Cours CHAPITRE 0 Programme de début d'année, analyse 3 0.1 Nombres complexes 4 0.1.1 Calculs algébriques sur les nombres complexes 4 0.1.2 Fonne trigonométrique d'un nombre complexe non nul 5 0.1.3 Applications trigonométriques des nombres complexes 9 0.1.4 Interprétation géométrique des nombres complexes 10 0.2 Fonctions usuelles 17 0.2.1 Logarithme népérien 17 0.2.2 Exponentielle 17 0.2.3 Logarithme de base a 18 0.2.4 Exponentielle de base a 19 0.2.5 Fonctions puissances 20 0.2.6 Comparaison locale des fonctions logarithmes, puissances, exponentielles 20 0.2.7 Fonctions hyperboliques directes 21 0.2.8 Fonctions hyperboliques réciproques 22 0.2.9 Fonctions circulaires directes 25 0.2.10 Fonctions circulaires réciproques 28 0.2.11 Exponentielle complexe 30 0.3 Équations différentielles linéaires 32 0.3.1 Équations différentielles linéaires du premier ordre 32 0.3.2 Équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants et à second membre exponentielle-polynôme 36 CHAPITRE 1 Les nombres réels 43 1.1 Préambule 43 1.2 Nombres réels 44 1.2.1 Existence et unicité de IR 44 1.2.2 Propriétés élémentaires des nombres réels 47 1.2.3 Propriétés fondamentales de IR 51 1.3 Droite numérique achevée IR 59 CHAPITRE 2 Les nombres complexes 61 2.1 Préambule 62 2.2 Corps des nombres complexes 62 2.2.1 Définition 62 2.2.2 Conjugaison, partie réelle, partie imaginaire 63
2.3 2.4 2.5 2.2.3 Module 64 2.2.4 Arguments 67 Interprétation géométrique des nombres complexes 2.3.1 Plan complexe 68 2.3.2 Interprétations géométriques de l'addition et de la soustraction dans C 69 2.3.3 Interprétation géométrique de la multiplication dans C 69 2.3.4 Applications z f-----+ az + b 70 2.3.5 CNS d'alignement de trois points du plan complexe 70 2.3.6 CNS de cocyclicité ou alignement de quatre points du plan complexe 70 Puissances et racines 2.4.1 Exponentielle d'un imaginaire pur 72 2.4.2 Racines n èmes d'un complexe non nul 73 2.4.3 Racines n èmes de 1 76 2.4.4 Groupe des racines n èmes de 1 77 Applications trigonométriques des nombres complexes 2.5.1 Développement de cos ne, sin ne, tan ne 77 2.5.2 Linéarisation de cos pe, sin pe, cos pe sin qe 78 68 72 77 CHAPITRE 3 Suites numériques 83 3.1 3.2 3.3 3.4 Convergence, divergence 3.1.1 Définitions 84 3.1.2 Propriétés d'ordre des suites réelles convergentes 86 3.1.3 Propriétés algébriques des suites convergentes ou de limite infinie 88 3.1.4 Exemples élémentaires de suites 92 Monotonie 3.2.1 Suites réelles monotones 97 3.2.2 Suites adjacentes 100 Suites extraites Quelques types usuels de suites 3.4.1 Suites récurrentes affines du premier ordre à coefficients constants 105 3.4.2 Suites récurrentes linéaires du second ordre à coefficients constants 106 3.4.3 Suites récurrentes du type Un+1 = f(u n ) 111 84 97 103 105 CHAPITRE 4 Fonctions réelles ou complexes d'une variable réelle 119 4.1 Algèbre des fonctions 4.1.1 Algèbre jkx 120 4.1.2 Relation d'ordre dans IR x 122 4.1.3 Parité 124 4.1.4 Périodicité 125 4.1.5 Applications en escalier sur un segment 126 4.1.6 Applications polynomiales, fonctions rationnelles 127 120
