Exercice Dans chacune des siuaions suivanes, déerminer la valeur de.. Le chiffre des venes d un magazine a augmené de % puis diminué de %. Globalemen il a augmené de 6%. D après l énoncé, on a :,6 = +% +%, + D aure par, on sai que =, + donc + =, =,6, d où =,6, soi =,6, = 7, Conclusion : on rouve = 7, En d aures ermes, une hausse de % suivie d une baisse de 7, % équivalen à une hausse de 6 %.. Après deux hausses successives de %, le nombre d abonnés sur un réseau social a globalemen augmené de 96 %. D après l énoncé, on a :,96 = D aure par, on sai que = + + +% +% donc + =,96 ou + =,96 =,96 ou + + =,96 Puis = (,96 ) ou = (,96 ) Enfin = 0 ou = 80 Conclusion : On rejee la soluion négaive éan donné que si l on avai deux baisses successives, on ne pourrai avoir une hausse à la fin, donc on ne gardera que : = 0. En d aures ermes, deux hausses successives de 0 % équivalen à une hausse de 96 %. (**) : Pour a réel posiif, l équaion X² = a équivau à X = a ou X = a. Suie à un régime, le poids de Teva a baissé de %, puis il a augmené de %. Globalemen il a perdu 9 % de son poids iniial. % +% + D après l énoncé, on a : 0,9 = D aure par, on sai que = + ² ² donc = 0,9 d où = 0,9 = 0,09 ² ² soi ²= ² 0,09 ou encore ² = 900 Enfin = 900 = 0 ou = 900 = 0. Conclusion : on peu garder les deux valeurs. En d aures ermes, une baisse de 0 % suivie d une hausse de 0 % équivalen à une baisse de 9 %. Mais aussi, une hausse de 0 % suivie d une baisse de 0% équivalen à une baisse de 9 %. of 7 7-8_LPG_ES_DM c
. Le prix d une acion en bourse a augmené de % puis de % duran la même journée. A la clôure, son prix a globalemen éé muliplié par,. + % +% + D après l énoncé, on a :, = D aure par, on sai que = + + donc + + + ² ² =, ² d où ² + 0, = 0 ou encore ² + 00 00 = 0 (on muliplie ou par ²) On a une équaion du nd degré : = 00 ² () ( 00) = 600 00 600 00 + 600 Il y a soluions : = = 60 e = = 0. Conclusion : on ne peu garder que la valeur posiive ce qui correspond à une hausse. Si on avai eu deux baisses successives, on ne pourrai avoir une hausse. En d aures ermes, une hausse de 0 % suivie d une hausse de 0 % équivalen à une hausse de %. Exercice On considère la foncion f définie sur [ ;] par : f(x) = x² +x+ e la foncion g définie sur [ ;] par g(x) = x+.. a. Monrer que pour ou réel x, f(x) = (x )² +9. Pour ou réel x, (x )² +9 = (x² x + ) + 9 = x² + x +9 = x² + x +8 = x²+ x + = f(x) b. En déduire le ableau de variaion de f. On jusifiera avec soin la réponse. D après la quesion précédene, on a la forme canonique de f (sous la forme a (x α )²+ β avec a =, α = e β = 9 ). Comme a <0, la parabole représenan f es orienée vers le bas, e comme α =, on en dédui que la foncion f es sricemen croissane sur ] ; ] puis sricemen décroissane sur [ ; + [. On a donc le ableau de variaion suivan : x + f 9. Dresser en jusifian les résulas le ableau de variaion de la foncion g. g es une foncion affine (de la forme a x +b avec a = e b = ). Comme a < 0, alors la foncion g es sricemen décroissane sur R d où le ableau de variaion suivan : of 7 7-8_LPG_ES_DM c
x + g. Déerminer les coordonnées des poins d inersecion de chaque courbe avec l axe des ordonnées. Avec l axe des ordonnées : g(0) = donc la droie représenan g renconre l axe des ordonnées au poin A de coordonnées (0 ;) f(0) = donc la parabole représenan f renconre l axe des ordonnées au même poin A.. Déerminer les coordonnées des poins d inersecion de chaque courbe avec l axe des abscisses. Avec l axe des abscisses : g(x) = 0 équivau à x+ = 0 d où x = Conclusion : la droie représenan g renconre l axe des abscisses au poin B de coordonnées ( ;0) f(x) = 0 = ()² ( )() = 9 On en dédui que f adme racines : x = 9 = e x = + 9 = Conclusion : la parabole représenan f renconre l axe des abscisses aux poins C ( ;0) e B( ;0). Tracer les courbes des foncions f e g dans un même repère d unié cm sur chaque axe. Pour racer soigneusemen une courbe, on place plusieurs poins. Pour cela on dresse un ableau de valeurs : Pour représener la foncion f : x, 0, 0 0,,, f(x),7 0,,, 0,7 Pour représener la foncion g : x g(x) 0 G éan une foncion affine, sa représenaion graphique es une droie, il suffi de placer deux poins de cee droie, ce qui explique qu il n es pas nécessaire de chercher plus de poins. Cela di, que cela ne vous empêche pas de chercher un ou deux poins de plus, ne seraice que pour la précision du racé e aussi pour s assurer de ne pas faire d erreurs, dans la mesure où les rois ou quare poins placés doiven êre alignés. of 7 7-8_LPG_ES_DM c
