par Pierre Colmez INTRODUCTION

ARITHMÉTIQUE DE LA FONCTION ZÊTA par Pierre Colmez INTRODUCTION La fonction zêta de Riemann est définie pour Re(s > par la série ζ(s = + n= n s et elle possède un prolongement à tout le plan complexe avec une équation fonctionnelle reliant s à s. Cette fonction et ses généralisations (fonctions zêta de Dedekind, de Hasse-Weil, fonctions L de Dirichlet, de formes modulaires... jouent un rôle central en arithmétique et leurs valeurs aux entiers (valeurs spéciales, dans la terminologie en vigueur contiennent une multitude de renseignements concernant l arithmétique des objets attachés à ces fonctions. Un des slogans à la mode est d ailleurs «les fonctions L savent tout ; à nous de les faire parler». Dans ce texte, nous nous concentrerons sur les valeurs aux entiers de la fonction ζ. Les valeurs aux entiers négatifs de la fonction ζ sont des nombres rationnels (par exemple, ζ(0 = /2, ζ( = /2, ζ( 2 = 0,... et on doit à Kummer le premier résultat concernant les renseignements cachés dans ces nombres. Il a en effet démontré que, si p est un nombre premier 3 ne divisant pas les numérateurs de ζ(,ζ( 3,...,ζ(2 p, alors p ne divise pas le nombre de classes d idéaux du corps Q(e 2iπ/p et en a déduit le théorème de Fermat pour un tel nombre premier. Ce n est que récemment que Mazur et Wiles ont donné une formule donnant la puissance de p divisant exactement le numérateur de ζ(k, si k est un nombre entier 0 impair (on a ζ(k = 0 si k est un entier pair 2. Cette formule fait intervenir les groupes des classes d idéaux des corps cyclotomiques Q(e 2iπ/pn, pour n N.

38 P. COLMEZ Les valeurs aux entiers positifs ont gardé leur mystère plus longtemps. On sait depuis Euler que l on a ζ(2 = π 2 /6, ζ(4 = π 4 /90 et, plus généralement, que π 2k ζ(2k est un nombre rationnel si k est un entier ; ce nombre rationnel peut d ailleurs s exprimer en terme de ζ( 2k grâce à l équation fonctionnelle. Ce n est que très récemment que l on a réussi, grâce aux travaux de Beilinson et de Bloch et Kato, à décoder l information arithmétique contenue dans les valeurs aux entiers impairs positifs. La réponse fait intervenir des objets trop compliqués pour être donnée de manière précise, mais elle fournit un lien entre les valeurs aux entiers positifs de la fonction zêta et les valeurs aux nombres rationnels des fonctions polylogarithmes (le k-logarithme est défini par la série + n= zn /n k, si z < que nous avons explicité dans le texte. Le nombre π étant transcendant sur Q, les nombres ζ(2k, k entier sont tous irrationnels. Bien que tout le monde soit persuadé qu il doive en être de même pour les ζ(2k +, il a fallu attendre 978 pour qu Apéry démontre que ζ(3 est irrationnel. Entre 978 et 2000, il n y a eu aucun progrès sur la question, mais Rivoal a démontré en 2000 qu il existe une infinité de ζ(2k+, k entier, qui sont irrationnels. Ce résultat est purement existentiel ; on ne peut en déduire l irrationalité d aucun ζ(2k + particulier. La démonstration du théorème de Kummer auquel il a été fait allusion ci-dessus repose sur trois ingrédients : la formule analytique du nombre de classes qui donne une formule pour le nombre de classes d idéaux du corps Q(e 2iπ/p en termes du comportement en s = (ou s = 0 de la fonction zêta de Dedekind de ce corps (illustration du principe selon lequel les fonctions L savent tout!, une factorisation de cette fonction zêta de Dedekind en produit de fonctions L de Dirichlet et une congruence modulo p entre la valeur en s = 0 de ces fonctions L de Dirichlet et les valeurs de la fonction ζ aux entiers négatifs. Ces congruences modulo p se généralisent en des congruences modulo p n, pour tout n N, entre les valeurs aux entiers négatifs de la fonction ζ. D un point de vue moderne, ces congruences, découvertes ellesaussi par Kummer, sont équivalentes à l existence d une fonction continue sur l anneau Z p des entiers p-adiques et dont les valeurs aux entiers négatifs sont liées à celles de la fonction zêta. Les zéros de cette fonction zêta p-adique (aussi appelée fonction zêta de Kubota-Leopoldt sont bien compris, contrairement à ceux de la fonction zêta de Riemann... Le théorème de Mazur et Wiles mentionné ci-dessus en fournit une description en termes d action du groupe de Galois sur les groupes de classes d idéaux.

ARITHMÉTIQUE DE LA FONCTION ZÊTA 39 Les valeurs de la fonction zêta de Riemann apparaissent dans le terme constant du développement de Fourier de certaines formes modulaires appelées Séries d Eisenstein. Ce lien représente un des outils les plus puissants que l on ait pour étudier l arithmétique de ces valeurs. Par exemple, Serre a donné une construction de la fonction zêta de Kubota-Leopoldt utilisant le fait que tous les termes, sauf le terme constant, du développement de Fourier des séries d Eisenstein sont, de manière visible, des fonctions p-adiquement continues et donc qu il en est de même du terme constant. Ce «donc» demande un lourd arsenal de géométrie algébrique pour être justifié : il faut partir d objets définis analytiquement (formes modulaires et aboutir dans un monde où on peut parler de congruence modulo p, ce qui représente un très long trajet. Cet arsenal est d ailleurs fondamental dans la démonstration du résultat de Mazur et Wiles et dans la démonstration de Wiles du théorème de Fermat. Pour illustrer, de manière plus élémentaire, l intérêt de l utilisation des formes modulaires dans l étude de la fonction zêta, nous avons inclus une démonstration (inédite? de l équation fonctionnelle utilisant les séries d Eisenstein. Ce texte est divisé en gros en deux parties, la première traitant de la théorie complexe et la seconde de la théorie p-adique. La première partie comporte trois chapitres. Dans le premier, on explore en détail les propriétés de la fonction ζ et les propriétés de rationalité de ses valeurs aux entiers ; tout ce qui est démontrable est démontré. Le lecteur intéressé par les polylogarithmes est invité à consulter l exposé «Polylogarithmes» d Oesterlé au séminaire Bourbaki. Ce chapitre comporte aussi un sur la fonction zêta de Dedekind d un corps de nombres sans aucune démonstration (pour en savoir plus, on pourra consulter le livre Théorie des nombres de Borevitch et Chafarevitch. Dans le second, on donne une démonstration complète du théorème de Rivoal (pour des compléments sur les nombres polyzêtas, nous renvoyons au texte «Valeurs zêta multiples. Une introduction» de Waldschmidt. Le troisième est consacré aux formes modulaires et leur lien avec les fonctions L de l arithmétique (le lecteur consultera avec profit les livres Cours d arithmétique de Serre, Introduction to modular forms de Lang, Introduction to elliptic curves and modular forms de Koblitz ou encore Invitation aux mathmatiques de Fermat-Wiles de Hellegouarch et Automorphic forms and representations de Bump, pour des compléments intéressants. La seconde partie comporte aussi trois chapitres. Comme les nombres p- adiques ne font pas partie du bagage de tout mathématicien (ils ne sont pas enseignés en classe préparatoire, ce qui est un peu dommage : je suis sûr que les taupins apprécieraient de travailler dans un monde où une série converge si et

40 P. COLMEZ seulement si son terme général tend vers 0, nous avons consacré un chapitre à leur construction (la construction du corps C p est un peu plus longue que celle de C, mais pas beaucoup et un chapitre à l analyse sur Z p. Le dernier chapitre est, quant à lui, consacré à la construction de la fonction zêta p-adique. Le second chapitre contient beaucoup plus de choses que ce qui est nécessaire pour cette construction (les mesures suffiraient, mais les distributions deviennent indispensables pour construire des fonction L p-adiques plus générales, par exemple celles attachées aux formes modulaires. Pour d autres points de vue sur les nombres p-adiques, le lecteur pourra consulter les livres p-adic numbers, p-adic analysis, and zeta-functions et p-adic analysis : a short course on recent work de Koblitz ou An introduction to G-functions de Dwork, Gerotto et Sullivan. L énoncé précis du théorème de Mazur et Wiles n est pas donné dans le texte, pas plus que l application au théorème de Kummer et nous renvoyons le lecteur intéressé aux livres Introduction to cyclotomic fields de Washington ou Cyclotomic fields I and II de Lang (pour le théorème de Kummer, on peut aussi lire la démonstration dans l ouvrage de Borevich et Chafarevitch déjà cité. CHAPITRE I LA FONCTION ZÊTA DE RIEMANN I.. Prolongement analytique et valeurs aux entiers négatifs Soit ζ(s = + n= n s = p ( p s la fonction zêta de Riemann. Soit + Γ(s = e t t sdt la fonction Γ d Euler. Cette fonction est holomorphe t=0 t pour Re(s > 0 et satisfait l équation fonctionnelle Γ(s + = sγ(s, ce qui permet de la prolonger en une fonction méromorphe sur C tout entier. Lemme I... Si Re(s >, alors ζ(s = Γ(s + 0 e t tsdt t. Démonstration. Il suffit d écrire e t sous la forme + n= e nt et d utiliser + la formule e nt t sdt t = Γ(s n s. 0

ARITHMÉTIQUE DE LA FONCTION ZÊTA 4 Proposition I..2. Si f est une fonction C sur R + à décroissance rapide à l infini, alors la fonction L(f,s = Γ(s + 0 f(tt sdt t définie pour Re(s > 0 admet un prolongement holomorphe à C tout entier et, si n N, alors L(f, n = ( n f (n (0. Démonstration. Soit ϕ une fonction C sur R +, valant sur [0,] et 0 sur [2,+ [. On peut écrire f sous la forme ϕf+ ( ϕf et L(f,s sous la forme L(ϕf,s + L(( ϕf,s et comme ( ϕf est nulle dans un voisinage + de 0 et à décroissance rapide à l infini, l intégrale f(tt sdt définit une 0 t fonction holomorphe sur C tout entier. Comme de plus, /Γ(s s annule aux entiers négatifs, on a L(( ϕf, n = 0 si n N. On voit donc que, quitte à remplacer f par ( ϕf, on peut supposer f à support compact. Une intégration par partie nous fournit alors la formule L(f,s = L(f,s + si Re(s >, ce qui permet de prolonger L(f,s en une fonction holomorphe sur C tout entier. D autre part, on a + L(f, n = ( n+ L(f (n+, = ( n+ f (n+ (tdt = ( n f (n (0, ce qui termine la démonstration. t On peut en particulier appliquer cette proposition à f 0 (t = e t. Soit + n=0 B nt n /n! le développement de Taylor de f 0 en 0. Les B n sont des nombres rationnels appelés nombres de Bernoulli et qu on retrouve dans toutes les branches des mathématiques. On a en particulier B 0 =, B = 2, B 2 = 6, B 4 = 30,..., B 2 = 69 2730, et comme f 0 (t f 0 ( t = t, la fonction f 0 est presque paire et B 2k+ = 0 si k. Un test presque infaillible pour savoir si une suite de nombres a un rapport avec les nombres de Bernoulli est de regarder si 69 apparaît dans les premiers termes de cette suite. Théorème I..3 (i La fonction ζ a un prolongement méromorphe à C tout entier, holomorphe en dehors d un pôle simple en s = de résidu. (ii Si n Q, alors ζ( n = ( n B n+ ; en particulier, ζ( n Q. n + Démonstration. On a ζ(s = s L(f 0,s comme on le constate en utilisant la formule Γ(s = (s Γ(s ; on en déduit le résultat. 0

42 P. COLMEZ I.2. Valeurs aux entiers positifs pairs Proposition I.2.. Si z C Z, alors + z + ( z + n + = πcotg πz. z n n= Démonstration. Notons F(z la fonction F(z = z + + n= ( z + n + = + z n z + 2z z 2 n 2. n= La convergence absolue de la série dans le second membre montre que F(z est une fonction méromorphe sur C, holomorphe sur C Z avec des pôles simples de résidu en les entiers, que F est impaire et périodique de période. La fonction G(z = F(z πcotg πz est donc holomorphe sur C, impaire et périodique de période. Si /2 x /2, on a z 2 n 2 y 2 + n 2 /4 et z y + /2. On obtient donc + n= 2z + 2z + 2y + z 2 n 2 z 2 n 2 y 2 4 + n2 n= + 0 n= 2y + y 2 4 + x2dx = π 2 2y +. y 2 4 Comme la fonction πcotg πz est bornée sur Im(z, il existe c > 0 tel que G(z c si z = x + iy et /2 x /2, y. De plus, G étant holomorphe, il existe c > 0 tel que G(z c si z = x + iy et /2 x /2, 0 y et G étant impaire et périodique de période, on a alors G(z sup(c,c quel que soit z C. La fonction G est donc bornée sur C tout entier, donc constante et nulle car impaire. Ceci permet de conclure. Maintenant, on a d une part + z + n= et d autre part, 2z z 2 n 2 = + z 2z n= πcotg πz = iπ e2iπz + e 2iπz = iπ + On en déduit le résultat suivant. + z 2k n 2k+2 = z 2 + k=0 k= 2iπ e 2iπz = iπ + + z n=0 ζ(2kz 2k, (2iπz n B n. n!

ARITHMÉTIQUE DE LA FONCTION ZÊTA 43 Théorème I.2.2. Si k est un entier, alors ζ(2k = 2 B 2k (2iπ 2k. (2k! En particulier, π 2k ζ(2k est un nombre rationnel. I.3. Polylogarithmes et valeurs aux entiers positifs de la fonction zêta. Polylogarithmes Si k est un entier, on note Li k (z la fonction définie, pour z <, par la formule Li k (z = + n= z n n k. Ces fonctions Li k, appelées polylogarithmes (Li 2 est le dilogarithme, Li 3 le trilogarithme..., ont été introduites par Leibnitz, mais n ont commencé à jouer un rôle important que depuis une vingtaine d années ; on s est aperçu récemment qu elles apparaissaient naturellement dans de multiples questions (volumes de variétés hyperboliques, valeurs aux entiers des fonctions zêtas, cohomologie de GL n (C... d On a Li (z = log( z, et dz Li k(z = z Li k (z, ce qui permet de prolonger analytiquement Li k (z, par récurrence sur k, en une fonction holomorphe multivaluée sur C {0, }. (On est obligé de supprimer 0 bien que la série + n= zn /n k n ait pas de singularité en 0 car, après un tour autour de, la fonction Li (z = log( z augmente de 2iπ et donc vaut 2iπ en 0, ce qui fait que Li 2 (z = z Li (z a une singularité logarithmique en 0. Pour prolonger analytiquement log z et les Li k (z, k, il faut choisir un chemin γ z dans C {0,} reliant un point fixe (nous prendrons /2 comme point de base de tous nos chemins à z et poser et log z = log 2 + Li (z = log 2 + γ z Li k (z = + n= 2 n n k + γ z dt t, dt t γ z Li k (t dt t.

44 P. COLMEZ Si on change le chemin γ z, il existe b,a,a 2,... Q (avec a k (k! Z tels que log z, Li (z, Li 2 (z et Li k (z deviennent respectivement log z + b 2iπ, et Li (z + a 2iπ, Li 2 (z + a 2iπ log z + a 2 (2iπ 2 Li k (z + k j= a j (2iπ j logk j z (k j!. 2. La version analytique réelle des fonctions polylogarithmes La fonction polylogarithme Li k a un petit frère analytique réel P k qui a le bon goût d être monovalué ; cette fonction joue, pour Li k, le rôle que joue z log zz pour la fonction logarithme. Si k N {0}, soit C k Q[X] l unique polynôme vérifiant C k (X + C k (X = Xk (k! et 0 C k (tdt = 0. Le polynôme C k est un multiple du k-ième polynôme de Bernoulli ; on a c k = C k (0 = B k /k!, où B k est le k-ième nombre de Bernoulli, et C k (X = k i=0 c ix k i /(k i! (ceci peut se démontrer en remarquant que C k = C k. Proposition I.3.. Si k est un entier, la fonction k ( P k (z = c l (log zz l Li k l (z + ( k Li k l (z l=0 est une fonction monovaluée sur C {0, }, analytique réelle, à valeurs dans R (resp. ir si k est impair (resp. si k est pair. Démonstration. La seule chose non évidente est le fait que P k (z ne dépend pas du choix de γ z. Notons L la fonction log z. D après la discussion ci-dessus, si on change γ z, la nouvelle valeur de P k (z diffère de l ancienne par k l=0 ( k l c l (L + L l j= ( L a j (2iπ j k l j (k l j! + L k l j ( k j, (k l j! où a,...,a k sont des rationnels sans relation entre eux. Fixant j, et posant m = k j, on est ramené à démontrer la relation m l=0 c l (m l! (L + Ll (L m l + ( m L m l = 0.

ARITHMÉTIQUE DE LA FONCTION ZÊTA 45 Pour cela, divisons le tout par L m et posons X = L L. On obtient m l=0 c l (X + l Xm l + ( m (m l! = (X + m( ( X ( C m + ( m C m = 0 X + X + car C m ( Y = ( m C m (Y (cela découle immédiatement de la définition de C m. Ceci permet de conclure. Remarque I.3.2. Comme on peut faire des combinaisons linéaires des P k l (z(log zz l pour obtenir d autres fonctions monovaluées à partir des Li k (z, le choix des constantes c l peut sembler un peu arbitraire. Leur justification demanderait d introduire la notion de variation de structures de Hodge rationnelles, ce qui nous entraînerait un peu loin. Proposition I.3.3. P k se prolonge en une fonction continue sur C (resp. C {} si k 2 (resp. si k =, avec P k (0 = 0 et P k ( = ( + ( k ζ(k. Démonstration. Comme on a le choix de la détermination des Li k (z, on peut, pour étudier le comportement de P k en z = 0, utiliser la détermination donnée par la série + n= zn /n k, auquel cas, le zéro de cette série en z = 0 contrebalance largement la croissance de (log z 2 l. En ce qui concerne le comportement en z =, remarquons que la singularité de Li k en ce point est de la forme z k log( z (k!, et donc que la fonction Li k admet un prolongement par continuité en z = si k 2; on en déduit le résultat car (log z 2 k tend vers 0 assez vite quand z pour tuer la singularité de Li. 3. Équations fonctionnelles des polylogarithmes Si r est un entier, la somme des puissances n-ièmes des racines r- ièmes de l unité vaut r (resp. 0 si n est un multiple de r (resp. si n n est pas un multiple de r. On en déduit la relation de distribution suivante pour la fonction P k : P k (εz = r k P k (z r. ε r =

46 P. COLMEZ Les fonctions P (z = log z 2, P 2 et P 3 vérifient les équations fonctionnelles suivantes P (z + z 2 z z 2 P (z P (z 2 = 0 ( z z 2 P 2 ( z ( z 2 ( z ( z 2 2 ( z P 3 z 2 ( z 2 + P 3 (z z 2 + P 3 z 2 2P 3 ( z2 ( z (z 2 P 2 ( z2 z P 2 ( z z 2 + P 2 (z + P 2 (z 2 = 0 2P 3 ( z ( z 2 z 2 ( z ( z ( z 2 2P 3 (z ( z2 2P 3 2P 3 (z 2P 3 (z 2 + 2P 3 ( = 0 z La première de ces équations fonctionnelles suit de l équation fonctionnelle pour le logarithme ; les deux autres, découvertes au 9-ième siècle, se démontrent en dérivant. Comme c est assez fastidieux, nous nous contenterons de vérifier l équation fonctionnelle de P 2. Notons h(z,z 2 la fonction dont on cherche à démontrer la nullité, et remarquons que h(0,0 = 0; il suffit donc de prouver que les dérivées partielles de h sont nulles, et comme h est symétrique par rapport à z et z 2, il suffit de considérer les dérivées partielles par rapport à z et z. D autre part, un calcul immédiat nous fournit les formules z P log z log z 2(z = z z et z P 2(z = z P 2(z, ce qui fait que h = 0 entraîne h = 0. z z Si f est une fonction de z,z 2, soient ϕ(f = log f et ψ(f = log f. z On a et ϕ(fg = ϕ(f + ϕ(g, ψ(fg = ψ(f + ψ(g z P 2 (f = ϕ( fψ(f ϕ(fψ( f. Posons u = z, u 2 = z 2, u 3 = z, u 4 = z 2 et u 5 = z z 2, et donc z z 2 ( z ( z 2 = u 5 u 3 u 4, z 2 z = u 5 u 3, z z 2 = u 5 u 4.

ARITHMÉTIQUE DE LA FONCTION ZÊTA 47 Finalement, soient v i = ϕ(u i et w i = ψ(u i, si i 5. On obtient z h = [(v 5 v 3 v 4 (w + w 2 w 3 w 4 (v + v 2 v 3 v 4 (w 5 w 3 w 4 ] [(v 5 v 3 (w 2 w 3 (v 2 v 3 (w 5 w 3 ] [(v 5 v 4 (w w 4 (v v 4 (w 5 w 4 ] + [v 3 w v w 3 ] + [v 4 w 2 v 2 w 4 ] Un calcul sans mystère permet de montrer que cette dernière quantité est nulle, ce qui permet de conclure. Il est possible que tous les P k vérifient des équations fonctionnelles du type ci-dessus, mais on ne sait pas comment en exhiber de manière systématique. L exemple de P 2 montre qu on a intérêt à minimiser le nombre de «facteurs premiers» de l ensemble des f et f qui interviennent. La proposition I.3.4 ci-dessous «décrit» les équations fonctionnelles satisfaites par P k. Soit l. Soit e = (e,...,e r, où les e i C(z,...,z l sont libres sur Z (i.e. e i e ir r =, avec i,...,i r Z, implique i = = i r = 0. Soit X(e le sous-groupe de C(z,...,z l engendré par e,...,e r et les racines de l unité. Tout élément f de X(e peut alors s écrire de manière unique sous la forme ε(fe v (f er vr(f, où ε(f est une racine de l unité et v (f,...,v r (f Z. Finalement, soit A(e l ensemble des f X(e tels que f X(e. Proposition I.3.4. Soit k 2. Soient f,...,f n A(e et a,...,a n Z. Pour que la fonction n i= a ip k (f i soit constante sur C l privé des pôles des f i, il faut et il suffit que, quels que soient j,...,j k {,...,r}, on ait n a i v j (f i v jk 2 (f i (v jk (f i v jk ( f i v jk ( f i v jk (f i = 0. i= Démonstration. Cette proposition se démontre par récurrence sur k, en dérivant (ce n est pas totalement évident. Exemple I.3.5. Si on prend l =, e = z et e 2 = z, alors A(e contient z, z et z, et on obtient les équations fonctionnelles P k (z + ( k P k (z = 0 et P k (z + P k ( z = P k (. Remarque I.3.6. On connaît des équations fonctionnelles pour P k en deux variables (i.e. l = 2 pour k 6 et en une variable (autres que celles ci-dessus pour k 7. Pour aller plus loin, le problème est que le nombre de conditions à satisfaire est de l ordre de k r, où r est le cardinal de e, et que pour être

48 P. COLMEZ raisonnablement sûr d avoir une solution pour a,...,a n, il faut que le cardinal de A(e soit plus grand que le nombre de conditions, ce qui n est pas très facile à réaliser. 4. Valeurs aux entiers positifs de la fonction zêta La formule P k ( = ( + ( k ζ(k fournit un lien (trivial entre les fonctions polylogarithmes et les valeurs aux entiers de la fonction zêta ; le théorème ci-dessous en fournit un autre, beaucoup plus profond. Si x Q et p est un nombre premier, on note v p (x la valuation de x en p [si x est un entier, v p (x est le plus grand entier n tel que p n divise x; dans le cas général, v p (b a = v p (a v p (b]. Théorème I.3.7. Soit k 2 un entier impair. Si x,...,x n Q {0,} et si λ,...,λ n Q sont tels que, quels que soient les nombres premiers p,...,p k (pas forcément distincts, on ait n λ i v p (x i v pk (x i v pk ( x i = 0, i= alors k i= P k(x i est un multiple rationnel de ζ(k. Démonstration. La démonstration actuelle de ce théorème est un véritable trou noir. La définition des objets qu elle met en jeu (K-théorie, cohomologie motivique, motifs mixtes, régulateur de Borel... est très loin de tenir dans la marge de ces pages, et mettre le doigt dedans expose l individu qui s y risque à disparaître corps et âme pour une très longue période. D autre part, il ne semble pas que cette démonstration permette de borner le dénominateur du rationnel obtenu (et donc de le déterminer numériquement. Un des points de départ de la démonstration est le calcul du volume de SL n (R/SL n (Z. 5. Volume de SL n (R/SL n (Z On note g n = (x i,j i,j n un élément général de SL n (R et on munit SL n (R de la mesure de Haar (à droite et à gauche dg n = dx i,j. (i,j (n,n On munit l espace homogène R n = SL n (R/SL n (Z de la mesure quotient et on a le résultat suivant : Théorème I.3.8. Le volume de R n est fini et est donné par la formule n Vol(R n = ζ(k. k=2

ARITHMÉTIQUE DE LA FONCTION ZÊTA 49 Démonstration. La démonstration se fait par récurrence sur n, le cas n = étant évident (un produit vide vaut par convention. Pour passer de n à n, on dévisse SL n (R en introduisant le sous-groupe H n (R SL n (R des matrices de la forme ( vn h n =, 0 g n g n = (x i,j 2 i,j n SL n (R, v n = (x,2,...,x,n R n, et l application π n : SL n (R R n {0} envoyant g n sur le vecteur w n = (x,,...,x n, formé par les coefficients de la première colonne de g n. Cette application induit une bijection de l espace homogène SL n (R/H n (R sur R n {0}. Si on munit R n de la forme volume dv n = dx,2 dx,n, H n (R de la forme volume dh n = dv n dg n, R n de la forme volume dw n = dx, dx n,, alors la forme dh n est invariante par translation (à gauche ou à droite par un élément de H n (R et dg n = dw n dh n. Notons c n le volume de R n. Comme H n (R (resp. H n (Z est le produit semi-direct de SL n (R (resp. SL n (Z et de R n (resp. Z n, on a aussi Vol(H n (R/H n (Z = Vol(SL n (R/SL n (Z Vol(R n /Z n = c n. Pour calculer le volume de R n, considérons une fonction ϕ positive sur R n. On a, d une part ϕ(w n dw n = ϕ(w n dw n, R n R n {0} car {0} est de mesure nulle et, d autre part, le théorème de Fubini nous donne Vol(H n (R/H n (Z ϕ(w n dw n = ϕ(π n (g n dg n R n {0} SL n (R/H n(z ( = ϕ(π n (g n γ dg. R n γ SL n(z/h n(z L application qui, à g n SL n (R associe le sous-z-module Λ gn de R n, engendré par les colonnes de g n, induit une bijection de l espace homogène R n = SL n (R/SL n (Z sur l ensemble des réseaux de volume de R n. Si γ SL n (Z, alors π n (g n γ est une combinaison linéaire, à coefficients entiers premiers entre eux des colonnes de g n ; c est donc un élément primitif du réseau Λ gn (un élément λ d un réseau Λ est dit primitif si on ne peut pas l écrire sous la forme a λ, avec a N {0,} et λ Λ. L application γ π n (g n γ induit une bijection de SL n (R/H n (Z sur l ensemble Λ g n des

50 P. COLMEZ éléments primitifs de Λ gn. On obtient donc ( c n ϕ(w n dw n = R n R n λ Λ gn ϕ(λ dg n. Pour passer de Λ g n à Λ gn, on utilise la formule ϕ(aw n dw n = a n ϕ(w n dw n, R n R n ce qui nous donne, en sommant sur a N {0}, + ζ(nc n ϕ(w n dw n = c n ϕ(aw n dw n R n R n = + a= R n ( λ Λ gn a= ϕ(aλ dg n = R n ( λ Λ gn {0} ϕ(λ dg n. (Modulo la formule Vol(R n = ζ(nc n que l on cherche à obtenir, cette égalité peut s exprimer, après division par Vol(R n, sous la forme «l intégrale sur R n d une fonction ϕ est la moyenne sur l ensemble des réseaux de volume de R n de la somme des valeurs de ϕ en les points du réseau». D après le lemme de Minkowski (un des résultats les plus utiles en théorie des nombres, un convexe de R n, de volume 2 n, symétrique par rapport à l origine, contient un élément non nul de tout réseau de R n de volume. Si on prend pour ϕ la fonction caractéristique d un tel convexe, alors λ Λ gn {0} ϕ(λ quel que soit g n SL n (Z ; on en déduit l inégalité c n = R n dg n 2 n ζ(nc n ; en particulier, c n est fini. Maintenant, si ϕ est une fonction de Schwartz sur R n (i.e. ϕ est C et à décroissance rapide ainsi que toute ses dérivées, et si ϕ désigne la transformée de Fourier ϕ(y = e 2iπ t x w n dw n R n de ϕ, on dispose de la formule de Poisson (où l on pose g n = t gn ϕ(λ = ϕ(λ. λ Λ gn λ Λ g n Ceci nous donne ζ(nc n ϕ(0 + c n ϕ(0 = = R n R n ( ϕ(λ dg n λ Λ gn ( ϕ(λ dg n = ζ(nc n ϕ(0 + c n ϕ(0. λ Λ g n

ARITHMÉTIQUE DE LA FONCTION ZÊTA 5 Cette formule étant valable quel que soit ϕ, la formule d inversion de Fourier ϕ(0 = ϕ(0 nous permet de d obtenir l égalité qui permet de conclure. c n = ζ(nc n Remarque I.3.9. En voyant la formule du théorème, on se dit qu il doit exister une «décomposition» de SL n en morceaux reflétant la factorisation naturelle du volume de SL n (R/SL n (Z. C est cette vague intuition qui mène à la K-théorie et aux régulateurs de Borel (cf. démonstration du théorème I.3.7. I.4. Équation fonctionnelle de la fonction zêta Soit ξ(s = π s/2 Γ(s/2ζ(s. Théorème I.4.. La fonction ξ(s admet un prolongement méromorphe à C tout entier, holomorphe en dehors de pôles simples de résidus respectifs et en s = 0 et s =, et vérifie l équation fonctionnelle ξ(s = ξ( s. Démonstration. Il y a un nombre assez conséquent de méthodes pour arriver au résultat. Nous en donnerons deux dans ce n o et une autre au III.4 (cf. th. III.4.5.. Première méthode : la fonction thêta Si t > 0, on a + + e πtx2 e 2iπxy dx = e πt y 2 e πt(x+it y 2 dx = t /2 e πt y 2. (C est classique ; faire le changement de variables u = t(x + it y, utiliser le théorème des résidus pour revenir sur la droite réelle et la formule + e πu2 du = pour conclure. Si t > 0, soit θ(t = n Z e πtn2. La formule de Poisson n Z ϕ(n = n Z + ϕ(xe 2iπnx dx, utilisée pour ϕ(x = e πtx2, nous fournit l équation fonctionnelle θ(t = t /2 θ(t.

