MATHÉMATIQUES 3 ème 1 er trimestre v..5 progrmme 008 éditio 015 Cours Pi Etblissemet privé hors cotrt d eseigemet à distce SARL u cpitl de 17 531,86 euros - RCS PARIS B 391 71 1 - APE 8559B siège socil et cetre d expéditio : 11-13 rue de l Épée de Bois, 75 005 Pris tél. : 01 4 39 46 bureux et ccueil du public : 6 rue Sit Deis, 34 000 Motpellier tél. : 04 67 34 03 00 e-mil : lescourspi@cours-pi.com site : http://www.cours-pi.com
L uteur Sylvie Lmy Agrégée de Mthémtiques Diplômée de l École Polytechique Présettio Ce Cours est divisé e 6 Uités dot le sommire est doé e début de fscicule. Chque Uité compred : le Cours, des exercices d pplictio et d etrîemet, les corrigés-types de ces exercices, des devoirs soumis à correctio (et se trouvt hors fscicule). Le professeur de votre eft vous reverr le corrigé-type de chque devoir près correctio de ce derier. Pour ue mipultio plus fcile, les corrigés-types des exercices d pplictio et d etrîemet sot regroupés e fi de fscicule et imprimés sur ppier de couleur. Coseils à l élève Vous disposez d u support de Cours complet : preez le temps de bie le lire, de le compredre mis surtout de l ssimiler. Vous disposez pour cel d exemples doés ds le cours et d «exercices types» corrigés. Vous pouvez rester u peu plus logtemps sur ue uité mis trvillez régulièremet. Cours Pi
Covetios de lecture du cours o Les ecdrés droits correspodet à des défiitios ou à des résultts importts qu il fut coître. Pr exemple : O ppelle somme le résultt d ue dditio. o Les ecdrés rrodis correspodet à des coseils méthodologiques. Pr exemple : Méthode O commece pr chercher s il existe u fcteur commu (celui-ci doit pprître Bo courge! Les fouritures Vous devez posséder : pour l géométrie : ue règle grduée, ue équerre, u comps et des cryos ppier bie tillés. ue clcultrice scietifique pour le collège (CASIO ou TEXAS). N utilisez ps de clcultrice quelcoque cr elle risque de e ps foctioer de l même mière que les clcultrices scietifiques. Les devoirs Les devoirs costituet le moye d évluer l cquisitio de vos svoirs (Ai-je ssimilé les otios correspodtes?) et de vos svoir-fire (Est-ce que je sis expliquer, justifier, coclure?). Pour cette riso : Cours Pi N ppelez ps votre professeur si vous e svez ps fire u exercice! Cel peut rriver, comme tout élève e clsse! Mis si, près voir reçu l correctio, u exercice cotiue à vous poser problème, hésitez ps à le fire! Même si vous vez obteu ue boe ote, lisez ttetivemet les remrques du professeur et le corrigé (l correctio peut évetuellemet proposer ue utre méthode que celle que vous vez utilisée). Il est vivemet recommdé d ttedre le retour des devoirs térieurs vt de fire le suivt : cel vous permettr d éviter de fire les mêmes erreurs et de profiter pleiemet des remrques qui vous urot été fites.
