Alcatos léares CS APPLICATIONS LINAIRS I Alcatos léares ) Détos et remères rorétés L eeu est de détermer des alcatos qu trasortet la structure d esace vectorel La oto «clé» des esaces vectorels est la oto de combaso léare Ce sot doc les alcatos qu coservet cette oto Déto : Soet et F deux esaces vectorels sur K Ue alcato de das F est ue alcato léare (ou homomorhsme) s : ( u, v) ( u+ v) = + ( v) et α K u ( α =α Cec équvaut à : α K ( u, v) ( α u+ v) =α + ( v) xemle : L alcato qu à tout vecteur u = ( x, y) de = assoce le vecteur = ( x+ y, x y, x+ y) de F = est léare eet, our tous réels α et tous vecteurs u = ( x, y) et v= ( x ', y '), o a : - D ue art = ( x+ y, x y, x+ y) et ( v) = ( x ' + y ', x ' y ', x' + y '), doc : α + ( v) =α ( x+ y, x y,x+ y) + ( x ' + y ', x ' y ', x ' + y '), doc : α + ( v) = ( α x+α y+ x ' + y ', αx α y+ x ' y ', α x+ α y+ x ' + y ') - D autre art α u+ v=α ( x, y) + ( x ', y ') = ( α x+ x ', α y+ y ') = ( X, Y ), doc : ( α u+ v) = ( X + Y, X Y, X + Y ) ( α u+ v) = ( α x+ x ' +α y+ y ', α x+ x ' αy y ', α x+ x ' + α y+ y ') Doc α ( u, v) ( α u+ v) =α + ( v) Doc est ue alcato léare de = das F = xemle : L alcato qu à tout olyôme P de = [ X ] assoce le olyôme ( P) = P' de F = [ X ] est léare eet, our tous réels α, et tous olyômes P et Q : ( α P+ Q) = ( α P+ Q) ' =α P ' + Q ' =α ( P) + ( Q) Théorème : S est ue alcato léare de das F, alors ( 0 ) = 0 Démostrato : Il sut ar exemle de redre α= 0, u état quelcoque (0 ) = (0 = 0 = 0 F Théorème : S est ue alcato léare de das F, alors : ( α,, α ) K ( u,, u ) α u = α ( u ) = = Démostrato : Récurrece évdete Détos : O aelle : edomorhsme de toute alcato léare de das somorhsme de das F toute alcato léare bectve de das F automorhsme de toute alcato léare bectve de das Par exemle, la dérvato est u edomorhsme de = [X ] ) Matrce d ue alcato léare e dmeso e Suosos que et F soet deux esaces vectorels de dmeso e : - est de dmeso et de base B = e,, e ) ( - F est de dmeso et de base B = ( e',, e' ) ' F Cours de mathe matques - CS - Cathere Ladebeure - Lyce e Albert Schwetzer, Le Racy - 0
Alcatos léares CS Sot ue alcato léare de das F Tout vecteur u de a des coordoées das la base B : u= x e Doc, usque est léare : = x = e x ( e ) Doc l alcato est etèremet coue lorsque l o coaît tous les vecteurs e ) mages ar des vecteurs de la base B ( Or ces vecteurs sot des vecteurs de F, qu sot détermés ar leurs coordoées das la base B ' : {, } ( e ) = a, e' = Déto : S est ue alcato léare d u esace vectorel de base B = e,, e ) das u esace vectorel F de base B = ( e',, e' ), o aelle ( ' matrce de est la matrce A= ) à lges et coloes dot les coloes sot ( a, les coordoées des mages des vecteurs de la base B das la base B ' S est u edomorhsme de, la matrce de das la base B corresod au cas récédet our B ' = B xemle : O a vu que l alcato qu à tout vecteur u = ( x, y) de le vecteur = ( x+ y, x y, x+ y) de F = est léare = assoce S o cosdère les bases caoques C et C ' de = et F = : e = (, 0), doc : ( e ) = (,, ) = e' + e' + e' e = (0,), doc : ( e ) = (,,) = e ' e' + e' Doc la matrce de est : A = our les deux