52 P. COLMEZ On a alors ξ(s = 2 = 2 + 0 0 (θ(t t s/2dt t (t /2 θ(t t s/2dt t + 2 + (θ(t t s/2dt t et on peut changer t en t dans la première intégrale pour obtenir ξ(s = s + s + 2 + (θ(t (t s/2 + t ( s/2 dt t. On en déduit le résultat car θ(t est à décroissance rapide à l infini, ce qui implique que l intégrale est une fonction holomorphe de s sur C tout entier, et le membre de droite est évidemment invariant par s s. 2. Deuxième méthode : intégrale sur un contour Si c > 0, soit C c le contour obtenu en suivant la droite réelle de + à cπ, puis en parcourant le carré de sommets cπ(±±i dans le sens trigonométrique, et en retournant en + le long de l axe réel. Soit F c (s = C c e z ( zsdz z, où ( z s = exp(s log( z et la branche du logarithme choisie est celle dont la partie imaginaire est comprise entre π et π ; en particulier, on a ( z s = e iπs z s de + à cπ et ( z s = e iπs z s de cπ à + (après avoir parcouru le carré. Comme e z est à décroissance rapide à l infini, la fonction F c(s est holomorphe sur C pour tout c qui n est pas un entier pair (pour éviter les pôles de e z. D autre part, le théorème des résidus montre que F c(s ne dépend pas de c si c reste dans un intervalle du type ]2N,2N + 2[, avec N N. En particulier, on a F (s = F c (s quel que soit c ]0,2[. Si Re(s >, quand c tend vers 0, l intégrale sur le carré de sommets cπ(± ± i tend vers 0, et on obtient, en passant à la limite F (s = e iπs 0 + e z zsdz z +eiπs + 0 e z zsdz z = 2i sin πs Γ(s ζ(s. Maintenant, quand N tend vers +, la fonction F 2N+ (s tend vers 0 quand Re(s < 0 car e z est majorée, indépendamment de N, sur C 2N+. La différence entre F (s et F 2N+ (s peut se calculer grâce au théorème des résidus. La fonction e z ( zs a des pôles en z = ±2iπ, ±4iπ,..., ±2Niπ dans le contour délimité par la différence entre C 2N+ et C. Si k {,...,N}, le résidu de e z ( zs est (2kπ s e iπ(s /2 en 2ikπ et (2kπ s e iπ(s /2

ARITHMÉTIQUE DE LA FONCTION ZÊTA 53 en 2ikπ, ce qui nous donne 2iπ (F 2N+(s F (s = 2cos π s 2 N (2kπ s. En passant à la limite, on obtient donc F (s = 4iπ cos(π s 2 (2πs ζ( s, si Re(s < 0. On en déduit l équation fonctionnelle sin πs Γ(s ζ(s = cos π s (2π s ζ( s. 2 Pour passer de cette équation fonctionnelle à celle de ξ, il faut utiliser les formules classiques Γ(sΓ( s = π sin πs, Γ( s 2 Γ (s + 2 = 2 s Γ ( 2 k= ( Γ(s, et Γ = π. 2 I.5. Fonctions L de Dirichlet. Caractères de Dirichlet et sommes de Gauss Si d est un entier, on appelle caractère de Dirichlet modulo d un morphisme de groupes de (Z/dZ dans C. L image d un caractère de Dirichlet est bien évidemment incluse dans le groupe des racines de l unité. Si d est un diviseur de d et χ est un caractère de Dirichlet modulo d, on peut aussi voir χ comme un caractère de Dirichlet modulo d en composant χ avec la projection (Z/dZ (Z/d Z. On dit que χ est de conducteur d si on ne peut pas trouver de diviseur d de d distinct de d, tel que χ provienne d un caractère modulo d. De manière équivalente, χ est de conducteur d si quel que soit d diviseur de d distinct de d, la restriction de χ au noyau de la projection (Z/dZ (Z/d Z n est pas triviale. Si χ est un caractère de Dirichlet modulo d, on note χ le caractère de Dirichlet modulo d défini par χ (n = (χ(n si n (Z/dZ. Si χ est un caractère de Dirichlet modulo d, on considère aussi souvent χ comme une fonction périodique sur Z de période d en composant χ avec la projection naturelle de Z sur Z/dZ et en étendant χ par 0 sur les entiers non premiers à d. On a donc χ (n = (χ(n si (n,d =, mais χ (n = 0 si (n,d. Si d est un entier, χ un caractère de Dirichlet de conducteur d et si n Z, on définit la somme de Gauss tordue G(χ,n par la formule G(χ,n = et on pose G(χ = G(χ,. a mod d χ(ae 2iπna/d

54 P. COLMEZ Lemme I.5. (i Si n N, alors G(χ,n = χ (ng(χ (ii G(χG(χ = χ( d. Démonstration. Si (n,d =, alors n est inversible dans (Z/dZ, ce qui permet d écrire G(χ,n = χ(ae 2iπna/d = χ (n χ(ane 2iπna/d = χ (ng(χ. a mod d an mod d Si (n,d = e >, on peut écrire d = ed et n = en. Soit U le noyau de la projection de (Z/dZ sur (Z/d Z. Si on choisit un système S de représentants de (Z/d Z dans (Z/dZ, on a G(χ,n = χ(aue 2iπnau/d. a S u U Si u U et a Z, alors nau na = n ea(u 0 mod d et donc e 2iπnau/d = e 2iπna/d. On obtient donc G(χ,n = χ(ae 2iπna/d( χ(u = 0 a S u U car u U χ(u = 0 puisque χ est un caractère non trivial de U (sinon χ serait de conducteur d. Ceci démontre le (i. Utilisant ce qui précède, on obtient G(χG(χ = e 2iπb/d χ (bg(χ = e 2iπb/d( b mod d b mod d = a mod d a mod d ( χ(a b mod d χ(ae 2iπab/d e 2iπ(a+b/d et comme b mod d G(χG(χ = χ( d. e 2iπ(a+b/d = { d si a =, on en tire la formule 0 sinon 2. Les fonctions L de Dirichlet Soient d un entier et χ un caractère de Dirichlet de conducteur d. Soit L(χ,s = + n= χ(n n s = p premier ( χ(pp s la fonction L de Dirichlet attachée à χ. Si on utilise l identité χ(n = G(χ χ (be 2iπnb/d, b mod d

ARITHMÉTIQUE DE LA FONCTION ZÊTA 55 on obtient Utilisant la formule L(χ,s = + 0 G(χ L(χ,s = G(χ Γ(s b mod d + χ (b n= e 2iπnb/d e nt t sdt t = Γ(s n s, on obtient, ayant posé ε d = e 2iπ/d, = G(χ Γ(s b mod d + 0 χ (b b mod d n s + + ε nb d e nt 0 n= χ (b ε b d et tsdt t. En particulier, la proposition I..2 implique que L(χ, s admet un prolongement holomorphe à C tout entier et que, si n N, alors L(χ, n est ( n χ (b la dérivée n-ième de la fonction G(χ b mod d ε b prise en t = 0. Pour d et supprimer le ( n, on peut changer t en t, utiliser l identité et le fait que a posé b mod d d e t = ε b d et ε b χ (b = 0 et on obtient L(χ, n = ( d dt n L χ (t 0, où l on L χ (t = G(χ b mod d χ (b ε b d et. Remarque I.5.2. On peut démontrer, par exemple à partir de la formule cidessus pour L(χ,s, que L(χ,s vérifie l équation fonctionnelle Λ(χ, s = ( i a(χ d /2 G(χ Λ(χ,s, où l on a posé Λ(χ,s = Γ(s+a(χ 2 π (s+a(χ/2 ds/2 L(χ,s, avec a(χ = 0 si χ( = et a(χ = si χ( =. I.6. La fonction zêta de Dedekind d un corps de nombres Un corps de nombres est une extension finie de Q. Par exemple, les corps quadratiques (de la forme Q( D, avec D Q ou les corps cyclotomiques (de la forme Q(e 2iπ/m, m entier 3 sont des corps de nombres. D après le théorème de l élément primitif, si F est un corps de nombres de degré n sur Q, alors il existe α F engendrant F en tant que Q-algèbre. Si P Q[X] est le polynôme minimal de α, alors P est de degré n et l application A A(α induit un isomorphisme de Q[X]/P sur F. On note r

56 P. COLMEZ le nombre de racines réelles de P et 2r 2 le nombre de racines non réelles de P. On a donc r + 2r 2 = n et on dit que F est totalement réel si r 2 = 0. Si α,...,α r,α r +,...,α r +r 2,α r +,...,α r +r 2 sont les racines de P, on note σ i (resp. σ i, si i r + r 2 (resp. r + i r + r 2 le plongement de F dans C envoyant α sur α i (resp. α i. On dit que x F est entier si son polynôme minimal est à coefficients dans Z. L ensemble des entiers de F forme un anneau O F appelé anneau des entiers de F. Par exemple, si D Z n est divisible par le carré d aucun nombre premier, alors l anneau des entiers de Q( D est Z[ D] (resp. Z[ + D 2 ] si D 2 ou 3 modulo 4 (resp. si D modulo 4. L anneau des entiers de Q(e 2iπ/m est Z[e 2iπ/m ]. L anneau O F est un Z-module libre de rang n (c est un réseau du Q-espace vectoriel F qui est de dimension n. Si e,...,e n forment une base de O F sur Z, on note F le discriminant de F ; c est la valeur absolue du déterminant de la matrice n n dont les coefficients sont les (Tr F/Q (e i e j i,j n. Le discriminant de Q( D est 4 D (resp. D D 2 ou 3 modulo 4 (resp. si D modulo 4. L application A (A(α,...,A(α r +r 2 induit un isomorphisme de R[X]/P sur R r C r 2 ; l image de O F F = Q[X]/P par cet isomorphisme est un réseau du R-espace vectoriel R r C r 2 et le volume de O F pour la forme volume naturelle (dx sur R et dz dz = 2dxdy sur C est égal à F. On note U F le groupe des unités de O F ; c est aussi l ensemble des éléments u de O F vérifiant N F/Q (u = ±. D après un théorème de Dirichlet, ce groupe est de la forme µ F Z r +r 2, où µ F est le groupe des racines de l unité contenues dans F; c est un groupe fini dont on note w F le cardinal. On note l : F R r +r 2 l application x (log( σ (x,...,log σ r (x,2log σ r +(x,...,2log σ r +r 2 (x. L image de U F par l est un réseau de l hyperplan d équation λ + + λ r +r 2 = 0. On définit le régulateur R F de F comme le volume de ce réseau : si ε,...,ε r +r 2 est une base du Z r +r 2 contenu dans U F, alors R F est la valeur absolue du déterminant de la matrice (r + r 2 (r + r 2 de coefficients (a i log σ i (ε j i,j r +r 2, avec a i = (resp. a i = 2 si i r (resp. si i r +. L anneau O F n est pas forcément principal, mais c est un anneau de Dedekind ce qui signifie que tout idéal non nul a de O F peut se factoriser de manière unique sous la forme r i= pk i i, où les p i sont des idéaux maximaux distincts de O F et les k i des éléments de N. On dit que deux idéaux non nuls a et b de O F sont équivalents (a b s il existe γ,δ O F {0} tels que (γa = (δb

ARITHMÉTIQUE DE LA FONCTION ZÊTA 57 (i.e. s ils diffèrent d un idéal principal. Comme aa bb si a b et a b, la multiplication des idéaux induit une multiplication sur l ensemble Pic(O F des classes d équivalences, et Pic(O F est un groupe fini, appelé groupe des classes d idéaux de F, dont on note h F le cardinal (c est le nombre de classes de F. Le groupe Pic(O F mesure la «non principalité» de O F. La finitude de Pic(O F et la structure de U F sont des théorèmes profonds que le 9-ième siècle nous a légués et les quantités h F et R F sont des invariants subtils du corps F qui sont très délicats à calculer. Un des seuls outils dont on dispose pour les étudier est la formule analytique du nombre de classes (cf. (ii du théorème I.6. ci-dessous. Si a est un idéal non nul de O F, l anneau O F /a est un anneau fini dont on note N(a le cardinal (si F = Q et a Z, on a N((a = a. Ceci nous permet de définir la fonction zêta de Dedekind ζ F de F par la formule ζ F (s = N(a s = ( N(p s, a O F p O F où la somme porte sur les idéaux non nuls de O F et le produit sur les idéaux maximaux de O F. Si F = Q, on retombe sur la fonction ζ de Riemann et la plupart des propriétés de ζ sont partagées par ζ F ; les démonstrations sont toutefois nettement plus difficiles. Théorème I.6. (i La série a O F N(a s converge absolument pour Re(s > et ζ F admet un prolongement méromorphe à C tout entier, holomorphe en dehors d un pôle simple en s =. (ii Le résidu en s = de ζ F est donné par la formule analytique du nombre de classes lim (s ζ F(s = 2r (2π r2 h F R F s w F. F (iii La fonction ζ F vérifie l équation fonctionnelle ξ F (s = ξ F ( s, avec ( Γ(s/2 r ( Γ(s r2 s/2 ξ F (s = π s/2 (2π s F ζ F(s. En ce qui concerne les propriétés de rationalité des valeurs aux entiers, on a les résultats suivants : Théorème I.6.2 (i Si k 0, on a ζ F (k Q. (ii Si F est totalement réel, alors π 2k[F:Q] ζ F (2k F Q, si k est un entier.

58 P. COLMEZ Commentaire. Si F n est pas totalement réel ou si k 0 est pair (k 2 si F = Q, l équation fonctionnelle implique que l on a ζ F (k = 0. Le (ii du théorème ci-dessus est une généralisation du théorème d Euler. Dans le cas général, on dispose d une conjecture de Zagier disant que, si k 2, alors ζ F (k doit pouvoir s exprimer comme un déterminant de k-logarithmes évalués en les conjugués d éléments de F (remarquons que la formule analytique du nombre de classes fournit une telle expression pour k =. Si F est un corps cyclotomique, cette conjecture est un théorème et, dans le cas général, on a le théorème I.6.3 ci-dessous, dû à Deligne et Beilinson, et qui se démontre de la même manière que le théorème I.3.7. Notons B k (F l ensemble des combinaisons formelles du type m a j {x j } k, j= où a j Z et x j F {0,}, telles que, quels que soient les morphismes de groupes v,...,v k de F dans Z, on ait m a j v (x j v k (x j v k ( x j = 0. j= Si σ est un plongement de F dans C et x = m j= a j {x j } k B k (F, on note P k (σ(x la quantité m j=0 a j P k (σ(x j. Remarquons que l on a P k (σ i (x = 0 si k est pair et i r puisque P k est identiquement nul sur R si k est pair. Théorème I.6.3. Si k 2 est un entier pair (resp. impair et si x (j pour r + j r + r 2 (resp. j r +r 2 sont des éléments de B k (F, alors le déterminant de la matrice r 2 r 2 (resp. (r + r 2 (r + r 2 de coefficients P k (σ i (x (j, pour r i,j r + r 2 (resp. i,j r + r 2 est un multiple rationnel de π (r +r 2 k F ζ F (k (resp. π r 2k F ζ F (k. Pour démontrer la conjecture de Zagier, il suffirait donc de prouver que l on peut trouver des éléments x (j de B k (F tels que le déterminant correspondant soit non nul.

ARITHMÉTIQUE DE LA FONCTION ZÊTA 59 CHAPITRE II PROPRIÉTÉS DIOPHANTIENNES DES VALEURS DE LA FONCTION ZÊTA AUX ENTIERS POSITIFS II.. Le théorème de Rivoal Ce est consacré à la démonstration du résultat de Rivoal mentionné dans l introduction. Plus précisément, nous allons démontrer le théorème suivant. Théorème II.. (i La dimension du sous-q-espace vectoriel de R engendré par les ζ(2n+, n N {0} est infinie. (ii La dimension du sous-q-espace vectoriel de R engendré par les ζ(2n, n N {0} est infinie. Remarque II..2. Comme π 2n ζ(2n est rationnel, le (ii est équivalent à la transcendance de π, ce qui nous fournit une nouvelle démonstration du théorème de Lindemann (et donc de l impossibilité de la quadrature du cercle et montre que les ζ(2n, n N {0}, sont en fait linéairement indépendants sur Q. Pour démontrer que des nombres réels sont linéairement indépendants sur Q, il «suffit» de produire des combinaisons linéaires à coefficients entiers entre ces nombres qui sont non nulles et «petites». Par exemple, pour démontrer que deux nombres v, v 2 sont linéairement indépendants sur Q, il suffit de produire deux suites d entiers (a n,i n N, pour i =,2, telles que l on ait a n, v + a n,2 v 2 0, pour n assez grand, et lim n + a n, v + a n,2 v 2 = 0. Dans le cas général, on dispose du critère suivant, dû à Nesterenko, et dont la démonstration (assez technique est donnée au n o 6. Théorème II..3 (Critère de Nesterenko. Soient v,...,v b des nombres réels. On suppose qu il existe B >, A > 0 et b suites d entiers (a n,j n N, j {,...,b} telles que l on ait : (i sup j b a n,j B n+o(n ; (ii a n, v + + a n,b v b = A n+o(n. Alors la dimension du sous-q-espace vectoriel de R engendré par v,...,v b est log A log B. Dans le cas qui nous intéresse, on dispose d une machine (cf. prop. II..4 ci-dessous à fabriquer des relations linéaires à coefficients rationnels entre les ζ(n, n 2, en partant de fonctions rationnelles n ayant des pôles qu aux

60 P. COLMEZ entiers 0 ; le problème est alors de bien choisir ces fonctions rationnelles pour que les combinaisons linéaires ainsi obtenues soient petites.. Génération de combinaisons linéaires entre les ζ(n Soit a N, et soit F Q(X, de degré 2, n ayant des pôles qu aux entiers 0, ces pôles étant d ordre a. Soient α j,k, pour j 0, k a et α k pour k a, les rationnels définis via la décomposition en éléments simples de F(X par F(X = + a j=0 k= α j,k + (X + j k et α k = α j,k. j=0 Remarquons que l on a α j,k = 0 sauf pour un nombre fini de couples (j,k et donc que les séries ci-dessus sont en fait des sommes finies et, d autre part, que α = 0 car on a supposé F de degré 2. Proposition II..4. La série + m= F(m converge absolument, et on a + m= F(m = a α k ζ(k k=2 a + k= j=0 α j,k ( j u= u k. Démonstration. La convergence absolue découle de l hypothèse deg F 2. Si N N est tel que α j,k = 0 si j N +, on a M N m= j=0 α ( N j, m + j = j=0 ( N+M α j, u= et comme N j=0 α j, = 0, on obtient D autre part, on a + N a m= j=0 k=2 + N m= j=0 α j,k a (m + j k = = u α N j, m + j = N + k=2 j=0 u=j+ a α k ζ(k k=2 j=0 α j,k u k a N ( j α j, u + j=0 k=2 j=0 α j, ( j = a u= u= k=2 j=0. u N ( j α j,k N+M u=m+j+ N α j,k (ζ(k u= u k, j u=, u u k et il n y a plus qu à faire la somme des deux expressions ci-dessus pour conclure.

ARITHMÉTIQUE DE LA FONCTION ZÊTA 6 2. Un choix judicieux de fonction rationnelle Soient a et r deux entiers vérifiant 2r a et r. (On cherche des combinaisons linéaires à coefficients entiers entre et les ζ(k, k a, et r est un paramètre que l on ajustera de manière à ce que ces combinaisons linéaires soient les plus petites possibles. Soit a 2r (X rn(x rn + (X + (r + n F n (X = (n! (X(X + (X + n a+ a 2r (X rn (X (X + n + (X + (r + n = (n! (X(X + (X + n a. Soient aussi α (n j,k, pour 0 j n, k a et α(n k pour k a, les rationnels définis via la décomposition en éléments simples de F n (X par F n (X = n a j=0 k= α (n j,k (X + j k et α (n k = n j=0 α (n j,k. Cette fraction rationnelle a un certain nombre de propriétés intéressantes. F n est de degré (2r + n + (n + (a + = (2r an a a 2 et a des pôles d ordre a en 0,,..., n ; la série S n = + m= F n(m converge donc absolument et on a S n = β (n + a k=2 α (n k ζ(k avec β(n = a n k= j=0 ( α (n j j,k u= u k. F n ( = = F n (rn = 0, ce qui montre que la somme définissant S n ne commence qu à m = rn + [i.e. S n = + m=0 F n(rn + m + ] et assure que S n est petit. F n (m 0 si m, ce qui assure que S n est non nul. F n vérifie l équation fonctionnelle F n ( n X = ( (n+a F(X, ce qui nous fournit les relations α (n n j,k = ( k+(n+a α (n j,k, si k a et 0 j n ; ces relations impliquent que α (n k = 0 si k + (n + a est impair, ce qui est le point crucial pour arriver à séparer les valeurs aux entiers pairs des valeurs aux entiers impairs. (Pour ne garder que les valeurs aux entiers pairs, il suffit de prendre a pair, et pour ne garder que les valeurs aux entiers impairs, il suffit de prendre a impair et n pair. Pour pouvoir appliquer le critère de Nesterenko (cf. n o 5, il s agit alors d évaluer précisément S n (cf. n o 4, majorer les coefficients α (n k et le p.p.c.m. de leurs dénominateurs (cf. n o 3 car on a besoin de combinaisons linéaires à coefficients entiers.

62 P. COLMEZ 3. Propriétés archimédiennes et arithmétiques des α (n k Notons d n le p.p.c.m. de,2,...,n. Proposition II..5. Si k a et 0 j n, alors d a k n α (n k,j Z et α(n k,j (2na (a!2 na (r + 2(r+n. Vu la relation entre β (n, les α (n k Corollaire II..6 (i d a nβ (n Z et d a k n α (n k et les α (n k,j, on en déduit le résultat suivant : Z si n N et k {2,...,a}. (ii β (n (2 a (r + 2r+2 n+o(n et α (n k (2a (r + 2r+2 n+o(n, si k {2,...,a}. Pour démontrer la proposition II..5, écrivons F n (X sous la forme F n (X = a i= n!p i (X X(X + (X + n, où P i (X est le polynôme défini par ( X (i n n si i r, ( P i (X = X+(i r+n n si r + i 2r, si 2r + i a, et ( X ( n est le polynôme de degré n défini par X ( 0 =, et X n = X(X (X n+ n! si n. Nous aurons besoin d un certain nombre de résultats préparatoires. Lemme II..7. Soit Q Q[X], de degré n prenant des valeurs entières aux entiers et soient (β j (Q 0 j n les rationnels définis par la décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle F(X = n! Q(X n X(X + (X + n = β j (Q X + j et B(Q = sup 0 j n β j (Q. Alors β j Z quel que soit j {0,...,n} et B(Q 2 n sup 0 j n Q( j. Démonstration. On a ( n β j (Q = lim (X + jf(x = ( j Q( j. X j j j=0

ARITHMÉTIQUE DE LA FONCTION ZÊTA 63 Lemme II..8. Soient Q i pour i a des polynômes de degrés n prenant des valeurs entières aux entiers. Soient α j,k pour 0 j n et k a, définis grâce à la décomposition en élément simples de F(X = a i= n!q i (X n X(X + (X + n = a j=0 k= α j,k (X + j k. Alors d a k n α j,k Z et α j,k (2n a (a! a i= B(Q i, quels que soient 0 j n et k a. Démonstration. La démonstration se fait par récurrence sur a, le cas a = étant contenu dans le lemme II..7. Si a 2, l hypothèse de récurrence permet d écrire avec d a k n a i= n!q i (X n X(X + (X + n = a j=0 k= γ j,k (X + j k, γ j,k Z et γ j,k (2n a 2 (a 2! a i= B(Q i. Maintenant, si j j 2, on a (X + j (X + j 2 l = l (j 2 j l (X + j (j 2 j l+ k (X + j 2 k. On en déduit la formule β j (P a γ j,k l k j α j,k = j l j j k= β j (P a γ j,l (j j l+ k si k 2, β j (P a γ j,l β j (P a γ j,l (j j l si k =. La somme dans le membre de droite comporte au plus 2n(a termes et chacun de ces termes est de valeur absolue B(P a (2n a 2 (a 2! a 2 i= B(P i; on en tire la majoration voulue pour α j,k. Finalement, on a et d a k n β j (P a γ j,l (j j = da l l+ k n γ j,l d l+ k n (j j l+ k β j (P a Z d a k n γ j,k = dn a (k γ j,k Z, et tous les termes intervenant dans le calcul de α j,k sont entiers ; il en est donc de même de α j,k, ce qui termine la démonstration.

64 P. COLMEZ Lemme II..9. Si i a, alors P i est de degré n et prend des valeurs entières aux entiers. De plus, on a 2 n((i + n! si i r, (in!n! B(P i 2 n((i r + n! si r + i 2r, ((i rn!n! 2 n si 2r + i a. Démonstration. On a ( ( 0 n Z de manière évidente, et X+ ( n+ X ( n+ = X n, ce qui montre par une récurrence double que les polynômes ( X n prennent des valeurs entières aux entiers ; il en est donc de même des P i. La majoration de B(P i, quant à elle, s obtient en en majorant le coefficient binomial ( n j par 2 n et en constatant que le maximum de P i ( j pour 0 j n est atteint en j = 0 (resp. j = n si i r (resp. r + i 2r. La proposition II..5 est une conséquence des lemmes II..9 et II..8 et de la majoration a B(P i 2 na( ((r + n! 2 2 na (n! r+ (r + 2(r+n, i= la première inégalité s obtenant en multipliant les majorations obtenues dans le lemme II..9 et la seconde s obtenant en utilisant la majoration des coefficients multinomiaux m! m! m c! cm si m + + m c = m. 4. Évaluation de S n Une expression de S n sous forme d une intégrale (prop. II..2 va nous permettre d étudier le comportement asymptotique de S n et, en particulier, de démontrer le résultat suivant. Proposition II..0 (i Il existe A 0 > 0 tel que lim n + S /n n = A 0. (ii On a A 0 (2r + 2r+ r 2r a. Lemme II... Si a, b N, alors 0 x a ( x b a! b! dx = (a + b +!. Démonstration. C est un cas particulier de la formule Γ(sΓ(t d Euler. (On peut aussi utiliser la formule Γ(s + t b x a+ ( x b dx. a + 0 0 x s ( x t dx = 0 x a ( x b dx =

ARITHMÉTIQUE DE LA FONCTION ZÊTA 65 Proposition II..2. On a [0,] a+ S n = ((2r + n +! (n! 2r+ [0,] a+ a+ l= xnr l ( x l n dx l ( x x a+ (2r+n+2. Démonstration. Si k et x <, on a ( x k = + ( m+k m=0 k x m. Comme toutes les fonctions que l on considère sont positives, on peut intervertir somme et intégrale pour obtenir a+ ( l= x nr l ( x l n dx l ( x x a+ k = + m=0 + = ( m + k ( m=0 k (m + (m + k ( (k! 0 a+ x rn+m ( x n dx (rn + m!n! ((r + n + m +! a+. Pour k = (2r + n + 2, on a ((2r + n +! (m + ( (rn + m!n! a+ (n! 2r+ (k! ((r + n + m +! = F n (rn + m +. On en tire le résultat car F n (m = 0 si m rn. Lemme II..3. On a lim n + ( ((2r + n +! (n! 2r+ /n = (2r + 2r+. Démonstration. C est une conséquence du comportement asymptotique de n! donné par la formule de Stirling : n! = n n e n 2πn( + O( n. Lemme II..4. Soient K un compact, f une fonction continue positive sur K et µ une mesure sur K telle que la mesure de tout ouvert soit finie et > 0. Alors lim n + K fn dµ /n = sup x K f(x. Démonstration. Exercice. Passons à la démonstration de la proposition II..0. Le lemme II..3 et le lemme II..4 utilisé pour K = [0,] a+, a+ l= f(x,...,x a+ = xr l ( x a+ l l= ( x x a+ 2r+ et µ = dx l ( x x a+ 2, nous permettent de démontrer que l on a lim n + S/n n = A 0, avec A 0 = (2r + 2r+ sup (x,...,x a+ [0,] a+ f(x,...,x a+.

66 P. COLMEZ D autre part, on a x x a+ x l pour tout l {,...,a + }. On a donc aussi x x a+ a+ l= ( x l /(a+, ce qui nous fournit la majoration a+ ( f(x,...,x a+ x r l ( x l (a 2r/(a+. Le maximum de x x r ( x (a 2r/(a+ sur [0,] est atteint en ( ρ = + a 2r ; r(a + l= le maximum de f sur [0,] a+ est donc ρ r(a+ ( ρ a 2r ( ρ a 2r, et on termine la démonstration de la proposition II..0 en utilisant la majoration ρ = + a 2r r(a+ = a 2r r(a+ + a 2r r(a+ 5. Utilisation du critère de Nesterenko a 2r r(a + r. 5.. Le plus petit commun multiple des n premiers entiers. Pour appliquer le critère de Nesterenko, nous aurons besoin d estimer la taille de d n ; c est l objet de la proposition suivante qui est une conséquence du théorème des nombres premiers. Proposition II..5. Si d n désigne le p.p.c.m de,2,...,n, alors d n = e n+o(n. Démonstration. Si p est un nombre premier n, on a v p (d n = [ log n log p], où [x] désigne la partie entière de x, si x R. On obtient donc, en notant π(n le nombre de nombres premiers n, n log d n = p n ( log n [ log n ] log p + n π(nlog n. log p D après le théorème des nombres premiers, on a n π(nlog n = o(n, et il s agit de prouver que, si on note s n la somme p n u p, avec u p = log n [ log n log p] log p, alors sn = o(n. Pour cela, choisissons ε ]0, 2 [. Si p n ε, on peut utiliser la majoration triviale u p log n, et, si n ε < p n, on a [ log n log p] = et up εlog n. On en déduit la majoration s n log n ( π(n ε + (π(n π(n ε ε εn + o(n. Ceci étant vrai quel que soit ε ]0, 2 [, on en déduit le résultat. Remarque II..6. Pour démontrer le théorème de Rivoal, on a juste besoin de savoir qu il existe γ > 0 tel que d n = O(γ n+o(n, et on peut montrer (exercice que l on peut prendre γ = 4 en utilisant le fait que le produit des nombres premiers compris entre m+ et 2m divise ( 2m m 2 2m, ce qui permet

ARITHMÉTIQUE DE LA FONCTION ZÊTA 67 de se passer du théorème des nombres premiers. Le prix à payer est que les constantes sont un peu moins bonnes (remarque II..8. 5.2. Minoration de la dimension du Q-espace vectoriel engendré par les ζ(2j + Nos efforts sont récompensés par la proposition suivante qui fournit une minoration non triviale de la dimension du Q-espace vectoriel engendré par les valeurs de la fonction zêta aux entiers pairs ou impairs. Proposition II..7. Soit a 3 un entier impair. Soit δ pair (a (resp. δ impair (a la dimension du sous-q-espace vectoriel de R engendré par et les ζ(k, k pair (resp. k impair, 2 k a. Alors, quel que soit r a/2, les dimensions δ pair (a et δ impair (a sont minorées par (a 2rlog r a (2r + log(2r + +. a + alog 2 + (2r + 2log(r + a Remarque II..8. En prenant r = (log a 2 + O(, on voit que δ pair(a et δ impair (a sont minorées par + log a + log 2 + o( ; en particulier, δ pair(a et δ impair (a tendent vers +, ce qui termine la démonstration du théorème II.. (modulo la démonstration de la proposition. Si on veut se passer du théorème des nombres premiers et utiliser une majoration du type d n O(γ n+o(n, les arguments ci-dessous mènent à une minoration de δ pair (a et δ impair (a par + log a log(2γ + o(. Démonstration. La démonstration pour δ pair (a est la même (en un peu plus simple que la démonstration pour δ impair (a ; nous nous contenterons donc de traiter le cas de δ impair (a. Soit b = (a + /2. Soit v =, et v j = ζ(2j si 2 j b. Soit a n, = d a 2n+ β(2n+ et a n,j = d a 2n+ α(2n+ 2j si 2 j b. D après la proposition II..6, les a n,j sont des entiers, et la conjonction de la proposition II..5 et du (ii du corollaire II..6 montre que l on a sup a n,j B n+o(n, avec B = j b ( e a 2 a (r + 2r+2 2. D autre part, comme a est impair, on a α (2n+ k = 0 si k est pair, et donc a n, v + + a n,b v b = d a 2n+ S 2n+. La conjonction des propositions II..0 et II..5 montrent qu il existe A > 0 tel que a n, v + + a n,b v b = A n+o(n avec A Le critère de Nesterenko (th. II..3 permet de conclure. ( e a (2r + 2r+ r 2r a 2.

68 P. COLMEZ 6. Démonstration du critère de Nesterenko La démonstration du critère de Nesterenko qui suit est adaptée de notes de F. Amoroso ; elle va demander un peu de préparation. 6.. Hauteur H(M d une matrice M à coefficients entiers. Soit s r deux entiers et soit M M s r (Z une matrice à s lignes et r colonnes et à coefficients entiers (a i,j i s, j r. Si J est une partie à s éléments de {,...,r}, on note M J la matrice s s de coordonnées (a i,j i s, j J, et on pose H(M = sup det M J, J où J décrit les parties à s éléments de {,...,r}. Soit w = (w,...,w r R r. On note Mw le vecteur colonne dont la i-ième coordonnée est r j= a i,jw j. Si J est une partie à s éléments de {,...,r}, on note M J,w la matrice s s obtenue en rajoutant à la matrice s (s de coefficients (a i,j i s, j J, le vecteur Mw, et on pose (M = sup det M J,w, où J décrit les parties à s éléments de {,...,r}. J Lemme II..9 (i Si s = et M = (a,...,a r M r (Z, alors r H(M = sup a i et (M = a i w i. i r (ii Si M M r r (Z, alors H(M = det M i= et (M = detm ( sup w i. i r (iii Si s r et M M s r (Z, et si (M 0, alors H(M 0. (iv Si s r et si (M n n N est une suite d éléments de M s r (Z vérifiant (M n 0 et lim n + (M n = 0, alors lim n + H(M n = +. (v Si s r, si M M s r (Z, si L M r (Z, et si M L désigne l élément de M (s+ r (Z obtenu en accolant verticalement M et L, alors H(M L (s + H(LH(M, H(M (L sh(l (M (M L H(M (L + sh(l (M. Démonstration. Le (i et le (ii sont des évidences. Pour démontrer les (iii et (iv, remarquons que, si J est une partie à s éléments de {,...,r}, alors det M J,w = j / J ε j w j detm J {j}, où ε j {±} est un signe dépendant de j. En particulier, si tous les det M J sont nuls, alors il en est de même des det M J,w ce qui démontre le (iii, et si H(M n est borné, alors (M n ne peut prendre qu un nombre fini de valeurs (car les detm J sont des entiers, et donc ne peut

ARITHMÉTIQUE DE LA FONCTION ZÊTA 69 pas tendre vers 0, ce qui démontre le (iv. Finalement, le (v se démontre en développant par rapport à la dernière ligne les déterminants (s + (s + qui apparaissent. 6.2. Reformulation du critère de Nesterenko. Reprenons les notations du théorème II..3. Choisissons une base w = (w,...,w r du sous- Z-module de R engendré par v,...,v b, notons C le maximum des valeurs absolues des coordonnées de v,...,v b dans cette base, notons L n M r (Z la forme linéaire définie par L n (w = b j= a n,jv j, et posons Q n = sup(q n,b n,csup j b a n,j et λ = log A log B. Par construction, Q n est une suite croissante, tendant vers +, et H(L n Q n. Les hypothèses du théorème II..3 se traduisent par Q n+ = Q +o( n et L n (w = Q λ+o( n. On est donc ramené à démontrer le résultat suivant. Théorème II..20. Soient w = (w,...,w r R r. On suppose qu il existe une suite croissante (Q n n N d éléments de R +, tendant vers + et vérifiant Q n+ = Qn +o(, et une suite de formes linéaires à coefficients entiers, (L n n N, où L n M r (Z, telles que l on ait Alors λ r. H(L n Q n et L n (w = Q λ+o( n. Démonstration. La démonstration se fait par l absurde. Supposons λ > r et choisissons µ ]r,λ[. Nous allons construire, par récurrence sur s {,...,r}, une suite (M (s n n N d éléments de M s n (Z vérifiant les conditions suivantes : (i lim n + H(M (s n = +, (ii (M (s n 0 si n est assez grand, (iii (M (s n s H(M (s n µ s+ tend vers 0 quand n tend vers +. Pour s = r, ceci implique que (M (s n tend vers 0, et donc, d après le (ii du lemme II..9, que det(m (s n tend vers 0, ce qui est absurde puisque det(m (s n est un entier non nul pour n assez grand. Pour n =, les hypothèses du théorème II..20 font que l on peut prendre M ( n = L n. Soit s r, et supposons la suite (M (s n n N construite. Posons h n = H(M (s n et δ n = (M (s n. Soit η s ]s λ µ µ+,(s + λ µ µ+ [, et soit ε s > 0 tel que l on ait λ + ε s > µ s + ( et (s+ λ ε ( s +(µ s + < 0. s + η s s + η s s s + η s s + η s (Le lemme II..2 ci-dessous garantit, par continuité, l existence d un tel ε s.

