Dérouleet de l épreuve de thétiques MATHÉMATIQUES Extrit de l ote de service 2012-029 du 24 février 2012 (BOEN 13 du 29-3-2012) Durée de l épreuve : 2 heures Nture de l épreuve : écrite pr le socle cou u plier 3. Pour les cdidts de l série géérle uiqueet, les cquis à évluer se réfèret à l itégrlité du progre de l clsse de troisièe. Ds l esprit du socle cou, le sujet doit perettre d pprécier l cpcité du cdidt à obiliser ses coissces et à ettre e œuvre ue dérche scie- Le sujet est coposé de six à dix exercices idépedts. Il est idiqué u cdidt qu il peut les triter ds l ordre qui lui coviet. Les exercices correspodet ux exigeces du socle cou pour l série professioelle et portet sur différetes prties du progre de troisièe pour l série géérle. L eseble du sujet doit préserver u équilibre etre les qutre preiers ites de l copétece 3 du socle cou de coissces et de co- techologique ppliqués à l ctivité de résolutio d u problèe thétique : rechercher, extrire et orgiser l ifortio utile ; 7
Dérouleet de l épreuve de thétiques esurer, clculer, ppliquer des cosiges ; odéliser, cojecturer, risoer et déotrer ; rgueter et préseter les résultts à l ide d u lgge dpté. L essetiel de l épreuve évlue ces cpcités. U des exercices u ois pour objet ue tâche o guidée, exiget ue prise d iititive de l prt du cdidt. Le sujet doit perettre à l pluprt des cdidts d chever l épreuve ds le teps iprti. Certies questios peuvet predre l fore de questioires à choix ultiple, Les exercices peuvet predre ppui sur des situtios issues de l vie courte ou d utres disciplies. L évlutio doit predre e copte l clrté et l précisio des risoeets isi etes, êe ldroiteet forulées, serot vlorisées lors de l correctio. Doivet ussi être pris e copte les essis, les dérches eggées, êe o boutis. Les cdidts e sot iforés pr l éocé. L eploi des clcultrices est utorisé, ds le cdre de l régleettio e vigueur. Certis exercices peuvet fire u ppel explicite à l usge d ue clcultrice, ds le cdre des usges précoisés pr le progre. Ce poit est rppelé e tête du sujet. Cette utilistio e doit ps fvoriser les élèves qui possèdet u tériel perfectioé. Chque exercice est oté etre 3 et 8 poits, le totl étt de 36 poits. L ote réservés à l îtrise de l lgue. 8
1. Le théorèe de Pythgore MATHÉMATIQUES Propriété : Si u trigle est rectgle, lors le crré de l logueur de so hypotéuse est égl à l soe des crrés des logueurs des côtés de l gle droit. Doée : ABC est u trigle rectgle e A. Coclusio : 2 2 2 BC AB AC Le théorèe de Pythgore sert à clculer l logueur d u côté d u trigle rectgle lorsque l o coît les deux utres logueurs. 2. Crctériser u trigle rectgle Propriété : Si ds u trigle, le crré de l logueur d u côté est égl à l soe des crrés des logueurs des deux utres côtés, lors ce trigle est rectgle. Doée : Soit u trigle ABC. 2 2 2 BC AB AC Coclusio : ABC est u trigle rectgle e B. Ds u trigle, l églité de Pythgore peret de déotrer que ce trigle est rectgle. 9
1. Le théorèe de Pythgore À Pise vers 1200 près J.-C. (problèe ttribué à Léord de Pise, dit Fibocci, théticie itlie du Moye Âge). Ue lce, logue de 20 pieds, est posée verticleet le log d ue tour cosidérée coe perpediculire u sol. Si o éloige l extréité de l lce qui repose sur le sol de 12 pieds de l tour, de cobie desced l utre extréité de l lce le log du ur? * U pied est ue uité de esure glo-sxoe vlt eviro 30 c. Pour ue boe prtie de pêche u bord du cl, il fut u siège plit dpté! Nicols est de tille oyee et pour être bie ssis, il est écessire que l huteur de l ssise Voici les diesios d u siège plible qu il trouvé e vete sur iteret : logueur des pieds : 56 c profodeur de l ssise : 31 c L gle ACE est droit et ABCD est u rectgle. L huteur de ce siège lui est-elle dptée? F A 56 c Tour lce h 12 pieds B 31 c 34 c H E C?? G D 10 Je-Michel est propriétire d u chp, représeté pr le trigle ABC ci-dessous. Il chète à so voisi le chp djcet, représeté pr le trigle ADC. O obtiet isi u ouveu chp foré pr le qudriltère ABCD. BC = 56. AC = 65.