4.1.7 Monotonie 128 4.1.8 Applications majorées, minorées, bornées 129 4.2 Limites 132 4.2.1 Notion de limite 133 4.2.2 Ordre et limite 135 4.2.3 Opérations algébriques sur les fonctions admettant une limite 137 4.2.4 Cas des fonctions monotones 141 4.3 Continuité 143 4.3.1 Définitions 143 4.3.2 Opérations algébriques sur les applications continues 146 4.3.3 Continuité sur un intervalle 148 4.3.4 Continuité sur un segment 150 4.3.5 Application réciproque 153 4.3.6 Applications lipschitziennes 155 CHAPITRE 5 Dérivation 157 5.1 Dérivées 158 5.1.1 Dérivée en un point 158 5.1.2 Propriétés algébriques des fonctions dérivables en un point 161 5.1.3 Application dérivée 164 5.1.4 Dérivées successives 167 5.1.5 Classe d'une fonction 169 5.1.6 Différentielle 172 5.2 Théorème de Rolle, théorème des accroissements finis 173 5.2.1 Théorème de Rolle 173 5.2.2 Théorème des accroissements finis 175 5.3 Variations des fonctions 178 5.3.1 Étude de la monotonie pour une fonction dérivable 178 5.3.2 Étude des extremums pour une fonction dérivable 183 5.4 Fonctions convexes 186 5.4.1 Définition 186 5.4.2 Utilisation de dérivées dans l'étude de la convexité 190 5.4.3 Inégalités de convexité 195 CHAPITRE 6 Intégration 199 6.1 Intégration des applications en escalier sur un segment 199 6.1.1 Algèbre des applications en escalier sur un segment 200 6.1.2 Intégrale d'une application en escalier sur un segment 201 6.2 Intégration des applications continues par morceaux sur un segment 203 6.2.1 Algèbre des applications continues par morceaux sur un segment 203 6.2.2 Approximation d'une application continue par morceaux sur un segment par des applications en escalier 6.2.3 Intégrale d'une application continue par morceaux sur un segment 205 6.2.4 Propriétés algébriques 206 204
CHAPITRE 7 6.3 6.4 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 7.10 6.2.5 Propriétés relatives à l'ordre 207 6.2.6 Relation de Chasles 211 6.2.7 Sommes de Riemann 213 Extension aux fondions à valeurs complexes Intégration et dérivation 6.4.1 Intégrale fonction de la borne d'en haut 218 6.4.2 Primitives 220 6.4.3 Changement de variable 223 6.4.4 Intégration par parties 224 6.4.5 Formule de Taylor avec reste intégral 226 6.4.6 Approximation d'une intégrale, méthode des rectangles, méthode des trapèzes 228 Fonctions usuelles Logarithme népérien Exponentielle Logarithmes et exponentielles de base a 216 218 233 234 236 7.3.1 Logarithme de base a 237 7.3.2 Exponentielle de base a 238 Puissances Comparaison locale des fondions logarithmes, puissances, exponentielles Fondions hyperboliques diredes Fondions hyperboliques réciproques 237 241 242 7.7.1 Argsh 247 7.7.2 Argch 248 7.7.3 Argth 249 Fondions circulaires diredes Fondions circulaires réciproques 7.9.1 Arcsin 255 7.9.2 Arccos 256 7.9.3 Arctan 257 Exponentielle complexe 244 247 251 255 260 Il CHAPITRE 8 8.1 8.2 Comparaison locale des fonctions Prépondérance, domination 263 264 8.1.1 Définitions 264 8.1.2 Opérations relatives à la prépondérance et à la domination 265 8.1.3 Exemples usuels 266 Équivalence 8.2.1 Définition 267 8.2.2 Opérations relatives à l'équivalence 268 267