bases caoques Remarque : Be etedu, s l o chage l ue des deux bases, o chage la matrce xemle : O cosdère l edomorhsme de = qu à tout u = ( x, y) assoce le vecteur v= ( x+ y, x y) de Das la base caoque C = ( e, e ), la matrce de est : A = Les vecteurs u = (, ) et u = (5,) ormet ue base B de O déterme ( u ) = (4,) et ( u ) = (7,) Pour avor la matrce B de das la base B, l aut détermer les coordoées de ( u ) et ( u ) das la base B = ( u, u ) : ( u ) = α u + βu ss α + 5β = 4 doc ss α = et β = Doc = u + u α+ β = ( u α + βu ) = u ss + = α + 5β = 7 Doc la matrce B de das la base B est : α β doc ss α = et β = Doc ( u ) = u+ u B = Cours de mathe matques - CS - Cathere Ladebeure - Lyce e Albert Schwetzer, Le Racy - 0
Alcatos léares CS De lus, e rereat les calculs récédets, s u= = x ( e ) = x a =, e' = = Doc les coordoées de ( das B ' sot : a, y x = x e e' a, x alors : x A tout vecteur u= x e de, o eut assocer la matrce coloe X = M x y Au vecteur = y e' de F, o eut assocer la matrce coloe Y = M = y L égalté {,, } y = a x se tradut ar l égalté matrcelle : Y = AX, Théorème : S est ue alcato léare de matrce A d u esace vectorel de base B = e,, e ) das u esace vectorel F de base B = ( e',, e' ), alors tout vecteur ( ' u de matrce X das B a our mage le vecteur ( de matrce Y = AX das B ' xemle : Suosos que sot u edomorhsme de = dot la matrce das la base caoque est A = Alors s u = ( x, y, z), so mage ( a our x x y+ z matrce Y = y = x+ y+ z z x y+ z Doc = ( x y+ z,x+ y+ z,x y+ z) xemle : Sot l alcato de = das = qu à u = ( x, y, z) assoce le x' = x+ y x' x 0 vecteur = ( x', y', z' ) avec y' = x+ z Alors : y' = A y avec : A = 0 z' = y+ z z' z 0 O démotre as aclemet que est léare eet, s u a our matrce X et v our matrce X, alors ( a our matrce Y = AX et (v) a our matrce Y = AX Or α u+ v a our matrce X =α X + X Doc ( α u+ v) a our matrce Y = AX = A( α X + X = αax + AX = αy + Y Doc ( α u+ v) = α + ( v) ) M, ( K Cela revet à dre que, our toute matrce A ), l alcato X a AX est léare de M ) das M ) (, K (, K ) Images de sous-esaces vectorels et F désget deux esaces vectorels Rael : O aelle mage ar d ue arte A de l esemble de toutes les mages ( A) = / u A des élémets de cette arte : { } Cours de mathe matques - CS - Cathere Ladebeure - Lyce e Albert Schwetzer, Le Racy - 0
Alcatos léares 4 CS Théorème : S est ue alcato léare de das F, alors l mage ar d u sousesace vectorel ' de est u sous-esace vectorel de F Démostrato : Sot ' u sous-esace vectorel de Par déto : v ( ') u ' v= (') eet ' u sous-esace vectorel de, doc 0 ' et doc ( 0 ) = 0F aartet à (') Pour tout α K et tous vecteurs v ( ' ) et v ( ' ), l exste deux vecteurs u ' et u ' tels que v = ( u ) et v = ( u ) Doc : α v + v =α ( u ) + ( u ) = ( α u + u ) car est léare Or ' u sous-esace vectorel, doc α u + u ' Doc α v + v ( ') Doc (') est u sous-esace vectorel de F Déto : S est ue alcato léare de das F, o aelle mage de l alcato léare l esemble Im = ( ) = { v F / u v= } C est u cas artculer usque est u sous-esace de lu-même Théorème : S est ue alcato léare de das F, alors so mage Im est u sous-esace vectorel de F