Lycée JNSN E SILLY 10 novembre 015 VETEURS U PLN nde 5 I NTIN E VETEUR 1 PRLLÉLGRE ÉFINITIN Un quadrilatère est un parallélogramme si, et seulement si ses diagonales ont le même milieu. parallélogramme aplati PRPRIÉTÉS Un quadrilatère est un parallélogramme si, et seulement si()//() et ()//(). ans un parallélogramme les côtés opposés ont la même longueur. RERQUE ire que dans un quadrilatère, il y a deux côtés opposés parallèles et de même longueur ne suffit pas pour conclure que ce quadrilatère est un parallélogramme. ans le quadrilatère nous avons()//() et =, pourtant n est pas un parallélogramme. SENS ET IRETIN Lorsque deux droites sont parallèles, on dit qu elles ont même direction. Une direction étant indiquée par la donnée d une droite (), il y a deux sens de parcours dans cette direction : soit de vers, soit de vers.. YLLUZ (TH@ES) Page 1 sur 19
Lycée JNSN E SILLY 10 novembre 015 VETEURS U PLN nde 5 TRNSLTIN R F S U T F 1 N Q P Le glissement qui permet d obtenir la figure F à partir de la figure F 1 peut être décrit de façon précise par trois caractères : la direction du glissement est donnée par la droite () ; le sens du glissement est celui de vers ; la distance du glissement est égale à la longueur du segment []. n dit que la figure F est l image de la figure F 1 par la translation de vecteur. RERQUE Les vecteur NS et PT sont aussi des vecteurs de la translation de vecteur, on dit qu ils sont égaux. n note alors : = NS= PT ÉFINITIN Soient et deux points du plan. La translation qui transforme en associe à tout point du plan, l unique point tel que les segments [] et [] aient le même milieu. ette translation est la translation de vecteur. as général as particuler où, et sont alignés est un parallélogramme est un parallélogramme aplati II VETEURS Un couple (,) du plan détermine un vecteur. est l origine du vecteur et est son extrémité. n le note. 1 ÉGLITÉ E EUX VETEURS eux vecteurs sont égaux s ils sont associés à la même translation.. YLLUZ (TH@ES) Page sur 19
Lycée JNSN E SILLY 10 novembre 015 VETEURS U PLN nde 5 ÉFINITIN,, et sont quatre points du plan. Les définitions suivantes sont équivalentes : = si, et seulement si, est l image du point par la translation de vecteur. = si, et seulement si, les segments [] et [] ont le même milieu. = si, et seulement si, est un parallélogramme. EXEPLE : LES TRIS PRLLÉLGRES et EF sont deux parallélogrammes. ontrons que EF est un parallélogramme. F E est un parallélogramme alors, =. EF est un parallélogramme alors, = FE. Par conséquent, = FE donc le quadrilatère EF est un parallélogramme. REPRÉSENTTIN UN VETEUR evant des égalités du type = = FE =, on dit que les vecteurs,, FE,... sont des représentants du vecteur #» u : #» u = = = FE = Le vecteur = = est appelé le vecteur nul, noté #» 0. Soit un point du plan. Pour tout vecteur #» u, il existe un un point unique tel que #» u =. #» u. YLLUZ (TH@ES) Page sur 19
Lycée JNSN E SILLY 10 novembre 015 VETEURS U PLN nde 5 Si #» u n est pas le vecteur nul, les points et sont distincts. Le vecteur #» u est caractérisé par : Sa direction : c est celle de la droite (). Son sens : c est le sens de vers. Sa norme notée #» u : c est la distance. III ITIN VETRIELLE 1 SE E EUX VETEURS Soit trois points, et. Si on applique la translation de vecteur suivie de la translation de vecteur, on obtient la translation de vecteur. Le vecteur est la somme des vecteurs et = + RELTIN E HSLES Quels que soient les points, et on a : + = RÈGLE U PRLLÉLGRE La somme + est le vecteur tel que est un parallélogramme. NSTRUTIN E L SE E EUX VETEURS Relation de hasles Règle du parallélogramme #» u + #» v #» u + #» v #» v #» v #» u #» u PRPRIÉTÉS LGÉRIQUES Quels que soient les vecteurs #» u, #» v et #» w #» u + #» v = #» v + #» u ; #» u + #» 0 = #» 0 + #» u = #» u ; ( #» u + #» v)+ #» w = #» u +( #» u + #» w). YLLUZ (TH@ES) Page 4 sur 19
