Exercices Nombres complexes Nombres complexes et équations algébriques. Nombres complexes......................................................................... I Calculs.................................................................................. II Inégalités............................................................................... III Équations atypiques..................................................................... IV Équations du second degré ou s y ramenant............................................... V Racines n-ièmes......................................................................... VI Application à la géométrie plane.......................................................... VII Indications.............................................................................. 1 3 3 3 4 5
018-019 Laurent Kaczmarek I. Calculs 1. Paramétrage de U On note U, l ensemble des nombres complexes de module 1. a. Soit z U \ {1}. Démontrer que z + 1 est un imaginaire pur. z 1 b. Vérifier que, λ R, 1 + λi 1 λi U. c. Réciproquement, déterminer les éléments de U pouvant s écrire sous la forme 1 + λi 1 λi z uz d. Soit z C. Démontrer que, u U \ {1}, 1 u R.. Modules Déterminer les nombres complexes z tels que z, 1/z et 1 + z soient de même module. avec λ R. II. Inégalités 3. Inégalités Prouver que (z, z )œinc, 1 z + z + 1 + z + z et z + z ( 1 + z )( 1 + z ). 4. L inégalité triangulaire généralisée Soit n un entier naturel. a. Prouver que, pour tout (z 1,..., z n ) C n, z 1 + + z n z 1 + z + + z n. b. Montrer que, pour tous z 1 et z dans C, z 1 + z = z 1 + z arg(z 1 ) = arg(z ). c. Montrer que (z 1,..., z n ) (C ) n, z 1 + +z n = z 1 + z + + z n arg(z 1 ) = arg(z ) = = arg(z n ). 5. Une belle inégalité Soient z C, n N et z 1,..., z n des nombres complexes non nuls d arguments respectifs θ 1,..., θ n. On suppose que e iθ 1 + + e iθ n = 0. n n n a. Démontrer que z k z k z. On pourra simplifier la somme e iθ k (z k z). b. Montrer qu il existe m 1,n tel que z m z 1 n 6. Deux inégalités sur les modules a. Prouver que (a,b) C, a + b a + b + a b. b. En déduire que pour tous z 1, z, z 3 et z 4 dans C, on a n z k. 4 z k 1 i<j 4 z i + z j. LLG PCSI Exercices
018-019 Laurent Kaczmarek 7. Autour de l exponentielle III. Équations atypiques Résoudre dans C les équations e z = i, e z = 1 + i puis e z + e z = 1. 8. Lieux géométriques ( ) z 1 Résoudre dans C les équations Re = 0, Im z i 9. Divertissements Résoudre dans C les équations suivantes : ( z 1 z i ) = 0 et Re ( z 3) = Im ( z 3). a. z = z ; c. z = 7 z ; e. z + z = z ; g. z 3z = + 3i ; b. z 3 = z ; d. z + 8 z 3 = 0 ; f. z 5 = 16z ; 10. Équation en z et z Résoudre dans C l équation z(z 1) = z ( z 1). IV. Équations du second degré ou s y ramenant 11. Classique Résoudre sur C l équation (E) : ( z + 1 ) ( + z z 1 ) = 0. 1. Module des racines d une équation a. Soient (z, z ) C et u une racine carrée de zz. Démontrer que z + z = z + z u + z + z + u. b. Soit m C. On note α et β les solutions de l équation z +mz+1 = 0. Établir que α + β = m+1 + m 1. 13. Conditions sur les racines Soit (p, q) C, avec q 0. Montrer que les racines de l équation z + pz + q = 0 ont le même module si et seulement si p /(4q) [0,1]. 14. Racines septièmes de l unité V. Racines n-ièmes Soit ω une racine septième de l unité distincte de 1. Simplifier 15. Quatre équations Résoudre dans C les équations suivantes : ω 1 + ω + ω 1 + ω 4 + ω3 1 + ω 6 LLG PCSI Exercices 3
018-019 Laurent Kaczmarek a. (z + i ) 3 + i z 3 = 0 ; b. z 4 z 3 z z+1 = 0 en posant Z = z + z 1 ; c. z 4 + i 1 = 0. 16. Lignes trigonométriques de π/5 On pose ω = e iπ 5, α = ω + ω 4 et β = ω + ω 3. Déterminer une équation du second degré dont les racines sont α et β. En déduire cos 17. Mines-Ponts PC-014 Soit n N. Résoudre ( z + 1 ) n (z + i ) n = 0 dans C. 18. Questions enchaînées ( π 5 ) Soit n N. ( ) z + 1 n ( ) z + i n a. Résoudre dans C l équation = 1. En déduire les solutions dans C de = 1. z 1 z i ( ) z + 1 n b. Soit θ R tel que θ 0[π/n]. Résoudre dans C l équation = e inθ. z 1 ( ) z + 1 n ( ) z 1 n c. En déduire les solutions dans C de l équation + = cos(nθ). z 1 z + 1 On traitera le cas général, θ R sans aucune restriction. 19. Une expression de tan(π/5) En résolvant (1 i z) 5 (1 + i z) 5 = 0 de deux manières différentes, calculer tan(π/5). 