ELECTOTECHNIQUE Életromgnétsme hel PIOU Chptre 7 Le trnsformteur trphsé Édton 03/06/00 Extrt de l ressoure en lgne gnelepro sur le ste Internet
Tle des mtères TNSFOTEU TIPHSE EN EGIE LINEIE Le rut mgnétque du trnsformteur trphsé Indutnes et flux 4 3 odèle monophsé de hque olonne 5 4 Clul des ndutnes 6 5 Couplges 7 CE QUE J I ETENU DE CE CHPITE 9 3 POBLEES ET EXECICES 0 Chp 7 Exere : ontge trphsé ve tros trnsformteurs monophsés 0 Chp 7 Exere : Couplge d un trnsformteur trphsé Chp 7 Exere 3 : Flux et ournts dns un trnsformteur trphsé étole zg-zg Chp 7 Exere 4 : Couplge Yz d un trnsformteur trphsé 5 4 EPONSES DU CHPITE TNSFOTEU TIPHSE 6 Copyrght : drots et olgtons des utlsteurs Ce doument est extrt de l ressoure gnelepro qu est dsponle en verson numérque sur le ste Internet IUT en lgne Je ne renone ps à m qulté d'uteur et ux drots morux qu s'y rpportent du ft de l pulton de mon doument Les utlsteurs sont utorsés à fre un usge non ommerl, personnel ou olletf, de e doument et de l ressoure gnelepro, notmment dns les tvtés d'ensegnement, de formton ou de losrs Tout ou prte de ette ressoure ne dot ps fre l'ojet d'une vente - en tout étt de use, une ope ne peut ps être fturée à un montnt supéreur à elu de son support Pour tout extrt de e doument, l'utlsteur dot mntenr de fçon lsle le nom de l uteur hel Pou, l référene à gnelepro et u ste Internet IUT en lgne hel PIOU - grégé de géne életrque IUT de Nntes - FNCE
Pourquo et omment? gnelepro Chptre 7 : Le trnsformteur trphsé - L dstruton de l énerge életrque sous forme de tensons lterntves snusoïdles trphsées équlrées est très répndue Pr rpport à une dstruton monophsée, elle permet de rédure les pertes Joule en lgne Elle permet églement l utlston de mhnes tournntes trphsées qu sont nettement plus performntes que les mhnes monophsées De fçon à rédure l ntensté des ournts trnsportés (et don l seton des onduteurs), les tensons sont élevées u déprt de l entrle de produton d énerge életrque pus ssées à l rrvée u vosnge de l utlston Cette opérton néesste l utlston de trnsformteurs trphsés On trouve églement des trnsformteurs trphsés dns ertnes struture d életronque de pussne, en prtuler lorsque l utlston néesste de très sses tensons Prérequs : L mîtrse des hptres,, 4, 5 et 6 est ndspensle Erture mtrelle Somme et produt de mtres Ojetfs : Nous llons étuder les trnsformteurs trphsés en supposnt leur rut mgnétque lnére Nous pourrons ns utlser les onnssnes déjà développées pour l étude des trnsformteurs monophsés Nous étuderons des ondtons suffsntes pour qu un trnsformteur trphsé pusse être onsdéré omme l ssoton de tros trnsformteurs monophsés Et dns ette hypothèse, nous étuderons ensute les prnpux ouplges des onges éthode de trvl : En fn de hptre, le prgrphe nttulé e que j retenu de e hptre permettr de vérfer ndvduellement que les onnssnes essentelles ont en été quses Trvl en utonome : Pour permettre une étude du ours de fçon utonome, les réponses ux questons du ours sont données en fn de doument
gnelepro Chptre 7 : Le trnsformteur trphsé - TNSFOTEU TIPHSE EN EGIE LINEIE Le rut mgnétque du trnsformteur trphsé Pour rélser un trnsformteur trphsé, on peut ssoer tros trnsformteurs monophsés dentques: N N C Chun de es tros trnsformteurs possède un onge de N spres et un onge de N spres L rélutne d un rut mgnétque est o N N N N B Ces tros trnsformteurs peuvent être réuns de fçon à réer une olonne entrle unque: ϕ d ϕ C C Etlr le shém életrque équvlent de e rut mgnétque (éponse :) ϕ T ϕ B B S B C 0 et 0, quelle est l vleur du flux ϕ T dns l olonne entrle? (éponse :)
