FICHES DE MATHÉMATIQUES

FICHES DE MATHÉMATIQUES Clsse de PT Pr Mxime CHUPIN Ces fiches sont issues des cours de Jen-Michel SARLAT et de Christin RIEFFEL, professeurs de mthémtiques u lycée LOUIS-ARMAND de Poitiers. 1

Tble des mtières 1 Générlités 3 2 Intégrtion sur un segment 5 3 Intégrle générlisées 9 4 Intégrle dépendnt d un prmètre 12 5 Series numériques 14 6 Séries entières 18 7 Structures lgébriques 21 8 Espces vectoriels 24 8.1 Mtrices.................................................... 29 8.2 Déterminnt................................................. 32 9 Réduction des endomorphismes 35 10 Espce euclidien et préhilbertien 38 11 Séries de FOURIER 47 12 Equtions différentielles 49 12.1 Systèmes différentielles.......................................... 49 12.2 Equtions différentielles linéires Générlités........................... 50 12.3 Equtions différentielles linéires à coefficients constnts.................... 52 12.4 Equtions différentielles linéires à coefficients vribles.................... 54 12.5 Equtions non linéires.......................................... 56 13 Courbes plnes 57 14 Les coniques 61 15 Géométrie différentielle 65 16 Courbes guches et surfces 69 17 Fonctions à plusieurs vribles 76 18 Intégrles multiples 82 19 Géométrie dns l espce 88 2

1 Générlités Axiomes de PEANO L ensemble N des entiers nturels est crctérisé pr les cinq propriétés suivntes : 1. N contient un élément noté 0. 2. Tout éléments n de N possède un successeur : n + 1. 3. 0 n est le successeur d ucun éléments de N. 4. Deux éléments de N ynt le même successeur sont égux. 5. Toute prtie A de N qui contient 0 et le successeur de tout élément de A est égl à : N. (ceci est l xiome d induction sur lequel se fonde le principe de récurrence) Récurrence Récurrence fible : Soit P un prédict portnt sur des entiers. Si P(b) est vri et si : n b, P(n) P(n+ 1) lors : n b, P(n). Récurrence forte : Soit P un prédict portnt sur des entiers. Si P(b) est vri et si : nb, P(b) et P(b+ 1)... P(n 1) et P(n) P(n+ 1) lors : n b, P(n). T.V.I. : Si f est une fonction continue sur un intervlle[, b] de R et siαest un réel compris entre f() et f(b) lors il existe c [, b] tel que : f(c)=α Il en découle que : Théorème des vleurs intermédiires L imge d un segment pr une fonction continue est un segment. 3

Dérivée Nombre dérivé : Soit f une fonction numérique définie sur un voisinge V de de R. f est dérivble en si, et seulement f(x) f() si le rpport dmet une limite finie en. Cette limite est le nombre dérivé en ; on le note x f () Fonction dérivée : Soit f une fonction définie sur un intervlle I de R, f est dérivble sur I si, et seulement si elle est dérivble en tout point de I. Si f est dérivble sur l intervlle I lors f est continue sur I. Théorème de ROLLE Soient et b deux réels distincts tels que <b et f une fonction continue sur[, b], dérivble sur ], b[ telle que f()= f(b). Il existe un nombre c dns], b[ tel que f (c)=0. Théorème des ccroissement finis Soient et b deux réels tels que <b et f une fonction continue sur[, b], dérivble sur], b[. Alors : c ], b[, f(b) f()= f (c)(b ) 4

2 Intégrtion sur un segment Définition L définition : L intégrle d une fonction numérique f, continue sur un segment[, b] de R, est l borne supérieure des intégrles des fonctions en esclier sur[, b] qui minorent f et, ce qui revient u même, l borne inférieure des intégrles des fonctions en esclier sur[, b] qui mjorent f. Fonction Intégrle Soit f une fonction numérique définie et continue pr morceux sur un segment I de R. L fonction x F : x f(t)dt est définie et continue sur I. De plus, si f est continue sur I et I, lors F : x x x I,, F (x)= f(x). f(t)dt définie sur I est dérivble sur I et Sommes de RIEMANN Soit f une fonction définie sur un intervlle[, b]. On les trois plus courntes intégrles de RIE- MANN : 1/ S g (f, n)= b n 1 f + k b n n k=0 2/ S d (f, n)= b n f + k b n n k=1 3/ S m (f, n)= b n 1 f + k+ 1 b n 2 n k=0 5

Théorème de l moyenne Soit f une fonction continue sur[, b] de R vec <b lors il existe c [, b] tel que : f(c)= 1 b f(t)dt b Premier Théorème de l moyenne Soit f une fonction continue sur[, b] de R et g une fonction continue de[, b] dns R + telle que b g(t)dt> 0. Alors il existe c [, b] tel que : b b f(t)g(t)dt=f(c) g(t)dt Propriétés de l intégrle f et g sont ici des fonctions continues pr morceux sur[, b]. 1. Additivité : 2. Linérité(µ,λ) R 2 : 3. Positivité : b b c c f+ f= f b b b (λ.f+µ.g)=λ f+µ g b b si x [, b], f(x) g(x), lors f g Intégrtion pr prtie Soient u et v deux fonctions numériques de clsse C 1 sur un intervlle I de R et, b deux éléments de I. Alors : b b u (t)v(t)dt=[u(t)v(t)] b u(t)v (t)dt 6

Chngement de vrible Soit f : [, b] R ou C une fonction continue pr morceux, etϕ : [α,β] [, b] une fonction de clsse C 1 et monotone sur[α,β]. On : β α b ( f ϕ)(u).ϕ (u)du= f(t)dt Si ϕ est bijective et de réciproque dérivble, on l qulifie de difféomorphisme. Intégrles de fonction rtionnelles trigonométrique Lorsqu on fire à une fonction rtionnelle trigonométrique, on cherche lors une trnsformtion t ϕ(t) qui lisse le bloc différentiel invrint : Trnsformtion t t t π t t π+ t ucune Chngement de vrible dpté u= cos(t) u= sin(t) u= tn(t) θ=tn t 2 Intégrles sous l forme β α F(x, x 2 + bx+ c)dx où 0. x+ b 2 En mettnt x 2 + b x+ c sous s forme cnonique. suivntes, où k = 2 Intégrles béliennes 2 4 2, on se rmène ux intégrles, uquelles on pplique les chngements de vribles indiqués (ǫ = ±1) : B A F(u, u 2 k 2 )du si >0 et > 0 u :=ǫkch(x), x R + B A F(u, k 2 u 2 )du si >0 et < 0 u := k cos(x), x ]0,π[ B A F(u, u 2 + k 2 )du si <0 et < 0 u := ksh(x), x R 7

Intégrles béliennes 2 β t+b Intégrles sous l forme F t, n dt, où d bc 0, n N α c t+ d Il suffit d ppliquer le chngement de vrible y= n t+b pour se rmener à une intégrle de frctions c t+d rtionnelles pour intégrer en décomposnt en éléments simples. Attention : on rppelle que u n u est définie sur R si n est impire, et sur R + si n est pire. Formules de TAYLOR Soit p N,[, b] un segment de R et f une fonction de clsse C p sur[, b]. L formule de TAYLOR s écrit lors : p f (k) () f(b)= (b ) k + R p (, b) k! ou explicitement : k=0 f(b)= f()+ f ()(b )+ f ()(b ) 2 + + f(p) () (b ) p + R p (, b) p! Il existe plusieurs vrintes portnt sur le reste : 1. TAYLOR-YOUNG : R p (, b)= o((b ) p ), f est C p (b )p+1 2. TAYLOR-LAGRANGE : R p (, b) M p. où M= sup (p+ 1)! t [,b] f (p+1) (t) et f est C p+1 b (b t) p 3. TAYLOR vec reste intégrl : R p (, b)= f (p+1) (t)dt, f est C p+1 p! 8

3 Intégrle générlisées Intégrle impropre Soit R et b R (b> ), f une fonction définie et continue pr morceu sur[, b[. On dit que b 1. b=+ f(t)dt est une intégrle impropre en b dns les deux cs suivnts : 2. < b < +, et f n dmet ps de limite finie en b pr vleur inférieure. b Dns les deux cs, f(t)dt est définie comme lim f(t)dt x b x<b On définit de mnière nlogue l notion d intégrle impropre en x Convergence-Divergence Soit b x 1. Si 2. Si f(t)dt une intégrle impropre en b : on dit que x b f(t)dt dmet une limite réelle ou complexelqund x tend vers b pr vleur inférieure, b f(t)dt est convergente et pour vleurl f(t)dt n dmet ps de limite qund x tend vers b pr vleur inférieure, on dit que f(t)dt est divergente 9

Intégrles de référence On : 1. 2. 1 0 1 0 Ensuite : ln tdt qui converge e αt dt qui converge siα> 0 Intégrle impropre 0<α<1 α= 1 α> 1 + 1 1 0 dt dt t α diverge diverge converge t α converge diverge diverge Intérles impropres de fonctions positives Soient f et g deux fonctions à vleurs dns R +, lors : 1. si f g sur[, b[ et que 2. si f g sur[, b[ et que b b g converge, lors f converge, lors 3. si f g en b pr vleur inférieure et que 4. si f g en b pr vleur inférieure lors b b b b f converge g converge g converge, lors g et b b f ont même nture f converge 10

Intégrle bsolument convergente Soit f une fonction à vleurs complexes, l intégrle impropre est dite bsolument convergente si : Popriétés : 1. si f g sur[, b] et que b b f converge. g converge, lors 2. si f g en b pr vleurs inférieurs et que 3. si b b b f converge bsolument. g converge, lors f est une intégrle bsolument convergente, lors : b f b f b f converge bsolument. Intérles générlisées propriétés Les propriétes de linérité, d dditivité (reltion de CHASLE), l intégrtion pr prtie et le chngement de vrible reste vlble. Attention : 1. Pour l reltion de CHASLE, il est nécessire que toutes les intégrles convergent pour que l somme converge. 2. Pour l linérité et l intégrtion pr prtie, il fut s ssurer que deux des trois termes convergent. 11

4 Intégrle dépendnt d un prmètre Intégrle ordinire dépendnt d un prmètre Soit f une fonction de R 2 dns K (C ou R) définie et continue sur A I, vec A une prtie de R et I un segment[, b]. On définit : R K F : b x f(x, t)dt Hypothèse sur f t f(x 0, t) est continue sur I f est continue sur A I f dmet une dérivée prtielle f x continue sur A I f est continue sur[α,β] I F(x 0 ) est définie F est continue sur A Conclusion sur F F est de clsse C 1 sur A et F (x)= b β α f(x, t)dx dt= β α b f x dt b f(x, t)dt dx Continuité d une intégrle impropre dépendnt d un prmètre Soit I=[, b[ un intervlle borné ou non de R ; A un intervlle de R et f une fonction de A I K. S il existe une fonctionϕ : I R + telle que : 1. (x, t) A I, f(x, t) ϕ(t) 2. Alors : b ϕ(t)dt converge b F : x A f(x, t)dt est continue sur A 12

Dérivbilité d une intégrle impropre dépendnt d un prmètre Soit I=[, b[ un intervlle borné ou non de R ; A un intervlle de R et f une fonction de A I K qui dmet une dérivée prtielle f x continue. S il existe une fonctionψ : I R + telle que : f 1. (x, t) A I, x ψ(t) 2. Alors : et b ψ(t)dt converge b G : x A f(x, t)dt est de clsse C 1 sur A b F f (x)= (x, t)dt x 13

