto dscrète Covoluto crculare ou pérodque Théorème de Parseval Trasformées de foctos réelles Relato etre TFSD et TFD Sgaux de durée fe ou pérodque Cas gééral? 3
V Trasformées e TS Trasformée de Fourer Dscrète Défto TFD Xk x jπ X k x e x X k e k k k jπ k.... x et Xk sot, das le cas gééral, des ombres complexes. Forme Matrcelle X X.. X- X W. x.. W W. W -. W 4 W -. W..... W - W -. W - x x.. x- W e W k e jπ jπ k 3
V Trasformées e TS Trasformée de Fourer Dscrète Proprétés des W e -jπ W k- Complexté de calcul W k * 3. W k Wk W k W / -W W k Wk / 3. Pérodcté 3.3 Symétre 3.4 La TFD revet à calculer u produt matrce-vecteur où chaque élémet est de type complexe. La complexté de calcul de la TFD est de multplcatos, et de - addtos sur des ombres complexes. Cec revet à ue complexté de 4 multplcatos réelles et 4- addtos réelles. Cet algorthme se comporte doc e O, mas e possède pas de problèmes d'adressage car les x et les W sot ragés das l'ordre e mémore. E 965, Cooley et Tuckey [COOLEY 65] ot publé u algorthme applcable quad est le produt de ou pluseurs eters dot la complexté est e Olog 3
V Trasformées e TS 3 Trasformée de Fourer Rapde TFR FFT partagée das le temps DIT Xk x.w k x.w k par mpar / Xk x.w k / x.w k E explotat la proprété 3.4, o obtet : / / k k k Xk x.w / W. x.w / Xk Gk W k.hk k,,..., 4 où Gk: TFD sur / pots d'dces pars, Hk: TFD sur / pots d'dces mpars. Xk / / x.w k/ / k/ W. x k/.w / Xk Gk W k.hk 33
TFR DIT x x x4 x6 x x3 x5 x7 TFD / pts TFD / pts W8 W 8 W 8 3 W8 W 8 4 W 8 5 W8 6 W 8 7 X X X X3 X4 X5 X6 X7 O O TFD de talle / / papllos Xmp Xm p Papllo DIT X mp X mp W r Xmq X m q X m p - W r X mq 6 Xmq r W - Xm q Complexté d'u papllo : multplcato complexe, addtos/soustractos complexes 34
TFR DIT log multplcatos de ombres complexes, log addtos/soustractos de ombres complexes, ou, log multplcatos de ombre réels, 3 log addtos/soustractos de ombre réels. FFT DIT RADIX- e place sur 6 pots X X etrée ordre bt-reversed X8 X4 X X X X6 X4 X X9 X5 X3 X3 X X7 X5 DIT: Décmato e temps FFT 4 6 4 6 A' A BW B' A - BW W e -j π 3 4 5 6 7 FFT verse k -k A' A BW k -k B' A - BW -j π W e A B k X X X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X X X X3 X4 X5 A' B' sorte ordre ormal 35
TFR DIF x x x x3 x4 x5 x6 x7 TFR FFT partagée das les fréqueces DIF / Xk x k x k / / k k./ Xk x.w W. / Xk x k.x k [ ] W W 8 W 8 W 8 W 8 3 TFD / pts TFD / pts /- x k.w X X X4 X6 X X3 X5 X7 Xmp Xmq 7 - W r X m p X m p X m q X m q [X m p - X m q] W r Xm p Xm q 8 36
TFR DIF FFT DIF RADIX- e place sur 6 pots etrée: ordre ormal X X X X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X X X X3 X4 X5 3 4 5 6 7 4 6 4 6 4 4 4 4 X X8 X4 X X X X6 X4 X X9 X5 X3 X3 X X7 X5 sorte: ordre bt-reversed DIF: Décmato e fréquece FFT A' A B B' A-B W W e -j π FFT verse A' A B k B' A-B W -k W e -j π A B k A' B' 37