On en dédut don qu on peut supprmer l olonne entrle: gnelepro Chptre 7 : Le trnsformteur trphsé - 3 ϕ C C Les rélutnes de hque ters du rut mgnétque (fg ) sont dentques ϕ ϕ B En rélté, pour des rsons de fltés de rélston, le rut mgnétque du trnsformteur est rélsé à plt (fg ) Les rélutnes des tros olonnes ne sont ps dentques fg B Toutefos, fn de mntenr une flté de modélston, nous onserverons l hypothèse de l dentté des rélutnes ( ) ϕ ϕ B ϕ C B C fg ux futes près, l somme des flux dns les tros olonnes est néessrement nulle ( ϕ ϕb ϕc 0 ) ; même s B C 0 ou 0 Ce type de trnsformteurs est dt «à flux lés» Pour le trnsformteur de l fgure, nous rsonnerons don omme s l s gsst du trnsformteur de l fgure ( ) Un modèle est toujours une représentton smplfée de l rélté L prse en ompte de l néglté des rélutnes ondurt à une modélston trop omplquée
gnelepro Chptre 7 : Le trnsformteur trphsé - 4 Indutnes et flux Nous llons mntennt préser les reltons entre les flux totux dns les dfférents onges et les ournts qu les engendrent Les hypothèses préédentes sont mntenues: - rut mgnétque lnére - l dentté des rélutnes des tros olonnes (en que le trnsformteur sot «à plt», on rsonne omme s l étt «en étole» (vor fg -dessus)) C B B Les dfférents onges sont repérés pr l nde de leur ournt (, B, C,, et ) (Inde et mjusule pour les prmres ; nde et mnusule pour les seondres) Compléter l équton mtrelle des flux totux dns les onges prmres: On remrquer que les onges, B et C ont le même nomre de spres et qu ls «voent» le même rut mgnétque équvlent Pr onséquent: L L L B C et de même B BC C et B C B B B B B C L Et ompléter l équton mtrelle des flux dns les onges seondres: B C L (éponse 3:)
gnelepro Chptre 7 : Le trnsformteur trphsé - 5 Pour l olonne, on peut don érre: ( ) ( ) L B B C et L ( ) ( ) B C 3 odèle monophsé de hque olonne Nous llons mntennt montrer que lorsque B C 0 et 0, hque olonne du trnsformteur trphsé se omporte omme un trnsformteur monophsé Exprmer les flux totux et dns l olonne ve es hypothèses L expresson L B est ppelée ndutne propre ylque du prmre (On l noter «L C») L expresson ser notée et L ser noté L C Compléter l équton mtrelle suvnte: (éponse 4:) Cette expresson mtrelle est de même type que elle qu été otenue pour un trnsformteur monophsé (On peut fre l même hose pour l olonne «B» ou l olonne «C» Don, lorsque B C 0 et 0, hque olonne du trnsformteur trphsé se omporte omme un trnsformteur monophsé (C est une ondton suffsnte ms ps néessre ( )) prtr de l mtre ndutne de hque olonne, on peut pplquer l démrhe dérte pour le trnsformteur monophsé : Les ndutnes propres sont déomposées en ndutnes prnples et ndutnes de fute : LC LC Lf LHC Lf L H ( ) Pour trouver les ondtons néessres, l fut fre ppel à l théore des «omposntes symétrques» non ordée
gnelepro Chptre 7 : Le trnsformteur trphsé - 6 Ce qu ondut ux shéms du modèle du trnsformteur monophsé otenus dns le hptre préédent : u e L HC e m e u u u Compléter les fgures en ndqunt le nom de hque prmètre Préser les vleurs du rpport de trnsformton pr olonne «m» (éponse 5:) 4 Clul des ndutnes Les dfférentes ndutnes peuvent être lulées à prtr de l rélutne de hque olonne: ϕ N S seul le ournt n est ps nul, le flux qu psse dns une spre du onge -ontre se déompose en un flux ϕ (qu prend en ompte les lgnes de hmp qu reoulent ntégrlement dns le rut mgnétque) et un flux ϕ f (qu prend en ompte les utres lgnes de hmp) ( 3 ) Shnt que e onge N spres, exprmer ϕ en fonton de N et de l rélutne de hque olonne du rut mgnétque Le flux totl dns e onge se déompose en un flux L N ϕ f LH Lf Don N ϕ LH En dédure L H en fonton de N et (éponse 6:) N ϕ et un flux dt «de fute» ( 3 ) Dns un rut mgnétque usuel: ϕ >> ϕ f
