Cycle réparatore Médecn-Inéneur 2011-2012 Cours de mécanque des soldes rdes erre Badel Ecole des Mnes Sant Etenne Découvrr la mécanque m de l n l néneur neur Connaître les outls mathématques matques de base pour l n l néneur neur Connaître les concepts fondamentaux de statque et dynamque des systèmes Résoudre des problèmes smples 1 Mécanque des soldes rdes Ch. 1 Introducton énérale Ch. 2 Introducton à la noton de torseur Ch. 3 Torseurs Ch. 4 Statque Ch. 5 Cnématque Ch. 6 Cnématque des lasons Ch. 7 Dynamque Ch. 8 Géométre des masses Ch. 9 Cnétque Ch. 10 Etude dynamque d un système Ch. 11 Enerétque 2 1
Ch. 1 Introducton énérale 3 Ch. 1 Introducton énérale Notons de système et de modèle Notre envronnement est fat de systèmes qu nterassent entre eux. Interactons électrques, chmques, manétques, mécanques Grande complexté! On ne peut tout prendre en compte. On ne consdère que certanes nteractons, on néle les autres. Dfférentes dscplnes de la physque. 4 2
Ch. 1 Introducton énérale Notons de système et de modèle On est toujours amenés à fare des hypothèses, lmter les études On construt des modèles Il s at d nterprétatons physques de la réalté - fondées sur des hypothèses, et - basées sur des los mathématques.? Modèle = représentaton mparfate de la réalt r alté Ils ont souvent une durée de ve lmtée Ce cours = étude des nteractons mécanques m entre soldes rdes étude de l é l état de repos/mouvement de systèmes 5 Ch. 1 Introducton énérale Hypothèses et lmtes de la mécanque classque Systèmes matérels non varables. Un système matérel est consttué d éléments ndvdualsables : les ponts matérels. Un ensemble de ponts matérels dont les dstances entre ponts sont constantes = un solde ndéformable (ou rde). La masse ne dépend que de la nature du matérau. Lmtatons (on sort du domane de valdté des modèles) : Très petts systèmes matérels. Exemple : Talle < m. Vtesses proches de celle de la lumère. Autres nteractons physques peuvent être non néleables. Applcatons Robotque, automoble, bomécanque musculo-squelettque squelettque 6 3
Ch. 1 Introducton énérale Méthodoloe énérale Dans un système, on va s nt s ntéresser à chacun des soldes : Isoler chaque solde. Analyser ses mouvements (6 ddl,, 6 paramètres). Analyser les actons mécanques m extéreures applquées sur ce solde. Analyser les relatons entre ces deux derners. Rappels mathématques Vor cours spécfque. 7 Ch. 2 Introducton à la noton de torseurs 8 4
Ch. 2 Introducton à la noton de torseur 1 Modélsaton d un d solde Défntons ont matérel orton de l espace pourvue de matère et assez pette pour être consdérée ponctuelle. Solde ndéformable Domane contenant un ensemble de ponts matérels ardant des dstances fxes entre eux au cours du temps Remarque : Il s at de modèles. Tout solde est déformable! lus ou mons Cf. second semestre ettes déformatons de surface Grandes déformatons 9 Ch. 2 Introducton à la noton de torseur 1 Modélsaton d un d solde Repérae d un solde Soent 2 soldes S et S 0 1 ndéformables On peut assocer un repère R et R 0 1 à chacun ( = 1 pont + 1 base). y 0 y 1 O1 x 1 z 0 O 0 x 0 z 1 S 1 S 0 Relatvement à R 0 : 3 paramètres de postonnement d 1 pont : O0O 1 = xx 0 + yy 0 + zz0 3 paramètres de postonnement d 1 base / l autre : par exemple, les anles d Euler. 6 paramètres nécessares n pour le repérae rae d un d solde 10 5
Ch. 2 Introducton à la noton de torseur 2 Actons mécanquesm Défnton Acton mécanque m = toute acton pouvant provoquer le mouvement d un d solde ou une déformaton d Ic, on ne s ntéresse qu aux modèles d actons assant sur les soldes ndéformables. Classfcaton des actons Actons à dstance Exemples : Actons de contact Actons mécanques ntéreures à la matère : actons de cohéson Actons mécanques extéreures = actons de lasons entre soldes 11 Ch. 2 Introducton à la noton de torseur 3 Actons mécanques m sur un pont mat. Seul effet d une d acton sur un pont = translaton (une rotaton n a pas de sens) Cette acton est une force qu tend à le déplacerd Modèle d une force Une force est caractérs rsée e par : Drecton Sens Intensté (en Newton) ont d applcaton (ou pont de passae) Remarque : l acton est dentque tout le lon de sa lne d acton (analoe avec la fcelle) Unté : Newton Somme de pluseurs forces = somme vectorelle F 2 F1 + F2 F 1 12 6
Ch. 2 Introducton à la noton de torseur 4 Actons mécanques m sur un solde Deux effets sont possbles : translaton ET rotaton Entraînement en translaton Lorsque la somme des actons se résume r à une force F 1 R F 2 Tous les ponts du solde ont tendance à suvre la translaton défne d par 13 Ch. 2 Introducton à la noton de torseur 4 Actons mécanques m sur un solde Entraînement en rotaton our le tradure, on utlse le vecteur moment en Q Q h L F Le moment (acton d entra d entraînement nement en rotaton) est d autant d plus fort que F est rand M Q =QH. F = Q.sn Q, F. F Le bras de lever QH est rand Cas énéral traducton vectorelle M(Q) = Q F 14 7
Ch. 2 Introducton à la noton de torseur 4 Actons mécanques m sur un solde Acton de n forces La somme des actons mécanques, m en un pont, est donnée e par : Une résultante Un moment résultant R = F M Q = M ( Q) Ce couple sufft à détermner totalement l acton l mécanque m en un pont d un d solde. Le modèle alébrque correspondant à l assocaton de ces deux champs est celu du torseur 15 Ch. 2 Introducton à la noton de torseur 5 Compléments ments sur les moments Moment d un vecteur lé (= bpont = vecteur + pt. d applcaton) ar défnton d : M(Q) = Q F Moment d un vecteur lssant (= vecteur + drote d applcaton) our tout et j : M(Q) = Q+ F=Q F j M( Q ) Q j F H Relaton de champ de moment Relaton entre les moments en 2 ponts quelconques F M( A) = AB+B F = M( B)+ AB F On défnt en tout pont de l espace un champ de moment s on a cette relaton pour 2 ponts A et B quelconques 16 8
Ch. 3 Torseurs 17 Ch. 3 Torseurs 1 Défntons Défntons On appelle torseur la superposton de 2 champs de vecteurs : Un champ unforme R Un champ de moment M { } On note T le torseur et { T } A son représentant en A : R { T } A = M( A) R et M sont les éléments de réducton du torseur. Remarque mportante : s on connaît t un torseur en un pont alors on peut l exprmer en tout pont ( avec la relaton de champ de moment) 18 9
