ANNEXE NOTIONS SUR LA DISTRIBUTION DE DIRAC Inroducion. Les mahémaiques «classiques» analysen les relaions enre des foncions coninues e dérivables e se révèlen un ouil commode pour raier les sysèmes régis par des équaions différenielles, à condiion que l exciaion soi une foncion coninue e dérivable. Exemple: réponse d un circui RLC à une exciaion e() sinusoïdale. Dans cerains cas, en physique, l exciaion e() es de rès coure durée du poin de vue de l observaeur - flash d un appareil phoo par exemple. L exciaion e() es nulle avan le déclenchemen du flash, rès inense pendan un insan rès bref, puis nulle ensuie. On es alors obligé de renoncer à une expression de l exciaion e() en raison des énormes disconinuiés ou des variaions non analysables. Les exciaions e() ne son en effe ni dérivables, ni même coninues par morceaux. Ce ne son pas des foncions mais des disribuions. Dans de nombreux domaines de la physique, on peu rouver des phénomènes inenses e brefs plus proches de foncions que de disribuions pour l observaeur. ÉCLAIR - FOUDRE : phénomène opique, acousique, élecrique. CHOC : phénomène mécanique (voir 5, chapire ). IMPULSION RADAR : rès brèves e rès inenses : ondes élecromagnéiques. C es le mahémaicien français Lauren Schwarz qui à la demande des physiciens a élaboré en 947 la «Théorie des disribuions», ouil indispensable pour analyser mahémaiquemen de façon rigoureuse de els phénomènes. Cee héorie, ceres rès élégane, ne sera pas abordée dans ce cours. Elle es en règle générale éudiée en second cycle universiaire. Nous nous conenerons ici de façon plus empirique de considérer ceraines disribuions comme des passages à la limie de foncions coninues e dérivables. Nous procéderons ainsi pour l échelon unié e ses dérivées. Échelon unié, disribuion de Dirac.. Échelon unié u(). u() pour u( ) pour < On peu encore considérer u() comme une foncion, mais elle n es ni coninue ni dérivable. Sa dérivée n es donc pas une foncion: c es une disribuion nommée DISTRIBUTION DE DIRAC ou encore IMPULSION DE DIRAC noée δ(). - 63 -
. Disribuion de Dirac. ( ) δ pour pour Pour mieux comprendre cee disribuion δ(), considérons l échelon u() comme la limie quand m de la foncion y() représenée ci-dessous e indéfinimen dérivable. La disribuion δ() sera alors la limie quand m de la dérivée y () de y(). u( ) lim[ y( )] m y() u() - m + m y () Aire hachurée A dy A. d y( + ) y( ) d A - m + m δ() [ ] δ( ) lim y' ( ) m δ() disribuion de Dirac ne peu êre représenée graphiquemen. On la schémaise par le symbole Aenion: le marqué sur la flèche pleine représene l aire A de cee impulsion (e non la haueur de l impulsion). dy En effe: A. d y( ) y( ) d La disribuion de Dirac es donc la limie d une impulsion rendue de plus en plus éroie, son aire resan égale à. Remarque: l impulsion de Dirac peu êre considérée comme la limie d une muliude de foncions «bosses» quelque soi la forme exace de la bosse (ou impulsion). Il suffi pour cela:. que la bosse soi oujours posiive,. que m, 3. que l aire A rese égale à. - 64 -
Exemples de foncions endan vers δ(): /ε x() ε RECTANGLE ( ) pour [, ε] v ( ) pour [, ε] ( ) lim [ x( ) ] v δ ε ε /ε ε v() + ε RECTANGLE ( ) pour [ ε, + ε] v ( ) pour [ ε, + ε] ( ) lim [ v( ) ] v δ ε ε /ε ε w() +ε δ TRIANGLE ( ) [ w( ) ] ε lim.3 Aspec physique du passage à la limie pour obenir une impulsion de Dirac. Considérer l impulsion δ() comme la limie d une foncion n a rien d arificiel mais correspond au conraire à la srice réalié physique. En effe u() e δ() ne son que des idéalisaions mahémaiques de la réalié physique des phénomènes. Dans la réalié, un échelon ou une impulsion (de ension, de pression, de force, d inensié lumineuse) possède oujours un emps de monée m non nul. Un sysème physique me oujours un cerain emps pour passer d un éa vers un aure. Cependan, le poin imporan à reenir es le suivan: Un signal physique y() correspondan au passage d un éa () vers un éa () pourra êre considéré comme un échelon chaque fois que son emps de monée m sera négligeable devan les aures emps mis en jeu dans le circui. Il en es de même pour une impulsion..4 Uniés - dimensions. En général, une impulsion physique v() assimilable à une impulsion de Dirac inrodui un coefficien A el que : v() A. δ() (vols) (vols.sec) (sec) - V A ns A représene l aire de l impulsion en Vols*Secondes par exemple ici A4. -9 L impulsion de Dirac δ() a donc la dimension de l inverse d un emps, en effe: δ( ) du d sans dimension emps - 65 -
