Intégrales curvilignes et de surfaces

Intégrales curvilignes et de surfaces Fabrice Dodu FORMATION CONTINUE : DUT+3 DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES : INSA TOULOUSE 2-21 Version 1.

Sommaire I Le cours 6 1 Intégrales curvilignes 8 1.1 Notions sur les arcs paramétrés.................................. 9 1.1.1 Définition........................................ 1 1.1.2 Premières définitions et propriétés............................ 11 1.1.3 Arcs orientés....................................... 12 1.1.4 Points particuliers et tangente.............................. 14 1.1.5 Longueur d un arc.................................... 15 1.2 Circulation d un champ de vecteurs............................... 16 1.2.1 Définition........................................ 17 1.2.2 Calcul pratique...................................... 18 1.2.3 Champ dérivant d un potentiel.............................. 2 1.2.4 Formule de Green-Riemann............................... 22 Sommaire Entrées canoniques 2 Documents Exemples

2 Intégrales de surfaces 24 2.1 Notions sur les surfaces paramétrés................................ 25 2.1.1 Définition........................................ 26 2.1.2 Définition : plan tangent................................. 27 2.1.3 Aire d une surface non plane.............................. 3 2.2 Flux d un champ de vecteurs................................... 32 2.2.1 Flux et intégrale de surface............................... 33 2.3 Théorèmes intégraux....................................... 35 2.3.1 Théorème de Stokes................................... 36 2.3.2 Théorème d Ostrogradski................................ 37 II Les annexes 39 A Les exemples 4 A.1 Exemples du chapitre 1...................................... 42 A.1.1 Arc paramétré dans le plan............................... 42 A.1.2 Arc paramétré dans le plan............................... 43 A.1.3 Arc paramétré dans l espace............................... 44 A.1.4 Orientation et tangente.................................. 45 A.1.5 Circulation d un champ de IR 3.............................. 46 A.2 Exemples du chapitre 2...................................... 47 A.2.1 La sphère......................................... 47 A.2.2 Le parapluie de Whitney................................. 48 Sommaire Entrées canoniques 3 Documents Exemples

A.2.3 Equation cartésienne d une surface........................... 49 A.2.4 Equation cartésienne du plan tangent.......................... 5 B Les exercices 51 B.1 du chapitre 1...................................... 53 B.1.1 Points simples et multiples............................... 53 B.1.2 Périmètre du cercle................................... 54 B.1.3 Longueur d un arc défini par une équation cartésienne y = f (x)............ 55 B.1.4 Travail sur une demi-ellipse............................... 56 B.1.5 Travail sur une helice.................................. 57 B.1.6 Travail d un champ dérivant d un potentiel....................... 58 B.1.7 Exercice : premier bilan................................. 59 B.1.8 Calcul d aire d une surface plane............................ 6 B.1.9 Exercice : second bilan................................. 61 B.2 du chapitre 2...................................... 62 B.2.1 Plan tangent à une surface définie par son équation cartésienne............ 62 B.2.2 Aire d un cylindre.................................... 63 B.2.3 Flux à travers une surface................................ 64 B.2.4 Exercice : premier bilan................................. 65 B.2.5 Application à la formule de Stokes........................... 66 B.2.6 Application à la formule d Ostrogradski........................ 67 B.2.7 Exercice difficile : pour le plaisir.............................. 68 Sommaire Entrées canoniques 4 Documents Exemples

C Les documents 7 C.1 Documents du chapitre 1..................................... 71 C.1.1 Masse d un fil...................................... 71 C.1.2 Rappels de calcul vectoriel............................... 72 C.2 Documents du chapitre 2..................................... 75 C.2.1 Règle du tire-bouchon de Maxwell........................... 75 Sommaire Entrées canoniques 5 Documents Exemples

Première partie Le cours Sommaire Entrées canoniques 6 Documents Exemples

Afin de simplifier la compréhension du cours, nous ne considèrerons que des espaces vectoriels normés E réels de dimension 2 ou 3, supposés munis de leur structure affine naturelle. Ainsi les éléments de E seront appelés vecteurs s ils sont considérés comme des éléments de l espace vectoriel E, et points s ils sont considéres comme des éléments de l espace affine E. Notation. On notera indifféremment x = (x 1,, x n ) ou x = Si x, y E alors n a) x y = x i y i = x 1 y 1 + x n y n. b) x = i=1 x 2 1 + + x2 n. c) si n = 3, x y = (x 2 y 3 x 3 y 2, x 3 y 1 x 1 y 3, x 1 y 2 x 2 y 1 ). x 1. x n un vecteur x E (n=2 ou 3). Sommaire Entrées canoniques 7 Documents Exemples

chapitre suivant 1 Intégrales curvilignes 1.1 Notions sur les arcs paramétrés.................................. 9 1.2 Circulation d un champ de vecteurs............................... 16 Sommaire Entrées canoniques 8 Documents Exemples

chapitre section suivante 1.1 Notions sur les arcs paramétrés 1.1.1 Définition............................................. 1 1.1.2 Premières définitions et propriétés................................ 11 1.1.3 Arcs orientés........................................... 12 1.1.4 Points particuliers et tangente................................... 14 1.1.5 Longueur d un arc......................................... 15 Sommaire Entrées canoniques 9 Documents Exemples

section grain suivant Définition notion clé : Arc paramétré Exemples : exemple A.1.1 exemple A.1.2 exemple A.1.3 Définition 1. Soit E un espace vectoriel normé (e.v.n.) de dimension 2 ou 3. Soit I un intervalle de IR non vide et non réduit à un point. { Un arc paramétré γ de classe C k est une application de classe C k I E de I dans E notée γ. t γ (t) γ (t) = (γ 1 (t), γ 2 (t)) (resp. γ (t) = (γ 1 (t), γ 2 (t), γ 3 (t))) est un arc paramétré de IR 2 (resp. IR 3 ). γ (I) est appelé support de l arc paramétré. Sommaire Entrées canoniques 1 Documents Exemples

section grain précédent grain suivant Premières définitions et propriétés notion clé : Points et arcs : exercice B.1.1 Définition 2. m est appelé point simple de γ (I) si il existe un unique t m I tel que m = γ (t m ). Un point multiple est un point qui n est pas simple. Définition 3. Un arc est dit simple si tous les points sont simples (i.e. si γ est injective). Définition 4. Un arc est dit fermé si γ (a) = γ(b). Définition 5. Un arc fermé est dit fermé simple si I est de la forme [a, b] ( fermé borné), γ (a) = γ(b) et la restriction de γ à l intervalle [a, b[ est injective. Sommaire Entrées canoniques 11 Documents Exemples

section grain précédent grain suivant Arcs orientés notion clé : Arcs équivalents Dans les exemples A.1.1 et A.1.2, les supports des deux arcs paramétrés sont les mêmes. Mathématique, on traduit ce constat par la définition suivante Définition 6. Soient (I, γ) et (J, δ) deux arcs paramétrés. On dit que les deux arcs sont C k équivalents si i) γ et δ sont de classe C k. ii) Il existe une bijection θ : I J de classe C k ainsi que sa réciproque telle que γ = δ θ. θ est appelé changement de paramètre. Remarque 1.1. θ est donc nécessairement strictement monotone car est bijectif. Définition 7. On appelle arc géométrique de classe C k l ensemble des arcs paramétrés C k équivalents. On le note Γ. Les représentants de Γ sont appelés arcs paramétrés admissibles (ou représentations admissibles). Définition 8. Soit Γ un arc géométrique de classe C k k 1. Sommaire Entrées canoniques 12 Documents Exemples