5 Series numériques Définition-Convergence-Divergence Soit(u n ) n N une suite à termes dns K. L série de terme générl(u n ) est le couple(u n, S n ) où(s n ) n N est l suite des sommes prtielles : n S n = k=0 1. Lorsque lim S n + n existe dns K, on dit que l série de terme générl(u n ) converge. Cette limite est lors ppelée somme de l série et est notée : u k u n n=0 2. Lorsque lim S n + n est l infini ou n existe ps, l série de terme générl(u n ) diverge et on renonce à tout clcul! Divergence grossière Si l série n 0 u n converge, lors l suite(u n ) tend vers 0 en+. Attention : L récipropre est fusse! Si(u n ) ne tend ps vers 0, lors n 0 u n diverge : il y divergence grossière. Propriétés On : 1. 2. + n=0 + n=0 λu n =λ u n + + u n n=0 + + n=0 v n = n=0 (u n + v n ) Attention : L dditivité ne doit ps être utilisée pour scinder une série en somme de deux séries divergentes. Si cel doit se produire, on psse ux sommes prtielles et à l limite. 14

Séries géométriques 1. Si q <1, n 0 q n converge : + n=0 q n = 1 1 q 2. Si q 1, n 0 q n diverge Comprison vec une intégrle impropre Soit f une fonction continue de R + dns R, décroissnte et de limite nulle en+, (donc positive sur R + ). Alors l série f(n) même nture que l intégrle impropre n 0 + 0 f(t)dt. Les séries de RIEMANN 1. Si 0 α 1, 2. Siα> 1, 1 n α diverge n 1 1 n α converge n 1 On ne peut cependnt rien dire sur l vleur de l limite dns le cs de convergence. 15

Comprison de deux séries à termes positifs Soient u n et v n deux séries à termes positifs. Alors : n 0 n 0 1. Si u n v n pour n n 0, n 0 étnt fixé dns N, et que v n converge, lors u n converge. n 0 n 0 2. Si u n v n et que v n converge, lors u n converge n 0 n 0 3. Si u n v n lors v n et u n ont l même nture. n 0 n 0 Séries bsolument convergentes Soit u n une série à termes complexes. Si u n (à termes positifs) converge lors u n est bso- n 0 n 0 n 0 lument convergente. Toute série bsolument convergente est convergente : u n converge u n converge n 0 n 0 Attention : L réciproque est fusse. u n u n n=0 n=0 Critère de d ALEMBERT Soit(u n ) une suite à termes dns K telle que, pour n> n 0 fixé,u n 0. Alors : u n+1 1. Si lim n + u n =l vecl<1, l série u n converge bsolument. n 0 u n+1 2. Si lim n + u n =l vecl>1, l série u n diverge grossièrement. n 0 u n+1 Attention : Si lim n existe ps où vut 1, le critère est inopérnt. n + u n 16

Séries lternées Définitions : 1. Soit(u n ) une suite à vleurs dns R +, décroissnte et de limite nulle. Alors, l série lternée ( 1) n u n converge. n 0 2. Soit S= ( 1) n u n une série lternée. On ppelle le reste d ordre n de S : n=0 R n = S S n = ( 1) k u k k=n+1 Alors R n le signe de( 1) n+1 et R n u n+1 pour tout n N 17

6 Séries entières Définition : Série entière Soit( n ) n n une suite à vleurs réelles ou complexes. On ppelle série entière l fonction de C dns C qui à z ssocie l somme de l série n 0 n z n, lorsque cette série converge. Ryon de convergence Soit r un réel positif, on note r le disque (dns le pln complexe) ouvert z C, z < r et r le disque fermé z C, z r vec les conventions 0 =, 0 = 0 et = = C. Soit n 0 n z n une série entière, et sont domine de convergence. Alors il existe un unique élément R R + tel que R R R est le ryon de convergence de l série : 1. l série converge bsolument à l intérieur de son disque de convergence 2. l série diverge grossièrement à l extérieur de son disque de convergence 3. on ne sit ps à priori ce qui se psse pour z = R Lemme d ABEL Soit n 0 n z n une série entière : 1. si( n z n 0 ) n N est bornée et si z 1 < z 0 lors n 0 n z n 1 converge bsolument 2. si( n z n 0 ) n N n ps une limite nulle et si z 1 > z 0 lors n 0 n z n 1 diverge grossièrement Clcul prtique du ryon de convergence : n 0 n z n 0 converge R z 0 n z n 0 ne tend ps vers 0 R z 0 18

Critère de d ALEMBERT (simplifié) Soit n 0 n z n une serie entière. n Si n+1 dmet une limitel R + qund n tend vers l infinit, lors le ryon de convergence de cette serie est : R=l Dns les mêmes conditions, le ryon de convergence des séries entières n z 2n et n z 2n+1 est : n 0 n 0 R= l vec pour convention =. Propriétés Soit n 0 n z n une serie entière de ryon de convergence R. Soit f : R x R n x n n 0 Alors : 1. f est sur] R, R[ et p N, x < R, f (p) (x)= n! (n p)! n x n p 2. x ] R, R[, x 0 f(t)dt= n=0 n n+ 1 x n+1 Soit n x n. Si n R n converge, lors : n=0 n=0 Attention : L réciproque est fusse! n R n = lim n=0 Théorème tubérien x R x<r n x n n=0 19

Développements de bse 1 1+ x = ( 1) n x n R=1 ln(1+ x)= n=0 ( 1) n+1 x n n=1 e x x n = n! n=0 x 2n chx= (2n)! n=0 x 2n+1 shx= (2n+ 1)! cos x= sin x= n=0 ( 1) n x2n (2n)! n=0 n ( 1) n x 2n+1 (2n+ 1)! n=0 R=1 R= R= R= R= R= (1+ x) α α(α 1) (α n+ 1) = n! n=0 x n R= siα N R=1 siα N 20

7 Structures lgébriques Loi de composition interne et propriétés Définition : Soit E un ensemble, une loi de composition interne est une ppliction de E E E Propriétés : Soit les lois de compositions et définies sur E : 1. Loi ssocitive. est ssocitive si, et seulement si : (x, y, z) E 3,(x y) z=x (y z) 2. Loi commuttive. est commuttive si, et seulement si : (x, y) E 2, x y= y x 3. Elément neutre. L élément e de E est neutre pour l loi si, et seulement si : x E, x e= e x=x 4. Eléments symétriques. Si l loi dmet un élément neutre e, l élément x dmet un symétrique y si, et seulement si celui-ci vérifie : x y= y x= e 5. Distributivité à droite. L loi est distributive à droite pr rpport à si, et seulement si : (x, y, z) E 3,(x y) z=(x z) (y z) 6. Distributivité à guche. L loi est distributive à guche pr rpport à si, et seulement si : (x, y, z) E 3, z (x y)=(z x) (z y) 21

Groupe Soit G un ensemble muni d une loi interne, le couple(g, ) est un groupe si et seulement si : 1. est ssocitive 2. dmet un élément neutre e 3. Chque élément de G dmet un élément symétrique : x G, x G, x x = x x= e (x = x 1 ) Si en plus pour tout(x, y) G 2, x y= y x lors le groupe G est commuttif où bélien. Sous-Groupe : Soit(G, ) un groupe et H une prtie de G. H est un sous groupe de(g, ) si et seulement si : 1. e pprtient à H 2. (x, y) H 2,(x y) H 3. x H, x 1 H Propriété : Tout sous-groupe est une groupe! Anneu Soit A une ensemble muni de deux lois de composition interne et. Le triplet(a,, ) est un nneu si, et seulement si : 1. (A, ) est un groupe commuttif 2. est distributive à droite et à guche pr rpport à Si, de plus, l loi dmet un élément neutre lors l nneu est un nneu unitire et si l loi est commuttive lors l nneu est commuttif. Sous-Anneu : Soit(A,+, ) un nneu et H une prtie de A. H est un sous-nneu de A si, et seulement si : 1. (H,+) est un sous groupe de A 2. (x, y) H 2, x y H, ie. que H est stble pour l loi. 22

Corps Soit K un ensemble muni de deux lois+et, le triplet(k,+, ) est un corps si, et seulement si : 1. (K,+, ) est un nneu 2. (K, ) est un groupe Si, de plus, l loi est commuttive, lors le corps est un corps commuttif. Espce vectoriel Soit E muni d une loi interne notée+et(k,+, ) un corps commuttif tel qu il existe une loi externe notée. définie sur K E à vleurs dns E, le triplet(e,+,.) est un espce vectoriel sur K si, et seulement si : 1. (E,+) est un groupe commuttif 2. λ K, (x, y) E 2,λ.(x+ y)=λ.x+λ.y 3. (λ,µ) K 2,(λ+µ).x=λ.x+µ.x 4. (λ,µ) K 2,(λ µ).x=λ (µ.x) 5. x E, 1.x=x Algèbre Soit A un ensemble muni de deux lois internes+et et(k,+, ) un corps commuttif tel qu il existe une loi externe notée. définie de K A dns A.(A,+,,.) est une lgèbre si, et seulement si : 1. (A,+,.) est un espce vectoriel 2. (A,+, ) est un nneu 3. λ K, (x, y) A, x (λ.y)=λ.(x y) Si, l loi de A est commuttive l lgèbre est une lgèbre commuttive. 23

8 Espces vectoriels On considère ici un espce vectoriel E sur un corps K. Fmille et système On ppelle fmille d éléments de E indéxée pr l ensemble I une ppliction f : I E, notée ui i I où u i = f(i). Un système est une fmille le plus souvent finie, et donc indéxée pr une prtie de N : I ={1,2,...,n}. Fmille libre, fmille liée Une fmille finie ui, est dite libre si et seulement si : 0 i n n (λ i ) 0 i n K n, λ k uk = 0 = k [[0, n]],λ k = 0 k=0 Une fmille quelconque ui i I extrite de ui est libre. i I (I est un ensemble) est dite libre si et seulement si toute fmille finie Une fmille est liée si elle n est ps libre. Fmille génértrice Soit H un sous-espce de E, une fmille ui est dite génértice de H si et seulement si tout élément i I de H est combinison linéire d éléments de ui i I, c est-à-dire : x E, J I, J fini, (λ j ) j J K J, x= j Jλ j u j Bse Une fmille ui i I est dite bse de E si et seulement si elle est à l fois libre et génértrice de E. 24

Dimension Si E dmet une fmille génértrice finie, lors toutes les bses de E ont le même crdinl. Ce crdinl est ppelé dimension de E, noté dim E : Théorème de l dimension. 0 Si E=, on dit que dim E= 0. Si E n dmet ps de fmille génértrice finie, on dit que dim E=. Somme et somme directe Somme de deux sous-espces Soient F 1 et F 2 deux sous-espces vectoriels d un même espce vectoriel E sur K. L somme de F 1 et F 2, notée F 1 + F 2, est l ensemble des vecteurs somme d un élément de F 1 et d un élément de F 2. F 1 + F 2 ={x 1 + x 2, x 1 F 1, x 2 F 2 } Somme directe Soit un espce vectoriel E de dimension finie, et A et B deux sous-espces vectoriels de E. L somme de A et B est directe si, et seulement si l intersection de A et B est réduite u vecteur nul. Cette somme est lors notée : A B Propriétés crctéristiques : F= A B (F= A+ B) et(a B={0}) F= A B (F= A+ B) et(dim A+ dimb= dim F) F= A B on obtient une bse de F pr l réunion d une bse de A et d une bse de B Si E est un espce-vectoriel de dimension finie, on dit que A et B sont supplémentires si, et seulement si : A B= E Propriété : En dimension finie, tout sous-espce de E dmet un supplémentire. Appliction linéire Soit E et F deux K-espces vectoriels. Une ppliction f de E dns F est une ppliction linéire [homomorphisme d espces vectoriels] si, et seulement si : 1. (x, y) E 2, f(x+ y)= f(x)+ f(y) 2. λ K, x E, f(λ.x)=λ.f(x) L ensemble des pplictions linéires de E dns F est notée : (E, F). 25

