Lycée Bilingue de Kribi Année Scolaire 0-0 Département de Mathématiques Classe : Première C EXERCICE POINTS Eamen séquentiel N 5 Epreuve de Mathématiques Dure : heures. Coefficient :.. Résoudre dans R le système suivant où a, b et c sont les termes consécutifs d une suite géométrique décroissante : a + b + c = 4 a + b + c = 7,5 pt. BEN EZRA, mathématicien arabe du XI e siècle posa le problème suivant :"et si on dit : un homme est entré dans un verger et il y a cueilli des fruits. Mais le verger avait trois entrées, gardées chacune par un gardien. Cet homme donc partagea équitablement les fruits avec le premier gardien et lui donna de plus, puis il partagea équitablement avec le deuième et lui en donna de plus, enfin il partagea équitablement avec le troisième, lui en donna de plus, et il sortit en ayant seulement un fruit. Combien de fruits a-t-il cueillis?" Trouver la solution du problème de BEN EZRA.,5 pt EXERCICE 5 POINTS ROGER FEDERER recordman de tennis (7 titres de grand chelem et 7 semaines consécutives en tant que numéro mondial) veut tester l efficacité de deu balles de tennis de marque A et B. Pour cela, il laisse tomber en chute libre les deu balles d une hauteur de m et constate que la balle de marque A perd le diième de sa hauteur après chaque rebond tandis que la hauteur de la balle de marque B diminue de 0cm après chaque rebond. Soit A n la hauteur en centimètres de la balle de marque A après n rebonds et B n celle en centimètres de la balle de marque B après n rebonds.. Donner l epression de A n+ en fonction de A n et celle de B n+ en fonction de B n. pt. Calculer A 5 et B 5 pts. La balle la plus efficace est celle qui rebondie le plus longtemps avant son arrêt complet. a) Calculer A 0 et B 0. pt b) Quelle est alors la balle la plus efficace? pt PROBLEME POINTS Partie A : Points Sur la figure ci-contre, ABC et CAD sont deu triangles isocèles tels que : AB = AC = CD = 4, Mes( AB, AC) = π 4 Mes( π CD, CA) = http://arthurjorge.unblog.fr Mars 0 Page /
. Soit r A la rotation de centre A qui transforme B en C et r C la rotation de centre C et d angle π. On pose f = r C r A. ( ) est la bissectrice de l angle ( AB, AC) et ( ) celle de l angle ( CD, CA) a) Déterminer les images par f de A et de B 0,5 pt b) Montrer que f = s ( ) s ( ) et en déduire que f est une rotation dont on précisera le centre Ω et l angle.,5 pt. Soit S la similitude directe de centre Ω qui transforme A en B. On note C l image de C par S, H le milieu du segment [BC] et H son image par S. a) En utilisant le théorème d Al Kashi, calculer BC pt b) En déduire la valeur eacte de ΩA pt c) Calculer ΩB et en déduire le rapport de S ΩA pt d) Déterminer l angle de la similitude S. 0,5 pt Partie B : points ξ désigne un espace affine muni d un repère orthonormé direct (O, i, j, k ). on donne A(; ; 0), B(; ; ), C(; 0; ) et D(; ; ).. a) Montrer que les points A, B et C définissent un plan que l on notera par (P ). 0,5 pt b) Ecrire une équation cartésienne du plan (P ). 0,5 pt. ( ) est la droite passant par D et orthogonale au plan (P ). a) Donner une représentation paramétrique de ( ). 0,5 pt b) Déterminer les coordonnées du point E, intersection de (P ) et ( ). 0,5 pt c) Calculer la distance de D à (P ) et la comparer à DE. pt. Justifier que ABCD est un tétraèdre et calculer son volume. pt 4. (Γ) est l ensemble des points M(, y, z) de ξ vérifiant : + y + z 4y z + = 0. a) Donner la nature et les éléments caractéristiques de (Γ). pt b) Etudier l intersection de (Γ) et (P ). pt http://arthurjorge.unblog.fr Mars 0 Page /