70 P. COLMEZ Soit ϕ(n le plus petit entier tel que hn /(s+ηs H(L ϕ(n hn /(s+ηs et, si n est assez grand, < Q ϕ(n+. On a alors h (λ+εs/(s+ηs n (L ϕ(n h ( λ+εs/(s+ηs n. Vérifions que la suite (M (s+ n n N définie par M (s+ n = M (s n L ϕ(n répond à nos besoins. Utilisant le (v du lemme II..9, on obtient l encadrement suivant pour (M (s+ n : h λ+εs s+ηs n sh s+ηs n δ n (M (s+ n h λ εs s+ηs n s+ηs + shn δ n. Par ailleurs, comme δn shµ s+ n tend vers 0, on a δ n = o(h (µ s+/s n, et comme λ+εs s+η s > s+η s µ s+ s, le second terme du membre de gauche de la première inégalité est négligeable devant le premier ; on en déduit la non nullité de (M (s+ n pour n assez grand. Pour les mêmes raisons, on a (M (s+ n = O(h λ εs s+ηs n on obtient, et comme (M (s+ n H(M (s+ n (s + H(M (s n H(L ϕ(n = O(h + s+ηs n, s+ H(M (s+ n µ s = O (h λ εs (s+( s+ηs +(µ s(+ s+ηs n Comme on a choisi ε s et η s de telle sorte que l exposant de h n soit < 0,, et comme h n tend vers +, on a lim n + (M (s+ n s+ H(M (s+ n µ s = 0. Pour terminer la vérification, constatons que, comme µ s > 0, on a aussi lim n + (M (s+ n Lemme II..2. Si s λ µ µ+ λ s + η > s + η µ s + s = 0, et donc lim n + H(M (s+ n < η < (s + λ µ µ+, alors et ( (s+ λ s + η = +.. ( +(µ s + < 0. s + η Démonstration. Les équivalences suivantes sont immédiates, si λ, µ, δ > 0 et µ < λ, λ s + η > s + η µ s + µ + > λ + s s s + η (µ + (s + η > (λ + s η > s λ µ µ +

ARITHMÉTIQUE DE LA FONCTION ZÊTA 7 ( (s + λ ( + (µ s + < 0 s + η s + η (s + (s + η λ + (µ s(s + η + < 0 (s + (µ λ + η(µ + < 0 η < (s + λ µ µ +.. Définition II.2. Nombres Polyzêtas Le sous-q-espace vectoriel de R engendré par et les ζ(a, a entier 2 n est pas une sous-algèbre de R (du moins il ne devrait pas l être si les énoncés d indépendance linéaire sur Q auxquels on croit sont vrais. Pour remédier à cette situation, on considère un ensemble de nombres un peu plus gros contenant les ζ(a, à savoir l ensemble des nombres polyzêtas. Ces nombres polyzêtas ont été introduits par Euler, et viennent de faire un retour tonitruant en mathématique après plus de deux siècles d oubli; ils apparaissent naturellement dans un certain nombre de questions à la frontière de la théorie des nombres et de la physique théorique. Lemme II.2.. Si a,...,a k sont des entiers, la série n >n 2 > >n k converge si et seulement si a 2. n a na k k Démonstration. La démonstration se fait par récurrence sur k en remarquant que + n=n n = O( si a >. a N a Soit A l ensemble des suites d entiers de longueur finie, et A 0 A l ensemble de ces suites dont le premier terme est 2. Si a = (a,...,a k A, on définit la longueur de a comme l entier d(a = k et son poids a par la formule a = a + + a k. Si a = (a,...,a k A 0, on définit le nombre polyzêta ζ(a par la formule ζ(a = n a n >n 2 > >n k. na k En particulier, si a = (a n a qu un élément, on retombe sur les valeurs de la fonction zêta aux entiers 2. k

72 P. COLMEZ Si a A 0, on peut aussi écrire ζ(a sous la forme + m = + m k = (m + + m k a (m2 + + m k a 2 m a k k D autre part, notant r l ensemble des (t,...,t r R r vérifiant > t > > t r > 0, on a (m + + m k a (m2 + + m k a 2 m a k = k k a i= ( t m i a + +a i a + +a i l=a + +a i +. dt l t l. Sommant alors sur m,...,m k, et intervertissant somme et intégrale, ce qui ne pose pas de problème, tous les termes étant positifs, on obtient ζ(a = a i= k ( dta + +a i t a + +a i a + +a i l=a + +a i + dt l t l. Cette écriture étant relativement pénible, on introduit les formes différentielles ω (t = dt t et ω 0(t = dt, ce qui nous donne t ζ(a = a a l= ω a i (t l, où a = (a,...,a a est défini par a i = si i {a,a +a 2,...,a + +a k }, et a i = 0 sinon. D autre part, on note A l ensemble des suites de longueur finie constituées de 0 et de, et se terminant par un, et A 0 le sous-ensemble de ces suites commençant par un 0. L application a a induit une bijection de A sur A et de A 0 sur A 0. 2. Relations quadratiques entre les nombres polyzêtas 2.. Relations de type I. Si r est un entier, notons D r (N {0} r l ensemble des r-uplets (n,...,n r d entiers vérifiant n > > n k. Si r et s sont deux entiers, on peut écrire D r D s comme une réunion disjointe d ensembles de la forme D d. De manière précise, soit Σ r,s l ensemble des applications ϕ : {,...,r + s} N {0} dont l image est un intervalle contenant (i.e. est de la forme {,...,d ϕ } et telles que l on ait ϕ( < < ϕ(r et ϕ(r + < < ϕ(r + s. Si ϕ Σ r,s, on définit le sous-ensemble D ϕ de (N {0} r+s comme étant l ensemble des suites (n,...,n r+s vérifiant n i = n j, si ϕ(i = ϕ(j, et n i > n j, si ϕ(i < ϕ(j.

ARITHMÉTIQUE DE LA FONCTION ZÊTA 73 Lemme II.2.2 (i On a D r D s = ϕ Σ r,s D ϕ. (ii L application (m,...,m d(ϕ (n,...,n r+s, où n i = m ϕ(i, est une bijection de D d(ϕ sur D ϕ. Démonstration. Le (i s obtient en ordonnant les coordonnées d un élément (n,...,n r+s de D r D s. Le (ii est évident. Maintenant, si a et b sont deux éléments de A 0, on note c l élément de A 0 de longueur d(a + d(b obtenu en accolant b à a. Si a = (a,...,a d(a et b = (b,...,b d(b, on a c = (c,...,c d(a+d(b, avec c i = a i si i d(a et c i = b i d(b si i d(a +. Si ϕ Σ d(a,d(b, on note ϕ(a,b = (c ϕ,,...,c ϕ,d(ϕ l élément de A 0 défini par c ϕ,i = ϕ(j=i c j. (Remarquons que les hypothèses mises sur ϕ font que l équation ϕ(j = i a une ou deux solutions. Le lemme II.2.2 nous fournit alors les relations quadratiques suivantes, dites de type I, entre les nombres polyzêtas. Proposition II.2.3. Si a et b sont deux éléments de A 0, alors ζ(aζ(b = ζ(ϕ(a,b. ϕ Σ d(a,d(b Corollaire II.2.4. Le sous-q-espace vectoriel de R engendré par les nombres polyzêtas est une sous-q-algèbre de R. 2.2. Relations de type II. Si r est un entier, et si σ est une permutation de {,...,r}, soit r (σ l ensemble de r-uplets (t,...,t r de réels vérifiant > t σ( > > t σ(r > 0. Si r et s sont deux entiers, soit S r,s l ensemble des permutations σ de {,...,r + s} telles que σ( < σ(2 < < σ(r et σ(r + < < σ(r + s. Lemme II.2.5. Si r et s sont des entiers, alors r s est, à des sousensembles de mesure nulle près (en fait des faces de codimension, la réunion disjointe des r+s (σ, σ S r,s. Démonstration. Il suffit d ordonner les coordonnées (t,...,t r+s de r s. Soient alors a et b deux éléments de A 0, et soit c l élément de A 0 obtenu, comme ci-dessus, en accolant b à a; alors c s obtient en accolant b à a. Si σ S a, b, on note σ(a,b l élément de A 0 défini par (σ(a,b = (c σ(,...,c σ( a + b.

74 P. COLMEZ On obtient, utilisant le lemme ci-dessus, une seconde série de relations quadratiques, dites de type II, en les nombres polyzêtas : ζ(aζ(b = a b = σ S a, b a + b l= a + b ω c i (t l = a + b l= σ S a, b ω c σ(i (t l = a + b (σ a + b l= σ S a, b ζ(σ(a,b. ω c i (t l 3. Relations linéaires entre les nombres polyzêtas Soit a = (a,...,a k A 0. Si on écrit formellement les deux expressions obtenues pour le produit divergent ζ(aζ(, et qu on égale les deux expressions que l on obtient en supprimant les termes apparaissant des deux cotés, on se retrouve avec l égalité k j= a j i= ζ(a,...,a j,i +,a j i,a j+,...,a k = k ζ(a,...,a j,a j +,a j+,...,a k. j= Dans cette égalité, tous les termes ont un sens (avec les conventions évidentes si j = ou j = k, et cette égalité est, en fait, une vraie égalité, ce qui nous fournit une nouvelle famille de relations, linéaires cette fois, dites de type III, en les nombres polyzêtas. Pour transformer ce qui précède en une démonstration, on introduit les fonctions polypolylogarithmes (en une variable Li a (z = n > >n k z n n a na k k = a z>t > >t a >0 l= ω a i (t l. On a bien évidemment Li a ( = ζ(a si a A 0, mais l intérêt est que Li a (z est défini, si z <, pour tout a A, et pas seulement pour a A 0. La méthode qui nous a permis de démontrer les relations de type I et II conduit aux formules suivantes, quels que soient a,b A : Li a (zli b (z = Li σ(a,b (z σ S a, b Li a (zli b (z = ϕ Σ d(a,d(b n > >n d(ϕ z nϕ( n c ϕ, n c ϕ,d(ϕ d(ϕ.

ARITHMÉTIQUE DE LA FONCTION ZÊTA 75 On peut utiliser les formules précédentes pour a = ( et b = (a,...,a k A 0. Tous les termes qui apparaissent convergent en z = vers le polyzêta correspondant, à l exception des termes correspondant à σ = ϕ = id. La différence de ces deux termes est alors égale à n >n 2 > >n k+ z n z n +n 2 n n a 2. na k+ k+ Comme a, et comme on peut majorer z n z n +n 2 par n 2 ( zz n n 2 ( zz (n + +n k+ /(k+, cela permet de majorer cette différence par ( z log( z /(k+ k+ qui tend vers 0 quand z tend vers. On en déduit les relations de type III. 4. L algèbre engendrée par les nombres polyzêtas On vient d obtenir trois types de relations algébriques entre les nombres polyzêtas et on peut se demander si ce sont «les seules», ce qui se traduit de la manière suivante : Question II.2.6. Soit Z la Q-algèbre de polynômes en les variables Z a, pour a A 0. Soit ζ : Z R le morphisme d algèbres défini par ζ(z a = ζ(a. Est-il vrai que ker ζ est l idéal de Z engendré par les éléments Z a Z b et σ S a, b Z σ(a,b, k j= a j i= Z a Z b Z (a,...,a j,i+,a j i,a j+,...,a k ϕ Σ d(a,d(b Z ϕ(a,b, a,b A 0, k Z (a,...,a j,a j +,a j+,...,a k, j= (a,...,a k A 0? Remarque II.2.7. Les relations de type I, II et III ne font intervenir que des nombres polyzêtas de même poids. Par ailleurs, ζ(a est de poids a si a 2 ; en particulier, et les ζ(a, a 2 sont tous de poids différents et une réponse positive à la question ci-dessus impliquerait qu ils doivent tous être linéairement indépendants sur Q. Le seul résultat que l on ait à ce sujet est le théorème de Rivoal qui est un petit pas. D un autre côté, le fait d avoir exhibé des relations multiplicatives entre les nombres polyzêtas peut se révéler une aide précieuse pour attaquer cette question : après tout, on peut déduire du théorème de Rivoal l indépendance linéaire sur Q de tous les ζ(2a, et ceci grâce aux relations multiplicatives vérifiées par ces nombres.

76 P. COLMEZ CHAPITRE III FORMES MODULAIRES III.. SL 2 (R et le demi-plan de Poincaré ( Si A est un anneau commutatif, on note SL 2 (A le groupe des matrices a b, avec a,b,c,d A de déterminant ad bc =. c d ( a b Si γ = SL 2 (R et z C { d/c}, on pose c d γz = az + b (az + b(cz + d = cz + d cz + d 2 = ac z 2 + bd + (a + cx + iy(ad bc cz + d 2. En particulier, on a ( Im(γz = Im(z cz + d 2, et le demi-plan de Poincaré H = {z = x + iy, y > 0} est stable par z γz. Lemme III... Si γ,γ 2 SL 2 (R et z H, alors γ γ 2 z = γ γ 2 z. ( ( a b Démonstration. Si γ = a2 b et γ 2 = 2, alors c d c 2 d 2 γ (γ 2 z = a γ 2 z + b = a a 2 z+b 2 c 2 z+d 2 + b c γ 2 z + d a c 2 z+b 2 = (a a 2 + b c 2 z + (a b 2 + b d 2 c 2 z+d 2 + d (c a 2 + d c 2 z + (c b 2 + d d 2 et ( ( ( a b γ γ 2 = a2 b 2 a a = 2 + b c 2 a b 2 + b d 2, c d c 2 d 2 c a 2 + d c 2 c b 2 + d d 2 ce qui permet de conclure. Théorème III..2 (i Si γ SL 2 (R, l application z γz appartient au groupe (pour la composition Aut(H des bijections holomorphes de H dans H. (ii L application qui à γ SL 2 (R associe l élément z γz de Aut(H est un morphisme de groupes. (iii L action de SL 2 (R sur H ainsi définie est transitive et le stabilisateur de i est le sous-groupe des rotations SO 2 (R de SL 2 (R. (iv Si ϕ : H H est holomorphe bijectif, alors il existe γ SL 2 (R tel que ϕ(z = γz ; autrement dit, le morphisme SL 2 (R Aut(H défini ci-dessus est surjectif.

ARITHMÉTIQUE DE LA FONCTION ZÊTA 77 Démonstration. L holomorphie de z γz est une évidence et les points (i et (ii sont des conséquences immédiates du lemme précédent. Pour démontrer la transitivité de l action de SL 2 (R sur H, il suffit de prouver que l on peut envoyer i sur n importe quel point de H, ce qui suit de la formule ( y /2 y /2 x 0 y /2 i = y/2 i + y /2 x y /2 = x + iy. ( a b Maintenant, si γ = vérifie γi = i, alors ai+b = i(ci+d et donc c = b c d et a = d. Comme de plus, ad bc =, on a a 2 + b 2 =, et γ est la matrice d une rotation. Ceci termine la démonstration du (iii. Pour démontrer le (iv, nous aurons besoin du lemme suivant. Lemme III..3. Soit D = {z C, z < }. Si ψ : D D est une bijection holomorphe vérifiant ψ(0 = 0, alors il existe λ C, λ = tel que ψ(z = λz quel que soit z D. Démonstration. On a ψ (0 = 2iπ z =r z 2 ψ(zdz quel que soit 0 < r <, et donc ψ (0 r 2 sup z =r ψ(z r 2 quel que soit 0 < r <. Faisant tendre r vers, on obtient ψ (0. Le même raisonnement appliqué à la bijection holomorphe de D dans D, réciproque de ψ, montre que ψ (0, et donc ψ (0 =. Considérons alors la fonction g : D D définie par g(z = z ψ(z si z 0 et g(0 = ψ (0. C est une fonction holomorphe sur D et le maximum de g sur le disque de centre 0 et de rayon r est atteint sur le cercle de centre 0 et de rayon r ; il est donc r sup z =r ψ(z r. Faisant tendre r vers, on obtient sup z D g(z. Comme par ailleurs g(0 =, la fonction holomorphe g atteint son maximum en un point intérieur à D ; elle est donc constante, ce qui permet de conclure. Revenons à la démonstration du (iv. Soit ϕ : H H holomorphe bijective. D après le (iii, il existe γ SL 2 (R tel que γi = ϕ(i. Quitte à remplacer ϕ par γ ϕ, on peut donc supposer que ϕ(i = i. Soit h la fonction définie par h(z = i z i+z. Un petit calcul montre que h est une bijection holomorphe de H dans D dont la réciproque h est donnée par la formule h (z = i u +u. Considérons alors la composée ψ = h ϕ h ; c est une bijection holomorphe de D dans D vérifiant ψ(0 = 0. D après le lemme précédent, il existe λ C de module tel que ψ(z = λz. On a alors ( i z ϕ(z = h ψ h(z = h ψ i + z = h ( λ i z = i λi z i+z i + z + λ i z, i+z

78 P. COLMEZ et, écrivant λ sous la forme λ = e 2iθ, un petit calcul nous donne cos θ z + sin θ ϕ(z = sin θ z + cos θ, ce qui permet de conclure. Corollaire III..4. L application γ γi induit une bijection de SL 2 (R/SO 2 (R sur H. Démonstration. C est une réécriture du (iii du théorème. Corollaire III..5. Tout élément γ de ( SL 2 (R peut s écrire de manière unique u sous la forme γ = UAR, où U = est une matrice unipotente, A = 0 ( a 0 0 a est une matrice diagonale avec a > 0, et R SO 2 (R est une matrice de rotation. Démonstration. Si γi = x + iy, on doit poser a = y, u = x et R = (UA γ appartient au stabilisateur de i. Remarque III..6. La décomposition précédente est connue sous le nom de décomposition d Iwasawa. Proposition III..7. La mesure hyperbolique dxdy de SL 2 (R. Démonstration. Si dz = dx + idy, dz = dx idy, y 2 f z = ( f 2 x i f y f z = ( f 2 x + i f y alors dx dy = i f dz dz et df = 2 z si f est une ( fonction sur un ouvert de C. a b Si γ = SL 2 (R et u = γz, on a c d et donc du = est invariante sous l action,, dz + f z dz, dz (cz + d 2, du = dz (cz + d 2 et Im(u = Im(z cz + d 2, du du Im(u 2 = ce qui permet de conclure. dz (cz+d 2 dz (cz+d 2 ( Im(z cz+d 2 2 = dz dz Im(z 2,

ARITHMÉTIQUE DE LA FONCTION ZÊTA 79 III.2. Formes automorphes et formes modulaires. Facteur d automorphie ( a b Si k Z, si γ = SL 2 (R, et si f : H C est une fonction C, c d on définit la fonction f k γ par la formule f k γ(z = (cz + d k f(γz. ( ( a b Si γ = a2 b et γ 2 = 2 sont deux éléments de SL 2 (R, on a c d c 2 d 2 ( f k γ k γ 2 (z = (c 2 z + d 2 k( c a 2 z + b 2 c 2 z + d 2 + d k f(γ γ 2 z et donc ( f k γ k γ 2 = f k γ γ 2. = ( (c a 2 + d c 2 z + (c b 2 + d d 2 k f(γ γ 2 z = f k γ γ 2 (z, 2. Sous-groupes d indice fini de SL 2 (Z Nous allons définir la notion de forme automorphe ou de forme modulaire de poids k, caractère χ pour un sous-groupe Γ d indice fini de SL 2 (Z, où k Z et χ : Γ C est un caractère d ordre fini (i.e. on a χ(γ γ 2 = χ(γ χ(γ 2 si γ,γ 2 Γ et il existe d N tel que χ(γ d = si γ Γ. En liaison avec l arithmétique, les sous-groupes d indice fini de SL 2 (Z que l on rencontre le plus fréquemment sont Γ 0 (N, Γ (N et Γ(N, où N est un entier, et { ( a b Γ 0 (N = c d { ( a b Γ (N = c d { ( a b Γ(N = c d } SL 2 (Z, c 0 mod. N ; } SL 2 (Z, c 0 mod. N,a d mod. N ; } SL 2 (Z, b c 0 mod. N, a d mod. N. Une manière naturelle de fabriquer un caractère d ordre fini de Γ 0 (N est de partir d un caractère de Dirichlet modulo N (i.e. une application χ : (Z/NZ C vérifiant χ(ab = χ(a = χ(b que l on peut aussi voir comme une application multiplicative de Z dans C, périodique de période N, telle ( que χ(n = 0 si n n est pas premier à N, et de poser χ(γ = χ(d si a b γ = Γ 0 (N. c d

80 P. COLMEZ Lemme III.2.. Si Γ est un sous-groupe d indice fini de SL 2 (Z et si χ ( : Γ C N est un caractère d ordre fini, alors il existe N N {0} tel que γ = Γ 0 et χ(γ =. { ( n } Démonstration. Soit U =, n Z ; c est un sous-groupe de SL 2 (Z. 0 Considérons l action de U sur X = SL 2 (Z/Γ par translation à gauche. Si γ U agit trivialement, il respecte en particulier la classe à gauche de Γ et donc appartient à Γ. L ensemble X étant fini, il existe un sous-groupe U d indice fini dans U qui agit trivialement et U = Γ U est d indice fini dans U. En particulier, U est un groupe infini et, l ensemble des valeurs prises par χ étant fini, le noyau U 2 de la restriction de χ à U est un groupe infini, ce qui permet de conclure. 3. Définition des formes modulaires Définition III.2.2. Si Γ est un sous-groupe d indice fini de SL 2 (Z et si k Z, une fonction f : H C est dite automorphe de poids k pour Γ, si elle est C, et si l on a : (i f k γ = f quel que soit γ Γ ; (ii f est à croissance lente à l infini (voir ci-dessous. Plus généralement, si χ : Γ C est un caractère d ordre fini, une fonction f : H C est dite automorphe de poids k et caractère χ pour Γ, si elle est C, à croissance lente à l infini, et si l on a : (i f k γ = χ(γf quel que soit γ Γ. Une forme automorphe holomorphe est dite modulaire et on note M k (Γ (resp. M k (Γ,χ le C-espace vectoriel des formes modulaires de poids k (resp. de poids k et caractère χ pour Γ. ( 0 Remarque III.2.3. Si Γ contient I =, et si χ( I ( k, alors 0 une forme automorphe de poids k, caractère χ pour Γ est identiquement nulle. La condition «f est à croissance lente à l infini» s exprime de la manière suivante : quel que soit γ SL 2 (Z, quels que soient a < b R, il existe C R tel que l on ait, au voisinage de y = +, sup z [a+iy,b+iy] f k γ(z = O(y C. La relation d automorphie f k γ = χ(γf permet de réduire beaucoup le nombre de vérifications à faire : on peut se contenter de prendre γ dans un système de

ARITHMÉTIQUE DE LA FONCTION ZÊTA 8 représentants de SL 2 (Z/Γ qui, par hypothèse, est un ensemble fini. La fonction f k γ est automorphe pour le groupe γγγ qui est contenu dans SL 2 (Z de même indice que Γ, et le lemme III.2. montre qu il existe N N {0} (dépendant de γ tel que f soit périodique de période N, ce qui permet de ne considérer que le cas a = 0 et b = N au lieu de a et b quelconques. En résumé, il n y a qu un nombre fini de vérifications à faire. 4. Développement de Fourier des formes automorphes et modulaires Soit f une forme automorphe de poids k, caractère χ pour Γ, où Γ est d indice fini dans SL 2 (Z et χ : Γ C est d ordre fini. D après la discussion précédente, il existe N N {0} tel que l on ait f(z + N = f(z si z H, et comme f est C, elle est somme de sa série de Fourier f(z = n Z a n (f,ye 2iπnx/N, avec a n (f,y = N N 0 f(x + iye 2iπnx/N dx. Comme on a supposé que f est à croissance lente à l infini, la formule donnant a n (f,y montre qu il existe C R tel que a n (f,y = O(y C au voisinage de y = +. Maintenant, si f est modulaire, la fonction f(q N = f(n log q N 2iπ est bien définie (la périodicité de f montre que f(q N ne dépend pas de la détermination de log q N et est une fonction holomorphe sur D = {0 < q N < }. On peut donc écrire f sous la forme a n (fqn, n avec q N = e 2iπz/N. n Z Si on identifie les coefficients de Fourier, on obtient la relation a n (f,y = a n (fe 2πny/N et la croissance lente des coefficients de Fourier montre que l on a a n (f = 0 si n < 0. La fonction f se prolonge donc en une fonction holomorphe sur D = { q N < } en posant f(0 = a 0 (f. On dit que f est holomorphe en i et on pose f(i = a 0 (f. On dit que f est parabolique ou cuspidale si f k γ est nulle en i quel que soit γ SL 2 (Z, et on note S k (Γ M k (Γ (resp. S k (Γ,χ M k (Γ,χ le sous-c-espace vectoriel des formes paraboliques (. Les espaces vectoriels S k (Γ,χ et M k (Γ,χ sont de dimension finie et on dispose de formules générales donnant la dimension de ces espaces vectoriels. ( Une forme parabolique est une «Spitzenform» en allemand, ce qui explique le S et «Spitz» veut dire «pointe» et se traduit par «cusp» en anglais...

82 P. COLMEZ. Les éléments S et T III.3. SL 2 (Z Soient S et T les éléments de SL 2 (Z définis par ( ( 0 T = et S =. 0 0 On a S 2 = I. Si z H, on a Sz = z et Tn z = z + n si n Z. Théorème III.3.. Le groupe SL 2 (Z est engendré par S et T. Démonstration. On a ( ( a b c d S = c d a b ( ( T n a b a + nc b + nd = si n Z. c d c d ( a b Nous allons montrer, par récurrence sur c, que γ = SL 2 (Z appartient au sous-groupe engendré par S et T. Si c = 0, on a a = d = ± et γ est c d de la forme T b ou T b = S 2 T b. Si c > a, on peut appliquer l hypothèse de récurrence à Sγ, et si c a, on choisit n Z tel que a + nc 2 c, et on applique l hypothèse de récurrence à ST n γ. Corollaire III.3.2. Une fonction f : H C, de classe C, à croissance lente à l infini, est automorphe de poids k pour SL 2 (Z, si et seulement si f(z + = f(z et f( z = zk f(z. ( Exercice III.3.3. Soit G le sous-groupe de SL 2 (Q engendré par Γ 0 (4 et S 2 = 0 2. 2 0 (i Montrer que Γ 0 (4 est d indice 2 dans G. (ii Montrer que G est engendré par S 2 et T. 2. Domaine fondamental pour l action de SL 2 (Z Rappelons que, si G est un groupe agissant sur un ensemble X, un domaine fondamental pour l action de G sur X est un système de représentants de G\X ; autrement dit est un sous-ensemble de X vérifiant la condition suivante : quel que soit x X, il existe un unique élément y de tel qu il existe g G vérifiant x = gy.

ARITHMÉTIQUE DE LA FONCTION ZÊTA 83 Théorème III.3.4. L ensemble constitué de la réunion de l ouvert de la demi-droite {z H, z > et 2 < Re(z < 2 }, {z H, Re(z = 2 et Im(z } et de l arc de cercle {z H, z = et 0 Re(z 2 }, est un domaine fondamental pour l action de SL 2 (Z sur H. ( a b Démonstration. Soit z 0 H. Si γ =, on a Im(γz 0 = Im(z 0 c d cz 0 et, +d 2 comme cz 0 + d tend vers + quand c ou d tend vers l infini, la fonction γ Im(γz 0 ne prend qu un nombre fini de valeurs Im(z 0 ; elle atteint donc son maximum pour un certain γ 0. Maintenant, il existe n Z (unique tel que 2 < Re(γ 0z 0 + n 2 ; posons γ = T n γ 0. On a alors Im(γ z 0 = Im(γ 0 z 0 Im(Sγ z 0 = Im(γ z 0 γ z 0 2, et donc γ z 0. Finalement, soit γ = γ (resp. γ = Sγ si γ z 0 > ou si γ z 0 = et Re(γ z 0 0 (resp. si γ z 0 = et Re(γ z 0 0, de telle sorte que γz 0, ce qui prouve que contient un domaine fondamental. Pour terminer la démonstration, il ( reste à vérifier que si z et z 2 sont deux a b éléments de tels qu il existe γ = SL 2 (Z tel que z = γz 2, alors c d z = z 2. Par symétrie, on peut supposer que Im(z 2 Im(z = Im(z 2 cz 2, ce +d 2 qui implique que cz 2 + d. Comme Im(z 3 2 si z, l inégalité étant stricte sauf si z = ρ = 2 + i 3 2, on en déduit l inégalité c. Au signe près, il suffit de traiter les cas c = 0 et c =. Dans le cas c = 0, γ agit par translation par un entier et comme ne contient pas deux éléments dont la différence des parties réelles est un entier non nul, on doit avoir γ = ±I et z 2 = z. Dans le cas c = et d = 0, on a z 2 = z et, z,z 2 étant de module, cela implique z = z 2 = et z = z 2 = i car on a supposé z,z 2. Finalement, si d, on a d+re(z 2 2 avec inégalité stricte si Re(z 2 2 ou si d ; on doit donc avoir d =, z 2 = ρ, et z = a ρ = a + ρ; comme z, cela implique a = 0 et donc z = ρ = z 2.

