SUITES ET FONCTIONS. Espaces vectoriels ormés réels ou complexes.. Normes et distaces. Exercice... F Soit E l espace vectoriel des foctios de classe C sur [a, b], o pose Nf = fc + f où c [a, b], f désigat la orme de la covergece uiforme. Prouver que N est ue orme ; est-elle équivalete à la orme de la covergece uiforme? Exercice... F Soit E = C [, ], R, g E, o défiit N g f = sup fxgx. x [,] À quelle coditio N g est-elle ue orme sur E? O suppose que g e s aule pas sur [, ], comparer N g et la orme de la covergece uiforme. Exercice..3. F C O rappelle que dx, A = if{dx, a, a A}. Prouver que l applicatio d A : x E dx, A est lipschitziee... Suites d élémets d u espace vectoriel ormé. Exercice... F C Covergece faible et forte : Soit E u espace préhilbertie, o dit que la suite x coverge faiblemet vers x ssi y E, lim x x y =. + O dit que x coverge fortemet vers x ssi lim x x =. + Motrer l équivalece : x coverge faiblemet vers x, lim x = x x coverge fortemet vers x. +.3. Exemples d étude de suites. Exercice.3.. F Étudier les suites défiies par : u et u + = fu das les cas suivats : a u R, fx = a + a + x a >. b u R, fx = a si x + b, a <. c u R, fx = x + a où a > et p N {, }. p pxp
SUITES ET FONCTIONS Exercice.3.. I O cosidère la suite de réels défiie par x = a et x + = αx + β avec βa α. Motrer que x coverge ssi α <. O programme le calcul des termes de la suite x et o suppose que les calculs sot fait avec d décimales. O ote ε l erreur d arrodi das le calcul de x i.e. si x est la valeur effectivemet stockée e mémoire avec d décimales alors x = x + ε et δ celle faite das le calcul de x à partir de x δ est l erreur d arrodi faite sur x. O suppose α et β cous exactemet et les x correctemet arrodis au ombre décimal le plus proche. Trouver u majorat δ des δ. 3 Doer ue relatio liat ε, ε et δ. 4 Motrer alors par récurrece que ε = 5 E déduire que ε δ α. k= d,k δ k où d,k = O prouve e fait que l écart type de l erreur ε est majorée par { si = k αd,k si > k. d α. Exercice.3.3. I T Soit f C I où I est u itervalle ouvert. Écrire la formule de Taylor reste itégral à l ordre pour fx + h et fx h. E déduire les limites, quad h, des expressios fx + h fx h h et fx + h fx + fx h h O veut approcher f x coaissat les valeurs de f. a Expliquer pourquoi o e peut utiliser la formule de la questio pour avoir ue boe précisio. fx + h fx h b O ote Th =, doer l expressio de Th à l aide de la h formule de Taylor à l ordre. c O pose T h = Th et o défiit par récurrece T i i h = T h/ et Tm i h = 4m Tm h i+ Tm h i. 4 m Doer l expressio de T h à l aide de la formule de Taylor à l ordre = p + 3, o e calculera pas le reste itégral. Calculer les valeurs successives des Tm i h m 3, i 5 pour fx = cotax avec x =, 4, h =, 8 et comparer les résultats obteus avec la valeur doée par la machie o doera des valeurs approchées à 7 près. Exercice.3.4. D Soit u la suite défiie par u = et la relatio de récurrece u + = + u. Doer u équivalet de u et doer u développemet asymptotique à termes de u.
SUITES ET FONCTIONS 3 Exercice.3.5. D Soit f ue applicatio q-lipschitziee de R das R admettat a comme poit fixe. O défiit par récurrece la suite u par u R, u + = a + fu où a est ue suite de réels vérifiat a α u + β, α et β état suites de réels tedat vers. Motrer que u a..4. Topologie d u espace vectoriel ormé. Exercice.4.. F Soiet A et B deux esembles o vides d u espace vectoriel ormé E tels que A B = A B =. Motrer qu il existe U et V deux ouverts disjoits tels que A U et B V. Exercice.4.. I C Jauge das u espace vectoriel ormé Soit E u R-espace vectoriel ormé et O u ouvert covexe i.e. x, y O, t ], [, tx + ty O, { boré, symétrique i.e. x O, x O. si x = O défiit Nx = if{λ R + x λ O}. Prouver que N est ue orme, que dire de O pour cette orme? Comparer les topologies de E,. et E, N..5. Étude locale d ue applicatio, cotiuité. Exercice.5.. F Motrer que si f est cotiue : fa fa, doer u cotre-exemple où l o a pas égalité. Exercice.5.. I Soit A ue partie o vide de E et f : A R ue applicatio k-lipschitziee. Justifier la défiitio de g : E R suivate : gx = supft k x t. t A Vérifier que g est u prologemet de f et que g est lipschitziee.
4 SUITES ET FONCTIONS.6. Applicatios liéaires cotiues. Exercice.6.. I Soit f FE, F E, F R-espaces vectoriels ormés vérifiat : x, y E : fx + y = fx + fy et f borée sur la boule uité. Motrer que f est liéaire. Exercice.6.. I C E espace vectoriel ormé, f, g L E vérifiat : f g g f = Id E. Motrer que : f g g f = g. Motrer que f et g e sot pas simultaémet cotius. 3 E déduire que, si dim E < +, f, g L E : f g g f = Id E. 4 Trouver u exemple de tels couples f, g. Exercice.6.3. I C Soit H u hyperpla de E espace vectoriel ormé tel que H = Ker f où f est ue forme liéaire o ulle. Motrer l équivalece : f cotiue ssi H o dese das E..7. Complétude, compacité. Exercice.7.. F Soit A ue partie dese d u espace vectoriel ormé E. Motrer que, si toute suite de Cauchy de poits de A coverge das E, E est complet. Exercice.7.. F O pred E = R[X] et o pose où P = a i X i. i= N P = sup a i, N P = i [,] Étudier la compacité de la boule uité pour ces ormes. a i i= Exercice.7.3. I C Soit ue orme sur R et dla distace associée ; si A et B sot des parties de R, o pose : da, B = if{dx, y, x, y A B}. Existe-t-il a, b A B tel que da, B = da, b das les cas suivats : i A et B fermés ; ii A et B compacts ; iii A fermé et B compact?