Ch. 3 Torseurs 2 Opératons sur les torseurs Opératons sur les torseurs Ealté Eléments de réducton éaux AU MEME OINT Somme Somme des éléments de réducton AU MEME OINT Multplcaton par un scalare Comoment de 2 torseurs Scalare défn par : R 1 = R2 = M1 A = M2 A { T } { T } 1 2 { T } { T } λ 1 A 2 A { } T 1 A R 1 + R 2 + = M1 ( A ) + M2 ( A) λr 1 = λm1 ( A) { T } { T } = R.M ( A ) + R.M ( A) 1. A 2 A 1 2 2 1 Remarque : le comoment est ndépendant du pont de calcul 19 Ch. 3 Torseurs 3 Invarants 3 Invarants Vectorel La résultante R est un champ unforme. Scalare L automoment R.M reuve est un nvarant. 20 10
Ch. 3 Torseurs 3 Torseurs partculers (automoment( nul) Glsseur Couple S la résultante r est nulle, est un torseur couple Remarque : le moment est alors le même partout. { T } S l exste un pont où o le moment s annule, s est un lsseur = modèle d une d force R Remarque : En un pont quelconque Q, { T } = Q M ( Q ) 0 { T } Nul S R = M Q = 0 Remarque : l est nul partout. 21 Ch. 3 Torseurs 4 roprétés s du champ de moment Equprojectvté ar défnton d : M(A) = M(B) + AB R Rem : Tout champ équprojectf est un champ de moment. M( B) M( A) B A 22 11
Ch. 3 Torseurs 4 Axe central d un d torseur Défnton L axe central du torseur { T } est l ensemble l des ponts I tels que M(I) sot colnéare à R. roprétés Le moment est mnmum sur l axe l central du torseur. Recherche de l axe l central cf. TD. 23 Ch. 4 Statque 24 12
Ch. 4 Statque 1 rncpe d éd équvalence rncpe d équvalence Le comportement en un pont A d un d solde soums à n actons est défn d par R = F M( A ) = A F Les effets des n actons sont les mêmes que ceux nduts par ce c e torseur F 1 F 3 A F 2 F j M( A) R A 25 Ch. 4 Statque 2 Torseurs d actons d assocés s aux lasons normalsées Défnton On appelle lason tout ce qu restrent le mouvement d un d solde par rapport à un autre. Dans le cas des lasons normalsées, on assoce un repère prvlé é dans lequel le torseur des actons mécanques m aura une forme ben défne. d 26 13
Ch. 4 Statque 2 Torseurs d actons d assocés s aux lasons normalsées Contact ponctuel (d axe z) S 1 est en contact ponctuel avec S 2 en un pont A s les soldes sont en contact sur des surfaces parfatement lsses («( aucune ruosté»). La résultante r des actons de contacts est portée e par la normale commune n 12 au pont de contact. x A y z Le torseur des actons de lason de S sur S 2 1 écrt au centre A de la lason a la forme caractérstque rstque suvante : { F2 1} 2 1 2 1 A Rx 0 = R = 0 M A = 0 0 0 27 Ch. 4 Statque 2 Torseurs d actons d assocés s aux lasons normalsées Lason pvot lssant (d axe x) Interdt les mouvements suvants : Translatons selon y et z Rotatons autour de y et z y A z x Torseur des actons de lason de S sur S 2 1 écrt en un pont A de l axe l : 0 0 = R = R M A = M Rz M z { F } 2 1 A 2 1 y 2 1 y «R y s oppose aux translatons selon l axe y» «M z s oppose aux rotaton autour de l axe z» 28 14
Ch. 4 Statque 2 Torseurs d actons d assocés s aux lasons normalsées Lason sphérque (ou rotule) Interdt toutes les translatons. Toutes les rotatons sont possbles. y A z x Torseur des actons de lason de S sur S 2 1 écrt au centre de la lason { F2 1} 2 1 y 2 1 A Rx 0 = R = R M A = 0 Rz 0 Cette lason ne peut pas transmettre de moment. 29 Ch. 4 Statque 30 15
Ch. 4 Statque 3 Schématsaton On modélse le comportement des éléments technoloques que l on l veut étuder. Schéma technoloque On peut avor pluseurs lasons entre 2 soldes. Exemple d utlsaton : calcul d efforts dans des roulements. Schéma cnématque (des mouvements) Unquement les modèles de lasons qu permettent de mettre en équaton les los de mouvement. Exemple d utlsaton : détermner les los de mouvement. Celu que l on va utlser pour les études cnématques 31 Ch. 4 Statque 4 rncpe fondamental de la statque (FS) Hypothèses et défntons On ne consdère que des soldes ndéformables formables. Un solde ou un système de soldes est en équlbre statque s aucune de ses partes ne se trouve en mouvement par rapport à un observateur terrestre. Un solde ou un système de soldes est à l é état statonnare s l ne subt aucune varaton de vtesse par rapport à un observateur terrestre. Champ d applcaton : les los de la statque s applquent s dans la majorté des cas, au champ d observaton d terrestre, laboratore, ateler 32 16
Ch. 4 Statque 4 rncpe fondamental de la statque (FS) FS On soustrat le solde à son envronnement, on modélse les actons extéreures par le torseur des actons mécanques extéreures. S 1 S Σ 2 Σ Un solde est en équlbre statque { F } = 0 0 Σ Σ A Condton nécessare mas non suffsante pour un système de soldes (ex : cseaux) Un système est en équlbre statque chacune de ses partes est en équlbre 33 Ch. 4 Statque 4 rncpe fondamental de la statque (FS) rncpe des actons mutuelles (récprocté) Σ S 1 S 2 { F } = { 0} Σ Σ { F } { } S1 S1 { F } = { 0} S2 S2 FS = 0 { F S } 1 S1 { F S S } 2 2 =... =... { FS } { } 1 S = F 2 S2 S1 Exemple : deux soldes en contact ponctuel S 1 S 2 34 17
Ch. 4 Statque 4 rncpe fondamental de la statque (FS) Cas partculers du FS Solde soums à 2 forces F 1 A B F 2 Ecrre les condtons d équlbre du solde au pont A Solde soums à 2 forces FS Forces colnéares, de sens opposées, de même norme 35 Ch. 4 Statque 4 rncpe fondamental de la statque (FS) Cas partculers du FS Solde soums à 3 forces coplanares F 1 A F 2 B I C F 3 Ecrre les condtons d équlbre solde au pont I ntersecton des drectons de F 1 et F 2 Solde soums à 3 forces FS Forces concourantes, de somme vectorelle nulle. 36 18
Ch. 4 Statque 4 rncpe fondamental de la statque (FS) Cas énéral our un système S, les condtons d é d équlbre vont se tradure par : Deux équatons vectorelles = 6 équatons en projecton pour détermner les paramètres nconnus R.x = 0 M.x = 0 R=0 R.y = 0 et M=0 M.y = 0 R.z = 0 M.z = 0 Dans le plan, Il n y en a plus que tros. On ne peut résoudre r le problème que s l on l a autant d é d équatons que d nconnues d 37 Ch. 4 Statque 5 Etude d un d problème de statque Chox du système Smplcté de mse en œuvre (formulaton) Recherche des actons nconnues Fasablté de la résoluton Méthode Défnr le système solé Blan des actons extéreures à détaller sous forme de torseur (connues, nconnues, dstance, contact) Ecrre les équatons d équlbre Résoudre le système, détermner les nconnues. 38 19