L alcato est surectve ss tout vecteur de F a u atécédet das, doc aartet à Im = ( ) Théorème : S est ue alcato léare de das F, alors est surectve s et seulemet s Im = F Rael : O aelle mage récroque ar d ue arte B de F l esemble de tous les atécédets des élémets de cette arte : ( B) = { u / B} Remarque : O utlse la otato, mas l alcato est as à ror bectve, v et doc l y a as d alcato récroque Doc ( ) a as de ses Théorème : S est ue alcato léare de das F, alors l mage récroque ar d u sous-esace vectorel de F est u sous-esace vectorel de Démostrato : Sot F ' u sous-esace vectorel de F Par déto : u ( F') F' ( F') F eet 0 ( ') usque ( 0 ) = 0F aartet à F ' car c est u sous-esace vectorel de F F F Pour tous α K et tous vecteurs u ( ') et u ( '), o a ( u ) F' et ( u ) F' Doc, comme F ' est u sous-esace vectorel de F, α ( u ) + ( u ) F ' Or est léare Doc α ( u ) + ( u ) = ( α u + u ) Doc ( α u + u ) F ' t doc ( F' α u + u ( F ') Doc ) est u sous-esace vectorel de Déto : S est ue alcato léare de das F, o aelle oyau de Ker = ( 0 ) = u / = 0 l alcato léare l esemble { F} { F} C est u cas artculer usque { 0 F} est u sous-esace vectorel de F Théorème : S est ue alcato léare de das F, alors so oyau Ker est u sous-esace vectorel de O e dédut ue caractérsato des alcatos léares ectves Théorème : S est ue alcato léare de das F, alors est ectve s et seulemet s Ker = { 0 } Cours de mathe matques - CS - Cathere Ladebeure - Lyce e Albert Schwetzer, Le Racy - 0
Alcatos léares 5 CS Démostrato : O sat que est léare, doc que ( 0 ) = 0F, doc que 0 est u atécédet de 0 F D autre art, Ker est l esemble des atécédets de 0 F Doc, s est ectve, Ker e cotet que 0 Doc Ker = { 0 } Récroquemet, suosos que Ker = { 0 } et motros que est ectve Suosos qu l exste u vecteur v F qu ossède deux atécédets u et u ' O a doc v = = ( u' ), doc ( u') = 0 F, doc ( u u' ) = 0 F, doc u u' Ker, doc u u'= 0, doc u= u' Il y a doc ucté de l atécédet lorsqu l exste Doc est ectve Théorème : S est ue alcato léare de das F, alors est u somorhsme s et seulemet s Ker = { 0 } et Im = F Cas des esaces de dmeso e Pour toute alcato léare, Im est u sous-esace vectorel de F Doc, s F est u esace de dmeso e, Im est auss de dmeso e et dm Im dm F Déto : S Im est u sous-esace vectorel de dmeso e de F, o aelle rag de l alcato léare la dmeso de Im Remarque : Cec est réalsé e artculer s ou F est de dmeso e S est u esace de dmeso e, alors Ker et Im sot de dmeso e Théorème du rag : S l esace vectorel est de dmeso e, et s est ue alcato léare de das F, o a la relato : dm = dm Ker + rg( ) Démostrato : O suose que dm = et dm Ker = avec S =, alors = Im = 0 F, et doc dm Im = 0 Doc l égalté est vérée S <, o costrut ue base e,, e ) de Ker C est ue amlle lbre de Ker et doc est l alcato ulle, doc { } ( Doc elle eut être comlétée ar e +,, e ) our ormer ue base e,, e ) de ( ( Im est egedré ar les vecteurs ( e ) = 0 F,, ( e ) = 0F, ( e + ),, ( e ), c est-à-dre ar ),, e ) Motros que cette amlle géératrce de Im est lbre α e + ( ) = 0 ( e + F aartet au oyau ( s et seulemet s Ker, doc s α e + e = 0 α + F, doc s α e + est combaso