Exercice.7.4. I Soit E u K-espace vectoriel ormé K = R ou C. M E est dite équilibrée ssi : λ K, λ λm M. SUITES ET FONCTIONS 5 Motrer que, si M est ue partie quelcoque de E, l itersectio de toutes les parties équilibrées de E coteat M est ue partie équilibrée de E otée M et appelée eveloppe équilibrée de M. Motrer que si M est compacte alors M est compacte. 3 Que peut-o dire si M est fermée? Exercice.7.5. I Soit E u espace vectoriel ormé, A u compact de E et f ue applicatio de A das A telle que x, y A, dfx, fy dx, y. Motrer que f est ue isométrie et que fa = A. Soiet a et b deux élémets de A, o défiit f = f f et a = f a, b = f b ; prouver que ε >, k N, da, a k < ε et db, b k < ε, e déduire que fa est dese das A et que dfa, fb = da, b. Exercice.7.6. F Soit E u espace vectoriel ormé, A u compact de E et f ue applicatio de A das A telle que x, y A, dfx, fy < dx, y pour x y, prouver que f a u poit fixe i.e. z A fz = z procéder par l absurde e supposat que c = if{dx, fx, x A} >.. Espaces vectoriels ormés de dimesio fiie.. Topologie d u espace vectoriel ormé de dimesio fiie. Exercice... F Soiet x, x,...,x des réels tels que : x < x <... < x. Das R [X], o pose : P = Px p où P R [X]. p= Motrer que P est ue orme das R [X]. Prouver que : a >, P a sup Px. x [,]
6 SUITES ET FONCTIONS Exercice... D Soit a R N telle que : lim a + a = ; soit A l esemble des valeurs d adhérece de + la suite a das R. O suppose que A cotiet poits disticts : α, β α < β et o désige par h et k suites d etiers telles que : lim a h = α et lim a k = β. + + Motrer que : γ ]α, β[, o peut costruire ue suite d etiers j telle que : o pourra predre j etre k et h. E déduire que A est u itervalle de R. lim a j = γ + Exercice..3. F Soit A ue partie de R p ayat u seul poit d accumulatio, prouver que A est déombrable. Exercice..4. F Soit K u compact covexe de R. Motrer qu il existe u triagle iclus das K d aire maximale. Exercice..5. I C Soiet A et B parties de R. a Motrer que : A B A B et doer u cotre-exemple où l o a pas égalité. b Motrer par cotre que : A B = A B. Soit C = A + B où A est u compact de R et B u fermé. a Motrer que C est fermé utiliser les suites. b Doer u cotre-exemple où A et B sot fermés et où C est pas fermé. 3 Si A est ue partie quelcoque de R et B u ouvert, motrer que C est u ouvert. Exercice..6. F C Motrer que l esemble des matrices iversibles de M R est u ouvert dese. So complémetaire est-il compact? Exercice..7. F Rayo spectral Soit M M R ue matrice diagoalisable, o pose R M = sup λ. Si. est ue orme λ SpM sur M R, o pose f p M = M p /p. Motrer que lim f pm = R M. p + Exercice..8. F C Motrer que O est compact.
SUITES ET FONCTIONS 7 Exercice..9. I Distace de Hausdorff : Soit A et B deux compacts de E espace vectoriel ormé de dimesio fiie, o appelle distace d u poit à B le ombre dx, B = if x y ; o ote ha, B = sup dx, B et δa, B = y B x A supha, B, hb, A. Motrer que δ vérifie les axiomes de la distace sur l esemble des fermés de E i.e. δa, B = ssi A = B, δa, B = δb, A, δa, B δa, C + δc, B et ceci pour tout triplet A, B, C... Coexité par arcs. Exercice... F Soit f CI, R ue applicatio ijective défiie sur l itervalle I. Si A = {x, y I x < y}, motrer que l applicatio g : x, y A est cotiue. E déduire que f est strictemet mootoe. fy fx y x Exercice... I Le théorème de Riesz L objectif ici est de prouver que, si E est u espace vectoriel ormé et si la boule uité fermée est compacte alors E est de dimesio fiie ce qui fourit u critère topologique à la dimesio fiie. Soit E u e.v.. de dimesio et F u sous-espace vectoriel strict de E o réduit à {} et de dimesio fiie. a Motrer que F est u fermé de E. b Motrer que dλx, F = λ dx, F. c Motrer que y F, dx, F = dx + y, F. d Déduire des 3 questios précédetes l existece de x E tel que x = et dx, F =. O raisoe par l absurde e supposat que dime = +. Costruire ue suite x de E telle que x = et dx, Vectx,...,x = et coclure. 3. Séries d élémets d u espace vectoriel ormé 3.. Suites et séries. Exercice 3... F Soit a > et a N ue suite telle que a + = a α p α > et a = a. p= O pose A = l a p ; étudier la série A + A. p= E déduire que : + a p coverge et calculer sa somme das le cas où α. p=
8 SUITES ET FONCTIONS Exercice 3... I Étudier la série de terme gééral u = l e s où s = k+. k k= Exercice 3..3. F, X, XX X p + p! XX Das R p [X] motrer que la famille,..., XX X p + est ue base. Si PX = a + a X + + a p motrer que p! a k = Pk k Pk + + k P. O cosidère maiteat la série de terme gééral : P, calculer sa somme e foctio! de P, P,..., Pp deg P = p. Exercice 3..4. F C Étudier la covergece et détermier la somme de la série + u où u = + 9 + 5 + + 3 + 5 + 4. Exercice 3..5. F Calculer + + l +. Exercice 3..6. I C Trouver les sommes des séries de terme gééral : + Arcta si cos cos! x 3 + + + 4 th + 3.. Séries de ombres réels positifs. Exercice 3... F Critère logarithmique de Cauchy : Soit u ue suite de réels positifs, motrer que : s il existe etier et u réel k > tels que l u > k l alors + coverge, s il existe N tel que l l alors la série + u diverge. u E déduire le critère logarithmique de Cauchy : l/u lim + l = l { l > l < la série coverge la série diverge u
Exercice 3... F C Soit u ue série à termes positifs telle que u ց. Motrer que si + u coverge, alors lim u =. + Réciproque? SUITES ET FONCTIONS 9 Exercice 3..3. F Soiet a et b des suites de réels telles que : N, a, + o pose : Détermier lim u. N : u = a b + a b + + a b a + a + + a. a = + et lim + b = b, Exercice 3..4. F Si a est ue série à termes positifs, covergete, motrer que lim a a a / =. + Exercice 3..5. F Motrer que la série de terme gééral u = Arcta + a Arcta est covergete. Si fa désige sa somme, calculer lim a + fa. Exercice 3..6. F Soit a ue série à termes positifs telle que lim a = α α. + a + Discuter, selo les valeurs de α, la ature de la série a. Préciser pour quelles valeurs de a, la série u = aa a +! coverge. Exercice 3..7. I C Comparer la ature des séries de termes gééraux : où a ց, a. a, a a + a + + a, a
SUITES ET FONCTIONS Exercice 3..8. I C Soit u ue suite de réels positifs, o pose v = et o défiit v + = v + v + u. Motrer l équivalece : + u coverge v a ue limite. Exercice 3..9. I C Étudier la covergece de la série obteue à partir de la série harmoique tous les etiers dot l écriture e base cotiet le ombre 5. e supprimat Exercice 3... I Soit u ue suite décroissate vers. O suppose que la suite s = u k u est borée. Motrer que la série + u coverge. k= Exercice 3... I Soit u ue série covergete à termes positifs. Motrer que l o a : u + u + + u i lim =, + ii + u + u + + u = + u décomposer + = = +. Exercice 3... I T Trouver α et β pour que π αt + βt cost dt = ; e déduire + = = π 6. 3.3. Sommatio des relatios de comparaiso. Exercice 3.3.. D Soit u et v suites de réels telles que v = u + + u pour tout. Motrer que u coverge ssi v coverge. Gééraliser ce résultat au cas où v = λu + + u avec λ >.
