Exercice. Détermier le degré de chacu des sommets du graphe suivat : GRAPHES Exercice 6. Ecrivez la matrice associé à chaque graphe : Exercice. Trois pays evoiet chacu à ue coférece deux espios ; chaque espio doit espioer tous les espios des autres pays (mais pas so propre collègue!). ) Représetez cette situatio par u graphe d'ordre 6 das lequel chaque arête reliat i et j sigifie que i espioe j que et j espioe i. ) Ce graphe est-il complet? est-il coexe? ) Quel est le degré de chaque sommet? Déduisez-e le ombre d'arêtes. Exercice. Peut-o costruire u graphe simple (aucue arête est ue boucle et il y a au plus ue arête etre deux sommets) ayat : a) sommets et 7 arêtes b) 5 sommets et arêtes c) 0 sommets et 6 arêtes Exercice 7. 0 0 0 O cosidère la matrice A = 0 0 0 0 0 0 0 0 Les graphes ci-dessous peuvet-ils être associés à A? Exercice. Etat doé u groupe de dix persoes, le tableau suivat idique les paires de persoes qui ot ue relatio d'amitié. i 5 6 7 8 9 0 Amis de i,6,7 6,8,6,7 5,0,0,,,7,,6,5 ) Représetez cette situatio par u graphe d'ordre 0 das lequel ue arête etre les sommets i et j sigifie qu'il y a ue relatio d'amitié etre i et j. ) Ce graphe est-il complet? coexe? ) Si l'adage "les amis de os amis sot os amis" était vérifié, que pourrait-o e coclure sur la structure du graphe? Exercice 5. Sur la carte suivate sot désigé 7 pays europées : Exercice 8. Dessier u graphe dot ue matrice serait : (plusieurs solutios sot évidemet possibles) Exercice 9. Trasformer ce graphe e lui rajoutat u ombre miimal d arêtes pour qu il soit coexe. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) Représetez cette situatio par u graphe d'ordre 7 das lequel l'existece d'ue frotière etre deux pays se traduira par ue arête. ) Combie de couleurs faut-il, au miimum, pour colorier cette graphe, de sorte que deux pays frotaliers e soiet pas affectés de la même couleur. Page / jgcuaz@hotmail.com
Exercice 0. Est-il possible de tracer les figures suivates sas lever le crayo (et sas passer deux fois sur le même trait! )? Pourquoi? Exercice. Est-il possible de se promeer das chacue de ces maisos e passat ue et ue seule fois par chacue de ses ouvertures? ecore très réduit : il existe seulemet u vol direct de V vers V et vers V, de V vers V, de V vers V et vers V, de V vers V ) Représeter les doées par u graphe coveable. ) Vérifier qu il existe au mois u vol de chaque ville V i vers chaque ville i j, comportat au plus deux escales. ) a) Ecrivez la matrice M associée à ce graphe. b) Calculez M et M c) Retrouvez alors le résultat de la questio ) Exercice 5. Quels sot les diamètres des graphes ci-dessous : V j, Exercice 6. Le graphe ci-dessous idique, sas respecter d échelle, les parcours possibles etre les sept bâtimets d ue etreprise importate. Exercice. Le chasse eige doit déblayer les 6 routes qui reliet 5 villages A, B, C, D et E Peut o trouver des itiéraires qui permettet de parcourir ue et ue seule fois chaque route? a) e partat de E et e termiat par E b) e partat de C et e termiat à D c) e partat de A et e termiat à A B Exercice. Cosidéros le graphe G ci-cotre : Combie y-a-t-il de chaîes de logueur etre A et B? B et A? B et B? Exercice. O cosidère quatre villes V, V, V, V das u pays où le traffic aérie est A C U aget de sécurité effectue régulièremet des rodes de surveillace. Ses temps de parcours e miutes etre deux bâtimets sot les suivats : AB : 6 miutes ; AG = miutes ; BC = 8 miutes ; BE : miutes; BG : 8 miutes ; CD : 7 miutes; CE = miutes ; CG : 0 miutes ; DE : miutes ; EF : 8 miutes ; EG : 5 miutes ; FG : 8 miutes. Sur chaque arête, les temps de parcours sot idépedats du ses du parcours. ) Motrer qu il est possible que l aget de sécurité passe ue fois et ue seule par tous les chemis de cette usie. Doer u exemple de trajet. Page / jgcuaz@hotmail.com