léare de la base e,, e ) de Ker, doc s l exste des réels β ( ) tels que ( α + e = = βe, c est-à-dre e α e = 0 = β + O obtet as ue combaso léare ulle de la amlle ( e,, e ) qu est lbre usque c est ue base de lle a doc tous ses coecets uls, et doc e artculer = =α 0 α + = ( e + Doc la amlle ),, e ) est à la os lbre et géératrce de Im C est ( doc ue base, et doc dm Im = Doc dm = dm Ker + dm Im Cours de mathe matques - CS - Cathere Ladebeure - Lyce e Albert Schwetzer, Le Racy - 0
Alcatos léares 6 CS Coséqueces : S est ue alcato léare d u esace vectorel de dmeso das u esace vectorel F de dmeso, alors : est ectve s et seulemet s rg( ) = dm est surectve s et seulemet s rg( ) = dm F Doc, our qu l exste u somorhsme etre et F, l aut que dm = dm F Théorème : S et F sot deux esaces vectorels tels que dm = dm F et s est ue alcato léare de das F, alors l y a équvalece etre les rorétés : - est ectve - est surectve - est bectve C est e artculer le cas our u edomorhsme e dmeso e 4) Images de amlles de vecteurs Théorème : S est ue alcato léare de das F : s ( u,, u ) est ue amlle lée de, alors ( ( u ),, ( u )) est ue amlle lée de F, mas das le cas gééral, o e eut re dre des amlles lbres s ( u,, u ) est lbre et s est ectve, alors ( ( u ),, ( u )) est lbre s ( u,, u ) est ue amlle géératrce d u sous-esace vectorel ' de, alors u ),, ( u ) est ue amlle géératrce du sous-esace vectorel ( ') de F ( ) ( s ( u,, u ) est ue base d u sous-esace vectorel ' de et s est ectve, u ),, ( u ) est ue base du sous-esace vectorel ( ') de F alors ( ) ( Démostrato : S ( u,, u ) est lée : ( α,, α ) (0,,0) α u + +α u = 0 Doc ( α u + +α u ) = 0F Doc α ( u ) + +α ( u ) = 0F Or ( α,, α ) (0,,0) Doc ( ( u ),, ( u )) est ue amlle lée α ( u ) + + α ( u ) = 0F équvaut à ( α u + +α u ) = 0F, doc à α u + +αu Ker, doc à α u + +α u = 0 car est ectve Doc s ( u,, u ) est lbre, o obtet : α = =α = 0 u ),, ( u ) est lbre Doc ( ) ( v ( ') u v= Doc, s ( u,, u ) est géératrce de ' : v ( ') ( α,, α ) K v= ( α u + +α u ) =α ( u ) + +α ( u ) Doc ( u ),, ( u )) est ue amlle géératrce de ( ') ( La derère est la sythèse des deux récédetes Théorème : Ue alcato léare est u somorhsme de das F s et seulemet s l mage d ue base de est ue base de F Alors, elle trasorme toute base de e base de F Coséquece : Deux esaces vectorels et F de dmeso e sot somorhes s et seulemet s dm = dm F artculer, u esace vectorel est de dmeso s et seulemet s l est somorhe à K Démostrato : S est u somorhsme, elle trasorme toute base de e base de ( ) = F car elle est ectve O l a déà démotré Récroquemet, suosos que est léare et trasorme la base B = e,, e ) de e ue base de F Doc dm = dm F et ( Im = Vect< ( e ),, ( e ) > = F Doc est surectve, et doc est bectve car dm = dm F Pour motrer la coséquece, l sut de redre ue base B de et ue base B ' de F, et ue alcato léare qu trasorme B e B ' Cours de mathe matques - CS - Cathere Ladebeure - Lyce e Albert Schwetzer, Le Racy - 0
