1 Alphet, mot, lngge Automte Notion de e Note de cou, IR1, 2009 Sylvin Lomdy Un lphet A et un enemle fini de ymole ppelé lette. Un mot et une uite finie de lette. On note A l enemle de mot que l on peut fome vec de lette de l lphet A. Un lngge u un lphet A et un enemle (fini ou infini) de mot de A. Exemple : 1. L lphet A 1 pemettnt d écie le mot uuel compote envion oixnte-dix lette (minucule, mjucule, lette ccentuée). L enemle de mot du fnçi et un lngge u A 1. Le mot cichon pptient à A 1 mi n et p un mot fnçi. 2. Le équence d ADN e epéentent u un lphet A 2 = {G,A,T,C}. Une équence d ADN et un mot de A 2, mi un mot de A 2 n et p focément une équence coecte. 3. On peut pende comme lphet A 3 l enemle de mot du fnçi (pluieu centine de millie de mot). Un mot et lo une uite finie d élément de cet lphet, c et donc ce qu on ppelle hituellement une phe. Le phe coecte ont un lngge u A 3. 2 Automte non déteminite Définition Un utomte (non-déteminite) A u un lphet A et défini p le élément uivnt : un enemle fini d étt noté Q ; un enemle fini E de tnition, chque tnition étnt définie p un étt de dépt p, un étt d ivée q et une étiquette pptennt à A; on note une telle tnition (p,,q). un ou-enemle de Q ppelé enemle d étt initiux noté I ; un ou-enemle de Q ppelé enemle d étt teminux noté T. Un tel utomte et noté A = Q,A,E,I,T. Aini, qund on définit un utomte, on donne ucceivement on enemle d étt, l lphet u lequel il et défini, on enemle de tnition, on enemle d étt initiux et on enemle d étt teminux. Repéenttion gphique Un utomte et epéenté comme un gphe oienté étiqueté : le étt ont de ond (à l intéieu dequel on écit le nom de l étt), le tnition ont epéentée p de flèche qui ptent de l étt de dépt et pointent u l étt d ivée, on indique u milieu de l flèche l lette qui en et l étiquette. Un étt initil et ignlé p une petite flèche qui pointe u l étt, un étt teminl p une petite flèche qui en pt (et qui pointe dn le vide). Exemple :,c,g,t,c,g,t g p q t L utomte ci-deu et l utomte A = Q,A,E,I,T, vec Q = {p,q,,}, A = {,c,g,t}, E = {(p,,p),(p,c,p),(p,g,p),(p,t,p),(p,g,q),(q,t,),(,,),(,, ),(, c, ),(, g,),(, t, )}, I = {p,q} et T = {}. On emque que i pluieu tnition ont le même étt de dépt et d ivée, on ne deine qu une flèche en indiqunt le difféent étiquette. 1
Chemin et lngge ccepté Un chemin dn l utomte et une uite de tnition conécutive, c et-à-die une uite (p 1, 1,q 1 ),(p 2, 2,q 2 ),...,(p n, n,q n ) telle que q i = p i+1. L étt de dépt du chemin et l étt de dépt de l pemièe tnition, l étt d ivée du chemin et celui de l denièe tnition. L étiquette d un chemin et le mot 1 2... n otenu en concténnt le étiquette de tnition du chemin. Un chemin et éui il commence dn un étt initil et il ive dn un étt teminl. Un tel chemin et pfoi ppelé clcul. Un mot et ccepté p l utomte il exite un chemin éui dont il et l étiquette. Le lngge econnu p l utomte et l enemle de mot ccepté p l utomte. Deux utomte ont équivlent il econnient le même lngge. Exemple : Le mot cgtg et ccepté p l utomte ci-deu c il et l étiquette du chemin éui uivnt : p c p g t q g Si on egde ttentivement l utomte, on contte que tou le chemin éui ptent de étt p ou q et ivent en. Le chemin éui ptnt de p ont exctement ceux qui ont étiqueté p un mot qui contient gt (on dit que gt et un fcteu du mot) ; ceux qui ptent de q ont étiqueté p de mot qui commencent p t (on dit que t et un péfixe du mot). Le lngge econnu p cet utomte et donc l enemle de mot u {,c,g,t} qui oit contiennent le fcteu gt, oit commencent p le péfixe t. Décide