Termiale S exercices 1 Exercices de base 1 1 Divisio Euclidiee - 1 (c) 1 Divisio Euclidiee- 1 3 Divisio Euclidiee-3 (c) 1 4 Multiples - 1 1 5 PGCD - 1 (c) 3 1 6 PPCM et PGCD - 1 7 PPCM et PGCD - 3 3 3 1 8 Théorème de Gauss-1 3 1 9 Bases de umératio-1 3 1 10 Bases de umératio- 3 1 11 Bases de umératio-3 3 1 1 Ecriture répétée 3 1 13 Cogrueces-1 (c) 1 14 Cogrueces- 3 4 1 15 Cogrueces-3 (c) 4 1 16 Divers-1 4 1 17 Divers- 4 1 18 Divers-3 4 1 19 Divers-4 4 1 0 Divers-5 (QCM)(c) 4 1 1 Nombres Premiers-1 5 1 Nombres Premiers- 5 1 3 Nombres Premiers-3 5 1 4 Démostratio de Fermat 5 1 5 La classe 6 1 6 U 6 Bézout 6 7 Bezout-1 6 8 Bezout- 6 9 Bezout-3 30 Bezout-4 6 6 31 Bezout-5 7 3 Acies exos bac 7 3 3 Somme et produit 3 33 Quadratique 7 7 3 34 Divisibilité 7 3 35 Equatio diophatiee 7 3 36 Base de umératio 1 3 37 Base de umératio 8 8 3 38 Somme des cubes 8 3 39 Somme des diviseurs 8 3 40 Racies ratioelles (méthode de Descartes) 9 3 41 QCM, Baque exercices 004-9 9 3 4 Cryptographie, Baque exercices 004-30 9 3 43 Repuits 1, Baque exercices 004-31 10 3 44 Repuits, Baque exercices 004-3 10 3 45 Recherche, Baque exercices 005-6 11 3 46 Cryptographie, Baque exercices 005-38 11 4 Exercices Baccalauréat 1 4 47 Puissaces de 7, Polyésie 010 1 4 48 QCM, Liba 010 1 4 49 Bézout+spirale, Amérique du Nord 010 13 4 50 Carrés et cubes+espace, Podicherry, 010 14 4 51 Surface+équatio, Atilles Guyae 009 15 Termiale S 1 F Laroche 4 5 Equatio diophatiee, Nelle Calédoie, 00915 4 53 Puissace de, Frace & La Réuio, 009 16 4 54 Puissaces de 3, Liba 009 4 55 Divisibilité + espace, La Réuio 009 16 16 4 56 Divisibilité par 7, Frace 009 17 4 57 Bézout+espace, Cetres étragers 009 17 4 58 Restes chiois, Asie 009 18 4 59 QCM, Atilles 009 18 4 60 Th de Wilso, Am du Nord 009 19 4 61 ROC+Base 1, N Calédoie, mars 008 (c) 19 4 6 QCM, Polyésie, jui 008 0 4 63 QCM, Liba, jui 008 1 4 64 Réseau, Asie, jui 008 4 65 Codage affie, Atilles, jui 008 3 4 66 Surface+Eq dioph, Am Nord, jui 008 (c) 4 4 67 Bézout+Fermat, Natioal, sept 007 4 68 Bézout, N Calédoie, mars 007 5 6 4 69 Codage affie, N Calédoie, mars 007 6 4 70 Surface+éq dioph, Polyésie jui 007 4 71 QCM, Liba jui 007 7 7 4 7 Bézout, Natioal septembre 006 8 4 73 ROC+Cogrueces, Am du Sud ov 006 (c) 8 4 74 QCM, Polyésie, jui 006 (c) 9 4 75 Restes chiois, Natioal, jui 006 (c) 30 4 76 Fermat, Cetres étragers, jui 006 31 4 77 Eq diophatiee, Asie, jui 006 3 4 78 Similitude & suite, Am du Sud, sept 005 3 4 79 QCM, Natioal, sept 005 33 4 80 Restes de puissaces, Atilles, jui 005 34 4 81 Eq dioph, Cetres étragers, jui 005 (c) 34 4 8 Bézout+Fermat, Liba, jui 005 36 4 83 Suite de restes, Polyésie, jui 005 (c) 36 4 84 PGCD das suite, La Réuio, jui 005 37 4 85 Fiboacci, Nelle-Calédoie, ov 004 (c) 38 4 86 QCM, Atilles, sept 004 (c) 39 4 87 Cogrueces, Asie, jui 004 39 4 88 Repuit, Cetres étragers, jui 004 39 4 89 Fermat et Bézout, Natioal, jui 004 (c) 40 4 90 Fermat, La Réuio, jui 004 41 4 91 Restes chiois + pla, N Calédoie, sept 003 41 4 9 Eq dioph, Atilles, sept 003 41 4 93 Bézout, Frace, sept 003 4 4 94 Cogrueces, Polyésie, sept 003 4 4 95 Suite, Atilles, jui 003 (c) 4 4 96 PGCD, Asie, jui 003 43 4 97 Cogrueces, Liba, mai 003 43 4 98 Repuit, Am du Sud, décembre 00 44 4 99 Eq dioph, N Calédoie, ov 00 44 4 100 Bézout+rotatio, Frace, sept 00 44 4 101 Bézout & suites, Asie, jui 00 45 4 10 Triplets pythag, C étragers, jui 00 45 4 103 Bézout, Frace, jui 00 46 4 104 PGCD, Polyésie, jui 00 46 4 105 Caledrier, Am du Nord, mai 00 4 106 Divisibilité, N Calédoie, déc 001 47 47
4 107 PGCD & PPCM, Atilles, sept 001 48 4 108 PGCD, Am du Sud, sept 001 48 4 109 Similitude & Bézout, Frace, jui 001 4 110 Caledrier, C étragers, jui 001 48 48 4 111 Bézout, Atilles, jui 001 49 4 11 Bézout, Am du Nord, jui 001 49 4 113 Repuit, Podicherry, jui 001 (c) 50 4 114 PGCD & PPCM, N Calédoie, jui 001 51 4 115 Bézout, Polyésie, jui 001 (c) 4 116 Bézout & rotatio, Atilles, jui 000 51 51 4 117 PGCD, La Réuio, jui 000 5 4 118 Bézout, Polyésie, jui 000 5 4 119 Bézout et plas, Asie jui 000 53 4 10 Homothétie & multiples, Liba, mai 000 (c) 53 4 11 Cogrueces, Podicherry, mai 000 (c) 4 1 PGCD & parité, N Calédoie, déc 1999 54 55 4 13 Bases, Am du Sud, ov 1999 56 4 14 Bézout, Liba, jui 1999 (c) 56 4 15 Bézout & pla, C étragers, jui 1999 4 16 Bézout, Asie, jui 1999 57 58 4 17 Bézout, Atilles - Guyae, jui 1999 58 4 18 Th de Wilso, Am du Nord, jui 1999 58 4 19 Premiers, Frace, jui 1999 59 4 130 Cogrueces, Polyésie, jui 1999 59 4 131 Eq dioph, Podicherry, mai 1999 (c) 4 13 Diviseurs+pgcd, Bac C, Lyo, 1981 59 61 4 133 Bézout + ppcm, Bac C, Japo 1980 61 4 134 Base et diviseurs, Bac C, Ide, 1979 61 4 135 Bases+cogrueces, Bac C, Aix, 1976 61 4 136 Nombres de Farey et approximatio d u ratioel par u ratioel 61 1 Exercices de base 1 1 Divisio Euclidiee - 1 (c) Das ue divisio euclidiee etre etiers aturels quels peuvet être le diviseur et le quotiet lorsque le dividede est 30 et le reste 39? Correctio O a 30= q b+ 39 q b= 30 39= 81 Cherchos les diviseurs de 81 : 1 et 81 Ce sot les seules valeurs possibles de q et b 1 Divisio Euclidiee- Quel est le ombre de diviseurs de 880? 1 3 Divisio Euclidiee-3 (c) 1 Écrire l'esemble des etiers relatifs diviseurs de 6 Détermier les etiers relatifs tels que 4 divise 6 3 Détermier les etiers relatifs tels que 4 divise + 4 Détermier les etiers relatifs tels que + 1 divise 3 4 Correctio 1 L'esemble des diviseurs de 6 est D = { 6 ; 3 ; ; 1 ; 1 ; ; 3 ; 6} 4 divise 6 si 4 appartiet à D, soit si appartiet à D + 4 = { ; 1 ; ; 3 ; 5 ; 6 ; 7 ; 10} 3 O peut remarquer que + = 4 + 6 Puisqu'il est évidet que 4 divise 4, le résultat du permet alors d'affirmer que si 4 divise +, alors 4 divise + ( 4) c'est-à-dire 4 divise 6 Réciproquemet si 4 divise 6 alors 4 divise 6 + 4 c'est-à-dire 4 divise + O a doc démotré que 4 divise + si et seulemet si 4 divise 6 4 O peut raisoer e utilisat le même pricipe qu'à la questio précédete O remarque que Termiale S F Laroche 3 4 = 3( + 1) 7, et puisqu'il est immédiat que + 1 divise 3( + 1), o peut écrire : - si + 1 divise 3 4, alors + 1 divise 3 4 3( + 1) c'est-à-dire + 1 divise 7 ; réciproquemet : si + 1 divise 7 alors + 1 divise 7 + 3( + 1) c'est-à-dire + 1 divise 3 4 L'esemble des diviseurs de 7 (ou de 7) état { 7 ; 1 ; 1 ; 7}, o e déduit que + 1 divise 3 4 si et seulemet si + 1 appartiet à { 7 ; 1 ; 1 ; 7} soit appartiet à { 8 ; ; 0 ; 6} 1 4 Multiples - 1 a et b sot deux etiers relatifs Démotrez que si a + b est divisible par 7 alors a et b sot divisibles par 7
