Chapitre 9: Vecteurs

Chapitre 9: Vecteurs Activité 2 p 314 : Découvrir la translation à l'aide de Géogebra I) Translation et vecteur s 1) Translation Propriété 1 (admise) : Soient A et B deu points du plan. Pour tout point C du plan, il eiste un unique point D tel que les segments [AD] et [BC] aient le même milieu. Définition 1 : Soient A et B deu points du plan. La translation qui transforme A en B est la transformation du plan qui associe à tout point C du plan l'unique point D tel que les segments [AD] et [CB] aient le même milieu. Eercices 17,20 p 329 (Image d'un polygone par une translation donnée, repérage du plan et translation ) 2) Vecteurs Définition 2 : Soit A et B deu points du plan. A la translation qui transforme A en B, on associe un segment orienté de A à B, appelé vecteur AB. Il est représenté par une flèche allant de A vers B. Illustration : Définition 3: Le point A est appelé origine du vecteur vecteur AB. AB, le point B est appelé etrémité du

Remarques : 1) Un vecteur AB ( non nul ) est caractérisé par: - Une longueur ( ou norme ): (celle du segment [AB],notée AB ) - Une direction ( celle de la droite (AB) ) - Un sens ( celui de A vers B ) 2) La translation qui à A associe B s'appelle aussi la translation de vecteur AB 3) Il eiste une infinité de vecteurs AB. 4) Un même vecteur possède plusieurs représentants. Les vecteurs AB, CD, EF sont des représentants du vecteur u. Définition 4 : Soit A un point du plan. La translation qui à A associe A est appelée translation de vecteur nul; on dit que AA est le vecteur nul, noté 0. Remarque : Le vecteur 0 n'a pas de direction, ni de sens, et a pour norme 0. II Opérations sur les vecteurs 1) Vecteurs égau Définition 5: Deu vecteurs AB et CD sont égau ( et on écrit si: - Ils ont la même longueur: AB=CD - Ils ont la même direction: les droites (AB) et (CD) sont parallèles ou confondues. - Ils ont le même sens: le sens des vecteurs AB et CD est identique. AB= CD ) si et seulement Propriété 2 (admise) : Soit A,B,C,D quatre points du plan. AB= CD si et seulement ABDC est un parallèlogramme si et seulement si les segments [AD] et [BC] ont le même milieu.

Propriété 3 (admise) : Soit A,B,I 3 points du plan. Le point I est le milieu du segment [AB] si et seulement si AI= IB Eemple 1 : Les quadrilatères ABGH,HGIC,DCEF,FEKJ étant des parallélogramme, donner les vecteurs égau au vecteurs AB et CD. Eercices 21,22,24,25,26 p 330 : Égalités de vecteurs, parallélogramme, th des milieu. Eercice 27 p 330 : Représentant d'un vecteur Activité 3 p 315 : Coordonnées d'un vecteur ( à la main ) 2) Coordonnées d'un vecteur dans un repère quelconque. Définition 6 : Soit (O,I,J) un repère du plan.les coordonnées du vecteur u sont celles du point M tel que OM = u. Si M(;y), on note ( ou (;y) les coordonnées du vecteur u y)

Remarques : 1 ) Le vecteur nul 0 a pour coordonnées (0;0) 2) Il arrive de noter le repère (O,I,J) de la manière suivante : (0; i ; j), où OI = i et OJ = j. 3) Les coordonnées du vecteur u sont les coordonnées du point M, image de dans la translation de vecteur u Propriété 4 : Soit (O,I,J) un repère du plan, A( A ; y A ), B( B ; y B ) deu points du plan. Alors AB ( B A y B y A). Preuve : Par définition, les coordonnées du vecteur AB sont celles du point M ( M ; y M ) tel que OM = AB. Comme OM = AB, on en déduit d'après la propriété 2 que le quadrilatère OMBA est un parallélogramme. Ainsi, [AM] et [OB] ont le même milieu, noté K ( K ; y K ). D'où 2 K = A + M et 2 K = B. On en déduit donc que M = B A. De même 2 y K = y A +y M et 2 y K = y B. On en déduit donc que y M = y B y A. Eemple 2 : Soit (O,I,J) un repère du plan, A( 2; 5), B(1 ; 4) et C ( 2 ; 3) trois points du plan. Déterminer graphiquement les coordonnées des vecteur AB, BC et AC. Vérifier ensuite algébriquement. Propriété 5 (admise) : Soit y), v ( ' quelconque.alors ( u= v) (= ' et y= y' ). deu vecteurs du plan dans un repère Eercices 28,31,36 p 330 : Déterminer les coordonnées d'un vecteur graphiquement et algébriquement + Parallélogramme Activité 4 p 315 : Somme de vecteur ( Geogebra ) 3) Addition vectorielle Définition 7 : La somme des deu vecteurs u et v est le vecteur associé à la translation résultant de l enchaînement de la translation de vecteur u puis de la translation de vecteur v. Propriété 6 : Relation de Chasles: Soient A,B,C 3points du plan. Alors AC = AB+ BC.