Soit (γ 1, γ 2 ) Γ 2 donc il existe θ tel que γ 1 = γ 2 θ donc γ 1 (t) = γ 2 (θ (t)) θ (t). On dit que γ 1 et γ 2 sont de même sens (ou positivement C k équivalents) si θ (t) >, et de sens contraire (ou non-positivement C k équivalents) si θ (t) <. On note Γ + = {(I, γ) Γ tel que γ est positivement C k équivalent}. On note Γ = {(I, γ) Γ tel que γ est non-positivement C k équivalent}. Remarque 1.2. θ étant strictement monotone, il suffit de vérifier le signe de θ pour un point quelconque de I. Lemme 1.1. Pour qu un arc géométrique admette deux orientations, il suffit qu il possède au moins deux points simples. Sommaire Entrées canoniques 13 Documents Exemples

section grain précédent grain suivant Points particuliers et tangente notion clé : Régulier, stationnaire, tangente Exemples : exemple A.1.4 Définition 9. Soit γ une paramétrisation de Γ arc géométrique de classe C k, (k ). i) Un point simple m = γ(t m ) de γ(i) est dit régulier si γ (t). L arc γ est régulier si tous ces points simples sont réguliers. ii) Un point simple m = γ(t m ) de γ(i) est dit stationnaire si γ (t) =. Remarque 1.3. Ces définitions sont indépendantes du choix de la paramétrisation. Définition 1. On appelle tangente au point m la droite passant par m et de vecteur directeur γ (t m ). Définition 11. Soit (I, γ) un arc régulier. On appelle vecteur tangent unitaire la quantité T(t) = T(t) est dirigé dans le sens de l orientation de l arc (I, γ). γ(t) γ (t). Sommaire Entrées canoniques 14 Documents Exemples

section grain précédent Longueur d un arc notion clé : Longueur d un arc : exercice B.1.2 exercice B.1.3 Documents : document C.1.1 Définition 12. Soit (I, γ) un arc paramétré de classe C k, (k 1). On appelle longueur de l arc γ, le réel positif noté L γ défini par L γ (I) = γ (t) dt (1.1) I En particulier, si (I, γ) est un arc paramétré de IR 2 alors (γ L γ (I) = 1 (t)) 2 ( + γ 2 (t) ) 2 dt De même, si (I, γ) est un arc paramétré de IR 3 alors (γ L γ (I) = 1 (t)) 2 ( + γ 2 (t) ) 2 ( + γ 3 (t) ) 2 dt I I Sommaire Entrées canoniques 15 Documents Exemples

chapitre section précédente 1.2 Circulation d un champ de vecteurs 1.2.1 Définition............................................. 17 1.2.2 Calcul pratique.......................................... 18 1.2.3 Champ dérivant d un potentiel.................................. 2 1.2.4 Formule de Green-Riemann................................... 22 Sommaire Entrées canoniques 16 Documents Exemples

section grain suivant Définition Exemples : exemple A.1.5 Documents : document C.1.2 notion clé : Champ de vecteurs et circulation Définition 13. Soit A E ; espace affine réel de dimension fini attaché à un espace vectoriel E. Un champ de vecteurs sur A est une application de A dans E. Remarque 1.4. l application (x, y) IR 2 ( sin(x) cos(y), x 2) est un champ de vecteurs de IR 2. Définition 14. Soient V un champ de vecteur continu sur A et (I = [a, b], γ) un arc paramétré de classe C k tel que γ ([a, b]) A. On appelle circulation ou (travail) de V relative à γ, le réel défini par b a V (γ (t)) γ (t) dt (1.2) Sommaire Entrées canoniques 17 Documents Exemples

section grain précédent grain suivant Calcul pratique notion clé : Calcul du travail d un champ de force : exercice B.1.4 exercice B.1.5 Point de vue physique Soient A = γ(a), B = γ(b) deux points de IR 3 et V(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) un champ de vecteur. γ(t) = (x(t), y(t), z(t)). Alors b a V (γ (t)) γ (t) dt est le travail total produit par le champ de force V lorsque une particule se déplace du point A au point B le long de la trajectoire paramétrée par γ et ce travail est noté Rappel : W AB (V) = W BA (V) W AB (V) = b a V (γ (t)) γ (t) dt = AB Pdx + Qdy + Rdz Méthodologie : calculer le travail de V le long du segment curviligne AB (donc orienté). 1. a) Déterminer une paramétrisation ([a, b], γ) de l arc orienté. Sommaire Entrées canoniques 18 Documents Exemples

b) Vérifier si cette paramétrisation est compatible avec l orientation imposée par l énoncé. c) Si la paramétrisation est compatible avec l orientation alors W AB (V) = b d) Si la paramétrisation n est pas compatible alors a V (γ (t)) γ (t) dt (1.3) W AB (V) = e) Calculer une intégrale simple. b a V (γ (t)) γ (t) dt (1.4) 2. En utilisant la seconde formule, il suffit simplement d intégrer la forme différentielle ω = Pdx + Qdy + Rdz Sommaire Entrées canoniques 19 Documents Exemples

section grain précédent grain suivant Champ dérivant d un potentiel notion clé : Potentiel et travail : exercice B.1.6 exercice B.1.7 Définition 15. Soit U un champ de vecteur continûment dérivable. On dit que U dérive d un potentiel f si U = f. Remarque 1.5. Si U dérive d un potentiel alors rot U = rot ( f ) = d après le document C.1.2. Théorème 1.1. Soit U un champ de vecteur dérivant d un potentiel f. Alors, on a : W AB (U) = f (B) f (A) Démonstration. ( ) On suppose que la paramétrisation [a, b], γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) est compatible avec l orientation du segment curviligne AB. Comme U = f, on a d après la formule (1.3), Sommaire Entrées canoniques 2 Documents Exemples

U (γ(t)) γ (t) = f ( ) x(t), y(t), z(t) x (t) + f x y (x(t), y(t), z(t)) y (t) + f z (x(t), y(t), z(t)) z (t) = df ( ) x(t), y(t), z(t) dt Donc on obtient b W (U) AB = df ( ) x(t), y(t), z(t) dt a dt = f (x(b), y(b), z(b)) f (x(a), y(a), z(a)) = f (B) f (A) (1.5) Remarque 1.6. i) Si U dérive d un potentiel alors son travail ne dépend pas du chemin suivi pour aller de A vers B. ii) Si la courbe est fermée alors son travail est nul (car A = B). Sommaire Entrées canoniques 21 Documents Exemples

section grain précédent Formule de Green-Riemann notion clé : Green-Riemann, Calcul d aire : exercice B.1.8 exercice B.1.9 La formule de Green-Riemann permet de ramener, dans certains cas, une intégrale double en une intégrale curviligne sur la courbe qui délimite le domaine d intégration. D Figure 1.1 Domaine D et sa frontière orientée Γ + Théorème 1.2. Soit D une partie de IR 2 limitée par Γ + un arc géométrique simple fermé orienté dans le sens direct (figure 1.1). Soient P et Q deux fonctions de classe C 1 sur D. Sommaire Entrées canoniques 22 Documents Exemples

Alors, on a D ( Q x ) P (x, y) (x, y) dxdy = Pdx + Qdy (1.6) y Γ + Lemme 1.2. Soit D un domaine de IR 2. Aire de D = dxdy (1.7) D = x dy (1.8) Γ + = y dx (1.9) Γ + = 1 x dy y dx (1.1) 2 Γ + Démonstration. On obtient ces résultats en posant P(x, y) = y, Q(x, y) = ou P(x, y) =, Q(x, y) = x dans la formule (1.6). Sommaire Entrées canoniques 23 Documents Exemples

chapitre précédent 2 Intégrales de surfaces 2.1 Notions sur les surfaces paramétrés................................ 25 2.2 Flux d un champ de vecteurs................................... 32 2.3 Théorèmes intégraux....................................... 35 Sommaire Entrées canoniques 24 Documents Exemples

chapitre section suivante 2.1 Notions sur les surfaces paramétrés 2.1.1 Définition............................................. 26 2.1.2 Définition : plan tangent..................................... 27 2.1.3 Aire d une surface non plane................................... 3 Sommaire Entrées canoniques 25 Documents Exemples

section grain suivant Définition notion clé : Nappe et surface Exemples : exemple A.2.1 exemple A.2.2 exemple A.2.3 E est un espace affine de dimension 3 attaché à l espace vectoriel E. On identifie E à E par le choix d une origine. De la même manière que pour les arcs paramétrés, on définit la notion de nappe paramétrée comme suit Définition 16. Soit D un domaine (i.e. on peut mesure son aire qui est supposée finie) de IR 2. Une nappe paramétrée de classe C k (k ) de E est une application de classe C k : Φ : D E. On appelle surface l image par Φ de D et notée Σ = Φ(D). Sommaire Entrées canoniques 26 Documents Exemples

section grain précédent grain suivant Définition : plan tangent Exemples : exemple A.2.4 : exercice B.2.1 Documents : document C.2.1 notion clé : Plan tangent et vecteur normal Définition 17. Soit Σ une surface définie par une paramétrisation Φ : D E différentiable en (u, v ). x = Φ 1 (u, v) Φ(u, v) = y = Φ 2 (u, v) z = Φ 3 (u, v) Φ 1 u (u Φ 1, v ) v (u, v ) Si les vecteurs Φ 2 u (u, v ) et Φ 2 v (u, v ) sont linéairement indépendants, Φ 3 u (u Φ 3, v ) v (u, v ) alors il existe un plan P M tangent à la surface Σ en M = Φ(u, v ) qui est caractérisé par P M = { M E, P = Φ(u, v ) + Φ u (u, v ) (u u ) + Φ } v (u, v ) (v u ) Sommaire Entrées canoniques 27 Documents Exemples