gnelepro Chptre 7 : Le trnsformteur trphsé - 7 ϕ N N Consdérons mntennt les deux onges de l olonne du trnsformteur -ontre lorsque 0 et 0 On suppose que seul le flux ϕ trverse les N spres En dédure l ndutne mutuelle dns ette hypothèse en fonton de, et N N Proéder de même fçon pour étlr les expressons de LH, B, et En dédure les expressons de l ndutne prnple ylque du prmre LHC LH B, de et de L HC (éponse 7:) 5 Couplges Les onges prmres et les onges seondres des trnsformteurs trphsés peuvent être ouplés de tros mnères dfférentes: Couplge étole symolsé pr l lettre Y ou y Couplge trngle symolsé pr l lettre, D ou d Couplge zgzg Les onges seondres sont dvsés en deux demonges Ce ouplge est symolsé pr l lettre Z ou z Les ouplges du prmre et du seondre ne sont ps néessrement dentques On host eux en fonton de l mportne des déséqulres des ournts et de l néessté ou non d un neutre Ces dfférenes de ouplges entre le prmre et le seondre entrînent des déphsges entre les tensons prmres et seondres S elles- sont sns mportne pour un trnsformteur fontonnnt solément, on dot les prendre en ompte lors de l mse en prllèle de deux trnsformteurs L étude de es déphsges en régme de tensons lterntves snusoïdles trphsées équlrées montre que eux- sont des multples enters de π uss l usge est-l de dérre eux- pr un 6 «nde horre» (pr nloge ve le drnt d une horloge) L nde horre est un enter n tel que 0 n :
gnelepro Chptre 7 : Le trnsformteur trphsé - 8 Le déphsge d une tenson lgne seondre pr rpport à l tenson lgne de même nom u prmre est de n π en onsdérnt e déphsge dns le sens horre (et non ps dns 6 le sens trgonométrque) Pour l étude des ouplges des trnsformteurs trphsés, on se lmter ux s où hque olonne peut être onsdérée omme un trnsformteur monophsé Ces trnsformteurs monophsés seront modélsés pr un trnsformteur dél de rpport de trnsformton «m» Cette étude n est ps très omplquée s on l orde de fçon méthodque: Dsposer d un shém lr fsnt pprître les ponts de polrté Fre fgurer sur e shém les dénomntons des dfférentes tensons (tensons de lgne et tensons ux ornes des enroulements u prmre et u seondre) (Dns e doument, nous vons dopté les ndes, S et T pour les lgnes et les ndes, B et C pour les onges du trnsformteur) Utlser le lul omplexe ou les veteurs de Fresnel pour psser progressvement des tensons lgne du prmre à elles du seondre Exemple d étude de ouplge: Le trnsformteur suvnt est lmenté pr un réseu de tros tensons ( v, vs et vt ) trphsées lterntves snusoïdles équlrées de sens dret v vs vt (éponse 8:) v vb vc v v v vr vs vt Détermner le rpport de trnsformton omplexe entre phses m r et l nde horre de e trnsformteur Le rpport de trnsformton d une olonne est noté m
gnelepro Chptre 7 : Le trnsformteur trphsé - 9 CE QUE J I ETENU DE CE CHPITE ) Ce ours sur le trnsformteur trphsé ft vnt tout ppel à des nottons rgoureuses de fçon à mnpuler les multples prmètres sns tout mélnger esttuer son nom à hque prmètre su shém -ontre (éponse 9:) ) Quelle est l relton entre les flux ϕ, ϕ B et ϕ C dns un trnsformteur trphsé à tros olonnes s on néglge les futes? 3) Dns un trnsformteur trphsé à «flux lés» (tros olonnes à plt) les rélutnes des tros olonnes ne sont ps dentques (les olonnes extéreures ont une rélutne plus élevée que l olonne entrle) Pourquo les vons-nous onsdérées égles mlgré tout? 4) Pour smplfer l expresson des flux en fonton des ournts, nous vons ntrodut l noton «d ndutne ylque» L ndutne ylque n est défne que s deux ondtons sont vérfées : L premère est l églté des ndutnes mutuelles ( B BC C et ) Quelle est l seonde ondton? 5) Nous vons étl une ondton suffsnte (ms ps néessre) pour qu un trnsformteur trphsé se omporte omme tros trnsformteurs monophsés Quelle est ette ondton? 6) Pour luler les ouplges, nous vons modélsé hque olonne du trnsformteur trphsé omme un trnsformteur monophsé Quel modèle du trnsformteur monophsé vons-nous dopté? 7) Qu est-e qu un ouplge «zgzg»? 8) Que désgne le «rpport de trnsformton pr olonne : m»? Que désgne le «rpport de trnsformton omplexe : m»? 9) Qu est-e que «l nde horre»? 0) Quelles sont les étpes à effetuer pour détermner l nde horre ou le rpport de trnsformton omplexe d un trnsformteur trphsé?