84 P. COLMEZ 3. Le produit scalaire de Petersson Si f et g sont deux formes automorphes de poids k pour SL 2 (Z, la forme i 2 fg yk 2 dz dz est invariante sous l action de SL 2 (Z comme le montre un petit calcul utilisant la proposition III..7 et la formule (. L intégrale i f,g = 2 fg y2k 2 dz dz SL 2 (Z\H ne dépend donc, si elle converge, pas du domaine fondamental de H sous l action de SL 2 (Z que l on choisit pour effectuer le calcul. En particulier, on peut choisir le domaine construit ci-dessus. On note simplement M k (resp. S k, si k est un entier, l espace vectoriel des formes modulaires (resp. paraboliques de poids k pour SL 2 (Z. Comme I SL 2 (Z, on a M k = 0 si k est impair. Si f S k, on a f = O(e 2πy au voisinage de y = + comme le montre l existence du développement de Fourier. Ceci permet de montrer que, si f et g sont deux formes paraboliques de poids k, alors f,g est bien défini et la forme (f,g f,g est une forme hermitienne sur S k. Comme f,f = f 2 y k 2 dxdy, cette forme hermitienne est définie positive et définit donc un produit scalaire sur S k appelé produit scalaire de Petersson. 4. Séries d Eisenstein holomorphes On utilise la notation (m,n pour indiquer que l on somme sur tous les couples d entiers relatifs (m, n (0, 0. Proposition III.3.5. Si k 3 est un entier pair, et si z H, la série E k (z = 2 (m,n (mz + n k converge normalement et la fonction E k appartient à M k. Démonstration. La partie imaginaire de mz + n est my et donc mz + n m y et, d autre part, le trinôme X 2 z 2 + 2nxX + n 2 admet n 2 y 2 / z 2 comme minimum; on a donc mz + n inf(y,y/ z sup( m, n. Si N, il y a (2N + 2 (2N 2 = 8N couples (m,n vérifiant sup( m, n = N, et on peut majorer (en module la série par 2 inf ( y, y k z sup( m, n k = 2 inf ( y, y k + 8N z N k, (m,n N=

ARITHMÉTIQUE DE LA FONCTION ZÊTA 85 ce qui permet de prouver que la série définissant E k (z converge normalement sur tout compact de ( H et donc définit une fonction holomorphe sur H. a b Finalement, si γ = SL 2 (Z, on a c d ( az + b (E k k γ(z = (cz + d k E k = cz + d 2 (cz + d k ( (m,n m az+b cz+d + n k = ( 2 k, (am + cnz + (bm + dn et, l application (m,n (m,n (am + cn,bm + dn étant une bijection de Z 2 {(0,0}, on obtient la formule (E k k γ(z = E k (z qui permet de conclure. Exercice III.3.6. Soit k un entier pair 3. Soit Γ le sous-groupe { ( n }, n Z de SL 2 (Z. 0 (i Montrer que, si m N et γ SL 2 (Z, la quantité e 2iπmγz( dγz/dz k/2 ne dépend que de l image de γ dans Γ \SL 2 (Z. (ii Montrer que la série de Poincaré P k,m (z = e 2iπmγz( dγz k/2 2 dz γ Γ \SL 2 (Z converge absolument si z H et que P k,m M k. ( a b (iii Montrer que l application (c, d induit une bijection de c d Γ \SL 2 (Z sur l ensemble des couples (c,d, avec c et d premiers entre eux; établir l identité P k,0 = ζ(2k E k. (iv Montrer que P k,m S k si m et, si f = + n= a n(fq n S k, calculer le produit scalaire de Petersson P k,m,f. (v Montrer que les (P k,m m forment une famille génératrice de S k. Nous allons maintenant déterminer le développement de Fourier des séries d Eisenstein. On note q = q = e 2iπz le «paramètre local en i», Γ la fonction Gamma d Euler, ζ la fonction zêta de Riemann et, si N est un entier et s C, σ s (N la somme des puissances s-ième des diviseurs de N.

86 P. COLMEZ Proposition III.3.7. Si k 3 est un entier pair, le développement de Fourier de E k est donné par la formule Γ(k ( 2iπ k E k(z = Γ(k + ( 2iπ k ζ(k + σ k (Nq N. Démonstration. On remarque que les couples (m, n et ( m, n contribuent de la même manière, ce qui permet de ne garder que les couples (0,n avec n et (m,n avec m. On obtient alors N= E k (z = ζ(k + m A k (mz, où l on a posé A k (z = n Z (z + n k. On peut calculer la transformée de Fourier de la fonction x /(x + iy k grâce à la formule des résidus ; on obtient + e 2iπtx 0 si t 0, (x + iy k dx = ( 2iπ k (k! tk e 2πty si t > 0; et la formule de Poisson (valable par exemple si ϕ L (R est deux fois dérivable et ϕ L (R, nous donne On obtient donc n Z ϕ(x + n = n Z Γ(k ( 2iπ k E k(z = ( + ϕ(xe 2iπnx dx e 2iπnx, Γ(k ( 2iπ k A k(z = n k q n. n Γ(k ( 2iπ k ζ(k + n k q mn, m n et le résultat s en déduit en posant N = mn et en faisant le changement de sommation. m n = N n N n

ARITHMÉTIQUE DE LA FONCTION ZÊTA 87 III.4. Prolongement analytique de séries d Eisenstein Dans le développement de Fourier des séries d Eisenstein holomorphes, tous les coefficients sont trivialement rationnels à part le terme constant ; on peut utiliser cette remarque pour fabriquer une démonstration du théorème d Euler selon lequel ζ(k/π k Q, si k est un entier pair 2. Plus généralement, on peut utiliser le fait que ζ(2k apparaît dans le terme constant du développement de Fourier des séries d Eisenstein holomorphes pour étudier les propriétés arithmétiques de ζ(2k (divisibilités, congruences.... Nous allons en faire de même avec la fonction ζ elle-même en la faisant apparaître dans le terme constant du développement de Fourier d une série d Eisenstein non holomorphe.. Séries d Eisenstein non holomorphes Proposition III.4.. Si z = x + iy H, la série E(s,z = 2 Γ(s y s π s mz + n 2s (m,n converge normalement si Re(s > 2 et la fonction z E(s,z est une forme automorphe de poids 0 pour SL 2 (Z Démonstration. La convergence de la série résulte de la majoration mz + n inf(y,y/ z sup( m, n obtenue au cours de la démonstration de la proposition III.3.5, qui permet aussi de majorer E(s,z par 4ζ(2Re(sy s au voisinage de y = +, ce qui prouve que E(s,z est à croissance lente à l infini. Par ailleurs, la fonction z E(s,z est C car la série des dérivées (de n importe ( quel ordre converge mieux que a b la série elle-même. Finalement, si γ = SL 2 (Z, on a c d 2 π s Γ(s E(s,γz = Im(γz s mγz + n 2s = (m,n (m,n = (m,n y s cz+d 2s m az+b cz+d + n 2s y s (am + cnz + (bm + dn 2s et le résultat suit de ce que (m,n (am + cn,bm + dn est une bijection de Z 2.

88 P. COLMEZ 2. La transformée de Fourier de x /(x 2 + y 2 s La fonction E(s,z est somme de sa série de Fourier E(s,z = n Z a n (s,ye 2iπnx. Le calcul des coefficients de Fourier de E(s,z est parallèle à celui des séries d Eisenstein holomorphes ; la seule différence est que l on rencontre la transformée de Fourier de la fonction x / x + iy 2s qui ne peut plus s évaluer au moyen de la méthode des résidus comme dans le cas s = 0. Si u > 0 et s C, soit K s (u = + 0 e u(t+t t sdt t = + e u(t+t (t s + t s dt t. Lemme III.4.2 (i Si u > 0 est fixé, la fonction s K s (u est holomorphe sur C et vérifie l équation fonctionnelle K s (u = K s (u; (ii Si M C est compact, il existe C(M > 0 tel que l on ait K s (u C(Me u pour tout s M et tout u > 0. (iii On a K s (u πu /2 e 2u au voisinage de + ; en particulier, si s est fixé, la fonction u K s (u n est pas identiquement nulle. Démonstration. Les deux premiers points sont des exercices ; démontrons le troisième. Effectuant le changement de variable t = + v/ u, on peut écrire ue 2u K s (u sous la forme + 0 f s (vdv, avec f s (v = e v2 /(+v/ (( u + v s ( + + v s. u u On conclut en utilisant le théorème de convergence dominée. Lemme III.4.3. Si Re(s > /2, la transformée de Fourier de la fonction x Γ(s π s (x 2 + y 2 est donnée par la formule s Γ(s /2 Γ(s + e 2iπtx π s x + iy 2sdx = π s /2 y 2s si t = 0; t s /2 K y s /2 (π t y si t 0. Démonstration. On a + dx + x + iy 2s = 2 dx 0 x + iy 2s

ARITHMÉTIQUE DE LA FONCTION ZÊTA 89 et les changements de variables x = y u et u = v/( v nous donnent + dx = y 2s x + iy 2s + 0 du u /2 (u + s = y 2s et cette dernière intégrale s évalue grâce à la formule d Euler 0 v a ( v b dv = Γ(aΓ(b Γ(a + b. 0 ( v s 3/2 v /2, On en tire le résultat pour t = 0 en utilisant la formule Γ(/2 = π. Si t 0, on utilise la formule Γ(s π s x + iy 2s = + 0 e πu(x2 +y 2 u sdu u. L intégrale à calculer devient, en utilisant Fubini, + ( + e πux2 e 2iπtx dx e πuy2 u sdu u. Comme, d autre part, 0 + e πux2 e 2iπtx dx = u e πt2 /u, on obtient le résultat en faisant le changement de variable u = t/y v. 3. Développement de Fourier des séries d Eisenstein Si s C et n Z {0}, soit σ s (n = c n, c n/c 2 s. La bijection c n/c montre que l on a σs (n = σ s (n quels que soient s C et n Z {0}. Soit aussi ξ(s = Γ(s/2 ζ(s. πs/2 Proposition III.4.4. Si Re(s > 2, les coefficients de Fourier de E(s,z sont donnés par ξ(2sy s + ξ(2s y s si n = 0; a n (s,y = y /2 σ s /2 (nk s /2 (π n y si n 0. Démonstration. On remarque que les couples (c, d et ( c, d contribuent de la même manière, ce qui permet de ne garder que les couples (0,d avec d et (c,d avec c. On obtient alors E(s,z = ξ(2sy s + + c= y s A s (cz,

90 P. COLMEZ où l on a posé A s (z = Γ(s π s n Z z + n 2s. La formule de Poisson et le calcul de la transformée de Fourier de Γ(s π s effectué ci-dessus nous donnent x + iy 2s A s (z = On obtient donc Γ(s /2 π s /2 y 2s + n Z {0} ( n s /2Ks /2 (π n ye 2iπnx. y + c= y s A s (cz = Γ(s /2 π s /2 y s (cy 2s c + y s( ( n cy c n Z {0} s /2Ks /2 (π n cye 2iπcnx. Le résultat s en déduit en posant m = cn (et donc n = m/c et en faisant le changement de sommation =. c n Z {0} m Z {0} c m, c 4. Prolongement analytique des séries d Eisenstein Les fonctions K s (u et σ s (n possédant un prolongement holomorphe à C tout entier et une équation fonctionnelle reliant s et s, on en déduit, pour tout n 0, l existence d un prolongement holomorphe de a n (s,y vérifiant l équation fonctionnelle a n (s,y = a n ( s,y. Nous allons voir que ces propriétés s étendent au terme constant. Théorème III.4.5 (i ξ(s admet un prolongement méromorphe à C tout entier, holomorphe en dehors de pôles simples en s = 0 et s =. (ii Si z H, alors E(s, z admet un prolongement méromorphe à C tout entier, holomorphe en dehors de pôles simples en s = 0 et s ( =. De plus, quels a b que soient z H et s 0,, on a E(s, az+b cz+d = E(s,z si SL 2 (Z. c d (iii Les fonctions ξ(s et E(s,z vérifient les équations fonctionnelles E(s,z = E( s,z et ξ(s = ξ( s.

ARITHMÉTIQUE DE LA FONCTION ZÊTA 9 Démonstration. Le lemme III.4.2 permet de montrer que, si z H est fixé, la série R(s,z = n 0 a n(s,ye 2iπnx converge absolument sur tout compact ; elle définit donc une fonction holomorphe de s sur C tout entier. Par ailleurs, si Re(s > 2, on a E(s,z = E(s, /z et donc, la fonction ( ξ(2s y s y s ( (x 2 + y 2 s + ξ(2s y s y s (x 2 + y 2 s y = a 0 (s,y a 0 (s, x 2 + y 2 ( = R(s,z + R s, z admet un prolongement holomorphe à C tout entier, quel que soit x+iy H. Prenant deux valeurs de z, on obtient un système permettant d exprimer ξ(2s et ξ(2s comme quotient de fonctions holomorphes. On peut en particulier, si a <, prendre z = z a ou z a 2, où z a = a + i est tel que Im(z a = et Im( /z a = a. On obtient alors, en notant F a (s la fonction holomorphe R(s,z a + R(s, /z a, ξ(2s = ( a2 2s F a (s ( a s F a 2(s ( a s ( a 2 2s ( a 2s ( a s = ( + a s F a (s F a 2(s a 2s a s + a s. a Les seules valeurs de s annulant, quel que soit 0 < a <, le dénominateur de cette fraction sont s = 0 et s = /2 et le zéro en s = 0 ou s = /2 est un zéro simple. On en déduit le (i. Comme a 0 (s,y = ξ(2sy s + ξ(2s y s, le (i implique que a 0 (s,y (et donc aussi E(s,z = a 0 (s,y + R(s,z admet un prolongement méromorphe à C tout entier, holomorphe en dehors de ( pôles simples en s = 0,/2,. a b D autre part, on a E(s, az+b cz+d = E(s,z si SL 2 (Z, si z H et si c d Re(s > 2. Par prolongement analytique, cette formule reste vraie pour tout s C pour lequel elle a un sens (i.e. au moins si s 0,/2,. Maintenant, soit F(s,z = E(s,z E( s,z. Du fait de l égalité a n (s,y = a n ( s,y si n 0, on ( a F(s,z = a 0 (s,y a 0 ( s,y. Comme, par ailleurs, a b F(s, az+b cz+d = F(s,z si SL 2 (Z, on en déduit, vu la forme de a 0 (s,y, c d que F(s,z = 0 (autrement dit E(s,z = E( s,z, et E(s,z n a pas de pôle en s = /2, car ce pôle doit être d ordre pair au vu de la symétrie s s et a 0 (s,y a 0 ( s,y = 0, quels que soient y > 0 et s C pour lequel tout est bien défini. L identification des coefficients de y s et y s dans a 0 (s,y et a 0 ( s,y nous fournit les équations fonctionnelles ξ(2s = ξ( 2s et

92 P. COLMEZ ξ(2s = ξ(2 2s qui se résument à ξ(s = ξ( s. Ceci termine la démonstration du théorème. 5. Non annulation sur la droite Re(s = Soit Γ = { ( n ±, n Z }. C est un sous-groupe de SL 2 (Z et on a 0 Im(γz = Im(z si z H et γ Γ. Lemme III.4.6. Si Re(s > 2 et z H, alors E(s,z = ξ(2s g Γ \SL 2 (Z Im(gz s. Démonstration. Commençons par constater que la somme dans le second membre a bien un sens puisque Im(γgz = Im(gz si γ Γ. Maintenant, si (c,d (0,0, on peut écrire (c,d de manière unique sous la forme (ec,ed, où e et (c,d = (e est donc le p.g.c.d. de c et d. Ceci nous permet d écrire E(s,z sous la forme E(s,z = Γ(s ( 2 π 2s e ( = ξ(2s y s + ( e 2s (c,d = (c,d = c y s c z + d 2s y s c z + d 2s. Le lemme de Bézout permet de montrer que, si c et d est premier à c, il existe a,b Z uniques tels que a d b c = et /2 < a /c /2. D autre part, tout élément de SL ( 2 (Z n appartenant pas à Γ peut s écrire de manière a b unique sous la forme γ, avec γ Γ, c et /2 < a /c /2. On en déduit la formule g Γ \SL 2 (Z ce qui permet de conclure. c d Im(gz s = y s + (c,d = c y s c z + d 2s, Proposition III.4.7. Soit f : H C une fonction faiblement modulaire telle qu il existe δ > 0 et C > 0 tels que l on ait f(x + iy Ce δy si y, et soit f(x + iy = n Z b n(ye 2iπx le développement de Fourier de f. Alors, quel que soit s 0,/2, on a Y f(ze(s,z dxdy y 2 = ξ(2s + 0 y s 2 b 0 (ydy.

ARITHMÉTIQUE DE LA FONCTION ZÊTA 93 Démonstration. Commençons par constater que la condition de décroissance à l infini que l on a imposée à f implique que l intégrale f(ze(s,z dxdy y 2 Y converge (du moins si E(s,z est défini, c est-à-dire si s 0,/2 et que la fonction s f(ze(s,z dxdy Y y 2 est une fonction holomorphe sur C {0,/2}. Comme par ailleurs, on a b 0 (y = 0 f(x + iydx, la fonction b 0(y est à décroissance rapide en l infini et en 0 grâce à l équation fonctionnelle f( /z = f(z. Ceci implique que s + 0 y s 2 b 0 (ydy est une fonction holomorphe sur C tout entier. Pour vérifier l égalité ci-dessus, il suffit donc de la vérifier pour Re(s > 2, le cas général s en déduisant par prolongement analytique. Or on a + y s 2 b 0 (ydy = f(zy s 2 dxdy, 0 où B = ]0,] ]0,+ [ H. Maintenant, B est un domaine fondamental de H modulo l action de Γ et, si on utilise l invariance de f et de la mesure dxdy y 2 sous l action de SL 2 (Z et le lemme III.4.6, on obtient Γ \H f(zy s 2 dxdy = ce qui permet de conclure. = = γ Γ \SL 2 (Z SL 2 (Z\H SL 2 (Z\H B SL 2 (Z\H γ Γ \SL 2 (Z f(z E(s,z dxdy ξ(2s y 2, f(γzim(γz s dxdy y 2 f(zim(γz s dxdy y 2 Théorème III.4.8. La fonction ζ ne s annule pas sur la droite Re(s = Démonstration. Si s 0 vérifie ζ(s 0 = 0 et Re(s 0 =, on a aussi ζ(s 0 = 0 à cause de l équation fonctionnelle ζ(s = ζ( s et de ce que ζ(s = ζ(s (on a s 0 = s 0. On en déduit le fait que a 0 (s 0 /2,y est nul quel que soit y et donc que E(s 0 /2,z = O(e ( ε2πy au voisinage de +, quel que soit ε > 0. On peut donc calculer le produit scalaire de Petersson de E(s 0 /2,z avec E(s,z pour tout s C {0,} et la proposition III.4.7 montre que ce produit scalaire est nul. On en déduit, en utilisant ce résultat pour

94 P. COLMEZ s = s 0 /2, que E(s 0 /2,z est identiquement nulle, ce qui est absurde car la fonction K s0 /2 n est pas identiquement nulle d après le lemme III.4.2 et le coefficient de Fourier a (s 0 /2,y n est donc pas identiquement nul. Remarque III.4.9. Ce théorème est une des étapes importantes de la démonstration d Hadamard du théorème des nombres premiers.. Généralités III.5. Opérateurs de Hecke Soient Γ G deux groupes. Si x G, on note xγ (resp. Γx le sousensemble de G des éléments de la forme xγ (resp. γx, avec γ Γ. Si X est un sous-ensemble de G, on note encore X la fonction caractéristique de X; on a donc X(x = (resp. X(x = 0 si x X (resp. si x / X. Si K est un corps, soit K[Γ\G/Γ] l espace vectoriel des fonctions ϕ : G K biinvariantes (i.e. ϕ(γx = ϕ(x et ϕ(xγ = ϕ(x quels que soient x G et γ Γ, et à support fini (i.e. il existe un ensemble fini I tel que ϕ = i I λ i Γx i. Remarquons que, si les x i ont des images distinctes dans Γ\G, les λ i sont uniquement déterminés. Proposition III.5. (i Si ϕ = i I λ i Γx i et ϕ = j J µ j Γy j sont deux éléments de [Γ\G/Γ], alors ϕ ϕ = λ i µ j Γx i y j (i,j I J est un élément de K[Γ\G/Γ] qui ne dépend pas du choix des x i, i I et des y j, j J. (ii K[Γ\G/Γ], muni de la structure de K-espace vectoriel et de la multiplication ainsi définie, est une algèbre associative admettant Γ comme unité. Démonstration. On peut supposer que les x i ont des images distinctes dans Γ\G (si x i et x i ont même image dans Γ\G, on a Γx i = Γx i en tant qu ensemble et donc aussi en tant que fonction et on peut regrouper ces deux termes. D autre part, si γ Γ, on a Γx i (xγ = Γx i γ(x ; ceci permet, en utilisant l identité λ i Γx i γ(x = λ i Γx i (xγ = ϕ(xγ = ϕ(x = λ i Γx i (x, i I i I i I de montrer qu il existe une permutation σ : I I telle que, si i I, alors λ i = λ σ(i et il existe γ i Γ tel que x i γ = γ i x σ(i. Passons à la démonstration du (i. Le choix des x i n influe, de manière évidente, pas sur le résultat, et on peut changer y j en γ j y j, avec γ j Γ.

ARITHMÉTIQUE DE LA FONCTION ZÊTA 95 D après la discussion précédente, si j J, il existe une permutation σ j : I I telle que, si i I, alors λ i = λ σj (i et il existe γ j,i Γ tel que x i γ j = γ j,i x σj (i. Notons (i,j I J le couple (σ j (i,j ; l application (i,j (i,j est une bijection de I J. On a alors λ i µ j Γx i γ j y j = λ i µ j Γx σj (iy j = λ i µ j Γx i y j, (i,j I J (i,j I J (i,j I J ce qui permet de montrer que le choix des y j n influe pas sur le résultat. Comme ϕ ϕ (γx = ϕ ϕ (x de manière évidente, il ne reste plus qu à démontrer que l on a aussi ϕ ϕ (xγ = ϕ ϕ (x. Comme précédemment, il existe une permutation τ : J J telle que, si j J, alors µ j = µ τ(j et il existe γ j Γ tel que y j γ = γ j y τ(j. On a alors ϕ ϕ (xγ = (i,j I J λ i µ j Γx i y j γ (x = (i,j I J λ i µ j Γx i γ j y τ(j (x, et comme µ j = µ τ(j, on peut faire le changement j = τ(j, pour réécrire cette dernière formule sous la forme λ i µ j Γx i γ j y j, (i,j I J et utiliser l invariance par rapport au choix des y j pour conclure. Le (ii est plus ou moins évident ; par exemple, l associativité découle immédiatement de l associativité de la multiplication dans G. 2. Opérateurs de Hecke Nous allons appliquer les résultats précédents à G = GL 2 (Q +, sous groupe de GL 2 (Q des matrices de déterminant > 0, et à Γ = SL 2 (Z. Lemme ( III.5.2. Si g G est à coefficients entiers, il existe γ Γ tel que a b γg =, avec a. De plus, a et d sont complètement déterminés par g, 0 d ainsi que la classe de b modulo d. ( a b Démonstration. Si g = c d, on peut trouver u,v Z premiers entre eux, tels que ua + vc = 0. On peut alors, grâce au théorème ( de Bézout, trouver x y x,y Z tels que xv uy = et prendre pour γ = ±, le signe étant u v choisi de telle sorte que a soit positif.

96 P. COLMEZ ( ( a b Maintenant, si γ g = a2 b et γ 2 g = 2, alors 0 d 0 d 2 γ γ 2 = (γ g(γ 2 g = ( ( ( a b a2 b 2 = 0 d 0 d 2 a /a 2 a 2 b a b 2 a 2 d 2 0 d /d 2 est à coefficients entiers. Ceci implique que a 2 divise a, d 2 divise d, et, comme a d = a 2 d 2 = det g et a, a 2, d, d 2 sont, on obtient les égalités a = a 2 et d = d 2. Finalement, b b 2 est divisible par d 2, ce qui termine la démonstration. Lemme III.5.3. Si n, ( soient T n l ensemble des éléments de M 2 (Z de n 0 déterminant n et R n = Γ. Alors T n et R n appartiennent à Q[Γ\G/Γ]. 0 n ( n 0 Démonstration. Le résultat est immédiat pour R n car commute 0 n à tout. La biinvariance de T n est une conséquence de la multiplicativité du déterminant et la formule suivante, conséquence immédiate du lemme précédent, montre que T n est à support fini, ce qui permet de conclure T n = ( a b Γ. 0 d a ad=n b mod d On note T Q la sous-q-algèbre de Q[Γ\G/Γ] engendrée par les T n et les R n, pour n. Théorème III.5.4 (i On a a R n R m = R nm quels que soient n,m ; b R n T m = T m R n quels que soient n,m ; c T n T m = T nm quels que soient n,m premiers entre eux; d T p rt p = T p r+ + pr p T p r si p est un nombre premier et r. (ii T Q est une algèbre commutative Démonstration. Commençons par montrer comment déduire le (ii du (i. Le d permet de montrer, par récurrence sur r, que T p r est un polynôme à coefficients entiers en T p et R p ; comme R p et T p commutent d après le b, cela permet de montrer que T p r et T p s commutent si r,s N. Les autres commutations sont immédiates en vertu des a, b et c.

ARITHMÉTIQUE DE LA FONCTION ZÊTA 97 Passons ( à la vérification du (i. Les points a et b découlent simplement n 0 de ce que commute à tout élément de G. Passons au c. On a 0 n T n T m = a ad=n a a d =m b mod d b mod d ( aa ab + bd Γ 0 dd Si m et n sont premiers entre eux, il en est, a fortiori, de même de a et d, et on est ramené à prouver que, si a et d sont premiers entre eux, si b (resp. b parcourt un système de représentants modulo d (resp. d, alors ab + bd parcourt un système de représentants modulo dd. Comme il y a le bon nombre d éléments, il suffit de vérifier que l application (b,b ab + bd modulo dd est injective. En regardant modulo d, et en utilisant le fait que a est inversible modulo d, on voit que, si ab + b d = ab 2 + b 2d mod. dd, alors b b 2 est divisible par d et donc b = b 2, puis que b b 2 est divisible par d et donc que b = b 2, ce qui permet de conclure. Reste le point d. On a T p r = r i=0 on obtient donc r T p rt p = Γ i=0 bmod p i. ( p b r i mod p i Γ b 0 p i et, en particulier, ( p 0 T p = Γ + ( c Γ ; 0 0 p cmod p ( p r+ i b 0 p i + r i=0 bmod p i cmod p Γ ( p r i pb + p r i c 0 p i+. Si on regroupe dans cette somme le premier terme et le morceau du second terme correspondant à i = r, on retrouve l opérateur T p r+ car pb + c décrit un système de représentants modulo p r+ si b (resp. c parcourt un système de représentants modulo p r (resp. p. On peut alors mettre R p en facteur dans ce qui reste, ce qui permet de le mettre sous la forme R p cmod p ( r Γ i=0 b mod p i ( p r i b + p r i c 0 p i. Comme b + p r i c parcourt un système de représentants modulo p i quand b parcourt un système de représentants modulo p i, on voit que la somme entre parenthèses est égale à T p r pour tout c, et donc que la quantité ci-dessus est aussi égale à pr p T p r. Ceci permet de conclure.

98 P. COLMEZ 3. Action des opérateurs de Hecke sur les formes modulaires ( a b On définit l action en poids k de γ = G sur une fonction c d f : H C par la formule f k γ(z = (det γk (cz + d k f(γz. (La puissance de det γ que l on introduit est destinée à supprimer les dénominateurs dans l action des opérateurs de Hecke ; un autre choix naturel consisterait à prendre la puissance k/2-ième pour rendre l action de G unitaire. Si ϕ = i I λ i Γg i Q[Γ\G/Γ] et f : H C vérifie f k γ = f pour tout γ Γ, on peut définir la fonction f k ϕ par la formule f k ϕ(z = i I λ i f k g i (z, ce qui ne dépend pas du choix des g i. Proposition III.5.5 (i Si f M k (resp. f S k et ϕ Q[Γ\G/Γ], alors f k ϕ M k (resp. f k ϕ S k ; (ii Si f M k et ϕ,ϕ 2 Q[Γ\G/Γ], alors f k (ϕ + ϕ 2 = f k ϕ + f k ϕ 2 et f k (ϕ ϕ 2 = (f k ϕ k ϕ 2. Démonstration. L invariance de f k ϕ par Γ et le (ii se démontrent comme la proposition III.5.. L holomorphie de f k ϕ étant une évidence, il ne reste plus ( a b qu à considérer le comportement au voisinage de i. Si γ = G, et c d si a/c = a /c avec a,c Z premiers ( entre eux ((a,c = (,0 si c = 0, a b soient b,d Z tels que γ = Γ. La matrice γ γ est alors de la c d ( a2 b forme 2 et on a 0 d 2 ( f k γ(z = f k γ γ(z = ak 2 d 2 f a2 z + b 2. d 2 On en déduit le fait que, si f est à croissance lente à l infini (resp. est nulle à l infini, alors f k γ est à croissance lente à l infini (resp. est nulle à l infini, ce qui termine la démonstration.

ARITHMÉTIQUE DE LA FONCTION ZÊTA 99 Lemme III.5.6. Si f M k et n, alors f k R n = n k 2 f; f k T n = n k a, ad=n b mod d d k f( az + b. d Démonstration. La première identité est évidente et la seconde suit du lemme III.5.2. Proposition III.5.7. Si f M k, si n et si m N, alors c m (f k T n = a a (n,m Démonstration. On a b mod d e2iπmb/d = formule b mod d d k f( az + b d a k c nm/a 2(f. { d si d m,. On en déduit la 0 sinon. + = d k c dl (fq al. Si a divise n, la contribution de b mod d d k f( az+b d à c m(f k T n est donc { n k d k c dm/a (f = a k c nm/a 2(f si a divise m, l=0 0 si a ne divise pas m. On en tire le résultat. La proposition précédente admet plusieurs cas particuliers intéressants Corollaire III.5.8. Si f M k, si n, alors (i c 0 (f k T n = σ k (nc 0 (f; (ii c (f k T n = c n (f; (iii Si f M k, si p est un nombre premier et si m N, alors { cpm (f si p ne divise pas m, c m (f k T p = c pm (f + p k c m/p (f si p divise m. Théorème III.5.9. Soit f M k {0} vecteur propre pour tous les opérateurs T n, n de valeur propre λ n. Alors, (i c (f 0; (ii si on a normalisé f de telle sorte que c (f =, alors λ n = c n (f pour tout n ; de plus les c n (f vérifient les relations (a c n (fc m (f = c nm (f si n et m sont premiers entre eux; (b c p r+(f c p (fc p r(f+p k c p r (f = 0 si p est un nombre premier et r.

00 P. COLMEZ Démonstration. D après le (i du corollaire III.5.8, on a c n (f = λ n c (f si n 0. En particulier, si c (f = 0, alors f est constante, ce qui est en contradiction avec l appartenance de f à M k {0}. Maintenant, si c (f =, on a c n (f = λ n et le reste du théorème est une traduction du théorème III.5.4. Corollaire III.5.0 (Théorème de multiplicité. Si f et g sont deux formes modulaires de poids k, vecteurs propres des T n avec la même valeur propre pour tout n, et si f et g sont normalisées (c (f = c (g =, alors f = g. Démonstration. Il suffit d appliquer le (i du théorème précédent à f g. Proposition III.5.. La série d Eisenstein G 2k (z = Γ(2k E ( 2iπ 2k 2k (z est une forme propre normalisée pour tous les T n, et on a (G 2k 2k T n = σ 2k (ng 2k. Démonstration. On a G 2k (z = Γ(2k ζ(2k + + ( 2iπ 2k m= σ 2k (mq m. En particulier, c (G 2k = et c m (G 2k = σ 2k (m si m. Pour démontrer la proposition, il suffit donc de prouver que G 2k est vecteur propre de T p pour la valeur propre σ 2k (p, ce qui se ramène à vérifier que, si p est un nombre premier, on a ( + p s d s d pm = ds si p ne divise pas m, d m d pm ds + p s d m d s si p divise m. p Ceci ne pose aucune difficulté. Théorème III.5.2. Si n, l opérateur T n, agissant sur S k muni du produit scalaire de Petersson, est hermitien. Démonstration. Cela résulte, par un calcul un peu pénible, de l invariance de la mesure hyperbolique sous l action de SL 2 (Z. (Pour se simplifier la vie, on peut se contenter de traiter le cas p premier. Théorème III.5.3. S k et M k admettent une base de formes propres pour tous les T n, n ; de plus, si on normalise ces formes propres, alors une telle base est unique à permutation près de ses éléments. Démonstration. L unicité d une telle base (à permutation près et modulo son existence est une conséquence du théorème de multiplicité. De plus, comme M k = CE k S k, et E k est une forme propre pour tous les T n, il suffit de traiter le cas de S k. Les T n étant hermitiens, ils sont diagonalisables (dans une base orthonormée, et, comme ils commutent deux à deux, on peut trouver une base dans laquelle ils agissent tous de façon diagonale, ce qui permet de conclure.

ARITHMÉTIQUE DE LA FONCTION ZÊTA 0 III.6. Fonctions L des formes modulaires. La transformée de Mellin Proposition III.6. (i Si ϕ : R + C une fonction continue telle qu il existe A > B tels que ϕ(t = O(t A au voisinage de t = 0 et ϕ(t = O(t B au voisinage de +, la transformée de Mellin Mel(ϕ,s de ϕ, définie par Mel(ϕ,s = + 0 ϕ(tt sdt t, est holomorphe sur la bande A < Re(s < B et bornée sur toute bande de la forme a < Re(s < b, avec A < a < b < B. (ii Si ϕ est de classe C r et si ϕ (r (t = O(t A r au voisinage de t = 0 et ϕ (r (t = O(t B r au voisinage de +, alors Mel(ϕ,s est O( s r sur toute bande de la forme a < Re(s < b, avec A < a < b < B. (iii Si de plus, r 2, on peut retrouver ϕ à partir de sa transformée de Mellin par la formule d inversion ϕ(x = 2iπ c+i c i où c est un élément quelconque de ] A, B[. Mel(ϕ,sx s ds, Démonstration. Le (i est immédiat et le (ii est une conséquence de la formule Mel(ϕ,s = ( r s(s + (s + r Mel(ϕ(r,s + r qui s obtient par intégration par partie. Finalement, si on note ψ c : R C la fonction définie par ψ c (x = ϕ(e x e cx, alors Mel(ϕ,c + iu = ψ c (u = + ψ c (xe iux dx, est la transformée de Fourier de ψ c. On déduit alors le (iii de la formule d inversion de Fourier ψ c (x = + ψ c (ue iux du, 2π l hypothèse r 2 suffisant à garantir que l on est dans les conditions d application de cette formule d inversion : on obtient c+i Mel(ϕ,sx s ds = + ψ c (ue c log x iulog x du 2iπ 2π c i = e c log x ψ c (log x = ϕ(x. Exercice III.6.2. Calculer c+i c i Γ(st s ds par la méthode des résidus ; retrouver la formule d inversion de Mellin pour e x.

