MPSI 2 Gééralités sur les structures algébriques 2018/19 Exemples : les mêmes. Résultat 6. Si ue lci admet u élémet eutre, celui-ci est uique. 1 Lois de compositio 1.1 Déitio Déitio 1. Soit E u esemble. Ue loi de compositio itere (otée ici lci) sur E est ue applicatio E E E. Notatio : si f : E E E est ue telle applicatio o ote habituellemet x y plutôt que f(x, y) l'image d'u couple d'élémets de E. Remarque 2. Autremet dit, est ue opératio itere à l'esemble E. Exemple 3. Déitio 7. Soit (E, ) u esemble mui d'ue lci associative possédat u élémet eutre e. O dit que x E est symétrisable (ou iversible) s'il existe y E tel que x y = y x = e. O déit de même l'iversibilité à droite ou à gauche. Exemple 8. Résultat 9. Das le cadre de la déitio précédete, il y a uicité de l'iverse d'u élémet x s'il existe. Notatio : lorsqu'il existe, o ote x 1 l'iverse de x (même si la lci 'est pas u produit). 1.2 Caractéristiques d'ue lci Déitio 4. O dit qu'ue lci sur u esemble E est associative quad (x, y, z) E 3 (x y) z = x (y z) Das ce cas o ote x y z le composé de trois élémets. O dit qu'elle est commutative quad (x, y) E 2 x y = y x Remarque 10. L'iverse d'u élémet iversible est lui-même iversible, et (x 1 ) 1 = x. Si deux élémets x et y sot iversibles, alors x y est iversible et (x y) 1 = Exemples : les mêmes. Déitio 5. La loi possède u élémet eutre e E quad x E x e = e x = x MPSI 2 Lycée Pasteur 2018/19 1
Déitio 11. O dit qu'u élémet x de E est simpliable à gauche ou régulier à gauche quad : (y, z) E 2 x y = x z = y = z O déit de même simpliable à droite, et simpliable tout court. Exemple 12. Remarque 13. Iversible = régulier. groupe quelcoque : otatio multiplicative ou. ; l'iverse de x est oté x 1, l'élémet eutre est oté 1, otatio x = x x }{{} Das ce cas x m x =, (x m ) = Attetio, (xy) x y e gééral Exemple 16. 1.3 Cas de deux lci Déitio 14. Soit E u esemble mui de deux lci. et. O dit que. est distributive à gauche sur si (x, y, z) E 3 x.(y z) = (x.y) (x.z) O déit de même la distributivité à droite. Exemples. 2 Groupes 2.2 Sous-groupe Déitio 17. Soit (G, ) u groupe et H G ue partie stable par la loi. O dit que H est u sous-groupe de G quad (H, H ) est u groupe. Notatio : H G Exemple 18. 2.1 Déitio Déitio 15. U groupe (G, ) est u esemble G mui d'ue lci associative, possédat u élémet eutre pour laquelle tout élémet de G est iversible. Si de plus la loi est commutative, o dit que (G, ) est u groupe commutatif, ou abélie. Exemples. Remarque 19. Alors G et H ot le même élémet eutre : Résultat 20. U partie o vide H de (G, ) est u sous-groupe si et seulemet si elle vérie les trois coditios suivates e H (x, y) H 2 x H x 1 H x y H Notatios : groupe abélie : le plus souvet la loi est otée + ; l'iverse de x est alors oté x, l'élémet eutre 0 pour tout etier aturel o ote x = x + + x, et x = ( x) + + ( x) }{{}}{{} MPSI 2 Lycée Pasteur 2018/19 2
Résultat 21. U partie o vide H de (G, ) est u sous-groupe si et seulemet si e H (x, y) H 2 x y 1 = H Exemple : x R e x = (e x ) 1. Résultat 26. Soiet f : (G, ) (H,.) et g : (H,.) (K, ) deux morphismes de groupe, alors g f est u morphisme de groupes de G das K. Exemple 22. 2.3 Morphisme de groupes Déitio 23. Soiet (G, ) et (H,.) deux groupes. O dit que l'applicatio f : G H est u morphisme de groupes quad (x, y) G f(x y) = f(x).f(y) Exemple 24. Déitio 27. Soit f : (G, ) (H,.) u morphisme de groupes et e H l'élémet eutre de H pour la loi. ; alors o appelle oyau de f, et o ote Ker f, l'esemble Ker f = {x G ; f(x) = e H } = f({e H }) O appelle image de f, et o ote Im f, l'esemble Im f = f(g) Résultat 28. Le oyau d'u morphisme est u sous-groupe du groupe de départ, so image u sous-groupe du groupe d'arrivée. Exemple 29. L'image directe d'u sous-groupe de G est u sous-groupe de H. L'image réciproque d'u sous-groupe de H est u sous-groupe de G. (démostratio e exercice) Résultat 30. U morphisme de groupes est ijectif si et seulemet si Ker f = {e G }. Résultat 25. Soit f u morphisme de groupes de (G, ) vers (H,.), alors l'image par f de l'élémet eutre de G est l'élémet eutre de H, et x G (f(x)) 1 = f(x 1 ) Remarque 31. U morphisme de groupe f est surjectif si et seulemet si Im f = H. Exemple : l'image de Z par l'applicatio 2 est l'esemble des etiers pairs, qui est doc u sous-groupe de Z. MPSI 2 Lycée Pasteur 2018/19 3