Trasformée de Fourer Rapde FFT DIT RADIX- e place sur 6 pots etrée: ordre ormal X X X X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X X X X3 X4 X5 4 4 4 4 4 4 6 6 4 6 5 3 7 X X8 X4 X X X X6 X4 X X9 X5 X3 X3 X X7 X5 sorte: ordre bt-reversed DIT: Décmato e temps FFT A' A BW B' A - BW W e -j π FFT verse k -k A' A BW k B' A - BW -k -j π W e A B k A' B' 38
Trasformée de Fourer Rapde FFT GEOMETRIE COSTATE sur 6 pots X X8 X X X4 X X X3 etrée: ordre bt-reversed X X X6 X4 X X9 X5 X3 4 4 4 6 3 4 5 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X X sorte: ordre ormal X3 X 4 4 6 X X3 X7 X5 4 6 7 X4 X5 Géométre Costate FFT A' A B W B' A - B W W e -jš FFT verse k A' A B W -k k -k B' A - B W W e -jš A B k A' B' 39
Trasformée de Fourer Rapde FFT DIF RADIX-4 e place sur 6 pots X X X X3 X X8 X4 X etrée: ordre ormal X4 X5 X6 X7 X8 X9 X X 3 X X X6 X4 X X9 X5 X3 sorte: ordre bt-reversed X X3 X3 X4 X X7 X5 X5 FFT A' ABCD k B' A-jB-CjDW k C' A-BC-DW 3k D' AjB-C-jDW W e -jš FFT verse A' ABCD -k B' A-jB-CjDW -k C' A-BC-DW -3k D' AjB-C-jDW W e -jš A B C D A' B' k C' k 3k D' 4
4 V.4 Covoluto et corrélato Déftos Corrélato Sot x et x, sgaux de durée fe [... -], la corrélato est : Covoluto léare Sot x et h, sgaux de durée fe respectvemet et M, la covoluto est défe par : Le sgal y est de durée [... M-] x x y x h h x y h x y
V.4 Covoluto et corrélato Déftos Exemple de covoluto x > M h y x h * h- - M- h- -M y x h y M- 4
43 V.4 Covoluto et corrélato Déftos Proprétés Yz Hz Xz TZ Yk Hk Xk TFD Vue matrcelle de la covoluto O................. x y x M h h M h h h M y y y
V.4 Covoluto et corrélato Covoluto crculare Covoluto crculare Sot x et h, sgaux pérodques de pérode, la covoluto crculare est défe par : y x h y x h Le sgal y est de pérode h- est évalué modulo TFD : Yk Hk.Xk 44
V.4 Covoluto et corrélato Covoluto crculare Covoluto crculare O passe de la covoluto crculare à la covoluto léare e remplssat de zéros chaque séquece jusqu'à M- {x}{.} M- {h}{.} * {y} 45
V.4 Covoluto et corrélato 3 Covoluto rapde Covoluto rapde Passer das le domae de Fourer par ue TFD : la covoluto se trasforme e produt Utlser la FFT sur P pots pour accélérer les calculs {x}{.} FFT Logueur P X FFT - {y} {h}{.} FFT Compléter les sutes x et h par des zéros jusqu à P > M-, avec P p. Olog 46
V.4 Covoluto et corrélato 3 Covoluto rapde Problème : h et x dovet être de durée fe Applcato : FIR rapde h de durée M : Hk peut être calculé ue fos pour toute x de durée fe Covoluto sectoée x, de durée fe, est découpé e blocs x k de talle M x pour km < k M xk O alleurs k y h * x k y y k k 47
V.4 Covoluto et corrélato 3 Covoluto rapde Méthode OLA Overlap Add Blocs x k de talle M Addto des recouvremets etre les y k Méthode OLS Overlap Save Blocs x k de talle M avec recouvremet Trocature des y k sur M pots, addto etre les y k 48
