Agrégtio de Mthémtiques -3 CMI Uiversité d Aix-Mrseille Itégrtio. Itégrles défiies. Subdivisio. Soiet et b deux ombres réels tels que < b. O ppelle subdivisio de l itervlle [, b] toute suite fiie strictemet croisste σ = (x i ) i telle que x = et x = b. O ppelle ps de l subdivisio σ le ombre δ(σ) = mx (x i+ x i ). i=,..., Foctio e esclier. Soit f : [, b] C. O dit que f est e esclier s il existe ue subdivisio σ = (x i ) i de [, b] telle que f soit costte sur ]x i, x i [ pour tout i {,..., }. Ue telle subdivisio σ est dite lors bie dptée à f. Itégrle d ue foctio e esclier. Si f : [, b] C est ue foctio e esclier, σ = (x i ) i ue subdivisio bie dptée à f, c i C pour i {,..., } tels que f c i sur ]x i, x i [. L vleur I(σ, f) = (x i x i )c i est idépedte de l subdivisio σ bie dptée à f. O l ote itégrle de f etre et b. O de plus f(x)dx (b ) f où f = sup f(x). i= x [,b] f(x)dx et o l ppelle Foctios cotiues pr morceux. Soit f : [, b] C. O dit que f est cotiue pr morceux s il existe ue subdivisio σ = (x i ) i de [, b] telle que l restrictio de f sur ]x i, x i [ se prologe e ue foctio cotiue sur [x i, x i ] pour tout i {,..., }. Les foctios cotiues pr morceux sot limites uiformes de foctios e esclier. Soit f : [, b] R ue foctio cotiue pr morceux. Alors il existe ue suite de foctios e esclier (f ) sur [, b] qui coverge uiformémet vers f.
Préprtio à l grégtio de mthémtiques. Itégrles des foctios cotiues cotiues pr morceux. Il découle de l éocé précédet que l suite ( ) f (x)dx est ue suite de Cuchy et que s limite est idépedte de l suite (f ) pproximt f. Cette limite est ppelée l itégrle etre et b de f. O vérifie fcilemet que l itégrle d ue foctio positive ou ulle est positive ou ulle Exercice.. Soiet, b R tels que < b et soit f : [, b] R + cotiue. O suppose qu il existe x [, b] tel que f(x) >. Motrez que f(x)dx >. Idictio. Soit x [, b] tel que f(x ) >. Pr cotiuité de f, il existe u itervlle I de [, b] cotet x sur lequel o f(x) f(x ). E déduire que f(x)dx l(i) f(x ) >. Exercice.. Soit f : [, b] C ue foctio cotiue. Motrez que f(x) f(x) dx et que l o églité si et seulemet s il existe θ R et ϕ : [, b] R + cotiue tels que f(x) = ϕ(x)e iθ. Idictio. Si f(x)dx =, c est clir. b / Sio, poser γ = f(x)dx f(x)dx et motrez que Im g(x)dx = vec g = γf. Primitive d ue foctio cotiue. Soit f : [, b] R ue foctio cotiue. Alors f dmet ue primitive (i.e. ue foctio de clsse C sur [, b] telle que, pour tout x [, b], F (x) = f(x)) et que f(x)dx = F (b) F (). Remrque. Les primitives de f e sot ps toutes de l forme π + rct x est ue primitive de /( + x ) sur R qui est ps de cette forme. x f(t)dt. Pr exemple,
3 Itégrles, suites de foctios itégrbles. Remrque. Ue foctio cotiue pr morceux dmet ps e géérl de primitive. Pr exemple, l foctio défiie sur [, ] et qui vut sur [, /[ et sur [/, [. E effet, si ue foctio est dérivble, l dérivée possède l propriété des vleurs itermédiires (cf. [Go], p. 76-77). Exercice.3. Lemme de Growll [CM] p. 7. Soit f : R + R + cotiue telle qu il existe k > tel que, pour tout x, f(x) k Motrer que f est l foctio ulle. x f(t)dt. Idictio. L stuce est clssique : poser F (x) = x f(t)dt. Alors (F (x)e kx ). Itégrtio pr prties. Soit f : [, b] C de clsse C. Alors f(b) f() = Soit ussi g : [, b] C de clsse C. Alors f (x)dx. f(x)g (x)dx = [f(x)g(x)] b f (x)g(x)dx. Chgemet de vribles. Soit ϕ : [, b] R ue pplictio de clsse C et f : I R C ue pplictio cotiue telle que ϕ([, b]) I (où I est u itervlle de R). Alors f(ϕ(t)ϕ (t)dt = ϕ(b) ϕ() f(u)du Formule de Tylor-Lgrge vec reste itégrl. Soit f : [, b] C de clsse C. Alors f(b) = f() + (b )f () + + (b b ) f ( ) () + ( )! (b t) f () (t)dt. ( )! Exercice.4. Lemme de Riem-Lebesgue. [(D:,, 35, 47)] O se propose de motrer que, si f : [, b] C est cotiue pr morceux, lors lim f(x)e ix dx =. +
Préprtio à l grégtio de mthémtiques. 4. Motrer le résultt si f est C (itégrer pr prties.). Motrer le résultt si f est e esclier. 3. E déduire le résultt pour f cotiue pr morceux. 4. Ue pplictio : l preuve l plus élémetire du fit que ζ() = π 6 ([FJ], p. 3) Motrez qu il existe α et β réels tels que, pour tout N, = π (αt + βt ) cos t dt. E déduire l vleur de ζ(). Exercice.5. [Go], p.8. Soit f : [, b] C cotiue. Motrez que ( / f(t) dt) coverge vers f. Idictio. Il est clir que ( / f(t) dt) (b ) / f. Ds l utre ses, écrire qu il existe c [, b] tel que f(c) = f et dire que pour tout ε, il existe u itervlle cotet c sur lequel f(t) f ε. Exercice.6. Itégrles de Wllis. (656) [Go], p.7. I = π si xdx. Motrez que pour tout N, I = ( )I. Idictio. Ecrire que, pour, o I = I π si x cos x dx et itégrer pr prties e utilist le fit que si x si x cos x. Motrez que (I ) décroît, que I I est costt et que I O pose est ue primitive de π. Exercice.7. Irrtiolité de π [FGN] p. [(D: 3, 35, 47)] (Pour ller beucoup plus loi, voir [Go], p.99). Supposos π = p q vec p, q N. Soit f (x) =! x (p qx) et I = π f (x) si x dx. Motrer que pour tout, I >, I ted vers qud +.
5 Itégrles, suites de foctios itégrbles. Motrer que pour tout k N, f (k) () Z et f (k) ( p q ) Z (Remrquer que f ( p q x) = f (x)). E itégrt pr prties, motrer que I Z et e déduire ue cotrdictio. Remrque. l preuve origielle de Lmbert (767) utilisit les frctios cotiues. L preuve présetée ici, qui est l preuve l plus simple de l irrtiolité de π, été doée e 947 pr Nive ([Ni]). Cette techique été ivetée pr Hermite e 873 pour prouver l trscedce de e. Sommes de Riem Sommes de Riem. Soiet f : [, b] C et (xi ) i ue subdivisio de [, b]. O ppelle somme de Riem ssociée à f reltivemet à cette subdivisio toute somme S(f, σ, ξ) = (x i x i )f(ξ i ), i= où, pour tout i {,..., }, ξ i [x i, x i ] et ξ = (ξ i ) i. Théorème. Si f : [, b] C est cotiue pr morceux, les sommes de Riem ssociées à f coverget qud le ps de l subdivisio ted vers vers l itégrle de f sur [, b]. Remrque. E prticulier, pour ue foctio f : [, b] C cotiue pr morceux, l suite b ( f + b ) k k= coverge vers f(x)dx. Exercice.. Sommes de Riem. Covergece et clcul de l limite des suites : ([Go], p. 4) + k k= k= + k, t k, k= t k= + k ([Gr], p.9)
Préprtio à l grégtio de mthémtiques. 6 Idictio. Pour l derière, o pourr utiliser le fit que t x = x + x3 3 + 5 x5 + o(x 6 ) = x + O(x 3 ). 3 k= ( ) k si kπ, ( + k) k= Exercice. Estimtio de l erreur qud f est C. Motrez que, pour toute foctio f : [, ] R de clsse C, (cf. [Go], p.3-33) f(t)dt = Idictio. Poser F (x) = et qu il existe θ k, f k= x f(t)dt = ( ) k + (f() f()) + o f(t)dt, écrire que k= ( F [ k, k + ] tel que F ( ) k + F ( k + ( )) k ) F ( ). ( ) k = ( ) k f + f (θ k, ). Exercice.3. Itégrle de Poisso ([Go], p.8.) Pour ρ R \ {, }, clculez e utilist les sommes de Riem I(ρ) = π Idictio. Ecrire que I(ρ) = ( ) l ( ρ cos kπ + ρ ) et fc- k= toriser z z cos θ +. l( ρ cos θ + ρ )dθ. lim + Autre méthode ([ADT], p. 5). Motrez que I(ρ) est bie défiie pour ρ R \ {, }. Motrer que I(ρ) π l ρ e + et que lim I =. Motrer que I est ue foctio pire de ρ et que, pour tout ρ R\{, }, I(ρ ) = I(ρ). E déduire l vleur de I(ρ) e tout ρ R \ {, }.