Voici mitet quelques coseils pour composer vos devoirs Utilisez des copies doubles grd formt (pour y isérer pr l suite l éocé et le corrigé). Présetez l copie correctemet (om, préom, clsse, mtière, uméro de devoir doivet figurer sur chque copie pour éviter toute erreur ou perte). Lissez de l espce pour le correcteur. Lisez bie ttetivemet les éocés et soyez ttetifs à bie recopier les vleurs doées. Fites les exercices ds l ordre. Si ue questio est ps fite, il fut l idiquer sur l copie. Si l questio est fite directemet sur l éocé, il fut églemet l idiquer. Fites ttetio à l orthogrphe! Justifiez vos réposes même si l éocé e le précise ps. Soigez vos figures. Il est coseillé de fire les figures sur ue feuille blche, que vous découperez et collerez. Cel permet de refire ue figure rtée e lisst s copie propre! Mettez e vleur vos résultts (ce est ps u correcteur de chercher où sot les réposes!) et répodez dès que possible ux questios e fist des phrses complètes. U lecteur yt ps lu l éocé doit pouvoir compredre votre copie! Vérifiez l cohérece de vos résultts. Détillez les clculs (remrque : o e met ps d uités ds ue lige d opértio, mis seulemet ds l coclusio!). Évitez d utiliser l clcultrice e mthémtiques, lorsque l opértio peut se fire ss so ide. Utilisez correctemet les ottios mthémtiques : ue muvise ottio red u risoemet fux! Cel fit beucoup de coseils mis cel devrit vite deveir turel. Rppelez-vous que l présettio et l rédctio comptet ds les otes d exme. Alors, preez de boes hb itudes! Il est importt que votre eft puisse teir compte des remrques, pprécitios et coseils du professeur correcteur. Pour cel, il est très importt d evoyer les devoirs u fur et à mesure et o groupés. C est isi qu il progresser Les Cours Pi Dès qu u devoir est rédigé, evoyez-le ux Cours Pi : 6 rue Sit-Deis 34000 MONTPELLIER Vous predrez soi de joidre : Le texte du devoir. Ue grde eveloppe libellée à vos om et dresse, et ffrchie u trif e vigueur. Cours Pi
Mthémtiques 3 ème Uité 1 : clcul umérique, clcul littérl 1. Clcul umérique (rppels) A) Clcul sur les ombres reltifs B) Frctios. Nombres etiers et ombres rtioels A) Divisibilité B) Nombres rtioels 3. Rcies crrées A) Rcie crrée d u ombre B) Opértios sur les rcies crrées 4. Puissce d u ombre C) Puissces d u ombre D) Règles de clcul E) Puissces de 10, écriture scietifique (rppels) Devoir 1 5. Clcul littérl A) Rppel B) Idetités remrqubles C) Développer D) Fctoriser Uité : géométrie ple 1. Rppels de résultts des ées précédetes A) Droites B) Trigles C) Qudriltères prticuliers D) Agles. Cofigurtio de Thlès, grdissemet et réductio A) Théorème de Thlès B) Réciproque du théorème de Thlès C) Agrdissemet, réductio 3. Trigoométrie A) Cosius, sius et tgete d u gle igu B) Propriétés Devoir 1 4. Agles iscrits, polygoes réguliers A) Agles iscrits, gle u cetre B) Polygoes réguliers Devoirs & 3 Devoirs & 3 Cours Pi