1 5 PGCD - 1 (c) Trouvez le PGCD des ombres 1640 et 49 e utilisat la décompositio e facteurs premiers, puis e utilisat l algorithme d Euclide Correctio Avec l aide de Maple o a immédiatemet : > ifactor(1640); ifactor(49); ( ) 3 ( 5 ) ( 41 ) ( ) ( 3 ) ( 41 ) et le PGCD : 41= 164 Avec Euclide : 1640= 49 3+ 164 49= 164 3+ 0 doc 1 6 PPCM et PGCD - Trouvez les deux ombres a et b sachat que leur PGCD est 4 et leur PPCM est 1344 1 7 PPCM et PGCD - 3 Trouvez deux etiers dot la différece etre leur PPCM et leur PGCD est 187 1 8 Théorème de Gauss-1 1 a est u etier aturel Motrez que a 5 a est divisible par 10 a et b sot des etiers aturels avec a b Démotrez que si a 5 b 5 est divisible par 10 alors a b est divisible par 0 1 9 Bases de umératio-1 Trouvez toutes les valeurs des chiffres x et y telles que le ombre = 6x95y das le système décimal soit divisible par 3 et 11 1 10 Bases de umératio- A est le ombre qui s écrit 1654 das le système à base 7 Ecrivez ce ombre e bases 10, puis et efi 16 (tous les calculs doivet apparaître) 1 11 Bases de umératio-3 Le ombre N s écrit 3 das le système décimal Peut-il s écrire 7 das ue autre base? 1 1 Ecriture répétée Soit u etier aturel qui s écrit das le système décimal = abcabc avec a 0 1 a Détermier tel que les deux coditios suivates soiet vérifiées : * est divisible par 5, * L etierbc est le double de a b Décomposer le ombre aisi obteu e produit de facteurs premiers Etude du cas gééral a Motrer que est divisible par abc E déduire qu il est divisible par 7, 11 et 13 b Motrer que e peut pas être u carré parfait (c est à dire le carré d u etier aturel) 3 Motrer que 11 et 140 sot premiers etre eux 4 O pose 1 = 1111 et = 140140 O appelle (E) l équatio x 1 + y = 1001 d icoues les etiers relatifs x et y a Détermier ue solutio particulière de (E) b Résoudre (E) das Z 1 13 Cogrueces-1 (c) Quel est le reste de la divisio par 7 du ombre (3) 45 Termiale S 3 F Laroche
Correctio Le reste de 3 das la divisio par 7 est 4 ; 4 doe, 4 3 doe 8, soit 1 ; comme 45 = 153, o a : Le reste est doc 1 1 14 Cogrueces- Démotrez que le ombre 1 15 Cogrueces-3 (c) 45 45 3 ( ) ( ) 15 15 3 4 (7) 4 (7) 1 (7) 1(7) = ab( a b ) est divisible par 3 pour tous les etiers relatifs a et b 1 Détermier les restes de la divisio de 5 p par 13 pour p etier aturel E déduire que pour tout etier aturel supérieur ou égal à 1, le ombre N = 31 4+1 + 18 4 1 est divisible par 13 Correctio 1 p = 0 : 1, p = 1 : 5, p = : 1 ou 1, p = 3 : 5 ou 8, p = 4 : 1 doc pour p= 4k le reste est 1, pour p= 4k+ 1 le reste est 5, pour p= 4k+ le reste est 1 ou 1, pour p= 4k+ 3 le reste est 8 ou 5 4+ 1 4 1 N = 31 + 18 : 31= 13+ 5 5(13) et 18= 13 1+ 5 5(13) ; o a doc 4+ 1 4 1 4+ 1 4 1 4+ 1 4 ' + 3 N = 31 + 18 5 + 5 (13) 5 + 5 (13) [5+ 8](13) 0(13) 1 16 Divers-1 U ombre qui s écrit avec 4 chiffres idetiques peut-il être u carré parfait (carré d u ombre etier)? 1 17 Divers- Démotrez qu u etier cogru à 7 modulo 8 e peut être égal à la somme de trois carrés 1 18 Divers-3 a et b sot deux etiers positifs premiers etre eux Motrez que a + b et a b sot premiers etre eux 1 19 Divers-4 + O cosidère la fractio avec etier positif + 1 Termiale S 4 F Laroche 3 a prouvez que tout diviseur commu d à + 1 et 3 + est premier avec b Déduisez e que d divise + 1, puis que d = 1 ou d = 5 c Quelles sot les valeurs de pour lesquelles la fractio est irréductible? 1 0 Divers-5 (QCM) (c) Pour chacue des ciq propositios suivates, idiquer si elle est vraie ou fausse et doer ue démostratio de la répose choisie Ue répose o démotrée e rapporte aucu poit Propositio 1 : «l esemble des couples d etiers relatifs (x ; y) solutios de l équatio 1x 5y = 3 est l esemble des couples (4 + 10k ; 9 + 4k) où k Z» Propositio : Pour tout etier aturel o ul : «5 6+1 + 3+1 est divisible par 5» Propositio 3 : Pour tout etier aturel o ul : «Si u etier aturel est cogru à 1 modulo 7 alors le PGCD de 3 + 4 et de 4 + 3 est égal à 7» Propositio 4 : «x + x + 3 0[ 5] si et seulemet si x 1[ 5]» Propositio 5 : Deux etiers aturels M et N sot tels que M a pour écriture abc e base dix (M vaut 100a+10b+c où a, b, c sot des chiffres etre 0 et 9) et N a pour écriture bca e base dix
Correctio Termiale S 5 F Laroche «Si l etier M est divisible par 7 alors l etier M N est aussi divisible par 7» Propositio 1 : Faux 1 et 5 sot premiers etre eux, l équatio 1x 5y= 1 a des solutios ; particulièremet le couple (3, 7) doc le couple (9, 1) est solutio de 1x 5y= 3 O opère de maière stadard : 1x 5y= 3 x 9= 5k x = 9+ 5k 1( x 9) 5( y 1) = 0 ; 1 9 5 1= 3 y 1= 1k y = 1+ 1k les couples (4 + 10k ; 9 + 4k) e so qu ue partie des couples solutios (la solutio 9, 1 e fait même pas partie ) Propositio : Faux 5 6+1 + est évidemmet divisible par 5 ; 3+1 est formé que de puissaces de, aucu de ces ombres e sot divisibles par 5 = + et remplaços : 3 4 3 1k 4 7 1k 7( 1 3k) ( ) ( ) + et 1 4k Propositio 3 : Vrai Preos 1 7k 4+ 3= 4 1+ 7k + 3= 7+ 8k= 7 1+ 4k ; si le PGCD vaut 7, alors 1 3k premiers etre eux : o doit trouver u et v tels que u+ v= 1 u= 3 u( 1+ 4k) + v( 1+ 3k) = 1 Ok 4u+ 3v= 0 v= 4 Propositio 4 : Faux O teste tous les restes modulo 5 : + = + + = + = + puis + doivet être x 0 1 3 4 x + x + 3 3 0 4 0 3 doc faux puisqu o a aussi 3 comme solutio possible Propositio 5 : Vrai M= 100a+ 10b+ c M N = 99a 90b 9c= 9 11a 10b c N = 100b+ 10c+ a de 7, comme 108 4 7 ( ) =, o a [ ] Si M= 100a+ 10b+ c est u multiple 8a+ 10b+ c 0 7 10b+ c = 8a+ 7k Pour que M N soit divisible par 7 il faut que 11a 10b c = 11a 8a 7k= 3a 7k soit divisible par 3, ce qui est le cas 1 1 Nombres Premiers-1 Le ombre 401 est-il premier? Résolvez e etiers aturels l équatio 1 Nombres Premiers- p et q sot des etiers aturels 1 Démotrez que pq 1 est divisible par p 1 et par q 1 Déduisez e que pour que 1 soit premier, il faut que soit premier x y = 401 3 Prouvez à l aide d u cotre-exemple que la coditio «est premier» est pas suffisate pour que 1 soit premier 1 3 Nombres Premiers-3 Soit p u etier premier Motrer que si p 5 alors 4 divise 1 4 Démostratio de Fermat Soit p, u etier aturel premier p 1 1 a Démotrer que si k est u etier aturel tel que 1 k p 1, le ombre 1 b E déduire que, quel que soit l'etier, le ombre ( + 1) p p 1 est divisible par p p est divisible par p k Démotrer que, quel que soit l'etier aturel, p est divisible par p (o pourra faire u raisoemet par récurrece)
