Projet de Semestre. été 2005. Fibrés Vectoriels. Oliver Prosperi. Professeur Responsable: prof. K. Hess Bellwald

Projet de Semestre été 2005 Fibrés Vectoriels Oliver Prosperi Professeur Responsable: prof. K. Hess Bellwald

Table des matières Résumé 2 Table des notations 2 Introduction 3 Chapitre 1. K-familles 5 1. Notions de base 5 2. Morphismes 6 3. K-famille triviale 8 4. Restrictions et K-familles induites 10 Chapitre 2. Fibrés Vectoriels 13 1. Fibré vectoriel 13 2. Théorèmes de recollement 14 3. Opérations sur le Fibrés Vectoriels 20 4. Sections de Fibrés Vectoriels 25 5. Théorie de l Homotopie des Fibrés Vectoriels 31 6. Propriétés algébriques 34 Bibliographie 49 Index 51 1

2 TABLE DES MATIÈRES Résumé En partant de la structure de base de K-famille, nous introduisons la notion de fibré vectoriel sur un espace topologique. Nous montrons ensuite des propriétes essentielles des fibrés vecoriels, en particulier les recollements, le lien avec les G- cocycles, les fibrés induits, la possibilité d effectuer des opérations comme la somme directe, et le concept de section, on observe les fibrés avec les "lunettes" de la théorie de l homotopie. Finalement, nous étudions les propriétés algébriques des fibrés vectoriels pour conclure avec l important théorème de Serre-Swan qui fait le pont entre les fibrés vectoriels et les modules projectifs de type fini et qui a une grande importance en K théorie. Table des notations Nous utiliserons les notations suivantes tout au long du travail: K fam la catégorie des K-familles K fam (X) la catégorie des K-familles sur X π i la projection sur le i-ème facteur f (ξ) la K-famille induite par f de ξ ξ X ou E X la réstriction de ξ à X X H 1 (X, G) l ensemble des classes d équivalence des G-cocylces C (E, F ) les morphismes de E vers F dans la catégorie C Hom C (E, F ) les morphismes de E vers F dans la catégorie C A := C K (X) l anneau des fonctions continues à valeur dans K Γ(X, E) = Γ(E) l ensemble des sections continues sur le fibré (E, p, X) θ n le fibré trivial de rang n

Introduction Dans le cadre du "Projet de l Index", qui regroupe quatorze projets individuels dont le but commun est de s approcher du Théorème de l indice d Atiyah et Singer, ce projet vise à introduire les notions principales liées à la théorie des fibrés vectoriels sur un espace topologique, afin de permettre une introduction à la K théorie topologique Dans ce texte on utilise souvent des concepts liés à la théorie des catégories qui n appartiennent pas directement au sujet étudié ici. Pour avoir plus de détails sur la théorie des catégories je recommande la lecture de projet de Xavier Alexandre "Théorie des Catégories" [7] qui fait aussi partie de l ambitieux projet de l index. Tout au long de l œuvre on applique la convention que K est soit le corps R soit le corps C, et π i représente la projection sur le i-ème facteur d un produit. De plus on utilise deux notations, C (E, F ) et Hom C (E, F ), pour indiquer les morphismes de E vers F dans la catégorie C. Il ne me reste plus qu a vous souhaiter un bonne lecture! 3

CHAPITRE 1 K-familles 1. Notions de base Définition 1.1. Soient E et X deux espaces topologiques. Soit p : E X une application continue telle que pour tout x X : (1) E x = p 1 (x) est muni d une structure de K-espace vectoriel de dimension finie ; (2) la topologie sur E induit la topologie naturelle sur chaque E x On appelle alors X: l espace de base E: l espace totale p: la projection E x : la fibre de E en x (E, p, X): une K-famille sur X Remarque 1.2. p 1 (x) (1) On a que n est pas un K-espace vectoriel, donc x X et donc p est surjective. (2) E = x X E x, la réunion disjointe des espaces E x. En effet si p(z) = x, alors z E x et z / E x pour tout x x. Exemple 1.3. Soit X la sphère S n = {x R n+1 : x = 1}. Pour tout point x de S n on choisit E x comme étant l espace vectoriel orthogonal à x. Alors E = x X E x S n R n+1 est muni de la topologie induite. On pose p : E S n la projection sur la première composante : p(z) = x avec z E x. Alors (E, p, S n ) est une K-famille. Exemple 1.4. La K-famille produit sur X avec fibre F est (X F, p, X) ou p : X F X est la projection sur le premier facteur, F est un K-espace vectoriel de dimension finie et p 1 (x) = {x} F = F. Ainsi X F = x X{x} F. 5

6 1. K-FAMILLES Notation 1.5. On note une K-famille avec une lettre grècque (ξ, η, ζ,... ) ξ = (E, p, X). 2. Morphismes Définition 1.6. Soient ξ = (E, p, X) et ξ = (E, p, X ) deux K-familles. Un morphisme de ξ vers ξ est un couple (f, g) d applications continues f : X X et g : E E telles que : (1) p g = fp, donc telles que le diagramme suivant soit commutatif. g E E p p f X X (2) L application induite par g à chaque x X, g x : E x E f(x) définie par g x (z) = g(z), soit K-linéaire. Remarque 1.7. Si (f, g) : (E, p, X) (E, p, X ) et (f, g ) : (E, p, X ) (E, p, X ) sont des morphismes de K-famille, alors le diagramme suivant est commutatif : g E E g E p p p f X X f X En effet on a fp = p g et f p = p g et donc p g g = f p g = f fp. De plus l application (g g) x : E x E f f(x) définie par (g g) x (z) = g f(x) (g(z)) est K-linéaire. En effet on a et donc E x g x E f(x) g f(x) E f f(x) (g g) x (αy + βz) = g f(x) (g x(αy + βz)) = αg f(x) g x(y) + βg f(x) g x(z) = α(g g) x (y) + β(g g) x (z) Par conséquent les compositions g g et f f induisent un morphisme de K- familles (f f, g g) : (E, p, X) (E, p, X ) qui est défini comme étant la composition (f f, g g) = (f, g ) (f, g) de (f, g) et (f, g ). On peut donc construire une catégorie où les objets sont les K-familles et les flèches sont les morphismes de K-familles. Le morphisme identité est donné par le morphisme (id X, id E ) et l associativité découle de l associativité de la composition

2. MORPHISMES 7 d applications continues. On note cette catégorie K fam Cas particulier Si ξ et ξ ont la même base X, un morphisme entre ξ et ξ est un morphisme (f, g) au sens de la définition (1.6) avec f = id X. Le diagramme suivant doit donc être commutatif : g E E p p X On note g à la place de (f, g) = (id x, g). Les K-familles de même base X et les morphismes g forment une sous-catégorie de K fam noté K fam (X). Définition 1.8. Soit (f.g) : (E, p, X) (E, p, X ) un morphisme de K- familles. (f, g) est un isomorphisme s il existe un morphisme (f, g ) : (E, p, X ) (E, p, X) tel que la composition (f, g ) (f, g) = (f f, g g) = (id X, id E ) et (f, g) (f, g ) = (ff, gg ) = (id X, id E ) Remarque 1.9. Si (f, g) est un isomorphisme, alors il existe un unique (f, g ) tel que (f f, g g) = (id X, id E ) et (ff, gg ) = (id X, id E ). En effet, si (f, g ) est un autre tel morphisme, on obtient g (z ) = g (id E (z )) = g gg (z ) = id E (g (z )) = g (z ), pour tout z E et f (x ) = f (id X (x )) = f ff (x ) = id X (f (x )) = f (x ), pour tout x X Donc (f, g ) = (f, g ). On appelle (f,g ) le morphisme inverse de (f, g) et on le note (f, g) 1. Définition 1.10. Deux K-familles sont isomorphes s il existe un isomorphisme entre les deux. Exemple 1.11. Reprenons l exemple (1.3) et posons n = 1. On a ξ = (E, p, X), E S 1 R 2. Posons en plus ξ = (S 1 R, π, S 1 ) où S 1 R a la topologie produit et π est la projection sur le premier facteur. Si on identifie R 2 avec le corps des nombres complexes comme d habitude, on définit g : E S 1 R par g(x, z) = (x, iz x ). Alors g est un morphisme de K-famille sur S 1 et en fait, c est aussi un isomorphisme.