) L aget de sécurité peut-il reveir à so poit de départ après avoir parcouru ue fois et ue seule tous les chemis? Justifier la répose. ) Tous les matis, l aget de sécurité part du bâtimet A et se red au bâtimet D. E utilisat u algorithme que l o explicitera, détermier le chemi qu il doit suivre pour que so temps de parcours soit le plus court possible, et doer ce temps de parcours. G H Exercice 7. O cosidère le graphe ci-dessous : A ) Existe-t-il u cycle eulérie? ue chaîe eulériee? Si oui idiquez-e u(e) ) Doer ue plus courte chaîe allat de A à I. Exercice 8. Au er javier 000, la populatio d ue ville se répartit égalemet etre locataires et propriétaires. La populatio globale e varie pas mais, chaque aée, pour raisos familiales ou professioelles, 0% des propriétaires devieet locataires tadis que 0% des locataires devieet propriétaires. ) O désige par p la probabilité qu u habitat de la ville choisi au hasard, soit propriétaire au er javier de l aée 000+ ( etier supérieur ou égal à 0), et par l, la probabilité qu il soit locataire. La matrice P 0 = (0,5 0,5) traduit l état probabiliste iitial et la matrice P = ( p l ) (avec, pour tout N, p + l = ) l état probabiliste après aées. a) Représeter la situatio à l aide d u graphe probabiliste, puis doer sa matrice de trasitio M b) Calculer l état probabiliste P. c) Détermier l état stable du graphe. Que peut-o e coclure pour la populatio de cette ville? ) À l aide de la relatio P + = P M, démotrer que, pour tout etier aturel, p = 0,7 p + + 0, ) O cosidère la suite (u ) défiie, pour tout etier aturel, par u = p a) Démotrer que la suite (u ) est ue suite géométrique de raiso 0,7. b) Exprimer u e foctio de et démotrer que p = ( 0,7) + 6 c) Calculer la limite de la suite (p ) et retrouver le résultat de la questio ) c) 6 B C F D E 6 5 J I Exercice 9. U guide touristique classe chaque aée les hôtels d ue certaie régio e deux catégories selo la qualité de leurs prestatios. Les plus cofortables sot classés das la catégorie A, les autres das la catégorie B. O costate que, chaque aée, 5% des hôtels de la catégorie A sot relégués das la catégorie B, alors que 0% des hôtels de la catégorie B sot promus das la catégorie A. ) Dessier u graphe décrivat cette situatio. ) écrire la matrice de trasitio associée à ce graphe e respectat l ordre alphabétique. ) E 00, le classemet était tel que le quart des hôtels étaiet classés das la catégorie A. Calculer l état de l aée 00, puis l état de l aée 00. ) L état (0,5 ; 0,5) est-il stable? Justifier cette répose. Exercices et problèmes de sythèse Exercice 0. Huit pays sot représetés ci-dessous avec leur frotière (deux pays dot les frotières ot qu u ombre fii de poits e sot pas cosidérés comme voisis) ) Représetez cette situatio par u graphe d ordre 8 dot les sommets sot les pays et les arêtes les frotières. ) a) Ce graphe est-il complet? coexe? b) Quel est le degré de chaque sommet? Déduisez-e le ombre d arêtes? ) a) Quelle est la distace etre les sommets et 5? b) Quel est le diamètre du graphe? ) a) Est-il possible de partir d u pays et d y reveir après avoir frachi chaque frotière ue fois et ue seule? b) est-il possible de partir d u pays, de frachir chaque frotière ue fois et ue seule et de termier e u autre pays? 5) Quel est le ombre maximum de pays sas frotière commue? Précisez de quels pays il s agit 6) Colorez les huit pays avec u ombre miimum de couleurs de telle faço que deux pays adjacets portet deux couleurs différetes Page / jgcuaz@hotmail.com