3 Motrer que pour tout etier premier avec p, p 1 1 est divisible par p 1 5 La classe Das ue Termiale S, la taille moyee des élèves est de 167 cm, la taille moyee des filles est de 160 cm et la taille moyee des garços est de 173,5 cm Quel est l effectif de la classe (iférieur à 40 )? Correctio Appelos f le ombre de filles et g le ombre de garços : ( ) f 160+ g 173,5= f + g 167 6,5g= 7f 13g= 14f doc il y a 13 filles et 14 garços (ou 6 filles et 8 gars, mais le total dépasse 40) 1 6 U Les ombres etiers de 1 à 9999 sot écrits e fraçais : u, deux, trois, quatre, dix, oze,, vigt,, mille deux cet trete quatre, puis ragés par ordre alphabétique 1 Quels sot les deux premiers et les deux deriers de la liste? Quelle est la positio de «u» das la liste? Bézout 7 Bezout-1 1 E utilisat l algorithme d Euclide, détermier le PGCD des ombres 8 et 31 Trouver alors deux ombres x et y etiers relatifs tels que 31x 8y = 1 Résoudre das l esemble des etiers relatifs l équatio 31x 8y = 414 3 Le pla est rapporté au repère orthoormal ( O; i, j) O doe les poits A( 30 ; 48) et B(8 ; 76) O appelle (D) la droite (AB) a Trouver l esemble des poits M(x ; y) de (D) dot les coordoées sot des ombres etiers relatifs b Le repère utilisé pour le graphique est gradué de 10 à +10 e abscisses et de 14 à +14 e ordoées Vérifiez et expliquez pourquoi il y a pas de poit de (D) à coordoées etières visible sur le graphique c Pour remédier à l icovéiet du 3b o décide d agradir la feêtre à [ 40 ; +40] e abscisses et à [ 50 ; +10] e ordoées Combie y-a-t-il de poits de (D) à coordoées etières sur ce ouveau graphique? Faire la figure 8 Bezout- 1 Résoudre das ZxZ l équatio 13x 3y = 1 Résoudre das ZxZ l équatio 156x + 76y = 4 9 Bezout-3 x y 1 Démotrer que, pour que la relatio suivate = 3 soit satisfaite, pour x et y etiers aturels, il faut 9 4 predre x et y de la forme : x= 9( k+ 3) et y= 4k avec k etier aturel Démotrer que le PGCD de x et y e peut être qu u diviseur de 108 3 O pose m = PPCM(x ; y) et o evisage la décompositio de m e facteurs premiers Commet faut il choisir k pour que : a m e cotiee pas le facteur? b m cotiee le facteur ou le facteur? c m e cotiee pas le facteur 3? d m cotiee le facteur 3, ou le facteur 3, ou le facteur 3 3? 4 Commet faut-il choisir x et y de telle faço que l o ait PGCD(x ; y) = 18? 30 Bezout-4 1 Décomposer 319 e facteurs premiers Termiale S 6 F Laroche
Démotrer que si x et y sot deux etiers aturels premiers etre eux, il e est de même pour les ombres 3x + 5y et x + y 3 Résoudre das 31 Bezout-5 Termiale S 7 F Laroche Z le système d icoues a et b : (3a+ 5 b)( a+ b) = 176 où m est le PPCM de a et b ab= m Au 8 siècle, u groupe composé d hommes et de femmes a dépesé 100 pièces de moaie das ue auberge Les hommes ot dépesé 8 pièces chacu et les femmes 5 pièces chacue Combie pouvait-il y avoir d hommes et de femmes das le groupe? 3 Acies exos bac 3 3 Somme et produit O cosidère deux etiers aturels, o uls, x et y premiers etre eux O pose S = x + y et P = xy 1 a Démotrer que x et S sot premiers etre eux, de même que y et S b E déduire que S et P sot premiers etre eux c Démotrer que les ombres S et P sot de parités différetes (l u pair, l autre impair) Détermier les diviseurs positifs de 84 et les rager par ordre croissat 3 Trouver les ombres premiers etre eux x et y tels que : SP = 84 4 Détermier les deux etiers aturels a et b vérifiat les coditios suivates : a+ b= 84 avec d = PGCD(a ; b) 3 ab= d (O pourra poser a = dx et b = dy avec x et y premiers etre eux) 3 33 Quadratique 1 Soit x u etier impair Quel est le reste de la divisio de x par 8? Résoudre das Z x Z l équatio x = 8y+ 1 3 O veut tracer sur l écra d ue calculatrice comportat 30 poits de large sur 00 poits de haut les 1 1 poits à coordoées etières de la courbe d équatio y= x 8 8 Le repère choisi a so origie e bas à gauche de l écra, et chaque poit de l écra a pour coordoées sa positio à l écra 1 (par exemple, le poit e haut à droite aura pour coordoées (319 ; 199)) Combie de poits pourra-t-o tracer? 3 34 Divisibilité Le ombre est u etier aturel o ul O pose a = 4 + 3 et b = 5 + O ote d le PGCD de a et b 1 Doer la valeur de d das les cas suivats : =1, =11, =15 Calculer 5a 4b et e déduire les valeurs possibles de d 3 a Détermier les etiers aturels et k tels que 4 + 3 = 7k b Détermier les etiers aturels et k tels que 5 + = 7k 4 Soit r le reste de la divisio euclidiee de par 7 Déduire des questios précédetes la valeur de r pour laquelle d vaut 7 Pour quelles valeurs de r, d est-il égal à 1? 3 35 Equatio diophatiee 1 O admet que 1999 est u ombre premier Détermier l esemble des couples (a, b) d etiers aturels tels que a + b = 11994 et dot le PGCD vaut 1999 O cosidère l équatio (E) : S+11994 = 0 où S est u etier aturel O s itéresse à des valeurs de S telles que (E) admette deux solutios das Z