Ch. 4 Statque 5 Etude d un d problème de statque Exemple de résoluton raphque Effort nécessare pour couper le boulon 1500 dan Lasons parfates Détermner l effort de compresson sur la vs 39 F 3 1 F 2 1 40 20
41 F = F 3 1 1 3 F 1 3 42 21
F 2 3 F 5 3 F 1 3 43 F F 4 2 1 2 F 3 2 44 22
F 6 4 F 2 4 F 7 4 45 F 4 6 F 6 vs 46 23
Ch. 4 Statque 5 Etude d un d problème de statque Exemple de résoluton analytque Un couple pur s exerce sur l arbre récepteur 1. Enrenae en C : relaton connue entre F x, F y et F z (l sufft d en connaître une). Détermner toutes les actons sur l arbre. b a r y D E F y F x C Fz x z 47 Ch. 5 Cnématque 48 24
Ch. 5 Cnématque 1 Introducton Défntons Rappels ont matérel : porton de l espace pourvue de matère, assez pette pour être consdérée comme ponctuelle Solde rde ou ndéformable : domane D de l espace contenant un ensemble de ponts matérels ardant des dstances constantes entre eux. On peut donc nstaller un repère sur D Temps : t supposé s écouler de manère dentque pour tous les soldes Cnématque : Etude des mouvements ndépendamment de leur causes. 49 Ch. 5 Cnématque 1 Introducton Repérae On utlse des repères orthonormés drects (r.o.n.d = 1 pont + 1 base o.n.d) x 1 Repérae donné par : our un pont (dans R 0 ) : O = xx + yy + zz 0 0 0 0 O 0 x 0 y 0 z 0 y 1 O 1 z 1 our un solde S 1 : poston de O : O O = x O, y O, z O ( ) 1 0 1 1 1 1 6 paramètres orentaton /R 0 : paramètres d'euler ou autres Mouvement On aura mouvement de S /S j s un des paramètres vare avec t. L étude du mouvement se fat en reardant les varatons de x(t), y(t) θ(t) Mouvement = noton relatve! On étude le mouvement d un d repère par rapport à un autre 50 25
Ch. 5 Cnématque 1 Introducton Dfférents types de ponts ont lé (à un solde ou repère) re) ont qu reste fxe par rapport à un solde S j donné. = pont matérel. ont éom ométrque ont dont la poston est défne éométrquement. Ex : pt de contact entre 2 soldes, ntersecton de 2 drotes ont coïncdent Sot M(t) moble / repère R. A l nstant t, M correspond à un pont de R (fxe dans R). Le pont M de R coïncde avec à l nstant t. t - t R oston de M(t) M- t R M t + t R M+ Trajectore Sot M j moble dans R. Sa trajectore dans R est l ensemble des ponts coïncdents à j dans R. R M j (t) 51 Ch. 5 Cnématque 2 Cnématque du pont Vtesse Défnton Sot moble / repère R. Sa vtesse est défne par : ' d V( / ) = lm = lm = O t 0 t t 0 t dt Notaton compact : V = d O dt R O (t) (t+ t) Remarque : Défnton ndépendante de O pourvu qu l sot fxe dans R. Expresson : O = xx + yy + zz V = d O dt dx dy dz = x + y + z dt dt dt V ( ) = x x + y y + z z 52 26
Ch. 5 Cnématque 2 Cnématque du pont Accélératon Défnton Sot moble / repère R. Son accélératon est défne par : V ( ' ) - V ( ) d Γ( / ) = lm = V ( ) t 0 t dt Notaton compact : V ( ) Γ = d dt R O V ( ) V ( ' ) Expresson : à partr de celle de V Γ ( ) = x x + y y + z z 53 Ch. 5 Cnématque 3 Cnématque du solde ett déplacement d un solde S j /R j R A 1 t B 1 A 2 B B 2 = B B 1 A A 2 + A 2 θ 1 B 2 θ A 2 2 B'B = θ AB Le pont B se déplace d de : Sot : Ou : B1B 2 = B1B' + B'B2 = A A + B'B 1 2 2 B = A + θ AB B = A + BA θ j j Relaton de champ de moment! On peut défnr d : θ j Le torseur des petts déplacements : { j } = 54 27
Ch. 5 Cnématque 3 Cnématque du solde Champ des vtesses Vecteur rotaton A partr de la défnton : k V k = lm t 0 t O t k = lm + ko k lm t 0 t 0 θ t V O k Ω : vecteur rotaton nstantanée k Notaton : Ω k =Ωk : vecteur rotaton nstantanée du solde S k par rapport à R Il vent donc : V = V O + O Ω k k k k k 55 Ch. 5 Cnématque 3 Cnématque du solde Torseur cnématque Le champ des vtesses est un champ de moment. Ω k est assmlable à R. On défnt les vtesses d un solde par le torseur cnématque : Ω k V k = k V k k = Vk O k + ko k Ωk { } Equprojectvté des vtesses On retrouve cette proprété des champs de moment : te 2 te (,Q ) S, Q =c Q = c En dérvant par rapport à t : Sot : Ex : Belle manvelle k d 2Q. Q = 0 dt d d Q. O + OQ = 0 dt dt Q.V Q = Q.V 56 28
Ch. 5 Cnématque 3 Cnématque du solde Formule de la base moble Vecteur fxe dans R k Sot M k et N k fxes dans R k : V N = V M + N M Ω k k k k k M k N k O O k D où pour U k fxe dans R k d U = Ω U dt k k k Vecteur moble, cas énéral Sot w = xx k + yy k + zzk moble dans R k d w =... dt O O k w Fnalement : d dt d w = w + Ωk w dt k Exemple 57 Ch. 5 Cnématque 3 Cnématque du solde Champ des accélératons A partr du champ des vtesses V = V O + O Il vent Γ = V O + O Ω dt dt d d ( k ) ( k ) ( k k k ) Ω k k k k k Γ = Γ O + O Ω + Ω O Ω d k k k k k k k k k dt Remarque : Ce n est pas un champ de moment Fonctonne pour les ponts lés (fxes dans R k ) 58 29
Ch. 5 Cnématque 3 Cnématque du solde Composton des mouvements Composton des vtesses R et R j mobles l un par rapport à l autre en mouvement par rapport à R et R j. V = d O dt d d = OO + O dt =... j j dt V = V + V j j Remarque : On défnt tros mouvements : absolu : / R relatf : / R j entraînement : de R j / R (vtesse qu aurat s fxe dans R j ) S appartent au solde S k : Exemples V = V + V j k k j 59 Ch. 5 Cnématque 3 Cnématque du solde Composton des mouvements Composton des rotatons On montre faclement que Ω = Ω + Ω j k k j Conséquences : Torseur cnématque : j { Vk } = { Vk } + { Vj } j { V } = { Vj } 60 30
Ch. 5 Cnématque 3 Cnématque du solde Composton des mouvements Composton des accélératons R et R j mobles l un par rapport à l autre en mouvement par rapport à R et R j. d d d V = V + V V = V + V O + O Ω ( ) ( ) j j j j j j j dt dt dt O O j démonstraton en TD Γ = Γ + Γ + 2Ω V ( ) j j j j Remarque : On défnt quatre termes : absolu : / R relatf : / R j entraînement : de R j / R (vtesse qu aurat s fxe dans R j ) Accélératon de Corols (ou complémentare) S appartent au solde Sk : j j Γ = Γ + Γ + 2Ω V k k j j k 61 Ch. 5 Cnématque 3 Cnématque du solde Mouvements fondamentaux Translaton S k en translaton par rapport à R t, Ω k=0 trajectore Remarques : - Torseur cnématque = torseur couple - Tous les ponts du solde ont même vtesse - Tous les ponts ont même accélératon. - Tout vecteur de Sk reste ndépendant du temps. R R k V Rotaton autour d un d axe S k en rotaton par rapport à R Remarques :,' S tq V = V ' = 0 { } k k k - Torseur cnématque = torseur lsseur - En un pont M quelconque : Vk ( M ) = Vk ( ) + M Ωk = M Ωk = MH Ω R - Trajectores : cercles centrés sur l axe, contenus dans ses plans orthoonaux. - Tous les ponts ont même accélératon. 62 k H M V(M) 31
