LE PRODUIT SCALAIRE I) COMPLEMENT ET ACTIVITES 1) La mesure algébrique 1.1 Définition et propriétés Définition : Soit (D) (O,I) une droite graduée ; M et N deux points sur la droite (D) d abscisses respectifs x M et x N le réel x N x M s appelle la mesure algébrique entre les points M et N et se note : MN Exercice 1 : 1- Calculer les mesures algébriques AE, EC, AI et BD - Déterminer l abscisse du point M pour que AM = 3 Exercice : 1- Montrer que sur une droite graduée on a : MN + NM = MM - Déterminer MN en fonction de NM Propriétés : Sur une droite graduée on : NM = MN MM = 0 MN + NM = MM (Relation de Shales ) MN = MN ) Activités Exercice : Dans la figure 1- Calculer la distance OB. - Calculer cos (OA ), OB ) en déduire OA OB cos (OA, OB 3- Soit H la projection orthogonale de B sur (OA), calculer OH OA ; Que pouvez-vous remarquer. 4- En déduire que : OH OA = OK OB où K est la projection orthogonale de B sur (OA). 5 Même questions pour la figure 1
II) DEFINITION DU PRODUIT SCALAIRE 1) Définition Soient u et v deux vecteurs On suppose que u 0 et v 0 Posons u = OA et v = OB et soit α la mesure en radian de l angle [AOB ] ; on a deux cas de figure qui se représentent : 0 α π ou π α π ; Soient H la projection orthogonale de B sur (OA) et K la projection orthogonale de A sur (OB) on a : On munie respectivement les deux droites de deux repères (O, OI ) et (O, OJ ) tels que OI = OJ 0 α π π α π On a OH et OA ont même signe donc OA OH 0 D où : OA OH = OA OH D autre part : cosα = OH on conclut que OB OH = OB cos α Et par suite : OA OH = OA OH = OA OB cos α De même : OK et OB ont même signe donc OB OK 0 D où : OB OK = OB OK D autre part : cosα = OK on conclut que OA OK = OA cos α Et par suite : OB OK = OB OK = OA OB cos α Finalement : OB OK = OA OH = OA OB cos α 0 On a OH et OA ont des signes opposés donc OA OH 0 D où : OA OH = OA OH D autre part : cos (π α) = OH on conclut que OB OH = OB cos(π α) Et par suite et comme cos(π α) = cosα on a : OA OH = OA OH = OA OB cos α De même : OK et OB ont des signes opposés ; donc OB OK 0 D où : OB OK = OB OK D autre part : cos (π α) = OK on conclut que : OA OK = OA cos(π α) Et par suite : OB OK = OB OK = OA OB cos α Finalement : OB OK = OA OH = OA OB cos α 0 Le réel OB OK = OA OH = OA OB cos α s appelle le produit scalaire des deux vecteurs u et v et se note u v Si u = 0 ou v = 0 on pose u v = 0
) Applications : Exercice 1 : 1- Calculer OA OB pour chaque figure - Calculer cosα dans la figure 3- Calculer OK dans la figure Exercice : Soit ABC un triangle équilatérale tel que : AB = 6 ; calculer AB AC. 3) Cas particuliers Soient O, A et B trois ponts du plan et α la mesure de l angle géométrique [AOB ] Si α = 0 on aura : OA OB = OA OB cos (0) = OA OB car cos (0) = 1 Si α = π on aura : OA OB = OA OB cos(π) = OA OB car cos(π) = 1 Si α = π on aura : OA OB = OA OB cos ( π ) = 0 car cos (π) = 0 III) PROPRIETES DU PRODUIT SCALAIRE 1) Propriétés principales 1.1 la symétrie Soient O, A et B trois ponts du plan et α la mesure de l angle géométrique [AOB ] On a : OA OB = OA OB cos(α) = OB OA cos(α) = OB OA on peut conclure de Propriété : Pour tous vecteurs u et v on a : u v = v u ; on dit que le produit scalaire est symétrique 1. La bilinéarité Propriété : Pour tous vecteurs u, v et w et pour tout réel k on a : u (v + w ) = u v + u w et (u + v) w = u w + v w u (kv) = k (u v) = (ku ) v On dit que le produit scalaire est bilinéaire 3