7 Itégrles, suites de foctios itégrbles. 3. Clcul des primitives. Rppels des techiques de clcul des primitives. Frctio rtioelle : décomposer e élémets simples. Exemple : primitives de x + (x + x + ) 3. Polyôme e cos x et si x : o pose u = si x ou u = cos x ou lors o liérise. Exemples : primitives de cos 3 x si 4 x et de cos 4 x. Frctio rtioelle de cos x et si x. Règle de Bioche : si R(si x, cos x)dx est ichgé e chget x e π x, poser t = si x ; si c est ichgé e chget x e x, poser t = cos x ; si c est ichgé e chget x e π + x, poser t = t x. Si l règle de Bioche e doe rie, poser t = t(x/), le clcul se rmèe à t celui de l primitive de R( + t, t + t ) dt + t. Exemples : primitives de si 3 x + cos x, si x et cos x. Frctio rtioelle e e x. O pose u = e x. Exemples : primitives de + e x. Cs prticulier des frctios rtioelles e ch x, sh x et th x. Appliquer l règle de Bioche bis : remplcer formellemet ch x pr cos x, sh x pr si x et th x pr t x. Reveir lors ux foctios hyperboliques clssiques e fist l trsformtio iverse. Si l règle de Bioche bis e doe rie, poser t = th (x/), le clcul se rmèe à celui de l primitive de t R( t, + t t ) dt t. Frctio rtioelle e x et x + b cx + d x + b ; o pose u = cx + d. Exemple : primitive de + 3 x +.
Préprtio à l grégtio de mthémtiques. 8 Frctio rtioelle e x et x + b cx + d,..., p x + b cx + d = ppcm(,..., p ). x + b ; o pose u = cx + d vec Exemple : primitive de x + 3 x. Itégrles béliees, ie. les primitives de R(x, x + bx + c) où R est rtioelle. O se rmèe à des itégrles cotet x ou + x. Ds le premier cs, o pose u = cos x, ds le secod, u = sh x. Voir d utres stuces ds [Go], p.4. Exemples : primitives de x + x +, x + x + x + Cs des foctios dot l dérivée est ue frctio rtioelle ou pprtiet à l u des types étudiés précédemmet : o itègre pr prties. Exemples : primitives de rc t x, l x, rc si x, rc t x + x + 3, x rc si x. x 4. Révisios sur les itégrles géérlisées. Défiitio des itégrles covergetes. Soiet I u itervlle de R de l forme [, b[ où b est u ombre réel ou +, et f : I C cotiue pr morceux sur tout segmet fermé boré iclus ds I. O dit que l itégrle de f sur [, b[ est covergete si et seulemet si l limite qud x b de x f(t)dt existe. O ote f(t)dt cette limite. Sio, o dit que cette itégrle est divergete. Le cs où I est de l forme ], b] vec R ou = est logue. Soiet efi I u itervlle de R de l forme ], b[, où est u ombre réel ou et b est u ombre réel ou +, et f : I C cotiue pr morceux sur tout segmet fermé borée iclus ds I. O dit que l itégrle de f sur ], b[ est covergete s il existe u poit c ], b[ tel que les itégrles de f sur ], c] et sur [c, b[ soiet covergetes. Alors, pour tout poit c de ], b[, les itégrles de f sur ], c ] et sur [c, b[ sot covergetes, et c f(t)dt + c f(t)dt = L vleur commue des deux membres se ote c f(t)dt + f(t)dt. c f(t)dt.
9 Itégrles, suites de foctios itégrbles. Critère de Riem. Soit α R. dx coverge si et seulemet si α >. xα dx coverge si et seulemet si α <. xα Règle de compriso. Soiet f, g : [, b[ R + cotiues pr morceux sur tout segmet fermé boré iclus ds [, b[.. Si f = O(g) u voisige de b et si. Si f g u voisige de b, Critère de Bertrd. Soiet α, β R. g(x)dx coverge, lors g(x)dx coverge si et seulemet si f(x)dx coverge. f(x)dx coverge. / dx x α coverge si et seulemet si (α > ou α = et β > )) l x β dx x α coverge si et seulemet si (α < ou (α = et β > )). l x β Itégrles bsolumet covergetes. Soit f : [, b[ C cotiue pr morceux. O dit que f(x)dx coverge bsolumet si et seulemet si f(x) dx coverge. Ue itégrle bsolumet covergete est covergete. (deux preuves de cel : ue utilist le critère de Cuchy et l utre utilist le fit que si u est ue foctio à vleurs réelles, u u u ). O dit qu ue itégrle est semi-covergete si elle est covergete et est ps bsolumet covergete. Règle d Abel. Soiet f : [, b[ R+ de clsse C et g : [, b[ C cotiue sur [, b[ telle que f soit décroisste et ted vers e b, et il existe M > tel que, pour tout x [, b[, x g(t)dt M. Alors f(t)g(t)dt coverge. Remrque. L règle d Abel est ecore vrie si f est seulemet cotiue, mis l preuve de ce résultt écessite l utilistio de l secode formule de l moyee (voir [Go], p. 49). Exercice 4.. Cotre-exemples. Soit f : [, [ R cotiue pr morceux.. Est-ce que lim + f = implique l covergece de f(x)dx?
. Est-ce que l covergece de Préprtio à l grégtio de mthémtiques. f(x)dx implique lim + f =? 3. Est-ce que le résultt de l règle de compriso est vri si f : [, b[ R + et g : [, b[ C ou R? Et si f : [, b[ C ou R et g : [, b[ R +? Exercice 4.. Est-ce que l itégrle si x x dx est covergete? bsolumet covergete? semi-covergete? Exercice 4.. Exemples d pplictio des techiques précédetes pour détermier l covergece d itégrles géérlisées.. Critère de Riem ou de Bertrd :. (l t) t dt. l t α dt 3. dt (l t) α 4. x α l x dx. Théorème de Compriso : 5. l t dt 6. + t th x dx 7. x Arc tg(e x )dx 8. dx (l x) x +. 3. Chgemet de vrible 9. e x rc tg x dx. x si( x )dx. si( x )dx x dx sh x 3. x α e x dx 4. Utilistio des développemets limités 4. π l(cos x )dx 5. ch x cos x x α dx 6. t α dt 7. l t dt t α
Itégrles, suites de foctios itégrbles. 5. Utilistio de l règle d Abel 8. cos x dx 9. x cos x dx. xα e ix x l x dx. si x dx. x l x (si x et cos x s exprimet e foctio de cos x). 6. Chgemet de vrible et Règle d Abel cos x dx 3. t( ) si x dx xα x 4. e ix dx 5. x si( x )dx 7. Plusieurs itégrtios pr prties 6. f(t)dt vec f(t) = t si u u du 8. Miortio pr ue série divergete 7. e x si x dx 8. si x x l x dx 9. cos x dx 3. xα si x x dx Idictios : 7. Regrder l foctio à itégrer sur les itervlles [5π/4 + π, 7π/4 + π] ; 8 et 9. Regrder les itervlles [π/4 + π, 3π/4 + π]. 3. Peser ux itégrles de Wllis. Exercice 4.3. ([Go], p.55). Soit f : [, + [ R ue foctio cotiue telle que l itégrle dt coverge. Soiet deux ombres réels f(t) t f(t) f(bt) strictemet positifs et b. Motrer que l itégrle dt t coverge et clculer s vleur. E déduire l vleur de l itégrle u u b l u du
Préprtio à l grégtio de mthémtiques. pour, b >. Exercice 4.4. ([R], p.94). Soit f ue foctio cotiue sur R dmettt les limites l e + et l e. Existece et clcul de (f(x + ) f(x))dx. Exercice 4.5. Itégrle d Euler ([Go], p.75). Motrez que les itégrles π l cos xdx et π l si xdx coverget et qu elles sot égles. E les dditiot, et e fist u chgemet de vrible, clculer leur vleur. Exercice 4.6. ([Go], p.54).. Soit f :], [ R ue foctio croisste telle que l itégrle coverge. Motrer que lim + f k= ( ) k = f(t)dt. f(t)dt Attetio! L foctio est ps écessiremet itégrble u ses de Riem. Utiliser l croissce de l foctio sur les itervlles [k/, (k + )/] pour k {,..., }. b. Exemple : clculer lim + k= k. ([R], p.6) c. Applictio. Motrer que, pour tout α >, o k= k α α α lorsque +.