8 1. K-FAMILLES z rotation de i/x iz/x x 3. K-famille triviale Définition 1.12. Soit V un K-espace vectoriel de dimension finie. Soit E = X V, p : E X la projection sur le premier facteur et E x = x V pour tout x X. Alors (E, p, X) = (X V, p, X) est appelé K-famille triviale. On aimerait maintenant décrire les morphismes entre deux K-familles triviales de même base X, E = X V et E = X V. Soit donc g : E E un morphisme de K-famille, le diagramme suivant g X V X V p p X est alors commutatif, donc p g = p et ainsi p g(x, v) = p(x, v) p (x, v ) = x x = x Donc pour tout (x, v) X V on a g(x, v) = (x, v ) où v = π 2 g(x, v) V. Ceci implique que pour tout point x de X, g induit une application linéaire g x : V V définie par g x (v) = π 2 g(x, v) (où on identifie {x} V avec V et {x} V avec V ). Posons ǧ : X L (V, V ) définie par ǧ(x) = g x (où L (V, V ) est l espace des applications linéaires de V vers V ). Théorème 1.13. L application ǧ : X L (V, V ) est continue par rapport à la topologie naturelle de L (V, V ). Réciproquement, soit h : X L (V, V ) une application continue, et soit ĥ : E E l application qui induit h(x) pour tout x X. Alors ĥ est un morphisme de K-famille sur X. Démonstration. Soit {e 1,..., e n } une base de V et {f 1,..., f p } une base de V. Puisque g x est linéaire on peut voir cette application comme une matrice p n

3. K-famille TRIVIALE 9 (α ij (x)) ij où α ij (x) K est la i-ème coordonné du vecteur g x (e ij ). La fonction α ij : X K qui nous donne le coefficient α ij (x) pour tout x X est continue car c est la composition des applications continues suivantes : X β j X V g X V γ V p i K où β j (x) = (x, e j ), γ(x, v ) = v et p i est la i-ème projection de V sur K. On observe que L (V, V ) peut être identifié à K p+n et donc α 11 α 12 ǧ(x) =. α pn On peut donc affirmer que ǧ est continue si et seulement si chaque α ij est continue. Par ce qui précède on a donc que ǧ est continue. Réciproquement si h : X L (V, V ) est une application continue, alors ĥ : E E est obtenue par la composition des applications continues suivantes : X V δ X L (V, V ) V ε X V où δ(x, v) = (x, h(x), v) et ε(x, u, v) = (x, u(v)). Donc ĥ = εδ est continue et on a bien que ĥx(v) = h(x)(v) pour tout v V, ainsi ĥ induit h(x) pour tout x X. On a que ĥ fait commuter le diagramme ĥ X V X V p p X par définition et ĥx est linéaire, donc X ĥ est bien un morphisme de K-famille sur Remarque 1.14. On a bien que ˆǧ = g car pour tout (x, v) E ˆǧ(x, v) = (x, ǧ(x)(v)) = (x, g x (v)) = g(x, v) et que ˇĥ = h car ˇĥ(x)(v) = ĥx(v) = h(x)(v) pour tout v V et x X.

10 1. K-FAMILLES 4. Restrictions et K-familles induites Définition 1.15. Soit ξ = (E, p, X) une K-famille et soit X X un sousespace de X. Le triple (p 1 (X ), p p 1 (X ), X ) forme une K-famille ξ appelé réstriction de ξ à X. On note (p 1 (x), p p 1 (X ), X ) par ξ X ou simplement ξ X ou E X. Les fibres de ξ X sont les fibres de ξ au dessus du sous-espace X. Si X X X alors on a bien (ξ X ) X = ξ X Définition 1.16. Soit f : Y X une application continue et soit ξ = (E, p, X) une K-famille. La K-famille induite par f de ξ est une K-famille f (ξ) qui a comme base Y, comme espace total E qui est le sous-espace de Y E de tous les couples (y, z) Y E avec f(y) = p(z). La projection π 1 est l application π 1 (y, z) = y. La fibre au dessus de ȳ est donnée par : E ȳ = (π 1 ) 1 (ȳ) = {(y, z) E : y = ȳ et f(y) = p(z)} Parfois on indique E par f (E). Remarque 1.17. = {(ȳ, z) E : z E f(ȳ) } = {ȳ} E f(ȳ) (1) Le diagramme suivant est commutatif f (E) π2 π 1 Y f où π 2 est la projection sur le deuxième facteur. En effet si (y, z) f (E) alors π 2 (y, z) = z et π 1 (y, z) = y et on sait que f(y) = p(z), donc fp (y, z) = pπ 2 (y, z). (2) Si f = id : X X alors f (ξ) = ξ car E = x X E x = E x X p E X E x = x X E f(x) = (3) Si f : Z Y est une autre application continue, alors on a (f f ) (ξ) = f (f (ξ)). En effet pour (f f ) (ξ) on a E z = E f f (z). De l autre côté on a d abord que pour f (ξ), l espace E y = E f(y), et ensuite, pour f (ζ), on a E z = E f (z). On pose maintenant ζ = f (ξ) et on obtient E z = E f (z) = E f f (z). (4) Si Y X et f est l inclusion, alors on a f (ξ) = ξ Y. En effet E y = E f(y) = E y

4. RESTRICTIONS ET K-FAMILLES INDUITES 11 Proposition 1.18. Si (f, g) est un morphisme de K-familles entre (E, p, X) et (E, p, Y ) avec f : Y X et g : E E, alors (f, g) induit un morphisme de K-familles sur Y, h : E f (E) comme le montre de diagramme suivant E h f (E) π2 E p où π i est la projection sur le i-ème facteur. Y id Y π 1 f X p Démonstration. L application f : Y X induit la K-famille (f (E), π 1, Y ) et si on pose h(e ) = (p (e ), g(e )) pour e E, alors on a bien (p (e ), g(e )) f (E) car pπ 2 (p (e ), g(e )) = p(g(e )) = fp (e ) = fπ 1 (p (e ), g(e )). Ainsi on observe que p (e ) = π 1 (p (e ), g(e )) = π 1 (h(e )). On peut donc affirmer que la partie de gauche du diagramme commute et donc h est un morphisme. Considérons maintenant deux K-familles sur X (E, p E, X) et (F, p f, X), un morphisme α : E F et une application continue f : Y X. On peut définir un morphisme f (α) : f (E) f (F ) par f (α)(y, e) = (y, α(e)) qui est continu car α est continue. Ainsi le diagramme suivant est commutatif : f (F ) f (α) π F 1 f (E) π E 2 π F 2 F α E p F π E 1 Y En particulier si Y X et f est l inclusion alors f (α) correspond à la restriction de α à p 1 E (Y ) ; en effet, on a f (α) : p 1 E (Y ) p 1 F (Y ) car f (E) = p 1 E (Y ) et f (F ) = p 1 f (Y ) par le point (4) de la remarque 1.17. Proposition 1.19. Soit f : Y X une application continue. Alors la correspondance E f (E) et α f (α) est un foncteur entre la catégorie des K-familles sur X et la catégorie des K-familles sur Y. Démonstration. Il nous reste seulement a voir que si β : F G est un morphisme vers une famille G alors Soit (y, e) f (E). On a alors f (β α) = f (β) f (α). f p E f (β) f (α)((y, e)) = f (β)((y, α(e))) = (y, β(α(e))) = (y, β α(e)) X = f (β α)((y, e))