Propriété : Preuve : Soient AB et CD deux vecteurs non nuls ; C et D sont les projections respectives de C et D sur la droite (AB) on a : AB CD = AB C D Soient E un point tel que : AE = CD et soit E sa projection orthogonale sur la droite (AB) on a : AE = CD et puisque la projection orthogonale conserve le coefficient de colinéarité de deux vecteurs on a alors AE = C D d où Preuve de la colinéarité : AB CD = AB AE = AB AE = AB C D Supposons que les trois vecteurs u, v et w sont non nuls et posons u = AB, v = AC et w = CD u (v + w ) = AB (AC + CD ) = AB AD = AB AD = AB (AC + C ) D = AB AC + AB C D = AB AC + AB AE (car C D = AE ) = u v + u w 1.3 Le carré scalaire est positif Propriété et définition: Pour tout vecteurs u on a : u u 0 u u = 0 si et seulement si u = 0 Le réel positif u u s appelle le carré scalaire du vecteur u et se note par u ) Norme d un vecteur.1 Norme d un vecteur Soit u un vecteur tel que u = OA on a u u = OA OA = OA OA = OA d où OA = u u = (u ) Définition : Soit u un vecteur, le réel positif u u = (u ) s appelle la norme du vecteur u et se note u 4
. Une autre définition du produit scalaire Soient u et v deux vecteurs tels que u = OA et v = OB on a OA = u et OB = v et on sait que u v = OA OB = OA OB cos (α) Définition : = u v cos (α) Soient u et v deux vecteurs non nuls tels que : (u ), v α[π] ; on a u v = u v cos (α) Si u = 0 ou v = 0 on pose u v = 0 Remarque : Si u et v deux vecteurs non nuls tels que : (u ), v α[π] ; on a : co s(α) = Applications : Soient A(,1) ; B(5,0) et C(6,3) calculer la mesure de l angle (AC, AB ). u v u v Soient A et B deux points tels que AB = 4, construire le point M dans les deux cas suivants : 1- AM = 8 et AM BM = 16 - AM = 6 et AM BM = 1 3.3 Des identités remarquables Exercice En utilisant les propriétés principales du produit scalaire ; calculer : (α u + β v) (α u + β v) Propriétés : Soient u et v deux vecteurs on a : ( u + v) = u + (u v) + v = u + (u v) + v ( u v) = u (u v) + v = u (u v) + v ( u + v) ( u v) = u v 3) orthogonalité de deux vecteurs Définition : Remarques. On dit que deux vecteurs u et v sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul et on écrit u v Le vecteur nul est orthogonal avec tous les vecteurs. Si AB 0 et CD 0 on a : AB CD si et seulement si (AB) (CD). Exercice Soit ABC un triangle tel que AB = 1 et CB = CA =, soient D un point tel que DB DC = 0 et I milieu de [AB]. 1- Exprimer AD en fonction de AB et AC. - a) Montrer que AB AC = AB AI b) En déduire AB AC = 1 en déduire cosbac c) Calculer AB AD en déduire la nature du triangle BAD 3- Soit M un point tel que : 3MA + 7MC = 0 a) Exprimer AM en fonction de AC 5