Noyu et Imge Soitϕ une ppliction linéire de E dns F. On définit lors : 1. le noyu deϕ : Ker(ϕ)={x E,ϕ(x)=0 F } 2. l imge deϕ : Im(ϕ)={y F, x E, y=ϕ(x)} Ces deux ensembles sont respectivement des sous-espce de E et de F. Somme et somme directe Somme de deux sous-espces Soient F 1 et F 2 deux sous-espces vectoriels d un même espce vectoriel E sur K. L somme de F 1 et F 2, notée F 1 + F 2, est l ensemble des vecteurs somme d un élément de F 1 et d un élément de F 2. F 1 + F 2 ={x 1 + x 2, x 1 F 1, x 2 F 2 } Somme directe Soit un espce vectoriel E de dimension finie, et A et B deux sous-espces vectoriels de E. L somme de A et B est directe si, et seulement si l intersection de A et B est réduite u vecteur nul. Cette somme est lors notée : A B Propriétés crctéristiques : F= A B (F= A+ B) et(a B={0}) F= A B (F= A+ B) et(dim A+ dimb= dim F) F= A B on obtient une bse de F pr l réunion d une bse de A et d une bse de B Si E est un espce-vectoriel de dimension finie, on dit que A et B sont supplémentires si, et seulement si : A B= E Propriété : En dimension finie, tout sous-espce de E dmet un supplémentire. 26

Injectivité Surjectivité Rppel : On dit qu une ppliction f de E dns F est injective si, et seulement si : (x 1, x 2 ) E, f(x 1 )= f(x 2 ) x 1 = x 2 On dit qu une ppliction f de E dns F est surjective si, et seulement si : y F, x E, f(x)=y Soit ϕ une ppliction linéire de E dns F deux espces-vectoriels. On : 1. ϕ est injective si et seulement si Kerϕ={0} ou si l imge prϕ de toute fmille libre de E est une fmille génértrice de F. 2. ϕ est surjective si et seulement si Im ϕ = F ou si l imge pr ϕ d une fmille génértrice donnée de E est une fmille génértrice de F. 3. ϕ est bijective si et seulement si elle est injective et surjective, ou si l imge prϕ d une bse de E est une bse de F. Formule du rng Si dim E<+ etϕ une ppliction linéire de E dns F, lors : dim(kerϕ)+dim(imϕ)=dim E Conséquences : En dimension finie, si une ppliction linéire est bijective si et seulement si elle est injective[resp. surjective]. On ppelle dim(im ϕ) le rng de ϕ noté rg ϕ. Nomenclture des pplictions linéires Une ppliction linéire ϕ de E dns F (homomorphisme) est ppélée : endomorphisme si E= F. isomorphisme si ϕ est une bijection. utomorphisme siϕ est une bijection et si E= F. L ensemble des endomorphismes de E est noté (E). Remrque : S il existe un isomorphisme entre les deux espces-vectoriels E et F, lors on dit que E et F sont isomorphes et on note E F, nécessirement dim E= dim F. 27

Remrques sur les pplictions linéires : On ( (E, F),+, ) un K-espce vectoriel. On ( (E),+,, ) une lgèbre non commuttive. Espces ffines Soitϕ une ppliction linéire de E dns F, et b F. On pose l éqution : ǫ :ϕ(x)= b Si b n pprtient ps à Imϕ, l ensemble des solutions deǫest l ensemble vide Si b pprtient à Imϕ, il existe x 0 E, tel queϕ(x 0 )= b et l ensemble des solutions S deǫest : S=x 0 + Kerϕ L ensemble des solutions de l équtionǫest ppelé espce ffine de direction Kerϕ et d origine x 0 (l direction et l origine ne sont ps définis pour l ensemble vide). En dimension finie, si{u i } 0 i p est une bse de E, lors : S= x 0 + p λ k u k,{λ h } 0 h p K p k=1 Prllélisme : on dit que deux espces ffines sont prllèles s ils sont non confondus et que leurs directions respectives sont incluses l une dns l utre. Deux espces ffines prllèles ont une intersection vide. 28

8.1 Mtrices Définition Soit p et n deux entiers non nuls, E K p et F K n deux espces vectoriels munis respectivement des bses(u 1, u 2,, u p ) et(v 1, v 2,, v n ). Alors toute ppliction linéireϕ (E, F) est définie de mnière unique pr l imge des vecteurs de l bse(u 1, u 2,, u p ) dns l bse(v 1, v 2,, v n ), c est-à-dire pr les réels(( i,j )) 1 i n. Le tbleu 1 j p (( i,j )) 1 i n dont l j -ième colonne représente le vecteurϕ(u j ) dns l bse(v 1, v 2,, v n ) est ppelée 1 j p mtrice deϕ[reltive ux bses(u 1, u 2,, u p ) et(v 1, v 2,, v n )]. A=(( i,j )) 1 i n = 1 j p ϕ(u 1 ) ϕ(u j ) ϕ(u p ) v 1 1,1... 1,j... 1,p.... v i i,1... i,j... i,p.... v n n,1... n,j... n,p L ensemble des mtrices à n lignes et p colonnes dns K est noté n,p (K). 29

Multipliction Soitϕ etψdeux pplictions linéires,ϕ (K n,k m ) etψ (K p,k n ) uxquelles sont respectivement ssociées les mtrices A= Mt(ϕ) et B= Mt(ψ) On : Mt(ϕ ψ)=mt(ϕ) Mt(ψ)=A B Exécution du produit mtriciel : C = A B B p lignes q colonnes p c i j = ik b k j k=1 b 11 b 21 b 12 b 22 b 1q b 2q b p1 b p2 b pq 11 12 1 p 21 22 2 p c 22 n1 n2 n p A n lignes p colonnes C= A B n lignes q colonnes Attention : Le produit mtriciel n est ps commuttif!!! Algèbre L ensemble( n (K),+,, ) est un lgèbre non commuttive ( n étnt l ensemble des mtrices crrées de dimension n. L élément neutre pour l multipliction est I n dont ses coefficients sont les indices de KRONECKER i.e. : I n =((δ i,j )) 1 i n 1 j n 0 si i j vec δ i,j = 1 si i= j On pour toute mtrice A n : soit il existe une mtrice B telle que A B= B A= I n. On dit que A est inversible et on note B= A 1. soit il existe une mtrice B telle que A B= B A= 0. On dit que A est diviseur de 0. 30

Propriétés 1. Pour tout n N, A n est définie pr A n+1 = A n A 2. Pour tout n N, A n =(A 1 ) n si A est inversible. 3. Soit(B,A) 2 inversibles. Alors : n (AB) 1 = B 1 A 1 Chngement de bse 1. Mtrice de pssge : Soit et deux bses d un même espce vectoriel E de dimension n. On ssocie à tout vecteur x E l mtrice colonne X de ses coordonnées dns l bse et l mtrice X de ses coordonnées dns l bse. On définit P n l mtrice[de pssge]dont les colonnes représentent les coordonnées des vecteurs de dns l bse. On : X= PX i.e. X = P 1 X 2. Chngement de bse : Soit E et F deux espces de dimensions respectives n et p. On considère deux bses de E, E et E vec pour mtrice de pssge P, et deux bses de F, F et de mtrice de pssge Q. F Alors, pour toute pliction linéireϕ de E dns F, de mtrice M dns les bses E et F et M dns les bses E et F, on : M = Q 1 M P Si E= F et Q= P, M = P 1 M P 3. Mtrices semblbles : On dit que deux mtrice A et B de n (K) sont semblbles si et seulement si elles représentent le même endomorphisme dns deux bses différentes de K n, i.e. : P n (K), A= P 1 BP On note : A B 31

8.2 Déterminnt Définition Soit E un espce vectoriel isomorphe à K n. Le déterminnt, noté det, est l unique ppliction de E dns K qui vérifie les propriétés suivnte : 1. multilinérité : (u 1,, u n ) E, i 1, n, X E det(u 1,, u i 1,X, u i+1,, u n ) est linéire. 2. ntisymétrie : (u 1,, u n ) E, (i, j) 1, n 2, i< j det(u 1,, u i,, u j,, u n )= det(u 1,, u j,, u i,, u n ) 3. Si(e 1,, e n ) est l bse cnonique de E lors det(e 1,, e n )=1. Propriétés Soit(u 1,, u n ) une fmille de vecteurs. S il existe(i, j) 1, n 2 tels que i<j et u i = u j lors : Si i j, lors pour toutλ K : Pourλ K : det(u 1,, u n )=0 det(u 1,, u i 1, u i +λu j, u i+1,, u n )=det(u 1,, u i,, u n ) det(u 1,,λu i,, u n )=λdet(u 1,, u i,, u n ) Le déterminnt d un fmille est non nul si et seulement si l fmille est libre. 32

Déterminnt d un endomorphisme Soitϕ (E), il existe un unique sclire k(ϕ) ne dépendnt que deϕ, tel que : On pose lors Propriétés : 1. det(λϕ)=λ n det(ϕ) (u 1,, u n )i ne n, det(ϕ(u 1 ),,ϕ(u n ))= k(ϕ) det(u 1,, u n ) det(ϕ) = k(ϕ) 2. Soitϕ etψdeux endomorphisme de E lors det(ϕ ψ)=det(ϕ) det(ψ) 3. ϕ est un endomorphisme si et seulement si det(ϕ) 0, et det(ϕ 1 )= 1 det(ϕ) Déterminnt d un mtrice Soit A n (K), représentnt l endomorphismeϕ de E dns une bse. Le déterminnt est lors le déterminnt de ϕ mis ussi le déterminnt des vecteur colonnes de A. Propriétés : 1. det(λa)=λ n det(a) 2. Soit A,B n (K) lors det(a B)=det(A) det(b) 3. A est inversible si et seulement si det(a) 0, et det(a 1 )= 1 4. det(a)=det( t A) det(a) 5. Si A et B sont semblbles, lors det(a) = det(b). Attention : réciproque fusse. 33

Développement du déterminnt Soit A=(( i,j )) 1 i n n (K), et(k, l) 1, n 2 ; on ppelle mtrice mineure de A ttchée u 1 j n couple(k, l), et on note A k,l, l mtrice de n 1 (K) obtenue pr suppression de l k-ème ligne et de l l -ème colonne. On peut développer le déterminnt grâce ux formules suivntes : 1. Développement pr rpport à l j -ième colonne : 2. Développement pr rpport à l i-ième ligne : det(a)= n i=1 ( 1)i+ j i,j det(a i,j ) det(a)= n j=1 ( 1)i+ j i,j det(a i,j ) Comtrice Soit A n (K), l comtrice de A est Com(A)= (( 1) i+ j det(a i,j )) 1 i n Alors, si A est inversible : 1 j n A 1 = 1 det(a) tcom(a) 34