Eemple 3 : Soit A,B,C trois points du plan distincts. Eprimer 1) AB et AC 2) AC AB+ AC BC en fonction de : Propriété 7 : Règle du parallélogramme : Soient A,B,C,D quatre points du plan. ABDC est un parallélogramme si et seulement si AD= AB+ AC. Preuve : Supposons que ABDC soit un parallélogramme. Alors de Chasles, AD= AB+ BD, d'où AD= AB+ AC. BD= AC. Or, d'après la relation Réciproquement, supposons que AD= AB+ AC. Alors AB+ AD= AB+ AC, d'où conclusion. Propriété 8 ( admise) : Soient u, v et w trois vecteurs du plan. Alors : 1) u+ v = v + u 2) u+ 0= 0 + u= u 3) u+( v + w)=( u+ v)+ w Propriété 9 (admise) : Soit Alors u+ v ( + ' y+y'). Eemple 4 : Soit 1 coordonnées du vecteur 3 ), v ( 5 8) u+ v. y), v ( ' deu vecteurs du plan dans un repère. deu vecteurs du plan dans un repère. Déterminer les Définition 8 : Soit u un vecteur du plan. On appelle vecteur opposé au vecteur u un vecteur v tel que u+ v = v + u= 0. On note alors v = u. Remarque : Soit A et B deu points du plan. D'après la relation de Chasles, on a AB+ BA= AA= 0 et BA+ AB= BB= 0. On définit alors le vecteur BA comme étant l'opposé du vecteur AB, soit BA= AB. Il s'agit donc du vecteur associé à la translation qui transforme B en A Eercices 37,40( oral ), eercice 43 p 331 : Translation,relation de Chasles, application propriété 6 Eercice 67 p 334: Théorème des milieu et relation de Chasles 4) Différence de deu vecteurs Définition 9 : Soit u et v deu vecteurs du plan. -Le vecteur u v est le vecteur défini par u v= u+( v).

Propriété 10 (Admise ):Soit Alors v ( ', u v ( ' y y'). y), v ( ' deu vecteurs du plan dans un repère quelconque. Eercices 49,51 p 332 : Différence de 2 vecteurs, construction. Activité 5 p 315 : Produit d'un vecteur par un scalaire ( à la main ) 5) Produit d'un vecteur par un nombre réel Définition 10 : Soit y) est le vecteur de coordonnées un vecteur du plan dans un repère, k un nombre réel.le vecteur k u ( k k y). Remarque : 1) On admet que le vecteur définit précédemment est indépendant du repère. 2) Soit u un vecteur du plan, k R. Si k >0, les vecteurs k u et u ont même direction, même sens et k u =k u Si k <0, les vecteurs k u et u ont même direction, sont de sens opposé et k u = k u Si k=0, alors k u= 0 Eemple 5 : Construire le vecteur v ayant pour origine A tel que v =2 u, le vecteur w ayant pour origine A tel que w= 1 2 u. Faire un schéma! ( leur faire tracer un vecteur u représentant,et leur demander de tracer un Propriété 11 (admise) : Soit u et v deu vecteurs du plan dans un repère quelconque, k et k' deu nombres réels. Alors : - (k+k ' ) u=k u+k ' u - (k k ' ) u=k (k ' u) - k ( u+ v)=k u+k v Eemple 6 : Soit 1 3), v ( 5) 2 les coordonnées du vecteur 3 u 1 4 v. deu vecteurs du plan dans un repère quelconque. Déterminer Eercice 62 p 333 :Coordonnées d'une somme, d'un produit, d'une différence de deu vecteurs. III) Vecteurs colinéaires et géométrie 1) Vecteurs colinéaires Définition 11 : Deu vecteurs u et v du plan sont colinéaires si et seulement si il eiste un nombre réel k tel que u=k v.

Eercice 63,65 p 334 : Colinéarité de deu vecteurs, résolution d'équation du 1 er degré. Propriété 12 : Deu vecteurs du plan dans un repère sont colinéaires si et seulement si y ' ' y=0 Preuve : Si y) et v ( ' y) et v ( ' sont colinéaires, alors il eiste un nombre réel k tel que v=k u. Ainsi, '=k et y' =k y. On en déduit alors que y ' ' y=0. Réciproquement, soit deu vecteurs y ' ' y=0,soit y' =' y y) et v ( ' du plan dans un repère. Supposons que Si u= 0, alors u et v sont colinéaires. Si u 0, alors une de ses coordonnées est non nulle.supposons que 0. Alors y' = ' y. Posons k= '. Alors y' =k y et '=k, d'où v=k u. En conclusion, les vecteurs u et v sont colinéaires. Eemple 7 : Les vecteurs 3 w ( 9 5) sont-ils colinéaires? 5) et v ( 6 10) sont-ils colinéaires? Les vecteurs v ( 3 2 ) et Propriété 12 (admise) : Soit k R, u un vecteur du plan. k u= 0 si et seulement si k =0 ou u= 0 Eercice 64 p 334 : Application propriété 9 Remarque : Le vecteur nul 0 est colinéaire à tout vecteur. 2) Un code d'algorithme testant la colinéarité de 2 vecteurs

3) Applications en géométrie Propriété 13 (admise) : Soit A,B,C,D quatre points du plan. Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB et CD sont colinéaires. Eemple 8 : Soit ABC un triangle, M et S les points définis par AM = 1 2 BA et AS = 4 3 BC 1 2 AC. Démontrer que les droites (MS) et (BC) sont parallèles. Rédaction : D'après la relation de Chasles, on a MS= MA+ AS, d'où MS= 1 2 BA+ 4 3 BC 1 2 AC. Ainsi, MS= 1 2 ( BC+ CA)+ 4 3 BC 1 2 AC. Alors MS= 1 2 BC 1 2 CA+ 4 3 BC 1 2 AC. En conclusion, MS= 5 6 BC. On en déduit donc que les droites (MS) et (BC) sont parallèles. Propriété 1 (admise) : Trois points du plan A,B,C sont alignés si et seulement si les vecteurs AB et AC sont colinéaires. Eercices 70,71 p 334: Parallélisme, alignement. Eercices 105,108,112 : Colinéarité, relation de Chasles, milieu d'un segment DM: E 110,118p339