Dans le premer chaptre, nous avons présenté l ensemble Z des enters relatfs. S cet ensemble est stable pour les opératons usuelles, on pourra auss défnr une relaton de dvsblté qu nous permettra de découvrr les proprétés fondamentales de l arthmétque. D alleurs, on s nsprera de ce chaptre pour construre l arthmétque des polynômes... 1 L anneau des enters relatfs Z 2 1.1 Structure algébrque................................ 2 1.2 Dvseurs et multples d un enter......................... 2 1.3 Dvson eucldenne dans Z et congruence.................... 3 2 PGCD et PPCM de deux enters 4 2.1 Défnton du PGCD de deux enters naturels.................. 4 2.2 Enters premers entre eux............................. 5 2.3 Défnton du PPCM de deux enters naturels.................. 6 3 Un sous-ensemble partculer : les nombres premers 7 3.1 Défnton et premers exemples.......................... 7 3.2 Décomposton prmare d un enter naturel................... 7 Lste non exhaustve des capactés attendues Connaître les proprétés algébrques dans Z Utlser les proprétés élémentares de dvsblté Détermner la dvson eucldenne entre deux enters Construre des algorthmes permettant d obtenr les dvseurs d un enter, le pgcd de deux enters Connaître la défnton et détermner le PGCD de deux enters par l algorthme d Euclde Montrer que deux enters sont premers entre eux Utlser les théorèmes assocés aux nombres premers entre eux Résoudre des équatons dophantennes Connaître la défnton et détermner le PPCM de deux enters Connaître les proprétés des nombres premers et de leur ensemble Donner et utlser la décomposton prmare d un enter naturel Utlser les relatons de congruence et leurs compatbltés avec les opératons usuelles (...)
1 L anneau des enters relatfs Z 1.1 Structure algébrque Défnton On rappelle que l ensemble des enters relatfs Z est composé des enters naturels et de leur opposé, c est à dre : Z = n, n N} n, n N} Proprété 1 (structure algébrque). Dans Z, on note + et les los d addton et de multplcaton usuelles. Alors, mun de ces deux los, on a adms que (Z, +, ) état un anneau commutatf, c est à dre : la lo + est une lo de composton nterne : (a, b) Z 2, a + b Z la lo + est assocatve : (a, b, c) Z 3, a + (b + c) = (a + b) + c la lo + possède un élément neutre, 0 : a Z, a + 0 = 0 + a = a (Z, +) est un groupe commutatf : tout élément appartenant à Z possède un symétrque pour la lo +, appelé opposé : a Z, b Z, a + b = b + a = 0 la lo + est commutatve : (a, b) Z 2, a + b = b + a la lo est une lo de composton nterne : (a, b) Z 2, a b Z la lo est assocatve : (a, b, c) Z 3, a (b c) = (a b) c la lo vérfe les condtons : la lo possède un élément neutre, 1 : a Z, a 1 = 1 a = a la lo est commutatve : (a, b) Z 2, a b = b a la lo est dstrbutve par rapport à l addton : (a, b, c) Z 3, a (b + c) = a b + a c et (a + b) c = a c + b c Remarque Attenton, dans un anneau commutatf, tous les éléments n ont pas forcément de symétrque ou d nverse, par la lo. Par exemple, tous les éléments non nuls de Z ne sont pas forcément nversbles dans Z, à l excepton de ±1. Ces éléments seront notés U(Z) de sorte que : U(Z) = ±1} 1.2 Dvseurs et multples d un enter Défnton Soent a, b Z. On dt que a dvse b dans Z, que l on note a b, s l exste q Z tel que b = aq. Dans ce cas, on dt que a est un dvseur de b, ou que b est un multple de a. Remarque On convent alors de noter az l ensemble des multples de a, et D b l ensemble des dvseurs de b. a mmédatement : 0Z = 0} et D 0 = Z, En partculer, on ±1Z = Z et D ±1 = 1, 1}, pour tout a Z, 1, 1, a, a} D a. Proprété 2 (proprétés élémentares). Soent a, b, c, u, v Z et n N. Alors, on a: () a a () (a b et b a) a = b () (a b et b c) a c (v) a b ac bc (v) (a b et a c) a bu + cv (v) a b a n b n On se ramène smplement à la défnton précédente pour démontrer chacune de ces proprétés. Exemple 1 1. Montrer que pour tout n mpar, 8 n 2 1. 2. Montrer que pour tout n N, 7 2 3n 1. Remarque S on restrent la relaton de dvsblté à l ensemble N, les proprétés précédentes mplquent qu l s agt d une relaton d ordre partel : elle est réflexve d après () elle est antsymétrque d après () et elle est transtve d après () mas tous les enters naturels ne sont pas comparables par cette relaton: 2 3 et 3 2 2