9 Réduction des endomorphismes Vleurs, vecteurs et espces propres Soit f (E), E un espce vectoriel, on considère l éqution en x E pourλ K : (µ λ ) : f( x)=λ x Toute solution non nulles de(µ λ ) est ppelée vecteur propre de f. Toute vleur deλ K pour lquelle(µ λ ) dmet une solution non nulle est ppelée vleur propre de f. L ensemble des vleurs propres de f est ppelé spectre de f. Siλest une vleur propre de f, on ppelle sous-espce propre de f ssocié àλl espce E λ = x E, f( x)=λ x = ker(f λ ide ), cette espce étnt non nulle. Propriétés 1. Soitλetµdeux vleurs propres d un endomorphisme, lors siλ µ, E λ E µ = 0 2. Soientλ i, i 1, k, k vleurs propre distincts d un même endomorphisme. Alors : E λ1 + E λ2 + + E λk = E λ1 E λ2 E λk 3. Toute fmille formée de vecteurs propres ssociés à des vleurs propres distinctes est libre. Trce d une mtrice L trce d une mtrice A=( i,j ) 1 i n n (K) est l somme des éléments digonux de l mtrice. 1 j n Tr(A) = n k=1 k,k Propriétés : Soit(A,B, P) ( n (K)) 3, P inversible, et(λ,µ) K. On : 1. Tr(λA+µB)=λTr(A)+µTr(B) 2. Tr(A B)=Tr(B A) 3. Tr(P 1 A P)=Tr(A) 35

Polynôme crctéristique À toute mtrice crrée ou à tout endomorphisme d un espce vectoriel de dimension finie est ssocié un polynôme ppelé polynôme crctéristique. Les rcines de ce polynôme sont exctement les vleurs propres de l endomorphisme. Pour un endomorphisme f (E) on définit le polynôme crctéristique : P f (X)=det(f X id E ) L ordre de multiplicité deλcomme vleur propre de f est, pr définition, l ordre de multiplicité deλ comme rcine de P f, on le noteµ(λ). Propriétés : 1. λ est une vleur propre de f si et seulement si c est une rcine 2. Pour toute vleur propreλ, 1 dim(e λ ) µ(λ) 3. Si f est défini pr s mtrice A dns une bse quelconque, P f (X)=P A (X)=det(A X I n ) est églement le polynôme crctéristique de A qui ne dépend ps de l bse. 4. Soit A B deux mtrices semblbles ssociées à l endomoprphisme f, lors : A B P A (X)=P B (X) (det(a)=det(b) et Tr(A)=Tr(B)) Digonlistion Un endomorphismeϕ (E) est digonlisble si et seulement si il existe une bse de E formée de vecteurs propres de ϕ, i.e. : E λ = E λ Sp(ϕ) Une mtrice M n (K) est digonlisble si et seulement si il existe une mtrice inversible P est une mtrice digonle telles que : =P 1 M P 36

Condition de digonlistion Une mtrice M n (K) est digonlisble si et seulement si : 1. le polynôme crctéristique de M est scindé dns K 2. pour toute vleur propreλ de M, dim E λ =µ(λ) Il en découle une condition suffisnte mis ps nécessire : si le polynôme crctériqtique de M est scindé dns K vec des rcines simples lors M est digonlisble. Trigonliser Soit A=( i,j ) 1 i n n (K). Trigonliser A, c est trouver une mtrice de pssge P et une mtrice 1 j n tringulire supérieure T, telles que : T= P 1 AP. Toute mtrice est trigonlisble dns C. Dns l prtique (en P-T), on trigonlise dns 3 (K). Soitα etβdeux éléments de K distincts. Il existe lors deux cs : 1. P A (X)= (X α) 2 (X β), lors T est de l forme : β 0 0 T= 0 α 1 0 0 α L mtrice de pssge P est lors de l bse de déprt vers une bse( u, v, w), où u est un vecteur propre ssocié àβ, v un vecteur propre ssocié àαet w un vecteur propre à déterminer tel que f( w)=α w+ v. 2. P A (X)= (X α) 3, lors lors T est de l forme : α 1 b T= 0 α 0 0 α L mtrice de pssge P est lors de l bse de déprt vers une bse( u, v, w), où u est un vecteur propre ssocié àβ, v un vecteur propre à déterminer tel que f( v)=α v+ u et w un vecteur propre à déterminer tel que f( w)=α w+ v+b u. α 1 0 Remrque : On peut imposer = 1 et b= 0 ce qui simplifie le clcul : T= 0 α 1 0 0 α Réduire une mtrice, c est l digonliser si possible, l trigonliser sinon. 37

10 Espce euclidien et préhilbertien On considère ici un espce vectoriel E sur R (de dimension finie ou infinie). Produit sclire Définition On ppelle produit sclire toute ppliction ϕ de E E sur R qui vérifie les propriétés suivntes : 1. symétrie : (u, v) E 2, ϕ(u, v)=ϕ(v, u) 2. bilinérité : u E, x ϕ(x, u) et x ϕ(u, x) sont linéires 3. u E, ϕ(u, u) 0 et u E, ϕ(u, u)=0 u= 0 Siϕ est un produit sclire sur E, on dit queϕ munit E de l structure : d espce préhilbertien si dim E= d espce euclidien si dim E est finie L ppliction de E dns R : x ϕ(x, x) est ppelée forme qudrtique ssociée àϕ. Inéglité de CAUCHY SCHWARZ Soitϕ un produit sclire sur E. Alors, on : (x, y) E 2, (ϕ(x, y)) 2 ϕ(x, x) ϕ(y, y) Ou encore, en notnt N(x)= ϕ(x, x) : (x, y) E 2, ϕ(x, y) N(x) N(y) Remrque : Il y églité lorsque les vecteurs x et y sont colinéires. Inéglité tringulire Soitϕ un produit sclire sur E. En notnt N(x)= ϕ(x, x) : (x, y) E 2, N(x+ y) N(x)+N(y) Remrque : Il y églité si et seulement si les deux vecteurs x et y sont colinéires et de même sens. L ppliction N est une norme sur E, ppelée norme euclidienne ssocié à ϕ. On note désormis< x, y> le produit sclire de x vec y. 38

Orthgonlité Définition : On dit que deux vecteur sont orthogonux si<x, y>= 0. On note x y. Propriétés : 1. Le vecteur nul est orthogonl à tous les utres vecteurs, c est le seul vecteur orthogonl à tous les utres : ( x E,< x, u>= 0) u= 0 2. Théorème de PYTHAGORE : (x, y) E 2, x y, x+ y 2 = x 2 + y 2 Sous espces orthogonux Soit F et G deux sous-espce de E, F et G sont orthogonux si et seulement si : (x, y) F G, x y On note lors F G. Orthogonl d un sous-espce : On dit que G est l orthogonl de F si et seulement si : F G et F G= E L orthogonl de F est noté F : F = x E, y F, x y 39

Projection orthogonle Soit F un sous-espce de E de dimension finie. Pour tout x E, il existe un couple unique(f, h) E 2 tel que : x= f+ h, vec f F et h F On définit lors un endomorphisme de E, ppelée projection orthogonl sur F, notéπ F, qui à tout x E ssocie le vecteur f comme défini ci-dessus. Formule de projection : Soit(e 1,, e p ) une bse orthogonle de F, lors : π F (x)= n < e k, x> < e k, e k > e k Le réel < e k, x> < e k, e k > est ppelé coordonnée contrvrinte de x dns le système(e 1,, e p ). k=1 Orthogonlistion de GRAM-SCHMIDT Soit(u 1,, u p ) une bse d un sous-espce F de E. Alors on peut toujours obtenir une bse orthogonle(e 1,, e n ) de F : e 1 := u 1 k 1 < e j, u k > e k := u k < e j, e j > e j si k> 1 j=1 Pour obtenir une bse orthonormée, il suffit de normer les vecteurs e k, i.e. en posnt pour tout k 1, p,ε k = e k e k. 40

Systèmes orthogonux (x i ) i I est un système orthogonl si et seulement si : i I, x i 0 et (i, j) I 2, i j x i x j Théorème de PHYTAGORE : Si(x i ) 1 i n est un système orthogonl, lors : n x k = k=1 Un système orthogonl est nécessirement libre. n x k 2 Système orthonormé :(x i ) 1 i n est un système orthonormé si et seulement si : k=1 (i, j) 1, n 2, < x i, x j >=δ i j Distnce d un vecteur à un sous-espce Soit F un sous-espce de E (en dimension finie). Alors : x E, y F, x π F (x) x y Autrement dit, x π F (x) =inf y F x y, cette vleure est églement ppelée distnce de x à F et notée d(x, F). Remrque : Ce procédé sert pr exemple à clculer le minimum de 1 0 (f(x) (x+b))dx, on clcule l projection de f sur l espce des polynômes de degrès 1 1, ce qui nous donne les vleurs de et b (il fut obtenir une bse orthonormée des polynômes de degrès 1). 1 Ceci s étend ux utres degrès 41

Groupe orthogonl Définition Définition : Soit E un espce euclidien, muni d un produit sclire noté <, >. Un endomorphisme f de E, f (E), est un utomorphisme orthogonl si et seulement si f vérifie une des propriétés équivlentes suivntes : 1. (x, y) E 2, < f(x), f(y)>=< x, y> 2. x E, f(x) = x («f conserve l norme») 3. Il existe une bse orthonormée de E dont l imge pr f est une bse orthonormée de E. 4. L imge de toute bse orthonormée de E est une bse orthonormée de E. Un utomorphisme orthogonl est ussi ppelé isométrie vectorielle. Groupe othogonl Propriétés Propriétés : 1. Si f est un utomorphisme orthogonl, lors f est bijectif et f 1 est un utomorphisme orthogonl. 2. Si f et g sont deux utomorphismes orthogonux, lors f g est un utomorphisme orthogonl. 3. L ensemble des utomorphismes orthogonux est un groupe muni de l loi, ppelé groupe orthogonl et noté (E) Mtrices orthogonles Soit(e 1,..., e n ) une bse orthonormée de E et A l mtrice dns(e 1,..., e n ) d un endomorphisme f. Alors : f (E) t A A= I n Autrement dit, A n (R) est une mtrice orthogonle si et seulement si t A A= I n L ensemble des mtrices orthogonles, muni de l loi, est un groupe noté (n) et est isomorphe à (E). Propriété : Si A (n), lors deta { 1,1}. Les mtrices de (n) dont le déterminnt est égl à 1 sont ppelées directes ou positives, elles forment un sous-groupe de (n) noté + (n). Ce sont des mtrices de rottion. Les mtrices de (n) dont le déterminnt est égl à 1 sont ppelées indirectes ou positives, elles forment un sous-groupe de (n) noté (n). Ce sont des mtrices d isométrie négtive. 42

Propriétés Si M (n), lors t M M= I n donc : M= t M M 2 = I n i.e. M est une mtrice de symétrie orthogonle si et seulement si M est une mtrice symétrique et orthogonle. Les seules vleurs propres possibles pour une mtrice de (n) sont -1 et 1. Mtrices de (2) Les mtrices de (2) sont de deux types : 1. Les mtrices positives, mtrices de rottion vectorielle d ngle θ : cosθ sinθ sinθ cosθ 2. Les mtrices négtives, mtrices de symétrie xile pr rpport à l droite formnt vec l droite formnt vec O, ı l ngle θ 2. cosθ sinθ sinθ cosθ 43