8.2.3 Équivalents usuels 271 8.2.4 Exemples d'utilisation d'équivalents 272 8.3 Développements limités 274 8.3.1 Généralités 274 8.3.2 Le théorème de Taylor-Young 277 8.3.3 Dérivation et primitivation pour un DL(O) 279 8.3.4 Opérations sur les fonctions admettant un DLn(O) 281 8.3.5 Exemples d'utilisation de développements limités 288 8.4 Notion de développement asymptotique 291 8.4.1 Développement asymptotique dans l'échelle des x 1---+ x n, nez 291 8.4.2 Développement asymptotique dans l'échelle des x 1---+ xl', œ E lr 292 8.4.3 Exemples de développements asymptotiques utilisant des logarithmes ou des exponentielles 292 8.5 Étude pratique d'une fonction de lr. dans lr f représentation graphique 295 CHAPITRE 9 Calculs de primitives 299 9.1 Préambule 299 9.2 Changement de variable 301 9.3 Primitivation par parties 302 9.4 Liste des primitives usuelles 308 9.5 Primitivation des fonctions rationnelles 309 9.6 Exemples: primitivation de fonctions rationnelles en certaines fonctions usuelles 9.6.1 Fonctions rationnelles en sin x et cos x 313 9.6.2 Fonctions rationnelles en sh x et ch x 317 9.6.3 Fonctions rationnelles en e ax, œ E C* 318 ax +b 9.6.4 Fonctions rati'onnelles en x et n -- 319 ex +d 9.6.5 Fonctions rationnelles en x et J ax 2 + bx + e 321 CHAPITRE 10 Équations différentielles 327 10.1 Équations différentielles linéaires du premier ordre 328 10.1.1 Généralités 328 10.1.2 Résolution de l'équation sans second membre 329 10.1.3 Résolution de l'équation avec second membre 331 10.2 Équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants et à second membre de type exponentielle-polynôme 10.2.1 Généralités 339 10.2.2 Résolution de l'équation sans second membre 339 10.2.3 Résolution de l'équation avec second membre exponentielle- polynôme 342 313 339
CHAPITRE 11 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 Notions sur les fonctions de deux variables réelles Espace 1R 2, suites dans 1R 2 349 350 11.1.1 Espace]R2 350 11.1.2 Parties ouvertes 353 11.1.3 Suites dans ]R2 353 Limites, continuité 354 11.2.1 Limites 354 11.2.2 Continuité 355 Il.2.3 Continuité partielle 357 Dérivées partielles premières 360 11.3.1 Définitions 360 11.3.2 Applications de classe Cl sur un ouvert de ]R2 361 Dérivées partielles successives Il.4.1 Généralités 371 11.4.2 Applications de classe C k sur un ouvert de ]R2 372 Il.4.3 Interversion des dérivations 373 Extremums des fonctions numériques de deux variables réelles 371 376 11.5.1 Extremums locaux 376 11.5.2 Étude à l'ordre 1 377 11.5.3 Extremums globaux 378 Analyse vectorielle Il.6.1 Définitions 380 11.6.2 Formules d'analyse vectorielle 381 11.6.3 Potentiel scalaire 382 380 CHAPITRE 12 12.1 12.2 12.3 Compléments de _calcul intégral Intégrales curvilignes 383 384 12.1.1 Arcs orientés, courbes orientées 384 12.1.2 Définition de l'intégrale curviligne 385 12.1.3 Propriétés algébriques de l'intégrale curviligne 387 12.1.4 Circulation d'un champ de vecteurs le long d'une courbe orientée 391 12.1.5 Calculs d'aires planes 392 Intégrales doubles 12.2.1 Définition de l'intégrale double 395 12.2.2 Propriétés élémentaires de l'intégrale double 397 12.2.3 Changement de variables dans une intégrale double 398 12.2.4 Formule de Green-Riemann 403 Intégrales triples 12.3.1 Définition de l'intégrale triple 403 12.3.2 Propriétés élémentaires de l'intégrale triple 404 12.3.3 Changement de variables dans une intégrale triple 404 395 403
Solutions des exercices Chapitre 0 Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6 Chapitre 7 Chapitre 8 Chapitre 9 Chapitre 10 Chapitre 11 Chapitre 12 Index des notations Index alphabétique 410 420 429 436 444 449 459 465 472 481 487 492 498 505 507