Corrigé du baccalauréat S Amériqu du Sud //0 A. P. M. E. P. Ercic Commun à tous ls candidats 6 points Parti A Soit f la fonction défini surrpar f.. donc f.. lim + donc lim + par composition. lim } lim lim + par produit ; lim f.. On sait qu lim + donc lim + + 0 donc lim + 0. On a donc lim f 0 c qui vut dir qu la courb rprésntant la fonction f admt la droit + d équation y 0 comm asymptot horizontal n+.. La fonction f st dérivabl surr t f +. Pour tout rél, > 0 donc f st du sign d. f 0, d où l tablau d variation d la fonction f : + + 0 f + 0 f 0 Parti B Pour tout ntir naturl n non nul, on considèr ls fonctions g n t h n définis surrpar : g n + + + + n t h n ++ + n n.. g n + + + + n + + + + + n n n+ n+ n+ On obtint alors, pour tout rél : g n.. Pour tout, g n + + + + n donc g n 0+++ + nn h n. n+ Or, pour tout rél, g n ; g n st un fonction rationnll d typ u v dont la dérivé st u v uv v :
h n g n n+ n n+ n+ n + n+ n+ + n+ n+ n + n n+ + n+ + n+ nn+ n+ n +. Soit S n f + f +...+ f n, où f. S n + + +n n + + +n n hn. Or h n nn+ n+ n + donc h n n n+ n+ n + ; n n+ n+ n + S n On sait qu lim + donc lim + + 0 donc lim n n + n 0 t lim n+ 0. n + n+ + D plus, lim t lim comm limits n+ d fonctions rationnlls, + + + n n+ donc lim t lim n + n+ n + n. n n+ n n+ n+ ; donc par produit, n+ lim n+ n + n n+ 00. n+ n+ n n+ n n n+ ; donc par produit, lim n n + n n n 00. Donc lim S n n +. Ercic Commun à tous ls candidats points. Dans l rpèr donné, A a pour coordonnés 0, 0, 0, B, 0, 0, D0,, 0 t E 0, 0,. AF AB+ AE donc l point F a pour coordonnés,0,. La droit FD a pour vctur dirctur DF d coordonnés,, ; d plus ll pass par l point D0,,0. t La droit FD a pour rprésntation paramétriqu : y t où t R z t. Soit n l vctur d coordonnés,,. C vctur st un vctur normal au plan BGE s il st orthogonal au du vcturs EB t EG dircturs du plan BGE. EB a pour coordonnés,0, ; n. EB + 0+ 0 donc n EB. EG AC AB+ AD a pour coordonnés,,0 ; n. BG + + 00 donc n EG. Donc l vctur n,, st normal au plan BGE. L plan BGE a pour vctur normal n t pass par l point B; c st l nsmbl ds points M, y, z tls qu n BM. BM a pour coordonnés, y, z ; n BM + y+ z 0 y+ z 0. L équation cartésinn du plan BGE st y+ z 0. Amériqu du Sud novmbr 0
. L vctur DF st égal au vctur n qui st normal au plan BGE donc la droit FD st prpndiculair au plan BGE. Ls coordonnés, y, z du point d intrsction d la droit FD t du plan BGE sont solutions du systèm : t t t y t y t y t y z t z t z t z y+ z 0 t t+t 0 t t Donc la droit FD st prpndiculair au plan BGE au point K d coordonnés,,.. Ls sgmnts [BE], [EG] t [BG] sont tous ls trois ds diagonals d carrés d côtés ; donc BEEG BG. L triangl BEG st équilatéral d côté. Soit H l miliu d [EG] ; c point st aussi l pid d la hautur issu d B dans l triangl équilatéral BGE d côté a. Dans un triangl équilatéral d côté a, la hautur st égal à a rlations dans un triangl rc- 6 tangl ; donc dans l triangl équilatéral BEG, la hautur BH. L air du triangl BEG vaut EG BH 6. air d la bas hautur. L volum d un tétraèdr st. D après ls qustions précédnts, l volum du tétraèdr BEGD st airbeg KD. Dans l rpèr orthonormé A ; AB, AD, AE KD D K + + y D y K zd z K K D 9 9. L volum du tétraèdr st donc :. : 0 + + 0 9 + 9 + 9 9 donc Ercic Candidats n ayant pas suivi l nsignmnt d spécialité L plan compl st rapporté à un rpèr orthonormé dirct. On considèr l équation E : z z +0. points. On résout l équation E : z z +0; 6. L équation admt donc du solutions compls conjugués : z + i + i + i t z i.. On considèr la suit M n ds points d affis z n n i n π 6, défini pour n. a. z i π 6 i π 6 cos π 6 + i sin π 6 + i i z Donc z st solution d l équation E. Amériqu du Sud novmbr 0