CHAPITRE 2 Fibrés Vectoriels 1. Fibré vectoriel Définition 2.1. Soit ξ = (E, p, X) une K-famille, alors ξ est dit un fibré vectoriel si pour tout point x X il existe un voisinage U de x tel que la restriction ξ U de ξ à U soit isomorphe à une K-famille triviale Cette dernière condition est verifiée s il existe un K-espace vectoriel V de dimension finie et un homéomorphisme ϕ : U V p 1 (U) tel que le diagramme suivant soit commutatif : U V ϕ p 1 (U) π 1 p p 1 (U) U et si pour tout point y U l application ϕ y : V E y soit K-linéaire ; de sorte que ϕ soit un isomorphisme de K-familles. Notation 2.2. On appelle U un domaine de trivialisation en x X du fibré vectoriel ξ. Un recouvrement {U i } i I de X est dit un recouvrement de trivialisation si chaque U i est un domaine de trivialisation. Exemple 2.3. Montrons que l exemple 1.3 est un fibré vectoriel. E = x X E x où E x est l espace vectoriel orthogonal à x. E S n R n+1. Pour x S n on pose U x = {y S n :< y, x > 0} où <.,. > est le produit scalaire usuel de R n+1. Posons ϕ x : p 1 (U x ) U x E x définie par ϕ x (u, v) = (u, w) où w est la projection orthogonale de v sur E x. Explicitement on a w = v < v, x > x. Inversement on a v = w <g,w> <x,g> x. Ainsi ϕx est un homéomorphisme et de plus, grâce à la linéarité du produit scalaire, on a bien que les applications ϕ x (u,v) et (ϕ x ) 1 (u,w) sont K-linéaires, et donc E est localement trivial. 13

14 2. FIBRÉS VECTORIELS 2. Théorèmes de recollement Théorème 2.4 (Recollement de morphismes). Soient ξ = (E, p, X) et ξ = (E, p, X) deux fibrés vectoriels avec même base X. Soient de plus (1) Un recouvrement ouvert {U i } de X (2) Une collection de morphismes α i : ξ Ui ξ U j i I (où ξ Ui = (p 1 (U i ), p p 1 (Ui ), U i) et ξ U i = (p 1 (U j ), p p 1 (Uj ), U j )) tels que α i Ui U j = α j Ui U j pour tout i, j I Alors il existe un unique morphisme α : ξ ξ tel que α p 1 (Ui ) = α i. Démonstration. Unicité : Soit e E, comme {U i } i I est un recouvrement de X, on a que e E Ui pour un certain i I (E Ui est l espace total de ξ Ui ). Donc α(e) = r i (α i(e)) où r i : E U i E est l inclusion. Ainsi α est uniquement déterminée grâce à la condition (2) qui nous dit que α ne dépend pas du choix de l ouvert U i Existence On identifie E Ui et E U j avec des sous-ensembles de E et E respectivement. Pour e E on pose α(e) = α i (e) avec i tel que e appartienne à l espace E Ui. La condition (2) nous dit que cette définition est indépendante du choix de l ouvert U i. Les sous-ensembles E U i = p 1 (U i ) forment un recouvrement ouvert de l espace E. En effet p 1 (U i ) est un ouvert comme p est continue et si e E alors p (e ) U i pour un certain i I et donc e p 1 (U i ). On vérifie maintenant que α est continue. Soit A E un ouvert de E, alors on peut écrire A = i I E U i A et donc α 1 (A) = α 1 ( i I E U i A) = i I α 1 (E U i A) = i I α 1 i (E U i A) Ainsi α 1 (A) = i I α 1 i (E U i A) qui est un ouvert de E comme réunion d ouverts vu que α i est continue pout tout i I. Donc α est continue. D autre part α x : E x E x est linéaire car E x = p 1 (x) p 1 (U i ) = E Ui avec x U i, donc α x = α i x qui est linéaire. Ainsi α est un morphisme de fibrés vectoriels. Théorème 2.5 (Recollement de fibrés). Soit {U i } i I un recouvrement ouvert d un espace topologique X. Soient ξ i = (E i, p i, U i ) des fibrés vectoriels sur les espaces U i. Soient de plus g ji : ξ i Ui U j ξ j Ui U j des isomorphismes qui satisfont la condition de compatibilité g ki Ui U j U k = g kj g ji pour tout i, j, k I où

2. THÉORÈMES DE RECOLLEMENT 15 g kj = g kj Ui U j U k et g ji = g ji Ui U j U k. Alors il existe un fibré vectoriel sur X et des isomorphismes g i : ξ i ξ Ui le diagramme suivant commute tels que g ξ ji i Ui U j ξ j Ui U j g i Ui U j g j Ui U j ξ Ui U j Démonstration. La preuve est omise, voir Karoubi [1] p.8. Exemple 2.6. Soit S n la sphère de R n+1, i.e. S n = {x = (x 1,..., x n+1 ) R n+1 : x = x 2 1 + + x2 n+1 = 1}. Soit S n + (respectivement S n le sous-ensemble de S n tel que S n + = {x S n : x n+1 0} (respectivemet S n = {x S n : x n+1 0}. On obtient ainsi que S n + S n = S n 1. Soit de plus f : S n 1 GL p (K) une application continue. Selon le théorème (2.5) il existe un fibré vectoriel E f sur S n associé naturellement a f. E f est obtenu en récollant les fibrés triviaux E 1 = S+ n K p et E 2 = S n K p avec l application de "transition" g 21 = ˆf : S n 1 K p S n 1 K p définie par g 21 (z, k) = (z, f(z)(k)) pour tout z S n 1 et k K p (g 11 et g 22 sont l application identité) Définition 2.7. Soit ξ = (E, p, X) un fibré vectoriel. On définit sur X une fonction rang r E : X N par r(x) = dim ev (E x ) = la dimension comme espace vectoriel de E x pour tout x X. Si r E est constante égale à un entier n pour tout x X, alors on dit que n est le rang de ξ Remarque 2.8. L application r E est localement constante. En effet pour tout x X il existe un domaine de trivialisation U X et un homéomorphisme ϕ : p 1 (U) U V où V est un espace vectoriel de dimension finie n. Ainsi, via ϕ, E x est homéomorphe à V pour tout x U et ainsi dim ev (E x ) = dim ev (V ) = n pour tout x U et donc r(u) = {n}. Remarque 2.9. Si X est connexe alors r E : X N est constante. En effet supposons que r E ne soit pas constante. Soit R = {U i } i I un recouvrement de

16 2. FIBRÉS VECTORIELS trivialistion de X. Posons A 1 = {U i R : r E (U) = 1} A 2 = {U i R : r(u) = 2} On a. A i = X où A i est la réunion de tous les éléments de A i. Chaque i=1 A i est un ouvert comme union d ouverts. De plus si j N vérifie A j, alors A j A i =, car sinon, si x A j A i alors x A j et donc i = 1 i j r(x) = j ; mais on a aussi x i = 1 i j ainsi r(x) = k j. On a donc contradiction. Donc A j A i = et ainsi X = A j i = 1 i j A i donc il existe k j tel que x A k et i = 1 i = 1 i j i j connexe, ce qui nous mène a une contradiction, s il existe i j tel que A i. A i et donc X n est pas Définition 2.10. Soient X un espace topologiqe et G un groupe topologique. Un G-coclycle sur X est donné par un recouvrement ouvert {U i } i I de X et des applications continues g ji : U i U j G telles que g kj (x) g ji (x) = g ki (x) pour x U i U j U k et i, j, k I. On note un G-cocycle par (U i, g ji ) Remarque 2.11. g ii (x) = e où e G est l élément neutre de G. En effet on a par définition que g kj (x) g ji (x) = g ki (x) et si on pose j = i on obtient g ki (x) g ii (x) = g ki (x) et ainsi g ii (x) = g ki (x) 1 g ki (x) = e. g ji (x) 1 = g ij (x) car g ij (x)g ji (x) = g ii (x) = e et donc g ij (x) = g ji (x) 1 Définition 2.12. Deux G-cocycles (U i, g ji ), (V r, h sr ) sur X sont équivalents s il existe des applications continues g r i : U i V r G telles que g s j (x) g ji(x) g r i (x) 1 = h sr (x) pour x U i U j V r V s. On note (U i, g ji ) (V r, h sr ) Remarque 2.13. Ceci est une relation d équivalence. symétrie : Si (U i, g ji ) (V r, h sr ) alors on a g s j (x)g ji(c)g r i (x) 1 = h sr (x) et ainsi g ji (x) = g s j (x) 1 h sr (x)g r i (x). On pose g s j (x) 1 = h j s(x) et g r i (x) = hi r(x) 1 et ainsi g ji (x) = h j s(x) 1 h sr (x)h i r(x) et donc (V r, h sr ) (U i, g ji ).