3 Itégrles, suites de foctios itégrbles. Exercice 4.7. ([Go], p. 54).. Soit f : [, + [ R ue foctio décroisste telle que l itégrle coverge et est o ulle. Pour tout t >, prouver l covergece de f(t)dt f(t) = et doer u équivlet de cette derière expressio lorsque t +. b. Applictio. Doer u équivlet, lorsque x, de l série etière = x. Exercice 4.8. Itégrtio des reltios de compriso. Soit R et g ue foctio positive sur [, + [. Motrez qu o les résultts suivts u voisige de + : + g = + + g < + f = o(g) x f = o ( x g) f = O(g) x f = O ( x g) f g x f x g f = o(g) ( + ) + x f = o x g f = O(g) ( + ) + x f = O x g + f g x f + x g Quelques pplictios : Motrez que, u voisige de + : l( + x) x ( ) = o x et que x l( + t) dt = o( x). t x x + x 3 + x et que x t t + t 3 + dt l x.
Préprtio à l grégtio de mthémtiques. 4 5. Théorèmes de covergece et itégrles à prmètres ds le cdre de l itégrle de Riem. Le théorème fodmetl est le suivt : Théorème. Soit < b deux réels et (f ) ue suite de foctios de clsse C pr morceux qui coverge uiformémet sur [, b] vers l foctio f de clsse C pr morceux. Alors lim f (t)dt = f(t)dt. + Il découle de ce théorème les trois théorèmes suivts : Théorème de cotiuité sous le sige somme pour u itervlle compct. Soiet < b deux réels, (E, d) u espce métrique, et f : [, b] E C. Si - f est cotiue sur [, b] E, lors - l pplictio F (x) = f(t, x)dt est cotiue sur E. Théorème de dérivtio sous le sige somme pour u itervlle compct. Si I est u itervlle de R et si f : [, b] I C est telle que - f x lors existe et est cotiue sur [, b] I, - l pplictio F (x) = f(t, x)dt est de clsse C sur I et F (x) = f (t, x)dt. x Théorème d holomorphie sous le sige somme pour u itervlle compct. Si U est u ouvert de C et si f : [, b] U C est cotiue et telle que - z f(t, z) est holomorphe, lors - l pplictio F (z) = f(t, z)dt est holomorphe sur U et, pour tout N, F () (z) = f (t, z)dt. z
5 Itégrles, suites de foctios itégrbles. Exercice 5.. Cotre-exemples. Soit (f ) l suite de foctios de R + ds R défiie pr f (x) = si x [, + ] et f (x) = sio. Motrer que l suite (f ) coverge uiformémet vers. A-t o lim f (t)dt =? + Coclusio.. Soit (f ) : [, ] R + défiie pr f (x) = x si x [, [ et f () =. Motrer que l suite (f ) coverge simplemet vers l foctio ulle sur [,]. A-t o Coclusio. lim f (t)dt =? + t Exercice 5.. Autre méthode pour le clcul de l t dt. t Cosidérer F (x) = l t tx dt et étudier F (domie de défiitio, cotiuité, dérivbilité, etc...). Exercice 5.. Autre méthode pour le clcul de l itégrle de Guss ([Go], p.63 et [R], p. ). O pose F (x) = x e u du G(x) = e (t +)x t + dt. Motrez que l foctio G est dérivble sur R. Clculer G (x) et e déduire ue expressio de G(x) e foctio de F (x). E déduire l vleur de e t dt.
Préprtio à l grégtio de mthémtiques. 6 6. Révisios sur l mesure de Lebesgue ds R. Défiitio. L mesure extérieure de tout itervlle I (ouvert, fermé ou semi-ouvert) et yt pour extrémités < b est le ombre réel positif b. O le ote m (I) O éted l mesure extérieure à tous les ouverts de R de l mière suivte : Propositio et défiitio. Tout ouvert de R est réuio déombrble disjoite d itervlles ouverts ], b [ pour N. Cette écriture est uique. L mesure extérieure d u tel ouvert ser lors (b ). = Défiitio. Soit A R boré. L mesure extérieure de A est m (A) = if{m (U), U ouvert et A U}. Si A [, b], l mesure itérieure de A est m (A) = (b ) m ([, b] \ A). Si mitet A est o boré, les mesures extérieure et itérieure de A sot m (A) = lim + m (A [, ]) et m (A) = lim m (A [, ]) + O dit que A est mesurble si et seulemet si m (A) = m (A). O ote m(a) l vleur commue. m(a) est l mesure de Lebesgue de A. L esemble des mesurbles forme ue tribu (cf. ci près) et l mesure de Lebesgue est ue mesure (cf. ci-près). Défiitio. Soit Ω u esemble et A P(Ω). O ote A c = Ω \ A. Soit T P(Ω). O dit que T est ue tribu si () Ω T () A P(Ω), A T A c T (3) (A ) P(Ω) N, A T. = O dit lors que (Ω, T ) est u espce mesurble et que tous les élémets de T sot les esembles mesurbles. O ppelle mesure positive sur (Ω, T ) toute foctio µ : T [, + ] telle que () µ( ) = () (A ) P(Ω) N, deux à deux disjoits, ( ) µ A = = µ(a ). =
7 Itégrles, suites de foctios itégrbles. O dit lors que (Ω, T, µ) est u espce mesuré. Si µ(ω) < +, o dit que µ est ue mesure fiie. Si Ω = = A où µ(a ) <, o dit que µ est σ fiie. Mesure de Lebesgue sur [, b]. O pred Ω = [, b]. T est l tribu M [,b] des sousesembles mesurbles de [, b] pour l mesure de Lebesgue m. ([, b], M [,b], m) est u espce mesuré, et m est ue mesure fiie. Mesure de Lebesgue sur R. O pred Ω = R. T est l tribu M R des sous-esembles mesurbles de R pour l mesure de Lebesgue m.