3.4. Comparaiso d ue série à ue itégrale. Exercice 3.4.. I les valeurs : SUITES ET FONCTIONS Étudier la covergece des séries de terme gééral u où u pred taπ/4+/ ta π [ 4 α + + 7 l l π/ ] 5 [! ] 4 + cos π [ l 3 l + / α + k] α > 6 arccos 8 l + + l 9 α si 3 x π/ si x dx dx + x k= + dx + x +/ Exercice 3.4.. I Nature de la série u où u = α et S = l k pour. S k= Exercice 3.4.3. I O s itéresse à la foctio f est-elle bijective de R + sur R +? Étudier la série + f l α. =3 fx = x π Arcta t dt 3.5. Séries d élémets d u e.v.. de dimesio fiie. Exercice 3.5.. I Étudier les séries u où u vaut : th 3 l + α + α 4 si π 3 3 + cosl 5 6! 4! 7 si/ 8 si [ 3 π ] 8 si [ + 3 π ] + i π 9 + a, a C cos cos π πe /!! + +! +! Exercice 3.5.. I Soit u ue suite de réels positifs telle que u + absolumet. Étudier selo les valeurs de α la ature de la série u. Applicatio : ature de! p= si p. u = α + v où α R et v coverge
SUITES ET FONCTIONS Exercice 3.5.3. F Soit Px ue fractio ratioelle à coefficiets réels ou complexes. O cosidère la série de Qx terme gééral : u = P assez grad. Q Motrer que + u est A.C. ssi deg Q deg P +. =a Motrer que + u coverge ssi deg Q deg P + retracher de u sa partie pricipale. =a Exercice 3.5.4. F C Soit a ue suite de réels, motrer que si + a coverge, + Réciproque? = a coverge. Exercice 3.5.5. F C Soit u la suite défiie pour par : u 3p+ = 4p +, u 3p+ = 4p + 3, u 3p+3 = p +. Motrer que + u est covergete et que : + u = + w où w = u 3+ + u 3+ + u 3+3. = Motrer que la suite u se déduit de v = termes. 3 Motrer que : p N, 3p u = 4p que + = + = = = l, motrer que : + u = 3 l. = par chagemet de l ordre des p + + + p. E admettat Exercice 3.5.6. I T C Motrer que la série, m m est covergete et a pour somme 4m. Soit u m = m si m, u =, motrer que + + + + u m = u m m= m= Exercice 3.5.7. F Nature des séries + u et + v où u = si [π ] 3 et v = si [π + ] 3.
Exercice 3.5.8. F Nature de la série + α l + β où α, β R. SUITES ET FONCTIONS 3 Exercice 3.5.9. F Discuter e foctio de α, β R la ature de la série de terme gééral : u = α + β. Exercice 3.5.. I O pose u = + q. q q= Motrer que lim + u = o motrera que lim + l u =. Motrer qu il existe a > tel que u a reveir au logarithme. Exercice 3.5.. I Soit a ue série à termes positifs telle que l o ait, au voisiage de + : a + = a + o. l Motrer que + a est divergete. Exercice 3.5.. I Soit u = u p,q p,q N vérifiat les hypothèses du théorème d iterversio de sommatios, o veut prouver que + + + u p,q = u p,q. O admettra que lim + p= u p,q sot tous positifs. L étedre esuite au cas complexe. q= u p,q = + + p,q [[,]] p= p+q= u p,q. Prouver ce résultat lorsque les termes q= Exercice 3.5.3. I Étudier la covergece de i,j i + j + α
4 SUITES ET FONCTIONS Exercice 3.5.4. I Étudier la covergece et calculer la somme de la suite double i + j i + j +. i,j O rappelle que = π 6. Déduire du. la somme + E = + o admettra que lim N + i + j i + j + = i + j i + j + i+j N. i,j Exercice 3.5.5. I Motrer que, pour x <, la suite double ote Sx sa somme. p+q p+q q Motrer que lorsque Sx est défiie alors Sx = p+q p+q x p+q = Sx. lim N + p+q= q x p+q p,q N coverge. O + x + x o admettra que 3 Mettre Sx sous la forme + a x de deux faços différetes. 4 E déduire la valeur selo de d = k k j o admettra ici le résultat j k,j+k= suivat : le développemet limité à l ordre N au voisiage de de + a x est N a x ceci se démotre avec les séries etières vues plus loi das la chapitre 7. Exercice 3.5.6. I O ote d le ombre de diviseurs de l etier. Motrer que la série de coverge et, e utilisat ue série double, que sa somme est égale à + de e p = e p. N p= Exercice 3.5.7. I Motrer que la somme + + est ratioelle et calculer sa valeur. a= b= a b + ab + ab Peut-o trouver d autres sommes de ce gere? Exercice 3.5.8. I Calculer la somme de la suite double u p,q = 3p q p+q, p, q N o utilisera la propriété + + N u p,q = lim u p,q. p= q= N + p+q=
SUITES ET FONCTIONS 5 4. Suites et séries de foctios 4.. Covergece simple, uiforme, ormale. Exercice 4... F Étudier la covergece de la suite de foctios défiie par : E déduire l étude des suites I = f t = t, f + t = + f t, t [, ]. f t dt, J = dt f t, K = f t f t dt. Exercice 4... I Étudier la covergece simple et uiforme de la suite de foctios umériques f das chacu des cas suivats : x l x, x [, ] x 4 + x 7 si x, x ], π[ si x si x x, f =, x a x, x R 5 x a, a >, x R x + 6 8 x+ + x + 3 α xe x, α >, x R, x [, ] si x, x [, π] x + x Exercice 4..3. I O pose f t = t si πt, t [, ] ; trouver lim sup f t. + t [,] Exercice 4..4. D C Exemple d ue foctio cotiue o dérivable. Soit f ue foctio cotiue défiie sur I itervalle de R à valeurs réelles. Soit x I, o motrer l équivalece des propriétés i et ii suivates : i f différetiable e x, ii fx + h fx k a ue limite quad h, k,, h, k. h + k Trouver u cotre-exemple où fx + h fx h a ue limite quad h ted vers h et où f est pas différetiable e x. Soit I = [, ] et f la suite de foctios défiies par i f x = x, ii f est affie sur l itervalle [k/3, k + /3 ], k [, 3 ], iii f k = f 3 k, f 3 3k+ = f 3 3k+ et f 3 3k+ = f 3 3k+. 3 Représeter f, f, f ; motrer que la suite f coverge uiformémet vers ue foctio f que l o e cherchera pas à exprimer tout au mois das u premier temps, mais si la curiosité vous pred!. Prouver efi que f est dérivable e aucu poit de I. Exercice 4..5. F Motrer que la série + uiformémet covergete sur [, ]. Quelle est sa somme? x est ormalemet covergete sur [a, + ] a > mais o + x
6 SUITES ET FONCTIONS Exercice 4..6. I Soit gx = +! x +. Étudier le domaie de défiitio de g aisi que la cotiuité de g. Calculer esuite g, xgx gx +. 3 E déduire ue expressio de gp pour p N. Exercice 4..7. F Soit u x = thx + th. Motrer que x R, + u x coverge et que sa somme fx est croissate et cotiue. Quelle est la ature de la série th? La foctio f admet-elle ue limite e +? 3 Démotrer que : x R, fx + = fx + th x. Exercice 4..8. I C Soit ϕ CI, R où I = [ a, a] vérifiat : x I, ϕx C x. O cherche, das CI, R les foctios f telles que : f =, x I, fx f x = ϕx Motrer que la série + x ϕ coverge uiformémet sur I et que sa somme gx est ue foctio cotiue vérifiat. Motrer qu il existe pas d autre solutio de o pourra motrer que la différece de solutios de est ulle e cosidérat la cotiuité à l origie. Exercice 4..9. I Étudier la covergece simple et uiforme de u x, sur des itervalles à préciser, das les cas suivats : 3 x et calculer lim x + sx x + x x + x + x + + x x 4 x + x + x calculer sa somme Exercice 4... I O pose fx = + = Motrer que m m p= + x, étudier le domaie de défiitio et la cotiuité de f. f x+p m = fx m N.
