Chapire 5 ( heures) Analse dimensionnelle e similiude Plan du chapire 5 Inroducion e définiions Analse dimensionnelle des équaions de bilan: - orme adimensionnelle des équaions de coninuié e de Navier-Sokes. - Crières de similiude.. Théorème de Buckingham (Théorème de Π).. Eemples d applicaion.
Crières de similiude Proope aquee () Similiude géomérique: (similiude des formes) () Consane de proporionnalié géomérique Similiudes cinémaique e dnamique: a similarié cinémaique e dnamique son les deu aures condiions à respecer avan de considérer que les deu écoulemens soien similaires. es paramères cinémaiques e dnamiques doiven avoir une ceraine relaion. Comme dans le cas de la similiude géomérique (rappors de longueurs), on devra avoir une relaion pour la force (), la masse (m) e le emps (). - orce: - asse: m - Temps: m m (), m e son respecivemen les consanes de proporionnalié des forces, des masses e des emps.
À parir de ces epressions, on pourra obenir ous les rappors d échelle maquee/proope pour n impore quel paramère cinémaique ou dnamique e les propriéés des fluides: - iesse: - Accéléraion: - asse volumique: - Pression: a p m a p () 5 a loi de Newon s applique, qu on ravaille sur le proope ou sur la maquee: ma m ( m) a m a e () En remplaçan, m e a, des équaions e, on obien: On divise ensuie par le membre de gauche e par (ma) le membre de droie (puisque ma) : m ou m (5) (6) 6
Réarrangemen de l équaion (6): uliplions e divisons l équaion (6) par : Séparaion des ermes: aquee m ( )( )( ) proope (7) m 7 équaion (7) donne la condiion pour avoir une similarié dnamique enre le modèle e la maquee. e paramère adimensionnel (/ ) doi êre le même à des posiions sur le proope e sur la maquee géomériquemen similaires. a) Cas où les forces de gravié son imporanes: a force de gravié mg es proporionnelle à g. Si on remplace dans l équaion (7), on aura: g aquee g proope En inversan e après simplificaion, on obien: g aquee Nombre de roude (r) (8) g proope 8
onc, pour des problèmes où les forces de gravié son imporanes, le nombre de roude doi êre le même à des posiions géomériquemen similaires sur le proope e sur la maquees. b) Cas où les forces de pression son imporanes: a force de pression es p. Si on remplace dans l équaion (7) on aura: p aquee p proope En inversan e après simplificaion, on obien: p p aquee proope Nombre d Euler (Eu) (9) 9 onc, pour des problèmes où les forces de pression son imporanes, le nombre d Euler doi êre le même à des posiions géomériquemen similaires sur le proope e sur la maquee.
c) Cas où les forces de viscosié son imporanes: Pour des fluides Newoniens: τ -µ(d/d). a force de cisaillemen es donnée par l epression suivane: d τ µ µ d onc es proporionnelle à µ. En remplaçan par µ dans l équaion (7), on aura: µ aquee µ proope En inversan e après simplificaion on obien: µ aquee µ proope () Nombre de Renolds (Re) onc, pour des problèmes où les forces visqueuses son imporanes, le nombre de Renolds doi êre le même à des posiions géomériquemen similaires sur le proope e sur la maquee.
Plan du chapire 5. Inroducion e définiions. Analse dimensionnelle des équaions de bilan: - orme adimensionnelle des équaions de coninuié e de Navier-Sokes. - Crières de similiude.. Théorème de Buckingham (Théorème de Π).. Eemples d applicaion. Noion de dimension es grandeurs phsiques pour les ssèmes isohermes son eprimées en foncion des rois grandeurs fondamenales: - a longueur: - e emps : (ssème:,, ) - a masse : On peu aussi choisir la force,, à la place de la masse,, comme grandeur fondamenale - a longueur: - e emps : (ssème:,, ) - a force :
5 Théorème de Buckingham (Théorème ) Selon le héorème de Buckingham (ou héorème ), dans un problème comprenan n grandeurs phsiques où il a m dimensions fondamenales, on peu réécrire ces grandeurs phsiques en (n-m) paramères adimensionnels indépendans. i: Nombre de groupes adimensionnels nécessaires i n m n: Nombre de grandeurs phsiques m: Nombre de dimensions fondamenales 6