(r, M R, m) est u espce mesuré, et m est ue mesure σ fiie. Mesure de Dirc e u poit. Soit Ω u esemble mui de l tribu T = P(Ω). Si Ω, o défiit l mesure de Dirc e pr δ (A) = si A T et pr δ (A) = si A T. Mesure de comptge sur N. O pred Ω = N. T est l tribu P(N) et µ d est l mesure de comptge, c est-à-dire que µ d (A) est égl u crdil de A, pour tout A P(N). (N, P(N), µ d ) est u espce mesuré, et µ d est ue mesure σ fiie. Crctéristio des esembles mesurbles u ses de Lebesgue. O ppelle tribu boréliee de R ou tribu des borélies l plus petite tribu cotet les ouverts de R. O dit qu u esemble A de R est égligeble si et seulemet si, pour tout ε, il existe ue suite d itervlles dot l réuio cotiet A et dot l somme des logueurs est plus petite que ε. Les esembles mesurbles ds R u ses de Lebesgue sot exctemet les esembles qui sot l réuio d u borélie et d u esemble égligeble. Foctios mesurbles. Défiitio. Soiet (Ω, T ) et (Ω, T ) deux espces mesurbles et f : Ω Ω. O dit que f est (T, T ) mesurble (ou plus simplemet mesurble) si et seulemet si, A P(Ω ), A T f (A ) T. Propositio. Soit f : Ω R ue suite de foctios mesurbles qui coverge simplemet vers ue foctio f : Ω R. Alors f est mesurble. Théorème de l covergece mootoe ou théorème de Beppo-Levi. Soit (f ) ue suite de foctios mesurbles sur (Ω, µ) et à vleurs ds R. O suppose que : - L suite (f) est croisste presque prtout à prtir d u certi rg. Alors : - f = lim + f existe presque prtout et défiit ue foctio mesurble à vleurs ds R {+ }
Préprtio à l grégtio de mthémtiques. 8 et lim + Ω f dµ = Ω f dµ. Corollire. Si (u ) est ue suite de foctios mesurbles sur (Ω, µ) et à vleurs ds R. O suppose que : - il existe u rg à prtir duquel u presque prtout. Alors ( ) u dµ = Ω = = Ω u dµ. Exercice 6.. ([Gr], p.4, [LS] p.85) Covergece et clcul de l t t dt, l t t dt, l t t l( t)dt. Idictio. Développer e série etière. Exercice 6.. Approximtio ultr-hyper-clssique de l expoetielle.. Motrer que pour tout t [, [, t t. O pose, pour N et t R + f (t) = l( t) t ( t ) pour t [, ], et f (t) = si t >. Motrez que l suite de foctios (f ) est ue suite de foctios croisste qui coverge vers t R + e t. Exercice 6.3. Itégrle de Guss (à prtir de [Go], p.63).. Motrez que ( ) lim t dt = e t dt +. E post t = cos u et e utilist les itégrles de Wllis, motrez que π e t dt =
9 Itégrles, suites de foctios itégrbles. Exercice 6.4. Foctio Γ ([Go], p.9 et p.6). Soit l foctio Gmm défiie pr Γ(x) = +. Motrer que Γ est bie défiie sur R +.. Motrer que e t t x dt pour x >. x >, Γ(x + ) = xγ(x) et N, Γ( + ) =!. 3. Motrer que, pour tout x >, o ( Γ(x) = ) t t x dt. E déduire que Γ(x) = lim + x!. (x + k) k= 4. Clculer Γ ( ). 5. Démotrer l formule de duplictio : ( x >, x Γ(x)Γ x + ) = πγ(x). Théorème de Ftou. Soit (f ) ue suite de foctios mesurbles de (Ω, µ) ds R. O suppose que : - il existe u rg à prtir duquel f presque prtout. Alors Ω lim if f dµ lim if Ω f dµ. Théorème de l covergece domiée (Lebesgue 98-9). Soit (f ) ue suite de foctios mesurbles de (Ω, µ) ds C. O suppose que - pour presque tout x Ω, f(x) = lim + f (x) existe et que - Il existe g : Ω R + mesurble telle que N, f g presque prtout. Alors f est itégrble et lim f dµ = fdµ. + Ω Ω
Préprtio à l grégtio de mthémtiques. Applictios ux séries. Soit (u ) = f() ue série bsolumet covergete. Si Ω = N, T = P(N) et µ = µ d est l mesure de comptge, o u = = N f dµ d. Théorème de l covergece domiée pour les séries. Soit ue fmille ( (m)),m N de ombres complexes. O suppose que - il existe ue suite (c ) de réels positifs ou uls telle que c coverge et telle que (, m) N, (m) c et que Alors N, b coverge et lim lim (m) = b. m + m + = (m) = b. = Exercice 6.5. Cotre-exemples.. Soit l suite de foctios (f ) défiie sur [, ] pour pir pr f = χ [, et pour impir pr f ] = χ [,]. A-t o lim if f (t) = lim if. Soit l suite de foctios (f ) défiie sur R + pr A-t o f = χ [,+ ] χ [, ]. lim if f (t) lim if f (t)dt? f (t)dt? Coclusio. 3. Soit (f ) : [, ] R + défiie pr f (x) = x si x [, [ et f () =. Motrer que l suite (f ) coverge simplemet vers l foctio ulle sur [,]. A-t o lim f (t)dt =? + Coclusio.
Itégrles, suites de foctios itégrbles. Exercice 6.6. Règle de Weierstrss ([Po], p. 4-5). Soit u (m) ue suite de ombres complexes idexés pr (, m) N. O suppose que pour tout N, o lim m + u (m) = u, et qu il existe ue suite (v ) de ombres réels positifs telle que v < et telle que (m, ) N N, u (m) v. Motrez de deux fços différetes que lim m + ( ) u (m) = = u. = Si w est ue suite de ombre complexes, o dit que le produit ( + w ) N coverge si l suite ( + w ) coverge, et o ote s limite ( + w ). = Sous les mêmes hypothèses que précédemmet, motrez que lim m + ( ) ( + u (m)) = = ( + u ). O pourr pour cel, motrer qu il existe u rg N à prtir duquel v <, utiliser le logrithme complexe et prouver que, pour z <, l( + z) z z. Exercice 6.7. Ue pplictio du pricipe de Weierstrss : l formule d Euler ([C], p.9-9). Motrez que, pour z C, e z = = ( lim + z m. m + m) O pourr ppliquer l règle de Weierstrss, ou lors motrer que ( e z + m) z m ( e z + z ) m. m = O défiit P m pr P m (z) = i [ ( + iz ) m ( iz ) ] m m m
Préprtio à l grégtio de mthémtiques. Trouver les rcies de P m. E déduire que si z = z lim m m = ( z ) 4m t π, m puis que si z = z ( z = π ). Motrez (formule dite des complémets) que z C, Γ(z)Γ( z) = π si πz. Théorème d itégrbilité termes à termes des séries de foctios. Soit (u ) ue suite de foctios de L (Ω). O suppose que u < +. Alors : - L série de terme géérl (u ) coverge bsolumet presque prtout ; - f(x) = u (x) est défiie presque prtout et est itégrble ; = Corollire. L (Ω) est complet. Ω f(x) dµ(x) = = Ω u dµ. Exercice 6.8. O ote H + = {z C, Re z > }. Motrer que z H +, Γ(z) = = ( )!(z + ) + e t t z dt.