SUITES ET FONCTIONS 7 4.. Itégratio sur u segmet des suites de foctios cotiues. Exercice 4... I T Existece et calcul de + + = utiliser les itégrales de Wallis. Exercice 4... I C Motrer les égalités : I = x x dx =, J = x x dx = = développemets e séries. Commet détermier J à p près? Même questio avec I. + + = + à l aide de 4.3. Suites et séries de foctios de classe C. Exercice 4.3.. I T Motrer que la série + R. Soit fx sa somme, détermier xe x est uiformémet covergete sur tout itervalle compact de x a ft dt et e déduire f. Exercice 4.3.. F La deuxième questio de cet exercice utilise la théorie des séries etières vue au chapitre 7 pages 8 à 87. Soit fx = π e x sit dt. Motrer que f est C et vérifie ue équatio différetielle liéaire du secod ordre. Écrire le développemet e série etière de f. Exercice 4.3.3. I T Cet exercice utilise les séries etières vues au chapitre 7 pages 8 à 87. Motrer que l itégrale fx = π x cost / dt est défiie sur R et que la foctio f est cotiue sur R. Motrer que f est paire ; e partat du développemet e série etière de u /, motrer que fx est développable e série etière de x pour x < o pose fx = + b x. 3 Motrer directemet, par dérivatio sous le sige, que f est fois dérivable sur ]-,[. Vérifier la relatio : π [ ] 4xx f x + 4x f si t x xfx + dt =. t x cos t E déduire que, pour x <, fx est solutio de l équatio différetielle 4xx y + 4x y xy =.
8 SUITES ET FONCTIONS 4 E partat de, trouver ue relatio de récurrece etre les coefficiets b du D.S.E. de f, comparer ce résultat avec celui du. o retrouvera aisi la valeur du rapport I + I où I = π cos t dt. 4.4. Approximatio des foctios d ue variable réelle. Exercice 4.4.. I C Théorème de Weierstrass : O muit C[, ], C de la orme de la covergece uiforme. Soit P R[X], o défiit B P = P k k X k X k polyômes de Berstei. Motrer que B XP = Motrer la relatio : k X k k= k= X X B P+XB P. Calculer B, B X, B X. X k X k = X X. E déduire que, si α > et t [, ] o a : t k t k k 4α où A = {k [, ], k t α}. k A 3 Pour f C[, ], R, o défiit de même B ft = f k t k t k. k h= Motrer que B f coverge uiformémet vers f. Applicatio : motrer que sup ftt dt est ue orme sur C[, ], R. N 4 Trouver ue suite de polyômes qui coverge uiformémet vers f C[a, b], C. 5 Gééraliser le résultat du 3. à la dimesio. Exercice 4.4.. D C Phéomèe de Ruge : Sur I = [, +], o pred x k = k + m, x k = x k, k [, m ]. Soit fx = x + α, α > et P le polyôme d iterpolatio de Lagrage de f aux poits x k, x k = m. Si o pose ω x = m x x k, motrer que fx P ω x x = k= x + α ω αi. Prouver que ω. Motrer qu il existe ue costate C > et trouver e u ombre β > tels que ω αi Cβ. 3 Motrer alors que, pour α suffisammet petit, f P +.
SUITES ET FONCTIONS 9. Idicatios : Idicatio.. Si fc + f = alors fc = et f = doc f =. N est pas équivalete à., predre f x = si x. Idicatio.. La coditio cherchée est S = [, ] où S est l adhérece de {x [, ] gx }. Les ormes N g et. sot équivaletes. Idicatio..3 Avec dx, a dx, y + dy, a motrer dx, A dx, y + dy, a puis dx, A dx, y dy, A. Idicatio.. Écrire x x x x = x x x + x. Utiliser l iégalité de Cauchy-Schwarz. Idicatio.3. a a < : u coverge, a > : pas de covergece, les suites u et u + coverget, a = : u coverge vers. b f est cotractate et fr [ a + b, a + b] doc u coverge. c Se limiter au cas où x > et motrer que, à partir de u, la suite u est décroissate. Idicatio.3. Si l = β α alors x l = α x l. Si x = αx + β alors x = x + δ et o a δ d. 3 ε = αε + δ. 4 Récurrece immédiate. 5 Prouver par récurrece que d,k = α k. Idicatio.3.3 Faire le chagemet de variable t = hu das le reste itégral, o trouve fx + h = fx + hf x + + h! f x + h+! u f + x + thu dt. a O fait la différece de quatités très proches, les calculs sot très sesibles aux erreurs d arrodi. b O trouve Th = f x + + h [ + ]f x! + h! u [f + x + thu + f + x thu] du. c T h = f x h4 48 f5 x hp 4 p p+!4 p f p+ x + R. Idicatio.3.4 Poser x = + 4+, motrer la double iégalité x u x par récurrece, e déduire que u = + + O. Idicatio.3.5 Motrer que u + a α + q u a + γ où γ = α a + β. Poser v = u a et predre N pour que α + q k < et γ ε, et N N pour que r N x N l ε. r Idicatio.4. Predre la foctio f : x E dx, A dx, B. Idicatio.4. si Nx = alors, si M = sup{ y, y O}, alors λ, x λm. pour prouver que Nx + y Nx + Ny écrire que Nx = if{λ R + x O} et motrer que λ x+y O. O est la boule uité pour N. Nx+Ny Tout ouvert de E, N est u ouvert de E,.. Idicatio.5. Utiliser la caractérisatio séquetielle de l adhérece, predre fx = sur x [, + [ comme cotre-exemple. Idicatio.5. Poser hx, t = ft k x t et motrer que hx, t fu + k x u.
SUITES ET FONCTIONS Motrer que gx = fx par double iégalité puis utiliser l iégalité hx, t hy, t + k x y gy + k x y. Idicatio.6. Motrer que f p x = p fx puis, si λ q q est ue suite de ratioels qui ted [ ] vers λ, predre p = et motrer que fλ λ x. Idicatio.6. λ λ x Immédiat par récurrece sur. Utiliser l iégalité g f. g. g. 3 Coséquece immédiate du. 4 Das R[X], predre fp = P et gp = XP. Idicatio.6.3 Ses direct : immédiat, pour la réciproque, motrer que H = H par l absurde et predre a tq fa = et motrer qu il existe ue boule ouverte B, r qui e recotre pas a + H. Idicatio.7. Si x est ue suite de Cauchy de E, predre y ue suite d élémets de A telle que y x. Idicatio.7. Predre la suite P = X. Idicatio.7.3 i No car : A = {y, y }, B = {y } e covieet pas, ii oui x car : f : x, y dx, y est cotiue, iii oui car o peut se rameer au ii e remplaçat A par A compact. Idicatio.7.4 Immédiat. Motrer que M = {λx λ K, λ, x M} = M. 3 Predre M = {x, y R xy = }. Idicatio.7.5 Extraire ue suite a ϕ, b ϕ qui coverge das A et prouver le premier poit e posat k = ϕ+p ϕ. O a immédiatemet que fa dese das A, esuite, utiliser dfa, fb df k a, f k b da, b + ε. Idicatio.7.6 Si c > alors dfy, f fy < c. Idicatio... est ue orme : immédiat, o utilise esuite l équivalece des ormes e dimesio fiie. Idicatio.. Predre N N tel que a N < γ et p N tel que a N +p > γ pour N assez grad tel que N a + a ε et predre l = max{k [N, N +p] a k < γ} et choisir ε =. Idicatio..3 Costruire par récurrece la suite a défiie par a + Da, r A, où r = da, a, A cotiet ue ifiité de poits. Si a est le seul poit d accumulatio de A, poser A = {x A da, x }, esemble fii et coclure. Idicatio..4 Cosidérer f : A, B, C K 3 AA, B, C R où AA, B, C désige l aire du triagle A, B, C. Idicatio..5 a A B est le plus petit fermé coteat A B, Cotre-exemple = : A = Q, B = R Q. b Immédiat par double iclusio. a Si c = a +b est ue suite covergeat das R alors il existe a k suite covergete das A. b Cotre-exemple = : A = Z R, B = Z R. 3 x A, x + B ouvert et A + B = x Ax + A.