02 P. COLMEZ 2. Transformée de Mellin des formes modulaires Si f = + m=0 c m(fq m M 2k, on définit la fonction L de f par la formule L(f,s = + m= c m (fm s, et on pose Λ(f,s = Γ(s (2π s L(f,s. Exemple III.6.3. La fonction L de la série d Eisenstein G 2k est donnée par la formule L(G 2k,s = ζ(sζ(s 2k +. Démonstration. On a G 2k (z = Γ(2k ( 2iπ 2k ζ(2k + + m= σ 2k (mq m, et donc Théorème III.6.4 L(G 2k,s = = + ( m= d ad=m + + a= d= d 2k (ad s a s d 2k s = ζ(sζ(s 2k +. (i La série définissant L(f,s converge absolument pour Re(s > 2k et définit une fonction holomorphe sur le demi-plan Re(s > 2k. (ii La fonction Λ(f,s vérifie les propriétés suivantes : (a elle admet un prolongement méromorphe à C tout entier; (b elle satisfait à l équation fonctionnelle Λ(f,s = ( k Λ(f,2k s; (c elle est holomorphe en dehors de pôles simples en s = 0, de résidu c 0 (f, et en s = 2k, de résidu ( k c 0 (f; (d elle tend vers 0 à l infini dans toute bande de la forme a<re(s<b. Démonstration. Le (i suit de la majoration c m (f = O(m 2k que nous n avons pas démontrée... Pour démontrer le (ii, considérons la fonction ϕ : R + C définie par ϕ(t = f(it c 0 (f. Cette fonction est C sur R +, vérifie l équation fonctionnelle ϕ(t = ( k t 2k ϕ(t + ( k t 2k c 0 (f c 0 (f, et est O(e 2πt au voisinage de +. Par ailleurs, on a + 0 e at t sdt t = Γ(sa s, si a > 0 et Re(s > 0. Ceci permet d écrire Λ(f,s comme la transformée de Mellin de ϕ, (du moins si Re(s > k, de manière que l on puisse intervertir

ARITHMÉTIQUE DE LA FONCTION ZÊTA 03 somme et intégrale. Coupant l intégrale de 0 à + en une intégrale de 0 à et une de à +, et faisant le changement de variable t t sur le premier morceau nous permet, en utilisant l équation fonctionnelle ci-dessus, d obtenir Λ(f,s = + = ( k + ϕ(t t sdt t + + 2k s dt ϕ(tt t + c 0(f ϕ(tt s dt t ( ( k s 2k s + + ϕ(tt sdt t. On en déduit les points (a, (b et (c. Le point (d s obtient en remarquant que l on a + ϕ(tt sdt t = ϕ( s s + ϕ (tt s+dt t, et que + ϕ (tts+ dt t est borné dans toute bande de la forme a < Re(s < b. Le théorème précédent admet une réciproque que voici : Théorème III.6.5. Soit (c m m N une suite de nombres complexes. Si la série de Dirichlet L(s = + n= c mm s converge absolument dans un demi-plan de la forme Re(s > A, et si la fonction Λ(s = Γ(s (2π L(s vérifie les propriétés s suivantes : (a elle admet un prolongement méromorphe à C tout entier; (b elle satisfait à l équation fonctionnelle Λ(s = ( k Λ(2k s; (c elle est holomorphe en dehors de pôles simples en s = 0 et en s = 2k, le résidu en s = 0 étant c 0 ; (d elle tend vers 0 à l infini dans toute bande de la forme a < Re(s < b; alors + m=0 c mq m M 2k. Démonstration. Soit f(z = + m=0 c mq m. L existence d un demi-plan de convergence pour la série de Dirichlet montre que f est holomorphe sur le demi-plan de Poincaré. Pour prouver que f M 2k, il suffit, car f est invariante par z z +, de prouver que la fonction g(z = z 2k f( z f(z est identiquement nulle sur H. Par prolongement analytique, il suffit de prouver que g est identiquement nulle sur ir +. Pour cela, considérons la fonction ϕ(t = f(it c 0 = + m= c me 2πmt. La fonction Λ(s est alors la transformée de Mellin de ϕ et la formule d inversion de Mellin nous donne, si c > A, ϕ(t ( k t 2k ϕ(t = 2iπ ( c+i c i Λ(st s ds ( k t 2k c+i c i Λ(st s ds.

04 P. COLMEZ Par ailleurs, l équation fonctionnelle Λ(s = ( k Λ(2k s nous donne ( k t 2k c+i c i Λ(st s ds = = c+i c i 2k c+i 2k c i Λ(2k st s 2k ds Λ(st s ds. Maintenant, la formule des résidus appliquée à l intégrale de Λ(st s sur le rectangle de sommets c it, c+it, 2k c+it et 2k c it, et un passage à la limite en faisant tendre T vers + [c est là que l on utilise l hypothèse (d], nous fournissent la formule ϕ(t ( k t 2k ϕ(t = Res s=0 Λ(st s + Res s=2k Λ(st s = c 0 + ( k t 2k c 0, ce qui permet de conclure. (L équation fonctionnelle Λ(s = ( k Λ(2k s montrant que le résidu en s = 2k de Λ(s est ( k c 0 si le résidu de Λ(s en 0 est c 0. 3. Opérateurs de Hecke et produits eulériens Théorème III.6.6. Si f M 2k est un vecteur propre pour tous les T n, n, et est normalisée, alors L(f, s admet une factorisation en un produit de facteurs d Euler L(f,s = c p (fp s + p 2k 2s. p premier Démonstration. Comme f est vecteur propre des T n, on a c m (f = i c p r i(f i si n = i pr i i est la décomposition en facteurs premiers de m. On obtient donc L(f,s = ( + c p (fp s + c p 2(fp 2s +. p premier D autre part, les c p r(f satisfont à une relation de récurrence linéaire de degré 2, et, si α p et β p sont les deux racines du polynôme X 2 c p (fx+p 2k =0, alors c p r(f = αp p r+ βp pr+ α p β p. On obtient donc + α pr+ p β pr+ p p rs + c p (fp s + c p 2(fp 2s + = α r=0 p β p ( α p = α p β p α p p s β p β p p s = ce qui permet de conclure. ( α p p s ( β p p s = c p (fp + p 2k 2s,

ARITHMÉTIQUE DE LA FONCTION ZÊTA 05 Le théorème III.6.6 permet de démontrer une forme forte du «théorème de multiplicité». Corollaire III.6.7. Si f,g M 2k vérifient les conditions : (a c (f = c (g = ; (b quel que soit p premier, f (resp. g est vecteur propre de T p pour la valeur propre λ p (resp. µ p ; (c λ p = µ p si p est assez grand ; alors f = g. Démonstration. Soit I l ensemble fini de nombres premiers tels que λ p µ p. La fonction h(s = L(f,s L(g,s = µ p p s + p 2k 2s λ p p s + p 2k 2s p I vérifie l équation fonctionnelle h(2k s = h(s d après le théorème III.6.4. Par ailleurs chacun des termes u p du produit vérifie l équation fonctionnelle u p (2k s = u p (s, et donc h(s est périodique de période. Comme h est une série de Dirichlet + n= a nn s, cela se traduit par na n = a n, pour tout n, ce qui implique que h est constante. On en déduit le résultat. Lemme III.6.8. Soit P p,i, i d, p premier, une famille de polynômes vérifiant les conditions suivantes (a P p,i (0 = quel que soient i et p ; (b si i j, il existe, quel que soit B > 0, un nombre premier p B, tel que P p,i et P p,j sont premiers entre eux; (c il existe des nombres complexes λ i, i d et des séries entières R p = a p,0 + a p, X+ C[[X]] avec a p,0 = pour p assez grand, tels que l on ait d λ i p P p,i(p s = R p (p s, p i= alors il existe A tel que l on ait P p,i (X = R p (X quel que soit p A et i d. Démonstration. Soient p P p,i(p s = + n= a i,n n s et R p (p s = La démonstration se fait par récurrence sur d. Si d i= p + n= b n n s λ i Q p P p,i(p s = 0, on peut faire passer un des termes de l autre coté et utiliser l hypothèse de récurrence. Sinon, il existe n tel que b n 0.

06 P. COLMEZ Si on fixe p premier ne divisant pas n et tel que R p (0 =, on a alors d λ i a i,n n s d P p,i (p s = + λ i a i,np k(np k s = b n n s R p (p s. i= i= k=0 En particulier, R p est une fraction rationnelle. Choisissons alors l assez grand pour que R l (0 = et qu il existe j j tels que P l,j et P l,j soient premiers entre eux. Soit P l,j = k Qn k k la décomposition de P l,j en facteurs premiers dans C[X]. Soit α i (resp. β le coefficient de Q n dans la décomposition en éléments simples de P l,i (X (resp. R l(x. Comme P l,j est premier à P l,j, on a α j = 0 et on obtient λ i α i p l P p,i(p s = β R p (p s, p l i j ce qui permet d utiliser l hypothèse de récurrence pour conclure. Théorème III.6.9. Soit f M 2k. Si L(f,s admet une factorisation du type L(f,s = p premier L p(f,s, où L p (f,s = + c p, p s + c p,2 p 2s + est une série de Dirichlet ne faisant intervenir que des puissances de p, alors f est vecteur propre pour tous les T n, n, et est normalisée. Démonstration. C est une conséquence du lemme précédent, en écrivant f sous la forme i λ if i, où les f i sont des vecteurs propres normalisés de tous les T n. 4. Torsion par un caractère de Dirichlet Définition III.6.0. Si f est une forme modulaire de poids 2k pour SL 2 (Z et χ est un caractère de Dirichlet de conducteur m, on appelle tordue de f par le caractère χ la fonction f χ donnée par la formule f χ (z = + n= χ(nc nq n. Lemme III.6.. G(χf χ (z = a mod m χ(af(z + a m. Démonstration. Un calcul immédiat nous donne a mod m χ(af(z + a + m = G(χ,nq n, n= ce qui, utilisant le lemme I.5., permet de conclure. Proposition III.6.2. G(χf χ ( m 2 z = (mz2k χ( G(χ f χ (z.

ARITHMÉTIQUE DE LA FONCTION ZÊTA 07 Démonstration. Soit a premier à m. On part de la formule f( m 2 z + a m = f(maz m 2 = (mz 2k( ( ma f 2k z m 2 (z. 0 D autre part, on a ( ma m 2 = 0 ( a ay+ m m y ( m y 0 m et si on a choisit y Z ( tel que ay + 0 mod m (ce qui est possible car a ay+ (a, m =, la matrice m appartient à SL 2 (Z et donc m y ( ( ma ( ( m y f 2k m 2 (z = f 2k (z = f(z + y 0 0 m m. On obtient donc, en remarquant que χ(a 0 implique a premier à m et que χ(a = χ ( y si ay + mod. m, G(χf χ ( m 2 z = ce qu il fallait démontrer. a mod m = (mz 2k χ(af( m 2 z + a m y mod m χ ( yf(z + y m = (mz 2k χ( G(χ f χ (z, Exercice III.6.3. Montrer que f χ S 2k (m 2,χ 2 Si χ est un caractère de Dirichlet de conducteur m, on pose L(f,χ,s = + n= χ(nc n n s et Λ(f,χ,s = m s Γ(s (2π s L(f,χ,s. Si f est une forme propre pour les opérateurs de Hecke et normalisée, alors L(f,χ,s = p c p (χ(pp s + p 2k (χ(pp s 2. Proposition III.6.4. Λ(f, χ, s et donc L(f, χ, s a un prolongement analytique à C tout entier et vérifie l équation fonctionnelle Λ(f,χ,s G(χ = ( k χ( Λ(f,χ,2k s G(χ.

08 P. COLMEZ Démonstration. On a Λ(f,χ,s = + 0 f χ (i t dt m ts t et le prolongement analytique s obtient en utilisant la décroissance rapide de f au voisinage de 0 et de i. D autre part, + 0 f χ (i t m tsdt t = + 0 χ( G(χ G(χ (it 2k f χ ( itm tsdt t et l équation fonctionnelle s obtient en changeant t en /t dans l intégrale. III.7. Formes de niveau supérieur Ce est un résumé, sans démonstration de la théorie en niveau N. Les énoncés sont assez similaires à ceux que l on rencontre en niveau. On ne s intéresse qu au cas du caractère trivial, mais les énoncés pour S k (Γ 0 (N,χ, χ : (Z/NZ C sont juste plus visuellement compliqués.. Opérateurs de Hecke et d Atkin-Lehner Si (n,n =, on définit l opérateur T n sur S k (Γ 0 (N par la formule f k T n (z = n k d k f( az + b. d a, ad=n b mod d Si p est un nombre premier divisant N, on définit un opérateur U p : S k (Γ 0 (N S k (Γ 0 (N par la formule f k U p (z = f( az + b p p b mod p et une involution w N : S k (Γ 0 (N S k (Γ 0 (N par ( f k w N (z = N k/2 z k f. Nz Lemme III.7.. Si dm N et si f S k (Γ 0 (M, alors f d S k (Γ 0 (N, où f d : H C est la fonction définie par f d (z = f(dz. Démonstration. Calcul immédiat. On dit que f est nouvelle de niveau N si f S k (Γ 0 (N est orthogonale, pour le produit scalaire de Petersson, à toute forme du type g d, où g S k (Γ 0 (M et dm N, M N. On note S new k (Γ 0 (N le sous-espace des formes nouvelles de niveau N. On dit que f S k (Γ 0 (N est primitive si f est nouvelle de niveau N, f est vecteur propre de tous les T n, (n,n =, f est normalisée (i.e. c (f =.

ARITHMÉTIQUE DE LA FONCTION ZÊTA 09 Théorème III.7.2 (i La sous-algèbre de End(S k (Γ 0 (N engendrée par les T n, (n,n =, les U p, p premier divisant N, et w N est commutative. (ii Les T n, (n,n = agissent de manière hermitienne sur S k (Γ 0 (N. (iii S new k (Γ 0 (N admet une base formée de formes primitives. De plus, si f = + m= c m(fq m est un élément de cette base, alors f est aussi vecteur propre des U p, pour p N, et de w N, et on a (a f k T n = c n (ff et c m (fc n (f = c nm (f si (n,m = ; (b c p r+(f c p (fc p r(f + p k c p r (f = 0 si p est un nombre premier ne divisant pas N et r ; (c f k U p = c p (ff et c p r(f = (c p (f r si p est un nombre premier divisant N; (d f k w N = ε f f, avec ε f {±}. (iv Si f S k (Γ 0 (N et g S k (Γ 0 (M sont primitives et si c p (f = c p (g en dehors d un nombre fini de nombres premiers, alors N = M et f = g. (v Si M N, soit f M,i, i I M une base de S new k (Γ 0 (M formée de formes primitives. Alors on obtient une base de S k (Γ 0 (N formée de vecteurs propres pour tous les T n, (n,n =, en prenant les fonctions de la forme f M,i (dz, où M parcourt les diviseurs de N et d les entiers tels que dm N. 2. Fonctions L Théorème III.7.3. Soit f = + m= c m(fq m une forme primitive de niveau N et ε f {±} tel que f k w N = ε f f. Soient L(f,s = + m= ( c m (fm s N sl(f,s. et Λ(f,s = Γ(s 2π (i L(f,s admet une factorisation en produit de facteurs d Euler L(f,s = p N c p (fp s (p,n= c p (fp s + p k 2s. (ii La fonction Λ(f,s admet un prolongement analytique à tout le plan complexe, tend vers 0 à l infini dans toute bande verticale a < Re(s < b et vérifie l équation fonctionnelle Λ(f,s = i k ε f Λ(f,k s.

0 P. COLMEZ Plus généralement, si (D,N =, et si χ est un caractère de Dirichlet de conducteur D, alors (i (ii (iii (iv f χ = + m= χ(mc m (fq m S k (Γ 0 (ND 2,χ 2 ; χ( NG(χf χ ( ND 2 z = (D Nz k ε f G(χ f χ (z, L(f χ,s = χ(pc p (fp s χ(pc p (fp s + χ(p 2 p k 2s p N (p,n= ( D N sl(fχ Λ(f χ,s = Γ(s,s 2π vérifie l équation fonctionnelle χ( N Λ(f χ,s G(χ = i k ε f Λ(f χ,s G(χ. Réciproquement, si (c m m est une suite de nombres complexes telle que la série + m= c m m s converge absolument dans un demi-plan Re(s > A, et vérifie les propriétés ci-dessus, pour tout caractère de Dirichlet de niveau D premier à N, alors + m= a mq m est une forme primitive de niveau N. III.8. Fonctions zêta de Hasse-Weil Soit Λ une algèbre de type fini sur Z; il existe donc d N et un idéal I de Z[X,...,X d ] tels que l on ait Λ = Z[X,...,X d ]/I. Proposition III.8.. Si m est un idéal maximal de Λ, alors Λ/m est un corps fini. La proposition précédente permet de considérer les séries de Dirichlet ζ Λ (s = m ( Λ/m s et ζ Λ,p (s = m p( Λ/m s, si p est un nombre premier. Ces séries sont des produits de séries de Dirichlet à coefficients positifs et la fonction ζ Λ (s se factorise en produit de facteurs d Euler sous la forme ζ Λ (s = p ζ Λ,p (s.

ARITHMÉTIQUE DE LA FONCTION ZÊTA. Nombre de points des variétés sur les corps finis L anneau Z[X,...,X d ] étant noethérien, l idéal I possède un système fini de générateurs. Si f,...,f n est un tel système, on peut s intéresser aux solutions du système f (x = = f n (x = 0 dans différents corps. Comme nous le verrons plus loin, la fonction ζ Λ (s est fabriquée à partir du nombre de solutions de ce système dans les différents corps finis. Considérons en particulier les variétés algébriques V et V p, pour p premier, définie par Si r, soit V = {x = (x,...,x d C d, f (x = = f n (x = 0}, V p = {x = (x,...,x d F p d, f (x = = f n (x = 0}. N p,r = V p (F p r = {(x,...,x d V p, x i F p r si i d}. On définit la fonction zêta de V p par la formule ( + Z Vp (T = exp r= N p,r r Tr. Théorème III.8.2 (i Z Vp (T Q(T (ii Si I Z = 0, il existe M 0, tel que, si p M, alors on peut écrire Z Vp (T sous la forme 2d i=0 P i,p (T Q i,p (T, où, si 0 i 2d, P i,p et Q i,p sont des polynômes à coefficients entiers dont le terme constant est égal à, et dont tous les zéros sont de valeur absolue p i/2. De plus, deg P i,p deg Q i,p ne dépend que de la géométrie de V ; en particulier, deg P i,p deg Q i,p ne dépend pas de p M. Commentaire. Le théorème ci-dessus est une version imprécise des conjectures de Weil (949 sur le nombre de points des variétés algébriques sur les corps finis. Le (i a été démontré par Dwork (962 par une méthode très astucieuse et «élémentaire». L existence d une décomposition naturelle de Z Vp (T sous la forme 2d i=0 P i,p (T Q i,p (T telle que deg P i,p deg Q i,p ne dépende que de la géométrie de V a été démontrée par Grothendieck (964 comme aboutissement d un énorme programme qui a totalement révolutionné les mathématiques. Finalement, le fait que les zéros de P i,p et Q i,p sont de valeur absolue p i/2, «hypothèse de Riemann sur les corps finis», a été démontré par Deligne (973. 2. La conjecture de Hasse-Weil Pour faire le lien entre Z Vp (T et le facteur d Euler ζ Λ,p de ζ Λ en p, nous aurons besoin du résultat suivant qui est une des formes du «théorème des

2 P. COLMEZ zéros de Hilbert». Si m est un idéal maximal de Λ tel que la caractéristique du corps Λ/m est p, soit V m = {x V p, f(x = 0 quel que soit f m}. Proposition III.8.3. Si p est un nombre premier, l application m V m induit une bijection de l ensemble des idéaux maximaux de Λ contenant p sur l ensemble des orbites de V p sous l action de G p = Gal(F p /F p. De plus, si m est un idéal maximal de Λ contenant p, alors le cardinal de V m est égal au degré du corps résiduel Λ/m sur F p. Proposition III.8.4. On a ζ Λ,p (s = Z Vp (p s. Démonstration. Si x = (x,...,x d V p, soit d(x = [F p [x,...,x d ] : F p ]; c est le degré du corps de définition de x. Si r N, soit N p,r = {x V p, d(x = r}. Comme les sous-corps de F p e sont les F p r, avec r e, on a N p,e = r e N p,e. Maintenant, comme les idéaux maximaux de Λ contenant p sont en bijection avec les idéaux maximaux de Λ p, et donc aussi avec les orbites de V p sous l action de G p, et comme l orbite d un point x V p contient d(x éléments, on a ζ Λ,p (s = x V p/g p ( (p d(x s = x V p ( p d(xs /d(x = ( + = exp r= ce qui permet de conclure. N p,r r + p drs d= d + r= ( p rs N p,r/r ( + = exp e= p es e ( r e N p,r Comme le nombre de points de V p (F p r est p dr, cela permet de démontrer que le produit définissant ζ Λ (s converge absolument pour Re(s > d + et donc définit une fonction holomorphe sur le demi-plan Re(s > d +. Conjecture III.8.5 (i ζ Λ (s admet un prolongement méromorphe à tout le plan complexe, dont les zéros et les pôles se situent aux entiers d+ et sur les droites Re(s = i/2, 0 i 2d +.

ARITHMÉTIQUE DE LA FONCTION ZÊTA 3 P i,p (p s Q i,p (p s en (ii Plus précisément, si on fixe i, on peut compléter p M une fonction L Λ,i (s en la multipliant par un produit de facteurs d Euler pour p < M et par un produit de facteurs Gamma [i.e. un produit de facteurs du type π (s+k/2 Γ( s+k 2 ] ne dépendant que de la géométrie de V, de telle sorte que a L Λ,i (s ait un prolongement méromorphe à tout le plan complexe et une équation fonctionnelle du type L Λ,i (s = ±N s i un entier dont tous les diviseurs premiers sont M, L Λ,i (i + s, où N i est b les zéros et les pôles de L Λ,i (s sont tous sur la droite Re(s = i+ 2 (et en i 2, i 2 + si i est pair. Commentaire. Cette conjecture est presque un théorème si I Z {0} d après le théorème III.8.2 et la proposition III.8.4. Par contre, dans le cas où I Z = {0}, la conjecture (ii a n a été démontrée que dans des cas très particuliers, le plus célèbre étant celui correspondant à la conjecture de Taniyama-Weil. Quant au (ii b, «hypothèse de Riemann généralisée», il n a été démontré dans aucun cas! 3. Exemples Si Λ = Z, on retombe sur la fonction zêta de Riemann ζ(s. Plus généralement, si F est un corps de nombres et Λ est l anneau des entiers de F, alors ζ Λ (s est la fonction zêta de Dedekind de F. Si Λ = Z[X,...,X d ], on a I = 0 et V p = F p d, et donc Vp (F p r = F d p r et N p,r = p dr. Ceci nous donne et donc ζ Λ (s = ζ(s d. ( + Z Vp (T = exp r= p dr r Tr = ( p d T, Si Λ = Z[X]/(2X = Z[ 2 ], les idéaux maximaux de Λ sont ceux de Z moins l idéal (2 puisqu on a rendu 2 inversible. On obtient donc ζ Λ (s = ( 2 s ζ(s. Si Λ = Z[X]/(2X, on a V p = {0} et ζ Λ,p (s = ( p s si p 2, et V 2 = F 2 et ζ Λ,2 (s = ( 2 s, ce qui nous donne ζ Λ (s = 2 s ζ(s. 2 s Si P(X = X(X N et Λ = Z[X]/P, alors V p = {0,N} F p a deux éléments et ζ Λ,p (s = ( p s 2 si p ne divise pas N, et un seul et ζ Λ,p (s = ( p s, si p divise N, on obtient donc ζ Λ (s = ζ(s 2 p N ( p s. Plus généralement, si P Z[X] est un polynôme non constant, si P = P k Pkr r est sa décomposition en facteurs irréductibles dans Q[X], si F i est

4 P. COLMEZ le corps de nombres Q[X]/P i et si Λ = Z[X]/P, alors ζ Λ (s ne diffère de r i= ζ F i (s que par un nombre fini de facteurs d Euler. Si Λ est monogène sur Z (i.e. est un quotient de Z[X], le théorème I.6. permet donc de démontrer une bonne partie de la conjecture III.8.5. C est très loin d être le cas dans le cas non monogène. Par exemple, si Λ = Z[X,Y]/P, la fonction ζ Λ (s s exprime en termes de fonctions zêta de Dedekind si deg P 2, mais ce n est plus le cas (en général, si deg P 3. Si deg P 4, on ne sait traiter que des cas particuliers très spéciaux et le cas deg P = 3 vient en grande partie d être résolu par Wiles et ses successeurs (Breuil, Conrad, Diamond et Taylor qui ont démontré la conjecture de Taniyama-Weil : de manière (imprécise, on a le résultat suivant. Théorème III.8.6. Si α,β,γ Z, si P(X,Y = Y 2 X 3 αx 2 βx γ, et si Λ = Z[X,Y]/P, alors il existe un entier N P («explicite» et une forme modulaire f P parabolique primitive de poids 2 pour Γ 0 (N P tels que ζ Λ (s ne diffère de L(f P,s ζ(s que par un nombre fini de facteurs d Euler. Ce théorème, couplé avec la «conjecture ε» de Serre, démontrée par Ribet, a des retombées assez spectaculaires. La «conjecture ε» décrit les congruences que l on peut avoir entre les coefficients de Fourier de deux formes paraboliques primitives pour des poids et des niveaux différents (les coefficients de Fourier d une forme parabolique primitive sont des entiers d une extension finie de Q. Si p 5 est un nombre premier, si a,b,c sont des entiers non nuls tels que a p + b p = c p, si P(X,Y = Y 2 X(X a p (X + b p, et si f P = + n= a nq n, alors la «conjecture ε» garantit l existence d une forme modulaire parabolique g = + n= b nq n, de poids 2 pour Γ 0 (2 ou Γ 0 (, telle que, si F est le corps de nombres obtenu en adjoignant les b n à Q, alors N F/Q (a n b n est divisible par p quel que soit n (plus précisément, il existe un idéal premier p de O F divisant p tel que a n soit congru à b n modulo p pour tout n. Comme a = et comme une forme parabolique de poids 2 pour Γ 0 (2 ou Γ 0 ( est identiquement nulle, cela conduit à une contradiction ; on en déduit le théorème de Fermat.

ARITHMÉTIQUE DE LA FONCTION ZÊTA 5 CHAPITRE IV LES NOMBRES p-adiques. Normes et valuations IV.. Généralités sur les corps normés Définition IV... Soit K un corps. Une norme sur K est une application x x de K dans R + vérifiant les 3 propriétés suivantes (i x = 0 x = 0. (ii xy = x y. (iii x + y x + y Si vérifie la condition (iii x+y sup( x, y plus forte que la condition (iii, on dit que la norme est ultramétrique. Définition IV..2. Si K est un corps, une valuation v sur K est une application v : K R + {+ } vérifiant les trois conditions suivantes : (i v(x = + x = 0. (ii v(xy = v(x + v(y. (iii v(x + y inf(v(x,v(y. Remarque IV..3 (i Si K est un corps muni d une norme ultramétrique et si λ < 0, alors v : K R + {+ } défini par v(x = λlog x est une valuation sur K. (ii Réciproquement, si v est une valuation sur K et 0 < a <, alors x = a v(x est une norme ultramétrique sur K. Lemme IV..4. Si est ultramétrique et x y, alors x + y = sup( x, y. Démonstration. Quitte à permuter x et y, on peut supposer x > y. On a alors x + y x = (x + y y sup( x + y, y et comme y < x, on en déduit l égalité sup( x + y, y = x + y, ce qui permet de conclure. Proposition IV..5. Si K est un corps et est une norme ultramétrique sur K, alors O K = {x K x = } est un anneau local d idéal maximal m = {x K x < }. Démonstration. Le fait que O K soit un anneau et m un idéal est une conséquence immédiate de l inégalité ultramétrique. D autre part, si x est un élément de O K n appartenant pas à m, alors x = et x est un élément

6 P. COLMEZ de K de norme donc appartient à O K, ce qui prouve que O K m n est autre que le groupe des unités O K de O K et permet de conclure. Définition IV..6. L anneau O K s appelle l anneau des entiers de K et le corps O K /m le corps résiduel de K. 2. Topologie associée à une norme Si K est un corps muni d une norme, et x,y sont deux éléments de K, on pose d(x,y = x y. La propriété (iii des normes assure que d est une distance sur K et donc définit une topologie sur K Remarque IV..7. Si est ultramétrique, alors (i Tout triangle est isocèle. (ii Tout point d une boule en est «le» centre. (iii Deux boules sont soit disjointes soit l une est contenue dans l autre (comme des billes de mercure. (iv Les boules sont à la fois ouvertes et fermées. (v La topologie est totalement discontinue. Démonstration. Le (i est une conséquence immédiate du lemme IV..4. Si x B(x 0,r et y B(x,r, alors d(x 0,y sup(d(x 0,x,d(x,y r et donc B(x,r B(x 0,r. L inclusion dans l autre sens s obtient en échangeant les rôles de x 0 et x, ce qui permet de démontrer le (ii. D après le (ii, si deux boules ont une intersection non vide, tout élément de l intersection est le centre des deux boules ce qui démontre le (iii. Le (v est une conséquence immédiate du (iv et si B est une boule ouverte de rayon r, le complémentaire de B contient la boule de rayon r 2 autour de chacun de ses points d après le (iii, ce qui montre que ce complémentaire est ouvert et donc que B est fermée. Si B est une boule fermée, alors B est un voisinage de chacun de ses points puisque ceux-ci en sont «le» centre. Définition IV..8. Deux normes sur un corps K sont dites équivalentes si elle définissent la même topologie. Proposition IV..9. Deux normes et 2 sont équivalentes si et seulement si il existe s R + tel que l on ait x = x s 2 quel que soit x K. Démonstration. Si x est une norme sur un corps K, alors x < si et seulement si la suite de terme général x n tend vers 0 quand n tend vers +. On en déduit le fait que si et 2 sont équivalentes, alors {x K x < } = {x K x 2 < }.

ARITHMÉTIQUE DE LA FONCTION ZÊTA 7 Si ce dernier ensemble est réduit à {0}, on a x = x 2 = quel que soit x K. Sinon, soit x K vérifiant x <. Si y K, a Z et b N, alors y b x a < y b x a 2 <. On en déduit le fait que { r Q r < log y } { = r Q r < log y } 2 log x log x 2 et donc que les réels log y /log x et log y 2 /log x 2 définissent la même coupure de Dedekind et sont donc égaux, ce qui montre que la fonction y log y /log y 2 est constante sur K et permet de conclure. 3. Complétion Si K est un corps normé, on note K l ensemble des suites de Cauchy à valeurs dans K, c est-à-dire l ensemble des suites (a n n N telles que ε > 0, N N, n N et k N, a n a n+k < ε. Soit I K l ensemble des suites tendant vers 0. Lemme IV..0 (i Si (a n n N K, alors la suite ( a n n N converge dans R +. (ii Si on suppose de plus que est ultramétrique et que a / I, alors la suite ( a n n N est constante à partir d un certain rang. (iii Si a = (a n n N et b = (b n n N sont deux éléments de K différant par un élément de I, alors lim a n = lim b n. n + n + Démonstration (i L inégalité triangulaire implique a n+k a n a n+k a n quels que soient n et k et la suite de terme général a n est de Cauchy, ce qui permet de conclure. (ii Si a = (a n n N K I, il existe δ > 0 tel que l on ait a n δ pour une infinité de n et la limite de la suite a n est donc supérieure ou égale à δ. Il existe donc N N tel que si n N, alors a n > 2 3 δ et a n+k a n < δ/2 quel que soit k N. Ceci implique a n+k a n < a n et donc, comme est supposée ultramétrique, a n+k = a n quel que soit k N ; d où le résultat. (iii On a a n b n a n b n et l hypothèse implique que cette dernière suite tend vers 0 d où le résultat. Lemme IV... K est un anneau et I est un idéal maximal de K.