0. Questions d alignement VI. Application à la géométrie plane Le plan affine euclidien P est muni d un repère orthonormé direct R. a. Déterminer les nombres complexes z tels que les trois points d affixes 1, z et i z soient alignés. b. Déterminer les nombres complexes z tels que les trois points d affixes z, 1 z et z soient alignés. 1. Quadrilatères Soit ABCD un quadrilatère convexe du plan P. On construit à l extérieur de chacun des côtés du quadrilatère des triangles rectangles isocèles APB, BQC, CRD et DSA. Démontrer que les droites (PR) et (QS) sont perpendiculaires et que les longueurs PR et QS sont égales.. Sa majesté équilatérale Soient A, B, C trois points deux à deux distincts d affixes a, b, c. a. Prouver que ABC est un triangle équilatéral direct si et seulement si a + j b+ j c = 0, et équilatéral indirect si et seulement si a + j c + j b = 0. b. Prouver que ABC est un triangle équilatéral si et seulement si a + b + c = ab + ac + bc LLG PCSI Exercices 4
018-019 Laurent Kaczmarek VII. Indications 1. Paramétrage de U Écrire (par exemple) les éléments de U sous forme exponentielle e i t avec t R.. Modules Montrer que les solutions sont nécessairement de module un. Rechercher z sous forme polaire. On trouve { j, j }. Une solution purement géométrique est possible. 3. Inégalités Appliquer judicieusement l inégalité triangulaire. 4. L inégalité triangulaire généralisée Raisonner par récurrence sur n au c. 5. Une belle inégalité Au a., il faut appliquer l inégalité triangulaire. 6. Deux inégalités sur les modules Au a., appliquer deux fois l inégalité triangulaire. 7. Autour de l exponentielle Écrire z sous forme algébrique pour les deux premières équations. Pour les autres, poser y = e z et se ramener à une équation en y. 8. Lieux géométriques Rechercher les solutions sous forme : algébrique aux 1. et., polaire au 3. On trouve un cercle privé d un point au 1., une droite privée d un point au. et la réunion de trois droites au 3. 9. Divertissements Chercher les solutions : sous forme polaire aux a., b., c., e. et f., sous forme algébrique aux d. et g. Au d., commencer par vérifier que les solutions sont nécessairement réelles ou imaginaires pures. 10. Équation en z et z S intéresser au module de chacun des deux membres. 11. Classique LLG PCSI Exercices 5
018-019 Laurent Kaczmarek { 1 i Penser à A + B = (A + i B)(A i B). On trouve, 1 + i } 1 i, 1 + i. 1. Module des racines d une équation Prouver l égalité des carrés au a. Le b. est une application du a. 13. Conditions sur les racines Le cas où p = 0 est trivial. Dans le cas où p 0, poser λ = p /(4q). Le discriminant de l équation est alors p (1 1/λ) et il est facile d exprimer ses racines carrées en fonction de p et λ. 14. Racines septièmes de l unité Exploiter la périodicité des puissances de ω ainsi que la relation 1 + ω + + ω 6 = 0. On trouve. 15. Quatre équations On aboutit à une équation du second degré en Z au b. On trouve : { 1 i a., 1 + i ( ) + 3 ( + 3 ), 1 + i ( ) } { 3 ( 3 ). b. j, j, 3 5, 3 + } 5. c. { e iπ/6, e iπ/6, i e iπ/6,i e iπ/6 }. 16. Lignes trigonométriques de π/5 Calculer la somme et le produit de α et β. 17. Mines-Ponts { PC-014 ( ) } On trouve { i } cotan kπ n ; k 1,n 1. 18. Questions enchaînées À la première équation du a., on trouve les i cotan(kπ/n) pour k 1,n 1. On résout alors la seconde équation sans calcul, ou presque. Au c., se ramener à une e quation algébrique du second degré. On verra alors apparaître naturellement le lien avec le b. 19. Une expression de tan(π/5) Première piste : en développant par la formule du binôme, on aboutit à une équation du second degré en z (c est ce qu on appelle une équation bicarrée). Deuxième piste : en posant Z = (1 i z)/(1 + i z), on est ramené à Z 5 = 1. On trouve donc les solutions sous deux formes différentes et, après identification, on obtient l expression de tan(π/5) au moyen de radicaux : tan(π/5) = 5 5. 0. Questions d alignement Appliquer la CNS d alignement. On trouve : LLG PCSI Exercices 6
018-019 Laurent Kaczmarek a. Le cercle de centre (1 i )/ et de rayon /. b. La réunion des deux droites verticales définies par Re(z) = ±1/ et de l axe des abscisses. 1. Quadrilatères Travaillez dans un repère orthonormé direct quelconque du plan en utilisant des rotations pour trouver les affixes de P, Q, R, S en fonction de celles de A, B, C, D.. Sa majesté équilatérale Traduire (AB,AC) = π/3[π] et AB = AC en c a b a = eiπ/3. Se souvenir que 1 + j + j = 0. LLG PCSI Exercices 7