3 Itégrles, suites de foctios itégrbles. Théorème de cotiuité sous le sige somme ds le cdre de l itégrle de Lebesgue. Soiet (Ω, µ) u espce mesuré, et (E, d) u espce métrique. Soit f : Ω E C telle que : - Pour tout x E, t f(t, x) L (Ω) - Pour presque tout t Ω, x f(t, x) est cotiue - Il existe ue foctio g L (Ω) telle que, pour presque tout t Ω et pour tout x Ω, f(t, x) g(t). Alors l pplictio F : x Ω f(t, x)dµ(t) est cotiue. Théorème de dérivtio sous le sige somme ds le cdre de l itégrle de Lebesgue. Soiet (Ω, µ) u espce mesuré, et I u itervlle de R. Soit f : Ω I C telle que : - Pour tout x E, t f(t, x) L (Ω) - Pour presque tout t Ω, x f(t, x) est dérivble. - Il existe ue foctio g L (Ω) telle que, pour presque tout t Ω et pour tout x Ω, f (t, x) x g(t). Alors l pplictio F : x f(t, x)dµ(t) est dérivble, et Ω F (x) = Ω f (t, x)dµ(t). x Théorème d holomorphie sous le sige somme ds le cdre de l itégrle de Lebesgue. Soiet (Ω, µ) u espce mesuré, et U u ouvert de C. Soit f : Ω U C telle que : - Pour tout z U, t f(t, z) L (Ω) - Pour presque tout t Ω, z f(t, z) est holomorphe - Il existe ue foctio g L (Ω) telle que, pour presque tout t Ω et pour tout z U, f(t, z) g(t). Alors l pplictio F : z Ω f(t, z)dµ(t) est holomorphe ds U, et pour tout N, F () (z) = f (t, z)dµ(t). z Ω Exercice 6.9. Clcul de l itégrle de Dirichlet ([Po], p. 99). Posos, pour x >, tx si t F (x) = e dt. t
Préprtio à l grégtio de mthémtiques. 4 Motrez que F est dérivble sur ], + [, et que F (x) = + x (deux itégrtios pr prties). E déduire que F (x) = π/ rct x (regrder l limite de F à l ifii). Motrez efi, e itégrt pr prties, que F (x) = si u ( u du x e tx t ) si u u du dt. Coclure. Exercice 6.. Foctio Γ (d près [V-P], p.4). [(D: 7,3,35,39, 4,45,47)] Soit l foctio gmm défiie pr Γ(x) = e t t x dt pour x >.. Motrer que Γ est bie défiie, de clsse C sur R +.. Motrer que Γ est covexe sur R +. Motrer que Γ est logrithmiquemet covexe (i.e. log Γ est covexe. O pourr pour cel motrer qu ue foctio F est logrithmiquemet covexe sur u itervlle I de R si et seulemet si F F F, et utiliser l iéglité de Cuchy -Schwrz). 3. Doer u équivlet de Γ e + et trcer so grphe (utiliser l reltio Γ(x + ) = xγ(x) obteue pour x > ds l exercice 5.4. 5. Motrer que Γ se prologe holomorphiquemet à C \ ( N) et clculer les résidus de Γ ux poits qud N (utiliser l exercice 5..) E écrivt que e déduire que Γ(z) = lim z + ( k= Γ(z) = zeγz ) ( + z ) e z/k e z(+ + + l ), k = ( + z ) e z. où γ désige l costte d Euler. Exercice 6.. Existece et clcul des itégrles de Fresel.. Motrer que les itégrles I = cos t dt et J = si t dt
5 Itégrles, suites de foctios itégrbles. coverget e u ses que l o préciser.. O pose, pour z C, F (z) = e zt dt. Motrer que F est holomophe sur H + = {z C, Re z > }, cotiue sur H +. Clculer F pour z réel strictemet positif. E déduire les vleurs de I et J. 7. Itégrles multiples. Défiitio. Soiet (Ω, T, µ ) et (Ω, T, µ ) deux espces mesurés σ fiis. O ote T T l tribu egedrée pr les esembles de l forme A A où (A, A ) T T. Il existe ue uique mesure otée µ µ telle que (A, A ) (T, T ), µ µ (A B) = µ (A )µ (A ). Cette mesure est l mesure produit de µ et µ. Théorème de Toelli. Soiet (Ω, T, µ ) et (Ω, T, µ ) deux espces mesurés σ fiis. Soit f : (Ω Ω, T T ) [, + ] mesurble. Alors f(x, y) d(µ µ )(x, y) = Ω Ω Ω ( ) f(x, y)dµ (y) dµ (x) Ω ( ) = f(x, y)dµ (x) dµ (y). Ω Théorème de Fubii. Soiet (Ω, T, µ ) et (Ω, T, µ ) deux espces mesurés σ fiis. Soit f : (Ω Ω, T T ) C itégrble, c est-à-dire que f(x, y) d(µ µ )(x, y) = Ω Ω Ω Ω ( ) f(x, y) dµ (y) dµ (x) Ω ( ) = f(x, y) dµ (x) dµ (y) < +. Ω Ω Alors : - pour presque tout x Ω, y Ω f(x, y) est itégrble - pour presque tout y Ω, x Ω f(x, y) est itégrble - L foctio x Ω f(x, y)dµ (y) est défiie presque prtout et itégrble Ω - L foctio y Ω f(x, y)dµ (x) est défiie presque prtout et itégrble Ω
Préprtio à l grégtio de mthémtiques. 6 et o : f(x, y) d(µ µ )(x, y) = Ω Ω Ω ( ) f(x, y)dµ (y) dµ (x) Ω ( ) = f(x, y)dµ (x) dµ (y). Ω Ω C est e prticulier le cs si l u des ombres est fii. X ( Y ) f(x, y dν(y) dµ(x) ou Y ( X ) f(x, y dµ(x) dν(y) Théorème de chgemet de vrible. Soit U u ouvert de R et f L (U). Soit ϕ : U U u C difféomorphisme. Alors f(ϕ(t)) Jϕ(t) dt = U où Jϕ(t) est le jcobie u poit t U de l foctio ϕ. U f(x)dx, Exercice 7.. Clcul de l itégrle de Guss. O ote I = e t dt. Motrez que I = e x dm (x) R + où dm désige l mesure de Lebesgue sur R. E psst e coordoées polires, clculez I. Exercice 7.. Clcul de l itégrle de Fresel. [Av], p. 335. O se propose de clculer J = e iy dy.. Motrez l covergece de J e u certi ses que l o préciser. O ote I l itégrle de Guss de l exercice.. Motrez que, pour tout y ], + [, 3. Motrez que, pour A >, I A Ie iy = e iy dy = e y (t +i) y dt. ( A ) e y (t +i) y dy dt.
7 Itégrles, suites de foctios itégrbles. 4. Coclure. 8. Exercices Complémetires. Exercice 8... Le clcul le plus simple de l somme hrmoique lterée. Motrez que ( ) coverge. Clculer l somme de l série e remrqut que = t dt. Exercice 8... Première formule de l moyee ([Go], p. et 7) Soit f : [, b] R ue foctio cotiue et g : [, b] R + cotiue pr morceux. Motrez qu il existe c [, b] tel que f(x)g(x)dx = f(c) g(x)dx. Est-ce vri si g est ps positive? Cette formule est ppelée première formule de l moyee. Exercice 8..3. Lemme de Riem-Lebesgue géérlisé ([Go], p.3). Soit ϕ : R C ue foctio cotiue pr morceux et T périodique et f : [, b] C cotiue pr morceux. Motrez que lim f(t)ϕ(t)dt = + T ( ) ( T ) b ϕ(t)dt f(t)dt. Idictio. Comme ds l exercice.4, triter d bord le cs où f est e esclier. Exercice 8..4. Itégrles de Wllis géérlisées [BBR], p.7.[(d:3, 35, 39, 4, 47)]. Soiet < b et u : [, b] R, cotiue, positive et strictemet décroisste. Soit f : [, b] R cotiue. Motrer que lim + f(t)u (t)dt u (t)dt = f(). Idictio. Retrcher f() à f, utiliser l cotiuité de f e et l exercice.8.. O pose I k (x) = π cos k t cos xt dt. Trouver pour x R \ Z ue reltio de récurrece etre I k (x) et I k+ (x). O pourr pour cel écrire que I k+ (x) = π cos k t( si t) cos xt dt,
Préprtio à l grégtio de mthémtiques. 8 motrer que I k+ (x) = I k (x) I π k+(x) k + + x cos k+ t k + si t si xt dt, puis que Etudier I k (x) lim k + I k () π cos k+ t si t si xt dt = x k + I k+(x). (utiliser l questio ) et e déduire que si πx = πx ( x p ). p= Remrque. L preuve origielle d Euler 74 du fit que ζ() = π 6 utilisit l formule précédete. L idée étit de dire que si π x π x = ( x p ). p= De l même mière que l somme des iverses des rcies z,... z C d u polyôme (cf. [HW] p.63). P (z) = ( z ) = + z + z z j vérifie i= i= o déduit formellemet du développemet z j =, si π x π x = π3 x 3 6π x + l vleur de ζ(). Exercice 8..5. Irrtiolité de t r et de e r pour r rtioel [MZ]. [(D : 3, 35, 47)]. Soit r Q. Supposos r = b vec, b Z et supposos que t r = p q Pour, o pose vec p, q Z. f (x) = (rx x )! et I = r f (x) si x dx.. Motrez que b I coverge vers. b. Clculer I et I. Motrez que pour tout, I = r f (x) si x dx.
9 Itégrles, suites de foctios itégrbles. Motre que, pour tout, il existe des réels λ et µ dépedts de et de r tels que E déduire que, pour tout, o c. Motrez que pour tout, x R, f (x) = λ f (x) + µ f (x). I = (4 )I r I. I = P (r)( cos r) + Q (r) si r où P et Q sot des polyômes ds Z[X] et de degrés iférieurs ou égux à. d. Motrez que : N N, N, I. E déduire que N N, N, b q I ( si r = b q P (r) t r ) + Q (r) Z. e. Motrez que pour tout r Q, t r Q.. Motrer de l même mière que pour r Q, e r est irrtioel e utilist f (x) = (rx x )! et I = r f (x)e x dx Aexe : Itégrle des foctios réglées. Foctios réglées. f : [, b] C est dite réglée si et seulemet si elle est limite uiforme d ue suite de foctios e esclier. Crctéristio des foctios réglées. f : [, b] C est réglée si et seulemet si f dmet ue limite à guche et à droite e tout poit. Itégrle de Riem des foctios réglées. L défiitio de l itégrle de Riem des foctios e esclier s éted ux foctios réglées de mière uique de l mière suivte : Si (f ) est ue suite de ( foctios e esclier coverget uiformémet vers f sur [, b], lors ) b l suite des itégrles f (x)dx coverge vers u ombre, idépedt de l suite (f ), que l o ote f(x)dx. Exercice 8..6. Théorème de prologemet des pplictios uiformémet cotiues défiies sur ue prtie dese. Costructio de l itégrle de Riem. [(D:,, 5, 7, évetuellemet 8)] [Po], p.48-49.