1. Le théorèe de Pythgore De plus, il sit que AD = 16. 1. B respectiveet égles à 33 et 63. A b. Clculer le périètre du chp ABCD. 2. Déotrer que le trigle ADC est rectgle e D. O det que le trigle ABC est rectgle e B. 3. Clculer l ire du chp ABCD. D C 4. Je-Michel veut clôturer so chp vec du grillge. Il se red chez so coerçt hbituel et tobe sur l oce suivte : Grillge : 0,85 pr ètre Cobie v-t-il pyer pour clôturer so chp? MATHÉMATIQUES Sur le dessi ci-cotre, les poits A, B et E sot ligés, et C le ilieu de [BD]. 1. Quelle est l ture du trigle ABC? 2. E déduire l ture du trigle BDE. 3. Clculer ED rrodir le résultt u dixièe. 1. Costruis u trigle ABC rectgle e C tel que AB = 10 c et AC = 8 c. 2. 3.. Plce le poit M de l hypotéuse [AB] tel que AM = 2 c. b. Trce l perpediculire à [AC] psst pr M. Elle coupe [AC] e E. c. Trce l perpediculire à [BC] psst pr M. Elle coupe [BC] e E. d. À l ide des doées de l exercice, recopie sur t copie l propositio que l o peut directeet utiliser pour prouver que le qudriltère MFCE est u rectgle. Propositio 1 : Propositio 2 : Si u qudriltère est u rectgle lors ses digoles ot l êe logueur. Propositio 3 : Si u qudriltère 3 gles droits lors c est u rectgle. A 5 3 C D 4 B 7 E 11
2. Clcul uérique : Ue frctio irréductible est ue frctio que l o e peut ps si- Propriété des produits e croix :, b, c, d désiget des obres reltifs vec b 0 et d 0. Si c lors d b c. b d Si d b c lors c. b d Propriété de l dditio (et de l soustrctio) vec u êe déoiteur : Pour dditioer (ou soustrire) deux obres reltifs e écriture frctioire yt le êe déoiteur : o dditioe (ou soustrit) leurs uérteurs ; o grde leur déoiteur cou. b, et c étt des obres reltifs ( c 0), b b et b b c c c c c c Propriété de l dditio (et de l soustrctio) vec u déoiteur différet : Pour dditioer (ou soustrire) deux frctios de déoiteur différet, o doit d bord les ettre u êe déoiteur. 12
2. Clcul uérique Propriété de l ultiplictio : Pour ultiplier deux obres reltifs e écriture frctioire : o ultiplie leurs uérteurs etre eux ; o ultiplie leurs déoiteurs etre eux. bc,, et d étt des obres (vec c 0et d 0), b b c d c d Propriété de l divisio : Pour diviser deux obres reltifs e écriture frctioire, o ultiplie le preier pr l iverse du deuxièe. MATHÉMATIQUES Puissces d expost etier positif : désige u obre etier reltif et u obre etier positif o ul. désige le produit de fcteurs égux à. fcteurs est ue puissce du obre. se lit «expost». Le obre s ppelle u expost. Covetio : Pour 0, o coviet que 0 1 Puissces d expost etier égtif : désige u obre reltif o ul et u obre etier positif. désige l iverse de Cs prticulier :. 1 1 1 1 Pour 0, 1 doc est ue utre écriture de l iverse de. 1 Propriétés des clculs vec les puissces Propriétés : Soiet et b deux obres reltifs o uls et et p deux etiers reltifs. O : p p 13
2. Clcul uérique p p p p b b b b Priorités des opértios Propriété : Pour clculer ue expressio, o effectue : tout d bord les clculs etre prethèses ; esuite les puissces ; puis les ultiplictios et les divisios ; Qud des opértios ot le êe iveu de priorité, o les effectue de guche à droite. : d u obre décil différet de 0 est l seule écriture de l fore 10 où : est u obre décil écrit vec u seul chiffre utre que 0 vt l virgule ; est u obre etier reltif. O lisse tober ue blle d ue huteur de 1 ètre. À chque rebod, elle rebodit des 3 de l huteur d où elle est tobée. 4 Quelle huteur tteit l blle u ciquièe rebod? Arrodir u c près. 14 Pour choisir u écr de télévisio, d orditeur ou ue tblette tctile, o peut s itéresser : à so fort qui est le rpport logueur de l écr lrgeur de l écr.