2. THÉORÈMES DE RECOLLEMENT 17 réflexivité : On pose g j k (x) = g jk(x). On obtient ainsi g s j (x)g ji (x)g r i (x) 1 = g sj (x)g ji (x)g ri (x) 1 Ainsi on a bien que (U i, g ji ) (U i, g ji ). transitivité : = g si (x)g ir (x) = g sr (x) pout tout i, j, s, r I Supposons (U i, g ji ) (V r, h sr ) et (V r, h sr ) (W u, l vu ). On a donc des applications h u r : V r W u G telles que h v s(x)h sr (x)h u r (x) 1 = l vu pour x V r V s W v W u Ainsi l vu (x) = h v s(x)h sr (x)h u r (x) 1 = h v s(x)g s j (x)g ji(x)g r i (x) 1 (x)h u r (x) 1. On définit et k v j (x) = h v s(x)g s j (x) k u i (x) = h u r (x)g r i (x) pour des s et r quelconques où k v j : U j W v G est définie par k v j (x) = hv s(x)g s j (x) avec s tel que x V s. De même pour k u i, i.e., k u i : U i W u G définie par g u i (x) = hu r (x)g r i (x) avec r tel que x V r. Ceci est bien défini car {V k } est un recouvrement de X et si x V p V q U i W u alors h u q (x)g q i (x) = hu p(x)g p i (x). En effet de (U i, g ji ) (V r, h sr ) on a que g p i (x)g ii(x)g q i (x) 1 = h pq (x) donc g p i (x)gq i (x) 1 = h pq (x) pour x U i V p V q. De même, de (V r, h sr ) (W u, l vu ) on a que h u p(x)h pq (x)h u q (x) 1 = l uu (x) h u p(x)h pq (x)h u q (x) 1 = e h pq (x) = h u p(x) 1 h u q (x) pour x V p V q W u On obtient alors h u p(x) 1 h u q (x) = g p i (x)gq i (x) 1 pour tout x V p V q U i W u. Et ainsi h u q (x)g q i (x) = hu p(x)g p i (x) pour tout x V p V q U i W u Ainsi l vu (x) = g v j (x)g ji(x)g u i (x) pour tout x U i U j W v W u et donc (U i, g ji ) (W u, l vu ). On note H 1 (X, G) = {G-cocycles}, l ensemble des classes d équivalence des G-cocycles. Théorème 2.14. Soit Φ K n(x) l ensemble des classes d isomorphisme de K- fibrés vectoriels sur X de rang n. Alors Φ K n(x) est isomorphe à l ensemble H 1 (X, G) où G = GL n (K)

18 2. FIBRÉS VECTORIELS Démonstration. On va définir deux applications h : Φ K n(x) H 1 (X, G) h H 1 (X, G) Φ K n(x). Soit ξ = (E, p, X) un fibré vectoriel et {U i } i I un recouvrement de trivialistation de X. Soient ϕ i : U i K n E Ui des isomorphismes donnés par la trivialisation et g ji : U i U j G défini par g ji (x) = (ϕ j ) 1 x (ϕ i ) x pour tout i, j I. Ainsi on a que (U i, g ji ) est un G-cocycle sur X. En effet g kj (x)g ji (x) = (ϕ k ) 1 x (ϕ j ) x (ϕ j ) 1 x (ϕ i ) x = (ϕ k ) 1 x (ϕ i ) x = g ki (x) pour tout x U i U j U k. On pose h([ξ]) = [U 1, g ji ]. La classe h([ξ]) H 1 (X, G) ne dépend ni du choix du représentant de la classe [ξ] ni du choix du recouvrement de trivialisation et des ϕ i utilisés pour construire le cocycle. En effet si (V i, h sr ) est un cocycle associé au fibré vectoriel ζ = (E, p, X) [ξ] qui a les trivialisations ψ r : V r K n E Vr, alors on pose gi r(x) = (ψ r) 1 x f x (ϕ i ) x où f x : E x E x est donné par l isomorphisme f : E E entre ζ et ξ. Si x U i U j V r V s alors on a g s j (x)g ji (x)g r i (x) 1 = (ψ s ) 1 x = (ψ s ) 1 x (ψ r ) x = h sr (x) f x (ϕ j ) x (ϕ j ) 1 x (ϕ i ) x (ϕ i ) 1 x fx 1 (ψ r ) x et donc (U i, g ji ) (V r, h sr ) si ζ est isomorphe à ξ. Ainsi h est bien définie. Réciproquement si (U i, g ji ) est un G-cocycle, soit ξ le fibré vectoriel obtenu en recollant les fibrés vectoriels triviaux E i = U i K n avec les applications g ji : U j U i G de la façon suivante. On pose g ji : U i U j K n U j U i K n définie par g ji (x, a) = (x, g ji (x)(a)). Pour x U i U j U k on a bien g kj g ji (x, a) = g kj (x, g ji (x)(a)) = (x, g kj (x)(g ji (x)(a))) = (x, (g kj (x)(g ji (x))(a)) = (x, g ki (x)(a)) = g ki (x, a) et donc la condition de compatibilité réquise par le théorème (2.5) est satisfaite par g ji et on obtient donc un fibré vectoriel ξ = (E, p, X). On pose h ([(U i, g ji )]) = [ξ]. Cette application est bien définie. En effet soit (V r, h sr ) [(U i, g ji )] un autre représentant de la classe et soit F est le fibré vectoriel obtenu en recollant les fibrés triviaux F r = V r K n. Montrons que E et F sont isomprphes. Soit α : E F le morphisme unique qui fait commuter le diagramme suivant pour tout couple (i, r).

2. THÉORÈMES DE RECOLLEMENT 19 E i Ui Vr g r i F r Ui Vr g i Ui Vr h r Ui Vr E Ui Vr α Ui Vr F Ui Vr où g i r est donnée par l équivalence entre (U i, g ji ) et (V r, h sr ) : g i r : U i V r K n U i V r K n définie par g i r(x, a) = (x, gr i (x)(a)) ; et g i, h r sont les isomorphismes donnés par le théorème de recollement (2.5). α est bien définie car si x U i V r et x U j V s alors on a h sr (x) = g s j (x)g ji (x)g r i (x) 1 h sr (x)g r i (x)g ji (x) 1 = g s j (x) h s (x) 1 h r (x)g r i (x)g i (x) 1 g j (x) = g s j (x) h r (x)g r i (x)g i (x) 1 = h s (x)g s j (x)g j (x) 1 De plus on a que α est un isomorphisme car de la même façon on peut définir β : F E qui fait commuter le diagramme dans le sens inverse. Ainsi E est isomorphe à F. Enfin h et h sont l une l inverse de l autre par définition. Théorème 2.15. Soient (U i, g ji ) et (U i, h ji ) deux cocycles avec le même recouvrement sur l espace X. Alors les fibrés vectoriels associés E et F respectivement sont isomprphes si et seulement s il existe des applications continues λ i : U i G = GL n (K) telles que h ji (x) = λ j (x)g ji (x)λ i (x) 1 pour x U i U j. En particulier le fibré vectoriel E est trivial si et seulement si g ji (x) = λ j (x) 1 λ i (x) pour un bon choix des λ i Démonstration. Soit α : E F un isomorphisme. On a alors le diagramme commutatif suivant : α Ui U E j Ui U j F Ui U j g j Ui U j h j Ui U j h i Ui U j g i Ui U j ˆλj Ui U E j j Ui U j F j Ui U j ĝ ji ĥ ji F i Ui U j E i Ui U j ˆλ i Ui U j où E i = F i = U i K n et où, selon la notation de 1.13, ˆλi = h i α Ui (g i ) 1 ; ĝ ji = g j g 1 i et ĥji = h j h 1 i. On obtient donc que h ji (x) = λ j (x)g ji (x)λ i (x) 1. En particulier si on choisit h ji (x) = e, l élément neutre de G, pour tout x U I U j, alors on a que F est isomorphe au fibré trivial et du diagramme on a g ij (x) =