8 P. COLMEZ Démonstration. Le fait que K est un anneau et I un idéal est immédiat. L élément unité de K est la suite constante dont tous les termes sont égaux à. Si a = (a n n N K I, d après ce qui précède, il existe δ > 0 et N N tels que l on ait a n δ si n N. La suite b = (b n n N définie par b n = 0 si si n N est de Cauchy et ab est élément de I, ce qui montre que a est inversible dans K/I et permet de conclure au fait que I est maximal. n < N et b n = a n Il résulte du lemme précédent que K = lemme IV..0, que s étend à K. K/I est un corps et du Proposition IV..2. est une norme sur K et K est complet pour cette norme et contient K comme sous-corps dense. Démonstration. La multiplicativité de la norme et l inégalité triangulaire (resp. ultramétrique passent à la limite. D autre part, a = 0 lim n + a n = 0 a I et donc est une norme sur K qui est ultramétrique si est ultramétrique sur K. Il est clair que, si a = (a n n N K, alors a = lim n + a n dans K et donc que K est dense dans K. Finalement, si (a n n N est une suite de Cauchy dans K, comme K est dense dans K, on peut trouver pour chaque n un élément b n de K tel que l on ait a n b n 2 n et la suite b n est de Cauchy dans K donc converge dans K vers une limite qui est aussi celle de la suite (a n n N ; ce qui prouve que K est complet. Remarque IV..3 (i Si K est ultramétrique, il résulte du (ii du lemme IV..0 que K = K et donc que K est un sous-groupe de R + qui n a aucune raison d être complet. (ii L inégalité ultramétrique montre qu une suite (u n n N est de Cauchy si et seulement si u n+ u n tend vers 0. Ceci implique que, si K est un corps ultramétrique complet, une suite (u n n N converge dans K si et seulement si u n+ u n tend vers 0. De même, une série converge si et seulement si son terme général tend vers 0. Définition IV..4. Le corps K (muni de la norme s appelle le complété de K pour la norme. 4. Le lemme de Hensel Soit K un corps complet pour une norme ultramétrique. La proposition suivante (lemme de Hensel est très utile pour localiser les zéros des polynômes à coefficients dans K.

ARITHMÉTIQUE DE LA FONCTION ZÊTA 9 Proposition IV..5. Si f O K [X] et α O K vérifie f(α < f (α 2, alors il existe α O K unique vérifiant les conditions α α < f(α/f (α et f( α = 0. Démonstration. Soit ϕ : K K la fonction définie par ϕ(x = x f(x/f (α et soit δ = f(α/f (α. Nous allons montrer que ϕ est une application contractante de la boule fermée B(α,δ dans elle-même, ce qui permet de conclure car, cette boule étant complète, l unique point fixe de ϕ est le α que l on cherche. Commençons par remarquer que, si g O K [X] et x,y O K, alors g(y k i=0 g (i (x (y x i y x k+ i! d après la formule de Taylor pour les polynômes car le polynôme g (i (x/i! est à coefficients dans O K quel que soit i N et sa valeur absolue est donc en un point de O K. En particulier, on a f(x f(α sup( f (α x α, x α 2 f (α x α, si x α δ < f (α ; ceci permet de montrer que ϕ laisse stable B(α,δ. De plus, on a f (α(ϕ(x ϕ(y = f(y f(x f (x(y x + (f (x f (α(y x sup( f(y f(x f (x(y x, (f (x f (α(y x sup( y x 2, x α y x δ y x, si x,y B(α,δ ; comme δ < f (α, cela permet de conclure. Remarque IV..6. La démonstration ci-dessus est la version ultramétrique de l algorithme de Newton. Corollaire IV..7. Soit f O K [X] un polynôme unitaire et soit f la réduction de f modulo m. Si α est une racine simple de f dans k, alors il existe α O K unique, dont la réduction modulo m est α et qui vérifie f( α = 0 Démonstration. Soit α O K dont la réduction modulo m est α. L hypothèse selon laquelle α est racine simple de f se traduit par f(α < et f (α =, ce qui permet d utiliser la proposition IV..5 pour conclure.. Normes sur Q IV.2. Construction du corps C p Si p est un nombre premier, on note v p : Q Z la valuation p-adique : si a est un entier, v p (a est le plus grand entier n tel que p n divise a, et

20 P. COLMEZ v p (b a = v p (a v p (b si a et b sont des entiers. Il n est pas difficile de vérifier que v p est bien définie et est une valuation sur Q (en posant v p (0 = +. On définit la norme p-adique p sur Q par la formule x p = p vp(x. Théorème IV.2. (Ostrowski. Une norme non triviale sur Q est équivalente à la norme usuelle ou à la norme p-adique pour un nombre premier p. Démonstration. Commençons par supposer qu il existe k N tel que k >. Comme =, l inégalité triangulaire implique k k et il existe α ]0,] tel que l on ait k = k α. Soit m N. On peut écrire m en base k sous la forme m = n i=0 a ik i avec a i {0,,...,k } et a n 0 de telle sorte que l on a m k n. Comme a i a i k et k i = k i, on obtient la majoration m (k n i= k iα = k k α (k(n+α kα (k k α knα Cm α, où C = k α (k /(k α est indépendant de m. On peut appliquer cette inégalité à m n, ce qui nous donne m n Cm nα et, prenant la racine n-ième de cette égalité et passant à la limite, l inégalité m m α. On a donc log m log m log k log k quel que soit m N. Par symétrie, on en déduit le fait que si m >, alors cette inégalité est une égalité. Maintenant, si m N {0} est quelconque, il existe n N tel que l on ait k n m >. On a alors m = k n k n m = k αn (k n m α = m α, ce qui montre que l on a égalité quel que soit m N puis, utilisant la multiplicativité de la norme et le fait que =, que x = x α quel que soit x Q. On en déduit que s il existe k N tel que k >, alors est équivalente à la norme usuelle. Dans le cas contraire, on a l pour tout nombre premier l. Comme on a supposé non triviale, il existe au moins un nombre premier p tel que p <. Si il en existe un autre q, alors quel que soit n N, on peut, d après le théorème de Bézout, trouver u n,v n Z tels que l on ait u n p n + v n q n =. On obtient donc = = u n p n + v n q n u n p n + v n q n p n + q n, ce qui est impossible pour n assez grand. Il existe donc un et un seul nombre premier p tel que p < et est équivalente à la norme p-adique. Ceci termine la démonstration.

ARITHMÉTIQUE DE LA FONCTION ZÊTA 2 Le résultat suivant est trivial (c est une conséquence immédiate de l unicité de la décomposition d un entier en produit de facteurs premiers, mais très important; c est ce qui justifie la normalisation utilisée pour p Théorème IV.2.2 (Formule du produit. Si x Q, alors x x p =. 2. Le corps Q p et l anneau Z p p premier On note Q p le complété de Q pour la norme p-adique et Z p l anneau de ses entiers. Son idéal maximal est pz p car Q p p = Q p = p Z et donc, si x p <, alors x p p. Il ressort de la discussion générale que Q p est un corps ultramétrique complet et qu une série converge dans Q p si et seulement si son terme général tend vers 0. Lemme IV.2.3. L application naturelle de Z/p n Z dans Z p /p n Z p est un isomorphisme. Démonstration. Si x est un élément de Z p n Z p, on a x p p n, ce qui signifie que v p (x n et donc que x est divisible par p n dans Z. On en déduit l injectivité. Prouvons sa surjectivité. Soit x Z p /p n Z p et x Z p ayant pour image x modulo p n. Comme Q est dense dans Q p, il existe r Q vérifiant x r p p n ; en particulier r p. Écrivons r sous la forme a/b avec a,b Z. Comme r p, on a v p (b v p (a et quitte à tout diviser par p vp(b, on peut supposer (b,p =. Soit c l inverse de b dans Z/p n Z et c Z dont la réduction modulo p n est c. On a alors r ac p = a p bc p p n et donc x ac p p n, ce qui prouve que ac a pour image x dans Z p /p n Z p et permet de conclure. On déduit de ce lemme une autre description, plus algébrique, de l anneau Z p. On aurait d ailleurs pu partir de cette construction, et inverser p pour obtenir Q p ; les deux approches ont leurs avantages. Corollaire IV.2.4. L application qui à x Z p associe la suite (x n n N de ses images modulo p n, n N induit un isomorphisme d anneaux topologiques de Z p sur la limite projective des Z/p n Z (l ensemble des suites (x n n N, où x n Z/p n Z et x n+ a pour image x n par l application naturelle (de réduction modulo p n de Z/p n+ Z dans Z/p n Z. Théorème IV.2.5 (i Z p est compact et Q p est localement compact. (ii Tout élément de Z p peut s écrire de manière unique sous la forme + n=0 pn a n où a n {0,,...,p }.

22 P. COLMEZ (iii N est dense dans Z p ; plus généralement, si b Z est premier à p et a Z, a + bn est dense dans Z p. Démonstration. Le (i suit du corollaire précédent : Z p est un fermé d un produit de compacts (et même d ensembles finis; il est donc compact et les boules de Q p sont isomorphes à Z p, donc compactes. Il n est pas difficile de voir que, si x Z p, et si x n est l unique élément de {0,...,p n } ayant même image que x dans Z/p n Z, alors n i=0 a ip i est le développement de x n en base p (écrit dans le sens opposé à celui dont on a l habitude...; on en déduit le (ii. Le (iii est une conséquence du (ii (x est la limite de la suite de terme général n i=0 pi a i dont tous les termes sont dans N et du fait que x bx+a est une isométrie de Z p si (b,p =. 3. Le corps C p Proposition IV.2.6. Si F est une extension finie de degré d de Q p, alors il existe une unique norme sur F dont la restriction à Q p est la norme p-adique et on a x = NF/Qp (x /d, si x F. Démonstration. Commençons par prouver l unicité d une telle norme. Supposons que l on en ait deux et 2. Comme Q p est localement compact et F est un Q p -espace vectoriel de dimension finie, les normes et 2 sont équivalentes. D après la proposition IV..9, il existe s R + tel que l on ait x 2 = x s quel que soit x F et, prenant x = p, on obtient s = et donc = 2. Pour démontrer l existence de, choisissons une base (e,...,e d de F sur Q p. Si u End Qp F est un endomorphisme Q p -linéaire du Q p -espace vectoriel F, notons u le maximum des normes p-adiques des coefficients de la matrice de u dans la base (e,...,e d. On a u = 0 si et seulement si u = 0 et, la norme p-adique étant ultramétrique, u + v sup( u, v et uv u v si u,v End Qp F. La suite de terme général u n /n converge vers sa limite inf. que l on appelle la norme spectrale u sp de u (c est bien connu, et cela résulte facilement de l inégalité α n+m α n/(n+m n α m/(n+m m si α n = u n /n. On peut considérer x F comme un élément de End Qp (F en associant à x la multiplication par x. Nous allons vérifier que l on peut poser x = x sp. Si x Q p, on a x = x p car la matrice de la multiplication par x est la matrice diagonale avec des x sur la diagonale ; ceci permet de montrer que coïncide avec p sur Q p.

ARITHMÉTIQUE DE LA FONCTION ZÊTA 23 Comme x et y commutent, on a (xy n = x n y n x n y n ; on en déduit l inégalité xy x y. De même (grâce à l ultramétricité de p, on a (x + y n sup x i y n i ; 0 i n on en déduit l inégalité x + y sup( x, y. L ensemble S des x F tel que x = est borné dans F (considérer par exemple l action de x sur et donc est compact. L application (x, y xy de S S dans R est continue ; elle atteint donc son minimum C qui est strictement positif car u = 0 si et seulement si u = 0. Comme par ailleurs, on a λx = λ p x si λ Q p et x F, on en déduit l inégalité xy C x y quels que soient x,y F. En particulier, quel que soit n N, on a (xy n C x n y n, ce qui, élevant le tout à la puissance /n, nous fournit l inégalité xy x y. Finalement, l équivalence «x = 0 x = 0» est une conséquence des égalités xy = x y et =. Il reste à vérifier que l on a x = N F/Qp (x /d. Pour cela, commençons p par supposer que F est une extension galoisienne de Q p. Soit σ Gal(F/Q p. L application x σ(x est une norme sur F dont la restriction à Q p est la norme p-adique; elle coïncide donc avec la norme par unicité d une telle norme. On obtient donc N F/Qp (x p = N F/Qp (x = σ(x = x d ; σ Gal(F/Q p d où le résultat dans le cas galoisien. Si F n est pas galoisienne sur Q p, il suffit alors de choisir une extension finie galoisienne K de Q p contenant F et de remarquer que la norme sur F est la restriction de la norme sur K par unicité et que l on a N K/Qp (x = N F/Qp (x [K:F], si x F. Corollaire IV.2.7. Si Q p est une clôture algébrique de Q p, Il existe une unique manière de prolonger p à Q p. Si x 0, alors x p p Q. Exemple IV.2.8. Le polynôme P n (X = (X+pn (+X pn est irréductible sur Q p ; ses racines sont les ε, ε parcourant les racines primitives p n -ièmes de l unité et on a v p (ε = /(p p n. Démonstration. On a P n (X = X (p pn modulo p et P n (0 est le quotient des dérivées de (X+ pn et (+X pn en X = 0. On a donc P n (0 = p et P n vérifie le critère d Eisenstein.

24 P. COLMEZ Définition IV.2.9. On note C p le complété de Q p pour la norme p. Si x C p, on note v p (x l élément de Q {+ } tel que l on ait x p = p vp(x. Théorème IV.2.0. Si K est un corps ultramétrique algébriquement clos de caractéristique 0, son complété K est algébriquement clos. Démonstration. Soit P(X = X n + a n X n + + a 0 un polynôme unitaire irréductible de K[X]. Quitte à changer X en Y/α, ce qui multiplie a i par α n i, on peut, en prenant α K de norme assez petite, supposer que P est à coefficients entiers. Comme K est de caractéristique 0, les polynômes P et P sont premiers entre eux et il existe des polynômes U et V tels que l on ait UP + VP =. Si Q K[X], notons Q G la norme de Gauss de Q, c est-à-dire le maximum des valeurs absolues de ses coefficients. Soit ε < inf(,/ U G,/ V 2 G et, si 0 i n, soit b i K tels que l on ait b i a i ε. Soit x 0 K une racine du polynôme Q(X = X n + b n X n + + b 0. On a x 0 à cause de l inégalité ultramétrique car b i quel que soit i. D autre part, on a U(x 0 P(x 0 ε U G < et donc P (x 0 V(x 0 =, ce qui implique P (x 0 / V G, et donc P(x 0 ε < P (x 0 2. Le lemme de Hensel permet de conclure au fait que l équation P(x = 0 a une solution dans K. Corollaire IV.2.. C p est algébriquement clos. Le corps C p est donc un corps complet algébriquement clos qui jouera le rôle de C en p-adique. C et C p sont deux corps algébriquement clos de même degré de transcendance sur Q ; ils sont donc abstraitement isomorphes en tant que corps (mais pas en tant que corps topologiques. Ce corps n est pas encore assez gros (il est pourtant de dimension non dénombrable sur Q p : Tate a démontré qu il ne contenait pas d analogue naturel de 2iπ. (Une indication de cette non existence de 2iπ dans C p est fournie par le corollaire IV.2.20. 4. Représentants de Teichmüller Lemme IV.2.2. Soient K un corps ultramétrique complet et L une extension finie de K, alors k L est une extension algébrique de k K de degré [L : K]. Démonstration. On a O K m L = m K et donc k K s injecte dans k L. Soient α,...,α d des éléments de k L formant une famille libre sur k K. Choisissons pour chaque i {,...,d} un élément α i de O L dont l image dans k L est α i. Supposons que les α i forment une famille liée sur K et soit (λ,...,λ d une famille d éléments non tous nuls de K tels que l on ait λ α + + λ d α d = 0. Quitte à diviser tous les λ i par celui qui a la plus grande norme, on peut supposer qu ils sont tous éléments de O K et que l un d entre eux est égal à,

ARITHMÉTIQUE DE LA FONCTION ZÊTA 25 ce qui conduit à une contradiction quand on réduit modulo m L. Ceci permet de conclure. Lemme IV.2.3. Si K est un corps ultramétrique algébriquement clos, alors k K est algébriquement clos. Démonstration. Soit P(X k K [X] unitaire de degré n et soit P(X O K [X] unitaire de degré n relevant P. Soit α K une racine de P. On a α à cause de l inégalité ultramétrique et donc α O K et l image de α dans k K est une racine de P, ce qui permet de conclure. Lemme IV.2.4. Si K est un corps ultramétrique et K dénote son complété, alors k K = k bk. Démonstration. O K m bk = {x O K x < } = m K et donc l application naturelle de k K dans k bk est injective. D autre part, comme O K est dense dans O bk, cette application est surjective, ce qui permet de conclure. Corollaire IV.2.5. Le corps résiduel de C p est F p une clôture algébrique de F p. Démonstration. Les trois lemmes précédents montrent que ce corps résiduel est le même que celui de Q p et donc est algébriquement clos et algébrique sur F p, ce qui permet de conclure. Proposition IV.2.6. Si x F p, il existe dans O C p une unique racine de l unité [x] d ordre premier à p dont l image dans F p est x. Démonstration. Il existe n tel que x appartienne à F p n. Les éléments de F p n sont solutions de l équation P(X = Xpn = 0. Or le polynôme X pn a un discriminant premier à p [son discriminant est au signe près η pn = P (η = ±(p n pn ], ce qui signifie que toutes les images de ses racines sont distinctes modulo m Cp ; on a donc une injection d un ensemble à p n éléments dans un ensemble à p n éléments et donc la réduction modulo m Cp est une bijection, ce qui permet de conclure. Remarque IV.2.7. L unicité de [x] implique que [xy] = [x] [y]. En posant [0] = 0, on a fabriqué un système multiplicatif de représentants, appelés représentants de Teichmüller, de F p dans O Cp. Choisissons un morphisme de groupes de Q dans C p envoyant sur p. On notera p r l image de r par ce morphisme. Si x OC p, on note ω(x l unique racine de l unité d ordre premier à p telle que x ω(x p <. Si x désigne l image de x dans F p, on a ω(x = [x].

26 P. COLMEZ Proposition IV.2.8. Les applications x p vp(x, x ω(x = ω(xp vp(x et x x = xp vp(x ω(x sont des morphismes de groupes de C p dans pq, le groupe des racines de l unité d ordre premier à p et B(, respectivement, et on a x = p vp(x ω(x x. Démonstration. Évident. 5. La fonction logarithme On définit la fonction logarithme dans la boule B(, par la formule log(x = + ( n n= n (x n. Lemme IV.2.9. Si x p < et y p <, alors log(( + x( + y = log( + x + log( + y. Démonstration. En tant que série formelle, log(( + X( + Y = log( + X + log( + Y (il suffit de dériver. D autre part, la série triple i +i 2 +i 3 ( i +i 2 +i 3 (i + i 2 + i 3! x i +i 3 y i 2+i 3 (i + i 2 + i 3 i!i 2!i 3! converge car le terme général tend vers 0 quand i + i 2 + i 3 tend vers + et on peut réordonner les termes comme on veut, ce qui permet de conclure. Corollaire IV.2.20. Si ε est une racine de l unité d ordre une puissance de p, alors log(ε = 0. Réciproquement, si x B(, vérifie log x = 0, alors x est une racine de l unité d ordre une puissance de p. Démonstration. On a log x = 0 x = si x p < p /(p car alors le seul terme de valuation maximale est le premier. D autre part, si x B(,, la fonction s x s = + ( s n=0 n (x n est continue. On en déduit le fait que x pn tend vers quand n tend vers +, ce qui permet de conclure. Proposition IV.2.2. La fonction log a un unique prolongement noté log p (et appelé logarithme d Iwasawa à C p vérifiant les trois conditions suivantes. (i log p (xy = log p (x + log p (y; (ii log p est donné par la série sur B(, ; (iii log p p = 0.

ARITHMÉTIQUE DE LA FONCTION ZÊTA 27 Démonstration. On a vu que si l on se fixe un morphisme r p r de Q dans C p, l on pouvait écrire tout élément de C p de manière unique sous la forme p vp(x ωu, où ω est une racine de l unité d ordre premier à p et u B(, ; on doit donc avoir log x = log u, ce qui prouve l unicité. L existence résulte du fait que x u est un morphisme de groupes. Remarque IV.2.22. La condition log p p = 0 est naturelle d un point de vue arithmétique à cause de la formule du produit, mais on pourrait fixer arbitrairement la valeur de log p. (on dit que l on fixe une branche du logarithme. 6. La fonction exponentielle Notons [x] la partie entière de x si x R (ne pas confondre avec un représentant de Teichmüller!. Proposition IV.2.23. Si n N, alors v p (n! = + k= [ n p k ] = n S p(n, p où S p (n désigne la somme des chiffres de l écriture de n en base p. Démonstration. Soit a k (resp. b k le cardinal de l ensemble des entiers i vérifiant i n et v p (i = k (resp. v p (i k. On a b k = l k a l et v p (n! = + k= ka k = + k= b k = + k= [ n p k ], ce qui nous fournit la première égalité. La seconde est laissée en exercice. Proposition IV.2.24. La série exp x = + n=0 xn /n! converge si et seulement si x p < p /(p et induit un isomorphisme de groupes de la boule ouverte B(0,p /(p munie de l addition sur la boule ouverte B(,p /(p munie de la multiplication, inverse de l application log. Démonstration. La détermination du rayon de convergence vient de ce qu il y a une infinité de n tels que S p (n = (à savoir, les puissances de p. Le reste de la proposition est laissé en exercice.

28 P. COLMEZ CHAPITRE V FONCTIONS D UNE VARIABLE p-adique V.. Espaces de Banach p-adiques Définition V... Un espace de Banach p-adique est un Q p -espace vectoriel E muni d une norme ultramétrique pour laquelle il est complet. Hypothèse V..2. On dit que E vérifie l hypothèse (N si quel que soit x E, il existe λ Q p tel que x = λ p. Lemme V..3. Si (E, est un espace de Banach p-adique, alors on peut trouver une norme sur E qui est équivalente à et qui vérifie l hypothèse (N. Démonstration. Si x E, soit v p (x l élément de R {+ } défini par x = p vp(x. et soit x = p [vp(x], où, si v R, [v] désigne la partie entière de v. Alors est une norme ultramétrique sur E et on a de plus p x x x. Exemple V..4 (i C p muni de la norme p-adique. (ii Si I est un ensemble et E est un espace de Banach p-adique, soit l (I,E l ensemble des suites bornées (a i i I d éléments de E. On munit l (I,E de la norme définie par (a i i I = sup i I a i, ce qui en fait un espace de Banach p-adique. (iii Soit l 0 (I,E le sous-espace de l (I,E des suites (a i i I d éléments de E tendant vers 0 suivant le filtre complémentaire des parties finies. C est un espace de Banach p-adique comme sous-espace fermé d un espace de Banach p-adique. C est aussi l adhérence dans l (I,E de l espace des suites n ayant qu un nombre fini de termes non nuls. On note δ i la suite dont tous les termes sont nuls sauf celui d indice i qui est égal à. (iv Si X est un espace topologique compact et E est un espace de Banach p-adique, l espace C (X,E des applications continues de X dans E muni de la norme du sup. est un espace de Banach p-adique. La théorie des espaces de Banach p-adiques est très loin d être aussi riche que son homologue archimédienne ; elle se rapproche plutôt de celle des espaces de Hilbert réels. En particulier, la notion suivante remplace celle de base hilbertienne dans un espace de Hilbert.

ARITHMÉTIQUE DE LA FONCTION ZÊTA 29 Définition V..5. Soit E un espace de Banach p-adique. On dit qu une famille bornée (e i i I est une base de Banach de E si l application de l 0 (I,Q p dans E qui à (a i i I associe i I a ie i est une isométrie. On dit que c est une pseudobase de Banach si cette application est seulement un isomorphisme d espaces de Banach p-adiques. Autrement dit, une famille (e i i I est une base de Banach de E si et seulement si (i tout élément x de E peut s écrire de manière unique sous la forme d une série convergente x = i I a ie i, où les a i sont des éléments de Q p tendant vers 0 suivant le filtre complémentaire des parties finies, (ii x = sup i I a i C est une pseudo-base de Banach si elle est bornée et vérifie la condition (i, ce qui implique, d après le théorème de l image ouverte, la propriété suivante. (ii il existe une constante C telle que l on ait C sup i I a i x C sup a i. i I Exemple V..6. Par définition, ou presque, les δ i, pour i I, forment une base de Banach de l 0 (I,Q p. Proposition V..7 (i Tout espace de Banach p-adique possède des pseudo-bases de Banach. (ii Un espace de Banach p-adique possède des bases de Banach si et seulement si il vérifie l hypothèse (N. De plus, sous cette hypothèse, si on note E 0 = {x E x }, alors (e i i I est une base de Banach de E si et seulement si (e i i I est une base algébrique du F p -espace vectoriel E = E 0 /pe 0. Démonstration. Le lemme V..3 implique que le (i est une conséquence du (ii. Supposons donc que E vérifie l hypothèse (N et montrons que (e i i I est une base de Banach de E si et seulement si (e i i I est une base algébrique du F p -espace vectoriel E. Soit (e i i I une famille d éléments de E 0 telle que la famille (e i i I soit une base du F p -espace vectoriel E. Soient S un système de représentants de F p dans Z p contenant 0 et s : F p S l inverse de la réduction modulo p. Si x E 0, on peut écrire x comme une somme finie i I a ie i, où les a i sont des éléments de F p presque tous nuls. Soit s(x = i I s(a ie i. Par construction, on a x s(x pe 0. Si x E 0, définissons par récurrence une suite x n d éléments de E 0 par x 0 = x et x n+ = p (x n s(x n. On a alors x = k n=0 pn s(x n + p k+ x k+ quel que soit k N. On peut écrire s(x n = i I s n,ie i, où les s n,i sont des éléments de S presque tous nuls, ce qui montre que si on pose a i = + n=0 pn s n,i,

30 P. COLMEZ alors la suite des a i tend vers 0 suivant le filtre complémentaire des parties finies. Ceci montre que l application de l 0 (I,Q p dans E qui à (a i i I associe i I a ie i est surjective. Si (a i i I est un élément non nul de l 0 (I,Q p, alors quitte à multiplier a par une puissance de p, on peut supposer a = et le fait que les (e i i I forment une base de E implique que i I a ie i 0 modulo p et donc que i I a ie i > p. Comme on a supposé que E vérifie (N, ceci implique i I a ie i = et on en tire le fait que l application qui à (a i i I associe i I a ie i est une isométrie de l 0 (I,Q p sur E. La réciproque est immédiate.. Fonctions continues sur Z p V.2. Mesures sur Z p Soit E un espace de Banach p-adique et C 0 (Z p,e l ensemble des fonctions continues de Z p dans E. Comme Z p est compact, une fonction continue sur Z p est bornée. Ceci permet de munir C 0 (Z p,e de la norme définie par f = sup x Zp f(x p, ce qui en fait un espace de Banach p-adique. Si n N, soit ( x n le polynôme défini par ( x si n = 0 = n x(x... (x n + si n. n! Proposition V.2.. ( x n =. Démonstration. On a ( ( n n = et donc x n. D autre part, ( n+k n est le nombre de manière de choisir n objets parmi n + k et est donc entier. On en déduit le fait que ( n+k n p quel que soit k N et comme n + N est dense dans Z p, cela implique que ( x n p quel que soit x Z p et permet de conclure. On définit la n-ième dérivée discrète f [n] d une fonction f par récurrence à partir des formules f [0] = f et f [n+] (x = f [n] (x + f [n] (x, et on pose a n (f = f [n] (0. On a aussi f [n] (x = n ( n ( i i i=0 f(x + n i et a n (f = Théorème V.2.2 (Mahler (i Si f C 0 (Z p,c p, alors a lim n + a n (f = 0, b + n=0 a n(f ( x n = f(x quel que soit x Zp. n ( n ( i i i=0 f(n i.

ARITHMÉTIQUE DE LA FONCTION ZÊTA 3 (ii L application f a(f = (a n (f n N est une isométrie de C 0 (Z p,c p sur l 0 (N,C p. Corollaire V.2.3. Les ( x n pour n N forment une base de Banach de C 0 (Z p,q p. Démonstration. Le corollaire est immédiat. Pour démontrer le théorème V.2.2, commençons par remarquer que l on a a(f sup k N f(k p f, et que l application f a(f est injective, car a(f = 0 implique f(k = 0 quel que soit k N, et N est dense dans Z p. Si a = (a n n N l (N,C 0 p, la série + n=0 a x n( n converge normalement dans C 0 (Z p,c p en vertu de la proposition V.2. et de l ultramétricité de la norme p-adique; on note f a la somme de cette série et on a f a a. D autre part, comme ( x+ ( n+ x ( n+ = x n, une récurrence immédiate nous fournit la formule f a [k] (x = + n=0 a x n+k( n et donc a(fa = a. Il ressort de la discussion précédente que a f a est une isométrie de l (N,C 0 p sur le sousespace B de C 0 (Z p,c p des fonctions continues f vérifiant lim n + a n (f = 0. Pour démontrer le théorème, il suffit donc de prouver le (i a ou, autrement dit, B = C 0 (Z p,c p. Nous allons donner deux démonstrations de ce fait... Première démonstration. Nous aurons besoin du lemme suivant. Lemme V.2.4. Si k est un entier, alors ( p k i est divisible par p si i p k. Démonstration. Dériver ( + X pk. Lemme V.2.5. Si f C 0 (Z p,c p, il existe k N tel que f [pk] p f. Démonstration. Comme Z p est compact, f est uniformément continue et il existe k N tel que l on ait f(x + p k f(x p p f quel que soit x Z p. Maintenant, on a f [pk] (x = f(x+p k f(x+ ( p ( i k f(x+p k i +(+( pk f(x. i ( pk i= D après le lemme V.2.4, tous les termes de la somme p k i= ont une norme p f et ( + ( pk f(x est nul si p 2 et de norme p f si p = 2. Comme on a choisi k de telle sorte que f(x + p k f(x p p f quel que soit x Z p, on a f [pk] p f, ce qui permet de conclure. Une utilisation répétée du lemme précédent permet de montrer que, si ε > 0 et si f C 0 (Z p,c p, alors il existe k N tel que f [pk] ε. Comme

32 P. COLMEZ a n (f f [pk] si n p k, cela montre que a n (f tend vers 0 quand n tend vers +..2. Deuxième démonstration. Si x C p vérifie x p <, la série f x (s = + ( s n=0 n (x n converge normalement d après la proposition V.2. et définit donc une fonction continue f x (s de s Z p. D autre part, si k N, on a f x (k = x k comme on le constate facilement, ce qui nous permet de noter de manière plus parlante s x s la fonction s f x (s. On a x s+t = x s x t quels que soient s,t Z p car cette formule est vraie si s,t N et N 2 est dense dans Z 2 p. Si on regarde ce que donne cette formule sur les coefficients binomiaux (en ( écrivant x s, x t et x s+t comme des séries en x, on obtient la formule s+t n = n ( s t i=0 i( n i, formule que l on peut aussi démontrer directement. Exemple V.2.6. On a ( + ( /2 n=0 n x n 2 = + x si x p < et p 2. Par exemple, si x = 7/9, la série ci-dessus converge dans R et dans Q 7, mais dans R la limite est la racine positive de 6/9 soit 4/3 alors que dans Q 7, c est la racine de 6/9 congrue à modulo 7, à savoir 4/3. Un cas particulièrement utile est celui où x est une racine de l unité d ordre une puissance p. Si x pn =, on a x s+pnk = x s quel que soit k N et donc x s = x t si t s + p n Z p, ce qui fait que la fonction x s est localement constante. D autre part, on a { p m si x p n Z p ε pm = εx = et la fonction 0 sinon caractéristique de a + p m Z p est donc p m ε pm = ε x a = + n=0 ( p m ε pm = ε a (ε n( x n Lemme V.2.7. Si f est localement constante, alors f B. Démonstration. Si f est localement constante, cela signifie que quel que soit a Z p, il existe n a N tel que f soit constante sur a+p na Z p. Comme Z p est compact, on peut extraire du recouvrement de Z p par les a + p na Z p un sousrecouvrement fini et il existe donc m N tel que f soit constante sur a+p m Z p quel que soit a Z p. On a donc f(x = p m i=0 f(i i+p m Z p et on peut se ramener par linéarité au cas où f est la fonction caractéristique de i + p m Z p. La formule ci-dessus nous donne a n ( i+p m Z p = p ε m pm = ε i (ε n et comme ε p < si ε pm =, on en déduit le fait que a n ( i+p m Z p tend vers 0 quand n tend vers +, ce qui permet de conclure. Lemme V.2.8. Les fonctions localement constantes sont denses dans C 0 (Z p,c p.