SUITES ET FONCTIONS Idicatio..6 GL R est l image réciproque d u ouvert par ue applicatio cotiue, si A M R, predre A + p I. So complémetaire est pas boré. Idicatio..7 Predre la orme das ue base de vep de M et utiliser l équivalece des ormes. Idicatio..8 O = f I où fa = A.A T et si A = a ij O alors a ij. Idicatio..9 Partir de x, y, z A B C, dx, y dx, z + dz, y, e déduire que dx, B dx, z + dz, B puis dx, B dx, C + δc, B et ha, B δa, C + δc, B. Idicatio.. Évidet et o remarque aussi que g e s aule pas. A coexe par arcs das R. Idicatio.. a F est u espace de Baach doc F est fermé. b Il suffit de faire ue homothétie. c Immédiat! d Il existe x E tel que dx, F, o utilise le b et la foctio cotiue f : y F λx + y et o motre que ]/, + [ ff. Predre x sur la sphère uité puis par récurrece, utiliser F = Vectx,...,x. Idicatio 3.. Poser B = p= a p et exprimer B + e foctio de B, motrer alors que la série A+ A coverge. Pour α, cette somme est ulle. Idicatio 3.. u écrire le développemet e série de l, poser s = l r, motrer que r = x + dx et utiliser le théorème des séries alterées. Écrire le développemet +x asymptotique de e s et coclure à la covergece. Idicatio 3..3 Étudier PX = PX + PX et motrer que a k = k P. Écrire P = a! + a + + a!! p et doc p! p! + P = e p p l h Pl! l= h=. h! l! Idicatio 3..4 O décompose la fractio ratioelle, o trouve + u =. 9 Idicatio 3..5 O a ue série aux différeces qui diverge. Idicatio 3..6 Écrire = +, la somme vaut 3π. + + 4 Écrire = + 3 Utiliser v = +! + +, la somme vaut ta., la somme est égale à. 4 Faire iterveir + x, la somme vaut. th th x th x x Idicatio 3.. La première propriété est équivalete à u <, la deuxième à u k. Idicatio 3.. Utiliser s s u, la réciproque est fausse, peser à u =. l Idicatio 3..3 Avec s = a + + a, u b = a b b+a b b+ +a b b avec Césaro. Idicatio 3..4 Utiliser l iégalité de la moyee et Césaro. Idicatio 3..5 Utiliser la relatio Arctax = π Arcta x d additio des arctagetes, la limite est ifiie. Idicatio 3..6 C est la règle de Duhamel. s procéder comme pour x > ou la formule
SUITES ET FONCTIONS Si a > la série est absolumet covergete, si a la série est divergete, pour < a, o a ue série alterée covergete. Idicatio 3..7 a C alors la deuxième série est équivalete à a s où s = a C, si a s C alors b = a s et utiliser les séries aux différeces. Pour la troisième série, il suffit de faire des ecadremets. Idicatio 3..8 Réécrire la relatio : 4v + v + v = u. Si la suite v coverge vers l alors u 4lv + v. Réciproquemet : si la série u coverge alors 4v v + v + k= u k. Idicatio 3..9 Si o appelle A k l esemble des ombres compris etre k et k+ au ses large et e comportat pas de 5 das leur écriture, motrer que A k 8 9k. k Idicatio 3.. Écrire s + s = u u +, motrer que s s, que u s s et coclure + k= u k = s. Idicatio 3.. Écrire que u +u + +u = s s +s + +s où s = k= u k. Pour le i, utiliser la covergece au ses de Césaro, pour le ii, motrer que u +u + +u = s +s + +s s +s + +s et utiliser ue série aux différeces. + + Idicatio 3.. α =, β =, motrer alors que N π = = π π gt sin + t dt 6 où gt = t t π, o obtiet le résultat après ue I.P.P. si t Idicatio 3.3. Le ses direct est évidet, pour la réciproque, se rameer e, exprimer u e foctio de v : u = w où w = w k= k v k et w = o. Idicatio 3.4. diverge, diverge motrer que ta π cos π π, 3 u 4+ 8 e l coverge, 4 u α l coverge ssi α >, 5 u, la série diverge, 6 u, diverge, 7 u, coverge, 8 utiliser l ecadremet l α x = taθ, diverge, majorer six par x et motrer que u = O, coverge. +x u l, 9 poser α par, coverge, utiliser Wallis et Idicatio 3.4. Poser I = l t dt et motrer que I l t dt S I S l S et e déduire que u. α l Idicatio 3.4.3 f est strictemet croissate sur R + et lim x + fx = +. Découper l itervalle d itégratio de à puis de à x puis écrire que π Arcta t = Arcta = +gt t t pour e déduire que fx = l x+b+o. O applique cette derière relatio à x = f l, il existe ue costate c telle que f l e c. Idicatio 3.5. th ց doc covergece, α > u =, α α α + 3 A.C. ssi α > et pour < α motrer que u +u +. 4 o covergece + α car u si π, 5 si kπ π 3 3 l x kπ + π alors cosl x 3 et utiliser le critère de Cauchy, 6 utiliser Wallis 7 u = +O coverge, 8 u 3 π coverge, 5/ 8 + 3 π = kπ 3 π o a covergece, 9 a < : D, a > : C, a = : A.C., u = si π + O coverge, u = + v + + + où v, o a covergece. Idicatio 3.5. Avec w = v + O [ α + v ] motrer que k= l u k+ = α l + W où W a ue limite W, e déduire que u C α Applicatio : motrer que u Idicatio 3.5.3 C /6. u a k où k = deg Q deg P. u k
SUITES ET FONCTIONS 3 Si deg Q = + deg P alors u s écrit comme ue somme d ue série covergete et d ue série A.C., réciproque immédiate. [ ] Idicatio 3.5.4 Utiliser l iégalité : a a +, pas de réciproque. Idicatio 3.5.5 Motrer l équivalece etre la covergece des séries u et w. O a u 3p+ = v 4p+, u 3p+ = v 4p+3 et u 3p+3 = v p+. 3 Procéder par récurrece e utilisat la relatio : u 3p+ + u 3p+ + u 3p+3 = + 4p+ 4p+ 4p+3 Idicatio 3.5.6 Décomposer la fractio ratioelle puis écrire m m m+n, m = m m p= + m p p=m N p p= + 4p+4 p+ + m+n p p=m+ + p+ p+. = + m+n p 4m m p=n+. p O trouve + u m = si m et π si m =. 4m 6 Idicatio 3.5.7 u C : immédiat, pour v peser à arrager + 3 + 3. Idicatio 3.5.8 Avec u D.L. o trouve u = β + β + o β α 3 d où β α D, α + β > α C, α + < β A.C. Idicatio 3.5.9 Supposer α β et distiguer les cas β >, β, α >, α, < α. Idicatio 3.5. lu s écrit comme somme d ue série divergete, o utilise esuite la costate d Euler. Idicatio 3.5. Comparer a à. l Idicatio 3.5. S ispirer de la démostratio du théorème sur le produit de Cauchy, avec w = p+q= u p,q prouver que p,q [[,]] u p,q k= w k p,q [[,]] u p,q. Pour le cas complexe, utiliser le résultat précédet avec les valeurs absolues pour ecadrer k= w k. p,q [[,]] u p,q Idicatio 3.5.3 Utiliser l ecadremet i+j+ i+j+ la série diverge, si α > la série coverge. dx x α i+j+ dx et coclure : si α i+j+ α i+j x α Idicatio 3.5.4 Motrer que + i= =. i+j i+j + j Motrer que Card{i, j N N i + j = } = E et utiliser l idicatio. Idicatio 3.5.5 Majorer p+q q par p+q. Immédiat avec le résultat doé. 3 Sx = + m= p+q=m p+q p+q x m et q Sx = + xx3. 4 Utiliser l uicité du développemet, d 3 =, d 3+ =, d 3+ =. Idicatio 3.5.6 Remarquer que d d où la covergece de la série, itervertir esuite les sommatios pour la série double e kp, k, p N Idicatio 3.5.7 Prouver que prouver que S = motrer que S = 7 4 Poser S = + a= = a b+ab +ab aa+ + [ a= a a+ + b= avec U = + + + b b+a+, + + + a+ ] et, avec Ua = a + a + + a, a b+ab +ab et prouver que S =, : S = S + U.