20 2. FIBRÉS VECTORIELS λ j (x) 1 λ i (x). Réciproquement si des tel λ i existent, alors on se ramène à la dernière partie de la preuve du théorème (2.14) Exemple 2.16. Appliquons le théorème précédent à l exemple 2.6 avec les mêmes notations. Soit λ : E 1 = S n + K p E 1 un automorphisme qui induit un automorphisme µ : E 1 S n 1 = Sn 1 K p E 1 S n 1. On considère les deux G-cocycles ({E 1, E 2 }, g 21 = f) et ({E 1, E 2 }, h 21 = f ˇµ), avec ˇµ comme dans le théorème 1.13. On montre que E f et E f ˇµ sont isomorphes. On applique le théorème précédent en posant λ 1 = (ˇλ) 1 : S n + GL p (K) définie par (ˇλ) 1 (x) = ˇλ(x) 1 (comme dans le théorème 1.13), et λ 2 id. On observe que pour tout x S n 1 on a λ 2 (x)g 21 (x)λ 1 (x) 1 = id f(x)(ˇλ(x) 1 ) 1 = f(x)ˇλ(x) = f(x)ˇµ(x) = h 21 (x). Ainsi les deux fibrés sont isomorphes. 3. Opérations sur le Fibrés Vectoriels On appelle K e v la catégorie des espaces vectoriels de dimension finie sur un corps K, et Vect(X) celle des fibrés vectoriels sur l espace topologique X. Si on veut préciser le corps, par exemple R, on note R e v et Vect R (X). Définition 2.17. Une catégorie C est additive si pour tout A, B C l ensemble Hom C (A, B) est muni d une structure de groupe abélien compatible avec la composition d applications. Proposition 2.18. Soient E, F V ect(x), alors Hom Vect(X) (E, F ) est un groupe abélien, et donc Vect(X) est une catégorie additive. Démonstration. z E Somme: Si f, g Hom Vect(X) (E, F ), on pose pour (f + g)(z) = f(z) + g(z) C est bien défini car on fait la somme dans F p(z). f +g est un morphisme ; en effet il nous ne reste qu à vérifier la continuité, et localement on a U i V f+g U i W U i où f + g(x, z) = (x, f x (z) + g x (z)). Ainsi f + g est continue car c est linéaire. Donc f + g est continue.

3. OPÉRATIONS SUR LE FIBRÉS VECTORIELS 21 Élément neutre: On a l élément neutre évident f : E F z 0 Inverses: Si f Hom Vect(X) (E, F ) on pose f : E F z f p(z) (z) f est continue et clairement ( f + f) = 0 Lemme 2.19. Soit f : Y X une application continue entre deux espaces topologiques Y. Alors le foncteur f de la proposition 1.19 induit un foncteur entre la catégorie Vect(X) et Vect(Y ). Démonstration. Il faut voir que f (ξ) est localement triviale si ξ est un fibré vectoriel. Soit y Y et soit U un voisinage de f(x ) X tel que ξ U soit triviale. Soit U = f 1 (U) et g : U U la restriction de f à U. On a le diagramme g = (ξ U ) U V ξ U U Donc ξ U = U V et ainsi par définition on a On pose π 1 g U Id U g (ξ U ) = U U (U V ). U U (U V ) U V (u, u, v) (u, v) (u, g(u ), v) (u v) Les deux applications sont évidemment l une l inverse de l autre et ainsi g (ξ U ) = U U (U V ) = U V. Donc f (ξ) est localement triviale. En particulier si Y est un sous-espace de X alors f (ξ) = ξ Y est un fibré vectoriel. Définition 2.20. Un foncteur ϕ : K e v K e v est appelé continu si pour tout couple (M, N) d objets dans K e v, l application naturelle ϕ M,N : K e v(m, N) K e v(ϕ(m), ϕ(n)) défine par ϕ M,N (f) = ϕ(f) pour toute application linéaire f de M dans N, est continue (pour la topologie usuelle sur un espace vectoriel de dimension finie). Exemple 2.21. (1) ϕ(m) = M M } {{ } i fois

22 2. FIBRÉS VECTORIELS (2) ϕ(m) = M M } {{ } i fois Pour voir que ces foncteurs sont continus, on choisit une base pour M et N, alors la matrice de ϕ M,N (α) est donnée par une matrice qui dépend de façon continue de la matrice de α, pour α K e v(m, N). On aimerait maintenant associer à chaque foncteur continu ϕ un foncteur ϕ = ϕ(x) :Vect(X) Vect(X) dans la catégorie des fibrés vectoriels sur X, Vect(X), qui coïncide avec ϕ quand X est réduit à un point. Si ξ = (E, p, X) est un fibré vectoriel sur X, on définit l ensemble E = ϕ (E) comme l union disjointe x X ϕ(e x ), muni de la projection p : ϕ (E) X definie par p (e ) = x avec x tel que e ϕ(e x ). Pour munir ϕ (E) d une topologie pour qu il devienne un fibré vectoriel, on a besoin du lemme suivant. Lemme 2.22. Soient ξ = (E, p, X) un fibré vectoriel sur X et U, V des sousensembles ouverts de X. Soient de plus β : E U U M et γ : E V V N des trivialisations de E sur U et V respectivement. Posons alors β : E U U ϕ(m) et γ : E V V ϕ(n) les bijections induites par fonctorialité sur chaque fibre. Si on donne à E U et E V les topologies induites par ces bijections, alors elles coïncident sur E U E V = E U V et de plus E U V est un ouvert aussi bien dans E U que dans E V. Démonstration. On a le diagramme commutatif suivant : E U V β U V (U V ) ϕ(m) E U V γ U V (U V ) ϕ(n) où δ est donnée par la composition d application continues ˆδ U V s K e v(m, N) ϕ M,N K e v(ϕ(m), ϕ(n)) avec ŝ = γ U V β 1 U V. Comme δ est continue, ˆδ est aussi continue (théorème 1.13). Pour la même raison δ 1 est aussi continue et ça nous montre que les deux topologies sur E U V coïncident. De plus la projection p U : E U U est continue par rapport à la topologie induite par β. Ainsi E U V = p 1 U (U ˆV ) est un ouvert de E U, et de même E U V est un ouvert de E V. On peut maintenant définir une topologie sur E = ϕ (E). Soit {U i } i I un recouvrement ouvert de X, et soit β i : E Ui U i M i une trivialisation de E sur U i pour chaque i I. Par fonctorialité, les isomorphismes β i induisent une bijection β i : E U i U i ϕ(m i ) et ainsi on peut munir E U i d une topologie. On le munit maintenant de la topologie la plus fine qui rend l inclusion E U i E continue. Ceci est possible car, grâce au lemme précédent, pour tout couple (i, j) I I les topologies sur E U i et E U j coïncident sur E U i U j, qui est ainsi un ouvert de E U i et de E U j.

