CHAPITRE III LA PREVISION

CHAPITRE III LA PREVISION Prévoir ce qui va se passer dans le fuur es d'une imporance capiale pour la plupar des enreprises. En effe, la producion es selon le ype d'acivié un processus plus ou moins long, de elle sore qu'une prévision des venes, par exemple, es nécessaire pour adaper le ryhme de producion. La prévision de la producion servira à son our à éablir la poliique d'approvisionnemen. On consae donc que la prévision de la demande, qui se raduira dans les budges des venes d'une enreprise revê une imporance capiale dans le processus de planificaion d'une enreprise. Dans ce chapire, nous nous plaçons esseniellemen dans un conexe de prévision de la demande. Nous abordons successivemen les séries chronologiques e les modèles de régression. Les séries chronologiques son illusrées par deux cas concres, l'un poran sur les nuiées ourisiques, l'aure sur la consommaion de vins érangers en Suisse. Les echniques de régression son présenées sur la base d'un exemple d'évaluaion du prix moyen des apparemens dans les grandes villes d'un pei pays. Avan de présener ces deux echniques, nous définissons brièvemen le concep d'horizon-emps, puis idenifions les comporemens de la demande, avan de décrire le processus de prévision. L'horizon-emps Les prévisions à cour erme son desinées à planifier l'acivié opéraionnelle immédiae. Le bu es par exemple de planifier la producion e le besoin en ressources des prochains jours ou des prochaines semaines. Une prévision à cour erme ne devrai pas excéder un horizon de six mois. Les prévisions à moyen erme son nécessaires pour déerminer les budges e plans annuels de producion e pour planifier la capacié de producion qui es peu flexible à cour erme. Ces prévisions poren sur un horizon-emps annuel. Enfin, les prévisions à long erme son desinées à la planificaion sraégique e serven de base à des décisions d'invesissemen ou de désinvesissemen en uniés de producion ou en équipemens. Elles son aussi nécessaires pour décider du lancemen de nouveaux produis e l'enrée sur de nouveaux marchés.

Comporemens de la demande La demande peu suivre une ceraine endance que nous allons essayer d'idenifier e de projeer dans le fuur. Il se peu que le phénomène éudié soi saionnaire, c'es-à-dire que le passage du emps n'influence la variable dépendane ni à la hausse, ni à la baisse, mais de façon dispersée auour d'un cerain niveau. Dans d'aures cas, les variaions de la demande peuven présener un effe endanciel, saisonnier ou cyclique. Par momens, la demande peu parfois se comporer de manière accidenelle ou aléaoire sans suivre une quelconque règle. La endance es une variaion graduelle croissane ou décroissane dans le emps. La demande pour du maériel informaique peu par exemple augmener chaque année car l'informaique prend de plus en plus de place dans nore vie quoidienne. Cee endance peu êre linéaire ou exponenielle. Elle es linéaire si les différences enre deux périodes successives son plus ou moins consanes, e elle es exponenielle si les rappors d'une série donnée enre deux périodes successives son praiquemen consans. Une série chronologique compore une saisonnalié lorsqu'elle es soumise à des oscillaions qui se répèen périodiquemen. Les venes d'équipemens d'hiver, par exemple, enregisren des hausses duran les mois d'hiver. On se réfère Tendance linéaire Tendance exponenielle Saisonnalié Cycle Irrégularié 00 99 98 égalemen au erme de saisonnalié lorsque l'on observe des variaions régulières lors de cerains jours de la semaine. La plupar des resaurans observen par exemple un aux d'occupaion plus élevé en fin de semaine.

Enfin, un phénomène es soumis à un effe cyclique lorsqu'il se répèe après un cerain inervalle de emps qui n'es pas forcémen régulier. Par exemple, ous les cinq à sep ans, on observe souven un ralenissemen de la conjoncure, ce qui engendre un effe négaif sur la demande. L'évoluion de la demande peu êre soumise à des variaions aléaoires ou irrégulières que l'on ne peu expliquer ni par la saisonnalié ni par la endance. Ces variaions peuven provenir d'un effe de mode ou d'une incidence climaique exraordinaire qui influencerai la demande de produis agricoles par exemple. Bien évidemmen, le comporemen de la demande peu êre défini par une combinaison des caracérisiques idenifiées ci-dessus. Nous pouvons avoir des modèles avec endance e saisonnalié ou des modèles avec endance, saisonnalié e cycle. C'es cee problémaique que nous aborderons à l'aide des méhodes de décomposiion. Ces méhodes consisen à décomposer la demande en faceurs élémenaires (endance, saisonnalié, cycle e variaions accidenelles), à faire une prévision de la série décomposée, e à recomposer ensuie la série sur la base des lois observées sur ces faceurs. Processus de prévision Le processus de prévision ne se limie pas simplemen à idenifier e uiliser une ceraine méhode pour prévoir la demande fuure, mais nécessie une surveillance e un ajusemen permanens. Les éapes principales du processus de prévision son les suivanes: 1. Idenificaion du bu de la prévision, de la variable à prévoir e des variables explicaives. Par exemple: planificaion de la producion, planificaion des besoins en ressources, planificaion de la capacié de producion, planificaion sraégique. 2. Collece des données hisoriques concernan les variables idenifiées, en veillan à la perinence de ces informaions. Il convien par exemple de ne pas considérer des données anérieures à un changemen majeur dans la srucure de l'offre ou de la demande. Si l'on cherche par exemple à esimer la consommaion de vins érangers dans un pays, il s'agira de enir compe des évenuelles modificaions légales ou arifaires concernan l'imporaion des vins qui on un impac direc sur la demande. 3. Examen du graphique consrui sur la base des informaions recueillies e idenificaion d'une évenuelle endance. 4. Choix du modèle approprié.