Mtrices de (3) Nture Mtrice l plus simple Eléments det symétrique Identité I 3 1 oui Symétrie centrle I 3-1 oui 1 0 0 Réflexion 0 1 0 le pln E 1-1 oui 0 0 1 1 0 0 Demi-tour 0 1 0 l xe E 1 1 oui 0 0 1 1 0 0 Rottion 0 cosθ sinθ l xe E 1 et l ngleθ 1 non 0 sinθ cosθ Détermintion de l xe et de l ngle d une rottion Soit ρ une rottion d ngle θ ]0, π[ ]π, 2π[ et R s mtrice dns une bse orthonormée ( e 1, e 2, e 3 ). Alors, en posnt = 1 2 (R t R), il existe(p, q, r) R 3 tels que : L xe de ρ est dirigé pr : 0 r q = r 0 p q p 0 ω= p e1 + q e 2 + r e 3 L ngle est défini pr : 1+2cosθ= Tr(R) sinθ= ω 44

Endomorphismes symétriques Définition : u (E) est symétrique si et seulement si : Propriété : (x, y) E 2, < u(x), y>=< x, u(y)> 1. Soit(e 1,..., e n ) une bse orthonormée de E, et M l mtrice de u dns(e 1,..., e n ) : u est symétrique t M= M M est symétrique 2. Toute mtrice M symétrique est digonlisble dns R selon une bse orthonormée. Autrement dit, il existe une bse orthonormée de vecteurs propres réels de M. Nottions : Le sous-espce vectoriel des mtrices n n symétriques est noté n. + n [resp. ++ ] est l ensemble n des mtrices symétriques dont toutes les vleurs propres sont positives[resp. strictement positives]. Forme qudrtique Une ppliction q : E R est une forme qudrtique si et seulement si il existe une formeϕ bilinéire symétrique de E 2 dns R telle que : Une telle forme vérifie toujours q(λ x)=λ 2 x. x E, q(x)=ϕ(x, x) Formule de polristion Soit q une forme qudrtique. Pour retrouver l expression de l forme bilinéire symétrique qui lui est ssocie, on utilise l formule de polristion : ϕ(x, y)= 1 (q(x+ y) q(x y)) 4 45

Expression de l mtrice de l forme qudrtique Soit E un espce euclidien muni d une bse(e 1,...,e n ). Soit q une forme qudrtique et ϕ s forme bilinéire symétrique ssociée. Alors : où i,j =< e i, e j >. A=(( i,j )) 1 i,j n est l mtrice de q dns l bse(e 1,...,e n ) En effet, soit x= n i=1 x i e i et y= n i=1 y i e i, lors : n n ϕ x i e i, y= y j e j = D où : i=1 j=1 n q x i e i = i=1 1 i,j n n x 2 i i,i + 2 i=1 x i y j < e i, e j >= 1 i< j n x i x j i,j 1 i,j n i.e., si X[resp. Y] est le vecteur colonne des composnte de x[resp. y], on : ϕ(x, y)= t X.A.Y et q(x)= t X.A.X x i y j i,j Réduction d une forme qudrtique Soit q une forme qudrtique de mtrice A dns une bse orthonormée =(e 1,, e n ). A est symétrique réelle, donc est digonlisble dns une bse =(v 1,, v n ). Il existe donc(, P) n (R) 2 telles que : = t P.A.P où =dig(λ 1,,λ n ) et P l mtrice de pssge orthogonle de vers. Soit x E tel que x= n i=1 x i v i uquel on ssocie l mtrice colonne des coordonnées dns, X. Alors l expression de l forme qudrtique q dns l bse est : q(x)= t X..X = On dit que l forme q est réduite dns l bse. n i=1 λ i x 2 i 46

11 Séries de FOURIER Définitions Nottions Soit T R +, on poseω= 2π T. On ppelle ici M (T) l espce vectoriel des fonctions T -périodiques et continues pr morceux sur[0,t] à vleurs réelles. (T) l espce vectoriel des fonctions T -périodiques et continues sur[0,t] à vleurs réelles. Alors (T) M (T). Coéfficients réels et somme prtielle de FOURIER Soit f une fonction de M (T), on pose : k N, 0 (f)= 1 T k (f)= 2 T T 0 T 0 T f(t)dt f(t)cos(kωt)dt k N, b k (f)= 2 f(t)sin(kωt)dt T 0 n S n (f) : x 0 (f)+ k (f)cos(kωx)+ b k (f)sin(kωx) et k=1 S 0 (f)= 0 (f) Les n (f) n N et b n (f) n N sont les coefficients réels de FOURIER de f et S n (f) est l somme prtielle de FOURIER de f d ordre n. S n (f)est continue et T -périodique. Inéglité de BESSEL Soit f T (R) i.e. l espce des fonctions T -périodiques de R dns R. Alors : m 0 (f) 2 n (f) 2 m b n (f) 2 + + 1 2 2 T n=1 n=1 T 0 (f(t)) 2 dt 47

Formule de PARSEVAL Soit f T (R). Alors : 0 (f) 2 + + n=1 n (f) 2 + 2 + n=1 b n (f) 2 = 1 2 T T 0 (f(t)) 2 dt Fonction 1 pr morceux Une fonction f est 1 pr morceux sur un intervlle I si et seulement s il existe une subdivision 0 < 1 < < n de I telle que, pour tout k 0, n : 1. f est de clsse 1 sur I k =] k, k+1 [ 2. f et f sont prolongebles ux bornes de I k Théorème de DIRICHLET Soit f définie sur R, T -périodique et 1 pr morceux, lors en notnt + = lim t 0 t>0 f(t) et = lim f(t) : t 0 t<0 t R, lim (S n + n (f))(t)= + + = f(t) 2 f est ppelée l régulrisée de f. Remrque : Si f est continue lors f= f lors : lim (S n + n (f))(t)= f(t) 48

12 Equtions différentielles Nottions : K désigne l un des corps R ou C, I est un intervlle de R et est l espce vectoriel + (I,K) des fonctions de clsse + sur I à vleurs dns K. Pour une fonction y on note y (n) l dérivée n ème (k N) vec pour convention y (0) = y. 12.1 Systèmes différentielles Définitions Nottions Soit n N. x 1 On considère(x 1,..., x n ) 1 de I dns K uquel on ssocie l mtrice unicolonne X=. et (b 1,..., b n ) un n uplet de fonctions continues de I dns K uquel on ssocie l mtrice unicolonne b 1 B=.. b n En notnt X l mtrice colonne constituée de(x 1,..., x ), on considère le système(σ) qui s écrit n mtriciellement : (Σ) : X (t)=a.x(t)+b On forme le système différentiel sns second membre ou homogène ssocié à(σ) : (Σ 0 ) : X (t)=a.x(t) x n Nture de l espce des solutions L ensemble des solutions de(σ 0 ) est un espce vectoriel S de dimension n L ensemble des solutions de(σ) est un espce ffine X 0 + S, où X 0 est une solution quelconque de(σ). Existence et unicité des solutions Si t 0 I et V 0 n 1 (K), il existe une unique solution de(σ) qui vérifie X(t 0 )=V(0). 49

Méthode de résolution On procède à l réduction de A, i.e. on détermine une mtrice inversible P et une mtrice R telle que vec R digonle ou tringulire. A= P.R.P 1 y 1 (t) En posnt Y(t)=. = P 1.X(t), le système(σ) est équivlent à : y n (t) Alors : Y = R.Y+ P 1.B 1. si A est digonlisble de vleur propre(λ 1,...,λ n ), le système réduit est lors formé de n équtions : y i (t)=λ i.y i (t)+β i (t) dont l résolution est élémentire (β i (t) étnt l i ème composnte de l mtrice P 1 B). 2. Si est non digonlisble, lors le système se résoud de proche en proche. Remrque : On ps besoin de clculer P 1 si le second membre B(t) est nul. 12.2 Equtions différentielles linéires Générlités Définition Une éqution différentielle est linéire d ordre n s il existe une ppliction f (I) et un endomorpismeφde défini prφ(y)= k y (k), où k 1, n, k 0 (I), tels que n : k=0 (E) :Φ(y)= f On définit lors l éqution sns second membre (ESSM) ou éqution homogène ssociée pr : (E 0 ) :Φ(y)=0 50

Courbe intégrle Une courbe intégrle de(e) est le grphe de x y(x) où y est solution de(e). Un exemple où l on trce plusieurs solutions : Nture et espce des solutions L ensemble des solutions de(e 0 ) est un espce vectoriel 0 de dimension n. L ensemble des solutions de(e) est un espce ffine de dimension n dirigé pr 0 et d origine y 0, où y 0 est une solution prticulière de(e). = 0 + y 0 51

Existence et unicité de l solution vérifint une condition initile Soit x 0 I et le n-uplet(v 0,..., v n 1 ) K n. Il existe une unique solution de(e) vérifint pour tout k 0, n 1, y (k) (x 0 )= v k. 12.3 Equtions différentielles linéires à coefficients constnts Eqution crctéristique Lorsqu on à fire à une éqution différentielles à coefficients constnts (i.e. les k sont constnts), on définit l éqution crctéristique ssociée à(e 0 ) : (χ) : n k X k = 0 k=0 Eqution du premier ordre : y + y= f(x) L ensemble des solutions de l éqution y (x)+y(x)= f(x), (vec K, et f 0 ) est une droite vectorielle dirigée pr x e x et d origine y 0 = e x f(t)e t dt. = e x f(t)e t dt+λ.e x Ce résultt s obtient à l ide de l méthode de vrition des constntes. Equtions du second ordre ESSM Soit l éqution :(E) : y (x)+ b y (x)+ cy(x)= f(x), vec(, b,c) K K 2. Résolution de l ESSM : Soientα etβles deux rcines complexes de l éqution crctéristique(χ) : X 2 + b X+ c= 0. Les solutions de l ESSM forment lors un espce vectoriel de dimension 2, de bse : x e αx, x e βx si (x e αx, x xe αx ) si α β α=β 52

Résolution complète de l éqution On cherche à déterminer une solution prticulière de(e) : y (x)+ b y (x)+cy(x)= f(x), vec (, b,c) K K 2. Plusieurs méthodes : 1. Seconds membres polynomiux : Si f(x) est un polynôme de degré n, lors il existe une solution prticulière polynomile de degré n si c 0, de degré n+ 1 si c= 0 et b 0, de degré n+ 2 si b= c= 0. 2. Elimintion de l exponentielle : Si f est de l forme e mx g(x), m K, on pose y(x)= u(x)e mx, on obtient lors l éqution sns exponentielle : u +(2m+ b)u +(m 2 + b m+c)u=g 3. Principe de superposition : () Si f(x)= f 1 (x)+ f 2 (x), en dditionnnt les solutions prticulières des équtions : et on obtient une solution prticulière de(e). y (x)+ b y (x)+ cy(x)= f 1 (x) y (x)+ b y (x)+ cy(x)= f 2 (x) (b) Si f(x)=r(h(x))[resp. f(x)=i(h(x))], on obtient une solution de(e) en prennt l prtie réelle[resp. imginire] d une solution de second membre h(x). 4. Autres seconds membres : Si les 3 méthodes précédentes ne permettent ps de résoudre l éqution, on recours à l méthode de vrition des constntes : Si y 1 et y 2 sont deux solutions linéirement indépendntes de(e 0 ), on cherche une solution de (E) sous l forme : y(x)=λ(x)y 1 (x)+µ(x)y 2 (x) où λ (x)y 1 (x)+µ (x)y 2 (x)=0 Alors(E) se rmène à un système de CRAMER enλ (x) etµ (x). 53