VI Quatfcato Évaluato de la précso Itroducto : pourquo la quatfcato?. Formats de codage rappels Vrgule fxe, complémet-à-. Modèle de quatfcato Caractérstques de quatfcato Modèle de brut, caractérstques de dépassemet 3. Brut de coverso Fltrage d u brut 4. Lmtato des chems de doées 5. Effets e TS Fltrage RIF, RII, cycles lmtes, quatfcato des coeffcets 49
Codage e vrgule fxe complémet à Rappel codage e vrgule fxe - m m- - - p LSB S b m- b m- b b b - b - b - b - b - p MSB m Parte etère Parte fractoare x m S m b m : dstace e ombre de bts etre la posto du bt le plus sgfcatf p MSB et la posto de la vrgule p V : dstace etre la posto de la vrgule p V et la posto du bt le mos sgfcatf p LSB 5
VI Quatfcato Modèle e VFCG Modèle brut addtf x xq Q[x] k.q x xq Q e Q[x] - x Défto : approxmato de chaque valeur d u sgal x par u multple eter du pas de quatfcato élémetare q. e est l erreur de quatfcato Sources de brut Brut de coverso A/ Lmtato des chems de doées de l archtecture cble Élmato de bts lors d u chagemet de format 5
VI Quatfcato Caractérstques de quatfcato a Arrod Qx k.q s k-.5.q x < k.5.q 3q q q Qx b Trocature Qx k.q s k.q x < k.q 3q q q q q Qx q q x x -q/ /q -q Pe /q q/ e Pe e Etude statstque {e} est ue séquece d u processus aléatore cotu et statoare {e} est décorrélée de {x} {e} est u brut blac addtf la dstrbuto de probablté de {e} est uforme sur l tervalle de quatfcato ergodcté : moyees temporelles moyees statstques moyee m e moyee temporelle varace σ e pussace du brut varace q / 5
VI Quatfcato Caractérstques de quatfcato Brut lé à l élmato de k bts Bts restats Bts supprmés m- -j- - -j - S b m- b b - b -j b -j- b - b - b - Processus aléatore dscret j k a Arrod p e p e b Trocature e. e. Momets q j q k q k q k µ σ µ σ b b b b 53
VI Quatfcato Caractérstques de dépassemet x D D[x] Valeurs de x lorsqu'l sort de la dyamque de codage Saturato Complexe Mos d'effets désrables Modulare Effets désrables Xmax Dx Xmax Dx Xmax 54
VI Quatfcato Caractérstques de dépassemet Af d'évter le dépassemet, o dmue l'ampltude avat ou pedat le tratemet par u facteur d'échelle A < scalg. x A h y Crtères A peut être combé avec les valeurs des coeffcets A pussace de e pratque Crtère du pre-cas ou orme L Pas de dépassemet tat que x <Xmax Crtère de pussace ou orme L Pas de dépassemet tat que Px<Pmax Crtère bade étrote ou orme Chebychev Pas de dépassemet tat que x < Xmax, avec x susoïdal. 55
VI Quatfcato 3 Brut de coverso A/ Quatfcato e coverso A/ Quatfcato d'ue susoïde x xq 3q q q 3q q q e x CA xq q/ - q/ x Q Q[x] e x Q - x e q/ 56
Fltrage d'u brut Exemple : fltrage du brut de coverso x xq y x xq CA Q Fltre Hz Fltre Hz y E etrée du fltre Sgal x Brut de coverso e σ e RSB q, σ σ RSB σ db x e x pussace du sgal d' etrée x σ. q / b x log RSB 6.b 4.77 logσ Le RSB augmete de 6dB par bt ajouté σ x e 57