Remarque 2.1. P est paramétré par le développement d ordre 1 de Φ en (u, v ). Définition 18. (Avec les notations de la définition 17). La normale à la surface au point M est la droite affine passant par ce point et perpendiculaire au plan tangent. Un vecteur directeur est N = Un vecteur directeur unitaire est Φ 1 u Φ 2 u Φ 3 u n = N N Φ 1 v Φ 2 v Φ 3 v (2.1) (2.2) Remarque 2.2. a) De la même manière que pour la tangente d un arc géométrique, il existe deux vecteurs normaux à une surface N(u, v) et N(u, v). b) L orientation de la surface est déterminée par un champ continu de normales qui induisent ainsi une face pour la surface. Un paramétrage de la surface sera Sommaire Entrées canoniques 28 Documents Exemples

compatible avec l orientation si la normale qu il génère coïncide avec le choix de la normale fixant l orientation. Pour une surface fermée, on considére le champ de normales sortant. (Voir Document C.2.1). Sommaire Entrées canoniques 29 Documents Exemples

section grain précédent Aire d une surface non plane notion clé : Aire d une surface non plane : exercice B.2.2 On a vu (formule (1.7)) que si la surface D est plane (par exemple dans le plan xoy) alors son aire est définie par Aire de D = dxdy (2.3) D Soit maintenant une surface Σ (non plane) alors son aire est donnée par le théorème suivant Théorème 2.1. Soit Σ une surface non plane définie par une paramétrisation Φ différentiable Φ : IR 3. Notons T u et T v les vecteurs définis par T u (u, v) = Φ 1 (u, v) u Φ 2 (u, v) u Φ 3 (u, v) u et T v (u, v) = Φ 1 (u, v) v Φ 2 (u, v) v Φ 3 (u, v) v Sommaire Entrées canoniques 3 Documents Exemples

Alors l aire de Σ vaut Aire de Σ = T u (u, v) T v (u, v) dudv (2.4) Sommaire Entrées canoniques 31 Documents Exemples

chapitre section précédente section suivante 2.2 Flux d un champ de vecteurs 2.2.1 Flux et intégrale de surface.................................... 33 Sommaire Entrées canoniques 32 Documents Exemples

section Flux et intégrale de surface : exercice B.2.3 exercice B.2.4 notion clé : Flux, intégrale de surface Le flux d un champ de vecteurs à travers une surface est fondamental dans diverses domaines. Pour différencier un flux rentrant d un flux sortant, l orientation de la surface Σ est fondamentale. Définition 19. Soient Σ + une surface orienté régulière et Φ une paramétrisation de Σ = Φ ( ). Soit V un champ de vecteurs de IR 3 continu. On appelle flux du champ V à travers Σ +, le nombre noté V dσ et défini par Σ + Σ + V dσ = où n est le champ de normale unitaire défini en (2.2). V (Φ(x, y)) n(x, y) dx dy (2.5) Lemme 2.1. Soit Σ une surface définie par l équation {z = f (x, y), (x, y) D} où f est différentiable. Sommaire Entrées canoniques 33 Documents Exemples

Alors le flux de V à travers Σ + est V dσ = ε Σ + ( V (x, y, f (x, y)) f ) (x, y), f (x, y), 1 dxdy(2.6) D x y où ε = 1 si le vecteur normal est orienté vers les z croissants, ε = 1 sinon. Sommaire Entrées canoniques 34 Documents Exemples

chapitre section précédente 2.3 Théorèmes intégraux 2.3.1 Théorème de Stokes........................................ 36 2.3.2 Théorème d Ostrogradski..................................... 37 Sommaire Entrées canoniques 35 Documents Exemples

section grain suivant Théorème de Stokes notion clé : Stokes : exercice B.2.5 Théorème 2.2. Soient Σ + une surface orientée par le choix d un champ de normales et Γ + le bord fermé de Σ +, orienté de manière cohérente avec Σ + (règle du tire-bouchon de Maxwell (figure 2.1). Soit V un champ de vecteurs de IR 3 continument différentiable, de composantes respectives V 1, V 2 et V 3. Alors le flux du rotationnel de V à travers la surface Σ + est égal à la circulation de V le long de l arc Γ + i.e rot V dσ = V 1 dx + V 2 dy + V 3 dz (2.7) Σ + Γ + Sommaire Entrées canoniques 36 Documents Exemples

section grain précédent Théorème d Ostrogradski notion clé : Ostrogradski, volume : exercice B.2.6 exercice B.2.7 Théorème 2.3. Soit V un domaine de IR 3 limité par une surface fermée Σ + orientée vers l extérieur de V. Soit V un champ de vecteurs de classe C 1. Alors l intégrale de la divergence de V dans V est égale au flux de V à travers la surface Σ + i.e. V div V dxdydz = Σ + V dσ (2.8) Lemme 2.2. (Avec les notations précédentes) Volume(V) = dxdydz = V Σ + zdxdy Sommaire Entrées canoniques 37 Documents Exemples

Γ Γ+ Figure 2.1 Régle du tire-bouchon de Maxwell Sommaire Entrées canoniques 38 Documents Exemples

Deuxième partie Les annexes Sommaire Entrées canoniques 39 Documents Exemples

Annexe A Les exemples Table des exemples A.1 : Exemples du chapitre 1..................................... 42 Exemple A.1.1 : Arc paramétré dans le plan......................... 42 Exemple A.1.2 : Arc paramétré dans le plan......................... 43 Exemple A.1.3 : Arc paramétré dans l espace......................... 44 Exemple A.1.4 : Orientation et tangente............................ 45 Exemple A.1.5 : Circulation d un champ de IR 3........................ 46 A.2 : Exemples du chapitre 2..................................... 47 Exemple A.2.1 : La sphère................................... 47 Sommaire Entrées canoniques 4 Documents Exemples

Exemple A.2.2 : Le parapluie de Whitney........................... 48 Exemple A.2.3 : Equation cartésienne d une surface..................... 49 Exemple A.2.4 : Equation cartésienne du plan tangent.................... 5 Sommaire Entrées canoniques 41 Documents Exemples

précédent suivant A.1 Exemples du chapitre 1 Exemple A.1.1 Arc paramétré dans le plan I = [ π 2, π 2 ], γ(t) = (sin (t), cos (t)) 1.8.6.4.2-1 -.5.5 1 Retour au grain Sommaire Entrées canoniques 42 Documents Exemples

précédent suivant Exemple A.1.2 Arc paramétré dans le plan I = [ 1, 1], γ (t) = (t, ) 1 t 2 1.8.6.4.2-1 -.5.5 1 Retour au grain Sommaire Entrées canoniques 43 Documents Exemples

précédent suivant Exemple A.1.3 Arc paramétré dans l espace I = [, 4π], γ (t) = (cos (t), sin (t), 2t) 25 2 15 1 5-1 -.5-1 -.5.5.5 1 1 Retour au grain Sommaire Entrées canoniques 44 Documents Exemples

précédent suivant Exemple A.1.4 Orientation et tangente Suivant le choix de l orientation de l arc, on obtient deux vecteurs tangents de sens opposé. Retour au grain Sommaire Entrées canoniques 45 Documents Exemples