Exercice. ) Das u parc, il y a ciq bacs reliés etre eux par des allées. O modélise les bacs par les sommets A, B, C, D, E et les allées par les arêtes du graphe G ci-dessous : a) O désire peidre les bacs de faço que deux bacs reliés par ue allée soiet toujours de couleurs différetes. Doer u ecadremet du ombre miimal de couleurs écessaires et justifier. Détermier ce ombre. b) Est-il possible de parcourir toutes les allées de ce parc sas passer deux fois par la même allée? ) Ue expositio est orgaisée das le parc. La fréquetatio deveat trop importate, o décide d istaurer u pla de circulatio : certaies allées devieet à ses uique, d autres restet à double ses. Par exemple la circulatio das l allée située etre les bacs B et C pourra se faire de B vers C et de C vers B, alors que la circulatio das l allée située etre les bacs A et B e pourra se faire que de A vers B. Le graphe G ci-dessous modélise cette ouvelle situatio : b) O doe Combie y a-t-il de chemis de logueur 5 permettat de se redre du sommet D au sommet B? Les doer tous. c) Motrer qu il existe u seul cycle de logueur 5 passat par le sommet A. Quel est ce cycle? E est-il de même pour le sommet B? Exercice. U cocert de solidarité est orgaisé das ue grade salle de spectacle. A ce cocert sot coviés sept artistes de reommée iteratioale : Luther Alluiso (A), Joh Biaise (B), Phil Collie (C), Bob Ditlâe (D), Jimi Edisque (E), Robert Fripe (F) et Rory Garaguerre (G). Les différets musicies ivités refusat de jouer avec certais autres, l'orgaisateur du cocert doit prévoir plusieurs parties de spectacle. Les arêtes du graphe Γ ci-dessous idiquet quels sot les musicies qui refuset de jouer etre eux. a) Doer la matrice M associée au graphe G. (O ordoera les sommets par ordre alphabétique). ) Détermier la matrice associée au graphe Γ (les sommets de Γ état classés das l'ordre alphabétique). ) Quelle est la ature du sous-graphe de Γ costitué des sommets A, E, F et G? Que peut-o e déduire pour le ombre chromatique χ( Γ ) du graphe Γ? ) Quel est le sommet de plus haut degré de Γ? E déduire u ecadremet de χ( Γ ). ) Après avoir classé l'esemble des sommets de Γ par ordre de degré décroissat, colorier le graphe G figurat e aexe. 5) Combie de parties l'orgaisateur du cocert doit-il prévoir? Proposer ue répartitio des musicies pour chacue de ces parties. Page / jgcuaz@hotmail.com
Exercice. Deux fabricats de parfum lacet simultaémet leur ouveau produit qu ils ommet respectivemet Aurore et Boréale. Afi de promouvoir celui-ci, chacu orgaise ue campage de publicité. L u d eux cotrôle l efficacité de sa campage par des sodages hebdomadaires. Chaque semaie, il iterroge les mêmes persoes qui toutes se proocet e faveur de l u de ces deux produits. Au début de la campage, 0 % des persoes iterrogées préfèret Aurore et les autres préfèret Boréale. Les argumets publicitaires fot évoluer cette répartitio : 0% des persoes préférat Aurore et 5 % des persoes préférat Boréale chaget d avis d ue semaie sur l autre. La semaie du début de la campage est otée semaie 0. Pour tout etier aturel, l état probabiliste de la semaie est défii par la = a b, où a désige la probabilité qu ue persoe matrice lige ( ) P iterrogée au hasard préfère Aurore la semaie et b la probabilité que cette persoe préfère Boréale la semaie.. Détermier la matrice lige P 0 de l état probabiliste iitial.. Représeter la situatio par u graphe probabiliste de sommets A et B, A pour Aurore et B pour Boréale.. a. Écrire la matrice de trasitio M de ce graphe e respectat l ordre alphabétique des sommets. b. Motrer que la matrice lige P est égale à (0, 0,7).. a. Exprimer, pour tout etier aturel, P e foctio de P 0 et de. b. E déduire la matrice lige P. Iterpréter ce résultat. 5. Soit P = (a b) la matrice lige de l état probabiliste stable. a. Détermier a et b. b. Le parfum Aurore fiira-t-il par être préféré au parfum Boréale? Justifier. Page 5/ jgcuaz@hotmail.com