12.4 Equtions différentielles linéires à coefficients vribles Eqution du premier ordre Résolution de l ESSM : Les solutions de (x)y + b(x)y= 0, sur tout intervlle I où ne s nnule ps, forment un espce vectoriel de dimension 1 dirigé pr : u(x)=e A(x) où A est une primitive de x (x) b(x). Résolution complète : On trouve une solution prticulière de (x)y +b(x)y= c(x) pr l méthode de vritions des constntes en posnt : y 0 (x)= k(x)u(x) L ensemble des solutions de(e) est lors : ={y 0 +λ.u,λ K} Existence et unicité d une solution : Il existe une unique solution de(e) définie pr une condition initile(y(x 0 )=y 0 où(x 0, y 0 ) I K. Eqution du second ordre On considère le système : (E) : (x)y + b(x)y + c(x)y= f(x) Il n y ps de méthode générle de résolution. Cependnt l espce ffine des solutions de(e) est dirigé pr un espce vectoriel de dimension 2. Le principe est lors de trouver deux solutions indépendntes de(e 0 ) et de cherche une solution prticulière. 54

Méthode prtielle de résolution (de LAGRANGE) Si l on connît une solution u non nulle de l éqution sns second membre(e 0 ) : (x)y + b(x)y + c(x)y= 0, lors le chngement d inconnue y=z.u trnsforme(e) en l éqution en z : qui est une éqution du premier ordre enω=z. (A) :.u.z +(2.u + b.u).z = f Solutions de(e 0 ) polynimiles ou développbles en série entière On recherche des solutions de(e 0 ) polynômiles ou développbles en série entière. Soitφ : y (x)y + b(x)y + c(x)y un endormorphisme de (R). On recherche les solutions de(e 0 ) sous l forme : On lors sur l intervlle de convergence : φ + y(x)= n x = n n=0 + n=0 + n=0 n x n. n φ(x n )=0. Le clcul nous permet de déterminer les k pour que l somme soit nulle (en générl sous forme de reltion de récurrence). On trouve églement les éventuelles solutions polynomiles de(e 0 ). Recherche de solution pr chngement de vrible On effectue le chngement de vrible x=ψ(t) oùψest une fonction bijective de clsse 2, à vleurs dns un intervlle de résolution I. Il est lors prtique d utiliser les nottions de LEIBNIZ pour boutir à une éqution de vrible t, en effet : dy dx = dx dt dy dt et d 2 y dx 2=dt dx d dy dt dx = d2 y dt 2 dt 2 + dy dx dt d 2 t dx 2 55

12.5 Equtions non linéires Attention A l différence des éqution linéires : 1. Il n y ps de méthode générle de résolution. 2. Les notions d éqution sns second membre et de solution prticulière n ont ps de sens ni d intérêt. 3. L ensemble de définition des solutions ne peut ps être prévu à l vnce, et dépend en générl des conditions initiles. Equtions à vribles séprbles Les équtions à vribles séprbles sont de forme générle : i.e. f(y).y = g(x) f(y dy dx = g(x). Elles se résolvent vec l condition initile y(x 0 )= y 0 et : y y 0 f(v)dv= x x 0 g(u)du 56

13 Courbes plnes Définitions Courbes prmétrées On munit le pln ffine d un repère orthonormé(o, ı, j). On définit l ppliction : où(x, y) 1 définies sur un intervlle I R. On note OM (t)= d M (t) = x (t) ı+ y (t) j. dt Un point M(t 0 ) est dit : 1. régulier si OM (t 0 ) 0 2. singulier ou sttionnire si OM (t 0 )= 0 γ : t OM(t)= x(t) ı+ y(t) j Points singuliers Définition : On ppelle point sttionnire M de l courbeγ représentée pr le équtions x= f(t) et y= g(t) un point qui correspond à une vleur t 0 pour lquelle les dérivées f (t 0 ) et g (t 0 ) sont nulles simultnément. Propriété : Si p est le plus petit entier tel que les dérivées p èmes des fonctions f et g ne s nnulent ps toutes les deux pour l vleur t 0, on montre que l tngente en M pour coefficient de direction f (p) (t) et g (p) (t) (on peut lors utiliser des développements limités de f et g en t 0 ). 57

Brnches infinies On étudie ici le cs où lim t t0 F (t)=+ vec t0 R. 1. Si lim t t0 x(t)= x 0, l courbe présente une symptote verticle. 2. Si lim t t0 y(t)=y 0, l courbe présente une symptote horizontle. 3. Si lim t t0 x(t)=± et lim t t0 y(t)=± plusieurs cs sont à étudier : y(t) () si lim t t0 x(t) =±, l courbe présente une brnche prbolique de direction O y y(t) (b) si lim t t0 x(t) = 0, l courbe présente une brnche prbolique de direction O x y(t) (c) si lim =λ, vecλun réel, lors t t0 x(t) i. si lim t t0 (y(t) λ.x(t))=±, l courbe présente une brnche prbolique de direction y=λ.x ii. si lim(y(t) λ.x(t))=µ, vecµun réel, l courbe présente une symptote oblique t t0 y=λ.x+µ Remrque : Lorsque lim F (t)=α, vecα R on prle de point symptote. t ± Définition Courbes en polires Soit f une fonction 1 pr morceux éfinies sur un intervlle I, l courbe en polire(γ) définie pr l églité r=f(θ) est l courbe définie pr le prmétrgeθ I OM(θ)= f(θ).(cosθ ı+ sinθ j). On pose lors : uθ = cosθ ı+ sinθ j et vθ = sinθ ı+ cosθ j 58

Tngente et points singuliers En un point utre que l origine, l tngente en M(θ) est dirigée pr : T(M(θ))= f (θ) u θ + f(θ) v θ A l origine, l tngente est dirigée pr u θ. 59

Brnches infinies (polires) On étudie ici le cs où lim θ θ 0 f(θ)=±. On définit lors l droite définie prθ=θ 0. 1. si 2. si 3. si lors est symptote oblique à l courbe. lim θ θ 0 f(θ)sin(θ θ 0 )=0 lim θ θ 0 f(θ)sin(θ θ 0 )=± lors l courbe dmet une brnche prbolique d xe lim θ θ 0 f(θ)sin(θ θ 0 )=λ λ un réel, lors l courbe dmet une symptote oblique obtenue pr une trnsltion de de vecteurλ. v θ0. y Y M X f(θ)sin(θ θ 0 ) θ θ 0 Y 0 θ θ0 O x 60

14 Les coniques Définition pr foyer et directrice Soit une droite du pln, F un point non situé sur et e un réel strictement positif. On note e l conique d excentricité e, de foyer F et de directrice : e = M, M F M H = e où H est l projection orthogonle de M sur. L perpendiculireδ à pssnt pr F est un xe de symétrie de e, c est l xe focl de l conique. H M K j F i α Son éqution polire suivnt l xe(f, ı) se met sous l forme : 1 r = 1 e cosθ αe α étnt l distnce du foyer F à l directrice. 61

Prbole L conique d excentricité e = 1 est une prbole. Son éqution réduite est : Y 2 = 2αX α est souvent noté p. Son éqution polire est : p r= 1=ecosθ M 1 p K j S i F M 2 62

Ellipse Une conique à centre dont l excentricité e est inférieure à 1 est une ellipse.on note : OA= OA = OB= OB = b OF= OF = c où est le demi-grnd xe, b le demi-petit xe. Voici les reltions fondmentles pour crctériser une ellipse : c= e b= 1 e 2 2 = b 2 + c 2 OK= OK = e B j b K A F O i F A K B δ L éqution réduite est : Le prmétrge est : Et l définition bifocle est : X 2 + Y 2 2 b 2= 1. X= cos t Y= b sin t e ={M, M F+ M F = 2}. 63

Hyperbole Une conique à centre dont l excentricité e est supérieur à 1 est une hyperbole. On note : OA= OA = OF= OF = c Voici les reltions fondmentles pour crctériser une hyperbole : c= e b= e 2 1 c 2 = 2 + b 2 OK= OK = e j i F A K O K A F δ L éqution réduite est : Ses symptote sont définies pr : X 2 Y 2 2 b 2= 1. X 2 Y 2 2 b 2= 0. Remrque : si =b, e.i. e= 2 les symptotes sont perpendiculires, l hyperbole est équiltère. Le prmétrge générle de l hyperbole est : X= cos t Y= b tn t ou X=± ch t Y= b sh t. Et l définition bifocle est : e ={M, M F M F =2} 64

15 Géométrie différentielle Enveloppe d une fmille de droites Soit un rc prmétré définie pr OM(t)= x(t) ı+ y(t) j, où x et y sont deux fonctions de clsse 1 de I R dns R. Expression le l éqution de l tngente en tout point M(t 0 ) de : y (t 0 ).x x (t 0 ).y= y (t 0 ).x(t 0 ) x (t 0 ).y(t 0 ) Une fmille de droites est une ppliction qui à t I R, ssocie l éqution t : (t)x+ b(t)y= c(t) Définition (enveloppe) : On suppose, b, c des fonctions de clsse 1 sur I et que b b ne s nnule ps sur I. L rcγ est l enveloppe de l fmille de droites t si tout point deγ dmet comme tngente une des droites t en un point crctéristique deγ, P(t). L enveloppe d une fmille de droite t est défini pr le couple de solution(x(t), y(t)) de : (t) x+b(t) y= c(t) (t)x+b (t)y= c (t) Abscisse curviligne On considère toujours un rc( ) de clsse 1 défini pr une représenttion prmétrique crtésienne (x(t), y(t)) ou polire(r(θ)). On choisit sur cet rc une origine M 0 correspondnt à une vleur t 0 (resp.θ 0 ) du prmètre. L bscisse curviligne s est l fonction de I dns R qui s nnule en M 0 et qui vérifie : ds dt = d M dt = M (t) Le signe de l bscisse curviligne correspond à l orienttion de l courbe, et s vleur bsolue est l longueur de l rc M 0 M(t). On suppose à prtir de mintennt que l rc( ) est régulier, c est-à-dire sns point singulier. 65

Rectifiction L bscisse curviligne s est une fonction de clsse 1 et bijective de I dns R, donc est un prmétrge dmissible de( ). On peut lors rectifier( ), c est-à-dire le prmétrer pr s. Repère de FRENET On définit deux vecteurs, formnt le repère de FRENET : T = d M le vecteur tngent unitire en M(s), dirigé dns le sens du mouvement, i.e. suivnt les vleurs croissntes de s. On définit d utre prt N comme l imge de T pr une rottion d ngle+ π 2. Le repère M(s), T, N est ppelé repère de FRENET. ds On suppose mintennt que l rc( ) est de clsse 2. Courbure Ryon de courbure L courbure de( ) u point M(s) est le réel c tel que : C est l première formule de FRENET. On lors : C est l deuxième formule de FRENET. d T ds d N ds = c. N = c. T On définit lors le ryon de courbure R comme l inverse de l courbe. Il est infini (sns signe) si l courbure est nulle et réciproquement. 66

Formule du ryon de courbure Le ryon de courbe peut se clculer en tout point birégulier (i.e.que M (t 0 ) et M (t 0 ) ne sont ps colinéires) M(t 0 ) en utilisnt l formule suivnte : 3 M (t 0 ) R= M det (t 0 ), M (t 0 ) Centre de courbure En tout point birégulier M, le centre de courbure I est défini pr : M I= R N Il est le centre du cercle osculteur à( ) en M, cercle de ryon R tngent à( ) en M. Détermintion : Il y deux méthodes : 1. Pr l définition : OI= OM+ R N 2. En résolvnt le système : où v= ds dt. d M dt. M I= 0 d 2 M dt. M I= v 2 2 67