b. z i π 6 i π 6 cos π 6 + i sin π 6 z i π 6 8 i π 6 8 cos π 6 + i sin π 8 6 + i + i + i i c. z donc l point M d affi z st situé sur l crcl d cntr O t d rayon ; d plus, la parti imaginair d z st donc l point M st situé sur la droit d équation y. Pour placr l point M, on utilis l fait qu z t qu Imz. Pour placr l point M, on utilis l fait qu z 8 t qu Imz. z i π 6 6 i π 6 ; pour placr l point M, on utilis l fait qu z 6; d plus argz π 6 argz donc ls points O, M t M sont alignés donc M OM. Voir la figur n ann. Si n t n pair, n +, donc i n π 6 i π 6 + i + n i. Donc si n pair, z n n i n π 6 n + n i. Si n impair, n, donc i n π 6 i π 6 i Donc si n impair, z n n i n π 6 n + n i Donc pour tout ntir n, z n n + n i. + n i... M M z z + i i + i + i + i + +9 M M z z i + i i i 6 i + 6 +6 8 Pour la suit d l rcic, on admt qu, pour tout ntir n, M n M n+ n.. On not l n M M + M M + +M n M n+. a. D après la qustion, l n + + + n + + + n La suit n défini pour n st géométriqu d raison q t d prmir trm ; la somm S d ss prmirs trms consécutifs st donné par la formul : d trms raisonnombr S prmir trm raison donc + + n n n n l n + + + n n b. l n 000 n 000 n 000 n 000 +. La fonction ln st strictmnt croissant sur ]0,+ [, donc 000 000 l n 000 ln n ln + n ln ln + Or ln > 0 donc Amériqu du Sud novmbr 0
000 ln + l n 000 n n 8,8. ln L plus ptit ntir n tl qu l n 000 st 9. On put vérifir qu l 8 0 88<000 t l 9 0 770>000. Amériqu du Sud novmbr 0
ANNEXE À rndr avc la copi Ercic : Candidats n ayant pas suivi l nsignmnt d spécialité 8 M 6 M O 6 8 0 6 M M 6 8 Amériqu du Sud 6 novmbr 0
Ercic Candidats ayant suivi l nsignmnt d spécialité. D après la formul ds probabilités totals : a n+ P A n+ P A n A n+ +P B n A n+ +P C n A n+ P A n P An A n+ +P B n P Bn A n+ +P C n P Cn A n+ points Si, après la n-ièm navigation, l intrnaut st sur la pag n o évènmnt A n, il n rst pas sur ctt pag donc P An A n+ 0. Si, après la n-ièm navigation, l intrnaut st sur la pag n o évènmnt B n, il ira sur la pag n o avc un probabilité d donc P B n A n+. Si, après la n-ièm navigation, l intrnaut st sur la pag n o évènmnt C n, il ira sur la pag n o avc un probabilité d donc P C n A n+. D plus P A n a n, P B n b n t P C n c n. Donc a n+ a n 0+b n + c n b n+ c n On aurait pu aussi construir un arbr pondéré pour rprésntr la situation. On admt qu, d mêm, b n+ a n+ b n+ c n t c n+ a n+ b n+ c n.. D après la qustion précédnt : a n+ b n+ c n+ 0 Donc n prnant M 0 a n + b n+ c n a n+ b n+ c n a n+ b n+ c n on a U n+ MU n. a n+ b n+ c n+ 0 Soit P n la propriété U n M n U 0. 0 0 Pour n 0, M 0 U 0 U 0 car M 0 st la matric idntité 0 0 0 0 Donc la propriété st vrai au rang 0. On suppos qu la propriété st vrai au rang p qulconqu avc p 0, c st-à-dir U p M p U 0. On sait qu, pour tout ntir naturl n, U n+ MU n donc U p+ MU p. Or, d après l hypothès d récurrnc, U p M p U 0, donc u p+ M M p U 0 M p+ U 0. Donc la propriété st vrai au rang p+. La propriété st vrai au rang 0; ll st héréditair, donc ll st pour tout n 0. Donc, pour tout ntir naturl n, U n M n U 0.. Soit la matric colonn U y tll qu : +y+ z t MU U. z a n b n c n Amériqu du Sud 7 novmbr 0