Déitio 32. U morphisme de groupes bijectif est appelé isomorphisme de groupes. Deux groupes sot dits isomorphes quad il existe u isomorphisme de groupes etre eux. Résultat 33. La bijectio réciproque d'u isomorphisme de groupes est u isomorphisme de groupes. Remarque 34. La relatio être isomorphe à est Déitio 35. U morphisme de groupes de G das lui-même s'appelle u edomorphisme ; s'il est e outre bijectif c'est u automorphisme. Méthode : pour motrer qu'u esemble mui d'ue loi de compositio itere est u groupe, o peut motrer que c'est u sous-groupe d'u groupe cou c'est l'image par u morphisme surjectif d'u groupe vérier les trois axiomes de la déitio! MPSI 2 Lycée Pasteur 2018/19 4
3 Aeaux et corps 3.1 Déitio 3.1.1 Gééralités Déitio 36. U esemble A mui de deux lois de compositio iteres + et. est u aeau (A, +,.) quad ses deux lois vériet (A, +) est u groupe commutatif la loi. est associative et possède u élémet eutre la loi. est distributive sur l'additio Si de plus la loi. est commutative, o dit que A est u aeau commutatif. Notatio. Das u aeau, o peut déir par récurrece a, comme valat 0 si = 0, et a + ( 1)a si 1. O a e fait a =.a, où = 1 1 + + 1 A ( fois). E utilisat la propriété précédete, o a de même pour 0, ( ).a = (.a). O peut égalemet déir les puissaces (positives) d'u élémet quelcoque de l'aeau de faço usuelle. 3.1.3 Eléméts iversibles Résultat 40. L'esemble des élémets iversible de l'aeau A forme u groupe, oté A. O ote 0 l'élémet eutre pour l'additio et 1 (ou 1 A ) celui de la multiplicatio. Remarque 37. Das u aeau, o otera doc x l'opposé d'u élémet x pour la loi +, et x 1 so iverse pour la loi., lorsqu'il existe. Exemple 38. 3.1.4 Diviseurs de zéro Déitio 41. U élémet a A (où A est u aeau) o ul est appelé diviseur de zéro quad il existe b A o ul tel que ab = 0 A ou ba = 0 A Remarque : u diviseur de zéro 'est i régulier i iversible. 3.1.2 Règles de calcul Notatios : pour tout a A et tout etier aturel N o ote a = a + + a }{{} avec la covetio 0a = 0 A ; o éted cette otatio aux etiers égatifs. O déit de même a = a. }. {{...a } pour tout etier aturel. Résultat 39. Quelques règles de calcul das u aeau (A, +,.) : a A, 0 A.a = a.0 A = 0 A (o dit que 0 A est absorbat) a A, ( 1 A ).a = a. (x, y) A 2 ( x) ( y) = xy Déitio 42. U aeau est dit itègre quad il est commutatif et 'a pas de diviseur de zéro. Résultat 43. Das u aeau igègre o dispose doc de la règle du produit ul (a, b) A 2 a.b = 0 = a = 0 ou b = 0 tout élémet o ul est régulier pour la multiplicatio. 3.1.5 Formulaire Formule du biôme de Newto Soit (A, +,.), u aeau. Soit (a, b) A 2 deux élémets qui commutet (a.b = b.a). Soit N. Alors ( ) (a + b) = a k b k k k=0 MPSI 2 Lycée Pasteur 2018/19 5
Résultat 44. Toujours pour deux élémets a et b qui commutet, o a : 1 a b = (a b)( a 1 k b k ) = (a b)(a 1 + a 2 b + + b 1 ) k=0 E particulier (1 a) a k = 1 a +1 (somme d'ue suite géométrique). k=0 Remarque 48. La derière coditio est idispesable et pas automatique. Exemple 49. Morphisme d'évaluatio des foctios Edomorphismes de l'aeau Z Morphismes d'aeaux de C das R. Shift das R N Pas besoi de récurrece. 3.4 Corps 3.2 Etude d'exemples 3.3 Sous-aeaux et morphismes Déitio 45. Soit (A, +,.) u aeau et B A. O dit que B est u sous-aeau de A quad 1 A B B est stable par les deux opératios mui des lois de A, B est u aeau Remarque : {0 A } 'est doc pas u sous-aeau de A... Résultat 46. B est u sous-aeau de A si et seulemet si 1 A B (a, b) B 2 (a, b) B 2 Exemples : a b B ab B Déitio 50. O appelle corps u aeau commutatif (K, +,.) o ul das lequel tout élémet o ul est iversible pour la loi multiplicative. Autremet dit, (K,.) est u groupe. Exemple 51. (Q, +,.) est u sous-corps de (R, +,.), qui est lui-même u souscorps de (C, +,.). Déitio 52. U sous-esemble L d'u corps K est u sous-corps de K s'il est u sous-aeau de K qui, mui des lois de K, est e fait u corps. O dit symétriquemet que K est u surcorps de L. Résultat 53. L est u sous-corps de K si et seulemet si 1 K l (a, b) L 2 a b L (a, b) ( L \ {0} 2) ab 1 L Exemple 54. Q[i] U morphisme de corps est u morphisme d'aeau. Exemple 55. Le seul automorphisme de corps de R est l'idetité (cf. cours sur les suites) Déitio 47. Ue applicatio f : (A, +,.) (B,, ) (A et B état deux aeaux) est u morphisme d'aeaux quad elle vérie (a, a ) A 2 f(a + a ) = f(a) f(a ) (a, a ) A 2 f(a.a ) = f(a) f(a ) f(1 A ) = 1 B Si A = B, o parle d'edomorphisme d'aeaux. MPSI 2 Lycée Pasteur 2018/19 6