#» v Lycée JNSN E SILLY 10 novembre 015 VETEURS U PLN nde 5 IFFÉRENE E EUX VETEURS PPSÉ UN VETEUR L opposé d un vecteur #» u est le vecteur noté ( #» u) tel que #» u +( #» u)= #» 0. #» u #» u NSÉQUENE L opposé du vecteur est le vecteur : = PREUVE après la relation de hasles : + = = #» 0 ÉFINITIN Étant donné deux vecteurs #» u et #» v la différence #» u #» v est le vecteur #» u +( #» v). #» u #» v #» v #» u #» v #» u Quels que soient les points, et, = N IV ULTIPLITIN UN VETEUR PR UN RÉEL 1 PRUIT UN VETEUR PR UN RÉEL k #» u #» u 5 #» u 4. YLLUZ (TH@ES) Page 5 sur 19
Lycée JNSN E SILLY 10 novembre 015 VETEURS U PLN nde 5 ÉFINITIN Soit #» u un vecteur non nul ( #» u #» 0 ) et k un réel non nul (k 0). Le produit du vecteur #» u par le réel k, noté k #» u est le vecteur caractérisé par : sa direction : k #» u a la même direction que le vecteur #» u ; as où k> 0 as où k<0 = #» u = k #» u = k #» u = #» u son sens : le vecteur k #» u a le même sens que le vecteur #» u ; sa norme : la norme du vecteur k #» u est égale au produit de la norme du vecteur #» u par le réel k k #» u =k #» u son sens : le vecteur k #» u est de sens opposé au sens du vecteur #» u ; sa norme : la norme du vecteur k #» u est égale au produit de la norme du vecteur #» u par l opposé du réel k k #» u = k #» u e qui s écrit de façon générale k #» u = k #» u et se lit : «la norme du vecteur k #» u est égale au produit de la norme du vecteur #» u par la valeur absolue du réel k» Lorsque #» u = #» 0 ou k = 0, on convient que k #» u = #» 0 : ainsi, l égalité k #» u = #» 0 ne peut se produire que lorsque #» u = #» 0 ou k=0. RERQUE Soit et deux points distincts, et k un réel donné. Il existe un unique point défini par la relation = k : est un point de la droite () a pour abscisse k dans le repère (; ) d origine [x) [] [y) x k 0 0 k 1 k 1 y PRPRIÉTÉS LGÉRIQUES Pour tous vecteurs #» u et #» v et pour tous réels k et k : k( #» u + #» v)=k #» u + k #» v ; (k+k ) #» u = k #» u + k #» u ; k #» u = #» 0 k=0 ou #» u = #» 0 VETEURS LINÉIRES ÉFINITIN eux vecteurs #» u et #» v sont dits colinéaires s il existe un réel k tel que #» u = k #» v ou #» v = k #» u. YLLUZ (TH@ES) Page 6 sur 19
Lycée JNSN E SILLY 10 novembre 015 VETEURS U PLN nde 5 RERQUES omme #» 0 = 0 #» u, le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur. eux vecteurs non nuls sont colinéaires si, et seulement si, ils ont la même direction. 4 PPLITINS GÉÉTRIQUES VE LES ILIEUX ILIEU UN SEGENT Étant donné un segment []. hacune des propriétés suivantes caractérise le milieu I du segment [] : #» 1) I = I #» #» ou ) I+ I= #» #» 0 ou ) = I #». 4) Pour tout point du plan + = I. ÉNSTRTIN 1. L égalité I #» = I #» caractérise le milieu I du segment [] (conséquence de la définition de l égalité de deux vecteurs).. I milieu du segment [] I #» = I #» I= #» I #» I+ #» I= #» #» 0. I milieu du segment [] I #» = I #» I #» = I+ #» I #» I #» = 4. Si I est le milieu du segment [], alors pour tout point + = ( I+ I #» ) ( + I+ I #» ) = I+ I+ #» I #» = I } {{ } = #» 0 Réciproquement, la propriété + = I étant vraie pour tout point on peut l appliquer au point I. Soit : #» I+ I= #» II #» = #» 0 e qui prouve que I est le milieu du segment [] THÉRÈE Soit un triangle, I et J les milieux respectifs de[] et [] alors = IJ #» ÉNSTRTIN = + = I+ #» J ( #» ) = I+ J = IJ #» PRLLÉLISE ET LIGNEENT eux droites () et () sont parallèles si, et seulement si, les vecteurs et sont colinéaires. Trois points, et sont alignés si, et seulement si, les vecteurs et sont colinéaires. ÉNSTRTIN Si()//() alors, les vecteurs et ont la même direction donc ils sont colinéaires.. YLLUZ (TH@ES) Page 7 sur 19