Uité 3 : équtios, systèmes d équtios, iéglités 1. Equtios A) Rppels sur les équtios B) Equtios-produits. Iéqutios A) Ordre et opértios (rppel) B) Iéqutios Devoir 1 3. Systèmes d équtios A) Vocbulire B) Résolutio d u système d équtio C) Problèmes fist iterveir u système d équtios Devoirs & 3 Uité 4 : foctios 1. Notios de foctio A) Défiitio B) Représettios des foctios C) Détermitio grphique d imges et d técédets. Foctios liéires, proportiolité A) Foctios liéires B) Foctios liéires et droites C) Foctios liéires et proportiolité D) Foctios liéires et pourcetges E) Grdeurs composées Devoir 1 3. Foctios ffies A) Foctios ffies B) Accroissemets C) Foctios ffies et droites Devoirs & 3 Uité 5 : sttistiques, probbilités 1. Sttistiques A) Vocbulire B) Moyee d ue série sttistique C) Crctéristiques de dispersio d ue série sttistique Devoir 1. Probbilités A) Modélistio d ue expériece létoire B) Probbilité d u évéemet Uité 6 : géométrie ds l espce 1. Sectios ples de solides A) Rppels sur les ires et les volumes des solides usuels B) Sectios des solides usuels Devoir 1. Sphères, boules A) Sphères et boules B) Itersectio d ue sphère et d u pl Devoirs & 3 Devoirs & 3 Cours Pi
Uité 1 Cours Pi
CALCUL NUMÉRIQUE, CALCUL LITTÉRAL A) CALCULS SUR LES NOMBRES RELATIFS Ce chpitre cotiet des otios vues e clsse de 4 ème. 1) Somme lgébrique 1. Clculs umériques (rppels) Ue somme lgébrique est ue suite d dditios et de soustrctios de ombres. Ue somme lgébrique peut être rmeée à ue expressio ss prethèses. ( 5) ( 8) ( 3) ( ) ( 1) 5 8 3 ( ) ( 1) 5 8 3 1 Il est iterdit d écrire siges cosécutifs! 1 ( 1) ou 1. Clcul d ue somme lgébrique O simplifie l écriture et o regroupe les termes joutés et les termes soustrits. ( 5) ( 8) ( 3) ( ) ( 1) 5 8 3 1 5 8 3 1 15 ( 4) 11 S il y des prethèses cotet ue somme lgébrique, o commece toujours pr effectuer ces sommes lgébriques. ) Multiplictios de deux ombres reltifs Règle des siges : Le produit de deux ombres reltifs de même sige est u ombre positif. Le produit de deux ombres reltifs de siges cotrires est u ombre égtif. L distce à 0 d u produit de deux ombres est le produit de leur distce à 0. Cs prticuliers : 0 0 0 1 1 ( 1) ( 1) ( 5) ( 8) 40 ( 5) ( 8) 40 ( 5) ( 8) 40 ( 5) ( 8) 40 Cours Pi MA 3 U1 1
3) Divisios de deux ombres reltifs Règle des siges : Le quotiet de deux ombres reltifs de même sige est u ombre positif. Le quotiet de deux ombres reltifs de siges cotrires est u ombre égtif. L distce à 0 d u quotiet de deux ombres est le quotiet de leur distce à 0. Cs prticuliers : 1 1 1 1 Rppel : o e peut ps diviser pr 0! 5 5 ( 5) : ( 8) 0,65 ( 5) : ( 8) 0,65 8 8 5 5 ( 5) : ( 8) 0,65 ( 5) : ( 8) 0,65 8 8 5 5 5 5 5 5 1 1 1 1 5 5 4) Echiemet d opértios Opértios ss prethèses L multiplictio et l divisio sot prioritires sur l dditio et l soustrctio. A 5 ( 3) 10 6 8 15 5 ( 30) 6 8 15 5 30 6 8 15 5 8 30 6 15 33 51 18 Opértios vec des prethèses Lorsqu ue opértio compred des prethèses, o clcule d bord ce qu il y etre prethèses vec les règles précédetes. Lorsqu il y plusieurs iveux de prethèses, o emploie églemet des crochets. O commece pr clculer les prethèses les plus itérieures. B 3 (3 4 ) 10 3 (1 ) 10 3 14 10 3 8 10 3110 1 C 3 5 10 [ (1 3 6)] 15 10 [ (1 18)] 15 10 [ ( 17)] 5 ( 17) 5 ( 15) 5 15 40 Cours Pi MA 3 U1
B) FRACTIONS 1) Écriture frctioire U quotiet peut se oter sous l forme d ue frctio est le umérteur ; b est le déomiteur. 5 5 et sot des frctios. 8 8 Remrque : o présete géérlemet u quotiet égtif vec so sige devt l brre de frctio. b b b b (vec b 0 ) O e chge ps l vleur d ue frctio e multiplit ou e divist le umérteur et le déomiteur pr u même ombre. 3 6 10 10:10 1 1 7 7 3 14 30 30:10 3 3 Ue frctio est sous forme irréductible lorsque le umérteur et le déomiteur sot des etiers yt l plus petite distce à 0 possible. 50 50: 5 75 75: 5 3 3 est ue frctio irréductible. 