Proprété 3 (dvson et négalté). Soent a, b Z avec b 0 et tels que a b. Alors, a b. On revent à la défnton de la dvsblté, et on utlse la compatblté de et dans R. Proprété 4 (caractérsaton des enters assocés). Soent a, b Z. Alors: a b et b a a = b az = bz S l une de ces assertons est vérfée, on dt alors que a et b sont des enters assocés. Notons (), (), () ces assertons, on procèdera de façon cyclque afn de démontrer: () () () (). 1.3 Dvson eucldenne dans Z et congruence Théorème 5 (de la dvson eucldenne). () Soent a, b N tels que b 0. Alors, l exste un unque couple (q, r) N 2 tel que : a = bq + r 0 r < b () Plus généralement, s a, b Z tels que b 0, alors l exste un unque couple (q, r) Z N tel que : a = bq + r 0 r < b. Dans tous les cas, q et r seront appelés le quotent et le reste dans la dvson eucldenne de a par b. Dans le premer pont, on s ntéresse d abord à l exstence, pour laquelle on ntrodura l ensemble E = q N, bq a}, pus à l uncté. La généralsaton découle alors du premer résultat, mas l ne faudra pas oubler de vérfer les deux condtons. Exemple 2 On consdère n Z. 1. Sot a Z. Montrer que le reste de la dvson eucldenne de a 2 par 8 est nécessarement 0, 1 ou 4. 2. On suppose que 8 n + 5. Montrer que n ne peut pas s écrre comme la somme de deux carrés d enters. Défnton Sot n N. On appelle relaton de congruence modulo n la relaton bnare défne sur Z Z par : x y [n] n x y Remarque La relaton de congruence modulo n, n N désgne encore une relaton d équvalence : elle est réflexve, symétrque et transtve. Proprété 6 (représentant rréductble). Soent n N et x Z. Alors, l exste un unque r 0, n 1 tel que x r [n]. On se ramène smplement à la DE par n : le représentant rréductble ne sera ren d autre que le reste. Proprété 7 (relaton de congruence et opératons). Sot n N et consdérons a, b, c, d Z. Alors, les opératons sont compatbles avec la relaton de congruence : () a b [n] et c d [n] a + c b + d [n] () a b [n] et c d [n] ac bd [n] () pour tout α N, a b [n] a α b α [n]. On revent à chaque fos sur la défnton de la relaton de congruence modulo n N. 3
Cette compatblté des opératons avec la relaton de congruence nous permettra de ne travaller qu avec les restes de la dvson eucldenne. Exemple 3 Montrer que pour tout n N, 7 3 2n 2 n. Théorème 8 (caractérsaton des sous-groupes addtfs). Sot H un ensemble tel que H Z. Alors : H est un sous-groupe de (Z, +) n N, H = nz On travalle par double mplcaton: dans le sens drect, une fos le générateur détermné, on utlsera le théorème de la dvson eucldenne pour montrer que H est ben de la forme nz; pour la récproque, on revent une nouvelle fos aux proprétés qu défnssent un groupe addtf, et on n oublera pas de vérfer que H Z. 2 PGCD et PPCM de deux enters 2.1 Défnton du PGCD de deux enters naturels Défnton Soent a, b N. On appelle alors dvseurs communs à a et b dans N les enters naturels appartenant à l ensemble D a D b, qu on notera D a,b. Proprété 9 (conséquences mmédates). Soent a, b N. Alors : () D a,0 = D a () D a,b est une parte non vde de N pusque 1 D a,b () la dvson eucldenne de a par b donne a = bq + r, avec 0 r < b, de sorte que: D a,b = D b,r Défnton Soent a, b N non tous nuls. On appelle alors PGCD de a et b le plus grand commun dvseur de a et b qu on notera a b, c est à dre : a b = max(d a,b ). Théorème 10 (nterprétaton ensemblste du PGCD). Soent a, b N non tous nuls. Alors, l exste un unque enter d N tel que : az + bz = dz. Et dans ce cas, d = a b. On procède par exstence et uncté : seule l exstence est astuceuse pusqu l sufft de montrer que az + bz est un sous-groupe addtf de Z. On prendra son de montrer que sous ces condtons, d 0. Corollare 11 (coeffcents de Bézout). Soent a, b N non tous nuls, et dont on note d = a b. Alors, l exste (u, v) Z 2 tel que : au + bv = d. Une telle égalté est appelée égalté de Bézout et le couple (u, v) désgne des coeffcents de Bézout. Remarque On vellera à évter une erreur courante : la récproque est généralement fausse. Proprété 12 (relaton entre le PGCD et les dvseurs communs). Soent a, b N et d = a b. Alors, on a : D a,b = D d. On procède par double ncluson : pour le sens drect, l sufft de fare appel à la défnton du pgcd vu comme générateur du groupe az + bz. 4
