lasse de Seconde Géométrie vectorielle et analytique 1 Question de cours (c) Vecteurs (c) olinéarité (c) 4 Lecture graphique (c) 5 Droites/carré (c) 6 onstruction (c) 7 Equations de droites 1 (c) 8 Equations de droites (c) 9 Droites concourantes (c) Exercices orrigés 10 Equations de droites (c) 11 Equations de droites, rectangle (c) 1 Equations de droites : Th de Pappus (c) 1 Equations de droites : Quadrilatère complet (c) 14 Equations de droites : entres de gravité, régionnement (c) 15 Fabriquer un carré (c) 16 Trois carrés (c) 1 Question de cours (c) Démontrer que si les deux vecteurs u( x ; y) et v( x ' ; y ') sont colinéaires alors leur déterminant est nul Prenons deux vecteurs u( x ; y) et v( x ' ; y ') colinéaires Par définition de la colinéarité, il existe un nombre réel k tel que v = ku On a donc : x = kx et y = ky alculons, le déterminant des vecteurs u et v : Vecteurs (c) x x ' det ( u ; v ) = xy ' x ' y xky kxy kxy kxy 0 y y ' = = = = Soit un triangle quelconque le milieu de [], G le centre de gravité du triangle, D et E les points 1 1 tels que D = et E = On note I le milieu de [DE] 1 a Montrer que I = + b Exprimer ' en fonction de et c Démontrer que les points, et I sont alignés Démontrer que le point G est le milieu de [I] Prouver que les droites () et (ED) sont parallèles (en utilisant un repère) Seconde 1 F Laroche Exercices corrigés
D G ' I E 1 a Prenons le repère ( ;, ) construction on tire que b Les coordonnées de sont où a pour coordonnées (0 ; 0), (1 ; 0) et (0 ; 1) Des données de 1 E 1 ; et 1 D ;1, soit I ; ou encore I = + 1 1 ' ; d où 1 1 ' = + 1 / / c Faisons le déterminant des vecteurs : det ( ', I ) = = 0 ; on pouvait également remarquer 1 / / 4 que ' = + = I I = ' 1 1 Les coordonnées de G sont G ; d où I = G et G est le milieu de [I] 1 0 1 1 1 det, = = = + = 0 donc les droites () et (ED) sont parallèles 1 1 0 1 1 ( ED ) olinéarité (c) Soit un triangle 1 onstruire les points D et E vérifiant : D = + et E = + Montrer que D = Que peut-on en déduire géométriquement? Montrer que E = Déduire de cette égalité et de la précédente que E, et D sont alignés 4 Soit I le milieu de [] Justifier que + = I Qu en déduire pour les droites (E) et (I)? 1 facile! D = + D = + + = + + + = On en déduit que D est un parallélogramme E = + E = + + = + + = + = Seconde F Laroche
On en déduit que E = = = D : E et D sont donc colinéaires, les points E, et D sont alignés 4 omme I est le milieu de [], on a : I + I = 0 D où + = I + I + I + I = I + I + I = I On en déduit que, comme E = + = +, alors E = I Si bien que E et I sont colinéaires Les droites (E) et (I) sont parallèles 4 Lecture graphique (c) Répondez directement sur le sujet 1 En utilisant les informations données sur le dessin, déterminer une équation de chacune des droites cidessous (on donnera des valeurs exactes, pas de justification) (d1) : (d) : (d) : Les droites (d) et (d) sont elles parallèles? Pourquoi? (d1) 6 5 4 y (d) 1 (d) 0-7 -6-5 -4 - - -1 0 1 4 5 6 x 7-1 - - -4-5 -6-7 -8 Seconde F Laroche