VI Quatfcato 4 Lmtato des chems de doées Lmtato des chems de doées de l archtecture cble Multplcato > Quatfcato Addto > Débordemet,,85,,565,,375,,85 x, x,565,,457 35 58
Exemple du fltre FIR Sources de brut : x b x z - z - z - c b gm c c - c - b gm b gm - b gm - b g mem y b x.b gm x y h b g mem 59
6 Exemple du fltre FIR Pussace du brut e sorte arrod. b b b b gm mem e y σ σ σ σ. b b m b b gm mem e y m h σ σ σ σ. m mem m m e b q q c q y σ
VII. Sythèse des fltres umérques RII. Itroducto. Rappels sur la sythèse des fltres aalogques 3. Ivarace mpulsoelle 4. Trasformato bléare 6
VII Sythèse des fltres RII Itroducto Recherche de Hz correspodat aux spécfcatos gabart Trasposto des méthodes de sythèse applcables aux fltres aalogques, pus trasformato de Hp vers Hz Ivarace mpulsoelle Trasformato bléare Sythèse drecte e z Méthodes d'optmsato : mmser u crtère d'erreur etre courbe réelle et courbe déale 6
VII Sythèse des fltres RII Sythèse de fltre aalogque Spécfcato Gabart aalogque ormalsato Gabart ormalsé Approxmato de Hp Ordre du fltre H orm p Déormalsato Types de fltre Butterworth, Chebyshev,... Hp Fltrage umérque Trasformato pfz varace mpulsoelle, bléare Fltrage aalogque Chox d ue structure Rauch, Salle-Key, Bquadratque 63
VII Sythèse des fltres RII Sythèse de fltre aalogque ormalsato Calcul de la sélectvté s H orm p H orm p db s δ -δ ω δ /s ω a Gabart prototype léare b Gabart prototype e db 64
VII Sythèse des fltres RII Sythèse de fltre aalogque Ordre du fltre et focto de trasfert ormalsée Butterworth, Chebyschev, Ellptque, Bessel, Legedre,... H ORM p Déormalsato Passe-bas : p p / ω c Passe-haut : p ω c / p Passe-bade : p /B p / ω ω / p O obtet ue focto de trasfert Hp respectat le gabart aalogque spécfé Passage vers Hz 65
VII Sythèse des fltres RII 3 Ivarace mpulsoelle Le fltre umérque et le fltre aalogque ot la même répose mpulsoelle h a t ht t T t xt Hap yt xt Hz yt fltre aalogque fltre umérque ht h a t / t T 66
VII Sythèse des fltres RII 3 Ivarace mpulsoelle Le fltre umérque et le fltre aalogque ot la même répose mpulsoelle H ou a L p h H z formulato a { pôles p de H p } t T Tz t h T H z drecte a H a p Résdus z e, pt p Coserve la répose temporelle et la stablté Phéomèe de recouvremet de spectre du à l'échatlloage o respect de la spécfcato fréquetelle H e jω k πk jω j H a T T 67
VII Sythèse des fltres RII 3 Ivarace mpulsoelle Répose fréquetelle H a p HΩ p /T Π Π Π Ω ormalsato xt ou /H 68
VII Sythèse des fltres RII 4 Trasformato bléare Approxmato d'ue tégrale par la méthode des rectagles et S S- T[e e-]/ -T T t e Hz Itégrateur umérque s et /p Itégrateur aalogque st p T z z Appelée égalemet, selo les sources, méthode des trapèzes 69
VII Sythèse des fltres RII 4 Trasformato bléare Coservato de la stablté pla p pla z z e jωt π p jω a Relato etre fréqueces umérques et aalogques 7