précédent suivant Exemple A.1.5 Circulation d un champ de IR 3 Soit V(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) un champ de vecteur de IR 3. Soit (I = [a, b], γ) un arc paramétré par γ(t) = (x(t), y(t), z(t)). Alors la circulation de V relative à γ est b a V (γ (t)) γ (t) dt = = b a b a V (x(t), y(t), z(t)) (x (t), y (t), z (t) ) dt ( ) P (x(t), y(t), z(t)) x (t) + Q (x(t), y(t), z(t)) y (t) + R (x(t), y(t), z(t)) z (t) dt Retour au grain Sommaire Entrées canoniques 46 Documents Exemples

précédent suivant A.2 Exemples du chapitre 2 Exemple A.2.1 La sphère D = {(u, v), < u < π, < v < 2π} avec Φ (u, v) = x = a sin(u) cos(v) y = a sin(u) sin(v) z = a cos(u).2.4.6.8 1.8.6.4.2 1 1.8.6.4.2.2.4.6.8 1 1.8.6.4.2.2.4.6.8 1 Retour au grain Sommaire Entrées canoniques 47 Documents Exemples

précédent suivant Exemple A.2.2 Le parapluie de Whitney D = [ 1, 1] 2 avec Φ (u, v) = x = uv y = u z = v 2 1.5 1.8.6.4.2.2.4.6.8 1 1.2.4.6.8 1.8.6.4.2 Retour au grain Sommaire Entrées canoniques 48 Documents Exemples

précédent suivant Exemple A.2.3 D = [ 5, 5] 2 avec Φ (u, v) = Equation cartésienne d une surface x = x y = y z = f (x, y) où f (x, y) = x + y 2 sin(x). 2 1 1 2 4 2 4 2 2 2 4 4 Retour au grain Sommaire Entrées canoniques 49 Documents Exemples

précédent suivant Exemple A.2.4 Equation cartésienne du plan tangent Notons f, g et h les coordonnées de Φ dans un repère affine fixé de E. Alors l équation cartésienne de P dans ce repère est x f (u, v ) y g(u, v ) z h(u, v ) f u (u g, v ) u (u h, v ) u (u, v ) f v (u g, v ) v (u h, v ) v (u, v ) = Retour au grain Sommaire Entrées canoniques 5 Documents Exemples

Annexe B Les exercices Table des exercices B.1 : du chapitre 1..................................... 53 Exercice B.1.1 : Points simples et multiples.......................... 53 Exercice B.1.2 : Périmètre du cercle.............................. 54 Exercice B.1.3 : Longueur d un arc défini par une équation cartésienne y = f (x)...... 55 Exercice B.1.4 : Travail sur une demi-ellipse......................... 56 Exercice B.1.5 : Travail sur une helice............................. 57 Exercice B.1.6 : Travail d un champ dérivant d un potentiel................. 58 Exercice B.1.7 : Exercice : premier bilan........................... 59 Sommaire Entrées canoniques 51 Documents Exemples

Exercice B.1.8 : Calcul d aire d une surface plane...................... 6 Exercice B.1.9 : Exercice : second bilan............................ 61 B.2 : du chapitre 2..................................... 62 Exercice B.2.1 : Plan tangent à une surface définie par son équation cartésienne....... 62 Exercice B.2.2 : Aire d un cylindre.............................. 63 Exercice B.2.3 : Flux à travers une surface.......................... 64 Exercice B.2.4 : Exercice : premier bilan........................... 65 Exercice B.2.5 : Application à la formule de Stokes...................... 66 Exercice B.2.6 : Application à la formule d Ostrogradski................... 67 Exercice B.2.7 : Exercice difficile : pour le plaisir......................... 68 Sommaire Entrées canoniques 52 Documents Exemples

précédent suivant B.1 du chapitre 1 Exercice B.1.1 Points simples et multiples Tracer les arcs paramétrés suivants, quels sont les points multiples (si ils existent)? a) ([, 2π], γ) où γ (t) = (cos(t), sin (t)). b) ([, 4π], γ) où γ (t) = ( 1 + 1 2 cos(t), 2 + 1 2 sin (t)). c) ([, + [, γ) où γ (t) = ( t, t 2). Solution Retour au grain Sommaire Entrées canoniques 53 Documents Exemples

précédent suivant Exercice B.1.2 Périmètre du cercle Calculer le périmètre d un cercle de centre l origine et de rayon R. Retour au grain Solution : à regarder en dernier!! Aide 1 Aide 2 Aide 3 Sommaire Entrées canoniques 54 Documents Exemples

précédent suivant Exercice B.1.3 Longueur d un arc défini par une équation cartésienne y = f (x) Calculer la longueur du segment curviligne d équation y = f (x) entre les abscisses x a et x b. ( x Application : calculer la longueur de l arc de chainette d équation y = ach pour x [, a]. a) Solution : à regarder en dernier!! Aide 1 Retour au grain Sommaire Entrées canoniques 55 Documents Exemples

précédent suivant Exercice B.1.4 Travail sur une demi-ellipse Calculer le travail du champ de force V(x, y) = ( y 2, x 2) le long de la demi-ellipse supérieure orientée Γ + 1. la formule b a V (γ(t)) γ (t) dt. 2. la formule Γ + Pdx + Qdy. b a Retour au grain Question 1 Aide 1 Aide 2 Aide 3 Aide 4 Question 2 Aide 1 Aide 2 Aide 3 Sommaire Entrées canoniques 56 Documents Exemples

précédent suivant Exercice B.1.5 Travail sur une helice Soit le champ de vecteur V(x, y, z) = ( x + z, y 2, x ). Calculer le travail de V sur l arc orienté AB de l hélice dont la paramétrisation est x(t) = R cos(t), y(t) = R sin(t), z(t) = at avec A = (R,, ), B = (R,, 2πa). On utilisera la formule AB Pdx + Qdy + Rdz 12 1 8 z 6 4 2 4 2 y 2 4 4 2 x Retour au grain Solution Sommaire Entrées canoniques 57 Documents Exemples

précédent suivant Exercice B.1.6 Travail d un champ dérivant d un potentiel Soit V un champ de vecteurs de IR 3 de composantes respectives P(x, y, z) = xy, Q(x, y, z) = αx 2 + z, R(x, y, z) = y. 1. Calculez la divergence de V. 2. A quelle condition V dérive-t-il d un potentiel? 3. Calculer le gradient de la fonction f définie par f (x, y, z) = yx2 2 + yz + C (C étant une constante arbitraire). 4. En déduire le travail de V le long du segment orienté OA où O = (,, ) et A = (1, 1, 1). Retour au grain Question 1 Aide 1 Question 2 Aide 1 Aide 2 Question 3 Aide 1 Question 4 Aide 1 Sommaire Entrées canoniques 58 Documents Exemples

précédent suivant Exercice B.1.7 Exercice : premier bilan On considère une particule qui se deplace dans le champ de force V(x, y) = (x ay, 3y 2x)). 1. Calculer le travail reçu par la particule en fonction de a. a) si elle se déplace sur le segment rectiligne OA avec O = (, ), A = (2, 4). b) si elle se déplace de O à A en suivant le trajet OA A où A est la projection de A sur l axe des abscisses. c) si elle se déplace de O à A en suivant le trajet OA A où A est la projection de A sur l axe des ordonnées. Conclusion? 2. Calculer en fonction de a le travail de la particule qui parcours une fois, dans le sens trigonométrique le périmètre du cercle de centre O et de rayon 2. 3. Pour quelle valeur de a le champ de force V dérive-t-il d un potentiel f? Déterminer V(x, y). Que peut-on dire alors des travaux calculés précédemment? Solution Retour au grain Sommaire Entrées canoniques 59 Documents Exemples

précédent suivant Exercice B.1.8 Calcul d aire d une surface plane Calculez l aire D délimitée par l ellipse Γ + d équation x(t) = a cos(t), y(t) = b sin(t) en utilisant a) x dy. Γ + b) y dx. Γ + Retour au grain Solution Sommaire Entrées canoniques 6 Documents Exemples