Proprété 13 (détermnaton du PGCD par l algorthme d Euclde). Soent a, b N non tous nuls. On défnt la sute des restes (r n) par récurrence : r 0 = a, r 1 = b n N, r n+2 est le reste dans la dvson eucldenne de r n par r n+1 Alors, l exste un rang p à partr duquel la sute est nulle ; et dans ce cas, le PGCD de a et b est le derner reste non nul : r p 1 = a b On procède en deux temps : on montre d abord que (r n) défnt une sute d enters strctement décrossante dans N, pus on démontre l égalté en utlsant la proprété 9. Des résultats précédents, on peut donc retenr l mportance de la sute (r n) dans l algorthme d Euclde. D alleurs, c est grâce à elle qu on peut, à la man, aller chercher le PGCD et obtenr un couple de coeffcents de Bézout: Exemple 4 1. En utlsant l algorthme d Euclde, détermner le PGCD de 207 et 162. 2. Détermner alors un couple de coeffcents de Bézout assocé. Remarques 1. Dans ce chaptre, on se contente de défnr le PGCD de deux enters a et b, mas l est encore possble d étendre cette défnton aux enters a 1,..., a n. 2. De la même façon, on pourra prolonger toutes ces notons dans Z en consdérant smplement le PGCD des enters a 1,..., a n comme le plus grand commun dvseur postf de ces enters. 2.2 Enters premers entre eux Défnton Soent a, b Z non tous nuls. On dt que a et b sont des enters premers entre eux s a b = 1, c est à dre que leurs dvseurs communs sont 1, 1}. Théorème 14 (théorème de Bézout). Soent a, b Z non tous nuls. Alors : a et b sont des enters premers entre eux (u, v) Z 2, au + bv = 1. On travalle par double mplcaton: la premère est donnée par les coeffcents de Bézout, et pour le sens récproque, on ntrodura d = a b avant de montrer que d D 1... Remarques 1. Ic encore, on peut étendre cette défnton : les enters a 1,..., a n sont premers entre eux dans leur ensemble s a 1... a n = 1. Par contre, on dstnguera la noton d enters premers entre eux deux à deux tels que pour tous, j, a a j = 1 et on retendra pour l année prochane : (a ) premers entre eux deux à deux (a ) premers entre eux dans leur ensemble 2. Cette caractérsaton des enters premers entre eux est fondamentale, car elle va nous permettre de démontrer de nombreux résultats très pratques : Proprété 15 (théorème de Gauss). Soent a, b, c Z avec a, b non tous nuls. Alors : a bc a b = 1 a c. Il sufft d écrre l égalté ssue du théorème de Bézout et de multpler par c. Proprété 16 (autre conséquence). Soent a, b, c Z avec a, b non tous nuls. Alors : a c et b c a b = 1 ab c. 5
Il sufft d écrre l égalté ssue du théorème de Bézout et de multpler par c. Proprété 17 (caractérsaton du PGCD). a = da Soent a, b Z non tous nuls et d N. Alors : d = a b (a, b ) Z 2, b = db a b = 1. On travallera par double mplcaton... Remarque S on consdère un nombre ratonnel r Q, l exste donc (a, b) Z N tel que : r = a da, et dans ce cas, en notant d = a b, r = b db = a b On dt alors que a b représente la forme rréductble du nombre r. Exemple 5 On consdère l équaton dophantenne (E) ax + by = c avec a, b, c Z. 1. Notons d = a b. Montrer alors que (E) admet une soluton dans Z 2 s et seulement s d c. 2. Fxons alors a = 26, b = 20, c = 38 de sorte que: (E) 26x 20y = 38 (a) Calculer le PGCD de 26 et 20. En dédure une équaton équvalente smplfée qu on notera (E ). (b) Détermner une soluton partculère de (E ). (c) En dédure l ensemble des solutons de (E ) dans Z 2. 