x + 5 4 1 (d1) : passe par ( 5 ; 4) et ( 1 ; 1), équation : = x 15 4y + 16 = 0 4y + x 1 = 0 y 4 (d) : passe par (4 ; 4) et (0 ; 1), coeff directeur 4, ordonnée à l origine : 1, équation : y = x + 1 4 (d) : passe par ( 5 ; 5) et ( ; 0), coeff directeur 5 7, 5 10 0 = + p p =, équation : 7 7 Les droites (d) et (d) ne sont pas parallèles : elles n ont pas le même coefficient directeur 5 Droites/carré (c) 5 10 y = x 7 7 Soit D un carré, E le milieu de [], F le milieu de [D] On pose E = 1 1 Donner les coordonnées des points,,, D, E et F dans le repère ( ; E, F) a Ecrire l équation de la droite (F) b Soit G ; Montrer que G appartient à la droite (F) Montrer que les points D, E et G sont alignés 4 Que représente G pour le triangle D? Justifier 5 Que peut-on en déduire sur la droite ()? Justifier 1 (0 ; 0), ( ; 0), ( ; ), D(0 ; ), E(1 ; 0) et F(0 ; 1) a x 0 = 1( x ) ( ) y = x + y = 0 y 0 1 0 b On remplace x et y par les coordonnées de G : + = 6 = 0 Ok alculons les coefficients directeurs : yg ye yd ye / 0 0 / = = = Ok x x x x / 1 0 1 1 / G E D E 4 (DE) est une médiane puisque E est le milieu de [], de même (F) est une médiane donc G est le centre de gravité du triangle D 5 () est la troisième médiane puisqu elle passe par le centre du carré, soit par le milieu de [D], G et sont alignés En fait la droite () a pour équation y = x qui contient évidemment G 6 onstruction (c) Le but de l exercice est de construire un triangle à l intérieur d un triangle de sorte que - est le milieu de [ ], - est le milieu de [ ], - est le milieu de [ ] F D G E Seconde 4 F Laroche
On choisit le repère ( ;, ) : les coordonnées de sont donc (0 ; 0), celles de (1 ; 0) et celles de (0 ; 1) On pose les coordonnées de : ( a ; a '), celles de ( b ; b ') et celles de : ( c ; c ') c + 1 = a a = b b = c 1 a Montrez que puisque et c' = a' a' + 1 = b' b' = c' c + 1 = a b Résoudre le système d inconnues a, b et c : a = b b = c c Résoudre un système similaire d inconnues a, b et c l aide des résultats précédents montrez les relations suivantes : 4 1 ' = + 7 7 4 ' = + 7 7 1 ' = + 7 7 Utilisez ces relations pour construire les points, et sur la figure jointe (les vecteurs de construction doivent apparaître) 4 Vérifiez que ' = ' ' à l aide des relations du Qu en concluez-vous? Ecrivez deux autres relations que vous pourriez obtenir de la même manière 5 urieusement les triangles et ont l air semblables sur la figure Qu en pensez-vous? ' ' ' Seconde 5 F Laroche
1+ c = a c + 1 = a 1 a est le milieu de [ ] donc ; est le milieu de [ ] donc 0 + c' c' = a' = a' 0 + a 0 + b = b = c a = b b = c, enfin est le milieu de [ ] donc a' + 1 a' + 1 = b' = b' 0 + b' b' = c' = c' c + 1 = a c + 1 = 4b = 8c 1 = 7c c = 1 / 7 b a = b a = b a = b a = 4 / 7 b c b c b c = = = b = / 7 c' = a' c' = a' c' = / 7 c a' + 1 = b' a' + 1 = 4 c' = 8 a' a' = 1 /7 b' c' b' c' = = b' = 4 /7 4 1 Les coordonnées de dans le repère ( ;, ) sont donc ;, soit écrit sous forme vectorielle : 7 7 4 1 ' = + 4 De même les coordonnées de sont ; 7 7 7 7 donc 4 ' = +, enfin celles de 7 7 1 sont ; 7 7 d où 1 ' = + 7 7 ' ' ' 4 1 1 4 ' ' = ' + ' = ' ' = + = + = ' eci montre bien que 7 7 7 7 7 7 est le milieu de [ ] On a de même ' = ' ' et ' = ' ' 5 En fait ces triangles ne sont pas du tout semblables sur la figure du début on voit bien que les angles sont différents! Seconde 6 F Laroche