Développée L développée d un rc birégulier( ) est le lieu deses centres de courbure. Détermintion : Là ussi, il y deux méthodes : 1. On détermine pour tout point M de l rc, les coordonnées du centre de courbe, insi, une réprésenttion prmétrique de l développée. 2. L développée( ) de( ) est l enveloppe des normles de( ). Développnte Définition : ( ) est une développnte de( ) si, et seulement si( ) est l développée de( ). Détermintion prtique : Soitλun réel choisi. L courbe définie pr : ( λ ) : OM(s)= OP(s)+(λ s) T(s) est uen développnte de l courbe( ) définie pr s P(s) où s est l bscisse curviligne. Si l on dispose d une prmétristion de( ) : t Q(t), on peut exprimer l expression si dessus à l ide de t : ( λ ) : OM(t)= OQ(t)+(λ s(t)) T(s(t)) Siλest une vleur prise pr s (λ= s 0 ), le point M(s 0 ) est un point de contct entre( ) et( λ ), donc un point de rebroussement. 68

16 Courbes guches et surfces On considère ici l espce euclidien R 3 muni d un repère orthonormé direct Courbe guche Représenttion prmétrique O; ı, j, k. On désigne pr courbe guche, une courbe de R 3 qui n est ps à priori plne, i.e. incluse dns un pln. Une telle courbe( ) est définie pr l donnée d une fonction de I dns R 3 : où x, y, z sont des fonctions de R dns R. t OM(t)= F(t)= x(t) ı+ y(t) j+ z(t) k On suppose que tous les points de( ) sont réguliers, i.e. que F est de clsse 1 sur I, et que F = M ne s nnule ps sur I. Abscisse curviligne Les définitions pour une courbe guche de l longueure d un rc et de l bscisse curviligne sont nlogue à celles reltive ux courbes plnes : ds dt = M t (t) i.e. s(t)= M (u) du t 0 69

Repère de FRENET Soit( ) définition pr l fonction de I dns R 3 F. On définit là encore T comme le vecteur tngent unitire, i.e. : d F(s) T = ds On définit cette fois le vecteur norml unitire, N et l courbure c simultnément : d T ds = c. N vec c> 0 Enfin, on complète ces deux vecteurs pr le vecteur binorml B pour obtenir une bse orthonormle directe : B = T N Equtions crtésiennes Une courbe guche peut être défini pr un couple d équtions crtésiennes F(x, y, z)=0et G(x, y, z)= 0 ce qui revient à dire qu elle est considérée comme l intersection des deux surfces d éqution F(x, y, z)=0 et G(x, y, z)=0. On dir lors que l courbe est trcé sur chcune de ces surfces. Projection Soit( ) une courbe guche défini pr : F(x, y, z)=0 G(x, y, z)=0 On détermine le projeté de( ) sur le pln de coordonnées O x z [resp. O yz ou O xy ] en éliminnt y [resp. x ou z] des deux équtions F(x, y, z)=0 et G(x, y, z)=0 soit en combinnt les deux équtions, soit en tirnt y= k(x, z)[resp. x= k(y, z) ou z= k(x, y)] de l une pour le porter dns l utre. 70

Surfce Définition Une surfce(σ) est une prtie de R 3 définie : 1. soit pr une représenttion prmétrique, i.e. une fonction Ω R 2 R 3 ϕ : (u, v) x(u, v) ı+ y(u, v) j+ z(u, v) k On : M (Σ) (u, v) Ω, OM=ϕ(u, v) 2. soit pr une éqution crtésienne F(x, y, z)=0, où F est une fonction de R 3 dns R. On : M (Σ) OM= x ı+ y j+ z k vec(x, y, z) vérifint F(x, y, z)=0 Pln tngent et vecteur norml Soit(Σ) une surfce. 1. Si l on dispose d un prmétrge de(σ),ϕ, on note les dérivées prtielles ϕ u et ϕ v respectivement M M u et v. Le point M 0 est régulier si N = M M u v. N Le vecteur est ppelé vecteur norml à(σ) en M 0. N Le pln pssnt pr M 0 et dirigé pr M M u et v (donc de norml N ) est le pln tngent à(σ) en M 0. 2. Si l on dispose d une éqution crtésienne F(x, y, z)=0, lors le vecteur norml à l surfce en M 0 (point régulier) est colinéire à grdf. M 0 Alors, une éqution du pln tngent en M 0 est déterminé pr : grdf. M M 0 = 0 M 0 i.e. (x x 0 ) F x +(y y 0 ) F y +(z z 0 ) F z = 0 71

Soitγ une courbe de l espce définie pr un prmètrge : OP(t). On considère un vecteur non nul. L surfce engendrée pr les droites de direction, s ppuynt surγ est un cylindre. γ est une directrice et les droites dirigées pr s ppuynt surγ sont les génértrices. Un prmétrge de ce cylindre est : Cylindres I R R 2 (u, v) OM(u, v)= OP(u)+ v Le pln tngent en un point régulier contient une génértrice, et l tngente à une directrice. Soitγ une courbe de l espce définie pr un prmètrge : OP(t). On considère S un point de R 3 \γ. L surfce engendrée pr les droites pssnt pr S et s ppuynt sur γ est un cône. γ est une directrice et S est ppelé sommet. Les droites pssnt pr S et s ppuynt surγ sont les génértrices du cône. Un prmétrge de ce cône est : Cône I R R 2 (u, v) OM(u, v)= OS+ v SP(u) Le pln tngent en un point régulier contient une génértrice, et l tngente à une directrice. 72

Soitγ une courbe de l espce définie pr un prmètrge : OP(t). On considère une droite. L surfce obtenue pr révolution deγ utour de est l réunion des cercles d xe s ppuynt sur γ. Ces cercles sont ppelés prllèles. Les section de cette surfce pr un pln contennt sont les méridienne de l surfce. Si OP(t)= x(t) ı+ y(t) j+ z(t) k, lors un prmétrge de l surfce obtenue pr révolution utour de O z est : I ] π,π[ R 2 (u, v) x(u) cos v ı+ sin v j + y(u) sin v ı+ cos v j + z(u) k Ce qui se trduit mtriciellement pr : Surfces de révolution x M (u, v) cos v sin v 0 x(u) x(u)cos v y(u)sin v y M (u, v) = sin v cos v 0 y(u) = x(u)sin v+ y(u)cos v z M (u, v) 0 0 1 z(u) z(u) Le pln tngent en un point régulier contient l tngente u prllèle et à l tngente à l méridienne qui se coupent u point considéré. Surfces réglées Développbles Une surfce réglée est une surfce engendrée pr une fmille de droites( u ) u I, i.e. qu elle dmet un prmétrge : (u, v) I R OM(u, v)= OP(u)+ v α(u) Les doites u sont les génértrice, l courbe décrite pr OP(u), u I est une directrice. Une surfce réglée est développble lorsque le pln tngent rest constnt le long de chque génértrice. Propriétés : Soit M un point d une surfce réglée, lors le pln tngent en M contient l (ou les) génértrice(s) de cette surfce pssnt pr M. Soit(Σ) une surfce réglée dmettnt pour prmétrge :(u, v) I R OM(u, v)= OP(u)+ v α(u).(σ) est développble si, et seulement si : u I, det d P du, α(u), α (u) =0 73

Qudriques Une qudrique est une surfce d éqution crtésienne : q(x, y, z)+ϕ(x, y, z)=c où q est une forme qudrtique, ϕ une forme linéire, et C une constnte. Après réduction de l forme qudrtique, i.e. un chngement de bse orthonormée (rottion), on se rmène à une éqution : λx 2 1 +µy2 1 +ν z2 1 +ψ(x 1, y 1, z 1 )=C 1 oùλ,µ,νsont les vleurs propres de q,ψl forme linéire obtenue àprès le chngement de bse, et C 1 une nouvelle constnte. Ensuite, s il lieu, un chngement d origine (trnsltion) permet de se rmener ux équtions de références listées ci dessous. (A,B,C) sont trois réels strictements positifs. Les cs dégénérés ne sont ps pris en compte. Eqution Nture Révolution Réglée X 2 Y 2 Z2 A 2+ B 2+ C 2= 1 Ellipsoïde si Crd({A,B,C})<3 Non X 2 Y 2 Z2 A 2+ B 2 C 2= 1 Hyperboloïde à une nppe si A= B Oui X 2 Y 2 Z2 A 2+ B 2 C 2= 0 Cône si A= B Oui X 2 Y 2 Z2 A 2+ B 2 C 2= 1 Hyperboloïde à deux nppes si A= B Non X 2 Y 2 A 2+ B 2= Z Prboloïde si A= B Non X 2 Y 2 A 2 B 2= Z Prboloïde hyperbolique Non Oui X 2 Y 2 A 2+ B 2= 1 Cylindre à bse elliptique si A= B Oui X 2 Y 2 A 2 B 2= 1 Cylindre à bse hyperbolique Non Oui X 2 A 2= Z Cylindre à bse prbolique Non Oui 74

z x y L hyperboloïde à 2 nppes Le prboloïde hyperbolique L hyperboloïde à 1 nppe 75

17 Fonctions à plusieurs vribles Soit n N, et E= R n. Une norme est ppliction N de E dns R + telle que : 1. x E, λ R, N(λ.x)= λ N(x) 2. (x, y) E 2, N(x+ y) N(x)+N(y) 3. x E, N(x)=0 x= 0 Normes euclidienne L norme utilisée ici est l norme euclidienne définie pr : x=(x 1,, x n ) E, x = n k=1 x 2 k Boules ouverte fermée Soit n N, et E= R n. On ppelle boule ouverte de centre E et de ryon R R + l ensemble : B(, R)={x, x < R} De même on définit l boule fermée de centre E et de ryon R R + l ensemble : B(, R)={x, x R} Voisinge Soit x R n. Une prtie A de R n est un voisinge de x si elle contient une boule ouverte de centre x. Prtie bornée Une prtie de R n est bornée si elle est incluse dns une boule fermée de centre O, i.e. A R n est bornée si, et seulement si : M R +, A B(O, M) 76

Ouverts Fermés Un ouvert est une prtie de R n qui est un vosinge de chcun de ses points, i.e. qui contient une boule ouverte utour de chcun de ses points :Ωest un ouvert de R n si, et seulement si : x Ω, ǫ R +, B(x,ǫ) Ω Intuitivement, un ensemble est ouvert s il ne contient ucun éléments de s frontière. Un fermé est une prtie de R n dont le complémentire dns R n est un ouvert : F est un fermé si, et seulement si R n \ F est ouvert. Intuitivement, un ensemble est fermé s il contient tous les éléments de s frontière. Attention : un ensemble peut être ni ouvert ni fermé, ou encore à l fois ouvert et fermé ( ou R n ). Suites dns R n Soit(x n ) n N une suite à vleur dns R m. Alors x n = x (1),..., x(m) n n, où x (k) est une suite à vleurs n réelles. On dit que lim x n + n =l si, et seulement si : ǫ R +, N N, n> N x n l <ǫ Sil= l 1,...,l m R m, lors lim x n + n =l si, et seulement si : p 1, m, Proriété : Toute suite convergente est bornée. lim n + x(p) =l n p Limite Soit f une fonction de R p dns R m défini pr m fonctions de R p dns R : x R p, f(x)= f1 (x),..., f m (x). On considèreω=(ω 1,...,ω p ) un élément fixé dns R p. On dit que lim x ω f(x)=l R m si, et seulement si : 1. f est définie sur une boule ouverte de centre ω et de ryon strictement positif 2. ǫ R +, α R, x ω <α f(x) l <ǫ + 77