0 MU U y y z z On doit donc résoudr l systèm D L t L on déduit y d où y. y+ z + y+ z y + y+ z z y+ z + y+ z y + y+ z z +y+ z y+ z L +y+ z y L +y+ z z L +y+ z L L +y+ z c qui donn n utilisant L :. L z y z. Comm on n a pas procédé par équivalncs, il faut vérifir qu pour ls trois valurs d, y t z trouvés, ls quatr ligns du systèm sont vérifiés, c qui s fait sans problèm. L uniqu matric colonn U y tll qu : +y+ z t MU U, st U z +. Pour n ntir non nul, on a : M n + U n M n U 0 a n b n c n + + a n + n n n n a 0 + n + + n + n n + n + b n a 0+ b 0+ c 0 c n n + a 0 + + b 0 + + n + n + n + + n b 0 + n n c 0 a 0 b 0 c 0 + On constat qu b n a 0+ b 0+ c 0 a 0+ b 0 + c 0 ; or a 0 + b 0 + c 0 donc b n. n n c 0 Amériqu du Sud 8 novmbr 0
On sait qu un suit géométriqu d raison q où <q < st convrgnt vrs 0 donc n n 0; on n déduit qu lim 0 t lim n + n + 0. D après ls théorèms sur ls limits, on put dir : lim a n n + a 0+ b 0+ c 0 a 0+ b 0 + c 0. lim n + c n a 0+ b 0+ c 0 a 0+ b 0 + c 0. lim n + n. lim a n n + donc, à long trm, la pag du sit sra consulté 00,% du tmps d visit. lim b n n + donc, à long trm, la pag du sit sra consulté 00 % du tmps d visit. lim c n n + donc à long trm, la pag du sit sra consulté 00,67% du tmps d visit. Ercic Commun à tous ls candidats Parti A En utilisant ls donnés du tt, on put construir l arbr pondéré suivant : points 0,0 C M C 0,0 M 0,00,70 C M C 0,08 C M C 0,00,90 M 0,080,9 C M C. a. P M CP M P M C 0, 0, 0,0 b. D après la formul ds probabilités totals : P CP M C+P M C P M P M C+P M P M C0, 0,+0,9 0,08 0,0+0,07 0,0. On choisit au hasard un victim d un accidnt cardiaqu. Parti B La probabilité qu ll présnt un malformation cardiaqu d typ anévrism st P C M : P C M P M C 0,0 P C 0,0 0,9. On put considérr qu, choisir au hasard un échantillon d 00 prsonns, put êtr assimilé à un tirag avc rmis d 00 prsonns dans la population total. Or la probabilité qu un prsonn souffr d un malformation cardiaqu d typ anévrism st P M0, d après l tt. Donc on put dir qu la variabl aléatoir X qui donn l nombr d prsonns souffrant d ctt malformation cardiaqu suit un loi binomial d paramètrs n 00 t p 0,. Amériqu du Sud 9 novmbr 0
00. Comm X suit la loi binomial B 00;0,, P X 0, 0, 00 ; l résultat donné par la calculatric st approimativmnt 0,09.. La probabilité qu 0 prsonns d c group, au moins, présntnt un malformation cardiaqu d typ anévrism st P X 0 qui st égal à P X < 0 P X 9. D après la calculatric, P X 9 0,07, donc P X 0 0,96. Parti C. On sait qu si X suit la loi binomial B n,p, alors l intrvall d fluctuation asymptotiqu d la variabl aléatoir F X au suil d 9 % st donné par : 00 p p p p I p,96 [ 0,,96 n ; p+,96 n 0, 0, 0, 0, [ ] ; 0,+,96 ] 0,0706; 0,9 00 00. Dans l échantillon considéré, 60 prsonns présntnt un malformation cardiaqu d typ anévrism ; 60 00 0, I. L tau d malads dans ct échantillon st anormalmnt élvé. Amériqu du Sud 0 novmbr 0