Ch. 5 Cnématque 3 Cnématque du solde Cnématque d un contact entre deux soldes Torseur cnématque en un pont de contact Sot I pont GEOMETRIQUE de contact entre S k et S j Les torseurs cnématques de S k et S j par rapport à R sont : { Vk } et { Vj } Qu en est l entre S k et S j? On utlse j { Vk } = { Vk } { Vj } I j Ω k = Ω k - Ω j = j Vk ( I ) = Vk ( I ) - Vj ( I) S k I S j j k n V I Vtesse de lssement Soldes ndéformables V I.n = 0 j k V I j k est la vtesse de lssement au pont de contact de S k et S j. Elle est donc contenue dans le plan tanent au contact. I est REDEFINI à CHAQUE INSTANT. Il n est n lé à S k n à S j. 63 Ch. 5 Cnématque 3 Cnématque du solde Condton de roulement sans lssement Condton qu exprme que la vtesse relatve au pont de contact t I est nulle : V I = 0 j k Exemple : Il y a RSG en I. Rotaton de S 1 / S 0 : αz. Quelle est la vtesse d avance du moyeu? y 1 y 0 x 1 α x 0 S 1 S 0 I 64 32
Ch. 6 Cnématque des lasons 65 Ch. 6 Cnématque des lasons 1 - Défntons Défntons Système mécanque m : assemblae de soldes. Lason Deux soldes en mouvement l un par rapport à l autre sont soums à des lasons s leurs postons et/ou leurs vtesses sont astrentes à satsfare des condtons. Dstncton Lasons blatérales / unlatérales se tradut par des équatons / néquatons Lasons holonomes se tradut par des condtons éométrques seulement. Lasons non holonomes se tradut par des relatons lnéares entre les vtesses (relatons non ntérables drectement). 66 33
Ch. 6 Cnématque des lasons 2 Lasons éom ométrques de base Lasons dont le torseur cnématque (exprmé en son centre) prend une forme partculère re Tableau des lasons normalsées On donne pour ces lasons Forme du torseur cnématque de S / S j m j = deré de moblté d une lason = nb. de ddl qu elle autorse. L j = deré de lason = nb. de ddl qu elle nterdt. L j = 6 m j Chaque lason normalsée e peut se tradure par des condtons éom ométrques à respecter. Exemples à suvre 67 Ch. 6 Cnématque des lasons 2 Lasons éom ométrques de base Contact ponctuel = ramener le pont O j sur la surface de S. M : pont de la surface S OjM.x = 0 x : normale à la surface en M x O O j x j M 6 paramètres de poston de S / S j sont relés s par une équaton scalare L j = 1 m j = 5 j 68 34
Ch. 6 Cnématque des lasons 2 Lasons éom ométrques de base Sphérque (rotule) = O et O j confondus. OO = 0 j (équaton vectorelle = 3 eq scalares en projecton) Appu plan (ou plane) de normale x j OO j.x = 0 x.y = 0 et x j = x ou x j x = 0 x j.z = 0 vot lssant d axe x O axe x j : OO j = λx OO j.z = 0 OO j.y = 0 ou OO j x = 0 x colnéare j à x : x = x j x j.z = 0 x j.y = 0 ou x j x = 0 69 Ch. 6 Cnématque des lasons 2 Lasons éom ométrques de base vot d axe x OO = 0 j et x j.z = 0 x j.y = 0 ou x j x = 0 Glssère d axe x OO j = λx OO j.z = 0 OO j.y = 0 ou x j x = 0 et x = x j x j.z = 0 x j.y = 0 ou x j x = 0 + as de rotaton autour de x y.y = 1 j 70 35
Ch. 6 Cnématque des lasons 3 Schéma des mouvements Rappel our une étude cnématque on ne prend en compte que les modèles de lasons qu permettent de mettre en équaton les los de mouvement. 71 Ch. 6 Cnématque des lasons 4 Graphe des lasons Le raphe des lasons est préalable à l é étude. Il va permettre de précser : Les types de lasons entre les sous ensembles. Le paramétrae. Le solde de référence. Symbolsme q q q 0 S S0 : solde de référence S : solde courant du système étudé aramètre cnématque Lason Bouclae par équaton de lason aramétrae Les paramètres correspondent aux varables cnématques nécessares n à détermner les los de mvt. Leur chox, non unque peut avor une nfluence sur la faclté de résoluton du problème. ( On s adera le plus souvent des repères prvléés des lasons) 72 36
Ch. 6 Cnématque des lasons 4 Graphe des lasons Chaînes cnématques On peut rencontrer dfférents types de raphe. Chaînes ouvertes Successon de pèces lées à la précédente. 0 1 n Exemples typques : manpulateurs, bras de robot S 3 S 1 z θ 1 x, θ 2 z 0 1 2 3 S 2 x θ 2 θ 1 73 Ch. 6 Cnématque des lasons 4 Graphe des lasons Chaînes cnématques Chaînes fermées es On obtent des boucles dans le raphe Exemples typques : machnes de transformaton de mouvement 0 1 S 2 S 3 S 1 θ 1 θ 2 0 1 2 θ 1 θ 2 x x 3 74 37
Ch. 6 Cnématque des lasons 5 Détermnaton des los de mouvement Objectf : Détermner ces los pour les cas de systèmes à chaînes fermées. aramétrae our repérer un solde / un autre, l faut 6 paramètres cnématques. aramétrae absolu Chaque solde est repéré par rapport à S 0. Nous avons soldes : paramètres cnématques = 6 Lasons entre soldes : l = L j peut être lon 0 x 3 y 3 z 3 Ψ 3 θ 3 φ 3 3 x 1 y 1 z 1 Ψ 1 θ 1 φ 1 1 x 2 y 2 z 2 Ψ 2 θ 2 φ 2 2 aramétrae relatf Chaque solde est repéré par rapport à celu qu le précède de. On tradut drectement (et unquement) les lasons entre soldes 0 z 3 Ψ 3 x 1 φ 1 1 φ 2 paramètres cnématques = d j 3 2 où d j = deré de moblté de la lason / j. 75 Ch. 6 Cnématque des lasons 5 Détermnaton des los de mouvement Deré de moblté d un mécansme Nombre mnmal de mouvements ndépendants = nombre de paramètres cnématques ndépendants ( = ran du système de L équatons à 6 nconnues) En pratque, dans la plupart des cas smples que nous étuderons, avec le paramétrae relatf : j n = nombre de paramètres cnématques j m = d l = n - l l = nombre d équatons de lason 76 38