' ' ' 7 Equations de droites 1 (c) Dans le repère orthonormé ( O ; i, j ) on donne les points ( ; 4) et (4 ; ) a Tracez la droite () et expliquez comment obtenir une équation de cette droite par simple lecture graphique b Déterminez par le calcul une équation de la droite () c Déterminez une équation de la droite (D) parallèle à () et passant par le point (0 ; ) d Déterminez une équation de la médiane issue de dans le triangle Seconde 7 F Laroche
10 5 0-4 - 0 4 6 8-5 -10-15 -0 a L ordonnée à l origine est 10, le coefficient directeur est indiqué par les traits gras : différence des y 6 différence des x = = b x 4 = 6( x ) ( y + 4) = 6x y 0 = 0 x y 10 = 0 y + 4 ( 4) y = x + b c Même coefficient directeur : y = x + = 0 + b d On cherche le milieu de [], soit Equation de la médiane (I) : Seconde 8 F Laroche x + x y + y 5 I ; = ( ; ) x 1 1 = ( x ) 0( y + 4) = x 1 = 0 x = y + 4 5 / ( 4) 8 Equations de droites (c) Dans le plan rapporté à un repère orthonormé ( O ; i, j ), on considère les points (4 ; ), ( 4 ; 1), ( ; 8) et H( ; )
1 Faire une figure et montrer que les points, et H sont alignés a alculer les distances H, H et b Démontrer que le triangle H est rectangle en H alculer l aire du triangle 4 Soit (D) la droite qui passe par et qui est parallèle à () a Déterminer le coefficient directeur de () ou un vecteur directeur de () b Déterminer une équation de (D) 5 c Le point E 7 ; appartient-il à (D)? d Quelle est l aire du triangle E? y H E j O i x Dans le plan rapporté à un repère orthonormé ( O ; i, j ), on considère les points (4 ; ), ( 4 ; 1), ( ; 8) et H( ; ) 1, et H sont alignés : ( H ) a + 4 + 4 6 det, = = = 18 18 = 0 8 + 1 + 1 9 H = ( 4) + ( + ) = 6 + 16 = 5, = ( 4 4) + ( 1+ ) = 64 + 1 = 65 H = ( + 4) + ( + 1) = 4 + 9 = 1, b Pythagore dans H : H + H = 5 + 1 = 65 = Seconde 9 F Laroche
Le triangle a pour base et pour hauteur H Il suffit donc de calculer : = ( + 4) + (8 + 1) = 6 + 81 = 117 d où l aire du triangle : 1 H = 1 5 117 = 9 4 a Le coefficient directeur de () est y x y x 9 = = ; un vecteur directeur de () est 6 6 = 9 b (D) passe par et est parallèle à () donc elle a même coefficient directeur ou même vecteur directeur : m = / m = / * y = mx + p y = x 8 ou bien = 4 + p 8 = p x 4 6 det M, = = 9( x 4) 6( y + ) = 0 9x 6 6y 1 = 0 x y 16 = 0 y + 9 * ( ) c 5 E 7 ; appartient à (D) : 5 7 16 = 1 5 16 = 0 d L aire du triangle E est la même que celle du triangle (même base et même hauteur H) 9 Droites concourantes (c) On définit trois droites de la manière suivante : * (D 1 ) passe par ( 4 ; 1) et a pour coefficient directeur 4 ; * (D ) passe par (0 ; ) et ( ; 0) ; * (D ) est parallèle à l axe (Oy) et passe par 1 Représenter ces trois droites Ecrire une équation de chacune de ces droites Déterminer leur(s) point(s) d intersection deux à deux Sont-elles concourantes? 1 1 O 1 (D 1 ) : y = x + b et 1 = ( 4) + b b = 1+ = ; on a donc 4 4 x 0 0 (D ) : = x ( y ) = 0 x + y 6 = 0 ; y 0 y = x + 4 Seconde 10 F Laroche