4 SUITES ET FONCTIONS Idicatio 3.5.8 O utilise la propriété sigalée et, e remarquat que + = + +, o obtiet + u p,q = 4. 3 p+q= Idicatio 4.. La suite f coverge uiformémet vers, I 4, J et K. Idicatio 4.. C.S. vers, C.U. sur [, a], a <. C.S. et C.U. vers. 3 C.S. vers pour x, C.U. ssi α <. 4 Pas de C.S. sur R, pas de C.U. sur R +, mais C.U. sur tous les itervalles ], a] ], [, [a, + [ ], + [, [b, c] ], [. 5 C..S. sur R + pour a >, C.U. sur tout itervalle [α, + [ avec α >. 6 f C.S. vers δ,x, C.U. sur [a, π] pour a > 7 C.S. vers mais pas de C.U. 8 C.S. vers fx = si x, f =. Idicatio 4..3 Motrer que sup f t = f α où taπα = πα avec < α <, puis poser α = ε et prouver que πε = π + o. Coclure alors que lim + f α = π. e Idicatio 4..4 i ii immédiat, pour le cotre-exemple predre fx = x. Motrer que la pete maxi de la foctio f vaut, e déduire que f f +. 3 + Pour motrer que f est pas dérivable e x [, ], choisir h et k pour que x +h = p+, 3 x k = p, poser 3 [ f p+ 3 3 p ] f 3 = et motrer que a pas de limite das R. Idicatio 4..5 Sur [a, + [ motrer que somme vaut +x x. Idicatio 4..6 x +x, o a pas de C.U. sur [, ], la +a g est défiie et cotiue sur D = R Z motrer que si x [a, b] R \ Z alors o a la covergece ormale. xgx gx + =. e 3 gp = p! p! e Idicatio 4..7 [ ] + + + +. p! sh x max sh a, sh b ch. Motrer que u x, puis, sur u segmet [a, b], que u ch x La série th coverge, f est croissate et majorée doc admet ue limite e + qui vaut + th. 3 Si s x est la somme partielle de la série alors s x+ s x = th+x+ th x. Idicatio 4..8 ϕ x C a assure la C.U. de la série sur I, gx gx/ = ϕx est immédiat. Si fx est ue autre solutio, alors h = f g vérifie hx = h x. Idicatio 4..9 C.S. sur R \ {, }, C.U. sur [a, b] ], [, sur ], b] ], [ et sur [c, + [ ], + [. Calculer u x + u + x, C.U. sur tout segmet de R. Si x motrer que u x + u + x d où lim sx =. 4 x x + 3 Décomposer la fractio ratioelle et e déduire la C.S., C.U. sur tout itervalle [a, + [, a >. 4 Décomposer la fractio ratioelle et e déduire la C.S. vers sx = +, C.U. sur x x tout segmet [a, b] de R \ N motrer que r x =, reste d ordre. + x+ x Idicatio 4.. f est défiie sur R Z et est -périodique, la covergece ormale sur [ε, ε], < ε < / permet d affirmer que f est cotiue. O regroupe les termes de la
SUITES ET FONCTIONS 5 somme doat f, o obtiet f x+p = + + m m x+p = +, o fait alors la m+x+p m x p divisio de N N par m. Idicatio 4.. O a : I = π/ cos t dt = π, d où, la somme π. Idicatio 4.. Écrire x x = e x lx = + x lx et itégrer terme à terme, o fait de! même pour J. Pour avoir J à p près, utiliser le théorème des séries alterées, pour I, majorer le reste d ordre par + k= =. k Idicatio 4.3. Motrer que sur I = [a, b] : xe x a e a où a = sup a, b et a = if a, b, puis itégrer terme à terme, o a fx = xe x e x. Idicatio 4.3. Utiliser le théorème de dérivatio sous l itégrale, f k x = π ex sit si k t dt. e xsi t = + x si t et o itégre terme à terme,! fx = + p= π x p + p+ p! x p+. p p! [p+!] Idicatio 4.3.3 Utiliser le théorème de cotiuité sous le sige itégral... Poser u = π t, puis écrire x cos t / = + = terme à terme e justifiat, o trouve avec Wallis!! x cos t et itégrer fx = π + 4p! p=. p! 6p p! 4p xp 3 Utiliser le théorème de dérivatio sous le sige itégral et so corollaire, la relatio s obtiet par calcul e utilisat π [ si t t x cos t ] dt =. 4 E égalat les coefficiets de x + o trouve b 6 = 4 + 4 b +. Idicatio 4.4. Motrer que X X B P = B XP XB X. La relatio demadée est ue coséquece directe du. Diviser par cette relatio et utiliser l iégalité α k t pour k A. 3 Utiliser la cotiuité uiforme de f : ε >, α >, k t < α ft f k ε/ pour e déduire B ft ft f + ε 4α. Il suffit esuite de motrer que sup N t ft dt = f =. 4 Se rameer à la situatio précédete e posat ft = gu où u = t a. b a 5 Utiliser B PX, Y = k,h [,] P k, h k h X k X k Y h Y h. Idicatio 4.4. Motrer que deg P, puis que fx P x = Qx avec deg Q x +α où Q = λω et efi que λ =. ω αi 4m! m m m m! ω =, utiliser la formule de Stirlig. Esuite, l ω αi = m k= l α + k+. Recoaître ue somme de Riema m puis utiliser la formule du poit milieu ou ue itégratio par parties. O obtiet lα + t dt l ωαi m f 8m avec ft = lα + t. 3 Motrer que pour α assez petit, o a >. eβ
6 SUITES ET FONCTIONS
SUITES ET FONCTIONS. Solutios Solutio.. Motros que Nf = f =, les deux autres propriétés état évidetes : Si fc + f = alors fc = et f = doc f = ; comme fc = o peut écrire fx = x c ft dt = doc f = c.q.f.d. N est pas équivalete à., e effet, si l o pred f x = si x alors f = et Nf = si c +. f est ue suite covergeat vers pour. mais qui a pas de limite pour N. Solutio.. O prouve facilemet que N g vérifie N g λf = λ N g f et N g f + h N g f + N g h. La coditio cherchée est S = [, ] où S est l adhérece de {x [, ] gx } c est ce qu o appelle le support de g. E effet : supposos que S = [, ]. O sait que si N g f = alors fxgx = pour tout x de [, ] doc pour tout x tel que gx o a fx =. Comme f est cotiue et que tout poit x de [, ] est limite d ue suite x telle que gx par hypothèse alors fx = lim + fx =. O a prouvé que N g f = f =. Réciproque : par cotraposée, si S [, ] alors [, ] \S cotiet u itervalle ouvert ]α, β[. O peut alors avoir N g f = pour ue foctio o ulle sur l itervalle ]α, β[ qui s aule e dehors. O a prouvé que si N g f = f = alors S = [, ]. Les ormes N g et. sot équivaletes, il suffit de dire que g est cotiue et qu elle atteit so miimum strictemet positif sur [, ]. Solutio..3 Pour tout a A, o a dx, a dx, y + dy, a doc dx, A dx, a dx, y + dy, a. dx, A dx, y est u miorat de l esemble dy, a lorsque a A doc dx, A dx, y dy, A. O procède de même avec y, o obtiet alors dx, A dy, A dx, y doc l applicatio distace à u esemble est ue applicatio lipschitziee. Solutio.. O écrit x x x x = x x x x x + x = x x x + x = x x x } {{ } x x } {{ } x car x x = x x x + x. O a alors lim + x x =. O utilise l iégalité de Cauchy-Schwarz : x x y x x. y qui etraîe la covergece faible et la cotiuité de la orme coséquece ici de l iégalité x x x x pour obteir lim + x = x.