Ch. 6 Cnématque des lasons 5 Détermnaton des los de mouvement Méthode de résoluton La méthode proposée permet d obtenr un système mnmum d équatons menant aux los de mouvement. Elle s adresse aux mécansmes à chaînes fermées. Bouclae par équatons de lasons éom ométrques A l ntéreur d une boucle, on substtue une lason par les équatons nécessares à la reconsttuer. Ex : Belle manvelle 0 1 2 0 1 2 + équatons 3 3 Bouclae par équatons de lasons de type jont On substtue une pèce ou un roupe de pèces (que l on appellera jont) et on tradut les contrantes éométrques correspondantes. Ex : Belle manvelle 0 1 2 3 0 1 77 3 + équatons Ch. 7 Dynamque 78 39
Ch. 7 Dynamque 0 Introducton Introducton Notons fondamentales ont matérel : porton de l espace pourvue de matère, assez pette pour être consdérée comme ponctuelle Solde rde ou ndéformable : domane D de l espace contenant un ensemble de ponts matérels ardant des dstances constantes entre eux. On peut donc nstaller un repère sur D Temps : t supposé s écouler de manère dentque pour tous les soldes Masse : A chaque pont matérel, on peut assocer un scalare postf et nvarable au cours du temps. Il représente la quantté de matère du pont consdéré. Il permet de caractérser les effets dynamques et d attracton unverselle. Force : La noton de force est assocée aux actons qu assent sur un pont matérel. Le modèle mathématque de cette acton est celu du lsseur. Dynamque : Etude des relatons entre les mouvements et leurs causes. 79 Ch. 7 Dynamque 1 rncpe fondamental applqué à un pont Enoncé Sot un pont de masse m. Le prncpe fondamental de la dynamque (FD) permet d écrre : F = mγ R F mγ ( ) F : Résultante des efforts sur R : Repère absolu ou alléen (supposé exster) où le FD est vérfé. Remarques Noter que mγ ( ) est homoène à une force. Formulaton de d Alembert : F + F nerte = 0 avec F = -mγ ( ) nerte Exemple : Lune, fronde 80 40
Ch. 7 Dynamque 2 Autres notons nécessaresn Repère alléen Le FD est vérf v rfé seulement dans un repère alléen (ou absolu). renons un repère Rk quelconque et écrvons Γ ( ) par composton : Γ = Γ + Γ + 2Ω V ( ) k k k k s Γ = Ω = 0 alors Γ = Γ k k k Tout repère en translaton rectlne unforme par rapport à un repère alléen est lu auss alléen. 81 Ch. 7 Dynamque 2 Autres notons nécessaresn Mécanque à dfférentes échelles Echelle humane Exemple : machne mγ ( ) = m Γ terre ( ) + Γ ( ) + 2Ω V terre ( ) ( terre terre ) Repère lé à Terre = alléen. néleable Echelle terrestre Exemple : météo Les effets de la rotaton de la Terre sont non néleables Repère centré sur Terre et drectons des 3 axes pontent vers des étoles = alléen. Echelle planétare Exemple : système solare, satelltes rse en compte des déplacements de la Terre / Solel. Repère centré sur le Solel et pontant vers 3 étoles = alléen. Classfcatons des actons (rappel) Actons à dstance Actons de contact : ntéreures extéreures 82 41
Ch. 7 Dynamque 3 rncpe fondamental applqué à un système rncpe des actons mutuelles (rappel) Sot un domane D (= un solde) et un pont de D. est soums à : 0 + = 0 { F j} { Fj } Torseur des actons mécanques ntéreures { } F nt A Actons extéreures àd = Actons ntéreures àd= { F ext } { } Que vaut? Ce sont les actons exercées par les autres ponts du domane : { F nt} = A Or, prncpe de récprocté F + F j j = 0 donc F colnéare à j A - A F = 0 F nt j j { F } nt 0 = 0 83 A D Σ j F +F j j D A F +A j j F j Ch. 7 Dynamque 3 rncpe fondamental applqué à un système Torseur des actons mécanques extéreures (rappel) F R Σ Σ { Fext } = = A MΣ Σ ( A) A F Torseur dynamque Sot un domane Σ et un pont de ce solde. On défnt : { DΣ } Σ = Σ A Γ dm A Γ dm A Σ dmγ rncpe fondamental de la dynamque applqué à un système { F } { ext = DΣ } Remarque : cas partculers Forme partculère quand le torseur dynamque est nul : état statonnare, statque. 84 42
Ch. 8 Géom ométre des masses 85 Ch. 8 Géom G ométre des masses 1 Introducton Le FD requert le calcul du torseur dynamque D. Celu-c se calcule à partr d autres torseurs (cnématque et cnétque). Le calcul du moment dynamque passe notamment par celu du moment cnétque (noter la smlarté) : σ A = A Σ V dm En un pont O d un solde S, celu-c s écrt : σ O = O V dm ( ) S ( ( ) ) = O V O +O Ω dm S = Odm V ( O ) + O ( Ω O ) dm S S Apparassent des termes lés à des caractérstques rstques ntrnsèques de éom ométre et de répartton r de la matère dans le solde. 86 43
Ch. 8 Géom G ométre des masses 2 Grandeurs assocées à la matère Défnton : masse spécfque dm ρ( ) =lm où dε = élément de volume (dv), de surface (ds) ou de lonueur (dl) dε 0 dε ρ() représente alors la masse volumque, surfacque ou lnéque de l élément consdéré. A tout pont d un système matérel, on assoce le champ ρ(). Masse (randeur scalare) On appelle masse d un d système la quantté : M= dm D OùDreprésente le domane d ntératon : volumque, surfacque, lnéque. Rem. : - unté SI : kloramme - our la sute, on consdère le champ ρ contnu par morceaux à l ntéreur de D. - S le système comporte un nombre fn de ponts, on réalse une somme dscrète. 87 Ch. 8 Géom G ométre des masses 2 Grandeurs assocées à la matère oston du centre d nerte (randeur vectorelle) Défnton Sot G le centre d nerte du domane D : Ou, avec les coordonnées : OG = Odm Système complexe Dans le cas d un assemblae de n systèmes matérels, on peut assocer à chaque système S sa masse M et son centre d nerte G. Il vent : MOG OG = M D D dm 1 x G = xdm M D x xg 1 O = y ; OG = y G y G = ydm M D z z G 1 z G = zdm M D Exemple : plaque trouée 88 44
Ch. 8 Géom G ométre des masses 2 Grandeurs assocées à la matère Grandeur tensorelle : tenseur d nerte Défnton d un d tenseur Dans la théore des tenseurs, vecteur = tenseur d ordre 1 3 composantes (dans un espace à 3D) Matrce colonne, en projecton dans une base donnée ar chanement de base, composantes dans la nouvelle base = combnasons lnéares des composantes dans l ancenne base Tenseur d ordre d 2 Exemple : tenseur d nerte = tenseur d ordre 2. 9 composantes, sot une matrce (3x3) en projecton dans une base donnée. ar chanement de base, nouvelles composantes = combnasons lnéares des ancennes. Le tenseur d nerte est ndépendant de toute base. Mas, pour l exprmer sous forme de matrce (3x3) l faut le projeter dans une base. 89 Ch. 8 Géom G ométre des masses 2 Grandeurs assocées à la matère Tenseur d nerte Utlté dans ce cours? Rappel, nous avons beson de l expresson : σ ( O ) = Odm V ( O ) + O ( Ω O ) dm S S Nécessté de calculer O ( Ω O) Formule du double produt vectorel : 2 O Ω O = Ω.O - O Ω.O Applcaton au domane D : =... 2 2 y +z -xy -xz Ωx 2 2 = -xy ( x +z ) -yz Ωy 2 2 -xz -yz Ω ( x +y ) 2 2 D D D 2 2 D D D D z R R y +z dm -xydm -xzdm Ω O Ω O dm = -xydm x +z dm -yzdm Ω 2 2 -xzdm -yzdm ( x +y ) dm D D D R x y Ω z R 90 45