Lycée JNSN E SILLY 10 novembre 015 VETEURS U PLN nde 5 Réciproquement si les vecteurs et sont colinéaires alors, ils ont la même direction donc()//() et sont colinéaires signifie donc ()//(). eux droites parallèles ayant un point commun sont confondues. EXEPLES EXEPLE 1 : NSTRUTIN E PINTS La méthode pour construire un point défini par une égalité vectorielle est d obtenir une relation du type : = #» u {}}{ origine connue {}}{ vecteur connu Soit trois points non alignés, et. onstruire le point défini par = hoisissons par exemple comme «origine connue» = ( + ) = = = + = 1 = + 1 Nous pouvons construire le point : 1 1 EXEPLE : PRLLÉLISE, LIGNEENT ontrer que des points sont aligné, ou sont sur des droites parallèles, revient à montrer que des vecteurs sont colinéaires. Soit un triangle, I le milieu de [], est le symétrique de par rapport à et le point N est tel que N = 1. Les points, I et N sont-ils alignés? I 1 N. YLLUZ (TH@ES) Page 8 sur 19
Lycée JNSN E SILLY 10 novembre 015 VETEURS U PLN nde 5 I est le milieu du segment [] donc I #» = 1 est le symétrique de par rapport à donc est le milieu du segment [] d où =. Exprimons les vecteurs I et IN en fonction des vecteurs et : I = + I #» = 1 = + 1 = IN = I+ #» N = 1 + 1 insi, I = et IN = 1 1 d où I = IN. Par conséquent, les vecteurs I et IN sont colinéaires donc les points, I et N sont alignés. V RNNÉES 1 REPÈRE U PLN n appelle base tout couple i, j de vecteurs non colinéaires. ) Un repère du plan est un triplet ; i, j où est un point du plan (appelé origine du repère) et( i, j une base. y y y J J j j j i x i I x i I x Repère quelconque Repère orthogonal (I) (J) Repère orthonormé (I) (J) et I = J RNNÉES UN VETEUR Le plan est muni d un repère ; i, j. Soit u un vecteur. n appelle coordonnées du vecteur u les coordonnées du point (x; y) dans le repère x n note indifféremment u(x; y) ou u. y ; i, j tel que = u. x i y j u j i y j x i. YLLUZ (TH@ES) Page 9 sur 19
Lycée JNSN E SILLY 10 novembre 015 VETEURS U PLN nde 5 (x; y) sont les coordonnées du point dans le repère x sont les coordonnées du vecteur u dans le repère y ; i, j signifie que = x i+y j. ; i, j signifie que u=x i+y j. RERQUE Les coordonnées d un vecteur dépendent du choix du repère. EXEPLE est un parallélogramme de centre. ( ans le repère ;, ) : j (0;0), (1;0), (1;1), (0;1), ans le repère ( ;, ) : 1 et 1 i ( 1 1 ) j i (1;0), (0;1), ( 1;0), (0; 1), et 0 0 1 PRPRIÉTÉS ES RNNÉES x x Soit ; i, j un repère du plan, u et v y y deux vecteurs : u= 0 équivaut à x=0 et y=0. u= v équivaut à x=x et y=y. x+x Le vecteur u+ v a pour coordonnées y+y. pour tout réel k, le vecteur k u a pour coordonnées kx. ky. YLLUZ (TH@ES) Page 10 sur 19