5. Déerminaion de la validié du modèle. Si le modèle apparaî fiable, il peu êre uilisé pour effecuer des prévisions. Dans le cas conraire, un aure modèle de prévision devra êre sélecionné. 6. Ajusemen du modèle en foncion de l'informaion qualiaive à disposiion (inuiion, expérience, connaissance du marché). 7. Enfin, comparaison de la prévision e de la demande réelle de la période suivane, dans le bu de déerminer si le modèle de prévision es adapé. Dans le cas conraire, le modèle doi êre remplacé par un modèle plus adéqua. Il fau noer que ou modèle doi êre ajusé coninuellemen pour êre oujours valide. 1. Les séries chronologiques Dans cee secion, nous uilisons ou d'abord un cas concre poran sur les nuiées ourisiques enregisrées dans les hôels suisses (Tableau I-1; Source : Office fédéral suisse de la saisique). Les données conenues dans ce ableau von nous permere d'aborder ou d'abord les méhodes de lissage (moyenne mobile e lissage exponeniel). Nous décrivons ensuie un modèle avec endance, pour nous inéresser enfin aux echniques de décomposiion en considéran un modèle avec endance e saisonnalié. 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 Toal Moyenne Janvier 2 257 2 220 2 287 2 482 2 086 2 310 2 548 2 604 2 489 2 562 2 375 26 220 2 384 Février 2 668 2 533 2 712 2 778 2 402 2 849 2 876 3 030 2 955 2 826 2 986 30 615 2 783 Mars 3 070 2 593 2 579 3 202 2 412 2 886 3 185 3 024 3 129 3 177 3 252 32 509 2 955 Avril 1 912 2 224 2 338 1 938 2 372 2 580 2 810 2 560 2 329 2 483 2 516 26 062 2 369 Mai 2 265 2 057 2 300 2 311 2 067 2 419 2 427 2 371 2 289 2 247 2 303 25 056 2 278 Juin 2 722 2 795 2 911 2 755 2 670 2 970 3 100 2 850 2 922 3 111 3 110 31 916 2 901 Juille 4 303 4 094 4 352 4 221 3 825 4 244 4 316 4 062 4 047 4 097 4 155 45 716 4 156 Aoû 4 330 4 018 4 198 3 890 3 884 4 470 4 774 4 431 4 285 4 263 4 287 46 830 4 257 Sepembre 3 217 3 032 3 303 3 047 3 246 3 722 3 753 3 577 3 610 3 560 3 646 37 713 3 428 Ocobre 2 112 2 003 2 199 1 998 2 238 2 381 2 419 2 338 2 496 2 370 2 588 25 142 2 286 Novembre 1 115 1 103 1 206 1 128 1 192 1 232 1 260 1 277 1 235 1 318 1 277 13 343 1 213 Décembre 1 932 1 834 1 918 1 723 1 921 2 085 2 051 1 863 1 809 1 951 1 838 20 925 1 902 Toal 31 903 30 506 32 303 31 473 30 315 34 148 35 519 33 987 33 595 33 965 34 333 362 047 Moyenne 2 659 2 542 2 692 2 623 2 526 2 846 2 960 2 832 2 800 2 830 2 861 2 743 Tableau I-1 Le Graphique I-1 fai ressorir un effe saisonnier imporan. Ce même effe es mis en évidence sur le Graphique I-2 où les données mensuelles de chacune des années on éé superposées. Malgré le fai que la Suisse soi habiuellemen considérée comme un pays de ourisme hivernal, nous voyons clairemen que les mois de juille e aoû son des mois de fores affluences ourisiques, alors que les mois de novembre e décembre son des périodes creuses.