précédent suivant Exercice B.1.9 Exercice : second bilan Soit V le champ de vecteurs de IR 2 de composantes respectives notées P(x, y) = yx 2 et Q(x, y) = xy 2. On définit D = { (x, y) IR 2, x 2 + y 2 2y < }. Notons Γ + le bord de D orienté dans le sens trigonométrique. a) faire une figure représentant D. b) calculer Pdx + Qdy. Γ + ( ) Q P c) calculer (x, y) (x, y) dxdy D x y d) Conclusion. Solution Retour au grain Sommaire Entrées canoniques 61 Documents Exemples

précédent suivant B.2 du chapitre 2 Exercice B.2.1 Plan tangent à une surface définie par son équation cartésienne En vous inspirant de l exemple A.2.4, déterminer l équation cartésienne du plan tangent P à la surface Σ si celle-ci x est définie par la paramétrisation suivante Φ(x, y) = y f (x, y). Solution Retour au grain Sommaire Entrées canoniques 62 Documents Exemples

précédent suivant Exercice B.2.2 Aire d un cylindre Soit Σ la surface définie par { (x, y, z) IR 3 ; x 2 + y 2 2ax =, < z < h }. a) Representer Σ. b) Calculer son aire. Solution Retour au grain Sommaire Entrées canoniques 63 Documents Exemples

précédent suivant Exercice B.2.3 Flux à travers une surface ) Soit V le champ de vecteurs de IR 3 défini par V(x, y, z) = (xz, z, z2 2. Soit Σ la surface définie par l équation z = x 2 + y 2, z 1, un champ de vecteurs normaux étant orientée vers les z croissants. a) Représenter Σ et son orientation. b) Calculer le flux du champ V à travers la surface orientée. Solution Retour au grain Sommaire Entrées canoniques 64 Documents Exemples

précédent suivant Exercice B.2.4 Exercice : premier bilan Calculer le flux du champ vectoriel V(x, y, z) = (y, x, y + z) à travers le triangle Σ = {2x + y + z = 2, x, y, z } ; la normale étant orientée vers les z croissants. Retour au grain Aide 1 Aide 2 Aide 3 Aide 4 Aide 5 Sommaire Entrées canoniques 65 Documents Exemples

précédent suivant Exercice B.2.5 Application à la formule de Stokes Soit Σ + le cône d équation z = 1 x 2 + y 2, z > orienté vers le haut. Soit le champ vectoriel de IR 3 défini par V(x, y, z) = ( y, x, 1 + x + y) 1. Calculer le flux du rotationnel de V à travers Σ +. 2. Retrouver le résultat en appliquant la formule de Stokes. Retour au grain Question 1 Aide 1 Aide 2 Aide 3 Aide 4 Question 2 Aide 1 Aide 2 Sommaire Entrées canoniques 66 Documents Exemples

précédent suivant Exercice B.2.6 Application à la formule d Ostrogradski Calculer le flux du champ de vecteurs de IR 3 défini par V(x, y, z) = (,, z) à travers la sphère d équation x 2 + y 2 + z 2 = 1. Solution Retour au grain Sommaire Entrées canoniques 67 Documents Exemples

précédent suivant Exercice B.2.7 Exercice difficile : pour le plaisir... Théorème B.1. (Avec les notations du théorème 2.2). Si Σ est une surface fermée, alors on a On va vérifier ce théoreme sur le cas suivant. Σ + rot V dσ = Soient le cône Σ 1 paramétrisé par Φ 1 : (θ, z) [, 2π] [, 1] x = z cos(θ) y = z sin(θ) z = z dans le sens trigonométrique. a) Tracer Σ 1. b) Déterminer une normale de Σ 1 + et vérifier si celle-ci correspond avec l orientation de Γ 1 + c) Soit V le champ de vecteur défini par V(x, y, z) = (yz, xz, ). Déterminer sa circulation le long de Γ 1 + et le flux de rot V à travers Σ 1 +. d) Soit Σ 2 la surface paramétrée par Φ 2 : (θ, ρ) [, 2π] [, 1] x = ρ cos(θ) y = ρ sin(θ) z = 1 Déterminer une normale de Σ 2 + et vérifier si celle-ci correspond avec l orientation de Γ 1 +. et Γ 1 + son bord orienté Sommaire Entrées canoniques 68 Documents Exemples.

e) Soit Σ la surface fermée définie par Σ = Σ 1 Σ 2. D après le théorème précédent, le flux du rotationnel de V à travers cette surface est nul. Tracer Σ et vérifier par le calcul. Solution Retour au grain Sommaire Entrées canoniques 69 Documents Exemples

Annexe C Les documents Table des documents C.1 : Documents du chapitre 1.................................... 71 Document C.1.1 : Masse d un fil................................ 71 Document C.1.2 : Rappels de calcul vectoriel......................... 72 C.2 : Documents du chapitre 2.................................... 75 Document C.2.1 : Règle du tire-bouchon de Maxwell..................... 75 Sommaire Entrées canoniques 7 Documents Exemples

précédent suivant C.1 Documents du chapitre 1 Document C.1.1 Masse d un fil Cours : Longueur d un arc La masse d un fil (de section constante) de longueur l et de masse linéique ρ (masse par unité de longueur) vaut m = ρl. Malheureusement, si le fil n est pas de section constante alors la masse linéique ρ n est plus contante et est une fonction d un paramètre t. Notons (I, γ) un arc géométrique dont le support γ (I) modélise notre fil, alors on admettra que m = ρ(t) γ (t) dt I Sommaire Entrées canoniques 71 Documents Exemples

précédent suivant Document C.1.2 Rappels de calcul vectoriel Cours : Champ de vecteurs et circulation Potentiel et travail Dans toute la suite, on supposera que Ω est un ouvert de l espace affine euclidien de dimension n = 3. Définition 2. Soit f une fonction de Ω dans IR différentiable. On appelle gradient de f, le champ de vecteur noté f et défini par f = ( f x i ) n i=1 Définition 21. Soit V un champ de vecteur de IR 3 dont les composantes P, Q, R sont des applications différentiables dans Ω. On appelle rotationnel de V, le champ de vecteur noté rot V et défini par R y (x, y, z) Q z (x, y, z) rot V(x, y, z) = P z (x, y, z) R x (x, y, z) Q P x (x, y, z) x (x, y, z) Si V est un champ de vecteur de IR 2, on définit son rotationnel par Sommaire Entrées canoniques 72 Documents Exemples

rot V(x, y) = Q x P (x, y) x (x, y). Définition 22. Soit V un champ de vecteur de IR 3 dont les composantes P, Q, R sont des applications différentiables dans Ω. On appelle divergence de V, la fonction noté div V et défini par div V(x, y, z) = P x (x, y, z) + Q y PETIT FORMULAIRE R (x, y, z) + (x, y, z) z (C.1) Soient c une constante, f, g deux fonctions différentiables sur Ω, U et V deux champs de vecteurs continument différentiables sur Ω. Alors, on a : i) (cf ) = c f. ii) (f + g) = f + g. iii) (fg) = f g + g f. iv) rot (cu) = c rot U. v) rot (U + V) = rot U + rot V. vi) div (cu) = c div U. vii) div (U + V) = div U + div V. Sommaire Entrées canoniques 73 Documents Exemples

viii) div (V) = V = rot U. ix) rot (V) = V = f. Sommaire Entrées canoniques 74 Documents Exemples

précédent suivant C.2 Documents du chapitre 2 Document C.2.1 Règle du tire-bouchon de Maxwell Cours : Plan tangent et vecteur normal Le sens de C est le sens de progression du tire bouchon de Maxwell dont le manche subirait la petite rotation qui amène A sur B. C B A Sommaire Entrées canoniques 75 Documents Exemples

Si le contour est orienté comme ci-dessous, alors n a le sens de progression du tire bouchon de Maxwell dont le manche tournerait dans le sens choisi. N Sommaire Entrées canoniques 76 Documents Exemples

Entrées canoniques Le gras indique un grain où le concept est défini ; l italique indique un renvoi à un exercice ou un exemple, le gras italique à un document, et le romain à un grain où le concept est mentionné. A Aire d une surface non plane................... 3 Arc paramétré................................ 1 Arcs équivalents.............................. 12 C Calcul du travail d un champ de force........... 18 Champ de vecteurs et circulation............ 17, 72 F Flux, intégrale de surface...................... 33 G Green-Riemann, Calcul d aire.................. 22 L Longueur d un arc......................... 15, 71 N Nappe et surface.............................. 26 O Ostrogradski, volume......................... 37 P Plan tangent et vecteur normal.............. 27, 75 Points et arcs................................. 11 Potentiel et travail......................... 2, 72 R Régulier, stationnaire, tangente................. 14 S Stokes....................................... 36 Sommaire Entrées canoniques 77 Documents Exemples