Lycée JNSN E SILLY 10 novembre 015 VETEURS U PLN nde 5 RNNÉES U VETEUR Soit ; i, j un repère du plan et deux points (x ;y ) et (x ;y ). ; i, j sont ( x x y y Les coordonnées du vecteur dans le repère ). (x x ) i (y y ) j j i ÉNSTRTIN après la relation de hasles = + =. onc les coordonnées du vecteur sont x x. y y 4 RNNÉES U ILIEU UN SEGENT Soit ; i, j un repère du plan et deux points (x ;y ) et (x ;y ). Les coordonnées du milieu I(x I ;y I ) du segment [] sont : x I = x + x et y I = y + y ÉNSTRTIN I est le milieu du segment [] d où I = + soit I = 1 ( + ) 5 NITIN E LINÉRITÉ x x Soit ; i, j un repère du plan. Les vecteurs u et v y y sont colinéaires si, et seulement si, xy x y=0 ÉNSTRTIN ans le cas où l un des deux vecteurs est nul, les vecteurs sont colinéaires et la relation xy x y = 0 est vérifiée car x=y=0 ou x = y = 0. ans le cas où les deux { vecteurs sont non nuls, dire que u et v sont colinéaires signifie qu il existe un réel k x = kx tel que v = k v. Soit y ce qui équivaut à xy x y=0. = ky EXEPLE ans la figure ci-dessous, est un triangle, K est le milieu de[], L est le symétrique du point par rapport à. éterminer la position du point sur la droite () pour que les points K, L et soient alignés.. YLLUZ (TH@ES) Page 11 sur 19
Lycée JNSN E SILLY 10 novembre 015 VETEURS U PLN nde 5 K ( ans le repère ;, ) nous avons (0;0), (1;0), (0;1). Les coordonnées du point K milieu du segment [] sont K ( 1 ; 1 L est le symétrique du point par rapport à donc L=. Les coordonnées du point L sont L(;0). est un point de la droite () donc = y d où a pour coordonnées (0;y). Les points K, L et sont alignés si, et seulement si, les vecteurs LK et alculons les coordonnées des vecteurs LK et L : et xk x LK L y K y L x x L L y y L soit soit Les vecteurs LK et L sont colinéaires pour y solution de l équation : ). L L sont colinéaires. 1 LK LK 1 0 1 0 LK L y 0 y y ( ) 1 = 0 y= 1 y= insi, est le point de la droite () tel que = 6 ISTNE NS UN REPÈRE RTHNRÉ Soient (x ;y ) et (x ;y ) deux points du plan muni d un repère orthonormal donné par = (x x ) +(y y ) ; i, j, la distance est ÉNSTRTIN y y j x x i. YLLUZ (TH@ES) Page 1 sur 19
Lycée JNSN E SILLY 10 novembre 015 VETEURS U PLN nde 5 omme ; i, j est un repère orthonormal, le triangle est un triangle rectangle en. après le théorème de Pythagore : = + Soit =(x x ) +(y y ) d où = (x x ) +(y y ) EXEPLE Le plan est muni d un repère orthonormal Quelle est la nature du triangle? alculons les longueurs des trois côtés du triangle : = ( ( 1)) +( ( )) = 9+16= 5=5 = ( ( 1)) +(5 ( )) = 1+49= 50=5 = ( ) +(5 ) = 16+9= 5=5 ; i, j. n considère les points ( 1; ), (;) et ( ;5). Nous avons = + alors, d après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle en. En outre = donc est un triangle rectangle isocèle en.. YLLUZ (TH@ES) Page 1 sur 19
#» w Lycée JNSN E SILLY 10 novembre 015 VETEURS U PLN nde 5 EXERIE 1 F 1 #» u 1. Tracer la figure F image de la figure F 1 par la translation de vecteur.. Tracer la figure F image de la figure F par la translation de vecteur #» u. EXERIE onstruire un point E sur la droite et un point F sur la droite de façon que EF soit un parallélogramme. EXERIE Placer les points et N tels que = #» u + #» v et N = #» w #» v #» u #» v. YLLUZ (TH@ES) Page 14 sur 19
Lycée JNSN E SILLY 10 novembre 015 VETEURS U PLN nde 5 EXERIE 4 1. Placer les points et N tels que = + et N =.. ontrer que est le milieu du segment [N]. EXERIE 5 est un parallélogramme de centre. 1. ontrer que + + + = #» 0. En déduire que pour tout point du plan, + + + = 4. EXERIE 6 Soit un triangle. onstruire les points et N tels que + = et N+ N=. EXERIE 7 Soit un triangle et les milieux I, J, et K des côtés [],[] et []. onstruire les points et N tels que + = et N+ N=. EXERIE 8 n considère un triangle. Soit le point du plan tel que + = #» 0 1. Exprimer le vecteur en fonction des vecteurs et.. onstruire le point dans la figure ci-dessous.. YLLUZ (TH@ES) Page 15 sur 19