Nuiées mensuelles 6 000 5 000 Nuiées (milliers) 4 000 3 000 2 000 1 000 - Nuiées mensuelles (milliers) janv-75 juil-75 6 000 5 000 4 000 3 000 2 000 1 000-1.1. Méhodes de lissage janv-76 juil-76 janv-77 juil-77 janv-78 juil-78 janv-79 Graphique I-1 juil-79 janv-80 juil-80 janv-81 juil-81 Comparaison mensuelle des nuiées Janvier Février Mars Avril Mai Juin Juille Aoû Sepembre Ocobre Novembre Décembre Graphique I-2 janv-82 juil-82 janv-83 juil-83 janv-84 juil-84 janv-85 juil-85 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 A ce sade, l'analyse graphique ne nous perme pas de déerminer un ype de endance. Afin de déerminer une endance générale du phénomène, nous allons, à l'aide de la moyenne mobile, lisser les données pour réduire les composanes saisonnières e accidenelles. Nous présenons

ensuie une deuxième echnique de lissage (le lissage exponeniel) en éudian cee fois la consommaion de vins érangers en Suisse. La moyenne mobile La méhode de prévision die "naïve" consise à esimer la demande de la période fuure sur la base de celle de la période précédene. Ce ype de prévision es ouefois facilemen influencé par des événemens accidenels ou irréguliers qui on lieu au cours de la période précédene. La méhode de la moyenne mobile propose de remédier à l'inconvénien de la méhode naïve en prenan en considéraion les données d'un cerain nombre de périodes afin de lisser la composane accidenelle ou aléaoire. Pour lisser la série, nous calculons la moyenne arihméique des n dernières observaions, comme présené dans la formule [ 1 ]. ^ Y + Y 1 +... + Y n+ Y + 1 = n 1 [ 1 ] L'uilisaion d'une feuille Excel perme de mere en œuvre rapidemen la méhode. Comme présené sur la Figure I-1 ci-dessous, il convien de disposer les données brues dans les deux premières colonnes : la période e le nombre correspondan de nuiées. La saisonnalié ayan éé observée sur 12 périodes, nous prenons une moyenne mobile sur douze mois (n=12). Pour esimer la valeur lissée pour une période donnée, nous avons donc besoin des 12 valeurs précédenes. Comme nous disposons de données depuis janvier 1975, la première esimaion concerne janvier 1976 e correspond à la moyenne des 12 valeurs mensuelles de 1975. Comme le monre la Figure I-1, la foncion Moyenne(plage de donnée) sur Excel perme de calculer la moyenne, e il suffi de copier cee formule pour chaque période. La représenaion graphique de la série lissée (Graphique I-3) monre une rès légère endance à la hausse, avec un pei effe cyclique.

Figure I-1 Cellule Formule Copier sur C14 =MOYENNE(B2:B13) C15:C134 6 000 5 000 Nuiées (milliers) 4 000 3 000 2 000 1 000 - janv-75 janv-76 janv-77 janv-78 janv-79 janv-80 janv-81 janv-82 janv-83 janv-84 janv-85 Observé MM 2 mois

Graphique I-3 L'uilisaion de la moyenne mobile dans un bu de prévision condui à de bons résulas pour des phénomènes saionnaires e lorsqu'une composane accidenelle doi êre éliminée. Si une composane saisonnière es présene, cee méhode n'es appropriée que pour mere en évidence la endance générale du phénomène éudié. Bien que nous n'uilisions pas l'opion "Moyenne mobile" de l'uiliaire d'analyse d'excel, il fau menionner que celle-ci perme de calculer une moyenne mobile e de la représener graphiquemen. Jusqu'à présen, nous avons aribué un poids équivalen aux observaions prises en compe dans le calcul de la moyenne. Il es ou à fai possible d'associer des pondéraions (w) différenes à chaque période, en donnan par exemple plus de poids aux périodes les plus récenes. On uilise alors une moyenne mobile pondérée présenée dans la formule [ 2 ]. Là encore, c'es le gesionnaire qui va devoir juger de la pondéraion à appliquer, soi de manière subjecive en faisan appel à son inuiion ou à son expérience, soi en choisissan les pondéraions qui minimisen la somme des erreurs. Rappelons que la somme des pondéraions doi êre égale à un. ^ w1y + w Y w Y 2 +... + 1 n n+ Y + 1 = n 1 [ 2 ] Le lissage exponeniel La méhode du lissage exponeniel se différencie de la méhode de la moyenne mobile par la prise en compe de oues les données du passé, e pas uniquemen des n dernières valeurs. En foncion du faceur de lissage reenu, la méhode perme d'accorder plus de poids aux valeurs les plus récenes ou au conraire aux valeurs les plus anciennes. L'avanage d'aribuer un poids plus imporan aux données récenes es que la réacion du modèle à des variaions de la demande sera plus rapide. En conreparie, le modèle sera plus sensible à des variaions ayan eu lieu au cours des périodes les plus récenes. La formule [ 3 ] es à la base de la méhode du lissage exponeniel. Elle fourni la prévision pour la période +1 sur la base de la prévision précédene à laquelle on rajoue l'écar de prévision de la période corrigé par un faceur de lissage α. En développan cee formule, nous abouissons aux formules [ 4 ] e [ 5 ]. Cee dernière formule me en évidence l'effe du coefficien de lissage α sur la prévision. Un α élevé accorde plus d'imporance aux données récenes, alors qu'un α faible