3. OPÉRATIONS SUR LE FIBRÉS VECTORIELS 23 Cette topologie ne dépend ni du choix du recouvrement ni du choix des trivialisations. En effet, si {V j } j J est un autre recouvrement et ψ r : E Vr V r N r est une autre trivialisation pour chaque j, alors le même argument qu avant nous montre que si on a deux topologies possibles sur E U i V r, elles coïncident, et que E U i V r est un ouvert de E U i et de E V r. Ainsi les deux topologies sur E coïncident. Enfin E est localement trivial car E U i est homéomrphe à U i ϕ(m i ) et donc c est un fibré trivial pour tout i I. Pour définir complètement le foncteur ϕ, il faut définir f = ϕ (f) : ϕ (E) ϕ (F ) dans le cas où f : E F est un morphisme de fibrés vectoriels sur X. On définit f sur chaque fibre par f x = ϕ(f x ) : ϕ(e x ) ϕ(f x ), qui est linéaire car f x l est. Pour montrer que f est continue, on regarde les diagrammes suivants E U β U M et E U β U ϕ(m) f U F U γ g U N f U F U γ g U ϕ(n) où β, γ et g sont induites par fonctorialité sur chaque fibre par β, γ et g respectivement. Alors l application ǧ, induite par g, est la composition des applications continues suivantes. U ǧ K e v(m, N) ϕ M,N K e v(ϕ(m), ϕ(n)) En accord avec le théorème 1.13 l application g est continue et donc f est continue. Généralisation 2.23. Soit C la catégorie R e vop R e op v {z } p 1 et soit C la catégorie R e vop R e op v {z } e C vop C e v op {z } p 2 C e vop C e op v {z } e Rv R e v {z } q 1 R e v R e v {z } e Cv C e v {z } q 2 C e v C e v {z } p 1 p 2 q 1 q 2 où la notation op indique la catégorie opposée (mêmes objets mais flèches inversées). Un foncteur ϕ : C C est appelé continu si pour tout couple (R, S) de objets de C, l application C (R, S) C (ϕ(r), ϕ(s)) est continue. Alors la même méthode qu avant nous montre comme on peut définir un foncteur ϕ = ϕ(x) : C (X) C (X) où C (X) = Vect R (X) op Vect R (X) op {z } p 1 Vect R (X) Vect R (X) {z } q 1 Vect C (X) Vect C (X) op {z } p 2 Vect C (X) Vect C (X) {z } q 2

24 2. FIBRÉS VECTORIELS et C (X) = Vect R (X) op Vect R (X) op {z } p 1 Vect R (X) Vect R (X) {z } Vect C (X) op Vect C (X) op {z } p 2 Vect C (X) Vect C (X) {z } q 1 q 2 Si la composition de deux foncteurs ϕ 2 ϕ 1 est bien définie, alors on a (ϕ 2 ϕ 1)(X) = ϕ 2(X) ϕ 1(X). Enfin, si ϕ 1 et ϕ 2 sont des foncteurs isomorphes, alors ϕ 1(X) et ϕ 2(X) sont aussi isomorphes. Définition 2.24. Soient (E, p, X) et (E, p, X) deux fibrés vectoriels sur X. Alors le produit fibré E X E est le sous-ensemble de E E formé par les couples (e, e ) tels que p(e) = p (e ). On a que E X E est une K-famille sur X avec projection q : E X E X définie par q(e, e ) = p(e) = p (e ) et avec fibres q 1 (x) = E x E x. Exemple 2.25. (1) Le foncteur ϕ : K e v K e v K e v donné par ϕ(m, N) = M N induit ϕ(x) : Vect(X) Vect(X) Vect(X). Si E et F sont des fibrés vectriels sur X, alors le fibré vectoiel ϕ(x)(e, F ) est noté E F et est appelé la somme directe ou somme de Whitney des fibrés vectoriels E et F. E F est isomorphe au produit fibré E X F car la fibre au-dessus de x dans E X F est donnée par ϕ(e x, F x ) = E x F x E x F x qui est la fibre au dessus de x dans le produit fibré. De plus les identités classiques pour les espaces vectoriels impliquent grâce à 2.23 les isomorphismes (E F ) G = E (F G) et E F = F E. (2) Soit ϕ : K e v K e v K e v(k) le foncteur défini par ϕ(m, N) = M K N. Alors ϕ(x)(e, F ) = E F est le produit tensoriel de E et F. Encore une fois on a les isomorphismes (E F ) G = E (F G) et E F = F E. (3) Si ϕ : K e v o K e v K e v est le foncteur (M, N) K e v(m, N) alors l objet ϕ(x)(e, F ) = HOM(E, F ) est appelé le fibré vectoriel des homomorphismes entre E et F (la fibre au dessu de x X est K e v(e x, F x ) = Hom K e v (E x, F x )). Remarque 2.26. On a que f (E F ) = f (E) f (F ), donc que f est un foncteur additif. En effet, il est facile de vérifier que l application est un isomorphisme de fibrés vectoriels. (g, (e, f)) ((g, e), (g, f))

4. SECTIONS DE FIBRÉS VECTORIELS 25 4. Sections de Fibrés Vectoriels Définition 2.27. Soit ξ = (E, p, X) un fibré vectoriel. Une section de ξ est une application s : X E telle que p s = Id X. Une section s est dite continue si s est une application continue. Notation 2.28. On note Γ(X, E) l ensemble des sections continues du fibré vectoriel (E, p, X). S il n y a pas d ambiguité sur l espace X on écrit Γ(X, E) = Γ(E). Exemple 2.29. Si s 0 : X E est l application qui à chaque point x X associe le vecteur 0 de l espace E x, alors s 0 est une section continue. En effet comme s 0 (x) E x, on a bien que p s 0 = Id X. Montrons maintenant que s 0 est continue. Soit x 0 X et V un ouvert trivialisant de x 0. On a le diagramme commutatif suivant E V ϕ = V T p V π 1 V où ϕ : E V V T est une trivialisation locale avec T un espace vectoriel de dimension finie. Définissons σ : V V T par σ(x) = (x, 0). Clairement σ est continue et de plus on a ϕ s 0 V (x) = ϕ(0 x ) = (x, 0) = σ(x) pour x V, et ainsi s 0 V = ϕ 1 σ qui est continue. Donc s 0 est continue puisqu elle est localement continue. Cette section est appelé section zéro du fibré vectoriel. Exemple 2.30. Supposons que E soit le fibré vectoriel trivial X M. Alors une section continue de E peut être écrite comme x (x, s 1 (x)), où s 1 : X M est une application continue. Inversement, toute application continue X M induit une section continue de E. On va montrer maintenant un théorème très utile qui, en s appuyant sur les sections, nous donne un outil pour vérifier si une K-famille est triviale. Si c est le cas, la famille est aussi un fibré vectoriel trivial. Théorème 2.31. Soit ξ = (E, p, X) une K-famille sur l espace topologique X. Alors ξ est triviale si et seulement s il existe des sections s 1,..., s n Γ(X, E) telles que {s 1 (x),..., s n (x)} soit une base de l espace E x pour tout x X Démonstration. Supposons que ξ soit une K-famille triviale. On a le diagramme commutatif suivant E p ϕ = π 1 X X T avec E x = T où T est un espace vectoriel de dimension finie, pout tout x dans X. Soit {v 1,..., v n } une base de T et définissons s i : X X T par s i (x) = (x, v i ).