Alcatos léares 7 CS II Oératos sur les alcatos léares Déto : O ote : - L (, F) l esemble des alcatos léares de das F - L () l esemble des edomorhsmes de - GL( ) l esemble des automorhsmes de ) Somme de deux alcatos léares S et g sot deux alcatos léares de das F, leur somme est dée ar : u ( + g)( = + g( car o addtoe deux vecteurs de F Théorème : S et g sot deux alcatos léares de das F, alors leur somme + g est ue alcato léare de das F S et F sot de dmesos es, alors : M = M + M + g g Démostrato : Soet α K, u et v deux vecteurs ( + g)( α u+ v) = ( α u+ v) + g( α u+ v) =α + ( v) +α g + g( v) Doc ( + g)( α u+ v) =α [ + g] + [ ( v) + g( v)] =α ( + g) + ( + g)( v) Doc + g est ue alcato léare S B = e,, e ) est ue base de, les vecteurs coloes des matrces sot les ( coordoées des mages des vecteurs de B Or : + g)( e ) = ( e ) + g( e ) Doc : M + + g = M M g ( ) Produt d ue alcato léare ar u scalare S est ue alcato léare de das F, le rodut de ar u scalare λ est dé ar : u ( λ ) = λ car o multle u vecteur de F ar u scalare Théorème : S est ue alcato léare de das F et λ u scalare, alors le rodut λ est ue alcato léare de das F S et F sot de dmesos es, alors : M = λm λ Démostrato : Soet α K, u et v deux vecteurs ( λ )( α u+ v) =λ ( α u+ v) =λ[ α + ( v)] =λα +λ ( v) Doc ( λ )( α u+ v) =α[ λ ] + [ λ ( v)] =α( λ ) + ( λ )( v) Doc λ est ue alcato léare S B = e,, e ) est ue base de, les vecteurs coloes des matrces sot les ( coordoées des mages des vecteurs de B Or : λ )( e ) = λ ( e ) Doc : M λ = λm ( ) Comosto S est ue alcato léare de das F, et s g est ue alcato léare de F das G, leur comosée est dée ar : u ( go ) = g[ ] C est ue alcato de das G Théorème : S, F et G sot tros esaces vectorels, s est ue alcato léare de das F, et s g est ue alcato léare de F das G, alors la comosée go est ue alcato léare de das G S et F sot de dmesos es, alors : M = M M go g Démostrato : Soet α K, u et v deux vecteurs ( g o )( αu+ v) = g[ ( αu+ v)] = g[ α + ( v)] =αg[ ] + g[ ( v)] Doc : ( go )( α u+ v) =α( go ) + ( go )( v) Doc go est ue alcato léare Cours de mathe matques - CS - Cathere Ladebeure - Lyce e Albert Schwetzer, Le Racy - 0
Alcatos léares 8 CS Sot B = e,, e ) ue base de, B = ( e',, e' ) ue base de F et ( ' B " = ( e",, e" q ) ue base de G Soet A= M et B= M g les matrces de et g A= ( a, ) doc : P, T ( e ) = a, e', doc ( go )( e ) = a, g( e' ) = B= ( b, ) doc : P, T g( e' ) = b, e" Doc q = q q ( go )( e ) = a, b, e" = b, a, e" = = = = Doc M go = ( c, ) avec c, = b, a, Doc M g = BA 4) Isomorhsmes = o Théorème : La récroque d u somorhsme de das F est u somorhsme de F das La récroque d u automorhsme de est u automorhsme de S et F sot de même dmeso e, alors : M = ( M ) Démostrato : Sot est u somorhsme de das F, doc léare et bectve Alors est bectve usque ( ) = Soet α K, u et v deux vecteurs de F Posos : u ' = et Doc u ' et v ' sot das et o a : u = ( u ') et v= ( v ') Doc ar léarté de : α u+ v=α ( u ') + ( v ') = ( α u ' + v ') Doc : ( α u+ v) =αu' + v' =α + ( v) Doc Doc est u somorhsme de F das La rorété des matrces vet de 5) Structures o = Id F = est léare v ' = ( v) Théorème : S et F sot des esaces vectorels sur K, les esembles L (, F) et L () sot des esaces vectorels sur K S dm = et dm F =, alors L (, F) est somorhe à M ( ) S