SUITES ET FONCTIONS Solutio.3. a Le seul poit fixe de f est a et fr [, a + a ]. f a = a + a : a < a est attractif f a < u coverge. a > a est répulsif, pas de covergece, les suites u et u + coverget. a = alors e étudiat les solutios de f fx = x, u coverge vers racie triple. b f est cotractate et fr [ a + b, a + b] doc u coverge. c O a fx = x x p = a ; par symétrie, o se limite au cas où x > : f a /p = le poit fixe est attractif. D autre part, comme ab p ap + q bq où p + q = alors fx a /p doc, à partir de u, la suite u est décroissate ; u coverge alors vers a /p. Solutio.3. Soit l = β α alors x l = α x l par récurrece doc x coverge vers l ssi α <. O pose x = αx + β alors x = x + δ et comme δ est ue erreur d arrodi sur x, o a δ d. 3 O a x x = x + δ x = αx x doc ε = αε + δ. 4 O a bie sûr ε = δ et si ε = d,k δ k alors ε = αd,k δ k + δ d où les relatios demadées. 5 O trouve par ue récurrece simple que d,k = α k d où ε δ α k = δ α + α k= k= δ α. k= Solutio.3.3 O fait le chagemet de variable t = hu das le reste itégral et o trouve fx + h = fx + hf x + + h! f x + h+! fx h = fx hf x + + h! f x + +h+! u f + x + thu dt u f + x + thu dt fx + h fx h d où lim = f fx + h fx + fx h x et lim = f x. h h h h a Le problème est que l o fait la différece de quatités très proches et que l o divise par ue valeur h cesée être très petite doc les calculs sot très sesibles aux erreurs d arrodi qui e maquerot pas. b O trouve immédiatemet Th = f x + h 6 f x + + h! [ + ]f x + h! u [f + x + thu + f + x thu] du
c Après u petit calcul o obtiet SUITES ET FONCTIONS 3 T h = f x h4 48 f5 x hp 4 p p +!4 p fp+ x + R. O voit ici que l erreur est de l ordre de h 4 et par itératio de ce procédé, l erreur sera successivemet de l ordre de h 6, h 8 etc. O obtiet alors le tableau suivat : h T T T T 3,8 696,634694 63,4676,64 64,75383 65,345555 65,767 65,33346,3 69,35947 65,33364 65,3699 65,3334448,6 66,335438 65,3334474 65,333438 65,333457,8 65,5835438 65,33346 65,3334,4 65,3959375 à comparer avec la valeur approchée à 8 près qui est 65,33344. Solutio.3.4 O calcule les premiers termes de la suite u, u = u =, u = u 3 =, u 4 = 5, u 5 = 3 5,... Motros que la suite u est croissate. O étudie u + u = u + u + et o souhaite u que cette différece soit. Soit x = + 4 + la racie positive de X X, il suffit de prouver que u x. O va motrer ceci par récurrece sur mais u x u + = + x, cette iégalité e permet pas de coclure. O va e fait motrer la double iégalité u suivate, x u x. O vérifie que ceci est bie vrai pour =, supposos la propriété vraie à l ordre / O a déjà x u + puis u + + = x +. O vérifie alors, avec les expressios de x x x et x, que x + x ce qui achève la récurrece. x Comme x o e déduit que u mais o a mieux car x = + 4 + = + + O x = 3 4 + = + + O d où u = + + O.
4 SUITES ET FONCTIONS Solutio.3.5 Par le théorème du poit fixe o sait que a est uique. O a esuite u + a = a + fu fa α u + β + q u a α u a + α a + β + q u a α + q u a + γ où γ = α a + β. O pose v = u a et o choisit N pour que α + q k < et γ ε. O a aisi x + rx + ε pour N soit, e posat l = ε r, x + l rx l r N x N l. O choisit alors N N pour que r N x N l ε r d où x ε r ce qui prouve effectivemet que x et que u a. Solutio.4. O cosidère la foctio f : x E dx, A dx, B qui est cotiue classique et o pred U = f ], [, V = f ], + [. Solutio.4. O va vérifier les trois axiomes de la orme : si Nx = : alors si o appelle M u majorat de y lorsque y O, o aura x λm pour tout λ > doc x =, Nµx = N µ x = µ Nx pas de problème, o utilise la symétrie, Nx + y Nx + Ny : pour prouver ceci, o peut réécrire la défiitio sous la forme : Nx = if{λ R + x O}. O sait alors que pour x et y o λ x uls Nx O, y x + y O et il suffit de prouver que O or e Ny Nx + Ny x + y écrivat Nx + Ny = t x Nx + t y Ny où t = Nx et e utilisat Nx + Ny la covexité de O o peut coclure et o remarque que O est la boule uité pour N. Tout ouvert de E, N est u ouvert de E,.. Solutio.5. Si y fa alors y = fx avec x A doc il existe ue suite x A N telle que lim x = x cf. théorème 5.7 sur la caractérisatio séquetielle de l adhérece. O a alors lim fx = fx fa. Cotre exemple : fx = sur [, + [, x fa =], ] = fa fa = [, ]. Solutio.5. Posos hx, t = ft k x t alors, comme f est k-lipschitziee o a, pour tout u A, ft fu k t u k t x + k x u soit hx, t = ft k x t fu + k x u ce qui prouve que hx,. est majorée sur A et que g est bie défiie. Si x A alors hx, x = fx gx et, e preat u = x das l iégalité du, o a hx, t fx doc gx fx d où gx = fx. O peut doc affirmer que g prologe
f. hx, t hy, t = k t y t x k x y soit SUITES ET FONCTIONS 5 hx, t hy, t + k x y gy + k x y d où gx gy + k x y et par symétrie o obtiet gx gy k x y. g est aussi k-lipschitziee. Solutio.6. O a fx = fx pour Z, puis f p x = p fx. q q Soit λ R et λ Q tel que : lim λ = λ. O sait que : fλ x = λ fx. Motros que lim fλ [ λ x = : ] soit p = alors lim p = + et p λ λ x doc, si M est la bore de f λ λ x sur la boule uité : fλ λ x = fp λ λ x p M p d où fλx = fλ λ x + fλ x = fλ λ x + λ } {{ } fx } {{ } λfx e utilisat la propriété fx + y = fx + fy. Coclusio : f est bie liéaire et ce résultat viet compléter le résultat du théorème 5.3 page 3. Solutio.6. Par récurrece sur : la propriété est vraie pour =, supposos la vraie à l ordre alors f g + = g f + g g = g + g f g = + g + g + f ce qui achève la récurrece. O sait que : f g f. g d où g = f g g g g f f g. g + g. g f f. g. g. Comme g sio, avec la relatio du., o aurait g = et, par ue récurrece descedate, g = ce qui est impossible alors : f. g ce qui est impossible. 3 Coséquece immédiate du car, d après le corollaire 5.3, o sait qu e dimesio fiie, les applicatios liéaires sot cotiues. 4 Das R[X], o pred fp = P et gp = XP alors f g g f = Id. Si o pred ue orme sur R[X] qui cofère à cet esemble ue structure d algèbre ormée alors g est cotiue, par coséquet la dérivatio est discotiue c est le cas de la orme N défiie à l exemple i bis page ou d ue orme NP = sup Px où x I I est u segmet de logueur o ulle.