a Peut o trouver S tel que 3 soit solutio de (E)? Si oui, préciser la deuxième solutio b Même questio avec 5? c Motrer que tout etier solutio de (E) est u diviseur de 11994 E déduire toutes les valeurs possibles de S 3 36 Base de umératio 1 1 Résoudre das Z l équatio 54 + 13x = 6y Soit N le ombre dot l écriture das le système de umératio de base 13 est N = 5x3 Pour quelles valeurs de x : * N est-il divisible par 6? * N est-il divisible par 4? * N est-il divisible par 4? (4 est écrit e décimal ) 3 37 Base de umératio 1 Démotrer que, pour tout etier aturel, 3 1 est divisible par 8 E déduire que 3 + + 7 est u multiple de 8 et que 3 +4 1 est u multiple de 8 Détermier les restes de la divisio par 8 des puissaces de 3 3 Le ombre p état u etier aturel, o cosidère le ombre A p défii par : A p = 3 p + 3 p + 3 3p + 3 4p a Si p =, quel est le reste de la divisio de A p par 8? b Démotrer que, si p = + 1, A p est divisible par 8 4 O cosidère les ombres a et b écrits das le système "base 3" : a = 1110 trois b = 101010100 trois Les ombres a et b sot-ils divisibles par 8? 5 De même, o cosidère le ombre c = 000000000 trois Démotrer que c est divisible par 16 Remarque : pour les questios 4 et 5, o raisoera sas utiliser la valeur umérique e base dix des ombres a, b, c 3 38 Somme des cubes 1 Calculer, e foctio de, la somme des premiers etiers aturels o uls Démotrer par récurrece que 3 p p = Exprimer 3 s p p= 1 p= 1 p= 1 3 Soit D le PGCD des ombres s et s +1 Calculer D lorsque a = k, b = k+1 E déduire que s, s +1 et s + sot premiers etre eux 3 39 Somme des diviseurs 1 O cosidère le ombre 3 = 00= 5 = e foctio de a Combie a-t-il de diviseurs? E utilisat u arbre, calculez les tous et faites leur somme s b Vérifiez que 3 s= (1+ + + )(1+ 5+ 5 ) α β O cosidère maiteat le ombre N = a b où a et b sot deux ombre premiers, α et β des etiers a Quel est le ombre de diviseurs de N? Termiale S 8 F Laroche
b Soit S la somme des diviseurs de N Motrez que Déduisez e ue expressio «simple» de S α S= (1 + a+ a + + a )(1 + b+ b + + b ) S a b c Motrez alors que pour α et β suffisammet grads o a N a 1 b 1 3 Applicatio umérique : 100 00 N = 5 7 ; trouver ue valeur approchée de S β Rappel : la somme des premiers termes d ue suite géométrique de premier terme u 0 et de raiso q est + 1 1 q u0 1 q Correctio : voir Atisèches TS 3 40 Racies ratioelles (méthode de Descartes) 1 Motrer que si p et q sot deux etiers relatifs premiers etre eux, il e est de même de p et q 3 O se propose de trouver les solutios ratioelles de l équatio : 3 (1): 3x x + 6x 4= 0 O rappelle qu u ombre ratioel est le quotiet de deux etiers relatifs a Soit a b u ombre ratioel écrit sous forme irréductible Motrer que s il est solutio de (1) alors a divise 4 et b divise 3 b Motrer qu ue solutio de (1) e peut pas être égative c Déduire de ce qui précède que la seule solutio ratioelle de (1) est 3 3 Résoudre das Q l équatio 3 3x x + 6x 4= 0 3 41 QCM, Baque exercices 004-9 L exercice propose ciq affirmatios umérotées de 1 à 5 Pour chacue de ces affirmatios, dire si elle est vraie ou si elle est fausse, e justifiat le choix effectué 1 Si u ombre est divisible par 4, alors il est divisible par 8 Si u ombre est divisible par et par 3, alors il est divisible par 6 3 Si u ombre est divisible par 4 et par 6, alors il est divisible par 4 4 Si deux etiers a et b sot premiers etre eux, alors les etiers a + b et a b sot premiers etre eux 5 Si deux etiers a et b sot premiers etre eux, alors les etiers a + b et 3a + b sot premiers etre eux 3 4 Cryptographie, Baque exercices 004-30 1 a Détermier deux etiers relatifs u et v tels que 7u 13v = 1 b E déduire deux etiers relatifs u 0 et v 0 tels que 14u 0 6v 0 = 4 c Détermier tous les couples (a, k) d etiers relatifs tels que 14a 6k = 4 O cosidère deux etiers aturels a et b Pour tout etier, o ote ϕ() le reste de la divisio euclidiee de a + b par 6 O décide de coder u message, e procédat comme suit : à chaque lettre de l alphabet o associe u etier compris etre 0 et 5, selo le tableau : Lettre A B C D E F G H I J K L M Nombre 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 Lettre N O P Q R S T U V W X Y Z Termiale S 9 F Laroche
Nombre 13 14 15 16 17 18 19 0 1 3 4 5 Pour chaque lettre α du message, o détermie l etier associé puis o calcule ϕ() La lettre α est alors codée par la lettre associée à ϕ() O e coaît pas les etiers a et b, mais o sait que la lettre F est codée par la lettre K et la lettre T est codée par la lettre O 5a+ b= 10 modulo 6 a Motrer que les etiers a et b sot tels que : 19a+ b= 14 modulo 6 b E déduire qu il existe u etier k tel que 14a 6k = 4 c Détermier tous les couples d etiers (a, b), avec 0 a 5 et 0 b 5, tels que 3 O suppose que a = 17 et b = 3 a Coder le message «GAUSS» Termiale S 10 F Laroche 5a+ b= 10 modulo 6 19a+ b= 14 modulo 6 b Soit et p deux etiers aturels quelcoques Motrer que, si ϕ() = ϕ(p), alors 17( p) = 0 modulo 6 E déduire que deux lettres distictes de l alphabet sot codées par deux lettres distictes 4 O suppose que a = 17 et b = 3 a Soit u etier aturel Calculer le reste de la divisio euclidiee de 3ϕ() + 9 par 6 b E déduire u procédé de décodage c E déduire le décodage du message «KTGZDO» 3 43 Repuits 1, Baque exercices 004-31 Des ombres étrages (part oe)! Les ombres 1 ; 11 ; 111 ; 1111 ; etc sot des ombres que l o appelle rep-uits (répétitio de l uité) Ils e s écrivet qu avec des chiffres 1 Ces ombres possèdet de ombreuses propriétés qui passioet des mathématicies Cet exercice propose d e découvrir quelques-ues Pour k etier strictemet positif, o ote N k le rep-uit qui s écrit à l aide de k chiffres 1 Aisi N 1 = 1, N = 11, N 3 = 111, 1 Citer deux ombres premiers iférieurs à 10 apparaissat jamais das la décompositio d u rep-uit Justifier brièvemet la répose A quelle coditio sur k le ombre 3 apparaît-il das la décompositio du rep-uit N k? Justifier brièvemet la répose 3 Pour k > 1, le rep-uit N k est défii par Justifier l égalité : 9N = 10 1 pour tout etier k > 1 k k N k k 1 i k 1 10 1 10 100 10 i= 0 = = + + + + 4 Le tableau ci-dessous doe les restes de la divisio par 7 de 10 k, pour k etier compris etre 1 et 8 k 1 3 4 5 6 7 8 Reste de la divisio de 10 k par 7 3 6 4 5 1 3 Soit k u etier strictemet positif Démotrer que :«10 k 1(7)» équivaut à «k est multiple de 6» E déduire que 7 divise N k si et seulemet si k est multiple de 6 3 44 Repuits, Baque exercices 004-3 Des ombres étrages (part two)!