3 Autre méthode : 50 5 75 5 3 3 Deux frctios sot égles si leurs produits e croix sot égux. Si b 0, d 0 c si d bc b d 50 75 3 50 3 75 4 cr 503 ( 75) ( ) 150 cr 50 4 00 et ( 75) ( 3) 5 ) Additios et soustrctios de frctios Pour dditioer (ou soustrire) deux frctios de même déomiteur : O dditioe (ou soustrit) les umérteurs. O grde le déomiteur commu. Pour dditioer (ou soustrire) deux frctios quelcoques, il fut doc d bord les mettre u même déomiteur. 5 5 3 3 5 3 3 10 9 10 9 1 1 3 3 3 3 3 5 35 53 15 15 15 15 Cours Pi MA 3 U1 3
3) Multiplictios de frctios Pour multiplier deux frctios : O multiplie les umérteurs. O multiplie les déomiteurs. Avt de multiplier les umérteurs et déomiteurs, simplifier! Pesez à vérifier les siges! 5 ( ) 5 10 10 3 7 3 7 1 1 9 9 3 3 3 ( ) 3 16 316 3 8 8 4) Divisios de frctios Soit u ombre o ul. L iverse de est le ombre b tel que : b b 1 L iverse de est 1. Il e fut ps cofodre iverse et opposé! L'opposé de 3 est 3 ; l'opposé de 4 est 4. L'iverse de 3 est 1 1 ; l'iverse de 4 est. 3 4 Soit ue frctio vec 0, b 0. b L iverse de l frctio b est l frctio b. 3 1 L'iverse de est ; l'iverse de est 4. 3 4 Diviser pr ue frctio o ulle reviet à multiplier ps so iverse. 5 7 ( ) 7 14 14 : 3 7 3 5 35 15 15 3 8 ( ) 8 16 5 3 5 35 15 8 1 1 : ( 6) 3 3 6 3 ( 6) 3 6 33 9 Cours Pi MA 3 U1 4
5) Echiemet d opértios Les pricipes vus vec les ombres reltifs s ppliquet ux clculs vec les frctios : Les multiplictios et divisios sot prioritires sur les dditios et soustrctios. O commece pr fire les opértios à l itérieur des prethèses. Les résultts doivet être mis sous forme de frctios irréductibles. Si les quotiets sot excts, o peut les mettre sous forme décimle. EXERCICES Exercice 1 Clculer : ( 6) ( 4) (,1) (,1) ( 7) ( 4) ( 3,) ( 5) 1,5 ( 3) ( 4) ( ) 418 ( 0,5) 15:( ) 5:( 5) ( 75) 16 Exercice Clculer : A 9 ( 5 1,7) (8 1,6) (,3) (7,1) B ( 3) ( 4 1,7) ( 5, 4) (,4 3) C 6 10 4 ( 3) D 9: 4 1 E 53 9: F (10 8: ) (6: 8) 0:(5 1) G ( 3 5) :(9 5) [1 (1,1 0,7)] Exercice 3 Mettre sous l forme d ue frctio irréductible : 1 54 5,8 ; ; ; 7 7 4 4 Exercice 4 1 156 4 116 Les frctios suivtes sot-elles égles? et ; et 7 91 19 95 Exercice 5 Clculer (o mettr les résultts sous forme d ue frctio irréductible). 1 0 3 31 5 16 1 ; ; ; 7 7 19 38 16 3 7 5 4 5 5 8 15 1 6 1 18 6 5 1 ; ; ( ) ; 6 : ( ) ; 5 ; : 9 7 3 3 13 3 4 7 5 8 8 3 3 Exercice 6 Mettre les expressios suivtes sous forme d ue frctio irréductible. 1 3 1 5 10 A ( : ) B 5 9 7 3 11 Cours Pi MA 3 U1 5
. Nombres etiers et ombres rtioels A) DIVISIBILITE Ds ce prgrphe, o e cosidère que des ombres etiers positifs. 1) Diviseurs d u ombre, b sot des ombres etiers positifs. k est u ombre etier strictemet positif. b est u diviseur de si le quotiet b est u ombre etier. O dit églemet que est divisible pr b. Si b est u diviseur de, est u multiple de b. Il existe lors u etier k tel que : kb vec k b 4 est u diviseur de 1 cr 1 3. 1 est divisible 4 4 1 est u multiple de 4 cr 1 3 4 Tout etier o ul est divisible pr lui-même ( 1 ) et est divisible pr 1 ( ). 1 Tout ombre etier différet de 0 et 1 dmet doc u mois diviseurs : 1 et lui même. 0 est multiple de tout etier ( 00 ). U ombre est premier s il dmet exctemet deux diviseurs disticts : 1 et lui-même. 1 est ps u ombre premier. Les ombres premiers iférieurs à 0 sot : ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19. 6 est ps premier cr il est divisible pr 3. Critères de divisibilité Divisibilité pr : ombres fiisst pr 0,, 4, 6 ou 8 (ombres pirs). Divisibilité pr 3 : ombres dot l somme des chiffres est divisible pr 3. Divisibilité pr 5 : ombres fiisst pr 0 ou 5. Divisibilité pr 9 : ombres dot l somme des chiffres est divisible pr 9. Divisibilité pr 10 : ombres fiisst pr 0. 73 est divisible pr et pr 3 mis ps pr 5 i pr 9 (cr 7 3 1 et 1 est divisible pr 3 mis est ps divisible pr 9). Cours Pi MA 3 U1 6