2.3 Défnton du PPCM de deux enters naturels Défnton Soent a, b N. On appelle alors multples communs à a et b dans N les enters naturels appartenant à l ensemble az bz, qu on notera M a,b. Proprété 18 (conséquences mmédates). Soent a, b N. Alors: () M a,0 = 0} () M a,b est non vde pusque ab} M a,b Défnton Soent a, b N. On appelle alors PPCM de a et b le plus pett commun multple de a et b qu on notera a b, c est à dre : a b = mn(m a,b ). Proprété 19 (relaton avec le PGCD). Soent a, b N non nuls, dont on note d = a b et m = a b. Alors : md = ab Le problème se ramène alors à montrer que m = da b, avec a b = 1, est ben le PPCM de a et b. Remarques 1. S on fat appel à la caractérsaton des sous-groupes addtfs de Z, on peut encore vor le PPCM comme l unque générateur m N tel que : az bz = mz. 2. Dans ce chaptre, on se contente de défnr le PPCM de deux enters a et b, mas l est encore possble d étendre cette défnton aux enters a 1,..., a n. 3. De la même façon, on pourra prolonger toutes ces notons dans Z en consdérant smplement le PPCM des enters a 1,..., a n comme le plus pett commun multple postf de ces enters. 6
3 Un sous-ensemble partculer : les nombres premers 3.1 Défnton et premers exemples Défnton Sot p N. On dt que p est un nombre premer s l admet exactement deux dvseurs dans N : 1 et lu-même. Proprété 20 (conséquence mmédate). Soent a Z et p un nombre premer. Alors : p a p a = 1 On procède par double mplcaton et le résultat tombe rapdement. Corollare 21. Soent a, b Z et p un nombre premer. Alors : p ab p a ou p b On procède par double mplcaton : dans la récproque, on fera appel au théorème de Gauss. Exemple 6 On consdère p un nombre premer. 1. En utlsant la formule de Pascal, montrer que les coeffcents bnomaux sont des enters naturels. 2. Montrer que pour tout k [1..p 1], p ( p k), où ( p k) désgne le coeffcent bnomal d ndces k et p. 3. En dédure le pett théorème de Fermat : Et s de plus, p n = 1, alors n p 1 1 [p]. n Z, n p n [p] Proprété 22 (exstence d un dvseur premer). Tout nombre enter n N, n 2 possède au mons un dvseur premer. On procède smplement par récurrence sur n 2. Corollare 23 (ensemble des nombres premers). Notons P l ensemble des nombres premers. Alors, P est nfn. On rasonne par l absurde en supposant que P est fn et on consdère n = k =1 p + 1. 3.2 Décomposton prmare d un enter naturel Théorème 24 (fondamental de l arthmétque). Tout nombre enter n N 0, 1} peut s écrre comme un produt de facteurs premers postfs: n = p α 1 1 pα 2 2... pα k k, avec p P deux à deux dstncts et α N De plus, cette décomposton est unque à l ordre près, et elle sera appelée la décomposton prmare de n, dans laquelle les exposants α désgneront les valuatons assocées aux facteurs premers p. On établt encore l exstence par récurrence sur n 2, pus on démontrera l uncté en montrant que s l y a deux décompostons prmares, alors elles seront nécessarement égales. Remarque Dans certans exercces, on pourra défnr une décomposton prmare sous la forme : n = avec la conventon α = 0, pour les nombres premers p qu n ntervennent pas dans la décomposton de n. p P p α Exemple 7 Soent a, b N 0, 1}. Montrer que : a 2 b 2 a b 7
Proprété 25 (nombre de dvseurs). Sot un enter n N 0, 1} de décomposton prmare n = p α 1 1 pα 2 2... pα k k. Alors, le nombre de dvseurs de n est donné par : Card(D n) = k (α + 1) =1 Par uncté de la décomposton prmare, on dentfe la forme d un dvseur quelconque avant de les dénombrer. Proprété 26 (calcul explcte du PGCD et du PPCM). Sot un enter a, b N 0, 1} dont on donne les décompostons prmares : Alors, on peut obtenr drectement le PGCD et le PPCM : a b = p P p mn(α,β ), et a b = a = p P pα b = p P pβ p P p max(α,β ) avec α, β N. On pose d = a b et D le produt donné avant de montrer qu ls sont assocés. smplement de la formule md = ab. Pour l expresson du PPCM, on la dédura Remarque Avec les notatons précédentes, s on suppose par exemple que α = 0 et β 0, on montre alors que p n ntervendra pas dans le calcul du PGCD, mas sera ben présent dans celu du PPCM. Ans, on peut résumer les formules précédentes de cette façon : a b désgne le produt des facteurs premers communs aux deux décompostons, affectés des pussances mnmales, a b désgne le produt des facteurs premers des deux décompostons affectés des pussances maxmales. 8