Préprtio à l grégtio de mthémtiques. 3. Soiet (E, d) et (F, δ) deux espces métriques, F étt complet, A ue prtie dese de E et f : A F uiformémet cotiue. Motrez qu il existe ue uique pplictio cotiue f : E F qui prologe f et que de plus f est uiformémet cotiue.. Motrez qu o peut défiir l itégrle etre et b des foctios réglées. Motrez que, si f : [, b] R + est réglée, f(x)dx. Idictio. Remrquer que si (f ) est ue suite de foctios e esclier qui coverge uiformémet vers f, l suite (g ) = (mx(f, )) est ue suite de foctios e esclier qui coverge uiformémet vers f. Soit f : [, b] C ue foctio cotiue. Motrez que f est réglée. Motrez que toute foctio cotiue pr morceux est réglée. 3. Soit (f ) ue suite de foctios réglées de [, b] C qui coverge uiformémet vers ue foctio f : [, b] C. Motrez que f est réglée et que lim f (x)dx = f(x)dx. + Exercice 8... Deuxième formule de l moyee [Go], p. et 7. Soit f : [, b] R ue foctio positive décroisste de clsse C et g : [, b] R cotiue. Motrez qu il existe c [, b] tel que c f(t)g(t)dt = f() g(t)dt. Cette formule est ppelée deuxième formule de l moyee. Idictio. Si o pose G(x) = de motrer que l itégrle x g(t)dt et si o écrit que G([, b]) = [m, M], il suffit f(t)g(t) [mf(), Mf()]. Pour cel, itégrer pr prties et ecdrer f (t)g(t)dt e utilist le fit que f. Prouver le même résultt si f est seulemet cotiue e utilist les sommes de Riem. O pourr pour cel s ispirer de l preuve ds le cs où f est C et utiliser le fit que l équivlet d ue itégrtio pr prties pour ue somme est l trsformtio d Abel. Exercice8... Iéglité de Youg. [FGN], p... Soit f : R + R + ue foctio de clsse C telle que f() =, f > et lim x + f(x) = +. Motrer que, pour, f() = f(t)dt + (dériver pr rpport à ) puis que, pour b, b f(t)dt + f() f (t)dt, f (t)dt. (étudier l foctio b f(t)dt + f (t)dt b). (Iéglité de Youg). Iterpréttio géométrique?
3 Itégrles, suites de foctios itégrbles.. Etblir que l églité de l questio précédete reste vlble si o suppose seulemet f cotiue, strictemet croisste vec f() = et lim x + f(x) = +. O pourr pour cel utiliser des sommes de Riem, e pret ue subdivisio régulière (x k ) k=,..., de l itervlle [, ] et fire ue trsformtio d Abel e utilist le fit que le ps de l subdivisio (f(x k )) k=,..., de [, f()] ted vers. 3. Qu obtiet-o vec l foctio f(t) = t p pour p >? Exercice 8..3. Suites équiréprties, Critère de Weyl. ([FGN], p. 48. Soit (u ) ue suite de [, ]. Pour b, o pose X (, b) = Crd{k {,..., }, u k [, b]}. Prouver l équivlece des propriété suivtes : (i) X (,b) ted vers b pour tout couple (, b) ; (ii) pour toute foctio f : [, ] R cotiue, o (iii) pour tout p N, o lim + f(u k ) = k= lim + e iπpu k =. k= f(t)dt; O dit lors que l suite (u ) est équiréprtie. Idictios. Pour (i) (ii), utiliser l implictio est vrie pour les foctios e esclier et le fit que toute foctio cotiue est limite uiforme de foctios e esclier. Pour (ii) (i), utiliser le fit que l idictrice d u itervlle est limite ds L [, ] d ue suite de foctios cotiues. L implictio (ii) (iii) est clire. Pour (iii) (ii), utiliser le théorème de Stoe-Weierstrß. Motrez que l suite (α E(α)) est équiréprtie si et seulemet α Q. Distributio du premier chiffre des puissces de. [FGN] p. 6. Pour i {,..., 9} et N, o ote N i () le ombre d élémets de l esemble {,,..., } dot le premier chiffre de l écriture décimle est i. Motrer que N i () lim + = l(i + ) l i. l 8.3. Clcul de Arc t x dx (fire ue itégrtio pr prties et u chgemet de vrible). 8.3. Clcul de π x si x + cos x dx (fire u chgemet de vrible).
Préprtio à l grégtio de mthémtiques. 3 Aexe. Foctios Riem-Itégrbles. Berhrd Riem (86-866) crée e 854 ue utre théorie de l itégrle. Chercht à étudier l possibilité de développer ue foctio cotiue périodique e série trigoométrique, Riem est meé à clculer des itégrles de foctios o cotiues. Il dit qu ue foctio borée est itégrble si ce qu o ppelle mitet les sommes de Riem qui lui sot ttchées ot ue limite qud le ps de l subdivisio ted vers, cette limite étt lors l itégrle de l foctio. Il motre que les foctios mootoes sot itégrbles, et doe u exemple de foctio itégrble yt ue ifiité de poits de discotiuité. Cette otio d itégrle ecore été géérlisée pr Lebesgue (875-94) e 9. Les idées de Riem ot, qut à elles, été géérlisées pr Kurzweil et Hestock à l fi des ées 95. Cette théorie, qui eglobe à l fois l théorie de Lebesgue et de Riem, tout e étt plus géérle que ces deux théories, de plus le bo goût d être à peie mois élémetire que l théorie de Riem. Il est seulemet dommge qu elle e fsse ps prtie (pour l istt...) des progrmmes de l eseigemet supérieur... Défiitio d ue foctio Riem-itégrble. Ue pplictio f : [, b] C est Riem-itégrble si pour tout ε >, il existe deux foctios e esclier ϕ : [, b] C et µ : [, b] R + telles que t [, b], f(t) ϕ(t) µ(t) et µ(x)dx < ε. Théorème et défiitio. Costructio de l itégrle des foctios Riem-itégrbles. Soit f : [, b] C ue foctio Riem-itégrble. E dot à ε les vleurs d ue suite (ε ) positive et tedt vers ds l défiitio, o voit qu il existe deux suites (ϕ ) et (µ ) de foctios e esclier sur [, b] telles que N, f ϕ µ, lim µ (x)dx =. + ( ) b L suite ϕ (x)dx est lors ue suite de Cuchy, doc covergete. déped ps du choix des foctios e escliers ϕ et µ. O l ote f(x)dx. S limite e Théorème. Crctéristio des foctios Riem-itégrbles. f : [, b] C est Riem-itégrble si et seulemet si f est borée, cotiue suf sur u esemble égligeble. Remrque : Iutile de coître l défiitio de l mesure de Lebesgue pour défiir u esemble égligeble! U esemble A [, b] est égligeble si et seulemet si, pour tout ε >, il existe ue fmille d itervlles dot l somme des logueurs est iférieure à ε et dot l réuio cotiet A.