) Diviseurs commus à deux ombres etiers, b sot des ombres etiers positifs. d est u ombre etier strictemet positif. d est u diviseur commu de et b si d divise à l fois et b. Pour tous les ombres et b, 1 est u diviseur commu de et b. U diviseur commu à deux ombres est toujours plus petit que ces ombres. 4 3 8 est u diviseur commu de 3 et de 4 ( 3; 4 ). 8 8 Les diviseurs de 4 sot : 1,,3,4,6,8,1,4 Les diviseurs de 3 sot : 1,,4,8,16,3 Les diviseurs commus de 4 et 3 sot doc : 1,,4,8. Deux ombres sot dits premiers etre eux s ils dmettet que 1 comme diviseur commu. 10 et 9 sot premiers etre eux. E effet, Les diviseurs de 10 sot : 1,,5,10 Les diviseurs de 9 sot : 1,3,9. Le seul diviseur commu est doc 1. Si d est u diviseur commu de et b, lors d divise églemet bet b. Justifictio : Si d est u diviseur commu de et b, lors il existe etiers k et k tels que : kd et b k ' d d où : b kd k ' d ( k k ') d et b kd k ' d ( k k ') d d divise b 3) PGCD de deux ombres etiers Le plus grd diviseur commu à deux ombres et b est oté PGCD(;b) (PGCD : iitiles de Plus Grd Commu Diviseur) Les diviseurs de 4 sot : 1,,3,4,6,8,1,4 Les diviseurs de 3 sot : 1,,4,8,16,3 Les diviseurs commus de 4 et 3 sot : 1,,4,8. Doc : PGCD(4;3)=8 Si et b sot premiers etre eux, PGCD(; b)=1. Si b divise : PGCD(; b)=b. Détermier le PGCD de deux ombres vec l méthode des soustrctios successives O suppose que b O clcule l différece de et b. Pour les étpes suivtes, o pred comme ombres le plus petit des ombres de l étpe précédete et leur différece. Le PGCD est l derière différece o ulle. Cours Pi MA 3 U1 7
détermier le PGCD de 86 et 506 vec les soustrctios successives. 506 86 0 88 66 86 0 66 66 44 0 66 154 44 154 66 88 0 L derière différece o ulle est. Pr coséquet : PGCD( 86 ;506)= Détermier le PGCD de ombres vec l lgorithme d Euclide O suppose que b O effectue l divisio euclidiee de pr b. Pour les étpes suivtes, o pred comme dividede le diviseur précédet, et pour diviseur le reste précédet. Le PGCD est le derier reste o ul. détermier le PGCD de 86 et 506 vec l lgorithme d Euclide. O divise 506 pr 86 : 506 186 0 O divise 86 pr 0 : 86 10 66 O divise 0 pr 66 : 0 366 O divise 66 pr : 66 3 0 Le derier reste o ul est. Pr coséquet : PGCD( 86 ;506)= Voici ue présettio sous forme d u tbleu : Dividede Diviseur Reste 506 86 0 86 0 66 0 66 66 0 EXERCICES Exercice 7 O cosidère 3 etiers o uls, b, c tels que : bc. Compléter les phrses suivtes vec les mots diviseur, divisible, multiple, divise. o est pr b o c est u de. o b. o est u de c. Exercice 8 Détermier les diviseurs de 48 et de 18. E déduire les diviseurs commus de 48 et 18 puis le PGCD de 48 et 18. Exercice 9 Détermier à l ide des soustrctios successives le PGCD de 138 et 07. Exercice 10 Détermier à l ide de l lgorithme d Euclide le PGCD de 56 et 480. Exercice 11 Détermier pr l lgorithme d Euclide le PGCD de 80 et 117. Que peut-o dire de 80 et 117? Exercice 1 U fleuriste dispose de 378 tulipes jues et 70 tulipes rouges. Il veut fire le plus grd ombre de bouquets idetiques. Combie pourr-t-il fire de bouquets. Quelle ser l compositio d u bouquet? Cours Pi MA 3 U1 8