ARITHMÉTIQUE DE LA FONCTION ZÊTA 33 Démonstration. Z p étant compact, une fonction continue sur Z p est uniformément continue. Soient f C 0 (Z p,c p et η > 0. Il existe m N tel que si x y p p m, alors f(x f(y p η. Soit f m la fonction localement constante définie par f m (x = p m i=0 f(i i+p m Z p. Si x Z p, il existe i {0,...,p m } tel que x i+p m Z p et f(x f m (x p = f(x f(i p η par construction de m ; on a donc f f m η, ce qui permet de conclure. L application f a(f étant continue, B est fermé dans C 0 (Z p,c p. Par ailleurs, B contient l espace des fonctions localement constantes d après le lemme V.2.7 et comme cet espace est dense dans C 0 (Z p,c p d après le lemme V.2.8, on en déduit l égalité B = C 0 (Z p,c p que l on cherchait à établir. 2. Mesures sur Z p Définition V.2.9. Une mesure sur Z p à valeurs dans C p est une forme linéaire continue µ sur C 0 (Z p,c p. On écrira µ(f sous la forme plus parlante Z p f(xµ(x ou simplement sous la forme Z p fµ. Si µ est une mesure, on note µ la norme de µ en tant qu opérateur, c est-à-dire le sup. de Z p fµ p, avec f. A une mesure, on associe deux séries formelles A µ (T = + n=0 T n Z p ( x + t n µ(x et L µ (t = x n µ(x n n! n=0 Z p appelées respectivement transformée d Amice et transformée de Laplace de µ. On a L µ (t = A µ (e t et formellement A µ (T = ( + T x µ(x et L µ (t = e tx µ(x. Z p Z p Lemme V.2.0. Si z p <, alors Z p ( + z x µ(x = A µ (z Démonstration. La suite de fonctions N ( x n=0 n z n converge uniformément sur Z p vers ( + z x (le reste est plus petit en norme que z n+ p ; on peut donc échanger intégration et somme, d où le résultat. Théorème V.2.. L application qui à une mesure µ associe sa transformée d Amice est une isométrie de l espace des mesures muni de la norme ci-dessus sur l espace des séries formelles à coefficients bornés muni de la norme du sup. des normes des coefficients.

34 P. COLMEZ Démonstration. Si µ est une mesure, alors A µ (T est à coefficients bornés car ( x Z p n µ(x µ ( x n µ et la réciproque est une conséquence immédiate du théorème de Mahler : à une suite (b n n N bornée, on associe la mesure µ définie par µ(f = + n=0 b na n (f si f est une fonction continue sur Z p. Remarque V.2.2. Le théorème précédent permet de construire une mesure à partir d une série entière dont les coefficients sont bornés. On peut aussi utiliser le fait que les fonctions localement constantes sont denses dans les fonctions continues, ce qui permet de définir une mesure en ne connaissant que les intégrales Z p a+p n Z p µ(x pour a Z p et n N. L intégrale Z p a+p n Z p µ(x sera notée µ(a + p n Z p et appelée la mesure de a + p n Z p. Comme a + p n Z p est la réunion disjointe des a + jp n + p n+ Z p pour 0 j p, on a µ(a + p n Z p = p j=0 µ(a + jpn + p n+ Z p. De plus, comme a+p n Z p =, les µ(a + p n Z p sont bornés. Si f est une fonction continue sur Z p, alors Z p f(xµ(x est donné par la formule Z p f(xµ(x = lim n + p n a=0 f(aµ(a + p n Z p, formule qui ressemble beaucoup à une somme de Riemann. Remarque V.2.3. Il y a 2 topologies naturelles que l on peut mettre sur Z p [[T]] : la topologie donnée par le sup. des normes des coefficients, la topologie de la limite projective Z p [[T]] = lim Z p [T]/(p,T n qui en fait un anneau compact, limite projective d anneaux finis. Proposition V.2.4. La première correspond à la topologie de la convergence forte sur les mesures et la seconde à la topologie de la convergence faible. (i.e. une suite (µ n n N de mesures converge si pour toute fonction continue f, la suite Z p f(xµ n (x converge. Démonstration. Exercice. 3. Exemples de mesures et opérations sur les mesures i La mesure de Haar : On cherche une mesure invariante par translation sur Z p, ce qui implique µ(a + p n Z p = p µ(z n p quels que soient a Z p et n N. Ceci n est possible que si µ(z p = 0 (et donc si µ = 0 car les µ(a + p n Z p doivent être bornés en norme par µ. Il n y a donc pas de mesure de Haar en p-adique et donc aucun moyen canonique d associer une mesure à une fonction.

ARITHMÉTIQUE DE LA FONCTION ZÊTA 35 ii Masses de Dirac : si a Z p, soit δ a la masse de Dirac en a, c est-à-dire la mesure qui à f associe f(a. Sa transformée d Amice est ( + T a et sa transformée de Laplace est e at. iii Multiplication d une mesure par une fonction continue : si µ est une mesure et g C 0 (Z p,q p, on définit la mesure gµ par la formule Z p f(x(gµ(x = Z p fg(xµ(x. ( Multiplication par x. On a x (x n = ((x n+n x ( n = (n+ x ( n+ +n x n. On en déduit la formule A xµ (T = ( + T d dt A µ(t. Multiplication par z x si z p <. D après le lemme V.2.0, si y p <, et si λ est une mesure, alors Z p y x λ(x = A λ (y. Appliquant ceci à λ = z x µ, on obtient A λ (y = A µ (yz quel que soit y B(,. On en déduit la formule A z x µ(t = A µ (( + Tz. iv Restriction d une mesure à un ouvert compact : Si X est un ouvert compact de Z p (réunion finie d ouvert du type a + p n Z p, la fonction caractéristique X de X est continue sur Z p. Si µ est une mesure sur Z p, la mesure X µ est appelée la restriction de µ à X et est notée Res X (µ. On écrira indifféremment Z p fres X (µ ou Z p X (xf(xµ(x ou en général X f(xµ(x. Comme la fonction caractéristique de a + p n Z p est p ε n pn = εx a, on déduit de la formule ci-dessus, l identité A Resa+p n Zp (µ(t = p n ε a A µ (( + Tε. v Convolution des mesures : ε pn = Lemme V.2.5. Si f est une fonction continue sur Z p et si µ est une mesure sur Z p, la fonction µ f définie par Z p f(x+yµ(x est une fonction continue de y Z p et l application f µ f est une application linéaire continue de C 0 (Z p,q p dans lui-même. Démonstration. La continuité de µ f est une conséquence de l uniforme continuité de f et d autre part, µ f µ f d où la continuité de f µ f. Ceci nous permet, si λ et µ sont deux mesures sur Z p de définir leur convolée λ µ par la formule λ µ(f = λ(µ f ou encore ( f(xλ µ(x = f(x + yµ(x λ(y. Z p Z p Z p

36 P. COLMEZ Un calcul immédiat nous donne δ a δ b = δ a+b. D autre part, si z p <, alors ( ( + z x+y µ(x λ(y = A µ (z ( + z y λ(y = A µ (za λ (z; Z p Z p Z p On en déduit la formule A λ µ (T = A λ (TA µ (T ce qui prouve que les mesures munies de la convolution forment une algèbre commutative et associative et que µ A µ est un isomorphisme d algèbres de l espace des mesures sur celui des séries entières bornées. 4. Autre point de vue sur les mesures Soit Γ un groupe commutatif profini (c est-à-dire que l on peut trouver une suite de sous-groupes ouverts Γ n Γ n+ de Γ tels que Γ/Γ n soit un groupe fini et l application naturelle de Γ dans la limite projective des Γ/Γ n soit un isomorphisme de groupes topologiques. Le groupe Γ est alors compact et les Γ n forment une base de voisinages de 0. Exemples de base Z p = limz/p n Z ou Z p = lim(z/pn Z. Comme Γ n+ Γ n, on a une application naturelle de l algèbre de groupe Z p [Γ/Γ n+ ] sur Z p [Γ/Γ n ] et on peut donc considérer l algèbre de groupe complétée Z p [[Γ]] limite projective des Z p [Γ/Γ n ]. Par construction, on dispose d une application π n : Z p [[Γ]] Z p [Γ/Γ n ]. Soit µ Z p [[Γ]]. Si f est une fonction localement constante sur Γ, comme Γ est compact, il existe n N tel que f soit constante modulo Γ n. On vérifie facilement que si π n (µ = g Γ/Γ n a g δ g et si f est constante modulo Γ n, alors g Γ/Γ n a g f(g ne dépend pas du choix de n, ce qui nous permet de voir µ comme une forme linéaire sur l espace des fonctions localement constantes à valeurs dans Q p. Comme π n (µ Z p [Γ/Γ n ], on a µ(f p f et donc µ peut se prolonger au complété de l espace des fonctions localement constantes sur Γ pour la norme, et comme les fonctions localement constantes sont continues et Γ est compact, ce complété est l espace des fonctions continues sur Γ à valeurs dans Q p et µ peut donc être vu comme une mesure sur Γ. Réciproquement, si µ est une mesure sur Γ de norme, on voit µ comme un élément de Z p [[Γ]] en posant π n (µ = g Γ/Γ n (g+γ n µ δ g Z p [Γ/Γ n ]. La convolution des mesures correspondant au produit dans l algèbre de groupe complétée. Par exemple, dans le cas Γ = Z p et Γ n = p n Z p, la transformée d Amice induit un isomorphisme de Z p [[Γ]] sur Z p [[T]] et elle envoie δ a sur ( + T a et donc Z p [Γ/Γ n ] = Z p [[Γ]]/(δ p n δ 0 = Z p [[T]]/(( + T pn.

ARITHMÉTIQUE DE LA FONCTION ZÊTA 37 V.3. Distributions sur Z p. Fonctions localement analytiques sur Z p Si h N, soit LA h l espace des fonctions de Z p dans Q p analytiques sur a + p h Z p quel que soit a Z p. Si f LA h, alors, quel que soit x 0 Z p, on peut développer f sous la forme f(x = + k=0 a k (x 0 ( x x 0 p h k, où a k (x 0 est une suite d éléments de Q p tendant vers 0 quand k tend vers +. Si f LA h et x 0 Z p, on pose f h,x0 = max k ( a k (x 0 p et f LAh = sup x0 Z p f h,x0. Il résulte de la théorie des séries formelles que l on a aussi f h,x0 = sup z O Cp f(x 0 + p h z p et donc que f h,x0 = f h,x si x x 0 p h Z p et que, si S est un système de représentants de Z p modulo p h Z p, alors f LAh = sup x S f h,x. Lemme V.3.. Si f LA h, alors la dérivée n-ième de f appartient à LA h et de plus, p nh f (n /n! LAh f LAh quel que soit n N et la suite de terme général p nh f (n /n! LAh tend vers 0 quand n tend vers +. Démonstration. Soit S un système de représentants de Z p modulo p h Z p. Si x 0 Z p, alors p nh f (n (x/n! = + ( n+k k=0 n an+k (x 0 ( x x 0 k. Comme ( n+k p h n est entier, on en déduit l inégalité pnh f (n n! sup h,x0 k n a k (x 0 p sup a k (x 0 p f h,x0. k 0 On en déduit la majoration que l on cherche et le fait que la suite de terme général p nh f (n /n! LAh tend vers 0 est une conséquence du fait que la suite a k (x 0 tend vers 0. On peut écrire tout entier n de manière unique sous la forme n = mp h i avec i p h et m. Soit alors e n (x la fonction i+p h Z p (x( x+i p h m Lemme V.3.2. Les e n pour n N forment une base de Banach de LA h. Démonstration. Il suffit de revenir à la définition de la norme sur LA h et d utiliser le fait que { i, i p h } est un système de représentants de Z p modulo p h Z p. Théorème V.3.3. Les [ n p h ]! ( x n pour n N forment une base de Banach de LAh.

38 P. COLMEZ Démonstration. Posons g n (x = [ n p h ]! ( x n. Si j {,...,p h }, soit g n,j (x = g n ( j + p h x. Par définition, on a g n,j (x = [ n n p h]! ( j k + p h x. n! k=0 Pour simplifier les formules (transformer des produits de p x en sommes, on définit v p (g n,j comme étant l inf. des valuations p-adiques des coefficients de g n,j, ce qui fait que l on a g n h, j = p vp(g n,j comme on le voit en revenant à la définition. On a aussi v p (g n,j = inf x OCp v p (g i,j (x. Si v p (j + k < h, alors v p ( j k + p h x = v p (j + k quel que soit x O Cp et si v p (j + k h, alors v p ( j k + p h x h quel que soit x O Cp avec égalité si l image de x dans F p n appartient pas à F p. On en déduit la formule v p (g n,j = v p ([ n p h]! v n p(n! + inf(v p (j + k,h = k=0 h ( [ n + j p l ] [ j p l ] [ n p l]. l= Comme [x + y] [x] + [y], chacun des termes de la somme est positif ou nul et donc g n LAh et d autre part, le cas j = implique g n LAh =. Pour continuer la démonstration, nous aurons besoin du lemme suivant. Lemme V.3.4. Soit n = mp h i avec i p h et, si j {,...,p h }, soit g n,j la réduction de g n,j modulo p. Alors (i g n,j = 0 si j > i (ii deg(g n,i = m (iii deg(g n,j m si j < i. Démonstration. Développons g n,j sous la forme n k=0 a kx k. D après la discussion précédente, on a a k Z p. D autre part, les zéros de g n,j sont les j+k p h pour k {0,,...,n }. Le nombre de zéros de g n,j dans O Cp est donc égal au nombre d éléments de {0,,...,n } tels que v p (j + k h ; on en déduit le fait que g n,j a [ n+j ] [ j ] = [ n+j ] zéros dans O p h p h p h Cp. Si on utilise alors la relation entre les coefficients d un polynôme et les fonctions symétriques de ses racines, on montre que v p (a k atteint son minimum pour k = k 0 = [ n+j ] et que l on a v p h p (a k > v p (a k0 si k > k 0. Le degré de g n,j est donc inférieur ou égal à [ n+j ], l égalité se produisant si et seulement si p h v p (g n,j = 0 (autrement, g n,j = 0. On en tire le (iii et le (i car si j > i, alors [ n+j ] [ j ] [ n ] = et v p h p h p h p (g n,j.

ARITHMÉTIQUE DE LA FONCTION ZÊTA 39 Si x R, soit {x} = x [x]. On a { n+i } = si k h et, comme de p k p k plus { i } et { n }, on en déduit l inégalité p k p k p k p k 0 [ n + i p k ] [ i p k ] [ n p k ] = {i p k } + { n p k } {n + i p k } p k <. On en déduit v p (g n,i = 0 et deg(g n,i = [ n+i ] = [ mph ] = m, ce qui p h p h permet de conclure. Corollaire V.3.5. La matrice exprimant les g n dans la base des e n est triangulaire supérieure et ses coefficients diagonaux sont inversibles. Ce corollaire permet de terminer la démonstration du théorème V.3.3 en vertu de la proposition V..7. Corollaire V.3.6. Soit LA l espace des fonctions localement analytiques sur Z p. Alors f LA si et seulement si lim inf n v p(a n (f > 0. Démonstration. Z p étant compact, si f est localement analytique sur Z p, alors elle appartient à LA h pour un certain h et alors lim inf n v p(a n (f (p p h d après le théorème V.3.3. Réciproquement, si lim inf n v p(a n (f > (p p h, alors ([ n p h ]! a n (f tend vers 0 et f LA h. 2. Fonctions k-fois uniformément dérivables On dit qu une fonction f sur Z p est de classe Cu k si les fonctions f [i] (x,h,...,h i définies pour 0 i k sur Z p (Z p {0} i par récurrence grâce à la formule f [0] (x = f(x et f [i] (x,h,...,h i = h i (f [i ] (x + h i,h,...,h i f [i ] (x,h,...,h i se prolongent en des fonctions continues sur Z i+ p. Sur R, les notions de classe Cu k et de classe C k coïncident car on a f [i] (x,h,...,h i = f (i (x + t h + + t i h i dt... dt i. [0,] i Sur Z p, l exemple suivant montre qu il n en est rien. Comme on l a vu, tout élément x de Z p peut s écrire de manière unique sous la forme + n=0 pn a n (x, avec a n (x {0,...,p }, ce qui permet de définir une fonction f : Z p Z p grâce à la formule f(x = + n=0 p2n a n (x. On a alors f(x f(y p x y 2 p quels que soient x,y Z p, ce qui montre que f est dérivable, de dérivée nulle, en tout point (elle est donc aussi de classe C bien que f ne soit localement constante au voisinage d aucun point. D autre part, si (x,h,h 2 = (0,p n,p n (resp. (x,h,h 2 = ((p p n,p n,p n, on a f [2] (x,h,h 2 = 0 (resp.

40 P. COLMEZ f [2] (x,h,h 2 = p p 2, ce qui montre que f [2] ne peut se prolonger par continuité en (0, 0, 0. La fonction f est aussi un contre-exemple à un autre énoncé naturel puisqu elle est de classe C mais n a de développement limité d ordre 2 en aucun point. On munit C k u (Z p,q p de la norme naturelle définie par f = sup 0 i k sup (x,h,...,h i Z i+ p f [i] (x,h,...,h i p qui en fait un espace de Banach p-adique. Soit L(n,k = max{v p (n + +v p (n i i k, n + +n i = n, n j }. Théorème V.3.7. Les p L(n,k( x n forment une base de Banach de C k u (Z p,q p. Démonstration. Soit g T (x = ( + T x. On a i g [i] T (x,h,...,h k = ( + T x j= ( + T h j h j, ce qui nous donne, notant P n le polynôme ( x n, identifiant les termes de degré n de chaque coté, et utilisant l identité x( x ( n = x n n, la formule ( ( ( P [i] x h hi n (x,h,...,h i =.... n n i n n i n 0 +n + +n i =n n,...,n i Si y est une variable, soit y [] l opérateur qui à f(z,y associe y [] (z,y = f(z,y + f(z,y et, si k N, soit y [k] l itéré k-ième de y []. Soit g i (x,h,...,h i = f [i] (x,h +,...,h i +. On déduit de la formule précédente, l identité [n 0] x [n ] h n 0... [n i ] h i g i (0,0,...,0 = a n 0 + +n i (f n n i et donc, utilisant le théorème de Mahler à i+ variables, que si g i (et donc f [i] a n0 + +n i (f est continue, alors la suite de terme général n n i tend vers 0 quand n 0 + + n i tend vers + et que, réciproquement, si cette suite tend vers 0, alors la série + + n 0 =0 n =... + n i = ( a n0 + +n i (f x n n i n 0 ( h n... ( hi n i définit une fonction continue sur Z i+ p qui coïncide avec f [i] sur N (N {0} i et donc sur Z p (Z p {0} i, et que l on a de plus d où le résultat. f [i] = g i = sup n 0,...,n i n n i p a n0 + +n i (f p ;

ARITHMÉTIQUE DE LA FONCTION ZÊTA 4 Lemme V.3.8. Il existe C k > 0 tel que l on ait k log n log p C k L(n,k k log n log p. Démonstration. Si n i n, alors v p (n i log n log p. D autre part, si k pr et u = [ log n log p ], on peut prendre (n,...,n k = (p u r,...,p u r ce qui implique L(n,k k( log n log p r et permet de conclure. Corollaire V.3.9. f Cu k si et seulement si la suite de terme général nk a n (f p tend vers 0 et la norme f C k u = sup n (n + k a n (f p est équivalente à la norme naturelle sur Cu k. 3. Distributions continues On appelle distribution continue sur Z p une forme linéaire continue sur LA, c est-à-dire une forme linéaire sur LA dont la restriction à chaque LA h est continue. On note D cont l ensemble de ces distributions. Si h N, on pose ρ h = p /(p ph. On a aussi ρ h = ε p si ε est une racine primitive p h+ -ième de l unité (cf. exemple IV.2.8. Transformées d Amice et Laplace : A µ (T = ( + T x µ(x = Z p + L µ (t = e tx µ(x = t n Z p n=0 + n=0 T n Z p Z p x n! µ(x. ( x µ(x n Lemme V.3.0. Si z B(0,, alors Z p ( + z x µ(x = A µ (z. Démonstration. Si z p < ρ h, alors la série + ( x n=0 n z n converge vers ( + z x dans LA h (Z p,c p car z n /[n/p h ]! tend vers 0. Si F(T = + n=0 a nt n est de rayon de convergence et si ρ <, on note F ρ le maximum de a n p ρ n pour n N. C est aussi le maximum de F(x p pour x C p vérifiant x p ρ. On a F ρ F ρ2 si ρ ρ 2 et une adaptation de la démonstration du lemme de Gauss montre que l on a FG ρ F ρ G ρ si F et G sont de rayon de convergence et ρ <. Théorème V.3.. L application qui à une distribution associe sa transformée d Amice est un isomorphisme d espaces vectoriels topologiques de D cont sur l espace des séries formelles convergeant sur B(0,. De plus, on a A µ ρh µ LAh p A µ ρh+.

42 P. COLMEZ Démonstration. Soit µ une distribution et A µ (T = + n=0 b nt n sa transformée d Amice. D après le théorème V.3.3, quel que soit h N, la suite de terme général [n/p h ]!b n est bornée et µ LAh = sup n [n/p h ]!b n p. On en déduit le fait que A µ converge sur B(0,ρ h quel que soit h (et donc converge sur B(0, et que de plus, A µ (T ρh = sup n b n p ρ n h µ LA h car ρ n h [n/ph ]! p. Réciproquement, si F converge sur B(0,, alors la suite de terme général [n/p h ]!b n tend vers 0 et sup n [n/p h ]!b n p p F(T p /p h+ (car v p ([n/p h ]! n/p h+ et comme ρ h+ p /ph+, on en déduit la majoration du théorème, ce qui termine la démonstration. Remarque V.3.2. On montre plus généralement que quel que soit ε > 0, il existe C h,ε > 0 tel que l on ait µ LAh C h,ε A µ ρh +ε. 4. Opérations sur les distributions Les opérations sur les distributions sont en gros les mêmes que celles que nous avons définies sur les mesures et les démonstrations sont très semblables. d dx i Dérivée d une distribution : Si µ est une distribution, on définit sa dérivée µ par la formule f(x d Z p dx µ(x = f (xµ(x. Z p La transformée d Amice de d dx µ s obtient à partir de celle de µ par multiplication par log( + T; sa transformée de Laplace par multiplication par t. Contrairement au cas réel, on ne peut en général pas définir la primitive d une distribution puisque cela revient au niveau des transformées d Amice à diviser par la série entière log( + T qui a beaucoup de zéros dans B(0,. ii Multiplication par une fonction localement analytique : f(x(g(xµ(x = (f(xg(xµ(x. Z p Z p Multiplication par x : A xµ (T = ( + T d dt A µ(t et L xµ (t = d dt L µ(t. Multiplication par z x avec z p <. Le lemme V.3.0 montre que l on a A z x µ(t = A µ (z( + T. iii Division par x. Si µ est une distribution, l équation xλ = µ a une infinité de solutions différant 2 à 2 par un multiple de la masse de Dirac en 0. En effet, on peut écrire n importe quel élément de LA sous la forme f = f(0 Zp + xg, où g LA et les solutions de l équation xλ = µ sont donc de la forme f(xλ(x = af(0 + g(xµ(x. Z p Z p

ARITHMÉTIQUE DE LA FONCTION ZÊTA 43 La transformée d Amice de x µ est une primitive (déterminée à constante près, ce qui correspond à l indétermination de x µ à un multiple près de la masse de Dirac de ( + T A µ (T. iv Restriction à a + p n Z p : A Resa+p n Zp (µ(t = p n ε pn = v Convolution : Si f LA h et µ D cont, alors ε a A µ (( + Tε. µ f LA h et µ f LAh µ LAh f LAh. En effet, si y y 0 p p h, alors f(x + y = + n=0 p nh f (n (x + y 0 n! ( y y0 et le lemme V.3. montre que pnh f (n (x + y 0 f LAh n! LAh quel que soit n N, et la suite de terme général p nh f (n (x + y 0 /n! tend vers 0 dans LA h. Ceci permet de définir la convolution de deux distributions continues et on a 5. Distributions tempérées A λ µ (T = A λ (TA µ (T. Définition V.3.3. Soit r R. Une distribution continue µ sur Z p est dite d ordre r si la suite de terme général p nr µ LAn est bornée. On note D r l ensemble des distributions d ordre r que l on munit de la norme r définie par µ r = sup n N p nr µ LAn. Une distribution est dite tempérée s il existe r R + telle qu elle soit d ordre r. On note D temp l espace des distributions tempérées. Remarque V.3.4 (i Comme on a f LAn+ f LAn si f LA n, la suite µ LAn est une suite croissante de n; une distribution d ordre < 0 est donc nulle. (ii Si f est constante modulo p n Z p, alors f LAn = f. On en déduit le fait qu une distribution d ordre 0 est continue sur l espace des fonctions localement constantes muni de la norme du sup et donc est une mesure. (iii Si r et r sont deux éléments de R vérifiant r r, toute distribution d ordre r est aussi d ordre r. p h n

44 P. COLMEZ (iv si µ est d ordre r, alors la suite de terme général sup sup p nr ( x a a X j N a+p n Z p p n j µ = p nr µ LAn p rn A µ ρn est bornée. Nous allons maintenant caractériser les distributions d ordre r en termes de leur transformée d Amice. Définition V.3.5. Une série entière F de rayon de convergence sera dite d ordre r si la suite de terme général p nr F ρn est bornée. L espace des séries entières d ordre r muni de la norme sup n p nr F ρn est un espace de Banach. Remarque V.3.6 (i Comme la suite F ρn est croissante, une série entière d ordre r pour r < 0, est identiquement nulle. (ii Une série entière d ordre 0 est à coefficients bornés. (iii Comme FG ρ = F ρ G ρ, on en déduit le fait que si F est d ordre r et G est d ordre s, alors FG est d ordre r + s. Lemme V.3.7. Si F log( + T est d ordre r, alors F est d ordre r. Démonstration. log( + T ρn = p n p /(p. (Le maximum de /k p ρ k n est atteint pour k = p n et k = p n+. Proposition V.3.8. L application qui à une distribution associe sa transformée d Amice induit un isomorphisme d espaces de Banach de l espace des distributions d ordre r sur celui des séries entières d ordre r. Démonstration. On a A µ ρn µ LAn p A µ ρn+ d après le théorème V.3.. On en déduit le résultat. Le lemme suivant nous fournira une caractérisation plus commode des séries d ordre r et donc des distributions d ordre r. Lemme V.3.9. Soit F(T = + n=0 a nt n une série convergeant sur B(0, et r R +. Les deux conditions suivantes sont équivalentes : (i la suite de terme général p nr F ρn est bornée, (ii la suite de terme général n r a n p est bornée.

ARITHMÉTIQUE DE LA FONCTION ZÊTA 45 Démonstration (i (ii Soit u m = sup n m p nr F ρn. Quel que soit k N, on a a k p ρ k n u m p nr si n m. En particulier, si k p m+, on peut appliquer cette inégalité à n = [ log k log k log p ] de telle sorte que l on a log p n log k log p, ce qui nous donne et comme a k p u m p nr ρ k n log ρ n = u mk r log ρn k p log p log p (p p n log p (p p log k log p, on obtient finalement a k p p p/(p u m k r si k p m+, ce qui permet de montrer que si la suite de terme général u m est bornée, alors celle de terme général n r a n p est bornée, et permet de conclure. (ii (i Soit v m = sup k m k r a k p. Un petit calcul montre que si r > 0 et a <, alors la fonction x r a x atteint son maximum sur R + en r/log a et que ce maximum vaut e r ( r/log a r. On en déduit la majoration F ρn = sup a k p ρ k n (sup max a k p ρ k n,v me r( r r k k m log ρ n et comme ρ n tend vers, le terme sup k m a k p ρ k n est majoré par une constante ne dépendant pas de n et comme on obtient la majoration log ρ n = (p pn, log p p nr F ρn e r r r( p log p rvm si n est assez grand. On en déduit le fait que si la suite de terme général v m est bornée, alors celle de terme général p nr F ρn est bornée, ce qui permet de conclure. Corollaire V.3.20. Si r R +, on peut munir D r des trois normes suivantes qui sont équivalentes. (i µ r = sup n N p nr µ LAn. (ii µ r, = sup n N p nr A µ ρn (iii µ r,2 = sup n N ( + n r Z p ( x n µ(x p. Corollaire V.3.2. Si k est un entier, D k est le dual de C k u (Z p,q p.

46 P. COLMEZ Démonstration. Cela suit immédiatement de l équivalence entre les normes et r,2 et de la caractérisation de C k u (Z p,q p donnée au corollaire V.3.9. Remarque V.3.22. C est ce corollaire qui justifie le nom de distribution tempérée pour les distributions d ordre fini. 6. Une autre caractérisation des distributions tempérées Dans le paragraphe précédent, on a caractérisé les distributions tempérées en termes de leurs transformées d Amice ce qui permet de construire une distribution tempérée à partir d une série entière de rayon de convergence vérifiant des conditions de croissance. La connaissance de la transformée d Amice d une distribution est équivalente à la connaissance des Z p x i µ(x pour i N. Dans ce paragraphe, nous montrons comment construire (théorème V.3.23 et corollaire V.3.24 une distribution d ordre fini en ne connaissant que les intégrales du type a+p n Z p x i µ(x pour a Z p, n N et 0 i N. Cette construction généralise celle des mesures donnée dans la remarque V.2.2 et est très importante pour les applications arithmétiques. Si I est une partie de N, notons LP I le Q p -espace vectoriel des fonctions localement polynomiales sur Z p dont les degrés appartiennent à I, c est-à-dire les fonctions qui s écrivent localement sous la forme i I a ix i, où les a i sont des éléments de Q p presque tous nuls. On note Dalg I l ensemble des distributions algébriques sur Z p (de degré I, c est-à-dire l ensemble des formes linéaires sur LP I. Un élément µ de Dalg I est donc équivalent à la donnée des valeurs a+p n Z p x i µ(x pour i I, a Z p et n N avec les relations de compatibilité évidentes p x i µ(x = x i µ(x. a+p n Z p a+kp n +p n+ Z p k=0 On a une application naturelle de D cont dans Dalg I quel que soit I N. Si r R,on note D [0,N] r terme général sup sup a Z p 0 i N de la norme r,[0,n] définie par ( µ r,[0,n] = sup sup n N le sous-espace des µ D [0,N] alg tels que la suite de p nr a+p n Z p ( x a p i µ est bornée et on munit D [0,N] n r sup a Z p 0 i N On note E(r la partie entière de r. p nr ( x a a+p n Z p p n i µ Théorème V.3.23. Si r R et N E(r, l application naturelle de D r dans induit un isomorphisme d espaces de Banach p-adiques de D r sur D r [0,N]. D [0,N] alg.

ARITHMÉTIQUE DE LA FONCTION ZÊTA 47 Corollaire V.3.24. Si N E(r, la norme r,[0,n] est une norme sur D r équivalente à la norme r. Démonstration. Le fait que l image de D r dans D [0,N] alg est une conséquence de l inégalité ( sup sup p nr x a a Z p 0 i N a+p n Z p p n soit incluse dans D [0,N] r iµ p nr µ LAn qui implique de plus que l application en question est continue. Il suffit donc, d après le théorème de l image ouverte, de prouver que c est un isomorphisme d espaces vectoriels. Commençons par prouver la surjectivité. Nous allons construire une forme linéaire continue sur LA, en approximant f LA par une suite d éléments de LP [0,N]. Les suites de fonctions que l on va considérer vont être obtenues en remplaçant f par sa série de Taylor tronquée à l ordre N au voisinage d un système de représentants modulo p n Z p et en faisant tendre n vers +. La vérification que le procédé converge repose sur le lemme V.3.26 dont le rôle est de montrer que Z p f n µ(x ne dépend pas trop du choix du système de représentants modulo p n Z p. Si h N et µ D r [0,N], posons ( µ r,h = sup n h sup sup a Z p 0 j N p nr a+p n Z p ( x a p n jµ(x p Remarque V.3.25 (i La suite µ r,h est décroissante. (ii Si g LP [0,N] LA h, alors g(xµ(x p rh µ r,h g LAh. Z p p Soit f LA h. Si a Z p, il existe une suite c k (a tendant vers 0 telle que l on ait f(x = + k=0 c k(a( x a k si x a + p h Z p h p. Si a Z p et X est un ouvert compact de Z p contenu dans a + p h Z p, soit f X,a la fonction définie par la formule f X,a (x = X (x( N n=0 c k(a( x a p h k. Nous aurons besoin du lemme suivant. Lemme V.3.26. Soient f LA h, n h, a Z p et X = a+p n+ Z p. Alors, quel que soit b a + p n Z p, on a la majoration f X,a f X,b LAn+ p (n h(n+ f LAh.