GRAPHES - CORRECTION Exercice Sommet A B C D E F G H I Degré 6 6 Exercice Les espios d u même pays sot otés et, et, 5 et 6 ) Graphe ) Ce graphe est pas complet car deux espios d u même pays e s espioet pas, doc les sommets correspodats e sot pas adjacets. E revache ce graphe est coexe car etre tout couple de poits, il existe au mois ue chaîe ) Les sommets sot tous de degré car chaque espio e espioe quatre autres Autremet dit : Sommet 5 6 Degré La somme des degrés état égale au double du ombre d arêtes, celui-ci vaut Exercice a) Si le graphe simple cotiet sommets, chacu de ceux-ci est de degré au maximum égal à, d où ue somme totale des degrés égale au plus à. Puisque cette somme est égale au double du ombre d arêtes, ce ombre d arêtes e peut excéder 6, doc e peut pas être égal à 7. b) Si le graphe simple cotiet 5 sommets, chacu de ceux-ci est de degré au maximum égal à, d où ue somme totale des degrés égale au plus à 0. Puisque cette somme est égale au double du ombre d arêtes, ce ombre d arêtes e peut excéder 0, doc e peut pas être égal à. b) Si le graphe simple cotiet 0 sommets, chacu de ceux-ci est de degré au maximum égal à 9, d où ue somme totale des degrés égale au plus à 90. Puisque cette somme est égale au double du ombre d arêtes, ce ombre d arêtes e peut excéder 5, doc e peut pas être égal à 6. Exercice ) ) Ce graphe est pas complet car, par exemple, et e sot pas adjacets. Il est pas coexe car il existe pas de chaîe reliat et. E revache, il admet deux sous graphes coexes (,,,6,7,8) (,5,0) et u poit isolé 9 ) Si l'adage "les amis de os amis sot os amis" était vérifié la composate coexe (,,,6,7,8) serait complète Exercice 5 ) ) Il faut procéder à ue coloratio du graphe Le sommet de plus fort degré est F ou D, de degré 5. Le sous-graphe complet d ordre maximal est d ordre, par exemple B,L,F,D. Le ombre chromatique χ vérifie doc χ 5 +, c est-à-dire χ 6 Classos les sommets das l ordre décroissat de leur degré et appliquos l algorithme de coloratio de Welch et Powell Degré Sommet Couleur 5 D Couleur 5 F Couleur B Couleur CH Couleur L Couleur I Couleur NL Couleur Exercice 6 Graphe Matrice 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Page 6/ jgcuaz@hotmail.com
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 de départ) ou à. Pour le premier graphe, c est impossible, tous les sommets état de degré impairs. Pour les trois autres graphes, c est possible. E ce qui cocere le ème graphe, tous les sommets état de degré pair, o a même l existece d u cycle eulérie. Exercice E umérotat les pièces et e matérialisat les portes par des arêtes, o traduit la situatio par le graphe ci-dessous : Exercice 7 Le er et le ème graphe peuvet associés à la matrice, avec les umérotatios : Le deuxième e possède pas de sommet de degré égal à () Exercice 8 U graphe possible est : Se promeer das la maiso e passat par chacue des ouvertures reviet à chercher l existece d ue chaîe eulériee Seuls deux sommets état de degré impairs ( et ), les autres état de degré pair, il est possible de