B) NOMBRES RATIONNELS 1) Les ombres rtioels U ombre est rtioel s il peut se mettre sous l forme d ue frctio b où et b sot deux ombres etiers reltifs. U ombre qui est ps rtioel est dit irrtioel. Lorsque l divisio de pr b tombe juste, b est u ombre déciml. 4 ; 4 ; 5 ; 0, sot des ombres rtioels. 3 1 35 10 Le ombre π est u ombre irrtioel. U ombre rtioel est déciml s il peut se mettre sous l forme d ue frctio décimle b où est u ombre etier reltif, et b est ue puissce de 10. Ue frctio est décimle si l divisio du umérteur pr le déomiteur «tombe juste». 4 3 15 4 ; sot des ombres décimux. 1 0 100 1 est ps u ombre déciml. 3 Suf idictio cotrire, les rtioels o décimux doivet être lissés sous forme de frctio et e doivet ps être rrodis! 3 0,15 0 Mis 1 3 e doit ps être remplcé pr 0,3333333 : 1 0,3333333 3 ) Simplifictio des frctios et b sot deux ombres etiers strictemet positifs. U ombre rtioel b vec est mis sous forme d ue frctio irréductible si et b sot premiers etre eux. 36 est ps irréductible cr le umérteur et le déomiteur sot divisibles pr 3. 189 5 est irréductible cr le umérteur et le déomiteur sot premiers etre eux. 16 Cours Pi MA 3 U1 9
Si o simplifie ue frctio e divist so umérteur et déomiteur pr leur PGCD, o obtiet ue frctio irréductible. 36 redre irréductible 189 O clcule le PGCD de 36 et de 189 pr l lgorithme d Euclide. 189 536 9 PGCD(189 ;36)=9. 36 49 0 36 36:9 4 4 est irréductible 189 189:9 1 1. Si le déomiteur est 1, l forme irréductible de l frctio est celle de l etier reltif correspodt u umérteur. 36 est ps irréductible cr le umérteur et le déomiteur sot divisibles pr 9. 9 36 4 4 4 est l forme irréductible de 36 9 1 9. EXERCICES Exercice 13 1) Écrire ces ombres sous forme d ue frctio irréductible : 5 1, 4 6 ; 0, ; ; ; 3, 35 0 1,5 ) Prmi ces ombres, lesquels sot des ombres décimux? Les réécrire sous forme de frctio décimle. Exercice 14 Effectuer les opértios suivtes (o mettr les résultts sous forme d ue frctio irréductible). 3 3 A 3 ( 7,1) ( 3) B, 4 ( 4) C 4 (1 ) 5 8 4 3 1 1 1 D (4 3) : (4 ) E 5 7 3 1 (3 ) 5 5 Exercice 15 Dire pourquoi 40 est ps ue frctio irréductible. 375 L redre irréductible e détillt l démrche. Cours Pi MA 3 U1 10
3. Rcies crrées A) RACINE CARREE D UN NOMBRE est u ombre positif. L rcie crrée de est l uique ombre positif dot le crré vut. L rcie crrée de se ote. Le symbole est ppelé rdicl. est u ombre positif. ( ) et ( ) et 4 Si est u ombre positif lors l équtio x dmet solutios : et x 3 dmet deux solutios : 3 et 3. Remrque : si est u ombre strictemet égtif, l équtio x dmet ps de solutio. B) OPERATIONS SUR LES RACINES CARREES et b sot des ombres positifs. b b et b sot des ombres positifs et b 0. b b Justifictio de l première églité : b est l uique ombre positif tel que ( ) ( ) ( ) ( b) b b b doc le crré de b vut églemet b. O e déduit que Autre méthode : b b b 1 1 3 4 6 3 4 3 3 3 1 3 3 4 4 3 Attetio : les propriétés précédetes e sot ps vlbles pour l dditio et l soustrctio. 16 9 5 5 mis 16 9 4 3 7 Cours Pi MA 3 U1 11