b) Calculer AC AD c) Montrer que (MD) (AC) III) LES APPLICATIONS DU PRODUIT SCALAIRE. 1) Théorème d Al-Kashi Soit un triangle ABC on a : Théorème : BC = (BA + AC )² = (AC AB )² = AC + AB AB AC = AC + AB AB AC cos (BAC ). Dans un triangle ABC on a : BC = AC + AB AB AC cos (BAC ) Ce théorème est connu sous le nom d Al-Khasi ; c est une généralisation du théorème de Pythagore. Il nous permet de déterminer la longueur du troisième côté si on connait la longueur de deux côté et l angle qu ils définissent. Exercices : Déterminer la longueur du segment [BC] Soit ABC un triangle tel que AB = 3 ; AC = 4 et BC = 37 Déterminer AB AC et cos (BAC ). )Théorème de la médiane Théorème : Soit ABC un triangle et I milieu de [BC] ; on a : AB + AC = AI + BC² Le théorème de la médiane nous permet de calculer la longueur du médiane dans un triangle si on connait les longueurs des trois côtés. Preuve : En exercice (remarquer que AI = AB + AC ). Exercice : Soit ABC un triangle tel que AB = 1, AC = et BC = 1-a) Calculer cos(bac ) b) Calculer AB AC ) Soit I milieu de [BC], déterminer la longueur AI 3) Soit D un point tel que : DB + DC = 0 ; calculer AB AD puis déterminer la nature du triangle ABD. 6
3) Les relations métriques dans un triangle rectangle. Soit ABC un triangle ; A milieu de [BC] et H la projection orthogonale de A sur (BC). Montrer que : 1. AB AC = AC +AB BC². AB AC = AA BC² 3. AB AC = AB BH BC 4. AB AC = AC CH BC 5. AB AC = AH + HB HC 4 Théorème : Soit ABC un triangle ; A milieu de [BC] et H la projection orthogonale de A sur (BC). Le triangle ABC est rectangle en A si et seulement s il vérifie l une des conditions suivantes : AC + AB = BC² AA = BC² 4 AB = BH BC AC = CH BC AH = HB HC 7
Exercice 1 : Calculer le produit scalaire u v dans les cas suivants : π 1. u = 3 v = 5 (u ), v 4π. u = v = 10 (u ), v π 3. u = 3 v = 5 (u ), v EXERCICES SUR LE PRODUIT SCALAIRE 3 3 6 Exercice : 1- Calculer le produit scalaire AB AC dans les cas suivants, puis en déduire une valeur de BAC Exercice 5 : Soit ABCD un carré, I le milieu de [AB], J le milieu de [AD] et K le milieu de [ID]. Montrer que les droites (AK) et (BJ) sont perpendiculaires. - Calculer le produit scalaire AB CD, puis en déduire une valeur de (AB ), CD Exercice 3 : Soit ABC un triangle tel que BC =, AC = 3 et ACB = π 6 1- Calculer AB puis déterminer une mesure de BAC. - Soit H la projection orthogonale de A sur (BC) Montrer que AH + BH CH = 0 3- Calculer BH et CH ; En déduire que 3 BH + HC = 0 4- Montrer que pour tout point M du plan on a : 3MB + MC = 4MH + 3 5- Déterminer l ensemble des points M dans le plan tel que : 3MB + MC = 6 Exercice 6 : ABCD est un carré de côté et de centre O. On note I le milieu de [AB]. 1) Démontrer que l ensemble des points M tels que AB AM = est la droite (OI). ) a) Démontrer que MA MB = MI 1 b) En déduire que l ensemble des points M tels que MA MB = 4 est le cercle de centre I passant par C. Exercice 7 : Soient A et B deux points distincts du plan et I milieu de [AB]. Considérons l ensemble (C) = {M P ; MA MB = 0 } 1-Montrer que M (C) IM = AB - En déduire la nature de (C) 3- Soit C un point de (C) diffèrent de A et de B ; que pouvez-vous dire du triangle ABC Exercice 4 : Soit (C) un cercle de centre O et A, B et C trois points distincts de (C). On note H le projeté orthogonal de A sur la droite (BC), D l intersection entre la hauteur (AH) et le cercle (C) et E le point du cercle diamétralement opposé à A. Montrer que : AB CD = AC AD = AE AH 8