Les ombres 1 ; 11 ; 111 ; 1111 ; etc sot des ombres que l o appelle rep-uits (répétitio de l uité) Ils e s écrivet qu avec des chiffres 1 Ces ombres possèdet de ombreuses propriétés qui passioet des mathématicies Cet exercice propose d e découvrir quelques ues Pour k etier strictemet positif, o ote N k le rep-uit qui s écrit à l aide de k chiffres 1 Aisi N 1 = 1, N = 11, N 3 = 111, 1 Citer deux ombres premiers iférieurs à 10 apparaissat jamais das la décompositio d u rep-uit Justifier brièvemet la répose Doer la décompositio e facteurs premiers de N 3, N 4 et N 5 3 Soit u etier strictemet supérieur à 1 O suppose que l écriture décimale de se termie par le chiffre 1 a Motrer que, das so écriture décimale, se termie lui-même par 1 ou par 9 b Motrer qu il existe u etier m tel que s écrive sous la forme 10m + 1 ou 10m 1 c E déduire que 1(0) 4 a Soit k > Quel est le reste de la divisio de N k par 0? b E déduire qu u rep-uit distict de 1 est pas u carré 3 45 Recherche, Baque exercices 005-6 Pour tout etier 1 o pose u = 1! +! + +! O doe la décompositio e facteurs premiers des dix premiers termes de la suite ( u ) u = 1 1 u = 3 3 4 5 u = 3 u = 3 11 u = 3 17 6 7 8 9 10 u = 3 97 4 u = 3 73 1 Motrer que u est jamais divisible par, par 5 i par 7 u = 3 11 467 u = 3 131 347 u = 3 11 40787 Peut-o affirmer que u est divisible par 11 à partir d u certai rag? 3 Peut-o affirmer que, à partir d u certai rag, u est divisible par 3 mais pas par 3 3? 3 46 Cryptographie, Baque exercices 005-38 O cosidère les dix caractères A, B, C, D, E, F, G, H, I et J auxquels o associe das l ordre les ombres etiers de 1 à 10 O ote Ω = {1,,, 10} O appelle message tout mot, ayat u ses ou o, formé avec ces dix caractères 1 O désige par f la foctio défiie sur Ω par «f() est le reste de la divisio euclidiee de 5 par 11» O désire coder à l aide de f le message «BACF» Compléter la grille de chiffremet ci-dessous : Lettre B A C F 1 3 6 f() 3 Lettre C Peut-o déchiffrer le message codé avec certitude? O désige par g la foctio défiie sur Ω par «g() est le reste de la divisio euclidiee de par 11» Etablir, sur le modèle précédet, la grille de chiffremet de g Permet-elle le déchiffremet avec certitude de tout message codé à l aide de g? 3 Le but de cette questio est de détermier des coditios sur l etier a compris etre 1 et 10 pour que la foctio h défiie sur E par «h() est le reste de la divisio euclidiee de a par 11» permette de chiffrer et déchiffrer avec certitude u message de 10 caractères Termiale S 11 F Laroche
Soit i u élémet de Ω a Motrer, e raisoat par l absurde, que si, pour tout i Ω, i < 10, a i est pas cogru à 1 modulo 11, alors la foctio h permet le déchiffremet avec certitude de tous messages i b Motrer que s il existe i Ω, i < 10, tel que a 1[11], alors la foctio h e permet pas de déchiffrer u message avec certitude c O suppose que i est le plus petit etier aturel tel que 1 i 10 vérifiat a 1[11] E utilisat la divisio euclidiee de 10 par i, prouver que i est u diviseur de 10 d Quelle coditio doit vérifier le ombre a pour permettre le chiffrage et le déchiffrage sas ambiguïté de tous messages à l aide de la foctio h? Faire la liste de ces ombres 4 Exercices Baccalauréat 4 47 Puissaces de 7, Polyésie 010 Les parties A et B sot idépedates Partie A O cosidère l équatio (E): 7x 6y= 1 où x et y sot des etiers aturels 1 Doer ue solutio particulière de l équatio (E) Détermier l esemble des couples d etiers aturels solutios de l équatio (E) Partie B Das cette partie, o se propose de détermier les couples (, m) d etiers aturels o uls vérifiat la relatio m 7 3 = 1 (F) 1 O suppose m 4 Motrer qu il y a exactemet deux couples solutios O suppose maiteat que m 5 a Motrer que si le couple (, m) vérifie la relatio (F) alors 7 1( modulo3) b E étudiat les restes de la divisio par 3 des puissaces de 7, motrer que si le couple (, m) vérifie la relatio (F) alors est divisible par 4 c E déduire que si le couple (, m) vérifie la relatio (F) alors 7 1( modulo5) d Pour m 5, existe-t-il des couples (, m) d etiers aturels vérifiat la relatio (F)? 3 Coclure, c est-à-dire détermier l esemble des couples d etiers aturels o uls vérifiat la relatio (F) 4 48 QCM, Liba 010 Pour chacue des propositios suivates, idiquer si elle est vraie ou fausse, et doer ue justificatio de la répose choisie Ue répose o justifiée e rapporte aucu poit Toutefois, toute trace de recherche, même icomplète, ou d iitiative même o fructueuse, sera prise e compte das l évaluatio 1 O cosidère, das le pla complexe rapporté à u repère orthoormal direct ( O; u, v) i, le poit A d affixe i et B l image de A par la rotatio de cetre O et d agle π O ote I le milieu du segmet [AB] Propositio 1 : «La similitude directe de cetre A qui trasforme I e O a pour écriture complexe ( ) z' = 1+ i z 1 i» O appelle S l esemble des couples (x ; y) d etiers relatifs solutios de l équatio 3x 5y = Propositio : «L esemble S est l esemble des couples 3 O cosidère l équatio (E): x y 0( mod 3) (5k 1 ; 3k 1) où k est u etier relatif» +, où (x ; y) est u couple d etiers relatifs Termiale S 1 F Laroche
Propositio 3 : «Il existe des couples (x ; y) d etiers relatifs solutios de (E) qui e sot pas des couples de multiples de 3» 4 Soit u etier aturel supérieur ou égal à 3 Propositio 4 :«Pour tout etier aturel k ( k ), le ombre! + k est pas u ombre premier» 5 O cosidère l équatio (E ) : x 5x+ 480= 0, où x est u etier aturel Propositio 5 : «Il existe deux etiers aturels o uls dot le PGCD et le PPCM sot solutios de l équatio (E )» 4 49 Bézout+spirale, Amérique du Nord 010 Partie A O cherche l'esemble des couples d'etiers relatifs (x; y) solutios de l'équatio (E): 16x 3y= 4 1 Vérifier que le couple (1 ; 4) est ue solutio particulière de (E) Détermier l'esemble des couples d'etiers relatifs solutios de l'équatio (E) Partie B Le pla complexe est rapporté à u repère orthoormal direct ( O; u, v) O cosidère la trasformatio f du pla, qui à tout poit M d'affixe z, associe le poit M d affixe z défiie par = e 8 z O défiit ue suite de poits (M ) de la maière suivate : le poit M 0 a pour affixe z 0 = i et pour tout etier aturel, M+ 1 = f ( M ) O ote z l'affixe du poit M Les poits M 0, M 1, M et M 3 sot placés sur la figure ci-dessous 3iπ 1 Détermier la ature et les élémets caractéristiques de la trasformatio f O ote g la trasformatio fff f a Détermier la ature et les élémets caractéristiques de la trasformatio g Termiale S 13 F Laroche