33 Itégrles, suites de foctios itégrbles. Théorème de covergece uiforme des suites de foctios itégrbles. Soit (f ) ue suite de foctios Riem-itégrbles de [, b] ds C qui coverge uiformémet sur [, b] vers ue foctio f. Alors, f est Riem-itégrble et lim f (x)dx = f(x)dx. + Sommes de Riem. Soiet f : [, b] C et (x i ) i ue subdivisio de [, b]. O ppelle somme de Riem ssociée à f reltivemet à cette subdivisio toute somme S(f, σ, ξ) = (x i x i )f(ξ i ), i= où, pour tout i {,..., }, ξ i [x i, x i ] et ξ = (ξ i ) i. Théorème. f : [, b] C est Riem-itégrble si et seulemet si les sommes de Riem ssociées à f coverget qud le ps de l subdivisio ted vers (e prticulier, elles coverget vers l itégrle de f sur [, b]). Remrque. E prticulier, pour ue foctio f : [, b] C Riem-itégrble, l suite coverge vers f(x)dx. b ( f + b ) k k= Exercice 8..4. Quelques exemples.. Est-ce que l foctio idictrice de Q [, ] est réglée?. U exemple de foctio réglée yt u esemble de poits de discotiuité déombrble : l foctio de Weierstrss (pr exemple, [Po] p. 83 et [Go] p.8). O défiit l foctio f sur [, ] pr f(p/q) = /q si (p, q) N N et si l frctio p/q est irréductible et pr f(x) = sio. Motrez que f est discotiue sur Q [, ] et cotiue sur (R \ Q) [, ]. Motrez que f est réglée. Idictio. Motrez que si ue suite de frctios rtioelles (p /q ) coverge vers u irtioel, lors (q ) ted vers + et que l foctio f dmet pour limite à guche et à droite e tout poit. 3. Est-ce que l foctio idictrice de Q [, ] est réglée? est-ce qu elle est Riemitégrble? 4. U exemple de foctio o réglée, Riem-itégrble, [Go], p.. Motrez que l foctio f(x) = si(/x) sur ], ] et qui vut e est Riem-itégrble, mis est ps réglée. 5. Est-ce que l foctio f(x) = / x sur ], ] et telle que f() = est Riem-itégrble? t Exercice 8.4.. ([Go], p.74). Motrez que l itégrle I = dt coverge. l t E
Préprtio à l grégtio de mthémtiques. 34 x dt cosidért l pplictio F (x) : [, [ x, e motrt qu elle dmet ue limite x l t e et e clcult l vleur de cette limite, clculez l vleur de I (o pourr utiliser le fit que l t = (t ) + O((t ) ) u voisige de ). Exercice 8.4. O pose, pour x R +, F (x) = t=x si t dt. t Covergece et clcul de F (x)dx. Exercice 8.4.3 Soit f(x) = + = l( + x ). Quel est l esemble de défiitio de f? de cotiuité? que vut lim f? Trouver u équivlet e de f. Exercice 8.4.4 Pour m R +, clculer + e t e mt dt. t Exercice 8.4.5. Covergece et clcul de rc t πx rc t x dx. x Exercice 8.4.6 O pose u (t) = t t + pour tout N et pour tout t R. Covergece de u? Que vut lim u (t)? t + = Exercice 8.4.7. Limite et équivlet qud x + de p= (x + p) Exercice 8.6.. Autour de Ftou. ([QZ], p.8) Soit (f ) et f des foctios de L (R) telles que l suite (f ) coverge simplemet presque prtout vers f(x) et f ted vers f. Motrer que f f ted vers. O pourr ppliquer le lemme de Ftou à l suite de foctios positives g = f + f f f.
35 Itégrles, suites de foctios itégrbles. Exercice 8.6.. Pour, soiet I = π (si x) dx, J = x cos t t(t + ) dt et K = + x ( + x) dx. Détermier l limite de I, J et K qud +. Exercice 8.6.3. Clculer pour. E déduire l vleur de l itégrle t e t dt e t cos xt dt π pour tout x R. O rppelle que e t dt =. Exercice 8.6.4. Motrer que, pour > : si x e x dx = +. Exercice 8.6.5. Soit f : R R ue foctio périodique de période T >. O suppose que f est itégrble u ses de Lebesgue sur [, T ]. Motrer que l série f(x) coverge pour presque tout x [, T ]. E déduire que f(x) ted vers qud + pour presque tout x [, T ]. Motrer que lim + = cos x = pour presque tout x R. Exercice 8.6.6. Pour >, soit F () = e x x dx. Motrer que F est dérivble sur ], [ et que F () = F (). E déduire l vleur de F (). Exercice 8.6.7 Clculer l limite et doer u équivlet qud ted vers + de l( + t )dt.
Préprtio à l grégtio de mthémtiques. 36 Exercice 8.6.8 Clculer π ( ) b cos x l dx cos x pour, b >. Exercice 8.6.9 Covergece et clcul de ( ) rc t x dx. x O pourr itroduire rc t tx x(x + ) dx. Exercice 8.6.. Covergece et clcul de l t ( t) t( t) dt. Exercice 8.6.. Soiet < < b. Pour x R, o pose f(x) = e t e bt t cos xt dt. Motrer que f est de clsse C sur R. Clculer f (x), f() puis f(x). Exercice 8.6.. Soit f : [, + [ R ue foctio cotiue telle que lim f =. O pose ( ) si xt φ(x) = f(t) dt t φ(x) Quel est le domie de défiitio de φ? Motrez que lim x + x = π. Exercice 8.6.3. O pose l t φ(x) = t + x dt. Etudier l défiitio de φ et l dérivbilité de φ. Clculer φ. O pose ψ(x) = φ(x) + φ(/x). Clculer ψ. Clculer ( t) l t ( + t)(t + tch θ + ) dt. Exercice 8.6.4. Clculer + lim ( + t ) dt. +
37 Itégrles, suites de foctios itégrbles. O pourr poser u = + t. Exercice 8.6.5. Motrez que x ], [, π ( + ) x l( + x cos t)dt = π l Exercice 8.6.6. O pose e tx f(x) = si t dt. t Etudier l limite de f e +. E déduire si t dt. t Exercice 8.6.7. Soit f cotiue sur [, ]. Etudier l limite qud + de f(x) = f(t) l( + t )dt. Exercice 8.7.. E clcult de deux fços [,+ [ [,+ [ dx dy ( + y)( + x y), motrez, près voir étbli l covergece de l itégrle, que l t t = π 8. Exercice 8.7.. Motrez que dx dy + [,] xy =. = E fist le chgemet de vribles x = u+v et y = u v, motrer que = = π 6. Exercice 8.7.3. Clcul de l itégrle de Dirichlet.. Vérifier que, pour tout N, si x x dx = dx e xt si x dt.
Préprtio à l grégtio de mthémtiques. 38 b. E déduire le clcul de si x x dx. Exercice 8.7.4. [Av], p.333. Soiet < < b. Du clcul de [,] [,b] x y dx dy déduire ue formule. Exercice 8.7.5 Covergece et clcul de I(t) = + x= e xt ( + y= x e y y dy ) dx 9. Sujets d étude. Complémets sur l foctio Γ ([Go], p.9 et p.6). [(D: 7, 9, 35, 39, 4, 45, 46, 47 ) Extrire les poits à triter e foctio de l leço à illustrer.]. Dérivée logrithmique de Γ. Motrer que x >, Γ (x) Γ(x) = γ x + = x (x + ). E déduire, près voir vérifié l covergece de l itégrle, que. Motrez que, pour x >, (l t)e t dt = γ. (l Γ) (x) = = ( + x). 3. Première formule de Biet. [AAR]. Formule de Dirichlet. O se propose de motrer que x >, Γ (x) Γ(x) = z ( e t ) ( + z) x dz.
39 Itégrles, suites de foctios itégrbles. Motrer que E cosidért l itégrle double e z e sz dz = l s. z ( ) z= s= s x e s z e s(+z) ds dz, z qui vut d ue prt Γ (x) et d utre prt ( ) Γ(x) e z z ( + z) x dz, déduire le résultt. b. Formule de Guss. Motrer que, pour tout x >, Γ ( (x) Γ(x) = lim e z ) δ + δ z dz dz δ z( + z) x ( e z = lim δ + δ z dz e tx ) dt l(+δ) e t ( l(+δ) e z ( ) ) e t = lim δ + δ z dz + e tx l(+δ) t e t dt ( ) e z = z e xz e z dz. c. Motrer e utilist l formule précédete et ( ) que, pour tout x >, Γ (x + ) Γ(x + ) = ( x + l x t + ) e t e tx dt. E déduire que, pour tout x >, ( l Γ(x + ) = x + ) ( l x x + + t + ) e tx e t e t dt, t puis que pour tout x >, ( l Γ(x) = x ) ( l x x + + t + ) e tx e t dt I t où I = ( t + ) e t e t t dt.