6. Résoudre graphiquemen l équaion f(x) = g(x). METHODE : Les soluions de l équaion f(x) = g(x) son les abscisses des poins communs enre la courbe représenan f e celle représenan g. En d aures ermes, ici il s agi de lire les abscisses des poins communs de la parabole e de la droie. Par lecure graphique, les soluions de l équaion f(x) = g(x) son les réels 0 e. (Les poins communs son A e B e ils on respecivemen pour abscisse 0 e, d où la réponse). 7. Résoudre algébriquemen l équaion f(x) = g(x) e comparer avec les résulas de la quesion précédene. f(x) = g(x) équivau à x² +x+ = x+ ou encore à x² +x = 0 On a une équaion du second degré. Il n es pas uile de chercher le discriminan Ici, x² +x = 0 équivau à x ( x+) = 0 (c es une équaion- produi) D où : x = 0 ou x = Conclusion : On rerouve bien par le calcul, les valeurs 0 e. Rappel : a b = 0 a= 0 ou b = 0 8. Résoudre graphiquemen l inéquaion g(x) f(x) puis rerouver les résulas par le calcul. of 7 7-8_LPG_ES_DM c
METHODE : Pour déerminer graphiquemen les soluions de l inéquaion g(x) f(x). On commence par repérer la (ou les paries) de la courbe représenan la foncion g siuée(s) en dessous de celle(s) représenan la foncion f.. Ensuie, il ne rese plus qu à lire les abscisses des poins correspondans. Voir ci-conre (parie en mauve). Graphiquemen l inéquaion g(x) f(x) adme pour soluion l ensemble des réels x de l inervalle [0 ;] Par le calcul : g(x) f(x) x+ x² +x+ x² x 0 x (x ) 0 On es amené à résoudre une inéquaion du nd degré (x² x 0). Les soluions de l équaion x² x = 0 son 0 e. La parabole représenan la foncion x : x² x es orienée vers le hau (le coefficien de x² es qui es posiif), e elle coupe l axe des abscisses aux poins d abscisse respecive 0 e. Du coup, on obien le ableau de signe suivan : x 0 + Conclusion : g(x) f(x) pour x [0 ;] Signe de x² x + 0 0 + Exercice X es une variable aléaoire prenan les valeurs,, 0 e 0. On sai que : P(X = ) = P(X = 0) ; P(X = ) = P(X = 0) e P(X = ) = P(X = ). Quelle es la loi de probabilié de X? D après l énoncé, l ensemble des valeurs prises par X es { ; ;0 ; 0} of 7 7-8_LPG_ES_DM c
D après le cours, on sai que : P(X = )+P(X = )+P(X = 0)+P(X = 0) = Noons x = P(X = ) D après l énoncé, P(X = 0) = x ; Comme P(X = ) = P(X = ) alors P(X = ) = P(X = ) = x E comme P(X = ) = P(X = 0) alors P(X = 0) = P(X = ) = x En reprenan l égalié : P(X = )+P(X = )+P(X = 0)+P(X = 0) = On obien : x + x + x +x = soi x = d où x = Finalemen : P(X = )= P(X = 0) = ; P(X = ) = x = = 9 e P(X = 0) = x = = 9 Conclusion : La loi de probabilié de X es donnée par le ableau suivan xi 0 0 P(X=xi) 9 9 On a bien + 9 + 9 + = Exercice On lance deux dés éraédriques non ruquées don les faces son numéroées à. On noe : S la variable aléaoire égale à la somme des poins obenus sur la face du dessous. M la variable aléaoire égale au plus grand des deux numéros obenus. Donner la loi de probabilié de S e de M puis déerminer leur espérance mahémaique. On peu représener l ensemble des issues liées à l expérience à l aide du ableau suivan puis préciser pour chacune des issues la valeur prise par S (en bleu) Dé n Dé n ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ;) ( ; ) ( ; ) ( ; ) 6 ( ; ) ( ; ) ( ; ) 6 ( ; ) 7 ( ; ) ( ; ) 6 ( ; ) 7 ( ; ) 8 L univers Ω conien 6 issues oues équiprobables. Une issue es modélisée par un couple (i ;j) où i e j son des eniers compris enre e. i désignan le résula obenu avec le dé n e j celui obenu avec le dé n. L ensemble des valeur prises par S es l ensemble { ; ; ; ;6 ;7 ;8} La loi de S es donnée par le ableau suivan : si 6 7 8 On a bien : P(S = si) 6 + 6 + 6 + 6 + 6 6 = 8 6 6 6 6 = 8 6 6 + 6 + 6 = 6 of 7 7-8_LPG_ES_DM c
L espérance E(S) de la variable aléaoire S vérifie : E(S)= 6 + 6 + 6 + 6 +6 6 +7 6 +8 6 = 80 6 = Inerpréaion : Sur un grand nombre d expériences, en moyenne on peu espérer obenir une somme égale à par expériences. On peu représener l ensemble des issues liées à l expérience à l aide du ableau suivan puis préciser pour chacune des issues la valeur prise par M (en bleu) Dé n Dé n ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ;) ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) L univers Ω conien 6 issues oues équiprobables. Une issue es modélisée par un couple (i ;j) où i e j son des eniers compris enre e. i désignan le résula obenu avec le dé n e j celui obenu avec le dé n. L ensemble des valeur prises par M es l ensemble { ; ; ;} La loi de M es donnée par le ableau suivan : mi P(M = mi) 7 6 6 6 6 On a bien : 6 + 6 + 6 + 7 6 = L espérance E(M) de la variable aléaoire M vérifie : E(M)= 6 + 6 + 6 + 7 6 = 0 6 =, 7 of 7 7-8_LPG_ES_DM c