gnelepro Chptre 7 : Le trnsformteur trphsé - 0 3 POBLEES ET EXECICES Chp 7 Exere : ontge trphsé ve tros trnsformteurs monophsés ve tros trnsformteurs monophsés dentques 0000 / 4, on onsttue une ssoton trphsée équlrée destnée à lmenter un four trphsé fn de smplfer l'étude, on néglger les résstnes et les rétnes de fute des onges, ns que les rétnes de mgnétston (ndutnes prnples) et les pertes fer des trnsformteurs Les tros prmres sont ouplés en trngles Ils sont lmentés pr une dstruton trphsée lterntve snusoïdle équlrée de sens dret de vleur effe 0 000 (entre phses) L tenson smple de l phse N ser prse omme orgne des phses; On poser: 0000 v ( t) os( ω t) 3 Les tros seondres sont ouplés en étole On lmente ve ette ssoton un four trphsé équlré onsttué de tros résstnes montées en trngle Le four onsomme lors une pussne tve de 336 kw ) eprésenter le shém de l'ensemle, et luler les omplexes ssoés des dfférents ournts ( dns les résstnes du four, dns les enroulements seondres, dns les fls de lgnes lmentnt les trnsformteurs ) En dédure l'expresson du ournt ( t) dns l phse de l lgne d'lmentton de l'ensemle ( 4 ) ) ême queston que ) s l'on suppose que l'une des tros résstnes du four est dentellement supprmée ( 4 ) éthode : Tensons lgne prmre tensons ux ornes des onges prmres tensons ux ornes des onges seondres (trnsformteurs déux) tensons lgne seondre ournts dns les résstnes de l hrge ournts de lgne seondre ournts dns les onges seondres ournts dns les onges prmres (trnsformteurs déux) ournts de lgne prmre
Chp 7 Exere : gnelepro Chptre 7 : Le trnsformteur trphsé - Couplge d un trnsformteur trphsé Sot le trnsformteur trphsé suvnt lmenté pr un réseu lterntf snusoïdl trphsé équlré ( v( t ), vs ( t ), vt ( t )) de sens dret Ce trnsformteur est hrgé pr tros mpédnes dentques montées en étole v vs vt v vb vc v v v vr vs vt Chque olonne de e trnsformteur se omporte omme un trnsformteur monophsé dél de rpport de trnsformton: v m - tenson ux ornes d' un enroulement seondre tenson ux ornes d' un enroulement prmre v En prennt, exprmer les omplexes ssoés à toutes les tensons représentées sur le shém -dessus En dédure le rpport de trnsformton omplexe entre tensons prmres et seondres (ndées pr l même lettre), ns que l nde horre
gnelepro Chptre 7 : Le trnsformteur trphsé - Chp 7 Exere 3 : Flux et ournts dns un trnsformteur trphsé étole zg-zg L ojetf de et exere est de détermner une ondton suffsnte pour que hque olonne d un trnsformteur trphsé Yz se omporte omme un trnsformteur monophsé Cet exere met l ent sur les notons d ndutnes propres et mutuelles ) tre ndutne d un trnsformteur monophsé à deux seondres dentques Un trnsformteur monophsé omporte un onge prmre (noté ), et deux onges seondres dentques (notés et ) (Les nottons sont hoses pour être ohérentes ve l seonde prte) Soent,, ' les flux totux dns le onge, et (l normle ux spres étnt de sens ohérent ve ) Pr onventon, les ndutnes mutuelles sont exprmées ve des flux et des ournts ohérents ve les ornes Les nottons sont les suvntes: L : ndutne propre du onge L : ndutne propre d un onge ou : ndutne mutuelle entre le onge prmre et l un des onges seondres : ndutne mutuelle entre les deux onges seondres Compléter l équton suvnte: '
gnelepro Chptre 7 : Le trnsformteur trphsé - 3 ) Trnsformteur trphsé Yz Le trnsformteur trphsé -dessus est supposé de struture symétrque de sorte qu on pusse érre les équtons mtrelles suvntes ( à ompléter ) : B C B B B B C L L L B C ' ' ' L B C