63 79 7 3 Redre u rdicl le plus petit possible écrire 63 sous l forme b où est u ombre reltif et b est u etier le plus petit possible. O décompose le ombre sous le rdicl e u produit de fcteurs e essyt de fire ppritre u des fcteurs sous forme d u crré. 63 3 7 3 7 O utilise l formule : b b puis le fit que E règle géérle, lors d u clcul, même si cel est ps précisé, les ombres sous les rdicux doivet être les plus petits possibles. De même, o évite de lisser u rdicl sous ue brre de frctio. EXERCICES Exercice 16 Clculer : 36 ; 4 900 ; 0,81 ; 0,09 Exercice 17 Écrire les ombres suivts sous l forme b où est u ombre reltif et b est u etier le plus petit possible. 6 0 7 3 8 5 14 Exercice 18 Résoudre les équtios suivtes. x 36 x 7 x 3 x 4 5 Cours Pi MA 3 U1 1
A) PUISSANCES D UN NOMBRE 4. Puissces d u ombre est u ombre reltif et u ombre etier positif. est le produit de fcteurs égux : fcteurs se lit : «expost» ou «puissce». 3 se lit : «u crré» ; se lit : «u cube». Cs prticuliers : 1 Pr covetio si 0, 0 1 4 3 3333 81 3 ( 4) ( 4) ( 4) ( 4) 64 0 15 1 est u ombre reltif o ul et u ombre etier positif Si 0, est l iverse de : 1 Cs prticuliers : est l iverse de 1 1 4 1 1 3 1 1 1 1 3 ( 4) 15 4 3 3 81 ( 4) 64 15 Sige d ue puissce est u ombre reltif o ul et u ombre etier positif. Si u ombre pir, lors et sot des ombres positifs. Si u ombre impir, lors et sot du même sige que. Ne ps cofodre : Justifictio : il s git d ue pplictio de l règle des siges vue pour les ombres reltifs. 3 ( 4) est égtif (puissce impire d u ombre égtif) mis 6 ( 4) est positif (puissce pire) 6 ( 4) qui est positif et 6 4 qui est égtif. Cours Pi MA 3 U1 13
B) REGLES DE CALCUL Ces règles géérliset ux ombres reltifs quelcoques celles vues e clsse de 4 ème sur les puissces de 10. et b sot des ombres reltifs o uls. et m sot des etiers reltifs. m m m m m m ( ) ( b) b b b Remrque : 1 1 Justifictio : o supposer que et m sot strictemet positifs et que m. Les utres cs peuvet s e déduire. m m m fcteurs fcteurs m fcteurs m m fcteurs fcteurs m fcteurs m m ( ) ( ) ( ) ( ) m fcteurs m fcteurs m fcteurs fcteurs m ( b) bb b bb b b fcteurs fcteurs fcteurs fcteurs b b b b b b b b fcteurs fcteurs 6 6 8 6 6 4 6 6 1 5 5 5 5 ; 5 5 5 5 ; (5 ) 5 5 ; 6 6 1 8 8 8 8 (5 ) 5 5 ; 6 (3) 3 ; 1 1 3 3 5 5 5 ; 5 5 5 5 3 3 Cours Pi MA 3 U1 14
C) PUISSANCES DE 10, ECRITURE SCIENTIFIQUE (RAPPELS) Écriture décimle d ue puissce de 10 Si est u ombre supérieur à 1 : 10 100 0 zéros 10 0,0 01 zéros Cs prticulier : 0 10 1 6 6 10 1000000 10 0, 000001 6 zéros 6 zéros Opértios sur les puissces de 10 et m sot des etiers reltifs. m m 10 10 10 m 10 m 10 m m (10 ) 10 10 3 6 4 3 4 3 4 1 0 3 ( 4) 7 10 10 10 10 10 10 10 10 10 1 10 10 4 10 Nottio scietifique U ombre déciml positif est écrit e ottio scietifique s il est écrit sous l forme : 10 vec1 10 et etier reltif. écrire e ottio scietifique 83,5 et 0,0835. 83,5 8,35 10 0,0835 8,35 10 Cours Pi MA 3 U1 15
EXERCICES Exercice 19 Doer l écriture décimle de : ( 3) ( 5) 10 ( 10) 10 ( 100) 4 3 4 3 Exercice 0 Compléter. 5 4 5 3 4 3 3 3 7 7 7 55 5 5 5 5 4 4 9 8 4 5 10 6 5 5 7 4 5 10 6 4 5 10 6 Exercice 1 Écrire sous forme de frctio : 3 4 3 1 3 5 Exercice Écrire sous l forme de l puissce d u seul ombre : 3 8 8 6 6 3 5 3 8 4 5 5 1 6 6 Exercice 3 Doer l écriture décimle et scietifique des ombres suivts (ttetio u + ds le derier ombre!). 1 5 3 5 7010 1,5 10 10,1 10 5 A B C 1 6 910 310 0,07 110 1,5 10,110 D E 1 1 1,5 10 310 Composez mitet le devoir 1 Cours Pi MA 3 U1 16