en accorde plus aux données anciennes. Dans le premier cas, on parle de modèle à la mémoire coure, alors que l'on fai référence dans l'aure cas à un sysème à la mémoire longue. ^ ^ + 1 = Y + α Y ( Y ^ Y ) [ 3 ] ^ Y + 1 = αy + ( 1 α) Y ^ [ 4 ] ^ Y 2 n = α Y + α( 1 α) Y 1 + α(1 α) Y 2 +... + α(1 α) Y + 1 n +... [ 5 ] Dans le cas exrême où α es égal à 1, la prévision de chaque période correspond simplemen à la demande réelle de la période précédene. Graphiquemen, la série de la prévision correspond donc à la série de la demande réelle décalée d'une période. A l'aure exrême, un α de 0 correspond à une prévision saionnaire: la prévision correspond à la prévision de la période précédene qui elle-même correspond à la prévision précédene e ainsi de suie. Pour illusrer le lissage exponeniel, nous allons considérer un aure exemple basé sur des données annuelles. Les chiffres son fournis par l'office fédéral suisse de l'agriculure e son regroupés dans la colonne B de la Figure I-2 ci-dessous. Ils concernen l'évoluion de la consommaion des vins blancs érangers en Suisse enre 1984 e 1998 (en hecolires). Le logiciel Excel es à nouveau un ouil appréciable pour mere en œuvre cee méhode. Comme pour la moyenne mobile, nous disposons d'abord les données brues dans les colonnes A e B. Les colonnes C e D, accueillen les valeurs lissées avec un coefficien de lissage α de respecivemen 0,1 e 0,5 (cellules C3 e D3). Les formules servan au calcul des colonnes C e D son indiquées dans sous la figure. Puisque nous n'avons pas de données anérieures à 1984, la première valeur lissée correspond simplemen à la valeur réellemen observée. Pour les valeurs suivanes, nous appliquons la formule [ 3 ].

Figure I-2 Cellule Formule Copier sur C4 =$B$4 D4 C5 =C4+($B4-C4)*C$3 C6:C18 e D5:D18 La colonne C conien donc les valeurs lissées pour un coefficien de lissage de 0,1, alors que la colonne D correspond à un coefficien de 0,5. Nous pouvons mainenan consaer l'effe du coefficien sur le lissage en examinan graphiquemen les résulas. Le Graphique I-4 ci-dessous reprend les résulas obenus avec un α de 0,1. Comme expliqué plus hau, un faible faceur de lissage ne perme pas de réagir rapidemen à un changemen dans la demande. En observan la série des observaions dans la colonne B, nous consaons que la demande en vins érangers s'es considérablemen accrue à parir de l'année 1993-1994. Cee consaaion es encore plus visible en examinan la courbe de la demande réelle sur le Graphique I-4. A parir de cee période, un changemen significaif de la demande a eu lieu qui peu êre impuable à une nouvelle réglemenaion auorisan une libéralisaion progressive du marché vinicole.

Lissage de la consommaion de vins blancs érangers en Suisse 300 000 250 000 Hecolires 200 000 150 000 100 000 50 000 - Observé 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 0,1 Graphique I-4 Avec un faible coefficien α, plus de poids a éé donné aux valeurs anciennes e un changemen de la demande n'es inégré qu'avec un cerain reard. Cee consaaion es clairemen visible sur le Graphique I-4. A priori nous pouvons dire qu'il s'agi là d'un changemen pluô durable, e qu'il serai alors préférable d'uiliser un coefficien de lissage plus élevé, afin d'aribuer plus d'imporance aux valeurs récenes. 300 000 250 000 Lissage de la consommaion de vins blancs érangers en Suisse Hecolires 200 000 150 000 100 000 50 000 - Observé 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 0,5 Graphique I-5 Considérons mainenan un α de 0,5. Les résulas de ce lissage son donnés dans la colonne D de la Figure I-2 ci-dessus, e son représenés sur le Graphique I-5. Nous consaons qu'un coefficien α de 0,5 rend le modèle plus réacif à la modificaion de la demande. Comme nous l'avons déjà menionné, le modèle réagira aussi plus rapidemen par exemple à un changemen accidenel unique dans la consommaion. Pour s'en convaincre, il suffi de remplacer la