(D ) : x = (D ) et (D ) se coupent en évidemment (D 1 ) et (D ) se coupent en un point U : x = et Seconde 11 F Laroche 17 y = () + = 4 4 (D 1 ) et (D ) se coupent en : est évidemment sur (D ), il est également sur (D 1 ) car lorsque x = 0, y = 0 + = 4 es trois droites ne sont évidemment pas concourantes 10 Equations de droites (c) (Tous les résultats devront être justifiés par calcul!) Placer dans un repère orthonormal les points (0 ; 1), (4 ; ) et ( ; 5) 1 est-il sur la médiatrice de []? Quelle est la nature du triangle? Quelles doivent être les coordonnées de D pour que D soit un carré? Placer D 4 Montrer que I, le milieu de [], appartient au cercle de centre et de rayon 5 Placer I 5 Soit les points E(000 ; 1000) et F(000 ; 1001) Lequel de ces deux points appartient à la droite ()? 6 Soit G(996 ; 004) et H(996 ; 005) Laquelle des droites (G) ou (H) est parallèle à la droite ()? Pour le dessin, c est facile! On rappelle la formule de la distance entre deux points : ( x x ) ( y y ) = ² + ² 1 La médiatrice de [] est l ensemble des points équidistants des points et Il suffit donc de vérifier si = = ( 4 0 ) ² + ( 1 ) ² = 0 = 5 et ( ) ( ) = 0 ² + 5 1 ² = 0 = 5 insi, = et donc le point est bien sur la médiatrice de [] D après la question précédente, est, au moins, un triangle isocèle Serait-il, de plus, rectangle en? alculons ² = ( 4 ) ² + ( 5 ) ² = 6 + 4 = 40 De même ² + ² = 0 +0 = 40 D après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle en Par conséquent, est un triangle isocèle rectangle en Etant donné que est un triangle isocèle et rectangle, il suffit de chercher les coordonnées de D pour que D soit un parallélogramme Or, D est un parallélogrammesi et seulement si = D c est-àdire et donc, ce qui donne : xd x = x x xd + = 4 0 xd = yd y = y y yd 5 = 1 yd = 7 Les coordonnées de D doivent être ( ; 7 ) 4 I est le milieu de [] ; ses coordonnées sont x I 0 + 4 = = et y I 1+ = = La distance I mesure I = ( + ) ² + ( 5 ) ² = 5 I appartient bien au cercle de centre et de rayon 5 000 4 det E ; = = 4 0 999 5 ( ) : les vecteurs E et ne sont pas colinéaires insi, les points, E et ne sont pas alignés Par conséquent, E n appartient pas à la droite () 000 4 det ( F ; ) = = 4000 4000 = 0 1000 sont alignés, F appartient à la droite () : les vecteurs F et sont colinéaires, les points, F et
998 4 det G ; = = 7996 7996 = 0 1999 6 ( ) et () sont parallèles 998 4 det ( H ; ) = = 7996 8000 = 4 0 000 droites (H) et () ne sont pas parallèles : les vecteurs G et sont colinéaires, les droites (G) : les vecteurs H et ne sont pas colinéaires, les 11 Equations de droites, rectangle (c) Soit un repère orthonormé ( O ; i, j ) dans lequel on place le carré O où a pour coordonnées (0 ; 4), (4 ; 4) et (4 ; 0) 1 E le milieu de [] et F le point tel que celles de F ( ; 0 ) F = O ; montrer que les coordonnées de E sont (4 ; ) et alculer les longueurs E, F et FE ; montrer que le triangle FE est rectangle isocèle Soit (d) la droite passant par O et parallèle à (E) et (d ) la droite (F) Déterminer une équation de (d) et une équation de (d ) ; calculer les coordonnées de leur point d intersection I Tracer (d) et (d ) et contrôler graphiquement votre résultat 8 4 4 On admet que I a pour coordonnées ; Soit G le point d ordonnée négative tel que le triangle 7 7 OFG soit rectangle isocèle de sommet F Placer G sur la figure ; déterminer les coordonnées de G et prouver que les points, I et G sont alignés 1 xe = ( 4 + 4 ) = 4 1 E le milieu de [] : ; 1 ye = ( 4 0 ) + = xf 4 0 4 xf = F = O yf 0 = 0 0 yf = 0 E = (4 0) + ( 4) = 0 ; E = F et ( ) E + F = FE F = ( 0) + (0 4) = 0 ; x 0 4 0 x 4 det OM, E = 0 = = x 4y = 0 x + y = 0 ; y 0 4 y FE = (4 + ) + ( 0) = 40 ; donc x 4 4 x 4 6 det ( M, F ) = 0 = = 4( x 4) + 6( y 4) = 0 4x + 6y 8 = 0 ; y 4 0 4 y 4 4 x + y = 0 x = y x = 8 / 7 x + y 4 = 0 4y + y 4 = 0 y = 4 / 7 4 G a évidemment pour coordonnées (, ) ; on a alors, I, G alignés : 8 / 7 0 0 8 / 7 48 48 det ( I, G ) = 0 = = = 0 4 / 7 4 4 4 / 7 6 7 7 1 Equations de droites : Th de Pappus (c) Seconde 1 F Laroche
I J K ' O ' ' On se donne les points (1 ; ), (5 ; 4), (u, v) sur () et ( ; 0), ( ; 0), (4 ; 0) On note I le point d intersection de ( ) et ( ), J celui de ( ) et ( ), K celui de ( ) et ( ) Montrer que I, J, K sont alignés (On pourra prendre u = 7 par exemple et trouver l ordonnée v de ) L équation de () est : x y + = 0 Si on prend à l abscisse u, on a On trouve les équations des six droites : ( '): x + y 4 = 0, ( ' ): 4x 7y + 8 = 0 et leur point d intersection : ( '): x + y 8 = 0, ( ' ): 5x 9y + 10 = 0 et leur point d intersection : ( '): 4x y 16 = 0, ( ' ): x y = 0 et leur point d intersection : il reste à vérifier que ces points sont alignés : est bon 16 0 yi y J 9 11 176 180 4 1 y = = = = et x 10 14 I x J 110 16 16 4 x 9 11 eci est un théorème général I I u+ y = vec u = 7, on a (7 ; 5) 10 16 I, 9 9 ; 14 0 J, 11 11 ; 14 8 K, ; 16 8 yk 9 16 4 8 1 = = = = x 10 14 K 10 4 4 9 Seconde 1 F Laroche
1 Equations de droites : Quadrilatère complet (c) G D F E O On se donne les points (6 ; 0), (4 ; 4), (1 ; ) EF DG alculer les coordonnées des points D, E, F, G Montrer que 1 EG DF = On calcule d abord les équations des droites (), (O), () et (O), () et (O) : () : x + y 1 = 0, (O) : x y = 0, () : x + 5y 18 = 0, (O) : y x = 0, () : x y + 8 = 0, (O) : y = 0 On cherche E à l intersection de (O) et () : E(0 ; 8) puis D à l intersection de (O) et () : 1 6 D ; Equation de (ED) : 9 1 7 0 5 5 x y + = On cherche F à l intersection de () et (ED) : G (18 ;18) Il reste à calculer les distances : EF DG aisément que 1 EG DF = eci est en fait une propriété générale Seconde 14 F Laroche 9 F ; et G à l intersection de (O) et (ED) : 10 5 10 DF =, DG = 6 10, EF =, EG = 10 10 et on vérifie 14 Equations de droites : entres de gravité, régionnement (c) Soit un repère orthonormal ( O ; i, j ) du plan et trois points, et définis ci-dessous 1 La droite () a pour équation y = x + ; la droite () a pour équation x + y + 6 = 0 ; les points et ont respectivement pour ordonnées 5 et 4 est le milieu de [] Déterminez les coordonnées des points,, et