VII Sythèse des fltres RII 4 Trasformato bléare Dstorso e fréquece coue ωt π T T ω aalogque tg ω umérque π/t ω a π fe/ fe/ fltre aalogque fltre umérque 7
VII Sythèse des fltres RII 4 Trasformato bléare Procédure de sythèse A partr du gabart e fréquece umérque ω Effectuer ue prédstorso e fréquece T T ω a tg ω Sythèse de Hp par méthodes du chaptre V. Trasformato bléare H z H p p T z z 7
ω a ω a ω a /T taω/ δ -δ H a jω a δ ω a p ω a a π Ω δ -δ He jω δ Ω p Ω a π Ω π 73
VII Sythèse des fltres RII Exemple Fltre umérque aalogque du premer ordre H p p ω ω c R. C c fc KHz, fe Khz Ivarace mpulsoelle : Hz Trasformato bléare : Hbz 74
VIII. Sythèse des fltres umérques RIF. Itroducto. Fltres à Phase Léare 3. Méthode du Feêtrage 4. Échatlloage e Fréquece 75
VIII Sythèse des fltres RIF Itroducto Recherche de Hz correspodat aux spécfcatos gabart Sythèse drecte e z Fltres à phase léare ou mmale 3 méthodes de sythèse Méthode du feêtrage Méthode de l'échatlloage fréquetel Méthodes d'optmsato : mmser u crtère d'erreur etre courbe réelle et courbe déale 76
VIII Sythèse des fltres RIF Phase léare Fltre à phase mmale Zéros das le cercle uté Fltre à phase léare H e jω A Ω. e jϕ Ω A Ω: pseudo module avec ϕ Ω β αω ampltude Codto pour avor ue phase léare Symétre ou atsymétre par rapport à α -/ 77
VIII Sythèse des fltres RIF Phase léare répose mpulsoelle symétrque β répose mpulsoelle atsymétrque β±π/ mpar α eter h Type I Type III h α - α - h Type II Type IV h par α o eter α - α - 78
79 VIII Sythèse des fltres RIF Phase léare mpar par α α α α α,, cos Ω Ω Ω h a h a a e e H j j /, / ] cos[ / / Ω Ω Ω π α H h b b e e H j j, s Ω Ω Ω π α α α α π H H h c c e e e H j j j /, / ] s[ / / Ω Ω Ω H h d d e e e H j j j α π Tout fltre Passe Haut Passe Bade Dérvateur Passe Haut Dérvateur Type I Type II Type III Type IV Réposes fréquetelles
VIII Sythèse des fltres RIF Phase léare Réposes fréquetelles Type I Type III mpar par π π Tout fltre Type II Passe Bade Dérvateur Type IV π π π π Passe Haut Passe Haut Dérvateur π π 8
VIII Sythèse des fltres RIF 3 Méthode du feêtrage Développemet e sére de Fourer du fltre déal j Ω H e h e jω π jω jω h H e. e dω π π Fltre o causal, de type RII Passage de h déal au RIF approché par feêtrage de h h a h. w 8
VIII Sythèse des fltres RIF 3 Méthode du feêtrage Exemple : fltre passe-bas déal Fltre passe-bas déal He jω π Ω c Ω c π Ω h Ω c π s Ω Ω c c 8
VIII Sythèse des fltres RIF 3 Méthode du feêtrage Prse e compte d'ue codto de phase léare par décalage de α Feêtrage de h h a h. w H a e jω H e jω W e jω HΩ * WΩ HΩ ^ 83
VIII Sythèse des fltres RIF 3 Méthode du feêtrage Largeur de la zoe de trasto Ω / largeur du lobe prcpal Attéuato A ampltude du premer lobe secodare A A HΩ ^ HΩ A Ω WΩ 84