b E déduire que pour tout etier aturel OM 4 4OM u etier relatif c Compléter la figure e costruisat les poits M 4, M 5 et M 6 3 Démotrer que pour tout etier aturel, z ( ) + = et que ( OM OM 4 ) π 3π i + 8 = e 4 Soiet deux etiers aturels et p tels que p OM, OM a Exprimer e foctio de et p ue mesure de ( p ) π, + = + k π où k est b Démotrer que les poits O, M p et M sot aligés si et seulemet si p est u multiple de 8 5 Détermier l'esemble des etiers aturels tels que le poit M appartiee à la demi-droite [Ox) O pourra utiliser la partie A 4 50 Carrés et cubes+espace, Podicherry, 010 Les parties A et B peuvet, das leur quasi-totalité, être traitées de faço idépedate Partie A Das cette partie, o se propose d étudier des couples (a, b) d etiers strictemet positifs, tels que : a = b 3 Soit (a, b) u tel couple et d = PGCD(a, b)o ote u et v les etiers tels que a = du et b = dv 1 Motrer que u = dv 3 E déduire que v divise u, puis que v = 1 3 Soit (a, b) u couple d etiers strictemet positifs Démotrer que l o a a = b 3 si et seulemet si a et b sot respectivemet le cube et le carré d u même etier 4 Das cette questio, toute trace de recherche, même icomplète, ou d iitiative même o fructueuse sera prise e compte das l évaluatio Motrer que si est le carré d u ombre etier aturel et le cube d u autre etier, alors 0[ 7] ou 1[ 7] Partie B Das l espace mui d u repère orthoormal ( O; i, j, k ), o cosidère la surface S d équatio 3 x y = z Pour tout réel λ, o ote C λ la sectio de S par le pla d équatio z = λ 1 Les graphiques suivats doet l allure de C λ tracée das le pla d équatio z = λ, selo le sige de λ Attribuer à chaque graphique l u des trois cas suivats : λ < 0, λ = 0, λ > 0 et justifier l allure de chaque courbe a Détermier le ombre de poits de C 5 dot les coordoées sot des ombres etiers strictemet positifs b Pour cette questio, o pourra évetuellemet s aider de la questio 3 de la partie A Détermier le ombre de poits de C 010 dot les coordoées sot des ombres etiers strictemet positifs Termiale S 14 F Laroche
C λ C λ (pas de courbe visible) graphique 1 graphique graphique 3 4 51 Surface+équatio, Atilles Guyae 009 L espace est mui d u repère orthoormé ( O; i, j, k ) O cosidère la surface S 1 d équatio z = x + y, et la surface S d équatio z = xy + x Partie A O ote P le pla d équatio x =, E 1 l itersectio de la surface S 1 et du pla P et E l itersectio de la surface S et du pla P 1 a Détermier la ature de l esemble E 1 b Détermier la ature de l esemble E a Représeter les esembles E 1 et E das u repère ( A; j, k) du pla P où A est le poit de coordoées ( ; 0 ; 0) b Das le repère ( O; i, j, k ) doer les coordoées des poits d itersectio B et C des esembles E 1 et E Partie B L objectif de cette partie est de détermier les poits d itersectio M(x ; y ; z) des surfaces S 1 et S où y et z sot des etiers relatifs et x u ombre premier O cosidère u tel poit M(x ; y ; z) 1 a Motrer que y(y x) = x(z x) b E déduire que le ombre premier x divise y O pose y = kx avec k Z a Motrer que x divise, puis que x = b E déduire les valeurs possibles de k 3 Détermier les coordoées possibles de M et comparer les résultats avec ceux de la PARTIE A, questio b 4 5 Equatio diophatiee, Nelle Calédoie, 009 Les questios 1 et sot idépedates Soit u etier aturel o ul 1 O cosidère l équatio otée (E) : 3x + 7y = 10 où x et y sot des etiers relatifs a Détermier u couple (u ; v) d etiers relatifs tels que 3u +7v = 1 E déduire ue solutio particulière (x 0 ; y 0 ) de l équatio (E) b Détermier l esemble des couples d etiers relatifs (x ; y) solutios de (E) O cosidère l équatio otée (G) 3x + 7y = 10 où x et y sot des etiers relatifs a Motrer que 100 (modulo 7) Démotrer que si (x ; y) est solutio de (G) alors 3x (modulo 7) b Reproduire et compléter le tableau suivat : Reste de la divisio euclidiee de x par 7 0 1 3 4 5 6 Termiale S 15 F Laroche
Reste de la divisio euclidiee de 3x par 7 c Démotrer que est cogru à 1, ou 4 modulo 7 E déduire que l équatio (G) admet pas de solutio 4 53 Puissace de, Frace & La Réuio, 009 1 a Détermier le reste das la divisio euclidiee de 009 par 11 b Détermier le reste das la divisio euclidiee de 10 par 11 c Détermier le reste das la divisio euclidiee de 009 + 009 par 11 O désige par p u ombre etier aturel O cosidère pour tout etier aturel o ul le ombre A = + p O ote d le PGCD de A et A +1 a Motrer que d divise b Détermier la parité de A e foctio de celle de p Justifier c Das cette questio, toute trace de recherche, même icomplète, ou d iitiative même o fructueuse, sera prise e compte das l évaluatio Détermier la parité de d e foctio de celle de p E déduire le PGCD de 009 + 009 et 010 + 009 4 54 Puissaces de 3, Liba 009 Le but de l exercice est de motrer qu il existe u etier aturel dot l écriture décimale du cube se 3 termie par 009, c est-à-dire tel que 009[ 10000] Partie A 1 Détermier le reste de la divisio euclidiee de 8001 E déduire que 009 009[ 16] Partie B O cosidère la suite (u ) défiie sur N par : ( u ) 5 u+ 1 = + 1 1 1 a Démotrer que u 0 est divisible par 5 009 par 16 u 0 = 009 1 et, pour tout etier aturel, b Démotrer, e utilisat la formule du biome de Newto, que pour tout etier aturel, ( 4 ( 3 )) u+ 1 = u u + 5 u + u + u + 1 c Démotrer par récurrece que, pour tout etier aturel, u est divisible par a Vérifier que 50 u = puis e déduire que 009 1[ 65] 50 3 009 1 8001 b Démotrer alors que 009 009[ 65] Partie C 1 5 + 1 E utilisat le théorème de Gauss et les résultats établis das les questios précédetes, motrer que 8001 009 009 est divisible par 10000 Coclure, c est-à-dire détermier u etier aturel dot l écriture décimale du cube se termie par 009 4 55 Divisibilité + espace, La Réuio 009 L espace est mui d u repère orthoormal ( O; i, j, k ) 1 1 Soiet F le poit de coordoées 0;0; 4 et (P) le pla d équatio 1 z= 4 Termiale S 16 F Laroche
O ote d(m, P) la distace d u poit M au pla (P) Motrer que l esemble (S) des poits M de coordoées (x; y ; z) qui vérifiet d(m, P) = MF a pour équatio x + y = z a Quelle est la ature de l itersectio de l esemble (S) avec le pla d équatio z =? b Quelle est la ature de l itersectio de l esemble (S) avec le pla d équatio x = 0? Représeter cette itersectio das le repère ( O; j, k ) 3 Das cette questio, x et y désiget des ombres etiers aturels a Quels sot les restes possibles de la divisio euclidiee de b Démotrer que 7 divise Termiale S 17 F Laroche x par 7? x + y si et seulemet si 7 divise x et 7 divise y 4 Das cette questio, toute trace de recherche même icomplète, ou d iitiative même o fructueuse, sera prise e compte das l évaluatio Existe-t-il des poits qui appartieet à l itersectio de l esemble (S) et du pla d équatio z = 98 et dot toutes les coordoées sot des etiers aturels? Si oui les détermier 4 56 Divisibilité par 7, Frace 009 Les trois questios de cet exercice sot idépedates 1 a Détermier l esemble des couples (x, y) de ombres etiers relatifs, solutio de l équatio (E) : 8x 5y = 3 b Soit m u ombre etier relatif tel qu il existe u couple (p, q) de ombres etiers vérifiat m = 8p +1 et m = 5q +4 Motrer que le couple (p, q) est solutio de l équatio (E) et e déduire que m 9 (modulo 40) c Détermier le plus petit de ces ombres etiers m supérieurs à 000 Soit u ombre etier aturel a Démotrer que pour tout ombre etier aturel k o a : 3k 1(modulo 7) Quel est le reste das la divisio euclidiee de 009 par 7? 