TS La contnuté des fonctons (1) Notons générales Approche graphque II. Eemples 1 ) Eemple 1 La foncton «carré» est contnue sur R. Dans ce chaptre, on va s ntéresser à une nouvelle famlle de fonctons, très mportante en analyse, dont l ntérêt n apparaîtra que dans le chaptre suvant. y 2 I. Noton ntutve de contnuté La noton est eplctée dans le cadre graphque. 1 ) «Défnton» n dt qu une foncton défne sur un ntervalle I est contnue sur I s sa courbe représentatve ne présente aucune rupture (on peut tracer la courbe sans lever le crayon de la feulle). Une défnton plus mathématque sera donnée dans l ensegnement supéreur. Le programme demande de se lmter à une approche ntutve et «naïve». Cette année, on se contentera donc de cette «défnton». Du coup, toutes les proprétés des fonctons contnues seront admses sans démonstraton. 2 ) Illustraton graphque permettant de comprendre l dée de contnuté 2 ) Eemple 2 La foncton «nverse» est contnue sur ; 0 et sur 0 ;. Sa courbe représentatve est consttuée de deu morceau (on parle de «branches») ; chacun d eu peut être tracé sans lever le crayon ; l y a pour cela deu tracés séparés. C f 1 y La courbe est tracée sans lever le crayon sur tout l ntervalle. En gros, l n y a pas d arrêt n de redémarrage. n dra que la courbe est contnue ou que le tracé est «contnu». Le terme de contnu sera cependant réservé au fonctons. 1 2
3 ) Eemple 3 La courbe C c-dessous est la représentaton graphque d une foncton f défne sur l ntervalle C 3 ; 2. 2 ) Commentares La proprété précédente eprme que la dérvablté entraîne la contnuté. En revanche, la récproque de cette proprété est fausse : la contnuté n entraîne pas la dérvablté (s une foncton est contnue sur un ntervalle, elle n est pas forcément dérvable sur cet ntervalle). Par eemple : - la foncton «valeur absolue» est contnue sur R mas n est pas dérvable en 0. - la foncton «racne carrée» est contnue sur 0 ; mas n est pas dérvable en 0. La contraposée de la proprété est vrae c est-à-dre que la non-contnuté entraîne la non-dérvablté (s une foncton n est pas contnue sur un ntervalle, alors elle n est pas dérvable sur cet ntervalle). 3 ) Corollare Les fonctons polynômes sont contnues sur R. n a un pont de non-contnuté (rupture). La courbe présente une rupture au nveau du pont d abscsse 1. La foncton f n est pas contnue sur l ntervalle 3 ; 2 (elle présente une dscontnuté en 1). III. Contnuté des fonctons de référence 1 ) Proprété (admse sans démonstraton) Les fonctons affnes, «carré», «nverse», «racne carrée», «cube», «valeur absolue», «cosnus», «snus» sont contnues sur tout ntervalle nclus dans leur ensemble de défnton. Les fonctons ratonnelles sont contnues sur leur ensemble de défnton. V. pératons sur les fonctons contnues 1 ) Proprété 1 (admse sans démonstraton) La somme de deu fonctons contnues sur I est contnue sur I. Le produt de deu fonctons contnues sur I est contnu sur I. Le quotent d une foncton contnue sur I par une foncton contnue sur I, qu ne s annule pas sur I, est contnu sur I. 2 ) Autres fonctons La foncton n ( n N ) est contnue sur R. La foncton 1 n * ( n N ) est contnue sur ; 0 et sur 0 ;. IV. Len entre contnuté et dérvablté 1 ) Proprété (admse sans démonstraton) Une foncton dérvable sur un ntervalle I est contnue sur I. 2 ) Proprété 2 (admse sans démonstraton) La composée de deu fonctons contnues est contnue. 3 ) Pont-méthode : comment ustfer la contnuté d une foncton sur un ntervalle n regarde s f est une foncton polynôme. n regarde s f est une foncton ratonnelle. n applque les règles d opératons. 3 4
VI. Un eemple de foncton non contnue : la foncton parte entère La noton de parte entère a déà été rencontrée lors de smulatons d epérences aléatores sur calculatrce ou tableur. 