i un mot et ccepté p un utomte L lgoithme qui pemet de décide ceci conite à lie le mot lette p lette et à clcule tou le étt que l on peut tteinde à pti d un étt initil en ynt lu ce lette. Fomellement, oit w = w 1 w 2...w k un mot (w i et l i-ème lette du mot) et A = Q,A,E,I,T un utomte. On veut décide i w et ccepté p A. X i et l enemle de étt que l on peut tteinde en ynt lu w 1 w 2...w i. Clcul de X k : X 0 = I ; pou i de 1 à k X i = pou tout p dn X i 1 pou tout q tel que (p,w i,q) et dn E X i = X i {q} Le mot w et ccepté i et eulement i X k T : pou tout p dn X k i p et dn T etoune VRAI (w et ccepté) etoune FAUX L complexité de cet lgoithme et O(kn 2 ), où k et l longueu du mot et n et le nome d étt de l utomte. En effet, X i peut conteni n étt et il peut y voi n tnition ptnt de p étiquetée p w i. Étt utile, utomte émondé Un étt p d un utomte A et utile il exite un chemin éui pnt p p. Si un étt n et p utile, on peut le uppime n modifie le lngge econnu. Un utomte et émondé i tou e étt ont utile. On peut émonde un utomte en uppimnt tou e étt inutile. 3 Automte déteminite Un utomte et déteminite il n qu un eul étt initil et i, pou tout étt p, toute lette, il y u plu une tnition ptnt de p étiquetée p. 2
Exemple : L utomte péenté pécédemment n et p déteminite pou deux ion : d une pt il poède deux étt initiux p et q et d ute pt, il y deux tnition étiquetée p g qui ptent de p, l une etnt en p, l ute ivnt en q. Cet utomte et équivlent à l utomte déteminite ci-deou :,c,t c,t,c,g,t j g t l m,c k g g Dn un utomte déteminite, i on veut lie un mot donné, à ucun moment on n de choix à fie. On doit commence dn l unique étt initil, et loqu on lit une lette, il n y qu une eule tnition que l on peut empunte. Automte complet et fonction de tnition Un utomte déteminite et complet i, pou tout étt p, toute lette, il y exctement une tnition ptnt de p étiquetée p. Exemple : L utomte déteminite uivnt, u l lphet {,} n et p complet : p q En effet, l étt q ne compote p de tnition otnte étiquetée p. En joutnt un étt inutile (puit), on peut toujou ende un utomte déteminite complet :, p q puit Si A = Q,A,E, {i},t et un utomte déteminite complet, on peut défini l fonction de tnition δ, qui, étnt donné un étt p et une lette, donne le ucceeu de p p, c età-die l unique étt q tel que (p,,q) et une tnition de A : δ(p,) = q. On peut lo note A = (Q,A,δ,i,T). Décide i un mot et ccepté p un utomte Cet lgoithme, comme le pécédent conite à lie le mot à ccepte lette p lette. Soit w = w 1 w 2...w k un mot et A = (Q,A,δ,i,T). On veut décide i w et ccepté p A. p 0 = i pou i de 1 à k p i = δ(p i 1,w i ) i p k et teminl lo etoune VRAI inon etoune FAUX Cet lgoithme et linéie dn l longueu k du mot : O(k). On le voit, il et eucoup plu pide de décide i un mot et ccepté p un utomte i celui-ci et déteminite. Déteminition Il exite un lgoithme qui pemet de tnfome n impote quel utomte en utomte déteminite équivlent. Soit A = Q,A,E,I,T un utomte non déteminite. On clcul D le déteminié de A. Chque étt de D coepond à un enemle d étt de A. On veut contuie D de ote que loqu on lit un mot w à pti de l étt initil, on ive dn un étt qui coepond à l enemle de étt de A dn lequel on peut ive à pti d un étt initil de A en lint w. 3