consommaion de l'année 1997 par 350.000 (cellule B18) e d'observer le comporemen de la courbe de lissage. Nous avons discué l'influence du faceur de lissage sur la méhode. Il fau à présen se poser la quesion de quel faceur il convien de choisir pour êre le plus proche possible de la réalié. Ce choix peu résuler d'une décision subjecive du gesionnaire qui se base sur son expérience du phénomène ou sur son inuiion. Mais il es égalemen possible de déerminer le coefficien opimal en choisissan celui qui minimise la moyenne des erreurs au carré (Mean Squared Error). Les mesures de validié des modèles seron examinées ulérieuremen. Noons que les mêmes résulas peuven êre obenus en uilisan l'uiliaire d'analyse d'excel. Pour ce faire, l'opion "Lissage exponeniel" doi êre sélecionnée e les paramères nécessaires au calcul du lissage doiven êre inroduis. Au besoin, la case "Représenaion graphique" peu êre sélecionnée. Pour erminer, menionnons qu'il exise un modèle de lissage exponeniel avec deux faceurs α e β. Ce ype de modèle perme de enir compe d'un effe de endance. Les valeurs lissées iniiales corresponden à celles que nous venons de déerminer, auxquelles il es possible de rajouer l'effe de endance. Ce effe es calculé selon des formules que nous n'aborderons pas dans ce ouvrage. 1.2. Modèles avec endance L'évoluion de la demande au cours du emps es raremen saionnaire e on observe rès souven une croissance (posiive ou négaive) du phénomène éudié. La variaion peu êre addiive ou muliplicaive, ce qui nous amène à disinguer la endance linéaire de la endance exponenielle. La endance es linéaire lorsque la demande varie d'une période à l'aure dans une proporion plus ou moins consane : une Universié peu par exemple observer chaque année une augmenaion de ses effecifs de 50 éudians. La croissance es en revanche exponenielle lorsque le faceur de variaion enre deux périodes successives es plus ou moins consan. Ainsi, si l'on considère que les venes de maériel informaique augmenen chaque année de 10% en moyenne, le rappor enre deux périodes successives es en moyenne consan e de 1,10. Les deux ypes de endance son représenées dans le Graphique I-6, mais nous ne présenons ici que la endance linéaire.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Périodes Tendance exponenielle 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Périodes Tendance linéaire Graphique I-6 En général, les modèles de régression linéaire son uilisés comme méhode causale pour déerminer une relaion mahémaique enre une variable dépendane (ou expliquée) e des variables indépendanes (ou explicaives). Touefois, lorsque la demande varie graduellemen au cours du emps, la endance linéaire ou des moindres carrés peu êre uilisée pour éablir une prévision de la demande. Pour éudier cee méhode, nous considérons à nouveau le cas des nuiées d'hôels en Suisse pour la période 1975-1985. Nore choix s'es poré sur les données annuelles, d'une par afin de limier le nombre d'observaions e, d'aure par, pour évier d'êre confronés à un effe saisonnier. Comme son nom l'indique, la endance linéaire consise à modéliser le phénomène éudié par une droie, don il fau déerminer la pene (a) e l'ordonnée à l'origine (b). L'équaion de cee droie es donnée par la formule [ 6 ] ci-dessous e exprime une relaion linéaire enre la variable dépendane (Yˆ ) e la variable indépendane (X) qui es ici le emps. Y ˆ = b + ax [ 6 ] La droie reenue sera celle qui minimise la somme du carré des écars enre la valeur observée (Y) e la valeur calculée (Yˆ ) comme présené dans la formule [ 7 ]. C'es ici que réside l'origine de

la dénominaion de droie des "moindres carrés". Les écars au carré permeen d'évier que les écars posiifs e négaifs s'annulen e donnen ainsi une mesure incorrece. n n 2 ( y ˆ i yi ) = ( yi ( b + axi i= 1 i= 1 )) 2 [ 7 ] Le calcul des paramères de la droie de endance se fai grâce aux formules [ 8 ] e [ 9 ] des moindres carrés. Les y i e x i corresponden respecivemen à l'observaion de la variable dépendane (nuiées) à la période i (variable indépendane). Dans nore cas, la période 1 correspond à l'année 1975, e la période 11 à l'année 1985. a n xi n y xi ( xi ) i i = 2 2 xi y [ 8 ] xi ( xi ) 2 xi yi xi = 2 2 n xi b y i [ 9 ] Déerminons à présen les paramères de la droie de endance pour nore exemple. Il convien d'inroduire ou d'abord les formules ci-dessus sur une feuille Excel, d'uiliser ensuie la foncion Excel donnan direcemen les paramères de la droie à parir des données brues de la série, e enfin d'uiliser l'uiliaire d'analyse d'excel. Figure I-3 Il convien de disposer en premier lieu les données brues sur la feuille Excel, à la manière de la Figure I-3 ci-dessus. Dans les colonnes A e B nous inscrivons respecivemen la période e la

valeur de la variable dépendane correspondane (nombre de nuiées). Pour esimer le paramère a, nous avons besoin du produi des x i par les y i que nous calculons dans la colonne C. Nous avons égalemen besoin des valeurs x i au carré que nous déerminons dans la colonne D. La somme des x i, des y i, des x i y i, e des x 2 i se fai simplemen en calculan la somme respecivemen des colonnes A, B, C e D. Nous avons mainenan calculé ous les élémens des formules [ 8 ] e [ 9 ] ci-dessus, e nous pouvons calculer la valeur des paramères a e b : 11* 2212376 362047*66 a = 11* 506 ( 66) 2 = 364,5 [ 10 ] 506 *362047 66 * 2212376 b = 11* 506 ( 66) 2 = 30726 [ 11 ] La relaion des nuiées en foncion de la période es alors la suivane: Yˆ = 30726 + 364, 5X La pene de la droie es de 364,5 e l'ordonnée à l'origine de 30.726. Cela signifie que les nuiées enregisrées paren d'un niveau de base de 30.726 milliers e augmenen chaque année de 364,5 milliers. Sur Excel, la foncion DROITEREG(plage des X, plage des Y, consane, saisiques) perme de calculer les élémens d'une droie de endance, en nous fournissan d'aures informaions qui nous permeen de nous prononcer sur la validié du modèle. Les argumens de cee foncion son les suivans: 1. plage des X : plage des données de la variable indépendane 2. plage des Y : plage des données de la variable dépendane 3. consane : indique si la consane b doi êre non nulle VRAI pour une équaion du ype Y=b+ax (consane non nulle) FAUX pour une équaion du ype Y=ax (la droie passe par l'origine) saisiques : valeur logique VRAI pour avoir des informaions saisiques sur la régression FAUX pour n'obenir que les paramères de la droie de endance