Solution de l exercice B.1.1 L arc paramétré de l exercice B.1.1 est a) un cercle de centre et de rayon 1 parcouru une fois donc (1, ) est un point multiple. C est un arc fermé. 1.5-1 -.5.5 1 -.5-1 b) un cercle de centre (1,2) et de rayon 1 2 multiples. parcouru deux fois donc tous les points sont

1.6 2.4 2.2 2 1.8.6.8 1 1.2 1.4 c) un parabole d équation y = t 2, t > qui est un arc simple. 1 8 6 4 2 2 4 6 8 1 Retour à l exercice

Solution de l exercice B.1.2 1. une paramétrisation possible est t [, 2π], γ(t) = (R cos(t), R sin(t)). γ( t) = ( R sin(t)) 2 + (R cos(t)) 2 2. = R 2 = R 3. L γ ([, 2π]) = 2π R dt = 2πR Retour à l exercice

Aide 1, Exercice B.1.2 Etape 1 : on détermine une paramétrisation du cercle. Retour à l exercice

Aide 2, Exercice B.1.2 Etape 2 : on calcule γ( t). Retour à l exercice

Aide 3, Exercice B.1.2 Etape 3 : on applique la formule générale (1.1). Retour à l exercice

Solution de l exercice B.1.3 Une paramétrisation possible est : t [x a, x b ], γ(t) = (t, f (t)). On calcule γ (t) = (1) 2 + (f (t)) 2 et la longueur est donc xb 1 + (f (t)) 2 dt x a ( x Application : f (x) = ach. a) a ( x ) 2dx L γ ([, a]) = 1 + sh a a ( x = ach dx a) = ash (1) Retour à l exercice

Aide 1, Exercice B.1.3 Paramétrer ce segment curviligne et appliquer la formule générale (1.1). Retour à l exercice

Aide 1, question 1, Exercice B.1.4 Une paramétrisation de l ellipse (complète) est t [, 2π], γ(t) = (a cos(t), b sin(t)) Retour à l exercice

Aide 2, question 1, Exercice B.1.4 Une paramétrisation de la demi-ellipse est t [, π], γ(t) = (a cos(t), b sin(t)). En t =, on est au point (a, ) et en t = π, on se trouve au point ( a, ), la paramétrisation est donc compatible avec l orientation de l énoncé. Calculez V(γ(t)) γ (t). Rappel si X = (X 1, X 2 ) et Y = (Y 1, Y 2 ) sont des vecteurs de IR 2 alors X Y est un scalaire qui vaut X Y = X 1 Y 1 + X 2 Y 2 Retour à l exercice

Aide 3, question 1, Exercice B.1.4 On a : γ(t) = (γ 1 (t), γ 2 (t)). V (γ 1 (t), γ 2 (t)) = V (a cos(t), b sin(t)) = ( b 2 sin(t) 2, a 2 cos(t) 2). γ (t) = ( γ 1 (t), γ 2 (t)) = ( a sin(t), b cos(t)). Par définition du produit scalaire entre les vecteurs V et γ, on obtient ( V (γ(t)) γ (t)) = b 2 sin(t) 2, a 2 cos(t) 2) ( a sin(t), b cos(t)) = ab 2 sin(t) 3 + a 2 b cos(t) 3 (C.2) Il reste à intégrer cette dernière expression entre et π. Utilisez les formules de Moivre pour linéariser sin(t) 3 et cos(t) 3. Formules de Moivre

sin(t) = e it e it 2i cos(t) = eit + e it ( 2 e it ) n = e nit Retour à l exercice

Aide 4, question 1, Exercice B.1.4 On va linéariser sin(t) 3 en utilisant les formules de Moivre : ( e sin(t) 3 it e it ) 3 = 2i = 1 (e 3it 3e 2it e it + 3e it e 2it e 3it) 8i [( = 1 e 3it e 3it) ( 3e it 3e it) ] 4 2i = 1 4 (sin(3t) 3 sin(t)) En faisant de même pour cos(t) 3, on obtient : cos(t) 3 = 1 (cos(3t) + 3 cos(t)) 4

π On obtient finalement V (γ(t)) γ (t) dt = π = ab2 4 = 4ab2 3 [ ab 2( 4 ( [ cos(3t) ) sin(3t) 3 sin(t) 3 ] π [ + 3 cos(t) + a2 b ( cos(3t) + 3 cos(t)) ] dt 4 ] π ) + a2 b ( [ ] sin(3t) π 4 3 [ + 3 sin(t) ] π ) Retour à l exercice

Aide 1, question 2, Exercice B.1.4 On a vu à la précédente question qu une paramétrisation admissible de Γ + est t [, π], γ(t) = (a cos(t), b sin(t)). Donc chaque point M d abscisse x et d ordonnée y parcourt cet arc. Exprimez x et y en fonction de t, puis déterminez la différentielle dx et dy. Retour à l exercice

Aide 2, question 2, Exercice B.1.4 On a : x(t) = a cos(t), y(t) = b sin(t). Leurs différentielles respectives sont donc dx = a sin(t)dt dy = b cos(t)dt Calculer Γ + Pdx + Qdy où P (resp. Q) désigne la première (resp. seconde) composante du champ V. Retour à l exercice

On a : P(x, y) = y 2 et Q(x, y) = x 2. Γ + Pdx + Qdy = Aide 3, question 2, Exercice B.1.4 = y 2 dx + x 2 dy Γ + ( ) a(b sin(t)) 2 sin(t) + (a cos(t)) 2 b cos(t) dt π On retrouve bien sûr la même intégrale que précédemment. Retour à l exercice

Solution de l exercice B.1.5 La paramétrisation est γ(t) = (R cos(t), R sin(t), at) avec t [, 2π] et est bien compatible avec l orientation (γ() = A et γ(2π) = B). On a : dx = R sin(t)dt, dy = R cos(t)dt, dz = a dt et on obtient W AB (V) = 2π = ar [ ] (R cos(t) + at) ( R sin(t)) + R 2 sin(t) 2 R cos(t) + (R cos(t)) a dt 2π t sin(t) dt On intègre par parties b a f (t)g (t) dt = [f (t)g(t)] b a b a f (t)g(t) dt en posant f (t) = t et g (t) = sin(t). On obtient donc W (V) = 2πaR AB Retour à l exercice

On applique la formule (C.1) et on obtient Aide 1, question 1, Exercice B.1.6 div V(x, y, z) = y Retour à l exercice

Aide 1, question 2, Exercice B.1.6 V dérive d un potentiel si et seulement si rot V =. Retour à l exercice

Aide 2, question 2, Exercice B.1.6 rot V(x, y, z) = (,, x(2α 1)) Donc rot V = = α = 1 2. Pour α = 1, il existe une fonction g telle que V = g. 2 Retour à l exercice

Donc on a f = V Aide 1, question 3, Exercice B.1.6 f (x, y, z) = ) (yx, z + x2 2, y Retour à l exercice

Aide 1, question 4, Exercice B.1.6 Comme V dérive du potentiel f, d après la relation (1.5) son travail le long d un arc orienté OA vaut W OA (V) = f (A) f (O) = 3 2 Retour à l exercice

Solution de l exercice B.1.7 A A O A 1. a) on choisit une paramétrisation du segment OA, par exemple t [, 2], γ(t) = (t, 2t). Comme cette paramétrisation est compatible avec l orientation (de O vers A) alors on applique la formule (1.3) et on a W (V) = OA Calculons V (γ(t)) γ (t). 2 V (γ(t)) γ (t) dt.