pour b = 4 on a : a + c = 0 a et c sont solutions de l équa- ac = tion 0 + = 0 = 00 4 = = CORRECTION EXERCICE POINTS a + b + c = 4. Résolvons le système a + b + c = 7 où a, b et c sont les termes consécutifs d une suite géométrique décroissante. Puisque a, b et c sont les termes consécutifs d une suite géométrique on a la relation b = ac. a + b + c = 4 a + b + c = 4 a + b + c = 7 bc abc + ac abc + ab abc = 7 a + b + c = 4 bc b + b b + ab b = 7 a + b + c = 4 ab + b + bc = 7 b a + b + c = 4 Ainsi, a + b + c = 7 b a + b + c = 4 4 b = 7 a + b + c = 4 7b = a + b + c = 4 b = a + b + c = 4 b = 4 ou b = 4 pour b = 4 on a : a + c = a et c sont solutions de ac = l équation + = 0 = 4 4 = 0 = ( 5) = 0 = et = 0 + = = 5 9 + 5 La suite étant décroissante on a a > b > c. Ainsi on a a =, b = 4 et c = = 9 5 et = + 5. Trouvons la solution du problème de BEN EZRA. Soit le nombre total de fruits qu il a cueilli. Que lui reste-il après chaque partage? Après le premier gardien, il lui reste fruits Après le deuième gardien, il lui reste fruits Après le troisième gardien, il lui reste fruits = On a donc = http://arthurjorge.unblog.fr Mars 0 Page /
= = = = = = = Donc l homme avait cueilli fruits. EXERCICE 5 POINTS. Donnons l epression de A n+ en fonction de A n et de B n+ en fonction de B n. A n+ = A n 0 A n = 9 0 A n. D où (A n ) est une suite géométrique de raison 9 et de premier terme 0 A 0 = 00. B n+ = B n 0. Donc (B n ) est une suite arithmétique de raison -0 et de premier terme B 0 = 00. Calculons A 5 et ( B 5 ) n 9 On a : A n = 00 et B n = 00 0n. 0 ( ) 9 5 Donc A 5 = 00 = 00 0, 9 5 = 00 0, 59049 =, 09 0 B 5 = 00 0 5 = 00 50 = 50. a) Calculons A 0 et B 0 A 0 = 00 0, 9 0 = 00 0, 5754590590 = 4, 509570 B 0 = 00 0 0 = 00 00 = 0 b) La balle la plus efficace est sans aucun doute la balle de marque A. PROBLEME POINTS Partie A : Points. f = r C r A a) f(a) = r C r A (A) = r C (A) = D et f(b) = r C r A (B) = r C (C) = C b) Montrons que f = s ( ) s ( ) r A = s (AC) s ( ) et r C = s ( ) s (AC) Ainsi, f = r C r A = s ( ) s (AC) s (AC) s ( ) = s ( ) s ( ) Les droites ( ) et ( ) sont sécantes en Ω donc f est la rotation de centre Ω et d angle α = π 4 π = π 4. a) Calculons BC D après Al Kashi, on a : BC = AB + AC AB.AC. cos BAC = 4 + 4 4 4 cos( π 4 ) Donc BC = = = ( ) BC = 4 http://arthurjorge.unblog.fr Mars 0 Page 4/
b) Valeur eacte de ΩA Le triangle AHC est rectangle en H donc on a : AC = AH + HC AH = AC HC = AC BC 4 AH = + ΩA = AH = 4 + c) Le quadrilatère ACΩB est un losange donc ΩB = AC. Ainsi, ΩB ΩA = AC ΩA = 4 4 + =. Donc S est la similitude de rapport + = 4 ( ) 4 = 4( ) = + 4 = 4( + ) + d) La mesure de l angle de la similitude S est la mesure de l angle ( ΩA, ΩB) qui est π. Partie B : on donne A(; ; 0), B(; ; ), C(; 0; ) et D(; ; ).. a) Montrons que les points A, B et C définissent un plan. AB(0; ; ) et 0 AC( ; ; ). De plus,. Les coordonnées de ces deu vecteurs ne sont pas deu à deu proportionnelles donc ils ne sont pas colinéaires et par conséquent, les points A, B et C forment un plan (P ). b) Equation cartésienne du plan (P ) Pour tout point M(; y; z) de (P ), on a : (P ) : = β y = + α + β z = α + β Ainsi, on a : y = + (z + ) + y = + z. D où (P ) : y + z = 0. ( ) est la droite passant par D et orthogonale au plan (P ). a) Représentation paramétrique de ( ) Un vecteur normal de (P ) est un vecteur directeur de ( ). Donc on a : ( ) : b) Coordonnées du point E, intersection dev(p ) et ( ). Posons E( 0 ; y 0 ; z 0 ). 0 = + t E ( ) y 0 = t z 0 = + t β = y = + α + β α = z β = + t y = t z = + t http://arthurjorge.unblog.fr Mars 0 Page 5/
E (P ) 0 y 0 + z 0 = 0 0 y 0 + z 0 = 0 + t ( t) + ( + t) = 0 t = 0 t = 0 = + 0 = 4 0 = + t y 0 = t y 0 = y 0 = 5 ( 4 Donc E z 0 = + t z 0 = + z 0 = 5 ; 5 ; 5 ) c) Calculons la distance de D à (P ) et comparons à DE + d(d, (P )) = + ( ) + = = ( ) ( DE = + ( ) + = ) 9 + 9 + 4 9 = 9 = Donc DE = d(d, (P )). Justifions que ABCD est un tétraèdre et calculons son volume d(d, (P )) 0 donc D (P ). Par conséquent, les points A, B, C et D ne sont pas coplanaires et forment donc un tétraèdre. Si ABC est la base de ce tétraèdre, la hauteur est DE. On a : AB = ( ) + ( + ) + ( 0) = 5 AC = ( ) + (0 + ) + ( 0) = BC = ( ) + (0 ) + ( ) =. On constate que AB = BC + AC donc ABC est un triangle rectangle en C. BC AC Ainsi, l aire du triangle ABC est : = Le volume du tétraèdre est donc égale : V =. = = = 4. (Γ) : + y + z 4y z + = 0 a) + y + z 4y z + = 0 ( ) + (y ) + (z ) 4 = 0. Donc (Γ) est la sphère de centre D et de rayon r =. b) d(d, (P )) < r donc (Γ) (P ) est le cercle de centre E et de rayon R = 0 = 0. ( ) = 4 = http://arthurjorge.unblog.fr Mars 0 Page /