Fomellement, l étt initil de D et (coepond à) l enemle I. Si X et un étt initil, pou chque lette, il y une tnition de X à Y étiquetée p, où Y = {q p X,(p,,q) E}. L étt X et teminl i X T. En ptique, on contuit le déteminié de fçon incémentle. Au dépt, il n y que l étt initil et on joute le étt u fu et à meue qu on en eoin. Exemple : Le déteminié du pemie utomte et :,c,t,c,t c,t,c,t p g p, g t p, t p,,,c p,q g,c p,q, g g 4 Automte vec ε-tnition Il et pfoi commode d utoie dn le utomte de tnition pticulièe ppelée ε-tnition. Ce tnition n ont p d étiquette, ou, pou ête plu exct, leu étiquette et le mot vide. Aini, l étiquette d un chemin compotnt de ǫ-tnition et le mot fomé p le lette qui étiquettent le tnition du chemin qui ne ont p de ε-tnition. Exemple : p q ε Le chemin éui p q ε et étiqueté p le mot. Cet utomte econnît le mot fomé d un loc de de longueu impie pui d un loc de de longueu pie. Suppeion de ε-tnition On peut toujou clcule un utomte équivlent n ε- tnition. Pou cel, il fut d od clcule, pou chque étt, le ε-ucceeu de chque étt p, c et-àdie l enemle de étt q tel qu il exite un chemin fomé uniquement de ε-tnition ptnt de p ivnt en q. On note cet enemle Succ ε (p). L lgoithme et enuite le uivnt : pou tout étt p pou tout étt q dn Succ ε (p) i q et finl, ende p finl pou toute tnition (q,,) ptnt de q cée l tnition (p,,) (uf i elle exite). Suppime le ε-tnition. Exemple : p ε q ε On clcule le ε-ucceeu de chque étt : Succ ε (p) = {q,}, Succ ε (q) = {}, Succ ε () =. 4
On otient l utomte non déteminite uivnt : p q Attention, pou pplique l plupt de lgoithme (déteminition, inteection,... ) il fut d od uppime le ε-tnition il y en. 5 Opétion u le lngge On conidèe un utomte A = Q,A,E,I,T qui econnît un lngge L et un utomte A = Q,A,E,I,T (u le même lphet) qui econnît un lngge L. On v voi quelle opétion u le lngge L et L peuvent ête epéentée p de utomte. Complémenttion On cheche à contuie un utomte A qui econnie le lngge L de mot qui ne ont p dn L. On clcul D l utomte déteminié complet à pti de A. Un mot w et dn L i et eulement i loqu on le lit dn D, on ive à un étt teminl. Donc il et dn L i et eulement i loqu on le lit dn D, on ive à un étt non teminl. Le lngge L et donc econnu p l utomte D, otenu à pti de D en échngent étt teminux et non teminux. Exemple : p q L utomte ci-deu econnît le mot fomé d un loc non vide de uivi d un loc non vide de. On clcule le déteminié complet : p p,q puit, On échnge étt teminux et non teminux : p p,q puit, Cet utomte econnît le complémentie du lngge de dépt. On voit qu il et cucil d utilie un utomte complet. Inteection de lngge On veut clcule un utomte qui econnie le lngge L L, c et-à-die le lngge de mot qui ont econnu à l foi p A et A. On contuit pou cel le 5
poduit de deux utomte dn lequel chque chemin coepond à une pie fomée d un chemin de chcun de deux utomte étiqueté p le même mot. Soit P = R,A,F,J,U l utomte défini p : le étt de P ont de pi d étt fomée d un étt de A et d un étt de A ; l enemle J de étt initiux et fomé de pie (p,p ), où p et initil dn A et p et initil dn A ; pou tout étt (p,p ), pou toute lette, il y une tnition (p,,q) dn A et une tnition (p,,q ) dn A, il y un étt (q,q ) dn P et une tnition de (p,p ) à (q,q ) étiquetée p ; un étt (p,p ) et teminl i et eulement i le étt p et p ont teminux. Exemple : Soit A et A le deux utomte uivnt : p q, t u Pou clcule le poduit, on plce le utomte en ligne, le pemie veticlement, le econd hoizontlement., t u p p, p,t p,u q q,t q,u,t,u On peut emque que le poduit de deux utomte déteminite et un utomte déteminite. Union de lngge On veut clcule un utomte qui econnie le lngge L L, c et-à-die le lngge de mot qui ont econnu p A ou p A (ou p le deux). L olution conite tout implement à plce le deux utomte côte à côte. On otient lo l utomte U = Q Q,A,E E,I I,T T. Poduit de