.5 Exemple mécanique d impulsion de Dirac: choc élasique de boules (pendule bifilaire). R Considérons le pendule bifilaire consiué de deux iges rigides poran boules de péanque. a) Un ressor es fixé sur une des boules au poin d impac. Iniialemen, on donne des élongaions angulaires opposées aux deux pendules, e on les libère sans viesse iniiale.. Juse avan le conac : le ressor n es soumis à aucune conraine, sa ension es donc nulle. Soi V I la viesse de la boule A juse avan son A R conac avec le ressor. Son énergie cinéique à ce momen es. m. V I. Pour des raisons de symérie, la boule B a une viesse opposée -V I e la même énergie cinéique.. Pendan la durée du conac : l énergie cinéique oale iniiale m. V I se converi en énergie poenielle du ressor. Au poin de compression maximale, l énergie cinéique es nulle e la compression maximale x m du ressor es donc elle que. k. xm mv I. Puis, le ressor se déend resiuan inégralemen les énergies cinéiques avec des viesses iniiales V F (après le conac) opposées aux viesses iniiales respecives. VF VI. 3. Après le conac : les boules remonen à la haueur iniiale en raison de la conversion de l énergie. 4. Relaion fondamenale de la dynamique appliquée à la boule A : soi : F m. dv d F. d m. dv ( ) F. d m. V V Choisissons juse avan le conac e juse après le conac. d où : B R V V V V V F I F F. d. mv. F 5. Inerpréaion géomérique : choisissons l insan de compression maximale comme l insan, la relaion encadrée ci-dessous signifie que l aire vau.m.v F. F. d. m. V F 6. Meons un ressor plus raide : la force es plus inense, la durée du conac plus faible, mais l aire es la même car V F es la même (conservaion de l énergie), la foncion F() se rapproche alors d une impulsion de Dirac A.δ() comme le monre la figure A.. - 66 -
Force F k minimum k maximum emps Figure A.. En praique, il suffi que la durée de l impulsion (égale à - ) soi peie devan la période du pendule (qui dépend de V I ) pour que l on puisse assimiler cee impulsion à une impulsion de Dirac.. Equaion différenielle régissan le mouvemen du pendule selon x : L énergie maximale du sysème es : mv. F. Cee énergie es la somme de l énergie poenielle du ressor. k. x e de l énergie cinéique du pendule m. v. On a donc l équaion: mv k x dx. F.. m. v. k. x + + m.. d En régime permanen, la soluion (pariculière) de cee équaion s écri: x( ) X.cosω. La force appliquée au ressor aura donc pour expression: F( ) k. x( ) F.cos ω avec F()<. On rerouve donc bien en valeur absolue le graphe de la page précédene dédui de façon semi-qualiaive. 3. Propriéés de l impulsion de Dirac. 3. Muliplicaion de d() par une foncion coninue. δ() éan nulle parou ailleurs qu à l origine, il en es de même du produi f().δ(). On a donc: f().δ() f().δ() ( ) f() f() δ() - 67 -
3. Inégraion du produi de d() par une foncion coninue. Muliplions les deux membres de l équaion () par d e inégrons de - à : f ( ). δ ( ). d f ( ). δ ( ). d f ( ). δ ( ). d f ( ) donc: f ( ). δ ( ). d f ( ) 4 43 3.3 Changemen d origine: disribuion d(- ). Il suffi d effecuer le changemen d origine des emps - pour se ramener au cas précéden (, chapire 3). δ( ) si δ(- ) pour δ( ) si δ(- ) pour 4. Disribuion «peigne de Dirac». On appelle «peigne de Dirac» ou «rain d impulsions» une succession périodique d impulsions de Dirac. On noe: T() δ() + δ(-t) + δ(-t) +... + δ(-kt) +...+ δ(+t) + δ(+t) +...+δ(+kt) +... n+ T() δ ( nt) n T es la période du peigne. T() -kt -3T -T -T T T 3T kt Ce ype de signal es principalemen uilisé en échanillonnage (cee foncion sera éudiée dans le module M8). Échanillonner une foncion f() consise simplemen à prélever sa valeur à inervalles réguliers. Il suffi donc, d un poin de vue mahémaique, de la muliplier par un «peigne de Dirac». Dans le cours «Analyse des sysèmes linéaires», la disribuion «peigne de Dirac» va servir à inroduire la noion fondamenale de convoluion sans avoir recours à la héorie des disribuions. - 68 -
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