Donnez les équations réduites de () et () Représentez les droites (), () et () alculez les coordonnées du point D de sorte que D soit un parallélogramme 4 Déterminez une équation de la droite (d) parallèle à () passant par et les coordonnées des points d intersection de (d) avec les axes 5 Quel est le centre de gravité du triangle? 6 (d) et (D) se coupent en E (d) et () se coupent en F Donnez les coordonnées de E et F Quelle est la nature du quadrilatère FE? 7 alculez les coordonnées de G, centre de gravité du triangle D, et déterminez le réel k tel que le point G appartienne à la droite (d ) d équation : x y + k = 0 8 Représenter graphiquement, en précisant bien les bords, l ensemble des points M dont les coordonnées x y + > 0 sont solutions du système : x + y + 6 0 x > 0 1 est à l intersection de () et () Ses coordonnées (x ; y ) sont solutions du système y = x + 0 c est-à-dire x + y + 6 = 0 x + y = x + y + 6 = 0 En additionnant les deux lignes, on trouve : y + = 0 et donc : y = 1 En reportant dans une équation, il vient x = 4 a pour ordonnée 5 et appartient à () d équation y = x + Son abscisse vaut a pour ordonnée 4 et appartient à () d équation x + y + 6 = 0 On résout l équation x+( 4)+6 = 0 ce qui donne x = x + x y + yc est le milieu de [] Ses coordonnées sont donc : ; = 5 1 ; a pour coordonnées : ( x x ; y y ) Le vecteur, ce qui donne (6 ; ) M(x ; y) appartient à () équivaut à M et colinéaires ce qui équivaut encore à déterminant( x + 4 6 M ; ) = 0, c est-à-dire = 0 ou encore (x + 4) 6(y + 1) = 0 y + 1 près simplification, l équation réduite de () est : 1 y = x Les points et ont la même abscisse La droite () est donc parallèle à l axe des ordonnées, son équation réduite est x = Pour que D soit un parallélogramme, il faut que = D ppelons xd et y D l abscisse et l ordonnée du point D Les coordonnées de sont (6 ; 6) et celles de D sont ( xd ; 4 x D ) Les vecteurs sont égaux lorsque leurs coordonnées sont égales : x D = 4 et y D = 10 ; conclusion D( 4 ; 10) 4 La droite () a pour coefficient directeur 1 (d) est parallèle à () et a donc le même coefficient directeur Son équation réduite est donc de la forme y = x + k Or (d) passe par le point y = x 5 ' 1 ; ; on trouve, en remplaçant, k = Une équation de (d) est donc : Les point d intersection avec les axes ont, soit une abscisse nulle, soit une ordonnée nulle Seconde 15 F Laroche
es points ont donc pour coordonnées : 0 ; et ; 0 5 Sur la figure, il semble que le centre de gravité du triangle soit le point O Pour le vérifier, montrons que O vérifie la relation vectorielle : O + O + O = 0, en utilisant les coordonnées O + O + O a pour coordonnées : (x + x + x ; y + y + y ) Or x + x + x = 4++ = 0 et y + y + y = 1+5 4 = 0 Donc la relation est vérifiée Le centre de gravité de est O 6 omme D est un parallélogramme, (D) et () sont parallèles D après l équation réduite de (D) est donc x = 4 (droite parallèle à l axe des orodnnées) x = 4 Les coordonnées de E vérifient donc le système, soit E( 4 ; 11/) Les coordonnées de F y = x / x = vérifient le système : F( ; 1/) y = x / Le vecteur EF a pour coordonnées : ( ( 4) ; (1/) (11/)) = (6 ; 6) Les vecteurs EF et sont donc égaux, FE est un parallélogramme 7 Soit G(x G ; y G ) le centre de gravité de D lors G + GD + G = 0 vec les coordonnées, cela se ( 4 xg ) + ( 4 xg ) + ( xg ) = 0 traduit par : ( 1 yg ) + ( 10 yg ) + ( 4 yg ) = 0 D où, après résolution des deux équations : G ( ; 5) omme G appartient à (d ), ses coordonnées vérifient l équation x y + k = 0, d où : ( ) ( 5) + k = 0 et finalement : k = 1 8 Voir le graphique (un des côtés est compris dans l ensemble cherché) 6 y 4 0-5 -4 - - -1 0-1 4 5 6 7 x -4-6 -8-10 -1 Seconde 16 F Laroche