trouver ue chaîe eulériee associée à ce graphe. Pour la deuxième situatio, il est écessaire de crére u 6 ème sommet ommé «extérieur» (E) Exercice 9 E rajoutat deux arêtes (e rouge), o peut redre ce graphe coexe Exercice 0 Tracer les figures «sas lever» le crayo reviet à exhiber ue chaie eulériee. Or ceci est possible que si et seulemet si le ombre de sommets de degré impair est égal à 0 (o aura affaire à u cycle eulérie, doc le retour se fera sur le sommet Il existe maiteat quatre sommets de degré impairs (,, et E), les autres état de degré pair, il est impossible de trouver ue chaîe eulériee associée à ce graphe. Exercice Trouver des itiéraires qui permettet de parcourir ue seule fois chaque route reviet à trouver ue chaîe eulériee (voire u cycle) associée à ce graphe. Tous les sommets état de degré pair, le théorème d Euler assurer l existece d u cycle eulérie (doc d ue chaîe eulériee) a) E-C-D-A-C-B-E est u exemple. b) il existe pas de chaîe eulériee partat de C et e termiat à D c) A-D-C-E-B-C-A est u exemple. Page 7/ jgcuaz@hotmail.com
Exercice E umérotat,, les sommets A,B,C, La matrice associée à ce graphe est 0 A = 0 (attetio, le graphe état pas orieté, la matrice est pas symétrique) 0 0 O calcule A = La matrice A ous permet d affirmer qu il existe : - chaîes de logueur etre A et B - chaîes de logueur etre B et A - chaîes de logueur etre B et B Exercice ) Les sommets du graphes état les villes, et les arêtes état les liaisos, u graphe représetat la situatio est : Il existe au mois u vol de chaque ville V i vers chaque ville comportat au plus deux escales, car le diamètre du graphe est égal à 0 0 0 0 0 ) a) La matrice M associée à ce graphe est M = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 b) O calcule M = 0 0 et M = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 c) O calcule : V j, i j, 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 M + M + M = + + 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = Cette derière matrice e comportat pas de 0, et e comportat que des etiers iférieurs ou égaux à, il existe toujours ue chaie de logueur au plus égale à etre deux aéroports, c est-à-dire u voyage comportat au plus deux escales. O retrouve le résultat précédet. Exercice 5 Le premier graphe a pour diamètre Le deuxième graphe a pour diamètre Le troisième graphe a pour diamètre Le quatrième graphe a pour diamètre 6 Exercice 6 ) Puisque seuls les sommets E et G sot de degré impairs, ce graphe admet ue chaîe eulériee. Il est possible que l aget de sécurité passe ue fois et ue seule par tous les chemis de cette usie. U exemple de trajet est EGCBECDEFGBAG ) L aget de sécurité e peut pas reveir à so poit de départ car le théorème d Euler iterdit l existece d u cycle eulérie, e raiso des deux sommets E et G de degré impair. ) O détermie le temps miimum de parcours grâce à l algorithme de Dijkstra : A B C D E F G Sommet choisi 0 0+6 + + + + 0+ G () =6 (A) = (A) + +8 =0 (G) +0 = (G) + +5 =7 (G) +8 =0 (G) + F (0) C() + +7 0+8=8 (F) D(9) =9 (C) +=6 (C) E(6) + 6+ D(8) =8 (E) O trouve pour chemi miimum le chemi AGCED, de poids 8 Page 8/ jgcuaz@hotmail.com