Lycée JNSN E SILLY 10 novembre 015 VETEURS U PLN nde 5 EXERIE 9 1. Placer les points, N et P tels que = +,. Exprimer le vecteur N en fonction des vecteurs et.. ontrer que les droites (N) et (P) sont parallèles. EXERIE 10 N = et P=. 1. est un parallélogramme. Placer les points E et F tels que E = et F =.. Exprimer les vecteurs E et F en fonction de et. En déduire que les points E, et F sont alignés. EXERIE 11. YLLUZ (TH@ES) Page 16 sur 19
Lycée JNSN E SILLY 10 novembre 015 VETEURS U PLN nde 5 est un parallélogramme. 1. Placer les points E, F et G tels que : E = 4, F= 1 et G= 1 +.. Exprimer le vecteur EF en fonction des vecteurs et.. Les points E, F et G sont-ils alignés? EXERIE 1 1. onstruire le point défini par =. Les droites () et () sont-elles parallèles? EXERIE 1 est un parallélogramme. 1. Placer les points E et F définis par les égalités : E = et F = 4 4. Les droites (E) et (F) sont-elles parallèles? EXERIE 14 Soit un triangle et le point tel que = 1 1. ontrer que = + 1. Soit N le point tel que N = +. Les points, et N sont-ils alignés? EXERIE 15 Soit un triangle. n considère les points et N tels que = et N = +. Les droites () et (N) sont-elles parallèles?. YLLUZ (TH@ES) Page 17 sur 19
Lycée JNSN E SILLY 10 novembre 015 VETEURS U PLN nde 5 EXERIE 16 1. Placer les points I, J et K tels que I #» =, J = et K milieu du segment []. (. Exprimer les coordonnées des points I, J et K dans le repère ;, ).. Les points I, J et K sont-ils alignés? EXERIE 17 Soit ; i, j un repère du plan. n considère les points ( ; ), ( 1 ; 7 ) ( et 1 ; 10 ). 1. Les points, et sont-ils alignés?. éterminer l ordonnée y du point ( 1 ) ;y tel que les points, et soient alignés. EXERIE 18 ans le plan muni d un repère ; i, j, on considère les points ( 4; 1), (;) et (4; 1). 1. Les points, et sont-ils alignés?. éterminer les coordonnées du point tel que = +. Quelle est la nature du quadrilatère? EXERIE 19 ans le plan muni d un repère Quelle est la nature du quadrilatère? ; i, j, on considère les points ( 1;), ( ; ), (7;0) et (5;4). EXERIE 0 ans le plan muni d un repère ; i, j on donne les points ( 1; 1), (; 1) et ( ; ) 1. éterminer les coordonnées du point tel que =.. éterminer les coordonnées du point P tel que + + P= #» 0.. Les points, et P sont-ils alignés?. YLLUZ (TH@ES) Page 18 sur 19
Lycée JNSN E SILLY 10 novembre 015 VETEURS U PLN nde 5 EXERIE 1 ans le plan muni d un repère 1. Soit G le point du plan tel que G+ G+ G = 0. a) ontrer que G= + +. ; i, j, on considère les points (;4), ( ;1) et (; ). b) En déduire les coordonnées du point G.. Soit I le milieu de []. ontrer que les vecteurs G et #» I sont colinéaires.. Soit J le milieu de []. Les points, G et J sont-ils alignés? 4. Que représente le point G pour le triangle? EXERIE ans le plan muni d un repère orthonormé ( ; 5). ; i, j, on considère les points (4; ), (;), ( 4; 1) et 1. a) Placer le point E tel que le quadrilatère E soit un parallélogramme. b) Les droites () et (E) sont-elles parallèles?. a) alculer les coordonnées du point milieu du segment []. b) Les points, et sont-ils alignés?. a) alculer les distances et. b) Quelle est la nature du quadrilatère? EXERIE Le plan est muni d un repère orthonormé ; i, j. La figure sera complétée tout au long des questions. ( 1. Placer les points ; 5 ) (, 4; 1 ) ( et ; 5 ).. éterminer les coordonnées du milieu I du segment [].. Le vecteur u(;4) est-il colinéaire au vecteur? au vecteur? 4. Soit ( 1;y) où y est un nombre réel. a) éterminer y pour que le point appartienne à la droite (I). Placer le point dans le repère. b) Quelle est la nature du quadrilatère? 5. Le point appartient-il au cercle de diamètre []?. YLLUZ (TH@ES) Page 19 sur 19