V (γ(t)) = V (γ 1 (t), γ 2 (t)) = V (t, 2t) = (t 2at, 3 2t 2t) V (γ(t)) γ (t) = (t 2at) (1) + (3 2t 2t) (2) = t 2at + 8t = 9t 2at Il ne reste plus qu à intégrer une fonction (en la variable t) élémentaire. W OA (V) = 2 = 18 4a (9t 2at) dt b) On calcul le travail sur l arc orienté paramétrisations des arcs OA et A A. Un paramétrage de l arc OA compatible est t [, 2], le long de OA est donc OA A = OA A A. On doit donc déterminer les γ(t) = (t, ). Le travail de V

W OA (V) = = = = 2 2 2 2 V (t, ) (1, ) dt (t, 2t) (1, ) dt On fait de même sur l arc A A avec la paramétrisation suivante (qui est compatible avec l orientation de l arc) t [, 4], γ(t) = (2, t). W A A (V) = = = 8 4 4 t dt V (2, t) (, 1) dt 3t 4 dt Donc le travail total de V pour aller de O à A puis à A vaut

W (V) = W OA A OA (V) + W A (V) A = 2 + 8 = 1 Remarque importante. On aurait pu choisir pour paramétrer l arc orienté A A la paramétrisation suivante t [ 4, ], α(t) = (2, t) mais dans ce cas cette paramétrisation n est pas compatible avec l orientation de l arc A A (on va de α( 4) = A à α() = A ). Il suffit d appliquer alors la formule (1.4). On obtient donc W A A (V) = = 4 4 = ( 8) = 8 V (2, t) (, 1) dt (3t + 4) dt Quelque soit la paramétrisation que vous choisissez, vérifier toujours si celle-ci est compatible avec l orientation imposé par l exercice. c) on fait de même en trouvant deux paramétrisations des arcs OA et A A.

arc OA paramétré par t [, 4], γ(t) = (, t). W (V) = 24 OA arc A A paramétré par t [, 2], γ(t) = (t, 4). W (V) = 2 8a A A Le travail total vaut donc W (V) = 26 8a OA A Conclusion : le travail pour aller de O à A dépend du chemin suivi donc le champ de force V ne dérive pas en général d un potentiel (remarque 1.6). 2. une paramétrisation du cercle orienté de centre O = (, ) et de rayon 2 est t [, 2π], γ(t) = (2 cos(t), 2 sin(t)) Rappels : cos(t) 2 dt = 1 2 (t + cos(t) sin(t)) + C. sin(t) 2 dt = 1 2 (t cos(t) sin(t)) + C.

cos(t) sin(t) dt = 1 2 sin(t)2 + C. W Cercle+ (V) = = 2π 2π = 4a 2π V (2 cos(t), 2 sin(t)) ( 2 sin(t), 2 cos(t)) dt ( ) 4a sin(t) 2 8 cos(t) 2 + 8 sin(t) cos(t) dt 2π sin(t) 2 dt 8 [ = 2a t cos(t) sin(t) = 4π (a 2) 3. Deux méthodes possibles : ] 2π 2π cos(t) 2 dt + 8 [ 4 t + cos(t) sin(t) ] 2π sin(t) cos(t) dt [ + 4 sin(t) 2] 2π (a) Si V dérive d un potentiel alors son travail est indépendant du chemin suivant et donc W (V) = W OA A OA (V) A 26 8a = 1 a = 2

(b) Le rotationnel d un champ V(x, y) = (V 1 (x, y), V 2 (x, y) de IR 2 est rot V = V 2 x (x, y) V 1 (x, y) y De plus V dérive d un potentiel si rot V = (Formule C.1.2). Calculons rot V = 2 a et donc a = 2. Dire que pour a = 2, V dérive d un potentiel f équivaut à V 1 (x, y) = V 2 (x, y) = f (x, y) x f (x, y) y Calculons f. { x 2y = f 3y 2x = x f y (x, y) (1) (x, y) (2) Intégrons (1) par rapport à x (y considéré comme une constante). f (x, y) = x2 2 2xy + g(y) où g(y) est une fonction en y. Intégrons (2) par rapport à y (x considéré comme une constante).

f (x, y) = 3y2 2 donc on obtient x2 2 Donc 2xy + h(x) où h(x) est une fonction en x. 3y2 2xy + g(y) = 2 2xy + h(x) c est-à-dire { g(y) = 3y2 h(x) = f (x, y) = x2 3y2 2xy + 2 2 + C Conclusion : si V dérive d un potentiel, on a vu que son travail est indépendant du chemin (question 1) et si le chemin est fermé (cas du cercle) alors son travail est nul (remarque 1.6). On peut vérifier ce résultat numériquement avec W Cercle+ (V) = 4π (a 2) = a = 2. 2 x2 2 Retour à l exercice

Solution de l exercice B.1.8 a) x dy = Γ + 2π = a b a cos(t) (b cos(t) dt) 2π cos(t) 2 dt [ t + cos(t) sin(t) = a b 2 = a bπ ] 2π

b) 2π y dx = Γ + = a b 2π b sin(t) ( a sin(t) dt) sin(t) 2 dt [ t cos(t) sin(t) = a b 2 = a bπ ] 2π Retour à l exercice

Solution de l exercice B.1.9 a) x 2 + y 2 2y = x 2 + (y 1) 2 1 =. On reconnait l équation d un cercle de centre A(, 1) et de rayon 1. D est donc le disque de centre A et de rayon 1 privé de sa frontière. 2 1.5 1.5 1.5.5 1 b) Une paramétrisation admissible de Γ + est donc t [, 2π], x(t) = cos(t), y(t) = 1 + sin(t). On obtient alors dx = sin(t) dt dy = cos(t) dt

Pdx + Qdy = Γ + = = = 2π 2π 2π ( ) (1 + sin(t)) cos(t) 2 sin(t) + cos(t) 2 (1 + sin(t)) 2 dt ( ) cos(t) 2 (1 + sin(t)) (1 + 2 sin(t)) dt cos 2 (t) dt + 2π ] 2π 3 cos 2 (t) sin(t) dt + [ t + cos(t) sin(t) [ ] 2π + cos 3 (t) 2 [ cos(t) sin(t) + t 2 sin(t) cos 3 (t) + 3 ] 2π 2π 2 cos 2 (t) sin 2 (t) dt = π + + π 2 = 3π 2 c) { On passe en coordonnée polaire et on obtient x = ρ cos(θ) où (ρ, θ) = [, 1] [, 2π]. y = 1 + ρ sin(θ)

On rappelle que le jacobien est J (ρ, θ) = cos(θ) ρ sin(θ) sin(θ) ρ cos(θ) = ρ Après calcul, on obtient Q P x (x, y) y (x, y) = x2 + y 2 Notons f (x, y) = x 2 + y 2 alors on a (voir Cours Intégrales Doubles) D f (x, y)dxdy = f (ρ cos(θ), 1 + ρ sin(θ)) J(ρ, θ) dρdθ

f (ρ cos(θ), 1 + ρ sin(θ)) J(ρ, θ) dρdθ = = = = 1 2π 1 2π 1 1 = 2π ( ρ 2 cos 2 (θ) + (1 + ρ sin(θ)) 2) ρd ( ) ρ 3 + ρ + 2ρ 2 sin(θ) dρdθ ( 2π (1 + ρ) + 2ρ 2 [ cos(θ)] 2π ( 2π ρ + ρ 3) dρ ( 1 2 + 1 ) 4 ) dθ = 3π 2 d) Le résultat était bien sûr attendu. C est la formule de Green-Riemann (formule 1.6). Retour à l exercice

Solution de l exercice B.2.1 En supposant que f est différentiable en (x, y ), le plan tangent admet l équation cartésienne : x x y y z z f 1 x (x, y ) = h 1 y (x, y ) soit en développant z f (x, y ) = (x x ) f x (x, y ) + (y y ) f y (x, y ) Retour à l exercice

Solution de l exercice B.2.2 a) x 2 + y 2 ax = (x a) 2 + y 2 a 2. Σ est le cylindre dont la base (dans le plan xoy) est le cercle de centre A(a, ) de rayon a et de hauteur h. Ainsi, en coordonnée polaire, on obtient comme paramétrisation 5 4 3 z 2 1 2 1 1 y 2x 1 3 2 4 Figure C.1 a = 2, h = 5

Φ(u, v) = x = a (cos(u) + 1) y = a sin(u) z = v b) On applique la formule (2.4) : a sin(u) T u (u, v) = a cos(u) Ainsi on obtient : aire de Σ = et T v (u, v) = = = 2π h 2π h 2π h = 2π a h où (u, v) [, 2pi] [, h] 1. T u (u, v) T v (u, v) dudv (a cos(u)) 2 + ( a sin(u)) 2 dudv a dudv Retour à l exercice