dm =, alors L () est somorhe à M (K), K Démostrato : O a be ue lo tere et ue lo extere, et our tous, g et h de L (, F), et our tous réels α et β : + g = g+ car u ( + g)( = + g( = g( + = ( g+ ) ( + g) + h= + ( g+ h) car : u [( + g) + h]( = ( + g)( + h( = + g( + h( u [ + ( g+ h)]( = + ( g+ h)( = + g( + h( Doc u [( + g) + h]( = [ + ( g+ h)]( L élémet eutre est l alcato ulle dée ar u = 0 F 4 Toute alcato a u oosé ( ) dée ar u ( ) = 5 = car u ( ) = = 6 α ( + g) =α + αg car : u [ α( + g)]( =α[( + g)( ] =α[ + g( ] =α +αg( = ( α + αg)( 7 ( α +β) =α + β car : u [( α+β) ] = ( α+β) =α +β = ( α + β ) 8 α ( β ) = ( αβ) car : Cours de mathe matques - CS - Cathere Ladebeure - Lyce e Albert Schwetzer, Le Racy - 0
Alcatos léares 9 CS u [ α( β )] =α[( β )] =αβ [ ] = ( αβ) = [( αβ) ] U somorhsme etre L (, F) et M ( ) est l alcato a M das ue, K base doée Théorème : S est u esace vectorel sur K, l esemble GL( ) mu de la comosto est u groue : la comosto est assocatve, ossède u élémet eutre Id : u a u et tout élémet de GL( ) a ue récroque das GL ( ) Démostrato : L assocatvté est vrae our toutes les comostos Il est évdet que Id est léare car Id ( α u+ v) =α u+ v=α Id + Id ( v), qu elle est bectve car O a vu que s GL( ), alors Id = Id et que GL( ) Id o = o Id = GL( ) Déto : GL( ) est aelé le groue léare de III Cas artculers ) Formes léares Déto : S est u esace vectorel sur K, o aelle orme léare sur toute alcato léare de das K xemle : L alcato de das qu à u = ( x, y, z) assoce x+ y 5z est ue orme léare sur xemle : L alcato qu à tout vecteur u= ( x,, x ) de = K assoce x est ue orme léare sur b xemle : L alcato qu à toute octo cotue sur [ a, b ] assoce ( t) dt est ue orme léare sur { A ([ a, b], ) / cotue} = S ossède ue base ( e,, e ) : u!( x,, x ) K u= x e Doc : u = x ( e ) = α x = = = e osat :, T α = ( e ) P Récroquemet, o démotre aclemet que toute alcato de das K qu à u assoce u = α x est ue orme léare Toute orme léare sur Coséquece : { u / x x 0} = K est de la orme : ( x,, x ) a α x + +α x α + +α = est u sous-esace vectorel de eet, c est le oyau d ue orme léare Remarque : artculer, s est ue orme léare o ulle sur, so oyau est u hyerla de car dm Ker = dm dm Im = t ar tersecto : Théorème : L esemble des solutos d u système de équatos léares homogèes à coues est u sous-esace vectorel de K ) Proecteurs Déto : S et sot deux sous-esaces vectorels sulémetares de, our tout vecteur u de, l exste u coule uque ( u, u ) tel que u= u + u a Cours de mathe matques - CS - Cathere Ladebeure - Lyce e Albert Schwetzer, Le Racy - 0
Alcatos léares 0 CS L alcato qu à tout vecteur u de assoce le vecteur = u s aelle la roecto sur suvat (ou arallèlemet à ), o dét { x y x y } xemle : Das (, ) / 0 = (, ) / = 0 Ce sot deux sous-esaces vectorels sulémetares de eet : x+ y= 0 x = 0 u ss, doc ss Doc = { 0 } x y= 0 y = x a our base e = (, ) Doc u α u =α(, ) = ( α, α) = + = et { x y x y } a our base e = (,) Doc u β u =β (,) = ( β, β) Doc : u + ss x= α+β α (, β) y = α+ β Or our tout u = ( x, y), ce système admet ue soluto : Doc + = La roecto sur suvat est l alcato qu à u ( x, y) x y x+ y α= et