Continuité f est continue enω si, et seulement si : lim f(x)= f(ω) x ω 1. L combinison linéire de fonctions continue est continue. 2. L composée de deux fonctions continues est continue. Méthodes : On montre qu une fonction est continue enωen utilisnt les théorèmes générux où en mjornt f(x) f(ω) u voisinge deω. On montre q une fonction n est ps continue enωen trouvnt deux suites u n et v n tendnt vers ω tels que lim n + f(u n ) lim n + f(v n ). Propriété Soit f : R p R m une fonction continue en tout point d un fermé borné F de R p, lors : f(f) est une prtie fermé et bornée de R m Dérivées prtielles Soit f une fonction de R p dns R m. L k-ième ppliction prtielle ssociée à f enω est l pplictionϕ k de R dns R n définie pr : ϕ k (x)= f(ω 1,...,ω k 1, x,ω k+1,...,ω) L dérivée prtielle de f pr rpport à x k enω est nombre dérivéϕ k (ω k ) s il existe, et est notée f. L dérivée prtielle de pr rpport à x k est donc une ppliction de R p dns R m. x k ω Fonction de clsse 1 On dit que f est clsse 1 enωsi, et seulement si elle est continue enω, insi que toute ses dérivées prtielles. 78

Différentielle Soit f une fonction de R p dns R n de clsse 1 enω : f(x)=(f 1 (x),..., f 2 (x)). L différentielle de f enω est une ppliction linéire d f de R p dns R n, définie pr : d f p f dx 1,...,dx p = k=1 x k dx k Ce qui souvent s écrit : p f d f= dx k x k k=1 Mtrice jcobienne Dns les bses cnoniques, l mtrice de d f est ppelée mtrice jcobienne de f en ω, elle est notée J(f) : f 1 f 1 f 1 x 1 x 2 x p f 2 f 2 f 2 grd f 1 J(f)= x 1 x 2 x p = grd f 2 f f f =,,...,.... x 1 x 2 x n f n f n f n grd f n x 1 x 1 x p 79

Composition et inversion Composition : On : d(f g) ω =(d f) g(ω) (dg) ω i.e. J(f g) ω = J(f) g(ω) J(g) ω En prtique, on : ce qui s écrit (pr bus de nottion) : (f g) x m = p k=1 f y k. g k x m f x m = p k=1 f y k. y k x m Inversion : Si f est un endomorphisme de R n, lors, J(f) est crrée, et, si elle est inversible : d(f 1 ) f(ω) = d(f) 1 f(ω) i.e. J(f 1 ) f(ω) J(f) 1 f(ω) f est injective u voisinge deω si, et seulement si det(j(f)) ω 0. Attention : Pr exemple, le chngement de vrible en polire est : Il fut tenir compte de toutes les vribles. f x = f r. r x + f θ. θ x Dérivées prtielles d ordre supérieur Soit f une fonction de R p dns R n de clsse 1 enω. Les dérivées prtielles de f peuvent dmettre lors des dérivées prtielles : x k f x m = 2 f x k x m et x k f x k = 2 f x 2 k Théorème de SCHWARZ Si toutes les dérivées prtielles de f sont de clsse 1 enω, lors f est dite de clsse 2 et : (k, m) 1, p 2, 2 f x k x m = 2 f x m x k 80

Formule de TAYLOR-YOUNG à l ordre 2 Soit f une fonction de R 2 dns R de clsse 2 en(, b), lors : f(+h, b+ k)= f(, b)+ h f x + k f y + 1 2 h 2 2 f x 2+ 2hk 2 f 2 x y + k2 f + o h 2 + k 2 y 2 Point critique Soit f une fonction de R 2 dns R, etω R 2. On ppelle point critique de f un point en lequel : f x = f y = 0 Détermintion des extrem En un point critique, f(+h, b+ k) f(, b) le signe de l forme qudrtique : si celle-ci est non nulle. (h, k) h 2 2 f x 2+ 2hk 2 f 2 x y + k2 f y 2 Les extrem de f sur Ω peuvent être des points de l frontière, ou des points critiques. Si(, b) est un point critique deω, on pose : r= 2 f x 2, s= 2 f x y, t= 2 f y 2 Ce sont les nottions de MONGE. 1. Si s 2 r t< 0, f présente un extremum en(, b) : () mximum si r< 0 (b) minimum si r> 0 2. Si s 2 r t> 0, f présente un point col en(, b). 3. Si s 2 r t= 0, une étude complémentire est à conseiller. 81

18 Intégrles multiples Théorème de FUBINI Soit et b deux réels et y 1, y 2 deux fonctions continues sur[, b] telles que : x [, b], y 1 (x) y 2 (x) En posnt D= (x, y) R 2, x b, y 1 (x) y y 2 (x) lors, pour toute fonction f de R 2 dns R continue sur D : b y2 (x) f(x, y)dxdy= f(x, y)dy dx y 1 (x) y D y 2 (x) y 1 (x) b x Si y 1 et y 2 sont des constntes respectivement c et d (i.e. indépendnt de x) lors : [,b] [c,d] b d d b f(x, y)dxdy= f(x, y)dxdy= f(x, y)dxdy c c 82

Intégrles triples On considère une fonction f de R 3 dns R continue sur U R 3 et D=[, b] [α,β] [A,B] tel que D U. Alors : b β B f(x, y, z)dxdydz= f(x, y, z)dxdyd α A Le théorème de FUBINI s pplique ussi ici. D Pr extention, on considère K une prtie de R 2, etψ 1 etψ 2 deux fonction de K dns R. On considère l ensemble : = (x, y, z) R 3,(x, y) K,ψ 1 (x, y) z ψ 2 (x, y) U lors : ψ2 (x,y) f(x, y, z)dxdydz= f(x, y, z)dz dxdy K ψ 1 (x,y) Chngement de vribles intégrles doubles Soit f une fonction de R 2 dns R, continue sur U. On considèreϕ:(x, y) (u(x, y), v(x, y)) une ppliction bijective et de clsse 1 de U dnsω= ϕ(u). On note det(j(ϕ))= J(ϕ) le déterminnt jcobien deϕ et det(j(ϕ) 1 )= jcobien deϕ 1. U f(x, y)dxdy= f ϕ 1 (u, v)det(j(ϕ) 1 )dudv Ω Attention : On veiller à toujours vérifier que det(j(ϕ)) 0. 1 det(j(ϕ)) le déterminnt 83

Chngement de vribles Intégrles triples Soit f une fonction de R 3 dns R, continue sur U R 3. On considèreψ:(x, y, z) (u(x, y, z), v(x, y, z), w(x, y, z)) une ppliction bijective et de clsse 1 de U dnsω=ψ(u). On utilise les même nottion que précédement. On : f(x, y, z)dxdydz= f ψ 1 (u, v, w)det(j(ψ) 1 )dudvdw U Attention : On veiller à toujours vérifier que det(j(ψ)) 0. Ω Formules usuelles Pssge des coordonnées crtésiennes en polires dns R 2 : Iciω:(r,θ) r cosθ. On J(ω)= r sinθ U cosθ r sinθ. Alors : sinθ r cosθ f(x, y)dxdy= f ω 1 (r,θ)r dr dθ Ω Pssge des coordonnées crtésiennes en cylindriques dns R 3 : r cosθ cosθ r sinθ 0 Iciω:(r,θ, z) r sinθ. On J(ω)= sinθ r cosθ 0. Alors : z 0 0 1 U f(x, y, z)dxdydz= f ω 1 (r,θ, z) r dr dθdz Ω Pssge des coordonnées crtésiennes en sphériques dns R 3 : Rcosθ sinϕ cosθ sinϕ Rsinθ sinϕ Rcosθ cosϕ Iciω :(r,θ,ϕ) Rsinθ sinϕ. On J(ω)= sinθ sinϕ Rcosθ sinϕ Rsinθ cosϕ. Alors : Rcosϕ cosϕ Rsinθ cosϕ Rsinϕ U f(x, y, z)dxdydz= f ω 1 (R,θ,ϕ) R 2 drdθdϕ Ω 84

Forme différentielle de R 2 Définition : Soit P et Q deux fonction de R 2 dns R de clsse 1, l ppliction définie pr : est une forme différentielle. ω(x 0, y 0 ) :(dx,dy) P(x 0, y 0 ).dx+ Q(x 0, y 0 ).dy L différetielle de f en(x 0, y 0 ) est l forme différentielle : d f :(dx,dy) f x (x 0,y 0 ) dx+ f Attention : Lorsque (x 0, y 0 ),ω(x 0, y 0 )=df(x 0, y 0 ),ω est une forme différentielle excte, f est lors ppelée primitive de ω sur U. Cette existence de f n est ps obligtoire. On dit queω est fermé sur U si P y = Q pour tout(x, y) U. x Il vient que toutes les formes différentielles exctes sont fermées. y (x 0,y 0 ) dy. Intégrles curvilignes Soitω une forme différentielle :ω=pdx+ Qdy, et(γ) un rc de clsse 1 défini pr le prmétrge : x(t) (γ) : y(t). Alors, on définit l intégrle curviligne de ω sur(γ) : γ vec t [, b] b ω= P(x(t), y(t)).x (t)+q(x(t), y(t)).y (t) dt En physique, elle est noté Pdx+ Qdy, et est ppelée circultion ou trvil de(x, y) P ı+ Q j sur (γ). 85

Formule de GREEN RIEMANN Soit(gmm) un rc prmétré, fermé et orienté dns le sens trigonométrique, i.e.(γ) limite une prtie bornée du pln ppelée K. Alors : (γ) Q Pdx+ Qdy= K x P dxdy y On pplique générlement cette formule u clcul d ire de K, en posnt : P= 0 et Q=x, d où : P= y et Q= 0, d où : K K dxdy= xdy (γ) dxdy= ydx (γ) P= y 2 et Q= x 2, d où : K dxdy= 1 2 (γ) ydx+xdy 86

Chmps de vecteurs Définitions : Un chmps sclire est une ppliction de R 3 dns R de clsse 1 u moins. L ensemble des chmps sclires ser noté 3. Un chmps vectoriel est une ppliction de R 3 dns R 3 de clsse 1 u moins. L ensemble des chmps sclires ser noté 3. Soit V(x, y, z)= P(x, y, z) ı+ Q(x, y, z) j+ R(x, y, z) k. On définit : 1. L divergence div : 3 3 : div( V)= P x + Q y + R z 2. Le grdient grd : 3 3 défini pourφ 3 pr : grd(φ)= Φ x ı+ Φ y j+ Φ k z 3. Le rottionnel rot : 3 3 : rot( R P Q V)= y Q ı+ z z R j+ x x P k y 87

19 Géométrie dns l espce Projection sur un xe Le projeté orthogonl du vecteur x sur l xe dirigé pr u est : x = x. u u 2. u Distnce d un point à un pln L distnce du point M(x 0, y 0, z 0 ) et du pln(p) d éqution x+b y+ c z d= 0 est : d(m, P)= x 0 + b y 0 + cy 0 d 2 + b 2 + c 2 Distnce d un point à une droite L distnce du point M à l droite( )=(A, u) est : AM u d(m,( ))= u Distnce entre deux droites Soit(D 1 )=(A, u) et(d 2 )=(B, v). Propriétés : 1. (D 1 ) et(d 2 ) sont prllèles si, et seulement si u v = 0. AB, 2. (D 1 ) et(d 2 ) sont sécntes si et seulement si u, v = 0. Si(D 1 ) et(d 2 ) sont non prllèles, leurs distnce est : AB, u, v d((d 1 ),(D 2 ))= u v Cette distnce est tteinte sur l perpendiculire commune. 88

89