48 P. COLMEZ Démonstration. Si on écrit f X,a (x f X,b (x sous la forme ( N ( x a i X (x b i p n+, i=0 on a f X,a f X,b LAn+ = sup 0 i N b i p. D autre part, ( + f X,a (x f X,b (x = X (x n=n+ ( c k (b ( x b p h k ck (a ( x a p h k, ce qui, remplaçant x b par (x a+(a b et développant, nous donne, pour i N, l identité + ( k p (n+i b i = p ih c k (b( a b i p h k i. k=n+ D où, utilisant la majoration c k (b p f LAh valable quel que soit k N par définition de f LAh, on tire la majoration et le résultat. b i p f LAh p (n+ hi p (n h(n+ i f LAh p (n h(n+ Revenons à la démonstration du théorème V.3.23. Fixons pour chaque n N un système R n de représentants de Z p modulo p n Z p. Si f LA h et n h, soit f n LP [0,N] la fonction définie par f n (x = a R n f a+p n Z p,a(x. Si a R n+, soit π(a R n le représentant de a modulo p n Z p. On a f n+ f n = a R n+ f a+p n+ Z p,a f a+p n+ Z p,π(a et donc f n+ f n LAn+ p (n h(n+ f LAh On en déduit la majoration (f n+ (x f n (xµ(x p r(n+ µ r,n+ p (n h(n+ f LAh Z p p = (p (N+ r(n+ µ r,n+ (p (h+(n+ f LAh, et comme la suite de terme général p (N+ r(n+ µ r,n+ est décroissante et tend vers 0 par hypothèse car N + r > 0, on en tire la convergence de la suite de terme général Z p f n (xµ(x. La limite est indépendante du choix des R n car si on a deux choix R,n et R 2,n, on en fabrique un troisième en posant R 2n = R,2n et R 2n+ = R 2,2n+, ce qui prouve que les trois limites coïncident. On a donc défini de cette manière une forme linéaire sur LA.

ARITHMÉTIQUE DE LA FONCTION ZÊTA 49 Finalement, on a f h LAh f LAh et ( f(xµ(x sup f h (xµ(x, sup (f n+ f n µ Z p p Z p p n h Z p p sup(p rh µ r,h f LAh,p r(h+ µ r,h f LAh = p r(h+ µ r,h f LAh, ce qui permet de montrer que µ est continue sur LA et que si h N, alors µ LAh p r(h+ µ r,h. On en déduit le fait que la suite de terme général p nh µ LAh est bornée et donc que µ est d ordre r. On vient donc de montrer que l application naturelle de D r dans D r [0,N] est surjective. Passons à la démonstration de son injectivité. Nous aurons besoin du lemme suivant Lemme V.3.27. Soit µ une distribution continue sur Z p telle que µ(x = 0 a+p n Z p quels que soient a Z p et n N. Il existe alors une unique distribution λ dont µ est la dérivée. De plus, si µ est d ordre r, alors λ est d ordre r. Démonstration. Soit f LA h LA h+. Soit R h+ un système de représentants de Z p modulo p h+ Z p et soit f ( l élément de LA h+ dont la dérivée est f et qui s annule aux points de R h+. L hypothèse implique que Z p f ( (xµ(x ne dépend ni du choix de R h+ ni du choix de h tel que f LA h car deux choix différents aboutissent à deux fonctions f ( différant d une fonction localement constante. Ceci permet de définir une forme linéaire λ sur LA en posant Z p f(xλ = Z p f ( (xµ(x. Un calcul immédiat montre que l on a de plus f ( LAh+ f LAh et donc Z p f(xλ(x p µ LAh+ f LAh, ce qui prouve que λ est continue. D autre part, on a d dxλ = µ par construction. Finalement, on a A λ (Tlog( + T = A µ (T, ce qui, utilisant le lemme V.3.7, permet de prouver que λ est d ordre r si µ est d ordre r et termine la démonstration du lemme. Remarque V.3.28. Traduit en termes de séries formelles, ce lemme dit que si F est une série de rayon de convergence s annulant en les ε, où ε parcourt l ensemble des racines de l unité d ordre une puissance de p, alors F est divisible par log( + T. Revenons à la démonstration de l injectivité. Soit µ un élément du noyau, c est-à-dire une distribution d ordre r vérifiant a+p n Z p x i µ(x = 0 quels que soient 0 i N, a Z p et n N. D après le lemme précédent, on peut écrire µ sous la forme d dx µ, où µ est d ordre r et vérifie a+p n Z p x i µ(x =

50 P. COLMEZ i a+p n Z p x i µ (x = 0 quel que soit i N. On en déduit par récurrence le fait que µ = ( d dx N+ µ N+, où µ N+ est d ordre r N < 0 et donc nulle, ce qui permet de conclure. CHAPITRE VI LA FONCTION ZÊTA p-adique VI.. Les congruences de Kummer Comme nous l avons mentionné dans l introduction, Kummer a découvert des congruences modulo p k entre les valeurs aux entiers négatifs de la fonction zêta. La théorie des mesures sur Z p permet de les redémontrer sans douleur et d aller plus loin en construisant une fonction zêta p-adique. Si a R +, on peut appliquer la proposition I..2 à la fonction f a (t = e t a e at qui est C sur R + (on s est débrouillé pour supprimer le pôle en 0 et à décroissance rapide à l infini. Corollaire VI... Si a R +, la fonction ( a s ζ(s = L(f a,s a un prolongement analytique à C tout entier et, si n N, alors ( a +n ζ( n = ( n f a (n (0. En particulier, si a Q, alors ( a +n ζ( n Q. Proposition VI..2. Si a Z p, il existe une mesure µ a dont la transformée de Laplace est f a (t. De plus, µ a et, si n N, alors Z p x n µ a = ( n ( a +n ζ( n. Démonstration. Pour démontrer l existence de µ a, il suffit de vérifier que la série obtenue en remplaçant e t par +T est à coefficients bornés ; ce sera alors la transformée d Amice de µ a. Or on peut écrire ( + T a sous la forme at( + Tg(T avec g(t = + n=2 a( a n T n 2 Z p [[T]] et donc T a + ( + T a = ( T n g n Z p [[T]]. n= Comme on a obtenu une série à coefficients entiers, on obtient en prime la majoration µ a. Finalement, on a Z p x n µ a = L µ (n a (0 = f a (n (0.

ARITHMÉTIQUE DE LA FONCTION ZÊTA 5 Proposition VI..3 (congruences de Kummer. Soit a N {} premier à p. Soit k. Si n et n 2 sont deux entiers k vérifiant n n 2 mod. (p p k, alors v p ( ( a +n ζ( n ( a +n 2 ζ( n 2 k. Démonstration. Comme on a supposé n k et n 2 k, on a x n p p k et x n 2 p p k si x pz p. D autre part, comme (Z/p k Z est de cardinal (p p k, et que l on a supposé n n 2 mod. (p p k, on a x n x n 2 p k Z p si x Z p. En résumé, x n x n 2 p p k quel que soit x Z p. Comme µ a, ceci implique ( a +n ζ( n ( a +n 2 ζ( n 2 p = et permet de conclure. (x n x n 2 µ a (x p k Z p p VI.2. Interpolation p-adique Comme Q Q p, on peut voir n ζ(n comme une application de N dans Q p. On peut se demander s il est possible de construire une fonction continue sur Z p coïncidant avec ζ sur N. Ce n est pas possible sous cette forme, mais on a le théorème suivant dont nous donnerons plusieurs démonstrations et quelques généralisations. Théorème VI.2.. Si i Z/(p Z, (i Z/2Z si p = 2 il existe une unique fonction ζ p,i continue sur Z p (resp. Z p {} si i (resp. si i = telle que la fonction (s ζ p,i (s soit analytique sur Z p et que l on ait ζ p,i ( n = ( p n ζ( n si n N vérifie n i modulo p. Remarque VI.2.2 (i La continuité p-adique de la fonction ζ p,i se traduit par des congruences du type de celles de la proposition VI..3. (ii Le théorème ci-dessus est dû à Kubota et Leopoldt et la fonction ζ p,i est appelée la i-ème branche de la fonction zêta de Kubota-Leopoldt. Si i est pair, alors ζ p,i est identiquement nulle car ζ( n = 0 si n 2 est pair. (iii On voit que pour rendre la fonction n ζ( n p-adiquement continue, on a été forcé de se restreindre à une classe de congruence modulo p et surtout de multiplier ζ( n par le facteur ( p n qui est le facteur d Euler en p de la fonction ζ. L explication folklorique de ce phénomène est en général la suivante. On a ζ(s = l. Si l p, on peut, en se restreignant à l s une classe de congruence modulo p (c.f. n o suivant, prolonger la fonction n l n en une fonction continue sur Z p ; par contre, il n y a rien à faire avec le facteur ( p n qui tend p-adiquement vers quand n tend vers +. Il semble

52 P. COLMEZ donc normal d être forcé de retirer ce dernier facteur si on veut que le produit soit p-adiquement continu. Malheureusement, cette explication séduisante est un petit peu trop simpliste pour être juste.. Interpolation p-adique de la fonction x x n De manière générale, étant donnée une suite (a n n N d éléments de C p, on peut essayer de les interpoler p-adiquement, c est-à-dire construire une fonction continue f : Z p C p telle que l on ait f(n = a n quel que soit n N. Comme N est dense dans Z p, une telle fonction, si elle existe, est unique. Considérons pour commencer l exemple simple de la suite a n = x n, où x Z p. Si x + pz p, la fonction f x (s = + ( s n=0 n (x n est une fonction continue de s Z p et on a f x (n = x n, ce qui fait que dans ce cas, la suite de terme général x n est p-adiquement interpolable par la fonction f x (s que nous noterons plutôt s x s. Si x pz p, la suite de terme général x n tend vers 0 quand n tend vers + et n est donc pas interpolable car si s Z p, on devrait avoir x s = lim n s x n = 0 quel que soit s Z p, ce qui est absurde si s N. Supposons p 2. Si x Z p, la situation est un peu meilleure car, si ω(x est la racine (p -ième de l unité vérifiant x ω(x pz p, on peut écrire x sous la forme ω(x x et x n sous la forme ω(x n x n. Comme x + pz p, la fonction n x n se prolonge par continuité et ω(x étant une racine p - ième de l unité, la fonction n ω(x n est périodique de période p. Ceci fait que, si on fixe i Z/(p Z et si x Z p, la fonction x xn de i + (p N dans Z p se prolonge par continuité en une fonction continue sur Z p, ce qui permet de voir x x s comme une fonction continue sur (Z/(p Z Z p ou comme une fonction multivaluée sur Z p. Ce qui précède marche encore pour p = 2, mais on préfère en général modifier un peu les choses pour tenir compte du fait que Z 2 contient 2 racines de l unité ( et même si celles-ci ont même réduction modulo 2. On a Z 2 = {±} ( + 4Z 2 et on note ω le caractère de Z 2 défini par ω(x = si x + 4Z 2 et ω(x = si x + 4Z 2. Pour avoir des formules uniformes, on pose q = 4 si p = 2 et q = p si p 2, et on note le groupe des racines de l unité contenues dans Q p, ce qui fait que si ϕ désigne la fonction indicatrice d Euler (i.e. ϕ(n = card((z/nz, alors est le groupe (cyclique des racines ϕ(q-ième de l unité et Z p est la réunion disjointe des ε + qz p pour ε. Finalement, on note encore ω la fonction sur Z p obtenue en prolongeant ω sur Z p par 0 sur pz p.

ARITHMÉTIQUE DE LA FONCTION ZÊTA 53 Proposition VI.2.3. Si i Z/ϕ(qZ, la fonction ω(x i x s est une fonction localement analytique de x Z p et de plus, ω(x i x n = x n si n i [ϕ(q] et x Z p, ω(x i x s = n s lim x n quel que soit x Z p. n i [ϕ(q] Démonstration. L analyticité locale vient de ce que l on a ω(x i x s = 0 sur pz p et ω(x i x s = ε i( x s + ( s = ε i n (x ε n ε n si x ε + qz p et ε. Le reste de la proposition suit de ce que étant d ordre ϕ(q, on a ω(x n = ω(x i si n i [ϕ(q]. 2. Transformée de Mellin p-adique et transformée Γ de Leopoldt Si i Z/ϕ(qZ, on définit la i-ème branche Mel i,µ de la transformée de Mellin d une distribution continue µ par la formule Mel i,µ (s = ω(x i x s µ(x = ω(x i x s µ(x, Z p la seconde égalité résultant du fait que ω(x = 0 si x pz p. D autre part, on a Mel i,µ (n = Z xn µ si n i [ϕ(q]. p On préfère souvent définir la transformée de Mellin d une distribution µ sur Z p comme la fonction qui à un caractère localement analytique ψ de Z p à valeurs dans C p associe l intégrale Mel µ (ψ = ψ(xµ(x. On retrouve l autre définition de la transformée de Mellin en évaluant cette transformée de Mellin en le caractère ω(x i x s et on a donc la formule Z p n=0 Z p Mel i,µ (s = Mel µ (ω(x i x s. Soit ϕ : + qz p Z p le morphisme de groupes qui à x associe log p x q. Ce morphisme est analytique et son inverse aussi, ce qui fait que si f est une fonction localement analytique (resp. continue sur Z p, la fonction ϕ f définie par ϕ f(x = f(ϕ(x est localement analytique sur + qz p (resp. continue. Si µ est une distribution à support dans + qz p, on définit la distribution ϕ µ sur Z p par la formule f(xϕ µ(x = ϕ f(yµ(y. Z p +qz p

54 P. COLMEZ Et comme ϕ transforme une fonction continue sur Z p en une fonction continue sur + qz p, l image d une mesure par ϕ est encore une mesure. (On montre plus généralement que l image d une distribution d ordre r par ϕ est une distribution d ordre r. Si µ est une distribution et α Z p, on définit la distribution δ α µ par la formule f(xδ α µ(x = Z p f(αxµ(x. Z p Lemme VI.2.4. Si X est un ouvert compact de Z p, α Z p et µ est une distribution continue sur Z p, alors Res X (δ α µ = δ α Res α X(µ. Démonstration. Comme on a X (αx = α X(x si X Z p, on en déduit la formule f(xres X (δ α µ = X (xf(xδ α µ = X (αxf(αxµ(x Z p Z p Z p = f(αx( α X(xµ(x = f(αxres α X(µ Z p Z p = f(xδ α Res α X(µ, Z p ce qui permet de conclure. Définition VI.2.5. Si µ est une distribution sur Z p et i Z/ϕ(qZ, on définit la i-ième branche Γ µ (i de la transformée Γ de µ par la formule ( ( Γ µ (i = ϕ Res +qzp ε i δ ε µ = ϕ ε i δ ε Res ε +qz p (µ, ε ε l égalité entre les deux définitions résultant du lemme précédent. Proposition VI.2.6. Soit u = e q + qz p. Si µ est une distribution continue et i Z/ϕ(qZ, alors Mel i,µ (s = ω(x i x s µ(x = u sy Γ (i µ (y = A Γ (i (u s. µ Z p Z p Démonstration. La première (resp. dernière égalité est une conséquence de la définition de la transformée de Mellin (resp. d Amice d une distribution continue. Si y = ϕ(x = log p x q, on a u sy = exp(s log p x = x s et donc u sy Γ µ (i (y = x s ε i δ ε Res ε +qz p (µ. Z p +qz p ε

ARITHMÉTIQUE DE LA FONCTION ZÊTA 55 Utilisant le fait que ω(x = ε si x ε + qz p et que εx = x, on obtient u sy Γ µ (i (y = ω(x i x s µ(x, Z p ε ε +qz p et le résultat suit de ce que Z p est la réunion disjointe des ε+qz p pour ε. Corollaire VI.2.7. Si µ est une distribution continue et i Z/ϕ(qZ, la fonction Mel i,µ (s est une fonction analytique de s et même de u s. VI.3. Construction de la fonction zêta de Kubota-Leopoldt. Première construction La série formelle log(+t T convergeant sur B(0,, il existe une distribution µ K L dont c est la transformée d Amice. La transformée de Laplace de µ K L t est e t = f 0(t et x n µ K L = f (n 0 (0 = ( n nζ( n, Z p Comme on le constate en utilisant le théorème I..3. Cette distribution ressemble beaucoup à la mesure de Haar (mais n est pas invariante par translation. On a en effet le lemme suivant. Lemme VI.3.. µ K L (x = a+p n Z p p n. Démonstration. a+p n Z p µ K L (x = p ε n pn = ε a A µk L (ε et comme log(ε = 0 si ε est une racine de l unité d ordre une puissance de p, tous les termes de la somme sont nuls sauf celui correspondant à ε =, ce qui donne le résultat. On a Z p (x = pzp (x = p ε p = εx et donc, si λ est une distribution continue sur Z p, alors A ResZ p (λ(t = ( + T x λ(x Lemme VI.3.2. p Z p = ( + T x λ(x (( + Tε x λ(x Z p p ε p = Z p = A λ (T A λ (( + Tε, p ε p = ε p = εz = z p.

56 P. COLMEZ Démonstration. Les deux membres sont des fractions rationnelles en z et, si z p <, on a p ε p = d où le résultat. εz = p + ε p = n=0 (εz n = n 0 [p] La transformée d Amice de Res Z p (µ K L est donc z n = z p, log( + T T p ε p = log(( + Tε ( + Tε = log( + T T log( + T ( + T p = A µk L (T p A µ K L (( + T p. On en tire les formules L ResZ p (µ K L (t = L µk L (t L µk L (pt = f 0 (t p f 0(pt x n µ K L (x = ( p n f (n 0 (0 = ( n n( p n ζ( n. Z p Pour définir la fonction zêta de Kubota-Leopoldt, il suffit alors de poser, si i Z/ϕ(qZ, ζ p,i (s = ( i s Mel i,µ K L ( s = ( i ω(x i x s µ K L (x. s Par construction, on a ζ p,i ( n = ( p n ζ( n si n N vérifie n i [p ]. D autre part, la fonction Mel i,µk L ( s étant analytique sur Z p, la fonction (s ζ p,i (s est analytique sur Z p et lim (s ζ p,i(s = ω(x i µ K L (x s Z p { /p si i =, = ω(α i µ K L (x = α Z p /(+pzp α+pz p 0 sinon. On en déduit le fait que si i, la fonction ζ p,i peut se prolonger par continuité en s = en une fonction analytique sur Z p. Remarque VI.3.3. La formule lim s (s ζ p, (s = /p est à rapprocher de la formule analogue pour la fonction zêta de Riemann. La différence entre les deux formules est encore une fois donnée par un facteur d Euler en p. Z p

ARITHMÉTIQUE DE LA FONCTION ZÊTA 57 2. Deuxième construction On peut aussi partir de la mesure µ a introduite au VI.. Lemme VI.3.4. Les transformées d Amice et Laplace de la restriction de µ a à Z p sont données par les formules A ResZ p (µ a(t = A µa (T A µa (( + T p L ResZ p (µ a(t = L µa (t L µa (pt = f a (t f a (pt. Démonstration. C est le même calcul que celui effectué pour calculer les transformées d Amice et Laplace de la restriction de µ K L à Z p. On en déduit la formule x n µ a (x = ( p n f a (n (0 = ( n ( a +n ( p n ζ( n Z p qui montre que restreindre à Z p fait apparaître un facteur d Euler en p. Si i Z/ϕ(qZ, et si a Z p vérifie a, définissons une fonction g a,i sur Z p par la formule g a,i (s = ω(a i a smel i,µ a ( s = ω(a i a s ω(x i x s µ a (x. D après le corollaire VI.2.7, Mel i,µa ( s est une fonction analytique de s. D autre part, si ω(a i, la fonction s ω(a i a s est une fonction analytique de s ne s annulant pas sur Z p car a s +qz p et ω(a i {} et donc ω(a i / + qz p ; si ω(a i =, la fonction a s ne s annule que pour s =. On en déduit le fait que g a,i est une fonction continue sur Z p {} et même sur Z p si ω(a i. De plus, si n i [ϕ(q], on a ω(a i = ω(a +n et ω(x i = ω(x n si x Z p et donc g a,i ( n = ω(a +n a +n Z p Z p ω(x n x n µ a (x = a +n x n µ a (x Z p = ( n ( p n ζ( n ne dépend pas du choix de a. Si a et a sont 2 éléments de Z p, la fonction g a,i g a,i est donc un quotient de fonctions analytiques sur Z p s annulant en un nombre infini de points, ce qui implique qu elle est identiquement nulle et que la fonction g a,i est indépendante du choix de a. Il suffit donc de poser ζ p,i = g a,i pour n importe quel choix de a vérifiant a et ω(a i si i pour avoir une construction de la fonction zêta de Kubota-Leopoldt.

58 P. COLMEZ Remarque VI.3.5. Si p 2, on peut aussi conclure au fait que g a,i g a,i est identiquement nulle en utilisant le fait que c est une fonction continue sur Z p {} s annulant en tous les éléments de i (p N qui est un sous-ensemble dense de Z p. VI.4. Les zéros de la fonction zêta p-adique Comme nous l avons signalé dans l introduction, la fonction zêta p-adique est étroitement reliée aux groupes de classes d idéaux des corps Q(e 2iπ/pn, pour n N. Le théorème VI.4. ci-dessous est une conséquence d un théorème plus précis de Mazur et Wiles et donne une bonne illustration de ce lien. L énoncé de ce théorème va demander un peu de préparation. Tout d abord, si K/F est une extension finie de corps de nombres, et si a est un idéal non nul de l anneau des entiers O K de K, on définit l idéal N K/F (a comme l idéal de O F engendré par les N K/F (α, pour α a. On a N K/F (ab = N K/F (an K/F (b et N K/F ((α = (N K/F (α, ce qui montre que N K/F induit, par passage aux quotients, un morphisme de groupes du groupe des classes d idéaux de K dans celui des classes d idéaux de F. Ce morphisme envoie le p-sylow dans le p- Sylow puisque le p-sylow d un groupe abélien fini n est autre que l ensemble des éléments d ordre une puissance de p. Dans tout ce qui suit, on suppose p 2. Si n, on note F n le corps cyclotomique Q(e 2iπ/pn et X n le p-sylow du groupe des classes d idéaux de F n. D après la discussion précédente, l application N Fn+ /F n induit un morphisme de groupes de X n+ dans X n. On note X la limite projective des X n relativement aux applications N Fn+ /F n. Un élément c de X est donc une suite (c n n, avec c n X n et c n = N Fn+ /F n (c n+ quel que soit n. Comme chaque X n est un p-groupe abélien fini et donc un Z p -module, X est un Z p -module compact. On note F la réunion des F n. C est une extension galoisienne de Q et son groupe de Galois est canoniquement isomorphe à Z p via le caractère cyclotomique χ cycl : en effet, si ε est une racine primitive p n -ième de l unité, alors tout conjugué de ε est de la forme ε a, avec a (Z/p n Z, et si σ Gal(F /Q, alors χ cycl (σ est l unique élément a Z p (rappelons que Z p est la limite projective des (Z/p n Z tel que l on ait σ(ε = ε a pour toute racine de l unité d ordre une puissance de p. Le groupe Gal(F /Q laisse stable chaque F n, respecte l anneau des entiers, et donc transforme un idéal en un idéal et un idéal principal en un idéal principal et, par suite, agit sur X n. Comme cette action commute aux applications N Fn+ /F n, on obtient une action de Gal(F /Q sur X.

ARITHMÉTIQUE DE LA FONCTION ZÊTA 59 Théorème VI.4.. Si i (Z/(p Z est impair et si s Z p, alors les deux conditions suivantes sont équivalentes : (i ζ p,i (s = 0; (ii il existe un élément c de X qui n est pas tué par une puissance de p et sur lequel σ Gal(F /Q agit via la formule σ(c = ω(χ cycl (σ i χ cycl (σ s c. Le théorème précédent caractérise les zéros de la fonction zêta p-adique mais n est pas très explicite : on ne sait, par exemple, pas démontrer l énoncé suivant qui reste le principal problème ouvert concernant la fonction zêta p- adique. Conjecture VI.4.2. Si i (Z/(p Z est impair, et si k est un entier, alors ζ p,i (k 0. On sait démontrer ce résultat pour k =, mais cela résulte d un théorème profond sur les formes linéaires de logarithmes de nombres algébriques (cf. n o 2 du VI.5. Pour traiter le cas général, il faudrait disposer d un résultat analogue pour les polylogarithmes. VI.5. Fonctions L p-adiques attachées aux caractères de Dirichlet Ce que l on vient de faire pour la fonction zêta de Riemann s étend sans douleur aux fonctions L de Dirichlet (à l exception du théorème de Mazur- Wiles qui s étend, mais pas sans douleur.. Construction Soit χ un caractère de Dirichlet de conducteur d > premier à p. On note ε d la racine de l unité ε d = e 2iπ/d. Si χ (b 0, alors ε b d est une racine de l unité d ordre premier à p et distincte de, ce qui implique ε b d p =. On en déduit le fait que la série entière F χ (T = χ (b G(χ ( + Tε b d = G(χ b mod d b mod d χ (b + n=0 ε nb d (ε b d n+tn est à coefficients bornés et donc est la transformée d Amice d une mesure µ χ sur Z p dont la transformée de Laplace est F χ (e t = L χ (t. On a donc x n µ χ = L χ (n (0 = L(χ, n Z p d après le n o 2 du I.5.

60 P. COLMEZ Définition VI.5.. On définit la fonction-l p-adique associée à χ comme étant la transformée de Mellin de µ χ et on note cette fonction ψ L p (χ ψ. Si ψ est un caractère localement analytique sur Z p, on a donc L p (χ ψ = ψ(xµ χ (x. D autre part, si i Z/ϕ(qZ, on pose L p,i (χ,s = L p (χ (ω i (x x s = Z p Z p ω i (x x s µ χ (x. Proposition VI.5.2. Si i Z/ϕ(qZ, la fonction L p,i (χ,s est une fonction analytique sur Z p et on a L p,i (χ, n = ( χ(pp n L(χ, n si n N vérifie n i [ϕ(q]. Démonstration. Le fait que L p,i (χ,s soit une fonction analytique sur Z p suit des propriétés générales de la transformée de Mellin d une mesure (corollaire VI.2.7. D autre part, d après le lemme VI.3.2, on a ( + Tε b η p = d η = p ( + T p ε pb d on en déduit le fait que la transformée d Amice de la restriction à Z p de µ χ est χ (b G(χ ( + Tε b b mod d d χ (b ( + T p ε pb d, ce qui, mettant χ (b sous la forme χ(pχ (pb et utilisant le fait que b pb est une bijection modulo d, peut se réécrire sous la forme A µχ (T χ(pa µχ (( + T p. On en déduit les formules L ResZ p (µ χ(t = L µχ (t χ(pl µχ (pt et x n µ χ = ( χ(pp n L(χ, n, si n N, et le résultat. 2. Comportement en s = des fonctions L de Dirichlet En reprenant la formule pour L(χ,s donnée au n o 2 du I.5, on obtient L(χ, = G(χ = G(χ b mod d b mod d Z p + χ (b n=0 ε nb d n χ (blog( ε b d. On peut obtenir de plus jolies formules en regroupant les contributions de b et b et en séparant le cas χ pair (χ( = du cas χ impair (χ( =.

ARITHMÉTIQUE DE LA FONCTION ZÊTA 6 Nous allons établir l analogue p-adique de cette formule. Il s agit de calculer Z p x µ χ. Pour ce faire, nous allons calculer la transformée d Amice de x µ χ (qui n est déterminée qu à constante près puis restreindre à Z p, ce qui tue l indétermination qui correspond à un multiple de la masse de Dirac en 0. Proposition VI.5.3. La transformée d Amice de x µ χ est (à constante près donnée par la formule A x µ χ (T = G(χ χ (blog p (( + Tε b d b mod d Démonstration. Si µ est une distribution, les transformées d Amice de µ et x µ sont reliées par la formule ( + T d dt A x µ(t = A µ (T. Appliquons l opérateur (+T d dt au membre de droite de l identité à vérifier ; on obtient G(χ χ ( + Tε b d (b ( + Tε b d = ( G(χ χ (b ( + Tε b d + b mod d b mod d et cette dernière expression est égale à A µχ (T comme on le voit en utilisant le fait que b mod d χ (b = 0. On en déduit le fait que les deux membres ont même image par (+T d dt et donc qu ils diffèrent par une fonction localement constante. Pour conclure, il faut encore vérifier que le second membre est bien donné par une série de rayon de convergence ; mais on a log p (( + Tε b d = log p(ε b d + log p( + εb d T ε b d + = log p (ε b d + ( n ( ε b d T n n ε b d et comme on a supposé (d,p =, on a ε b d p = et la série est bien de rayon de convergence. Ceci permet de conclure. Lemme VI.5.4. La transformée d Amice de la restriction de x µ χ à Z p est donnée par la formule A ResZ p (x µ χ(t = G(χ b mod d n= ( χ (b log p (( + Tε b d p log p(( + T p ε pb = A x µ χ (T χ(p p A x µ χ (( + T p. d

62 P. COLMEZ Démonstration. On utilise la formule générale donnant la transformé d Amice de la restriction à Z p d une mesure en fonction de celle de la mesure et l identité η p = log p (( + Tε b d η = log p(( + T p ε pb d, ce qui permet de montrer la première des deux égalités ; la seconde se démontre en écrivant χ (b sous la forme χ(pχ (bp et en utilisant le fait que b pb est une bijection modulo d comme nous l avons déjà fait. En posant T = 0 dans la formule précédente, on obtient Z p x µ χ = ( G(χ χ(p p b mod d χ (blog p (ε b d, formule qui ne diffère de la formule complexe que par un facteur d Euler et le remplacement du logarithme usuel par le logarithme p-adique. Il s agit d une illustration d un phénomène surprenant au premier abord qui fait que les formules p-adiques et les formules complexes continuent à se ressembler beaucoup même en des points où elles n ont aucune raison de le faire a priori. 3. Torsion par un caractère de conducteur une puissance de p Notre but dans ce paragraphe est d étendre les résultats des deux paragraphes précédents pour calculer la fonction L p-adique de χ évaluée en un caractère de la forme ψ(xx n, où ψ est un caractère de Dirichlet de conducteur une puissance de p (vu comme caractère localement constant de Z p et n un entier. Nous utiliserons la notation χ ψ pour désigner le caractère de Dirichlet modulo dp k défini par (χ ψ(a = χ(aψ(a, où χ et ψ sont vus comme des caractères mod dp k grâce aux projections respectives de (Z/dp k Z sur (Z/dZ et (Z/p k Z. Lemme VI.5.5. Soit k, ψ un caractère de Dirichlet de conducteur p k et µ une distribution continue sur Z p. Alors on a Z p ψ(x( + T x µ(x = G(ψ ψ (ca µ (( + Tε c p. k c mod p k

ARITHMÉTIQUE DE LA FONCTION ZÊTA 63 Démonstration. On a ψ(x( + T x µ(x = ψ(a ( + T x µ χ Z p a mod p k a+p k Z p = ( ψ(a p k η a A µ (( + Tη a mod p k = η pk = η pk = ( A µ (( + Tη p k ψ(aη a. a mod p k Si on écrit η sous la forme ε c p k = e 2iπc/pk, on reconnaît dans le terme entre parenthèses une somme de Gauss tordue (divisée par p k dont la valeur est donnée par le lemme I.5. et ce terme vaut donc p k ψ ( cg(ψ = ψ (c G(ψ, la dernière égalité provenant de la formule G(ψG(ψ = ψ( p k (lemme I.5.. On en tire le résultat. Proposition VI.5.6. Si µ est une mesure sur Z p dont la transformée d Amice est de la forme A µ (T = G(χ χ (bf(( + Tε b d b mod d et si ψ est un caractère de Dirichlet de conducteur p k avec k, alors ψ(x(+t x µ(x = Z p G((χ ψ (χ ψ (af((+tε a dp. k a mod dp k Démonstration. D après le lemme précédent, on a Z p ψ(x( + T x µ(x = G(χ G(ψ b mod d c mod p k χ (bψ (cf(( + Tε b d εc p k. Pour mettre cette expression sous une forme un peu plus sympathique, on peut utiliser le fait que tout élément a de Z/dp k Z peut s écrire de manière unique sous la forme dc + p k b, avec b Z/dZ et c Z/p k Z, ce qui donne les formules ε a dp k = ε b d εc p k (χ ψ (a = χ (p k ψ (dχ (bψ (c

64 P. COLMEZ G((χ ψ = et permet de conclure. (χ ψ (aε a dp k a mod dp k ( ( = χ (p k ψ (d χ (bε b d ψ (cε c p k b mod d c mod p k = χ (p k ψ (dg(χ G(ψ On peut appliquer la proposition précédente à la distribution x µ χ et à la fonction F(T = log p (T. On obtient, en évaluant le résultat en T = 0, L p (χ (x ψ = ψ(xx µ χ = Z p G((χ ψ x mod dp k (χ ψ (xlog p (ε x dp k, formule qui est à rapprocher de la formule correspondante sur les complexes. Proposition VI.5.7. Si ψ est un caractère de Dirichlet non trivial de conducteur une puissance de p et n N, alors L p (χ (x n ψ = L(χ ψ, n. Démonstration. On tire de la proposition précédente et de la formule donnant la transformée d Amice de µ χ, le fait que la transformée d Amice de ψ(xµ χ (x est G((χ ψ x mod dp k (χ ψ (x ( + Tε x dp k et donc que sa transformée de Laplace est la fonction L χ ψ (t. Le résultat s en déduit. Remarque VI.5.8. Il n y a pas de facteur d Euler apparaissant dans les deux formules précédentes ; c est dû au fait que p n est pas premier au conducteur de χ ψ et donc χ ψ(p = 0. P. Colmez, Équipe d arithmétique, Institut de mathématiques, Tour 46-56 -5ème étage- Boîte 247, 4, place Jussieu, 75252 Paris Cedex 05, France