Ch. 8 Géom G ométre des masses 2 Grandeurs assocées à la matère Tenseur d nerte Il vent donc : D Ixx Ixy Ixz Ωx O ( Ω O) dm = Iyx Iyy Iyz Ω y = I( O,D) Ω I I I Ω zx zy zz R z R I O, Ω = O Ω O dm ( D) ( ) D I(O,D) est le tenseur d nerte, d calculé en O, du solde D Conventon de Bnet A -F -E I( O, D) = -F B -D -E -D C Remarques : opérateur symétrque untés : k.m² 91 Ch. 8 Géom G ométre des masses 3 Interprétaton taton des éléments de I Défntons Moment d nerte d On appelle moment d nerte de D par rapport à ε le scalare : 2 I ε = d dm D d représente la dstance du pt. courant à l élément ε consdéré (un pont, une drote ou un plan) Ex. : Moment d nerte d une barre homoène par rapport à un axe perpendculare passant par son centre de masse. rodut d nerte d par rapport à 2 plans orthoonaux On appelle produt d nerte par rapport à et le scalare : où δ (resp. δ ) représente la dstance du pont au plan (resp. ). ' D I = - δδ'dm 92 46
Ch. 8 Géom G ométre des masses 3 Interprétaton taton des éléments de I Interprétaton du tenseur d nerte avec d²= On obtent : I( O,D) A -F -E I( O, D) = -F B -D -E -D C 2 2 2 2 2 2 I =A= y +z dm ; I =B= x +z dm ; I =C= x +y dm xx yy zz D D D I =I =-D=- yzdm ; I =I =-E=- xzdm ; I =I =-F=- xydm yz zy xz zx xy yx D D D Représentent les moments d nerte de D par rapport aux axes (O,x), (O,y) et (O,z). Représentent les produts d nerte de D par rapport aux plans (O,xz)(O,xy), (O,yz)(O,xy) et (O,xz)(O,yz) Inerte par rapport à un axe quelconque passant par O, connassant 2 I = d dm D I = u.i O,.u ( D) O u d I( O,D) 93 Ch. 8 Géom G ométre des masses 3 Interprétaton taton des éléments de I Cas de smplfcatons lan de symétre Exemple : (O,x,y) plan de symétre Certans termes s annulent O z y I xz = I yz = 0 x z Solde de révoluton r Exemple : (O,x) axe de symétre y x Axe de révoluton = 2 plans de symétre perpendculares + 2 drectons «équvalentes» I xz = I yz = I xy = 0 I yy = I zz 94 47
Ch. 8 Géom G ométre des masses 4 théor orème de Koen Théorème de Koen Exprmer le tenseur d nerte d en un pont quelconque à partr du tenseur en G I A, D Ω = A Ω A dm et A=AG+G ( D) D I A, Ω =... I A, Ω = AG Ω AG dm+i G, Ω ( D) ( ) ( D) = H( A,m, ) +I ( G, ) D D Ω D G A 2 2 m b +c -mab -mac a 2 2 Avec AG = b H( A,m, ) = -mab m( a +c ) -mbc c 2 2 R -mac -mbc m( a +b ) R Remarques : our chaner de pont, l faut passer par G. Fare attenton aux bases d expresson des randeurs. 95 Ch. 8 Géom G ométre des masses 5 Repère prncpal d nerte d Repère prncpal d nerte La matrce du tenseur est symétrque à coeff. réels. Elle peut être daonalsée. Les drectons propres sont orthoonales et sont appelées axes prncpaux d nerte (ou drectons prncpales). Les valeurs propres sont appelées moments prncpaux d nerte. z z* G y x* G x y* A -F -E I G, = -F B -D -E -D C ( D ) ( D) R A 0 0 I G, = 0 A 0 0 0 C R* 96 48
97 Ch. 9 Cnétque 98 49
Ch. 9 Cnétque 0 Introducton Introducton L écrture du FD nécesste de connaître le torseur assocé à l ensemble des de chacun des ponts du solde Σ. mγ Cnétque : Etude et calcul des randeurs cnétques et dynamques. On procède par étape en tratant les randeurs cnétques (lées aux vtesses) pus en passant aux randeurs dynamques (lées aux accélératons). 99 Ch. 9 Cnétque 1 Torseur cnétque Défnton, cas d une masse élémentare Sot un pont de masse élémentare dm. Quantté de mouvement La quantté de mouvement est caractérsée par le vecteur suvant : dm p = V dm V( ) Moment cnétque élémentare en A Le moment cnétque est le moment de la quantté de mouvement au pont consdéré : σ A = A V dm σ ( A) dm A V( ) dm 100 50
Ch. 9 Cnétque 1 Torseur cnétque Cas d un système matérel Sot un système matérel Σ, consttué d un ensemble de ponts matérels. p Σ = V ( ) dm Σ { CΣ } = σ Σ = A V ( ) dm Σ V ( ) dm dm Σ Résultante cnétque M masse totale de Σ G centre de masse de Σ p = V dm = mv ( G) Σ Σ Moment cnétque Détermnaton de la relaton entre les moments cnétques en A et B σ A = σ B + AB MV G Σ Σ Le torseur cnétque satsfat à la relaton de champs de moment. 101 Ch. 9 Cnétque 1 Torseur cnétque Théorème de Koen Sot R k un repère en translaton par rapport à R et centré en G. G V = V + V k k σ A = A V +V dm =... k k Σ Σ σ A = σ A +AG MV G k Σ Σ k Théorème de Koen «composton» des moments cnétques. Varante usque σ A = σ G + AG MV G k k k Σ Σ σ A = σ G + AG MV G k Σ Σ k 102 51
Ch. 9 Cnétque 1 Torseur cnétque Calcul du moment cnétque en un pont O d un solde S Sot R le repère assocé au solde S. On utlse c la relaton du champ des vtesses d un solde : V ( ) = V ( O ) + O Ω σ O = O V O + O Ω dm =... S σ O = I O, S Ω + OG MV O Rappel : pour le produt I( O, les deux éléments dovent être dans la même base.,s ) Ω Il est ntéressant de chosr un repère où le tenseur d nerte est de forme smple. 103 Ch. 9 Cnétque 1 Torseur cnétque Calcul du moment cnétque en un pont O d un solde S : cas partculers Cas d un d pont fxe V O = 0 σ O = I O, S Ω Cas où o O = G OG = 0 σ G = I G, S Ω 104 52
Ch. 9 Cnétque 1 Torseur cnétque Forme énérale du moment cnétque d un solde en un pont quelconque k σ A = σ G + AG MV G σ G = I G, S Ω (Koen) k k σ A = I G, S Ω +AG MV G k Or k Ω = Ω car R k est en translaton par rapport à R σ A = I G, S Ω + AG MV G Le moment cnétque en un pont est éal à la somme du moment cnétque du solde en G et du moment en ce pont de la quantté de mouvement. 105 Ch. 9 Cnétque 2 Torseur dynamque Défnton, cas d une masse élémentare Sot un pont de masse élémentare dm. Quantté d acc accélératon La quantté d accélératon est caractérsée par le vecteur suvant : dm D = Γ dm Γ ( ) Moment dynamque élémentare en A Le moment dynamque est le moment de la quantté d accélératon au pont consdéré : δ A = A Γ dm δ ( A) A dm Γ ( ) dm 106 53