Soien Α, Α, Α,..., Α n les différenes grandeurs phsiques: comme la viesse, la pression, la viscosié, ec. Enre oues ces quaniés, il a une relaion de la forme: Si Π, Π, Π,..., représenen les quaniés adimensionnelles parmi les quaniés phsiques Α, Α, Α,..., Α n, on peu alors écrire une équaion de la forme: ou Théorème de Buckingham (suie) φ( A,A,...,An ) f (,,,..., nm ) f (,,..., nm ) 7 es éapes de l analse dimensionnelle Pour effecuer une analse dimensionnelle, on doi considérer les neuf éapes suivanes:. resser la lise de oues les quaniés phsiques A i e leur dimension correspondane. Omere oue quanié phsique qui es une foncion direce d une ou d aures quaniés phsiques. Eemple: Si on a un écoulemen dans un clindre e qu on a les paramères Q, e <>, on doi omere le débi volumique, Q, ou la viesse moenne, <>, car Q <> /. Écrire la foncion φ( A,A,...,An ). Choisir les variables répéiives. Ces variables doiven conenir oues les m dimensions du problème. Souven, on reien une variable parce qu elle déerminne l échelle, une aure, parce qu elle déermine les condiions cinémaiques; il fau une variable liée avec la masse ou les forces du ssème. Eemple: on peu reenir, e comme variables fondamenales. 8
es éapes de l analse dimensionnelle. Écrire les paramères en foncion des eposans inconnus: S assurer que oues les quaniés A i son incluses dans les groupes i. 5. Écrire les équaions des paramères pour les eposans; on doi obenir une somme algébrique nulle pour chaque dimension. 6. Résoudre les équaions simulanémen. ( ) ( ) ( ) µ 7. Remplacer les eposans rouvés (,,,...) dans les epressions de (éape ) pour obenir les paramères sans dimension. 9 es éapes de l analse dimensionnelle 8. éerminer la foncion: f (,,,..., nm ) ou résoudre une valeur eplicie de: f (,,..., nm S assurer que ous les paramères i son indépendans les uns des aures. ) 9. ere les résulas sous la forme de nombres sans dimension connus (Re, r, Eu, ec.).
Plan du chapire 5. Inroducion e définiions. Analse dimensionnelle des équaions de bilan: - orme adimensionnelle des équaions de coninuié e de Navier-Sokes. - Crières de similiude.. Théorème de Buckingham (Théorème de Π).. Eemples d applicaion. p Écoulemen dans une conduie clindrique rugueuse g p g, µ randeurs: éomériques :, e, Phsiques :, µ Cinémaiques e dnamiques:, p e (rugosié)
epérience monre que pour l écoulemen dans une conduie: où: (,Q,ou,,,e) P f µ P/: Pere de charge par unié de longueur : iamère de la conduie <> : iesse moenne (ou Q: ébi volumique) e µ : asse volumique e viscosié dnamique. e : Rugosié moenne de la conduie Quesion: En uilisan le héorème, on vous demande de proposer une forme pour présener les résulas epérimenau en foncion de paramères adimensionnels. Invenaire des variables: iesse Rugosié ariable Pere de charge iamère ongueur iscosié asse volumique Smbole P <> e µ imensions () - - - - - -
5 5 On a 7 quaniés avec rois dimensions (). On rouve donc (7 ) paramères, soien: Si on prend <>, e comme variables qui se répèen (car les rois coniennen les dimensions fondamenales ). Π, Π, Π e Π es nombres Π qu on peu former son les suivans: µ > < > < > < > < e P 6 6 es nombres Π qu on peu former son les suivans: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
7 7 ( ) ( ) ( ). ( ) ( ) ( ). v p 8 8 ( ) ( ) ( ).. e ( ) ( ) ( ) Re µ
f,, ( ) Relaion finale: P f, e, Re 9 idange d un réservoir via une conduie clindrique vericale e liquide s écoule d un réservoir à un débi volumique Q. Ce débi dépend du niveau du liquide, h, du diamère, d, e de la longueur,, de la conduie, ainsi que de l accéléraion graviaionnelle, g. On vous demande de rouver une relaion enre le débi Q e les aures paramères adimensionnels. H, µ d (Résoluion en classe) Q
Invenaire des variables: ariable ébi volumique Smbole Q imensions () Niveau du liquide iamère_conduie ongueur_conduie iscosié asse volumique Accéléraion_pesaneur H d µ g Écoulemen à ravers un filre Soi un écoulemen laminaire visqueu d un liquide à ravers un filre don chaque maille a la forme d un riangle équilaéral de côés s (voir figure). On vous demande de déerminer, par une analse dimensionnelle, la forme de l équaion du débi volumique d un liquide de viscosié dnamique µ qui passe par ce filre conenan n mailles par unié de surface. On considère qu il a une chue de pression par unié de longueur du filre égale à p/. (Résoluion en classe) s
Invenaire des variables: ariable ébi volumique Smbole Q imensions () iamère_filre Pere de charge iscosié Côés_mailles Nbre_oal_mailles p/ µ s n( /)