3 Das cette questio, toute trace de recherche, même icomplète, ou d iitiative, même o fructueuse, sera prise e compte das l évaluatio Soiet a et b deux ombres etiers aturels iférieurs ou égaux à 9 avec a 0 O cosidère le ombre N = a00b 3 N = a 10 + b O rappelle qu e base 10 ce ombre s écrit sous la forme O se propose de détermier parmi ces ombres etiers aturels N ceux qui sot divisibles par 7 a Vérifier que 10 3 1(modulo 7) b E déduire tous les ombres etiers N cherchés 4 57 Bézout+espace, Cetres étragers 009 1 O ote (E) l'équatio 3x + y = 9 où x et y sot deux ombres etiers relatifs a Détermier u couple d'etiers solutio de l'équatio (E) b Détermier tous les couples d'etiers relatifs solutios de l'équatio (E) c Préciser les solutios de l'équatio (E) pour lesquelles o a à la fois x > 0 et y > 0 Itersectios d'u pla avec les plas de coordoées L'espace est mui du repère orthoormal ( O; i, j, k ) et o désige par (P) le pla d'équatio 3x + y = 9 a Démotrer que (P) est parallèle à l'axe (Oz) de vecteur directeur k b Détermier les coordoées des poits d'itersectio du pla (P) avec les axes (Ox) et (Oy) de vecteurs directeurs i et j c Faire ue figure et tracer les droites d'itersectio du pla (P) avec les trois plas de coordoées d Sur la figure précédete, placer sur la droite d'itersectio des plas (P) et (xoy), les poits dot les coordoées sot à la fois etières et positives
3 Étude d'ue surface (S) est la surface d'équatio 4z = xy das le repère ( O; i, j, k ) Les figures suivates représetet les itersectios de y avec certais plas de l'espace Termiale S 18 F Laroche figure 1 figure figure 3 figure 4 a S 1 désige la sectio de la surface (S) par le pla (xoy) Ue des figures doées représete S 1, laquelle? b S désige la sectio de la surface (S) par le pla (R) d équatio z= 1 Ue des figures doées représete S, laquelle? c S 3 désige la sectio de la surface (S) par le pla d équatio y= 8 Ue des figures doées représete S 3, laquelle? d S 4 désige la sectio de la surface (S) par le pla (P) d'équatio 3x + y = 9 de la questio Détermier les coordoées des poits commus à S 4 et (P) dot l'abscisse x et l'ordoée y sot des etiers aturels vérifiat l'équatio 3x + y = 9 4 58 Restes chiois, Asie 009 N 5 13 1 O se propose, das cette questio, de détermier tous les etiers relatifs N tels que N 1 17 a Vérifier que 39 est solutio de ce système [ ] [ ] b Soit N u etier relatif solutio de ce système Démotrer que N peut s écrire sous la forme N = 1+ 17x= 5+ 13y où x et y sot deux etiers relatifs vérifiat la relatio 17x 13y = 4 c Résoudre l équatio 17x 13y = 4 où x et y sot des etiers relatifs d E déduire qu il existe u etier relatif k tel que N = 18 + 1k e Démotrer l équivalece etre N 18[ 1] et [ ] [ ] N 5 13 N 1 17 Das cette questio, toute trace de recherche,même icomplète, ou d iitiative,même ifruxtueuse, sera prise e compte das l évaluatio a Existe-t-il u etier aturel k tel que 10 k 1[ 17]? b Existe-t-il u etier aturel l tel que 10 l 18[ 1]? 4 59 QCM, Atilles 009 Das chacu des cas suivats, idiquer si l affirmatio proposée est vraie ou fausse et justifier la répose 1 Le pla complexe est mui d u repère orthoormal ( O; u, v) O cosidère l applicatio f du pla das lui-même qui, à tout poit M d affixe z, associe le poit M d affixe z telle que ( ) ote A le poit d affixe i Affirmatio : f est la similitude directe, de cetre A, d agle 3 π et de rapport 009 Affirmatio : 1991 [ 7] z' = 1+ i 3 z+ 3 O 3 a et b sot deux etiers relatifs quelcoques, et p sot deux etiers aturels premiers etre eux
Affirmatio : a b[ p] Termiale S 19 F Laroche si et seulemet si a b[ p] 4 L espace est mui d u repère orthoormal ( O; i, j, k ) les coordoées (x; y; z) vérifiet l équatio : y = 3 E est l esemble des poits M de l espace dot z= x + y O ote S la sectio de E par le pla d équatio Affirmatio : S est u cercle 5 L espace est mui d u repère orthoormal ( O; i, j, k ) P est la surface d équatio x + y = 3z Affirmatio : O(0 ; 0 ; 0) est le seul poit d itersectio de P avec le pla (yoz) dot les coordoées sot des ombres etiers 4 60 Th de Wilso, Am du Nord 009 Soit A l esemble des etiers aturels de l itervalle [1 ; 46] 1 O cosidère l équatio (E) : 3x + 47y = 1 où x et y sot des etiers relatifs a Doer ue solutio particulière (x 0, y 0 ) de (E) b Détermier l esemble des couples (x, y) solutios de (E) c E déduire qu il existe u uique etier x apparteat à A tel que 3x 1[ 47] Soiet a et b deux etiers relatifs a Motrer que si ab 0[ 47] alors a 0[ 47] ou 0[ 47] b b E déduire que si a 1[ 47], alors a 1[ 47] ou 1[ 47] a 3 a Motrer que pour tout etier p de A, il existe u etier relatif q tel que pq 1[ 47] Pour la suite, o admet que pour tout etier p de A, il existe u uique etier, oté iv(p), apparteat à A piv p 1 47 tel que ( ) [ ] Par exemple : iv(1)= 1 car 11 1[ 47], iv()= 4 car 4 1[ 47], iv(3)= 16 car 316 1[ 47] b Quels sot les etiers p de A qui vérifiet p =iv(p)? c Motrer que 46! 1[ 47] 4 61 ROC+Base 1, N Calédoie, mars 008 (c) 5 poits Partie A : Questio de cours Quelles sot les propriétés de compatibilité de la relatio de cogruece avec l additio, la multiplicatio et les puissaces? Démotrer la propriété de compatibilité avec la multiplicatio Partie B O ote 0, 1,,, 9, α, β, les chiffres de l écriture d u ombre e base 1 Par exemple : 1 βα7 = β 1 + α 1+ 7= 11 144+ 10 1+ 7= 1711 e base 10 1 a Soit N 1 le ombre s écrivat e base 1 : b Soit N le ombre s écrivat e base 10 : Détermier l écriture de N e base 1 1 1 1 N = β α Détermier l écriture de N 1 e base 10 3 N = 1131= 1 10 + 1 10 + 3 10+ 1 Das toute la suite u etier aturel N s écrira de maière géérale e base 1 : a Démotrer que N a 0[ 3 ] 1 1 1 0 N = a a aa E déduire u critère de divisibilité par 3 d u ombre écrit e base 1 b À l aide de so écriture e base 1, détermier si N est divisible par 3 Cofirmer avec so écriture e base 10