1 ) Défnton de la parte entère d un réel Pour tout réel, l este un unque enter relatf n tel que l on at n n 1. large strct Cet enter relatf n est appelé la parte entère de. E. n le note n a donc : 2 ) Eemples E,7 E 3,6 4 E 2 2 E 3 En n E E 1. car,7 6 (la parte entère d un réel postf correspond à sa troncature * à l unté) car 4 3,6 3 car 2 2 1 car 3 4 ** pour nz car n n n 1 * La troncature d un décmal consste à couper les décmales du nombre à partr d un rang donné ; la troncature à l unté consste à lasser tomber tous les chffres après la vrgule. Il faut ben noter que l epresson «parte entère» est employée en 6 e pour un nombre décmal postf pour désgner le nombre formé par les chffres avant la vrgule (parte avant la vrgule). n emploe également à cette occason l epresson «parte décmale». Le sens coïncde avec évdemment avec celu donné dans ce cours (mas unquement pour les nombres décmau postfs). ** Il faut ben se souvenr de la sgnfcaton pas évdente quand on le vot pour la premère fos du symbole («nféreur ou égal»). Par eemple, on peut ben écrre 2 3 (même s 2 n est pas égal à 3). Autre formulaton : La parte entère d un réel est le plus grand enter relatf nféreur ou égal à. 3 ) Caractérsaton de la parte entère d un réel E C 1 : nz n sgnfe C 2 : n n 1 4 ) Sur la calculatrce Sur calculatrce TI : Appuyer sur la touche math, sélectonner NUM pus chosr : Int( [«Int» pour «nteger» qu veut dre enter en anglas] ou partent( [abrévaton de parte entère]. Attenton, la commande Part que l on obtent en chosssant 3 ne donne pas la parte entère mas la troncature à l unté du nombre ; autrement dt : Part( nt (par eemple, avec 3, : Part 3, 3 alors que la parte entère de 3, est égale à 4). La troncature à l unté est égale à la parte entère unquement dans le cas où le nombre est postf ou s c est un enter négatf. En revanche, elle n est pas égale à la parte entère pour un réel négatf non décmal. TI-83 Premum CE Aller dans math, sélectonner NBRE pus chosr : partent Attenton, le cho 3 : ent( correspond à la troncature à l unté). n ne l utlse pas. Sur calculatrce CASI : PTN pus NUM (la touche F ) pus Intg (la touche F ). ) Proprété mportante Énoncé R Démonstraton Hypothèses H 1 : R H 2 : nz H 3 : p E n Z E n E n But : démontrer que E n p n. H 3 donne p p 1 1 p n n p n + n Le nombre p n vérfe les deu condtons : C 1 : p n est un enter relatf (car pz et nz) p n n p n C 2 : 1 D après la caractérsaton de la parte entère, on en dédut que E n p n. Donc E n E n. 6
E1,2 3,9 E,1 E 1, 2E 3,913 4 Il faut que nz. Pour enlever les petts «murs» - Pour les calculatrces TI Appuyer sur la touche mode, pus modfer «Connected» en «Dot» (qu sgnfe «pont» en anglas) ou «Relé» en «Non relé». Par eemple, E 4, ne peut être smplfé. 6 ) La foncton «parte entère» Défnton n appelle foncton «parte entère» la foncton E : on peut auss mettre E La foncton «parte entère» est à valeurs dans Z. Représentaton graphque 0 ;1 1; 2 E 0 E 1 R R Z. - Pour les calculatrces CASI Dans le menu GRAPH, 2de Set up D-Type : Plot Dans ce cas, la calculatrce ne place que les ponts qu elle a «calculés», comme on s en rend compte en lu demandant de tracer la courbe représentatve de la foncton «carré». La foncton «parte entère» est un eemple mportant de foncton non contnue. D autres eemples de fonctons non contnues (en partculer ssues de stuatons concrètes) seront donnés en eercces. - Sur Geogebra La parte entère est notée floor( ). VI. Un autre eemple de foncton non contnue : la foncton de répartton d une varable aléatore dscrète Sot X une varable aléatore qu prend un nombre fn de valeurs. n note F X sa foncton de répartton. Il s agt d une foncton constante par ntervalles. Sa représentaton graphque est consttuée de deu dem-drotes et de segments. Il n y a donc pas de mons d arrêt «en» et «en +». La représentaton graphque est consttuée de segments de drotes (sem-fermés à gauche, sem-ouverts à drote). n observera les ponts d arrêt. f est une foncton constante par ntervalles ou foncton en escaler. Attenton, la représentaton graphque de la foncton «parte entère» observée à l écran d une calculatrce graphque présente des segments vertcau : la calculatrce rele, à tort, les ponts de la représentaton graphque où la foncton «parte entère» présente une dscontnuté. 7 8
Hstorque : Les fonctons contnues consttuent une classe de fonctons, très mportante en analyse. Hstorquement, la noton de foncton contnue est apparue au début du XIX e sècle (on croyat alors que toutes les fonctons étaent contnues). La noton a été dégagée par Lous-Augustn Cauchy, mathématcen franças, entre autre professeur à l École Polytechnque et auteur d un lvre d analyse (Cours d analyse). Il faut cter également le nom du mathématcen Bolzano qu a trouvé et démontré le théorème des valeurs ntermédares qu sera étudé dans le chaptre suvant. 9