26 2. FIBRÉS VECTORIELS Posons de plus s i = ϕ 1 s i : X E avec s i (x) = ϕ 1 (x, v i ). On a que s i est continue car s i est continue et ϕ est un homéomorphisme. De plus on a que p s i (x) = p ϕ 1 (x, v i ) = x. Ainsi chaque s i est une section continue. Comme ϕ 1 x : {x} T E x est un isomorphisme et comme {(x, v 1 ),..., (x, v n )} est une base de {x} T, alors son image {s 1 (x),..., s n (x)} par ϕ 1 x est une base de E x. Réciproquement, supposons que pour tout x X on a que {s 1 (x),..., s n (x)} est une base de E x. Soit {s 1(x),..., s n(x)} la base duale associée. Pour tout z E x on a que n z = s i (x)(z)s i (x) i=1 Remarquons que s i (x) : E x K est linéaire et comme la dimension de K-espace vectoriel de E x est finie, on a que s i (x) est continue. Soit V un K-espace vectoriel de dimension n et v 1,..., v n une base de V. Posons alors ϕ : E X V définie par ϕ(z) = ( p(z), ) n s i (p(z))(z)v i i=1 ϕ est bijective car son inverse ϕ 1 : X V E est donné par n ϕ 1 (x, v) = vi (v)s i (x) i=1

4. SECTIONS DE FIBRÉS VECTORIELS 27 Où v1,..., vn est la base duale. En effet on a bien que n ϕ ϕ 1 (x, v) = ϕ( vi (v)s i (x)) Et de même i=1 n = p( vj (v)s j (x)), = x, = x, = ( x, = (x, v) j=1 n n n s i (p( vj (v)s j (x)))( vj (v)s j (x))v i i=1 j=1 n vj (v) s i (x)(s j (x)) v i i,j=1 n vj (v) δ ij v i i,j=1 ) n vi (v)v i i=1 ϕ 1 ϕ(z) = ϕ 1 (p(z), = = = = = z j=1 ) n s i (p(z))(z) v i i=1 n n vj ( s i (p(z))(z) v i ) s i (p(z)) i=1 n s i (p(z))(z)vj (v i ) s i (p(z)) i,j=1 n s i (p(z))(z) s i (p(z)) i=1 j=1 n s i (x)(z) s i (x) avec x = p(z) car z E x i=1 Pour montrer que ϕ et ϕ 1 sont continues, il suffit de remarquer que p, s i, s i et vi sont toutes continues. Exemple 2.32. Soit X = S 2 = {x R 3 : x = 1} et considérons la K-famille E = T S 2 qu on appelle fibré tangent, et qui est définie par T S 2 = {(x, v) R 3 R 3 : x S 2 et x, v = 0} où, est le produit scalaire standard de R 3. On muni T S 2 de la topologie induite par celle de R 3 R 3. Un élément de T S 2 peut être representé par un couple (x, v) avec x S 2 et v T x, où T x est le plan tangent à S 2 en x. La projection p : T S 2 S 2 est donnée par p(x, v) = x. Une section s : S 2 T S 2 n est rien d autre qu un champ de vecteurs tangents à la sphère. Or, par le théorème du hérisson, un tel champ s annule en au moins un

28 2. FIBRÉS VECTORIELS point. Il n existe donc pas de sections s 1, s 2 telles que {s 1 (x), s 2 (x)} soit une base de T x pour tout x S 2. Donc T S 2 n est pas triviale. Notation 2.33. On note A := C K (X), l anneau des fonctions continues à valeur dans K. Proposition 2.34. Soit (E, p, X) un K-fibré vectoriel, alors est un A module. Γ(X, E) = {s : X E s est une section continue} Démonstration. Posons (s 1 + s 2 )(x) = s 1 (x) + s 2 (x) et (λs)(x) = λ(x)s(x) pour tout x X ; s, s 1, s 2 Γ(X, E) et λ A. Ces applications sont bien définies car les opérations sont effectuées dans les fibres E x pour tout x X. Montrons qu elles sont continues. Comme dans l exemple 2.29, soit x 0 X et V un ouvert trivialisant contenant x 0. On a le diagramme commutatif E V p V ϕ = V π 1 V T où ϕ : E V V T est une trivialisation locale avec T un espace vectoriel de dimension finie. ψ x On a E x = T via l homéomorphisme ϕ x pour tout x V. On pose s 1 + s 2 :V V T x (x, ψ x s 1 (x) + ψ x s 2 (x)) λs :V V T x (x, ψ x (λ(x)s(x))) Ces deux applications sont clairement continues et on a donc (s 1 + s 2 ) V ϕ (s 1 + s 2 ) V (x) = ϕ(s 1 (x) + s 2 (x)) = (x, ψ x s 1 (x) + ψ x s 2 (x)) = s 1 + s 2 (x) = ϕ 1 s 1 + s 2 qui est continue. De même (λs) V = ϕ 1 λs. Proposition 2.35. Si θ n = X K n est un fibré vectoriel trivial, alors i.e., c est un A module libre de type fini. Γ(θ n ) = A n, Démonstration. θ n est un fibré trivial, et donc, pour le théorème 2.31, il existe des sections s 1,..., s n Γ(θ n ) telles que {s 1 (x),..., s n (x)} soit une base de {x} K n. On montre maintenant que {s 1,..., s n } est une partie génératrice de

4. SECTIONS DE FIBRÉS VECTORIELS 29 Γ(θ n ). Pour tout x X et s Γ(θ n ) on a s(x) = λ 1 (x)s 1 (x) + + λ n (x)s n (x) où on interprète les λ i comme des applications de X dans K. Ces applications sont clairement continues puisque s, s 1,..., s n sont continues. Ainsi tout élément de Γ(θ n ) peut être écrit comme combinaison linéaire d un nombre fini d éléments de Γ(θ n ) à coefficients dans A. Donc Γ(θ n ) est de type fini. Définissons maintenant une application ϕ : Γ(θ n ) A n s =. N i=1 λ is i (λ 1,..., λ n ) On vérifie facilement que ϕ est A-linéaire est bijective. Donc Γ(θ n ) est libre. Proposition 2.36. Si (E, p, X) est un fibré vectoriel sur un espace topologique compact 1 X, alors Γ(X, E) est un A module de type fini. Démonstration. La proposition précédente nous dit que Γ(E) not = Γ(X, E) est un A module. Montrons que c est de type fini. Soit {U i } i I, avec I = {1,..., n}, un recouvrement de trivialisation fini. Supposons que la restriction E Ui du fibré à U i soit triviale de rang n i. Soit {η i } i I une partition de l unité, qui existe car X est normal. Autrement dit on a des applications η i : X R, i I, telles que supp(η i ) U i ; n ηi 2 (x) = 1 pour tout x X. i=1 Comme dans la preuve de la proposition 2.35, pour chaque U i on a une partie génératrice {s i,1,..., s i,ni } de Γ(E Ui ). Ainsi, si s i Γ(E Ui ) est la restriction de s Γ(E) à U i on peut écrire s i = λ i,1 s i,1 + + λ i,ni s i,ni. Définissons maintenant pour i I et 1 j n i et t i,j = η i s i,j α i,j = η i λ i,j où s i,j et λ i,j sont les prolongements par 0 de s i,j et λ i,j sur tout l espace X. On observe que t i,j et α i,j sont continues. On considère maintenant la somme i,j α i,j t i,j 1 Pour X compact on entend X para-compact et Hausdorff. Ainsi X est aussi normal.

30 2. FIBRÉS VECTORIELS où on a bien que α i,j A et t i,j Γ(E). On calcule donc, pour x X α i,j t i,j (x) = α i,j (x)t i,j (x) i,j i j = η i (x) λ i,j (x)η i (x) s i,j (x) i j = ηi 2 (x) λ i,j (x) s i,j (x) i j = i = i η 2 i s i (x) η 2 i s(x) = s(x) i η 2 i = s(x). Ainsi {t i,j } i I;1 j ni génère Γ(E). Lemme 2.37. Soient E et F deux fibrés vectoriels sur X. On a que un isomprhisme de A modules. Γ(X, E) Γ(X, F ) = Γ(X, E F ), Démonstration. On définit l application γ Γ(X, E) Γ(X, F ) Γ(X, E F ) (r, s) s r où s r(x) = (s(x), r(x)) vu dans E x F x. Cette application est clairement A-linéaire et bijective, c est donc un isomorphisme. Proposition 2.38. Soit (E, p, X) un fibré vectoriel sur un espace topologique compact X. Alors Γ(E) est un module projectif de type fini. Démonstration. Par la proposition 2.36, Γ(E) est un module de type fini, montrons qu il est projectif. Par le théorème 2.45 il existe un fibré F sur X et un entier n N tels que E F = θ n où θ n est un fibré triviale de rang n. Ainsi Γ(E F ) = Γ(θ n ). Par le lemme 2.37 on a Γ(E F ) = Γ(E) Γ(F ). D autre part, par la proposition 2.35 on a Γ(θ n ) = A n. Ainsi on a Γ(E) Γ(F ) = A n et donc Γ(E) est un facteur direct d un module libre, ainsi il est projectif.