Préprtio à l grégtio de mthémtiques. 4 E utilist l formule de Stirlig, motrez que I = l(π). E déduire l première formule de Biet, c est-à-dire que pour tout x > : l Γ(x) = ( x ) l x x + ( l(π) + t + ) e tx e t dt. t Comportemet à l ifii d ue foctio itégrble. [L] O se propose de motrer que si f L (R), lors pour presque tout x R, ous vos lim + f(x) =. Soit f L (R) et ε >. O ote E = {x R, f(x) ε}. Pour u esemble mesurble A R, o ote A l mesure de Lebesgue de A.. Motrez que E < +.. O se propose de motrer que, pour presque tout x [, ], ous vos x E pour seulemet u ombre fii d etiers. Posos, pour m N, E m = E ]m, m]. Soit ], [. O cosidère, pour tout N, Motrez que Motrez que F = ( ) E [, ]. F = (E m [, [). m N F = = = m= E m [, [ = [m/] m= =m E m [, [ m= [m/] E m =m ( l ) m= E m = ( l ) E E utilist le Lemme de Borel-Ctelli (c est-à-dire que χf (x)dx = χ F (x)dx < +, doc χ F < + presque prtout), e déduire que presque tout x [, ] pprtiet à u ombre fii de F. Motrer que, pour presque tout x [, ], pour ssez grd, x E.
4 Itégrles, suites de foctios itégrbles. 3. E utilist ue fmille déombrble d ε, motrez que, pour presque tout x [, ], lim + f(x) =. Pr u chgemet de vrible liéire, motrez que ce résultt s éted à presque tout x R. Formule sommtoire de Poisso. ([Wi] p. 3, [QZ], p.93, [CFM] p.98, [Go] p.69) ([D: 35, 39, 4, 4, 46, 47]) Soit f : R C cotiue. O suppose que, si f(x) = f(t)e itx dt, mx( f(x), f(x) ) = O(/x α ) qud x + où α >. O se propose de motrer que, sous ces coditios, ous vos l formule suivte : f() = f(π). =. Motrer que l série = f(x + ) coverge uiformémet sur tout compct vers ue foctio F (x) cotiue et périodique.. Clculez le développemet e série de Fourier de F. Coclure. 3. Applictios ([QZ], p.6). Soit >. Motrez que Z + = π coth π. (ppliquer l formule de poisso à f(x) = e x ). ([Go], p.69) Motrer que s >, e πs = s / = k= e πk /s. (ppliquer l formule de Poisso à l foctio f(x) = e x. O ote, pour x ], [, Θ(x) = Z x. Cette série etière est ppelée l foctio thêt de Jcobi. Doer u équivlet lorsque x de Θ(x). Prologemet holomorphe de l foctio ζ de Riem. ([QZ] p.8, [Go] p.78) ([D: 7, 3, 35, 39, 4, 45, 47]) O dmet ici l idetité foctioelle (corollire de l formule sommtoire de Poisso) t >, θ(t) = ( ) θ, où θ(t) = e πt. t t Z
Préprtio à l grégtio de mthémtiques. 4 Pour s C tel que Re s >, o ote ζ(z) = = s. Cette foctio est ppelée Foctio zêt de Riem.. Motrez que, si s C est tel que Re s >, lors ζ(s) est bie défii. Motrez que ( s Γ ) = s = π s. O cosidère pour t >, l foctio = e πy y s dy. θ(t) = e πt. = Motrez que : Motrez que t >, θ(t) = t θ ( ) + t t. θ(y)y s dy = θ(u)u s du + s s. E déduire que ( s Γ ζ(s) = π ) s ( s ) + ψ(s) s où ψ est holomorphe sur C. 3. E déduire que ζ se prologe e ue foctio méromorphe sur C, holomorphe sur C \ {} et dmettt u pôle simple e. 4. Déduire de l questio que s C \ {, }, ζ(s) = π s Γ ( ) s Γ ( ) s ζ( s).
43 Itégrles, suites de foctios itégrbles. 5. O désige pr P l esemble des etiers premiers. Motrer que pour tout s C, Re s > implique ζ(s) = p P p s. E déduire que ζ ps de zéro sur {z C, Re z > }. Déduire de l questio précédete que tous les zéros de l foctio ζ sot de deux types : les etiers -, -4, -6,... et les utres zéros qui sot ds l bde {z C, Re s }. 6. Motrer que, pour s R, Motrez que ζ(s) = s + γ + o() qud s. p P p = +. Lie etre γ et ζ. ([AF], p.65) ([D: 3, 3, 35, 39, 4, 43, 47]) ( (. Motrez que γ = l + )). =. Exprimer l ( + ) sous forme d ue série pour. Motrez que, e utilist pr exemple l idetité k = tk dt pour k N que l = k= ( ) k k 3. Motrer que γ = ( = k= ( ) k k k ) = l + ( = k= ( ) k k k ). E utilist le théorème de Fubii, motrer que γ = k= ( ) k ζ(k). k
Préprtio à l grégtio de mthémtiques. 44 Méthode de Lplce. ([Ro], p.339) ([D: 35, 39, 47]) Soiet [, b[ u itervlle de R (boré ou o, vec < b ), ϕ : [, b[ R ue foctio de clsse C et f : [, b[ C telle que e t ϕ f soit itégrble u ses de Lebesgue sur [, b[ pour u certi réel t. O suppose f cotiue e et f(). O recherche u équivlet pour t + de l itégrle F (t) =. Si = et ϕ(x) = x, motrer que e tϕ(x) f(x)dx. F (t) f(). t O pourr couper e α et α, et étudier l première itégrle pr covergece domiée.. Si ϕ > sur [, b[, motrer que F (t) ϕ () e tϕ() f(). t O pourr effectuer le chgemet ϕ(x) = ϕ() + y et utiliser l questio. 3. Si = et ϕ(x) = x, motrer que F (t) π f() t Même idictio qu e. 4. Si ϕ > sur ], b[, ϕ () = et ϕ () >, motrer que π F (t) ϕ () e tϕ() f(). t O pourr effectuer le chgemet ϕ(x) = ϕ() + y et utiliser 3. 5. Applictio. Doer u équivlet pour t + de Γ(t + ). Itégrtio des reltios de compriso. Compriso sériesitégrles. ([VP], p.6, [Go], p.) ([D: 3, 4, 3, 35, 39, 4, 47]).
45 Itégrles, suites de foctios itégrbles.. Soit f : [x, + [ R + de clsse C. Si f f ( + et ) ou si x f ( ) f = o (cs = ) lors : x x. Si >, f(t)dt diverge et f(t)dt xf(x) +. b. Si <, c. Applictio : x x f(t)dt coverge et x dt l t x l x. x x f(t)dt xf(x) +.. Soit f : [x, + [ R + de clsse C telle que f e s ule ps, h = f f est dérivble et h = o() u voisige de l ifii. Alors : x. Si f >, f(t)dt diverge et f(t)dt f x f. b. Si f <, x x f(t)dt coverge et x f(t)dt f f. c. Applictio : e t dt e x x x. 3. Soit f : [, + [ R + de clsse C. Si f ( ) lors : f. Si f(t)dt diverge, l série f() diverge et = f(k) k= e f(t)dt. b. Si f(t)dt coverge, l série f() coverge et so reste = R = f(k) k= e f(t)dt. c. Applictio : + + + = l + γ + ( ) + o. Théorème de Lévy, Queffélec-Zuily, p. 56.O se propose de motrer que, si (X ) ue suite de v..r., o équivlece etre
Préprtio à l grégtio de mthémtiques. 46 ) X coverge e loi vers X. ) ϕ X coverge vers ϕ X simplemet.. Motrer que ) ). Idictio. L covergece e loi implique que R fdp X R fdp X pour toute foctio f cotiue borée à vleurs ds C.. Motros l réciproque, ) ). Cosidéros d bord le cs où f S(R). E utilist le fit que f est l trsformée de Fourier d ue foctio ϕ S(R), motrez que E(f(X )) + R ϕ(t)ϕ X (t)dt = E(f(X)), Motrez que S(R) est dese ds C (R) pour l orme uiforme. E déduire le théorème de Lévy. Applictio. Le théorème cetrl limite pge 59 est ue très belle pplictio des formules de Tylor... Etude des foctios holomorphes. Formule de Cuchy. D près [Go], p.5. [D:, 5, 35, 39, 45, 47, 53]. Soit U u ouvert de C et f : U C. O suppose f de clsse C et o suppose que f z = ( ) f x + i f =. y O ote ussi f z = ( ) f x i f = f (z). y. Motrer que, si z U et si r > est tel que D(z, r) U, lors f(z) = πi D(z,r) Idictio. Il suffit de prouver que f(z) = π π f(ζ)dζ ζ z. f(z + re iθ )dθ.