VIII Sythèse des fltres RIF 3 Méthode du feêtrage Feêtres usuelles Rectagle, Tragle, Hag, Hammg, Blackma, Kaser,... Réposes temporelles Rectagulare Bartlett Hag Hammg Blackma.8 w.6.4. 3 4 5 6 85
VIII Sythèse des fltres RIF 3 Méthode du feêtrage Feêtres usuelles Réposes fréquetelles léare, db Feêtre rectagulare Feêtre de Bartlett Feêtre de Hag W db 4 W db 4 W db 4 6 6 6 8..4 8..4 8..4 Feêtre de Hammg Feêtre de Blackma Feêtre rectagulare.8 W db 4 W db 4 W leare.6.4 6 6. 8..4 8..4.. 86
VIII Sythèse des fltres RIF 3 Méthode du feêtrage Ifluece de la feêtre Feêtre Lobe secodare Dem largeur du lobe prcpal Attéuato mmum Rectagulare -3dB π/ -db Tragulare -5dB 4π/ -5dB Hag -3dB 4π/ -44dB Hammg -4dB 4π/ -53dB Blackma -57dB 6π/ -74dB Le type de feêtre flue sur A et Ω Le ombre de pots flue sur Ω 87
VIII Sythèse des fltres RIF 4 Méthode de l'échatlloage Échatlloage e fréquece Échatlloage du fltre déal He jω HkΩ e Ω c π π Ω TFD verse de HkΩ e h k H kω e π j. k Méthode valable pour tout type de fltre Possblté d'utlser u feêtrage e 88
IX. Aalyse spectrale. Effets de la trocature. Caractérstques des feêtres 3. Ifluece sur l'aalyse 89
IX Aalyse spectrale Défto Aalyse spectrale de sgaux cotus Etude du coteu fréquetel spectre d'u sgal cotu xct ombre lmté d'échatllos du sgal d'etrée pour la TFD x c t Fltre P.Bas at-replemet Ωc π CA Fe x x x FFT φ feêtre w Trocature temporelle x x. w avec w feêtrage sur pots T.T : horzo d'observato 9
9 IX Aalyse spectrale Trocature temporelle Trocature temporelle x x. w avec w feêtrage sur pots Ifluece sur le spectre Covoluto fréquetelle TFD du sgal troqué L k j L L k j e X k X L L k e x k X /.. π π Ω Ω * Ω Ω Ω j j j e W e X e X
IX Aalyse spectrale Trocature temporelle Exemple Feêtre rectagulare, 3 feêtre rectagulare.8 w r [].6.4. 5 5 5 3 W r e j..p.f.8 Ampltude.6.4..5.4.3.....3.4.5 f 9
IX Aalyse spectrale 3 Ifluece de la feêtre focto cosus feêtrée sur 3 pots a : Focto cosp f échatlloée troquée sur 3 pots o.5 x.5 5 5 5 3 35 b : X e jpf TF{x } 5 5.5.4.3... c : X ktfd{x }..3.4.5 5 5.5.4.3.....3.4.5 93
IX Aalyse spectrale 3 Ifluece de la feêtre Ifluece de la feêtre Feêtre Lobe secodare λ log Wfs/W Le type de feêtre flue sur λ et Ωm Le ombre de pots flue sur Ωm Largeur du lobe prcpal LLP Ωm Rectagulare -3dB 4π/ Tragulare -5dB 8π/ Hag -3dB 8π/ Hammg -4dB 8π/ Blackma -57dB π/ WΩ λ Ωm/ Ωm /T fs π fe/ Ω f 94
IX Aalyse spectrale 3 Ifluece de la feêtre Feêtres usuelles Rectagle, Tragule, Hag, Hammg, Blackma, Kaser,... Réposes temporelles Rectagulare Bartlett Hag Hammg Blackma.8 w.6.4. 3 4 5 6 95
IX Aalyse spectrale 3 Ifluece de la feêtre Feêtres usuelles Réposes fréquetelles léare, db Feêtre rectagulare Feêtre de Bartlett Feêtre de Hag W db 4 W db 4 W db 4 6 6 6 8..4 8..4 8..4 Feêtre de Hammg Feêtre de Blackma Feêtre rectagulare.8 W db 4 W db 4 W leare.6.4 6 6. 8..4 8..4.. 96