3 a Démotrer que N a a a a [ 11] écrit e base 1 + + + + E déduire u critère de divisibilité par 11 d u ombre 1 1 0 b À l aide de so écriture e base 1, détermier si N 1 est divisible par 11 Cofirmer avec so écriture e base 10 4 U ombre N s écrit Correctio Partie A : Questio de cours 1 N = x4y Détermier les valeurs de x et de y pour lesquelles N est divisible par 33 Les propriétés de compatibilité de la relatio de cogruece avec l additio, la multiplicatio et les puissaces sot a a' [ p] et b b' [ p] alors a+ b a' + b' [ p], ab a' b' [ p] et a a' [ p] Propriété de compatibilité avec la multiplicatio : o pose que Partie B 1 a a= pk+ a', b ph b' 1 N1 = β1α = 1 11+ 1 1+ 10= 1606 = + d où ab p kh a' ph b' pk a' b' a' b' p( ) = + + + = + b Il faut diviser par 1 plusieurs fois : 1131 1 94+ 3, 94 1 7+ 10= 1 7+ α, doc 1 N = 7α3 = 7 1 + α 1+ 3= 7 144+ 10 1+ 3= 1131 a N 1 1 a 1 a a a [ 1] a [ 3] = + + + Si le derier chiffre est 0 modulo 3, soit u multiple de 3 le ombre sera divisible par 3 1 0 0 0 b N se termie par 3 e base 1, il est divisible par 3 E base 10 la somme des chiffres est 6, il est doc divisible par 3 3 a Chaque puissace de 1 est cogrue à 1 modulo 11 doc N a a a a [ 11] des chiffres est u multiple de 11, ce ombre sera divisible par 11 + + + + Si la somme 1 1 0 b La somme des chiffres de N 1 e base 1 est β + 1+ α = 11+ 1+ 10= doc N 1 est divisible par 11 E base 10 o fait la somme des termes de rag pair mois la somme des termes de rag impair : 1 1=11 qui est divisible par 11 4 1 N = x4y N est divisible par 33 si N est divisible par 3 : y= 3k, et par 11 : x+ 4+ y= 11 k' y= 3k y= 3k O résoud : ; les valeurs possibles de k sot 0, 1,, 3 : x+ 4+ 3k= 11 k' x= 11 k' 3k 4 k y x k N N (b 10) 0 0 11k 4 k =1 soit x=7 1 740 1056 1 3 11k 7 k =1 soit x=4 1 443 67 6 11k 10 k =1 soit x=1 1 146 198 3 9 11k 13 k = soit x=9 1 949 1353 4 6 QCM, Polyésie, jui 008 Pour chacue des propositios suivates idiquer si elle est vraie ou fausse et doer ue justificatio de la répose choisie Ue répose o justifiée e rapporte aucu poit Toutefois, toute trace de recherche, même icomplète, ou d'iitiative, même o fructueuse, sera prise e compte das l'évaluatio 1 Propositio 1 :«Pour tout etier aturel o ul, et + 1 sot premiers etre eux» Termiale S 0 F Laroche
Soit x u etier relatif Propositio :«x + x+ 3= 0( modulo5) si et-seulemet si 1( modulo5) 3 Soit N u etier aturel dot l écriture e base 10 est aba 7 x» Propositio 3 :«Si N est divisible par 7 alors a+ b est divisible par 7» 4 Le pla complexe est mui d'u repère orthoormal direct ( O; u, v) π Propositio 4 : «La similitude directe de rapport, d'agle et de cetre le poit d'afïixe 1 i a 6 pour écriture complexe ( ) z' = 3+ i z+ 3 i 3» 5 Le pla complexe est rapporté à u repère orthoormal direct ( O; u, v) O cosidère u poit A O désige par a so affixe O ote s la réflexio d'axe ( O; u ) et s A la symétrie cetrale de cetre A Propositio 5 :«L'esemble des ombres complexes a tels que ssa = sa s est l'esemble des ombres réels» 4 63 QCM, Liba, jui 008 Pour chacue des six propositios suivates, idiquer si elle est vraie ou fausse et doer ue démostratio de la répose choisie Ue répose o démotrée e rapporte aucu poit Das le pla complexe rapporté à u repère orthoormal direct ( O; u, v), o cosidère la similitude directe 3 z 1 i z+ 4 i f d'écriture complexe ( ) Propositio 1 :«f = r h où h est l homothétie de rapport i et où r est la rotatio de cetre Ω et d'agle Pour tout etier aturel o ul : 6+ 1 3+ 1 Propositio :«5 + est divisible par 5» 6+ 1 3+ 1 Propositio 3 :«5 + est divisible par 7» π» 4 3 Das le pla mui d'u repère, (D) est la droite d'équatio 11x 5y= 14 3 et de cetre le poit Ω d'affixe Propositio 4 :«les poits de (D) à coordoées etières sot les poits de coordoées ( 5k+ 14;11k+ 8) où k Z 4 L'espace est rapporté à u repère orthoormal ( O; i, j, k ) La surface Σ ci-dessous a pour équatio z= x + y Propositio 5 :«la sectio de la surface Σ et du pla d'équatio x= λ, où λ est u réel, est ue hyperbole» 9 Propositio 6 : «le pla d'équatio z= partage le solide délimité par Σ et le pla d'équatio z = 9 e deux solides de même volume» Termiale S 1 F Laroche
k O j i Rappel : Soit V le volume du solide délimité par Σ et les plas d'équatios z = a et z=b où 0 a b 9 V est doé par la formule V ( ) [, ] k a b 4 64 Réseau, Asie, jui 008 b = S k dk où S(k) est l'aire de la sectio du solide par le pla d'équatio z=k où a Soit a et b deux etiers aturels o uls ; o appelle «réseau» associé aux etiers a et b l esemble des poits du pla, mui d u repère orthooal, dot les coordoées (x; y) sot des etiers vérifiat les coditios : 0 x a et 0 y b O ote R a, b ce réseau Le but de l exercice est de relier certaies propriétés arithmétiques des etiers x et y à des propriétés géométriques des poits correspodats du réseau A Représetatio graphique de quelques esembles Das cette questio, les réposes sot attedues sas explicatio, sous la forme d u graphique qui sera dûmet complété sur la feuille aexe à redre avec la copie Représeter graphiquemet les poits M(x ; y) du réseau R 8,8 vérifiat : 1 x ( mod3) et 1( mod3) x y 1( mod3) y, sur le graphique 1 ; +, sur le graphique ; 3 x y( mod3), sur le graphique 3 B Résolutio d ue équatio O cosidère l équatio (E): 7x 4y= 1, où les icoues x et y sot des etiers relatifs 1 Détermier u couple d etiers relatifs ( ; ) x y solutio de l équatio (E) 0 0 Détermier l esemble des couples d etiers relatifs solutios de l équatio (E) 3 Démotrer que l équatio (E) admet ue uique solutio (x; y) pour laquelle le poit M(x ; y) correspodat appartiet au réseau R 4, 7 Termiale S F Laroche
C Ue propriété des poits situés sur la diagoale du réseau Si a et b sot deux etiers aturels o uls, o cosidère la diagoale [OA] du réseau R a, b, avec O(0 ; 0) et A(a ; b) 1 Démotrer que les poits du segmet [OA] sot caractérisés par les coditios : 0 x a, 0 y b, ay= bx Démoter que si a et b sot premiers etre eux, alors les poits O et A sot les seuls poits du segmet [OA] apparteat au réseau R a, b 3 Démotrer que si a et b e sot pas premiers etre eux, alors le segmet [OA] cotiet au mois u autre poit du réseau (O pourra cosidérer le pgcd d des ombres a et b et poser a = da et b = db ) y y y 8 8 8 7 7 7 6 6 6 5 5 5 4 4 4 3 3 3 1 1 1 O 1 3 4 5 6 7 8 x O 1 3 4 5 6 7 8 x O 1 3 4 5 6 7 8 x Graphique 1 Graphique Graphique 3 4 65 Codage affie, Atilles, jui 008 Partie A O cosidère l équatio (E) : 11x 6y = 1, où x et y désiget deux ombres etiers relatifs 1 Vérifier que le couple ( 7 ; 3 ) est solutio de (E) Résoudre alors l équatio (E) 3 E déduire le couple d etiers relatifs (u; v) solutio de (E) tel que 0 u 5 Partie B O assimile chaque lettre de l alphabet à u ombre etier comme l idique le tableau ci-dessous : A B C D E F G H I J K L M 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 N O P Q R S T U V W X Y Z 13 14 15 16 17 18 19 0 1 3 4 5 O «code» tout ombre etier x compris etre 0 et 5 de la faço suivate : o calcule 11x + 8, o calcule le reste de la divisio euclidiee de 11x + 8 par 6, que l o appelle y x est alors «codé» par y Aisi, par exemple, la lettre L est assimilée au ombre 11 ; 11 11+ 8= 19 5( mod6) ; 5 est le reste de la divisio euclidiee de 19 par 6 Au ombre 5 correspod la lettre Z La lettre L est doc codée par la lettre Z 1 Coder la lettre W Le but de cette questio est de détermier la foctio de décodage a Motrer que pour tous ombres etiers relatifs x et j, o a : ( ) équivaut à x 19j( mod6) 11x j mod 6 Termiale S 3 F Laroche