15 Fabriquer un carré (c) T V U S R W Q O Z P On se donne les points (4 ; 0), (4 ; 4), (0 ; 4), P( ; ), Q( 1 ; ), S( ; 1), T( ; 5) U, V, W et Z sont les centres des parallélogrammes O, OTS, OSRQ, OQP Montrer que UVWZ est un carré Les milieux de chaque parallélogramme sont donc : 4 + 0 0 + 4 0 0 + 5 5 U, = (, ), V, = 1,, 1 1 W,, = 0 + 0 Z, =, 1 On calcule les longueurs 1 7 UZ = + ( 1 ) = + 9 = 4 5 1 7 = 1 + = 9 + = 4, UV ( ), etc 5 5 49 74 Il nous faut vérifier Pythagore : VZ = + 1 + 1 = + = 4 4 7 7 74 On a donc bien UZ + UV = + = = VZ 4 4 4 16 Trois carrés (c) Soit les trois carrés accolés ci-dessous : le carré direct D, le carré indirect DEF et le carré direct EFGH D E H F G Seconde 17 F Laroche
1 Reconstruire cette figure Placer le point I milieu du segment [D] et J le point d intersection des droites (H) et (D) Les points I, J et F semblent alignés On va déterminer par le calcul s ils le sont ou pas! Montrer que : J = 1 D 4 hoisir un repère judicieux (d origine (0 ; 0)) et donner les coordonnées de tous les points du plan (On ne justifiera pas sauf pour les points I et J) 5 En déduire alors par un simple calcul si les points I, J et F sont alignés 6 En déduire que la droite (H) coupe le segment [DF] en son milieu D E H I J F G 1 Facile! Idem!! Les droites (G) et (JH) sont sécantes en et les droites (J) et (GH) sont parallèles (puisque DEF et J J EFGH sont des carrés) donc d après le Théorème de Thalès, on a : = = dont on déduit que : GH G H J 1 = = GH Donc J = 1 GH omme D, DEF et EFGH sont des carrés alors GH = D d où, finalement, J = 1 D 1 1 4 Le repère qui semble le plus judicieux est le repère ;, qui donne des coordonnées entières 6 6 pour tous les points : (0 ; 6), (0 ; 0), (6 ; 0), D(6 ; 6), E(1 ; 6), F(1 ; 0), G(18 ; 0), H(18 ; 6) omme I est le milieu du segment [D], x I x + xd 0 + 6 = = = et y omme J est sur le segment [D] et que J = 1 D on obtient J(6 ; ) I y + yd 0 + 6 = = = d où I( ; ) (0 ; 6) D (6 ; 6) E H I ( ; ) J (6 ; ) (0 ; 0) (6 ; 0) F(1 ; 0) G 5 Les vecteurs IJ et IF ont les coordonnées suivantes : IJ ( ; 1) et IF (9 ; ) Seconde 18 F Laroche
On calcule : 9 det( IJ ; IF ) = 9 ( 9) 0 1 = = Donc les vecteurs IJ et IF sont colinéaires Par conséquent, les points I, J et F sont alignés 6 Dans le triangle DF, les droites (D) et (IF) sont des médianes (droites joignant un sommet et le milieu du côté opposé) et elles sont sécantes en J Or les trois médianes d un triangle sont concourantes en un point appelé centre de gravité du triangle Donc J est le centre de gravité du triangle DF et la droite (J) est une médiane Elle coupe donc le côté opposé en son milieu ilan des courses, la droite (H) coupe le segment [DF] en son milieu Seconde 19 F Laroche