IX Aalyse spectrale 4 Paramètres de l'aalyse Fesse e fréquece Capacté de l'aalyseur à détecter raes proches Masquage fréquetel Largeur du lobe prcpal : LLP Ω Déped de et du type de feêtre Exemple sur trasparet 9 Fesse e ampltude Capacté de l'aalyseur à détecter des raes de fables ampltudes ou masquée par ue autre rae proche Masquage d'ampltude ou brut de l'aalyse λ log Wfs/W Déped du type de feêtre Exemple sur trasparet 97
IX Aalyse spectrale 4 Paramètres de l'aalyse Spectre théorque.5.5.4.3..spectre pour...3.4.5.5 Feêtre rectagulare.5.5.4.3..spectre pour 4...3.4.5.5.5.5.4.3.. Spectre pour...3.4.5.5.5.5.4.3.....3.4.5 98
IX Aalyse spectrale 4 Paramètres de l'aalyse Spectre théorque.5...4.6 Spectre pour.8 8,.feetre. rectagulare.4.6.8.3.5...4.6 Spectre pour.8 8,.feetre. de Hammg.4.6.8.3.6.4....4.6 Spectre pour.8 56,.feetre. de Hammg.4.6.8.3.6.4....4.6.8...4.6.8.3 99
IX Aalyse spectrale 5 Zero-paddg Ajout de L- zéros à la sute de x avat TFD sur L pots w r [] 8 pots.5 3 4 5 6 7 5.5.4.3.....3.4.5 5.5.4.3.....3.4.5 5.5.4.3.....3.4.5 5.5.4.3.....3.4.5
X. Systèmes mult-cadeces. Défto. Décmato 3. Iterpolato
X Systèmes mult-cadeces Défto Systèmes mult-cadeces Systèmes das lesquels o pourra avor pluseurs fréqueces d'échatlloage das ue même chaîe de tratemet Ils tret parte de la forme spectrale d'u sgal e gardat Fe toujours à sa valeur optmale -> Réducto de la complexté x c t X c ω t ω ω ω
X Systèmes mult-cadeces Défto xt /T Xe jω T t π/t ω ω π/t ω x d T' /T' X d e jω T' t π/t' π/t' ω 3
X Systèmes mult-cadeces Décmato Décmato d'u facteur M X d t e xt x j Ω d M T' MT F'e Fe/M x M M M X e x d T' t j Ω / M π / M Pour évter le recouvremet de spectre, le sgal xct dot être à bade lmtée et respecter le théorème de Shao par rapport à T' X c ω etπ/t' π/mt ω ou F' e Fe / M ω pour ω ω 4
X Systèmes mult-cadeces Décmato Fltres à décmato Fltre suv d'u décmateur T' MT xt Fltre Passe Bas Ga Ωc π/m vt M yt' Optmsato du fltre à décmato xt T T T b b b b 3 vt yt' 5
X Systèmes mult-cadeces 3 Iterpolato Iterpolato d'u facteur L Objectf : augmeter la fréquece d'échatlloage d'u sgal x échatlloé à la pérode T d'u facteur L x x / L xc T ', avect ' T / L Elévateur de fréquece Ajout de L- zéros etre échatllos de x t xt x e T' L t x / L,, ± L, ± L,... xe alleurs X X e e e e jωt ' Ω j X e X e jωt jωl Pas d'effet sur le spectre 6
X Systèmes mult-cadeces 3 Iterpolato /T Xe jω t π/t π/t /T' X e e jω ω Iterpolateur t π/t' π/t π/t π/t' Successo d'u élévateur de fréquece et d'u fltre passe-bas déal de ga L, de pérode d'échatlloage T' et de fréquece de coupure Fc /T.e. Ωc π/l. ω xt x e T' Fltre Passe Bas L Ga L Ωc π/l x T' 7
X Systèmes mult-cadeces 3 Iterpolato Optmsato du fltre à terpolato xt vt' T T T Multplcato de Fe par u facteur ratoel RL/M T' T.M/L b b b b 3 yt' xt L Fltre Passe Bas Ga L Ωc mπ/l, π/m M yt' 8