5. THÉORIE DE L HOMOTOPIE DES FIBRÉS VECTORIELS 31 5. Théorie de l Homotopie des Fibrés Vectoriels Dans cette section on va énoncer des théorèmes qui reprennent le concept de fibré induit introduit dans la section 4. Pour faire cela on admettera d abord le résultat suivant. Proposition 2.39. Soient E et F deux fibrés vectoriels sur un espace paracompact X. Soient Y un sous-ensemble fermé de X et α : E Y F Y un isomorphisme de fibrés vectoriels. Alors il existe un voisinage V de Y et un isomorphisme α : E V F V tel que α Y = α Démonstration. La démonstration est omise, voir [1], p.24. Théorème 2.40. Soit X un espace topologique compact et E un fibré vectoriel sur X I, où I = [0, 1]. Posons α t : X X I x (x, t) Alors les fibrés E 0 := α0(e) et E 1 = α1(e) sont isomorphes. Démonstration. La projection π 1 du fibré est donnée par π 1 : X I X (x, t) x. Posons E t = α t (E). On a le diagramme π 1(E t ) X {t} E t E X {t} X {t} π1 X α t X {t} On a bien que π 1(E t ) X {t} est isomorphe à E X {t}, car α t π 1 X {t} = Id X {t} et donc π 1(E t ) X {t} = π 1(α t (E)) X {t} = (α t π 1 ) (E) X {t} = Id X {t} (E) X {t} = E X {t} Par la proposition 2.39, il existe un voisinage V de X {t} dans X I tel que E V = π 1 (E t ) V. Comme X est compact, V doit contenir un voisinage de la forme X U où U est un voisinage de t dans I. En effet V peut s écrire comme V = j J A j B j X I. Avec les A j qui recouvrent X et les B j qui sont des voisinage de t. Comme X est compact on peut choisir un sous-ensemble fini L de J tel que {A l } l L soit un recouvrement fini de X. En posant U = l L B l

32 2. FIBRÉS VECTORIELS on obtient que U est encore un voisinage de t et donc B l = X U l L A l l L est un voisinage de X {t} X I. Evidemment si E V = π 1 (E t ) V alors on a aussi E X U = π 1 (E t ) X U car l isomorphisme est défini sur chaque fibre. On rappelle que si f : Y X est une application continue, alors f est un foncteur covariant et donc si E et F sont deux fibrés isomorphes, on a que f (E) et f (F ) sont isomorphes. On considère l application continue d inclusion i : X {u} X U pour u U. On applique le foncteur i aux fibrés isomorphes E X U = π 1 (E t ) X U. On obtient Donc i (E X U ) = i (π 1(E t ) X U ). E X {u} = π 1 (E t ) X {u} car dans le cas d une inclusion, le fibré induit coïncide avec la restriction (remarque 1.17, point 4). On applique maintenant le foncteur α u aux deux fibrés isomorphes qu on vient d obtenir. On a α u(e X {u} ) = α u(π 1(E t ) X {u} ) Et ainsi car E u = Et α u(π 1(E t ) X {u} ) = (π 1 X {u} α u ) (E t ) = Id X(E t ) = E t. Le diagramme suivant illustrera bien la situation = E t u π1(e E t ) = X {u} E X {u} X α u X {u} π (E t ) = X U E X U X U Donc pour tout u U on a que E u = Et et donc par connexité de I, E 0 = E1. Théorème 2.41. Soient X un espace compact et f 0, f 1 : X Y deux applications continues et homotopes. Si E est un fibré sur Y, alors f 0 (E) = f 1 (E) Démonstration. Soit H : X I Y une homotopie entre f 0 et f 1. On a f 0 (E) = (H α 0 ) (E) = α 0(H (E)) et f 1 (E) = (H α 1 ) (E) = α 1(H (E)). Vu que H (E) est un fibré sur X I le théorème précédent nous permet d affirmer que α0(h (E)) et α1(h (E)) sont isomorphes, et donc f0 (E) et f1 (E) sont isomorphes. Théorème 2.42. Si X est un espace compact contractile, alors tout fibré vectoriel sur X est trivial. i

5. THÉORIE DE L HOMOTOPIE DES FIBRÉS VECTORIELS 33 Démonstration. Soit f : X X x x 0 l application constante en x 0 X. Comme X est contractile, f est homotope à l identité Id X. Soit E un fibré sur X, on a E = (Id X ) (E) = f (E) car on peut appliquer le théorème précedent. D autre part si on pose h : X {x 0 } et x x 0 i : {x 0 } X où i est l inclusion, alors on a et ainsi x 0 x 0 f = i h f (E) = (i h) (E) = h (i (E)). Vu que i est l inclusion, le fibré induit est isomorphe à la restriction (remarque 1.17, point 4). Ainsi i (E) = E {x0}. Mais E {x0} = p 1 (x 0 ) = {x 0 } E x0 Ainsi i (E) est trivial, i.e., i (E) = {x 0 } E x0. On applique le foncteur h aux fibrés isomorphes qu on vient d obtenir, et on a h (i (E)) = h ({x 0 } E x0 ) h (i (E)) = X ({x 0 } E x0 ) où ({x 0 } E x0 ) est clairement un espace vectoriel. En effet h ({x 0 } E x0 ) = {(x, x 0, e) X ({x 0 } E x0 ) : h(x) = π 1 (x 0, e) = x 0 = p(e)} = X ({x 0 } E x0 ) h (i (E)) = h ({x 0 } E x0 ) i (E) = ({x 0 } E x0 ) X h {x 0 } Ainsi h (i (E)) est trivial, et donc E est trivial, vu que E = f (E) = h (i (E))

34 2. FIBRÉS VECTORIELS 6. Propriétés algébriques Dans la section précédente on a vu qu il est possible effectuer des opérations sur les fibrés vectoriels dans le contexte de la catégorie Vect(X). On exploite cette possibilité pour enoncer quelque propriétes algébriques des fibrés vectoriels qui nous amènerons à d importants théorèmes, dont celui de Serre-Swan (2.56). Théorème 2.43. Dans la catégorie Vect(X) des fibrés vectoriels sur X, la somme directe (au sens des catégories) existe et correspond à l image de comme vu précédemment. Démonstration. Soient F, E 1 et E 2 trois fibrés vectoriels sur l espace X. Par définition de la somme directe catégorique on a E 1 f 1 i 1 E 1 E 2!f F i 2 f E 2 2 où pour k = 1, 2 i k : E k E 1 E 2 = E 1x E 2x = E 1x E 2x x X x X est donné par les homomorhismes d injection E kx E 1x E 2x et f 1 et f 2 sont des morphismes dans Vect(X). On doit montrer qu il existe un unique morphisme f : E 1 E 2 F tel que le diagramme précédent soit commutatif. Unicité Soient f, g : E 1 E 2 F telles que f k = f i k et f k = g i k. Soit (e 1, e 2 ) E 1 E 2, on a alors f(e 1, e 2 ) = f x (e 1, e 2 ) De même pour g on obtient = f x ((e 1, 0) + (0, e 2 )) = f x (e 1, 0) + f x (0, e 2 ) = f x i 1 (e 1 ) + f x i 2 (e 2 ) = f 1x (e 1 ) + f 2x (e 2 ) (où f kx = f k Ekx ). g(e 1, e 2 ) = f 1x (e 1 ) + f 2x (e 2 ).