Les résulas d'excel son donnés sous forme d'une marice de cinq lignes e de deux colonnes conenan les informaions suivanes : 364,49 30.726,42 a b 120,83 819,49 Sigma a sigma b 0,50 1.267,25 R 2 sigma y 9,10 9,00 F df 14.613.898,51 14.453.318,04 Ss reg ss resid Tableau I-2 1. La première ligne donne les coefficiens a e b de l'équaion de la endance 2. La deuxième ligne indique l'écar ype associé à ces coefficiens 3. R 2 es le coefficien de déerminaion de la régression. Il indique la force de la relaion linéaire ou, en d'aures ermes, la par de la variable dépendane qui es expliquée par la variable indépendane. Un coefficien de déerminaion égal à 1 indique une corrélaion parfaie de l'échanillon (la variable indépendane explique parfaiemen le comporemen de la variable dépendane), alors qu'un coefficien égal à zéro indique qu'il n'y a pas de relaion enre les deux variables. 4. Df es le nombre de degrés de liberé (degrees of freedom). 5. ss reg e ss resid es la somme des carrés de la régression e des résidus. Toues ces données saisiques on leur uilié, mais pour l'insan, nous nous inéressons uniquemen aux coefficiens de la droie ainsi qu'au coefficien de déerminaion (R 2 ). Les résulas présenés ci-dessus n'apparaissen pas direcemen sous la forme du Tableau I-2, car Excel n'affiche que l'élémen (1,1) de la marice. Pour exraire d'aures élémens de la marice, il fau recourir à la foncion INDEX(Marice, ligne, colonne). L'argumen Marice correspond à la formule DROITEREG que nous venons d'expliquer, e les argumens ligne e colonne indiquen les valeurs que nous souhaions exraire de la marice. La formule [ 12 ] perme de chercher la ligne 1 de la colonne 2 dans la marice des résulas de la foncion DROITEREG (paramère b de la droie de endance). =INDEX(DROITEREG(plage X, plage Y, consane, saisiques);1;2) [ 12 ] Le modèle de la foncion DROITEREG sera d'auan plus exac que le nuage de poins aura une forme plus ou moins linéaire. La foncion DROITEREG uilise la méhode des moindres carrés présenée plus hau pour calculer le meilleur ajusemen à nos données. Si les données ne

semblen pas suivre une endance linéaire, nous pouvons recourir à une endance exponenielle e uiliser la foncion LOGREG d'excel qui foncionne selon le même principe. Le choix enre l'une ou l'aure foncion dépend de la forme de nos données e peu êre fai sur la base d'une analyse graphique. L'uiliaire d'analyse (Menu Ouils, Uiliaire d'analyse) peu égalemen êre uilisé pour calculer la droie de endance. L'avanage es qu'il perme de générer non seulemen les paramères de la droie de régression, mais égalemen de nombreuses informaions saisiques, noammen des ess de fiabilié des paramères e du modèle dans son ensemble. Les informaions fournies par l'uiliaire seron éudiées plus en déail dans la secion ayan rai aux modèles de régression (secion 2.). Le seul inconvénien de ce uiliaire es qu'il ne perme pas une mise à jour dynamique des résulas lorsque les données changen, alors qu'une elle mise à jour es auomaique avec la foncion DROITEREG. Des prévisions peuven êre effecuées sur la base des paramères du modèle de régression. Dans le cas de nore exemple poran sur les nuiées dans les hôels suisses, il es possible d'esimer le nombre de nuiées pour l'année 1986 (Période 12). Pour ce faire, il suffi d'inroduire dans l'équaion de la droie la valeur de la variable explicaive (12) pour rouver celle de la variable dépendane. Pour l'année 1986, le modèle linéaire prévoi un nombre de nuiées de: y ˆ12 = 30726 + 364,5*12 = 35100 [ 13 ] La valeur réelle du nombre de nuiées en 1986 devrai êre assez proche du chiffre que nous venons de calculer. La valeur de la prévision dépend beaucoup de la force du lien enre la variable dépendane e la variable indépendane exprimée par le coefficien de corrélaion ou de déerminaion. Dans nore exemple, les saisiques d'excel nous indiquen un coefficien de déerminaion de 0,5, ce qui signifie que la variable indépendane (la période) n'explique que le 50% du comporemen de la variable dépendane (les nuiées annuelles). 1.3. Techniques de décomposiion Ces echniques consisen à décomposer la demande en faceurs élémenaires (T=Tendance, S=Saisonnalié, C=Cycle, I=variaions irrégulières), puis à recomposer un modèle à parir des lois observées sur ces faceurs. Cee méhode fourni de bons résulas, pour auan qu'il n'y ai pas de changemens majeurs dans la srucure de la demande. Elle es donc pariculièremen bien adapée pour les prévisions à cour e moyen erme. La décomposiion peu êre addiive ou muliplicaive:

Modèle addiif Modèle muliplicaif Y = T + S + C + I Y = T * S * C * I Nous allons nous baser sur un modèle avec endance e saisonnalié. Dans un premier emps, nous uilisons un modèle muliplicaif e le comparons ensuie au modèle addiif. La première éape consise à calculer les coefficiens saisonniers, puis à désaisonnaliser la série. La endance es alors déerminée sur la base des données désaisonnalisées. La prévision peu alors êre faie, à laquelle il convien de rajouer la composane saisonnière. Calcul des coefficiens saisonniers Pour calculer les coefficiens saisonniers mensuels, nous comparons la moyenne de chaque mois à la moyenne des nuiées sur l'ensemble des mois. Les chiffres nécessaires à ces calculs figuren dans la dernière colonne du Tableau I-1 que nous reporons dans la colonne B de la Figure I-4 ci-dessous. Pour le modèle muliplicaif, nous calculons un rappor en divisan les nuiées moyennes par mois par la moyenne générale de 2.743 milliers de nuiées. La somme des coefficiens saisonniers mensuels doi êre égale à 12. Dans le cadre du modèle addiif, le coefficien n'exprime plus un rappor, mais la différence enre la moyenne mensuelle e la moyenne générale. La somme des coefficiens es dans ce cas égale à 0. Les coefficiens mensuels muliplicaifs e addiifs son donnés dans les colonnes C e D de la Figure I-4. Les résulas de l'uilisaion du modèle muliplicaif indiquen par exemple que le nombre de nuiées du mois de juille es en moyenne de 52% supérieur au nombre moyen de nuiées au cours d'une année. Selon le modèle addiif, le nombre de nuiées du mois de juille es en moyenne de 1.413 milliers supérieur au nombre moyen de nuiées par année. Par consrucion, l'écar enre les périodes devien de plus en plus grand lorsqu'un modèle muliplicaif es considéré alors que ce écar rese consan avec un modèle addiif. Le rappor enre les périodes demeure bien enendu consan avec un modèle muliplicaif e end à se réduire avec un modèle addiif.

Figure I-4 Désaisonnalisaion de la série Pour le modèle muliplicaif, la série es désaisonnalisée en divisan les nuiées de chaque période par le coefficien saisonnier du mois en quesion. Avec un modèle addiif, nous ajouons (respecivemen reranchons) de la série le coefficien saisonnier. Il es éviden que les séries désaisonnalisées par division e par sousracion ne seron pas ideniques e leur équaion de endance sera par conséquen différene. Pour le modèle muliplicaif, les données désaisonnalisées son calculées dans la colonne E de la Figure I-5 ci-dessous e son reporées sur le Graphique I-7. 3500 3000 Nuiées (milliers) 2500 2000 1500 1000 500 0 1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 Périodes 81 86 91 96 101 106 111 116 121 126 131 Graphique I-7

Calcul de la endance e prévision Sur la base de cee série désaisonnalisée, nous calculons ensuie une endance qui servira de base à une prévision des valeurs désaisonnalisées. Comme nous l'avons menionné, le choix enre une endance linéaire ou exponenielle se fai sur la base d'une observaion graphique des données ou en sélecionnan le modèle qui minimise la somme des erreurs au carré. L'observaion visuelle de la série sur le Graphique I-7 ci-dessus, nous fai pencher pour la endance linéaire. Les paramères suivans de la droie de régression on pu êre déerminés: Yˆ = 2563+ 2, 69X [ 14 ] En uilisan la formule ci-dessus, nous prévoyons pour janvier 1986 (période 133) une valeur désaisonnalisée de 2.563 + 2,69*133 = 2.922 milliers de nuiées (cellule F136 de la Figure 4). Après avoir vérifié si la endance linéaire éai bien appropriée (coefficien de corrélaion, es de Fisher, saisique ), nous pouvons calculer dans la colonne F les nuiées désaisonnalisées esimées par nore modèle. Pour y parvenir, nous inscrivons les paramères a e b de la droie de endance dans les cellules F2 e G2 afin de pouvoir les uiliser dans les formules de la colonne F. Avec un modèle addiif, la droie de régression es la suivane: y = 2.576 + 2,51*x. Pour janvier 1986, la prévision désaisonnalisée es donc de 2.576 + 2,51 * 133 = 2.910 milliers de nuiées.