6 SUITES ET FONCTIONS Solutio.6.3 Si f est cotiue alors H = f est u fermé doc H = H E i.e. H est pas dese das E. Réciproquemet : supposos H o dese, H est u espace vectoriel qui cotiet H e effet, si x, y H alors x = lim x et y = lim y où x et y sot des suites d élémets de + + H et doc λx + µy = lim λx + µy H. + Si H H alors a H \H : fa, tout x E s écrit x = λa+h où h H avec λ = fx fa doc H = E ce qui aboutit à ue cotradictio doc H = H, H est fermé. Coclusio partielle : si H est o dese das E alors il est fermé. Posos maiteat a tel que fa =, a+h est fermé image réciproque de H par la traslatio de vecteur a, il e cotiet pas, il existe doc ue boule B, r qui e recotre pas a+h le complémetaire de a + H est ouvert. O sait alors que x B, r, fx. Prouvos par l absurde que fx < : si fx > alors y = x/fx B, r et fy = ce qui aboutit à ue cotradictio. f est borée par sur la boule B, r doc f est borée sur la boule uité par /r. f est cotiue coséquece de la remarque 5..4 qui est e fait ue équivalece. Remarque : o peut aussi parachuter la solutio suivate : si f est liéaire o cotiue, motros que H est dese das E. Comme f est pas cotiue alors x N x, fx x. O pose y = fx, fy = et y = x fx. Soit a E o pose a = a fay, fa = doc a H N et a a ce qui prouve bie que H est dese das E. Solutio.7. Soit x ue suite de Cauchy de E et y ue suite d élémets de A telle que : y x o sait que c est possible car A est dese das E. y est ue suite de Cauchy o utilise l iégalité y +p y y +p x +p + x +p x + x y, elle coverge das A, doc das E et comme limy x =, x coverge das E. Solutio.7. O pred la suite P = X qui appartiet à la boule uité pour les ormes et o e peut extraire de suite covergete. E effet, si P tedait vers P u polyôme pour l ue de ces deux ormes, soit p le degré de P. Si o choisit p + alors N i P X pour i {, } ce qui est cotradictoire. Solutio.7.3 i No car : A = {y, y }, B = {y } e covieet pas. x ii Oui car : f : x, y dx, y est cotiue, e effet dx, y dx, y dx, y dx, y + dx, y dx, y dx, x + dy, y doc f est -lipschitziee. Or ue applicatio cotiue sur u compact A B atteit so miimum. iii Oui car o peut se rameer au ii e remplaçat A par A itersectio de A avec le compact B = {x R dx, B da, B}.
SUITES ET FONCTIONS 7 Solutio.7.4 Soit H l esemble des parties équilibrées coteat M alors M = H H H. Soit λ tel que λ et x M alors H H, x H doc λx H i.e. λx M et doc M est ue partie équilibrée. Soit M = {λx λ K, λ, x M}, o va prouver que M = {λx λ K, λ, x M} = M. M est ue partie équilibrée qui cotiet M soit M H doc M M. Comme M M o a λm M doc M M. Si o défiit ϕ : λ, x λx alors ϕ est cotiue et M, qui est l image cotiue de B M compact, est doc compact cf. théorème 5. page 34. 3 Si M est fermée, o e peut pas dire que M est fermée ; preos par exemple M = {x, y R xy = } alors est pas fermé. M = {x, y R x = y = ou < xy } Solutio.7.5 Comme A est compact produit de deux compacts cf. propositio 5..9 page 34 il existe ue suite extraite a ϕ, b ϕ qui coverge das A. Les suites a ϕ et b ϕ sot de Cauchy doc ε >, N, N, p N : da ϕ, a ϕ+p < ε, de même pour b. Or da, a ϕ+p ϕ da ϕ, a ϕ+p < ε o sait que dx, y dfx, fy doc, par récurrece sur k, dx, y df k x, f k y. De même o a db, b ϕ+p ϕ < ε, ce qui prouve le premier poit e posat k = ϕ + p ϕ. O a aussi immédiatemet fa dese das A car a k = fa k et da, a k < ε. O a esuite dfa, fb df k a, f k b da k, a + da, b + db, b k da, b + ε et ceci pour tout ε d où dfa, fb da, b ce qui assure l égalité dfa, fb = da, b. f est cotiue, fa est compact cf. théorème 5. page 34 doc fermé et comme il est dese das A alors fa = A, f est bie ue isométrie de A sur A. Solutio.7.6 L applicatio qui à x A fait correspodre dx, fx est cotiue doc elle atteit ses bores sur A compact cf. remarque 5..8 ; il existe doc y A tel que c = dy, fy. Si c > alors dfy, f fy < c ous doe ue cotradictio c.q.f.d Solutio.. P = p [, ], Px p = P =. Les autres axiomes sot vérifiés. L iégalité viet de l équivalece des ormes e dimesio fiie théorème 5.4 page 35. Solutio.. Soit ε > alors il existe N N tel que N etraîe a + a ε. α état ue valeur d adhérece, il existe N N tel que a N < γ e preat ue sous-suite covergeat vers α, de même avec β il existe p N tel que a N +p > γ. Soit I = {k [N, N +p] a k < γ} alors, si l = maxi, o a a l < γ a l+ et a l+ a l ε doc a l γ ε. O pred alors successivemet ε = d où l existece de l, puis ε =, N > l d où l existece
8 SUITES ET FONCTIONS de l, et par récurrece, si o suppose costruit l tel que a l γ alors, e preat N > l, o a l existece de l + tel que a l+ γ +. Coclusio : γ est valeur d adhérece de la suite a. O a doc la propriété suivate : A est u esemble coexe de R s il cotiet deux poits α et β, il cotiet le segmet [α, β]. A est bie u itervalle de R cf. propriété 3..3 page 5. Solutio..3 Soit a u poit d accumulatio de A et a Da, A Da, désige le disque ouvert de cetre a, de rayo. O costruit par récurrece la suite a de la maière suivate : a + Da, r A, où r = da, a. Les termes de la suite a sot tous disticts et appartieet à A doc A cotiet bie ue ifiité de poits. Soit a le seul poit d accumulatio de A, posos A = {x A da, x } : A est fii sio o aurait u deuxième poit d accumulatio. Soit B = N A alors B {a} A {a}, si x A, x a alors N : x A doc A {a} B {a}. A est doc déombrable. Solutio..4 Soit f : A, B, C K 3 AA, B, C R où AA, B, C désige l aire du triagle A, B, C : f est cotiue cf. Questio i page 7. K 3 est u compact e tat que produit de compacts propositio 5..9 page 34 doc f atteit so maximum sur le compact K 3 remarque 5.. page 34. Solutio..5 a A B est le plus petit fermé coteat A B or A B est u fermé coteat A B. Cotre-exemple = : A = Q, B = R Q. b A B A B car A B est u fermé qui cotiet A B et si x A B alors : x A où x B doc x A B. a Si c = a +b est ue suite covergeat das R vers c alors il existe a k sous-suite covergete das A doc c k coverge vers c das C. b Cotre-exemple = : A = Z R, B = Z R. 3 O a : x A, x + B ouvert et comme A + B = x Ax + A réuio d ouverts, o peut coclure. Solutio..6 L applicatio qui à ue matrice fait correspodre so détermiat est ue applicatio cotiue e tat que foctio polyomiale des coefficiets de A voir Défiitio..3 page 8 d ue foctio polyomiale, comme R est u ouvert, so image réciproque par l applicatio détermiat est u ouvert. Si A est ue matrice o iversible, alors il existe δ > tel que pour tout ε ], δ[, A±εI soit iversible δ est la plus petite vap o ulle e valeur absolue. Ceci prouve la desité. L esemble des matrices o iversibles est pas boré si A est pas iversible, λa est pas iversible o plus pour tout λ, il e peut être compact sauf si =.