Ch. 9 Cnétque 2 Torseur dynamque Cas d un système matérel S l on consdère un système matérel Σ, les éléments du torseur prennent la forme : Résultante dynamque D = Γ dm =... Σ Σ D = Γ dm = MΓ ( G) Σ Σ Γ ( ) dm G MΓ ( G) Σ Remarque : la résultante dynamque est la dérvée de la résultant cnétque. Moment dynamque δ A = A Γ dm Σ Σ Relaton des champs de moment du torseur dynamque δ A = δ B + AB MΓ G Σ Σ 107 Ch. 9 Cnétque 2 Torseur dynamque Relaton entre moments cnétque et dynamque S l on dérve le moment cnétque d d d σ ( ) Σ A = A V dm + A V dm dt Σ dt Γ ( ) Σ dt dm =... G MΓ ( G) d δ A = σ A + V A MV G ( Σ ) Σ dt Σ Attenton : dans le cas énéral, le moment dynamque n est donc pas la dérvée du moment cnétque 108 54
Ch. 9 Cnétque 2 Torseur dynamque Calcul du moment dynamque : cas partculers Cas d un d pont fxe V A = 0 Cas où o A = G d δσ A = σ A dt ( Σ ) dm G Γ MΓ Σ ( G) d δ G = σ G + V G MV G ( Σ ) Σ dt d δσ G = σ G dt ( Σ ) En pratque, le plus smple est souvent Calcul du moment cnétque en G Calcul du moment dynamque en G Relaton des champs de moment σ G = I G, S Ω d δσ ( G ) = ( σσ ( G) ) dt δ A = δ B + AB MΓ G Σ Σ 109 Ch. 10 Etude dynamque d un système 110 55
Ch. 10 Dynamque d un d système 1 Dynamque des lasons Los de comportement Dans un système, on peut retrouver des éléments qu sont hors des hypothèses de la mécanque des soldes ndéformables. Exemple typque : les ressorts. Ces éléments peuvent souvent condure à l écrture d équatons de lasons supplémentares. Ces équatons sont «expérmentales», on peut les appeler «los de comportement». Elles peuvent fare ntervenr les dfférentes paramètres cnématques ou actons de lasons entre les soldes. Ces los de comportement nfluencent l é l équlbre dynamque d un d système La résoluton r d un d système dynamque requert leur écrture 111 Ch. 10 Dynamque d un d système 1 Dynamque des lasons Les ressorts sont des éléments déformables qu relent deux soldes S et S j. L écrture de la lo de comportement du ressort permet d obtenr le modèle de l acton entre S et S j. Ressort de tracton-compresson On peut consdérer que S at sur S j par l ntermédare du ressort. Il en résulte une acton de lason sous la forme d un lsseur de résultante : F /j = -k ( L-L0 ) u = -F j/ F j/ u j L 0 F /j Masse néleable L 0 lonueur au repos (lbre) k radeur (en Newton) L-L 0 allonement Ressort de torson L- L 0 On peut consdérer que S at sur S j par l ntermédare du ressort. Il en résulte une acton de lason sous la forme d un torseur couple de moment : M = -k θ-θ u = -M /j ( 0 ) j/ M j/ M /j Inerte néleable θ 0 poston anulare au repos k radeur (en Newton) θ - θ 0 rotaton de S /S j selon u 112 56
Ch. 10 Dynamque d un d système 1 Dynamque des lasons L amortsseur est un élément consttué de deux partes qu contranent un flude vsqueux à s écouler à travers un pett orfce. La vscosté du flude dsspe alors de l énere. L effort dans l amortsseur est foncton de la vscosté du flude, de la secton des trous, et de la vtesse d écoulement dans les trous. Amortsseur de translaton Le modèle de l acton de S sur S j est celu d un lsseur de résultante : F /j = -clu = -F j/ = -c V.u u ( ) j j F j/ u L j F /j Masse néleable c coeffcent d amortssement (en Newton mètre) Amortsseur de rotaton Le modèle de l acton de S sur S j est celu d un torseur couple avec : M /j = -cθu =-M j/ = -c Ω.u u j Inerte néleable θ ɺ vtesse de rotaton de S j /S c coeffcent d amortssement 113 M j/ M /j Ch. 10 Dynamque d un d système 1 Dynamque des lasons Contact ponctuel avec frottement Efforts dans un contact ponctuel Le modèle de la lason ponctuelle est déalsé Dans un contact réel, le torseur des actons mécanques est de la forme : { F/j } I R j = M j ( I ) Les actons de contact entre et j sont connues de manère expérmentale. Une des los classques est la lo de Coulomb Elle caractérse les stuatons de frottement et d adhérence. 114 57
Ch. 10 Dynamque d un d système 1 Dynamque des lasons Lo de Coulomb V I 0 j Il y a lssement au contact (et donc frottement) ) lorsque Dans ce cas, la lo de Coulomb s écrt : Vj ( I) T T avec /j /j = -f N/j = tan ( ϕ ) = f V I N L effort de frottement j T /j s oppose à la vtesse de lssement. Il y a adhérence (pas de mouvement relatf) lorsque V I =0 T/j N /j ( ϕ ) < tan = f a a /j j φ a défnt un cône autour de la normale au contact. Tant que F est à l ntéreur du cône d adhérence, la vtesse de lssement au contact reste nulle. /j Remarques F dépend de nombreux paramètres (matéraux, état de surface, lubrfcaton ) Généralement φ a > φ (explque des phénomènes de «broutae») Ce modèle a un domane de valdté lmté 115 Ch. 10 Dynamque d un d système 2 Résoluton d un d problème par le FD Exemple pour 1 solde Déséqulbre d une d roue : Ecrre le FD pour une roue S de masse M A -F -E Inerte : I( O, S ) = -F B -D. oston de son centre d nerte G : cf. fure. -E -D C Rr 0 C Actons du moteur sur la roue S : { Fmoteur/S } = 0 0 G 0 0 Lasons parfates. Le repère R 0 lé au châsss est supposé alléen. R0 y 0 y r y 0 O x = x 0 r 116 58
Ch. 10 Dynamque d un d système 2 Résoluton d un d problème par le FD FD applqué à un système Rappel : nombre de paramètres d une d lason Les lasons normalsées peuvent être défnes par la forme caractérstque de leur torseur. S on les consdère comme parfates, les lasons présentent d paramètres cnématques et 6-d derés de lason correspondant aux composantes du torseur d effort dans la lason. Exemple : lason pvot lssant d axe x : ωx x 0 0 = 0 0 et = R M 0 0 R M j { V } { F } O /j O y y R z z R j Blan des équatons et nconnues remère étape mportante afn d entreprendre de manère effcace la résoluton du problème. 117 Ch. 10 Dynamque d un d système 2 Résoluton d un d problème par le FD FD applqué à un système Blan nconnues/équatons Les M paramètres cnématques sont relés par N équatons de lasons de type éométrque ou cnématque est le nombre de paramètres cnématques ndépendants m c Le système content M=Σm j paramètres cnématques L=Σl j est le nombre de paramètres dynamques (efforts de lason) On applque à chaque solde la FD, sot un total de 6 équatons BILAN 6 équatons de dynamque N équatons de lasons m c paramètres cnématques ndépendants L paramètres dynamques j Système soluble s le ran du système de 6+N équatons = M + L ou, de manère équvalente, s le ran des 6 équatons = m + L c 118 59