Exercice 7 ) Les sommets D et F sot de degré impair, et tous les autres de degré pair. O coclut, grâce au théorème d Euler, à l existece d ue chaîe eulériee, mais pas à celle d u cycle eulérie. Ue chaîe eulériee est, par exemple, DBCABFDEGHIJEF ) O détermie le temps miimum de parcours grâce à l algorithme de Dijkstra A B C D E F G H I J Sommet choisi 0 0+6 =6(A) + =8(B) 0+ =(A) 7+ =9(F) 7+ =(F) 9+ =(D) 6+ =7(B) +6 =7(E) 6+ =9(J) O trouve pour chemi miimum le chemi ABFEJI, de poids 9 +5 =6(E) C() B(6) F(7) D(9) E() J(6) I(9) Exercice 8 ) a) Si o ote P la probabilité d être propriétaire, et L celle d être locataire, p P =, p ( L ) = 0,, p ( P ) = 0, et l éocé fourit les idicatios p ( ) 0,9 p ( L ) = 0,8 L la situatio se traduit par le graphe probabiliste : La matrice de trasitio de ce graphe est 0,9 0, M = 0, 0,8 p L b) O calcule 0, 9 0, P = P0 M = = 0, 0,8 + + ( 0,5 0, 5) ( 0,5 0,9 0,5 0, 0,5 0, 0, 5 0,8) = ( 0,55 0,5) c) L état stable ( ) x y de ce graphe vérifie x + y = et 0,9 0, x = 0,9x + 0,y ( x y) = ( x y) 0, 0,8 y = 0,x + 0,8y E utilisat la relatio x + y =, le système deviet doc 0, x = = 0,x + 0, y 0,x + 0,( x) = 0 0,x = 0, 0, x + y = y = x y = x y = = L état stable du graphe est doc. O peut aisi coclure qu au bout d u grad ombre de mois, le ombre de propriétaires ted vers ue proportio de, tadis que celui des locataires ted vers ue proportio de. ) À l aide de la relatio P + = P M, o écrit : 0,9 0, p+ = 0,9 p + 0, q ( p+ q+ ) = ( p q ) 0, 0,8 q+ = 0,p + 0,8q E utilisat la relatio p + q =, o déduit que p+ = 0,9 p + 0, ( p ) p+ = 0,7 p + 0, 7 7 ) Pour tout etier, o a u = 0,7 p + 0, 0, 7 p 0, 7 p 5 + = 5 = 7 0 C est-à-dire u = + 0, 7u. La suite (u ) est doc ue suite géométrique de raiso 0,7, et de premier terme u0 = p0 = = 6 Page 9/ jgcuaz@hotmail.com
b) Aisi, pour tout etier, u = 0,7, et puisque 6 u = p p = u +, o e déduit que p = ( 0,7) + 6 c) Puisque 0 < 0, 7 <, lim ( 0, 7) = 0 et par suite lim p = + + O retrouve le résultat de la questio ) c) Exercice 9 ) Si o ote A la probabilité pour u hôtel d être classé das la catégorie A, et B celle d être classée das la catégorie B, l éocé fourit les idicatios p A =, p ( B ) = 0,05, p ( A ) = 0, et p ( B ) = 0,8 A ( ) 0,95 A la situatio se traduit par le graphe probabiliste : B 0,95 0, 05 ) La matrice de trasitio de ce graphe est M = 0, 0,8 ) L état de l aée 00 sera égal à : 0,95 0,05 0, 5 0,75 = 0, 5 0,95 + 0, 0,75 0, 5 0,05 + 0,75 0,8 0, 0,8 = 0, 875 0, 65 ( ) ( ) ( ) L état de l aée 00 sera égal à : 0,95 0,05 0,875 0, 65 = 0,875 0,95 + 0, 65 0, 0,875 0, 05 + 0, 65 0,8 0, 0,8 = 0, 9065 0,50975 ( ) ( ) ( ) ) L état = ( 0,5 0,5) est pas stable car B 0,95 0, 05 0, 0,8 = + + ( 0,5 0,5) ( 0,5 0,95 0,5 0, 0,5 0, 05 0,5 0,8) ( 0,575 0, 5) ( 0,5 0,5) = Exercices et problèmes de sythèse Exercice 0 ) Ue représetatio possible peut être : ) a) Ce graphe est pas complet ( et 6 e sot pas adjacets) mais est coexe. b) Sommet 5 6 7 8 Degré La somme des degrés vaut +++++++=6. Il y a doc arêtes ) a) La distace etre les sommets et 5 vaut b) Ce graphe a pour diamètre ) a) Puisque tous les sommets e sot pas de degré pair, ce graphe admet pas de cycle eulérie, doc il est pas possible de partir d u pays et d y reveir après avoir frachi chaque frotière ue fois et ue seule. b) Puisque deux sommets exactemet sot de degré impair, ce graphe admet ue chaîe eulériee, doc il est possible de partir d u pays, de frachir chaque frotière ue fois et ue seule et de termier e u autre pays. 5) O doit costruire u ouveau graphe ou deux pays serot adjacets s ils ot pas de frotière commue Le plus grad sous-graphe complet de ce graphe a pour ordre Le ombre maximum de pays sas frotière commue est doc égal à 6) Le degré maximum état égal à, et le plus grad sous graphe complet état d ordre (,,,8), le ombre chromatique χ du graphe vérifie χ 5 Page 0/ jgcuaz@hotmail.com