Figure I-5 Cellule Formule Copier sur F2 =2,6944 - G2 =2563,6 - A4 =1 - A5 =A4+1 A6:A136 E4 =C4/D4 E5:E135 F4 =$F$2*A4+$G$2 F5:F136 G4 =F4*D4 G5:G136 Resaisonnalisaion de la série Les valeurs désaisonnalisées ayan éé déerminées, il ne rese plus qu'à ajouer la composane saisonnière. Avec un modèle muliplicaif, il s'agi de muliplier la prévision par le coefficien saisonnier correspondan (colonne F mulipliée par la colonne D): on obien alors les prévisions qui iennen compe de la composane saisonnière (colonne G). Pour janvier 1986, nous obenons une prévision de 2.922 * 0,87 = 2.542 milliers de nuiées. La validié du modèle doi encore êre esée sur la base des mesures qui seron développées au poin suivan.

La série des nuiées effecives e celle des nuiées esimées sur la base du modèle de décomposiion muliplicaive son reporées sur le Graphique I-8. Ce graphique fai apparaîre que les valeurs réelles e les valeurs esimées son rès proches. L'écar d'esimaion es ouefois légèremen plus imporan pour le débu de l'année 1979, ainsi que pour les mois pendan lesquels le nombre de nuiées es plus élevé (mois de juille à sepembre). 6 000 5 000 Nuiées (milliers) 4 000 3 000 2 000 1 000-1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101 111 121 131 Période Prévision Nuiées réelles Graphique I-8 Avec un modèle addiif, la démarche es semblable, mais il convien alors de rajouer (respecivemen sousraire) le coefficien saisonnier à la prévision désaisonnalisée. Pour janvier 1986, nous obenons 2.910 + (-359) = 2.551 milliers de nuiées. Les valeurs réelles e esimées son à nouveau rès proches, sauf pour le débu de l'année 1979 qui accuse un écar plus imporan. Comparaison avec les valeurs réelles Les chiffres conenus dans le Tableau I-3 monren que pour la majorié des mois de l'année, le nombre de nuiées réelles es inférieur à celui fourni par les prévisions. L'année 1986 n'a donc pas suivi complèemen la endance que nous avons idenifiée précédemmen. Une différence imporane peu en pariculier êre observée pour le mois de juille qui pouvai déjà êre décelée sur le Graphique I-8 ci-dessus. Les aures différences négaives observées son plus éonnanes. Il s'agi peu-êre d'un élémen spécifique lié à l'année 1986 (condiions climaiques) ou alors d'un changemen permanen qui va se poursuivre dans les années à venir. Pour vérifier s'il s'agi d'un effe passager ou pluô permanen, il faudrai comparer les prévisions pour 1987 aux valeurs réelles.

1.4. Validié des modèles Réel Prévision Différence % janv-86 2 443 2 539-96 -4% févr-86 3 055 2 968 87 3% mars-86 3 653 3 151 502 14% avr-86 2 164 2 529-365 -17% mai-86 2 255 2 431-176 -8% juin-86 2 790 3 100-310 -11% juil-86 3 930 4 440-510 -13% aoû-86 4 255 4 552-297 -7% sep-86 3 560 3 666-106 -3% oc-86 2 590 2 446 144 6% nov-86 1 289 1 298-9 -1% déc-86 1 815 2 038-223 -12% Tableau I-3 Il n'es en principe pas possible d'avoir une prévision parfaie, si bien que chaque prévision sera différene de la demande réelle. Cee différence es appelée l'erreur de prévision e le choix d'un modèle de prévision doi s'aacher à minimiser cee erreur. Une erreur de prévision rop imporane signifie que la echnique uilisée n'es pas adéquae ou que ses paramères doiven êre modifiés. Nous présenons deux mesures de validié sur la base des données annuelles de nore exemple. La Figure I-6 ci-dessous reprend les esimaions que nous avons effecuées précédemmen (colonne B) e les compare avec les valeurs réelles (colonne C). Figure I-6

L'erreur absolue moyenne (mean absolue deviaion) L'erreur absolue es calculée dans la colonne E de la Figure 5. La somme e la moyenne de l'erreur absolue son conenues respecivemen dans les cellules E14 e E15. L'erreur absolue moyenne es de 930 milliers de nuiées. Ce chiffre peu paraîre élevé, mais il es à comparer au nombre des nuiées réelles qui es de l'ordre de 33.000 milliers, ce qui correspond à une erreur absolue moyenne de 2,82 %. MAD = n y yˆ i i i= 1 = n 930 [ 15 ] L'écar ype (sandard deviaion) Cee mesure correspond à la racine carrée de la moyenne des écars de prévision au carré. Le résula es conenu dans la cellule F16 de la Figure I-6 ci-dessus. Cee mesure nous perme de dire que nous avons une probabilié de 99,7% que la valeur réelle se rouve dans un inervalle de ± 3*σ auour de nore prévision (probabilié de 95.4% de se siuer dans un inervalle de ± 2*σ). σ = n ( y yˆ i i ) i= 1 n 1 2 = 1202 [ 16 ] 2. La régression