Ch. 10 Dynamque d un d système 2 Résoluton d un d problème par le FD FD applqué à un système Noton d hyperstatct d hyperstatcté Système sostatque (ou sodynamque) 6 (m c + L) = 0 Tous les paramètres peuvent être détermnés par les los de la mécanque. Système hyperstatque 6 (m c + L) < 0 Les seules los de la dynamque ne suffsent pas à détermner toutes les paramètres. Il faut fare appel à d autre équatons (exemple : mécanque des soldes déformables) Exemple : pompe à barllet 6 = 12 et m c + L = 12 Autre exemple : A B R x Mx + { Fext/1} = R A y My Rz M z 119 Ch. 10 Dynamque d un d système 3 Détermnaton des los de mouvement ourquo détermner d les los de mouvement Au travers de l étude dynamque d un système, la détermnaton des los de mouvements est un des objectfs prncpaux (un autre objectf mportant est de détermner les efforts de lason). Intérêt : par exemple, étuder la stablté d un véhcule, détermner les modes de vbraton d un système Chox du système mnmum d é d équatons S l on souhate unquement les los temporelles d évoluton des paramètres cnématques (toutes les nconnues ne nous ntéressent pas) ALORS un nombre restrent d équatons est suffsant. as beson des 6 équatons. Il faut fare le bon chox d équatons parm les 6+N équatons dsponbles 120 60
Ch. 10 Dynamque d un d système 3 Détermnaton des los de mouvement Mécansme en chaîne ouverte Exemple : pendule d Euler d Hypothèse : mécansme plan A y θ y 0,1 Graphe des lasons Blan nc/eq x 1 x 2 Ecrture du FD Le système {1+2} et chacun des systèmes {1} et {2} dovent vérfer le FD Quelles sont les équatons nécessares à la détermnaton des los de mouvement? Méthode pour le chox du système mnmum Chox des équatons qu mettent en évdence les efforts de lasons nuls. Chox facle à effectuer à partr du raphe des lasons. 121 Ch. 10 Dynamque d un d système 3 Détermnaton des los de mouvement Mécansme en chaîne fermée Méthode pour le chox du système mnmum (exemple belle manvelle) 0 1 2 θ 1 θ 2 x 3 0 1 2 θ 1 θ 2 x 3 + équatons de lason Système mnmum (mécansme plan) : - Equatons de lason (1 équaton vectorelle) : 2-3 équatons de dynamque 0 1 2 3 122 61
Ch. 11 Enerétque 123 Ch. 11 Enerétque 1 ussance ussance des actons applquées à une partcule élémentare Sot une partcule M en mouvement par rapport à R. La pussance développée au cours de son mouvement est donnée par le scalare : ( M ) = R.V ( M) M V M R Unté normalsée : Watt (W) Remarque à ne pas oubler : R V M M =0 M V M R 124 62
Ch. 11 Enerétque 1 ussance ussance des efforts extéreurs applqués à un solde ndéformable La pussance développée par des actons mécanques extéreures applquées à un solde D par rapport à un repère R est éale à la somme des pussances développées par chacune de ses partcules c d = dv V ( ) = f.v d D D D R f ( ) d En ntrodusant la relaton du champ des vtesses du solde : = f. V A + A Ω d D D D =... ( j j ) D D = { F }{ Vj } D D c d = ds La pussance développ d veloppée e par un torseur d actons d mécanques m extéreures applqué à un solde est éale au comoment du torseur des actons mécanques m par le torseur cnématque. 125 Ch. 11 Enerétque 1 ussance ussance développée dans une lason ntéreure à un système Soent deux soldes S et S j en mouvement par rapport à R et relés par une lason L j. La pussance dsspée par la lason L j est alors : Lj = V.R j +Ω.M j + Vj.R j+ω j.m j ( ) =... S L j S j j { }{ } { }{ } = F V = F V Lj j j j R Remarques : ussance ndépendante du repère de référence. r rence. Dans le cas énéral, elle = n est n 0 pas nulle! Cas partculers où Lj o : LIAISONS ARFAITES ussance développée par les actons de cohéson de la matère : Dans le cas des soldes ndéformables formables, cohéson cohéson = 0 S S * R * M * cohéson * { V } * { cohéson}{ } = F V 0 = 0 126 63
Ch. 11 Enerétque 2 Traval Traval élémentare développé par une partcule Sot une partcule M en mouvement par rapport à R. Le traval élémentare développé pendant un nstant dt au cours de son mouvement est donné par le scalare : Unté normalsée : Joule (J) dw = R.V M dt dl = V M dt R Traval des efforts extéreurs applqué à un solde Le traval développé entre les nstants t 1 et t 2 par les actons mécanques extéreures applquées à un solde D par rapport à un repère R est donné par : t W = D D t1 2 { F }{ V D D j } R dl f ( ) d t 2 t 1 127 Ch. 11 Enerétque 3 Enere cnétque Défntons Enere cnétque élémentare : L énere cnétque du pont de masse dm par rapport à R est représentée par la quantté scalare : 1 2 2 T = V dm V dm Enere cnétque d un système Σ : 1 2 Σ 2 T Σ = V dm Remarque : la somme se fat de manère contnue pour un solde ou ben dscrète pour un système de soldes 128 64
Ch. 11 Enerétque 3 Enere cnétque Théorème de Koen applqué à l énere cnétque Sot un solde S en mouvement par rapport à R. R k un repère en translaton et centré en G. k V = V + Vk 2 V =... V dm G R k MV ( G) 2 k 1 T S = T S + MVk G 2 R Cas d un solde ayant un pont fxe Sot un solde S et un pont fxe O par rapport à R. V = Ω T S =... O V G MV ( G) O 1 T ( S ) = Ω.I ( O, S ).Ω 2 R 129 Ch. 11 Enerétque 3 Enere cnétque Théorème de Koen pour un solde De ce qu précède, l vent : Ω k MV ( G) 1 T S = T S + MV G 2 k 1 k k et T ( S ) = Ω.I ( G, S ).Ω 2 2 k k G R k R 2 1 k k 1 T S = Ω.I G, S.Ω + MVk G 2 2 Exemple : roue de vélo y 1 y x 1 0 S 1 θ - Masse M - Moment d nerte de S 1 par rapport à (G, z 1 ) : C 1 x x 0 130 65
Ch. 11 Enerétque 4 Théor orème de l é l énere cnétque Applcaton à un système de soldes A partr d un prncpe fondamental de la dynamque applqué à chaque partcule, on multple chaque terme par le vecteur vtesse, l vent : f.v d = Γ.V dm D D d 2 d 1 = V ( ).V ( ) dm = V ( ) dm dt dt 2 D D R V f ( ) d En dstnuant les actons ntéreures à D et les actons extéreures à D : + nt = T ( Σ) ext d dt La varaton d é énere cnétque alléenne par rapport au temps éale la somme des pussances alléenne des actons mécanques ntéreures et extéreures s exer exerçant sur le système. Remarque : Solde ndéformable et lasons parfates nt = 0 : = T ( Σ) ext d dt 131 66