concténtion Le poduit de deux lngge L et L et le lngge L.L de mot w fomé d un mot u de L et d un mot v de L. Le plu imple pou clcule un utomte qui econnie L.L et d utilie le ε-tnition. L utomte C = Q Q,A,E E T I,I,T et fomé de l juxtpoition de utomte A et A ; on plce une ε-tnition ente chque étt teminl de A et chque étt initil de A, pui eul le étt initiux de A etent initiux, eul le étt teminux de A etent teminux. Étoile de Kleene Itétion Pou tout lngge L, on peut défini L n, l n-ième puince de L, qui conite à fie n foi le poduit de concténtion de L p lui-même. L n et donc le lnge de mot qui peuvent ête découpé en n ptie pptennt chcune u lngge L. P convention (et fin d en fie un élément neute pou l multipliction), L 0 et le lngge qui contient uniquement le mot vide (c et-à-die le mot de longueu nulle). 6
L étoile de L notée L et l union (infinie) de toute le puince de L; c et le lngge de mot qui peuvent ête découpée en pluieu ptie pptennt chcune u lngge L. Si l utomte A econnît le lngge L, on otient un utomte (vec ε-tnition) econnint L en elint chque étt teminl de A à chque étt teminl de A p une ε-tnition et en joutnt un étt initil et finl. Exemple : Conidéon l utomte ci-deou :, t u Pou contuie un utomte vec ε-tnition qui econnie l étoile du lngge, on elie l étt teminl ux étt initiux : ε, t u i,ε On peut enuite uppime le ε-tnition :,, t u i, 6 Automte de poition Pou clcule l utomte de poition d une expeion, on commence p numéote chque occuence de lette. Exemple : E = ( ) (ε ) devient Ē = ( 1 2 3 ) (ε 4 ). On di que cette expeion 4 poition : {1,2,3,4} et que l lette en poition 3, p exemple, et un. On clcule u l expeion le fonction Null, Fit, Lt et Follow. Null et une fonction à vleu ooléenne qui indique i le lngge epéenté p une expeion contient le mot vide ; elle et inductivement définie p : Null( ) = Fle Null(ε) = Tue Null( p ) = Fle Null(E F) = Null(E)oNull(F) Null(EF) = Null(E)ndNull(F) Null(E ) = Tue Fit et une fonction qui etoune un enemle de poition. Elle indique où ont ituée le lette qui peuvent ppîte comme pemièe lette d un mot décit p l expeion. 7
Fit( ) = Fit(ε) = Fit( p ) = {p} Fit(E F) = Fit(E) Fit(F) { Fit(E) Fit(F) Fit(EF) = Fit(E) Fit(E ) = Fit(E) i Null(E) = Tue i Null(E) = Fle Lt et une fonction qui etoune un enemle de poition. Elle indique où ont ituée le lette qui peuvent ppîte comme denièe lette d un mot décit p l expeion. Lt( ) = Lt(ε) = Lt( p ) = {p} Lt(E F) = Lt(E) Lt(F) { Lt(E) Lt(F) Lt(EF) = Lt(F) Lt(E ) = Lt(E) i Null(F) = Tue i Null(F) = Fle Lt et une fonction qui en gument une expeion et une poition et qui etoune un enemle de poition. Elle indique où ont ituée le lette qui peuvent uive celle dont l poition et donnée en gument dn un mot décit p l expeion. Follow(,p) = Follow(ε,p) = Follow( q,p) = Follow(E,p) i p et une poition de E Follow(E F,p) = Follow(F,p) i p et une poition de F inon Follow(E,p) i p et une poition de E et p Lt(E) Follow(E, p) Fit(F) i p Lt(E) Follow(EF, p) = Follow(F,p) i p et une poition de F inon { Follow(E Follow(E,p) Fit(E) i p et une poition de E,p) = inon Pou l expeion Ē = ( 1 2 3 ) (ε 4 ), on otient Null(E) = Tue, Fit(E) = {1,2,4}, Lt(E) = {1,3,4}, et p 1 2 3 4 Follow(E, p) {1, 2, 4} {3} {1, 2, 4} Définition 1 Soit E une expeion tionnelle et [1;n] l enemle de poition de cette expeion. L utomte de poition de E et A = {i} [1; n], A, E, {i}, T, où E = {(i,, p) p Fit(E) et l lette en poition p et } {(p,,q) q Follow(E,p) et l lette en poition q et } { {i} Lt(E) i Null(E) = Tue T = Lt(E) i Null(E) = Fle 8