O applique l algorithme de coloratio de Welch et Powell Sommet Degré Couleur Couleur Couleur Couleur Couleur 6 Couleur 8 Couleur 5 Couleur 7 Couleur O déduit de cette coloratio que χ = Exercice ) a) Notos χ le ombre chromatique de ce graphe, c est-à-dire le ombre miimal de couleurs à utiliser pour que deux bacs adjacets e soiet pas de la même couleur. Puisque le sous-graphe BCD est complet, o aura χ et puisque le degré maximum est égal à (sommets B et D), o aura χ +, c est-à-dire, au fial, χ. O procède à ue coloratio grâce à l algorithme de Welch et Powell : Sommet Degré Couleur B Couleur D Couleur A Couleur C Couleur E Couleur Aisi χ = b) Le ombre de sommets de degré impair état exactemet égal à deux, il existe ue chaîe eulériee, doc il est possible de se promeer ue seule fois das toutes allées du parc ) a) La matrice M associée au graphe G est 0 0 0 0 0 0 M = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 b) A partir de la matrice o e déduit qu il existe 5 chemis de logueur 5 permettat de se redre du sommet D au sommet B (terme à l itersectio de la ème lige et de la ème coloe) Ces chemis sot DEDEAB, DEAEAB, DEABCB, DCBDCB, DCDEAB c) D après la matrice, il existe u seul chemi de logueur 5 reliat A à A. Ce chemi est doc l uique cycle coteat le sommet A, car tout cycle peut être cosidéré das importe quel ordre. Ce cycle est ABCDEA. E revache, il existe 5 cycles de logueur 5 coteat le sommet B. Exercice 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) La matrice associée au graphe Γ est M = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) Le sous graphe AEFG est complet. Comme il est d ordre, o déduit que χ( Γ) ) Le sommet de plus haut degré de Γ est F, de degré 6. Aisi χ( Γ) 6 +, et o déduit que χ( Γ) 7 ) O procède à ue coloratio grâce à l algorithme de Welch et Powell : Sommet Degré Couleur F 6 Couleur E 5 Couleur G Couleur A Couleur C Couleur B Couleur D Couleur 5) L orgaisateur doit prévoir parties : Partie : F Partie : E,D Partie : G,B Partie : A,C Page / jgcuaz@hotmail.com
Exercice. Puisqu au début de la campage, 0 % des persoes iterrogées préfèret Aurore, o aura a 0 = 0, doc b 0 = 0,8. La matrice lige P 0 de l état probabiliste iitial est doc P = ( 0, 0,8). Le graphe probabiliste sera costitué de deux sommets A et B origies et extrémités de deux arètes orietées et podérées. L arête reliat A à B das le ses A->B sera podérée par la probabilité qu ue persoe préférat Aurore ue semaie doée, ait chagé pour Boréale la semaie suivate, soit 0,. O obtiet aisi :. a. La matrice de trasitio M de ce graphe e respectat l ordre alphabétique des sommets est égale à : 0,9 0, M = 0,5 0,85 b. O a : 0,9 0, P = P0 M = ( 0, 0,8) 0,5 0,85 = + + = ( 0, 0,9 0,8 0,5 0, 0, 0,8 0,85) ( 0, 0, 7). a. Pour tout etier aturel, P = P0 M 0,9 0, = 0 = 0, 0,8 0,5 0,85 A l aide d ue calculatrice, après avoir défii das le meu MATRICE, ue matrice [A], de dimesio correspodat à P 0 et ue matrice [B], de dimesio correspodat à M, o calcule : b. Aisi, P P M ( ) 0 5. a. L état stable P=(a b) est solutio de l équatio matricielle 0,9 0, P = PM ( a b) = ( a b). 0,5 0,85 De surcroît, o a a + b = b = a a = 0,9a + 0,5b Les ombres a et b sot doc solutios du système que l o a + b = b = a résout : a = 0,9a + 0,5b a = 0,9a + 0,5( a) a = 0,9a + 0,5 0,5a a + b = b = a b = a b = a 0,5 0, 5a = 0,5 a = a = 0, 6 a = 0, 6 0,5 b = a b = 0,6 b = 0, b = a L état stable est doc P = (0,6 0,) b. O peut doc estimer qu à terme, 60% de la populatio sera favorable au parfum Aurore, qui sera doc préféré au parfum Boréale Aisi, P = ( 0, 5 0,56875) O peut estimer qu au bout de la ème semaie de campage, plus de % de la populatio sera favorable au parfum Aurore. Page / jgcuaz@hotmail.com