Solution de l exercice B.2.3 z y x On applique la formule ( (2.6) avec ε = 1) et f (x, y) = x 2 + y 2. V(x, y, f (x, y)) f x (x, y), f y (x, y), 1 = 2x 2 (x 2 + y 2 ) 2y(x 2 + y 2 ) (x2 +y 2 ) 2 2 { x = ρ cos(θ) On passe en coordonnée polaire avec (ρ, θ) [, 1] [, 2π]. y = ρ sin(θ)

Σ + V dσ = = = 1 2π 1 2π 2π ( 2ρ 4 cos(θ) 2 2ρ 3 sin(θ) ρ4 2 ( 2ρ 5 cos(θ) 2 2ρ 4 sin(θ) ρ5 2 ( 1 3 cos(θ)3 2 5 sin(θ) 1 ) dρdθ 12 ) ρ dρdθ ) dρdθ = π 2 Retour à l exercice

Aide 1, Exercice B.2.4 z 2 1 2 y x Paramétrer la surface Φ(x, y) = x y?? où?? est... Retour à l exercice

Φ(x, y) = x y 2 2x y Aide 2, Exercice B.2.4 Calculer une normale (formule (2.1)) induite par cette paramétrisation et vérifié si sa directeur coïncide avec l orientation imposée par l énoncé. Retour à l exercice

Aide 3, Exercice B.2.4 N(x, y) = (1,, 2) (, 1, 1) = (2, 1, 1) Sa directeur est compatible avec l orientation de Σ. On normalise n(x, y) = 1 N(x, y). 6 1 Il ne reste plus qu à calculer (y, x, 2 2x) (2, 1, 1) dx dy 6 Σ + Retour à l exercice

Aide 4, Exercice B.2.4 On va fixé la première variable x qui d après le dessin va de x = à x = 1. Exprimer y en fonction de x (i.e. déterminer l équation de la droite du plan xoy passant par le point (1, ) et le point (, 2). Retour à l exercice

Aide 5, Exercice B.2.4 Quand x parcourt l intervalle [, 1], y parcourt l intervalle [, 2 2x]. Σ + V dσ = 1 6 1 = 1 6 1 = 1 6 1 = 1 6 1 = 3 6 2 2x (2y + x + 2 2x) dxdy [ y 2 + (2 x)y ] 2 2x dx ( (2 2x) 2 + (2 x)(2 2x) ( ) 6x 2 + 8 14x dx ) dx Retour à l exercice

Aide 1, question 1, Exercice B.2.5 Appliquer la formule (2.5) ou la formule (2.6), donc il faut 1. Déterminer une paramétrisation du cône Φ telle que cône= Φ(D). 2. Calculer un vecteur normal unitaire. 3. Calculer l intégrale sur le domaine D. Retour à l exercice

Aide 2, question 1, Exercice B.2.5 Le cône est défini à l aide de l équation z = 1 x 2 + y 2 donc une paramétrisation est Φ(x, y) = (x, y, f (x, y)) où f (x, y) = 1 x 2 + y 2. Donc cône = f (D) (formule (2.6). ( On sait qu un vecteur normal unitaire est (formule (2.1)) alors n = f x, f y )., 1 rot V(x, y, z) = (1, 1, 2) Il reste donc à intégrer ε D rot V (x, y, f (x, y)) n dxdy On vérifie que D est le disque du plan xoy de centre O et de rayon 1 et ε = 1. Retour à l exercice

Pour intégrer Disque Aide 3, question 1, Exercice B.2.5 rot V (x, y, f (x, y)) n dxdy, paramétrer le disque en coordonnées polaire. Retour à l exercice

( x = ρ cos(θ) y = ρ sin(θ) Aide 4, question 1, Exercice B.2.5 ) avec [ρ, θ] ], 1] [, 2π]. On obtient alors disque Le calcul de rot V (x, y, f (x, y)) n dxdy = disque = = = disque 1 2π 1 1 = 2π ( x x 2 + y 2 y x 2 + y 2 + 2 ) dx dy (cos(θ) sin(θ) + 2) ρdρ dθ ( [sin(θ)] 2π + [cos(θ)]2π + 4π ) ρdρdθ 4πρdρ x dxdy n était pas nécessaire car cette fonction en la variable x 2 + y2

x est impaire et le domaine d intégration est symétrique par rapport à la droite x = donc x disque dxdy =. x 2 +y2 y Il en est de même pour le terme x 2 + y dxdy. 2 disque Retour à l exercice

Aide 1, question 2, Exercice B.2.5 Quel est le bord orienté de Σ + : ATTENTION : ne pas confondre avec le domaine D de f. Retour à l exercice

Aide 2, question 2, Exercice B.2.5 Le bord de Σ + est le centre de centre O et de rayon 1 parcouru dans le sens trigonométrique dont une paramétrisation est γ : t [, 2π] = (x = cos(t), y = sin(t), z = ). Pour calculer la circulation de V le long de ce cercle, on peut utiliser les deux méthodes suivantes : a) Calculer V (γ(t)) γ (t) (formule (1.3). b) Calculer les différentielles dx, dy et dz (voir exercice B.1.4) et appliquer la formule V 1 dx + V 2 dy + V 3 dz. Cercle On utilise la méthode b). dx = sin(t) dt dy = cos(t) dt dz = On obtient donc

Cercle V 1 dx + V 2 dy + V 3 dz = 2π = 2π ( ) sin(t) ( sin(t)) + cos(t) ( cos(t)) + dt Retour à l exercice

Solution de l exercice B.2.6 On applique le théorème d Ostrogradski (formule (2.8)). Les normales à la sphère sont supposées sortantes. Notons V la boule de centre O et de rayon 1. V dσ = Σ + = V V div V dxdydz dxdydz = Volume de la boule unité = 4π 3 Pour ceux qui ne connaissent pas le volume d une boule : il suffit de passer en coordonnée sphérique. x = ρ sin(θ) cos(φ) (ρ, θ, φ) = y = ρ sin(θ) sin(φ) où (ρ, θ, φ) ], 1] [, π] ], 2π[. z = ρ cos(θ) Le jacobien vaut det ( J ( ρ, θ, φ) ) = ρ 2 sin(θ).

V dxdydz = 1 π 2π ρ 2 sin(θ) dρdθ, dφ = 4π 3 Retour à l exercice

Solution de l exercice B.2.7 1.8.6 1.5.4 1.8.6.4.2.2.4.6.8 1.5 1 a) b) De par la paramétrisation Φ 1, un vecteur normal est z sin(θ) cos(θ) z cos(θ) n 1 = z cos(θ) sin(θ) = z sin(θ) qui ne correspond pas à l orienta- 1 z

c) tion de l arc fermé Γ 1 + paramétré par γ 1 : θ [, 2π], rot V = Γ 1 + x y 2z V (γ(θ)) γ (θ) dθ = 2π = 2π cos(θ) sin(θ) 1 ( sin(θ) sin(θ) cos(θ) cos(θ)) dθ En appliquant la formule de Stokes (2.6) (avec le signe ) car incompatiblité de l orientation, on obtient ( ) rot V dσ = V γ 1 (θ) γ 1 (θ) dθ Σ 1 + Γ 1 + = 2π d) On paramétrise Σ 2 par γ 2 : (ρ, θ) [, 1] [, 2π], ρ cos(θ) ρ sin(θ) 1.

Une normale à Φ 2 est n 2 = l orientation de l arc fermé Γ 1 +. cos(θ) sin(θ) ρ sin(θ) ρ cos(θ) = ρ qui correspond à 1.8.6.4 1.5 1.8.6.4.2.2.4.6.8 1.5 1 e) Comme Σ = Σ 1 Σ 2, on a alors d après le théorème énoncé Σ + rot V dσ = = Σ 1 + rot V dσ + Σ 2 + rot V dσ

Vérification : Σ 2 + rot V dσ = = 2π 1 2π 1 = 2π rot V 2ρdρdθ ( ) Φ 2 (ρ, θ) n 2 dρdθ Retour à l exercice