β= = assoce le vecteur = u = ( x, y ) avec x = ( x y ) et y = ( x y ) Remarque : O eut auss dér la roecto q sur suvat : q = u Doc : u + q = u Doc : + q= Id Théorème : Toute roecto est léare et vére o = Démostrato : Soet et deux sous-esaces vectorels sulémetares de Sot la roecto sur suvat Sot α K et ( u, v) Or u= u + u avec ( u, u ) et = u t v= v + v avec ( v, v ) et ( v) = v Doc : α u+ v=α ( u + u ) + ( v + v ) = ( α u + v ) + ( α u + v ) Or ( α u + v, α u + v ) car et sot des sous-esaces vectorels Doc : ( α u+ v) =α u + v =α + ( v) Doc est léare D autre art : = u = u + 0 et ( u,0 ) Doc ( o ) = [ ] = u = our tout vecteur u Déto : O aelle roecteur de tout edomorhsme de qu vére o = Doc toute roecto est u roecteur Théorème : Tout roecteur est la roecto sur Im suvat Ker Démostrato : Sot u roecteur Doc : u [ ] = O eut écrre : u u = + [ u ] Or : u [ u ] = 0, doc u Ker t be sûr Im Doc : ( u, u ) Im Ker u= u + u Doc = Im + Ker Ils sot sulémetares car Im Ker = { 0 } eet s u Im Ker, alors l exste v tel que u = ( v) et ( u ) = 0, doc [ ( v )] = 0, doc ( v ) = 0, doc u= 0 De lus u = Doc est la roecto sur Im suvat Ker Remarque : Im { u / u} = = Cours de mathe matques - CS - Cathere Ladebeure - Lyce e Albert Schwetzer, Le Racy - 0
Alcatos léares CS ) Symétres Déto : S et sot deux sous-esaces vectorels sulémetares de, our tout vecteur u de, l exste u coule uque ( u, u ) tel que u= u + u L alcato s qu à tout vecteur u de assoce le vecteur s = u u s aelle la symétre ar raort à suvat (ou arallèlemet à ) Das l exemle récédet : s = u u = ( α β, α β ) La symétre s ar raort à suvat est l alcato qu à u = ( x, y) assoce le vecteur s = u ' = ( x ', y ') avec x ' = (7x 6 y) et y ' = ( x 7 y) Remarque : O eut auss dér la symétre s ' ar raort à suvat : s ' = u + u = s Doc s ' = s Remarque : u s = u ( u + u ) = u Doc : s= Id Théorème : Toute symétre est léare et vére so s= Id lle est doc bectve Démostrato : s L ( ) car L ( ) et Id L ( ) so s= ( Id ) o ( Id ) = 4 o Id o o Id + Id o Id = Id car o = lle est bectve car s = s Déto : O aelle voluto de toute alcato de das qu vére so s= s Doc toute symétre est ue voluto ou alcato volutve Théorème : Tout edomorhsme volut s est la symétre ar raort à Ker( s Id ) suvat Ker( s+ Id ) C est u automorhsme Démostrato : Sot s u edomorhsme volut Doc : u s[ s] = u O remarque que s l o veut avor u= u + u et s = u u, alors, l aut oser : u = [ u+ s ( u )] et u = [ u+ s ( u )] O a doc : u u = [ u+ s] + [ u s] et s = [ u+ s] [ u s] Or le vecteur u = [ u+ s ( u )] vére s( u ) = [ s + ( so s)] = [ s + u] = u Doc u Ker( s Id ) t le vecteur u = [ u s ( u )] vére s( u ) = [ s ( so s)] = [ s u] = u Doc u Ker( s+ Id ) O a doc démotré que = Ker( s Id ) + Ker( s+ Id ) De lus u Ker( s Id ) Ker( s+ Id ), ss ( s Id ) = 0 et ( s+ Id ) = 0 ss s = u et s Doc Ker( Id ) = u, doc ss u= 0 s et Ker( s+ Id ) sot sulémetares t ar costructo, s est la symétre ar raort à Ker( s Id ) suvat Ker( s+ Id ) Ker( s Id ) u / s u Ker( s+ Id ) = u / s = u Remarque : = { = } et { } Cours de mathe matques - CS - Cathere Ladebeure - Lyce e Albert Schwetzer, Le Racy - 0