gnelepro Chptre 7 : Le trnsformteur trphsé - 4 0 C B Dns l hypothèse, exprmer: en fonton de ( ) et en fonton de et, ' en fonton de et, Compléter l équton suvnte: ' En dédure que s, hque olonne du trnsformteur trphsé Yz se omporte omme un trnsformteur monophsé 0 C B
Chp 7 Exere 4 : gnelepro Chptre 7 : Le trnsformteur trphsé - 5 Couplge Yz d un trnsformteur trphsé ) Trnsformteur monophsé à seondres en régme lnére Un trnsformteur monophsé omporte un onge prmre (noté ) de N spres, et deux onges seondres dentques (notés et ) de N spres hun (Les nottons sont hoses pour être ohérentes ve l seonde prte) Exprmer le flux ommun ϕ dns son rut mgnétque en fonton de N, N,,, et de l rélutne de son rut mgnétque Etlr l relton entre,, en onsdérnt le trnsformteur dél Préser les hypothèses néessres à ette modélston ) Trnsformteur trphsé Yz en régme lterntf snusoïdl Chque olonne du trnsformteur trphsé -dessous est onsdérée omme un trnsformteur monophsé dél tel que v v3 m v v r En respetnt les nottons du shém, exprmer s shnt que t S T v v S v T B C v v 3 v N v r v s v t En dédure le rpport de trnsformton omplexe m r et l nde horre de e trnsformteur Exprmer I I I B C en fonton de I I I En dédure l vleur de I N emrque: les ournts, et ne sont ps néessrement équlrés
4 EPONSES DU CHPITE TNSFOTEU TIPHSE gnelepro Chptre 7 : Le trnsformteur trphsé - 6 éponse : N N B N C d ϕ T etour d d d d N N N Colonne entrle éponse : On peut pplquer le théorème de Norton u shém préédent: élutne équvlente u dpôle d: d 3 Cournt (ou flux) «de ourt-rut» du dpôle d: ( ) N ( ) N B C d On en dédut pr l formule du «pont dvseur de ournt» : ϕ T N ( ) N ( ) B C d d 3 d d 3 ϕ T N ( ) N ( ) B C d 3 d S 0 et 0 ϕ 0 B C T On peut otenr le même résultt en utlsnt le théorème de llmn etour éponse 3: B C L L L B B B B B B B C etour L L L B C
gnelepro Chptre 7 : Le trnsformteur trphsé - 7 éponse 4: L B ( B C ) ( ) et L ( ) ( B C ) S B C 0 et 0, on en dédut : ( L B ) ( ) L B 443 4 44 43 4 L C et de même : ( L ) ( ) 443 LC 4443 4 D où l équton mtrelle : L C L C etour éponse 5: r L f m L f r u e L HC e m e u ve le rpport de trnsformton pr olonne : LHC m LHC (On montrer u prgrphe suvnt que s le flux de fute est fle pr rpport u flux prnpl : LHC N m ) L N HC r L f /m L f r u e L e m e HC u etour
gnelepro Chptre 7 : Le trnsformteur trphsé - 8 éponse 6: N ϕ N ϕ 3 LH N ϕ N 3 etour éponse 7: N ϕ N ϕ 3 N ϕ NN 3 En proédnt de l même fçon pour le onge, on N ϕ N otent LH (même méthode que 3 pour L H en permutnt les ndes et et les mjusules ve les mnusules) N ϕ ϕ B ϕ N ϕ B 3 B N ϕb N 3 N ϕb NN 3 En proédnt de l même fçon pour le onge, on otent On en dédut: N L HC LH B ; N L HC LH ; N 3 NN D où l expresson du rpport de trnsformton pr olonne: etour L N m H LHC N
gnelepro Chptre 7 : Le trnsformteur trphsé - 9 éponse 8: Nous llons effetuer ette détermnton pr les omplexes On peut églement l otenr pr un dgrmme de Fresnel (vor l fn de l réponse) Notons l opérteur omplexe e j 3 π L fgure -ontre représente l mge de quelques omplexes remrqules j j j j 4 3 On onstte grphquement que 0 et que 3 6 e j π Prenons (orgne des phses) S T e j T T S S C B 3 6 π m m e B C j r s t 3 6 π m e m e m r s t j j S T 3 3 6 6 π π 44 3 44 r r r r r est déphsé de 6 π pr rpport à r dns le sens horre Son nde horre est Le trnsformteur est don ouplé en Dy et son rpport de trnsformton omplexe est m m e j 3 6 π
gnelepro Chptre 7 : Le trnsformteur trphsé - 0 T C C B t r s S B On otent le même résultt ve les veteurs de Fresnel ou les omplexes : r est déphsé de π dns le sens horre pr rpport à 6 3 ; r m r m 3 etour (nde horre : ) éponse 9: ϕ ϕ B ϕ C etour v B C v